Luận văn điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian banach

BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO T R Ư Ờ N G ĐẠI HỌC s P H Ạ M HÀ NỘI N G U Y Ễ N THỊ TH ỦY ĐIEM BAT ĐỌNG CUA ANH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH L U Ậ N VĂN TH ẠC s ĩ TO Á N HỌC H À NỘI - 2015 BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO T R Ư Ờ N G ĐẠ I HỌC s P H Ạ M HÀ NỘI N G U Y Ễ N THỊ T H Ủ Y ĐIEM BAT ĐỌNG CUA ANH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH L U Ậ N VĂN TH ẠC s ĩ TO Á N HỌC C huyên ngành : T O Á N G IẢ I T ÍC H M ã số : 60 46 01 02 G iáo viên hướng dẫn: T S T R Ầ N Q U Ố C B ÌN H HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Trần Quốc Bình Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, thầy cô giáo nhà trường thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Thủy LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan hướng dẫn TS Trần Quốc Bình khóa luận hoàn thành không trùng với công trình khoa học khác Trong thực khóa luận tác giả sử dụng tham khảo thành tựu nhà khoa học khác với lòng biết ơn trân trọng Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Thủy Mục lục M đầu 1 K iến thứ c chuẩn bị 1.1 Ký hiệu 1.2 Định n g h ĩ a 1.3 Tính chất 3 Á n h x co B anach ứng d ụn g 2.1 Nguyên lýánh xạ co B a n a c h 2.2 Định lý C a r i s ti 2.3 Một số ví dụ ứng d ụ n g 7 13 15 Đ iểm bất động ánh x không giãn tron g không gian Banach 24 3.1 Cấu trúc chuẩn t ắ c 25 3.2 Mô đun lồi đặc trưng l i 31 3.3 Định lý điểm bất động ánh xạ không giãn 38 3.4 Mối quan hệ môđun lồi cấu trúc chuẩn t ắ c 41 K ết luận 45 Tài liệu th a m khảo 46 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Định lí ánh xạ co Banach có nhiều ứng dụng, gặp nhiều lĩnh vực khác toán học Một số ứng dụng chẳng hạn chứng minh tồn nghiệm toán Côsi trở thành kinh điển, giảng dạy trường đại học Tuy nhiên, định lý ánh xạ co có ứng dụng khác nữa, biết đến thú vị Chẳng hạn ký hiệu N họ compact M, N trang bị Hausdorff mêtric (khoảng cách Hausdorff) tập compact I c R xét ánh xạ: Khi T ( x ) ánh xạ co ( Hausdorff mêtric) chọn x = [0; 1] X n = T n( x ữ) hội tụ đến tập Cantor tiếng Trong chương luận văn trình bày ứng dụng khác thường định lý ánh xạ co Banach Trong chương này, luận văn chứng minh định lý điểm bất động Caristi Khi hệ số co định lý Banach ta ánh xạ không giãn (IIT x — T y II < |Ịrr — y II Vx, y £ D ) Nói chung ánh xạ không giãn không thiết có điểm bất động Để ánh xạ không giãn có điểm bất động ta phải áp đặt điều kiện lên miền xác định cấu trúc hình học không gian Những phần đề cập chương Trong chương này, việc chứng minh định lý tồn điểm bất động ánh xạ không giãn đề cập đến vấn đề khác nữa, liên quan đến cấu trúc hình học không gian Banach 2 M ục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu ứng dụng định lý ánh xạ co Banach tồn điểm bất động ánh xạ không giãn N h iệm vụ nghiên cứu Đọc hiểu thấu đáo chương tương ứng sách W.A.Kirk [2] số báo liên quan tới đề tài nghiên cứu Đ ối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: kiến thức, khái niệm mở rộng liên quan đến cấu trúc hình học không gian Banach, phục vụ việc nghiên cứu điểm bất động ánh xạ không giãn ứng dụng định lý ánh xạ co Banach Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu báo ánh xạ không giãn lý thuyết điểm bất động Đọc hiểu, tổng hợp trình bày cách hệ thống kết nhận N hữ ng đóng góp đề tài Luận văn tài liệu hữu ích ánh xạ co Banach ánh xạ không giãn Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số ký hiệu, định nghĩa về: bao lồi, bao lồi đóng, không gian liên hợp thứ nhất, thứ hai, tôpô yếu, tôpô yếu* Và tính chất có liên quan Đặc biệt tính chất công cụ hỗ trợ trình chứng minh định lý, bổ đề Chương Chương 1.1 K ý hiệu Nếu Ả tập không gian metric (M, p) X £ M ký hiệu d ỉ a m A đường kính A: d ỉ a m Ả = s up { p { x \ y ) : X, y E A } Ký hiệu dỉ s t {x , Ả ) khoảng cách từ X tới A: di s t ( x , Ả ) = i n f { p { x \ y ) : y e A } B ( x , r ) ký hiệu hình cầu đóng có tâm đặt X với bán kính r > B ( x , r) = {y £ M : p(x, y) < r} Ả ký hiệu bao đóng Ả M X = (X, ||.||) ký hiệu cho không gian Banach thực tùy ý với chuẩn 1.2 Đ ịnh nghĩa Đ ịn h n g h ĩa 1.2.1 Bao lồi Ả c X tập lồi nhỏ X chứa A, ký hiệu coA Ta có: COÃ = n {K c X : K D A, K lầ tập lồi} n n Khi X £ c oA X = XI \ x i với Xi £ A, Áị ^ XI K = 1i=1 i=1 Đ ịn h n g h ĩa 1.2.2 Bao đóng coA ký hiệu cõA gọi bao lồi đóng A Như vậy: cõA = n { K c X : K D A, K tập đóng lồi} Đ ịn h n g h ĩa 1.2.3 Giả sử X , Y không gian Banach Ký hiệu £ ( x , Y ) không gian toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Chuẩn £ ( x , Y ) hiểu chuẩn ánh xạ tuyến tính liên tục Với T £ £( x, Y) ||T|| = sup { : X e X, X ^ ^ ll^ll = su p { ||T x || : x G X : | | x | | = l } Nếu X , Y không gian Banach ( £ ( x , y ) , ||.||) không gian Banach Đ ịn h n g h ĩa 1.2.4 Giả sử X , Y không gian Banach Ký hiệu: X * = {phiếm hàm tuyến tính liên tục trênX } Ta gọi X * = L ( x , M) không gian liên hợp hay không gian liên hợp (thứ nhất) X Ký hiệu cặp đối ngẫu phần tử X với phần tử X * x*(x) = { x , x * ) , X e X , X* e X * {x,x*) hàm tuyến tính liên tục X * với X £ X cố định Không gian X** = L ( x *, M) gọi không gian liên hợp thứ hai X Nếu X £ X cố định, ánh xạ: X —> X* gọi phép nhúng tắc X X **, phép nhúng phép đẳng cự tuyến tính Nếu toàn ánh X gọi phản xạ ký hiệu X = X ** Đ ịn h n g h ĩa 1.2.5 Tô pô yếu X tô pô tạo từ tập hợp nửa chuẩn { / v } , X* £ X * với px*(x) = K z ,íO | , x G X Tô pô yếu * X* tô pô tạo từ tập nửa chuẩn {,ọx} , x £ X với px {x*) = | tập {æ* g K : ||x* II ^ r} đóng yếu* T ín h c h ấ t 1.3.8 Nếu X không gian tách K tập lồi X * K đóng yếu* đóng yếu* theo dãy 31 Áp dụng cho dãy K sau đặt 00 K ị = c õ ị j A ( K° ) c K ° Ỉ=1 K l = cõ [j A (Kĩ) c K ỉ=n Ta có dãy { K ^ } dãy giảm tập lồi, đóng, bị chặn Ta chứng minh d ỉa m K * < k dỉamKị T hật vậy, lấy X, y £ A ( K ị ) Khi tồn n < p < q cho X € A ( K Ị ) , y € Ả ( K Ị ) Vì K ũg c K ị nên ||x - y\\ ^ k d i a m K Ị < k dỉamKị Do \ 00 ẽõU^W)j d ỉ a m K l = dỉam i=n ' nên d ỉ a m K * < k d ỉ a m K ị Lặp lại trình ta thu dãy { K ị } có quan hệ sau Kĩ D u Kị u D D Kị D D K J lnữ u D D K D u D Ta có dỉ a m Kị Do d ỉ a m Kị ộ Vậy dãy lý Smulian suy 3.2 Kĩ u Kĩ u D D Kn D < kn dỉamKị < kn dỉamKỊ —>■0 n —>■00 Theo nguyên lý Cantor ta có n^L i Kn 7^ giảm tập lồi đóng bị chặn có giao khác rỗng, theo định không gian Banach X phản xạ □ M ô đun lồi đặc trưng lồi Đ ịn h n ghĩa 3.2.1 Không gian Banach X gọi không gian lồi ngặt với X Ỷ y thỏa mãn ||x|| < 1, ||y|| < 11^ 2^11 < 32 Dưới tiêu chuẩn để nhận biết không gian Banach có lồi ngặt hay không Không gian Banach X lồi ngặt X, y £ x \ {0} thỏa mãn ||rr + y II = \\x\\ + ||y|| tồn À > cho X = Xy T hật vậy, giả sử X không gian lồi ngặt Lấy x , y £ X , thỏa mãn ||x + y II = ||x|| + ll^ll , giả sử < ||x|| < ||y|| Đặt u _ = x 77 - 77, \x\ V y _= Khi ||ií|| = 1, ll^ll = Ta có ||ii + 'L>|| = X y \x = 1+ \x\ y y \x\ \x\ \x\ ịx + y I llaHI = 1- Vậy ||ii + V II = 2, X lồi ngặt nên u = V y y IN I IM I \x\ \x\ suy X = = Điều kiện đủ: Với X, y £ X mà \\x\\ = ||y|| = , x ^ y , giả sử ||x + y II = Khi ta có ||rr + y II = \\x\\ + \\y\\ Theo giả thiết tồn À > cho X = Xy, \\x\\ = ||y|| nên A = Suy X = y (vô lý) Vậy không gian X lồi ngặt Đ ịn h n ghĩa 3.2.2 Không gian Banach X gọi lồi với £ > tồn ỏ (e) > cho X, y £ X mà ||x|| < 1, ||y|| < 1, |Ịrr — y II ^ £ ta có "X + V < - ỏ (e) Từ định nghĩa ta thấy không gian Banach lồi lồi ngặt Ngoài ra, X không gian hữu hạn chiều lồi ngặt tương đương với lồi T hật vậy, cho X không gian hữu hạn chiều lồi ngặt Lấy £ £ (0, 2] đặt: s= Khi tập s {(x,y) : | | z | | < , ịịyịị < , | | x - y\\ > s (xi ỳ)e s đóng dãy {( x n, y n)} c e} : x n —>■ X, yn —> y I N I < I j I H I < I j I k - y II ^ £ d o đ ó Vì s đóng bị chặn không gian hữu hạn chiều nên ánh xạ / : s —>■M xác định sau tu I k + 2/11 / ( ( ^ / ) ) = õ s compact, xét 33 Do / liên tục tập compact s nên đạt cận trên, tồn (xo, yo) £ s cho \\x + y\\ < Ik o + 2/ 0II < Với ỗ (e) đủ bé ta có 2 với (x, y ) E s Vậy tập X lồi Dưới đây, ta đưa ví dụ không gian lồi ngặt, lồi không gian lồi ngặt mà không lồi V í d ụ 3.2.1 Không gian (R2, ll-l^) không gian lồi ngặt Không gian (R2, ||.||2) không gian lồi nên lồi ngặt V í d ụ 3.2.2 Cho X = C[0; 1], X ta xét chuẩn tương đương sau ||x ||0 = m a x { |x ( í) |, t e [0; 1] } kr I 11 = \\x II 1L 10 + ( ị x 2(, V t)dtj pL £ (0, 1] Khi (X, ||.||0) không gian không lồi ngặt với x(t) = t y(t) = t ta có |Ịrr + 2/||0 = Tuy nhiên, ll-ll^) không gian lồi ngặt không lồi T hật vậy, lấy X, y E X cho ll^ll^ = 1,11^11^ = l , x 7^ y Giả sử ll2' + y\\ịi = 2) ta có: ( } I k + y ll/i = I k + y llo + V ụ , ỳ M * ) + y i t ) ) 2^ j J (x ( t ) + y { t ) f d t = J (x 2(t) + 2x{t)y{t) + y 2(t))dt 0 < /1 V / V J x 2(t)dt-ị-2 ỊJ x 2(t)dt Ị Ị J y 2(t)dt Ị Vo /V o / + J y 2(t)dt 34 ( ị æ2(t)d t^ y\ o + ị í y 2( t ) d t ^ / ; Vo Suy = Ik + ỉ / l l ^ 11*11,, + IMh = Dấu 55 = ” xảy / Suy 1 [x(í)y(s) — x(s)y(t)]2dtds = 0 Do x(t), y ( t ) liên tục tích phân theo Riemann tích phân theo Lebesgue [0; 1] X [0; 1] nên x(t)y(s) —x(s)y(t) = với t, s € [0,1] Do tồn A cho x ( t ) = Ay(t) Vì \\x\\ = ịịyịị^ nên A = ± Nếu À = X = y, điều mâu thuẫn với X Ỷ V- Nếu A = —1 x + y = 0, mâu thuẫn với ||rr + y II = Vậy, ||rr + y\\ < suy ( x , ll-ll^) lồi ngặt Để chứng minh X không lồi ta lấy hai dãy sau n —nt x n(t) = n + n , —2 nt Vn(t) = n + Khi ta có h r« = + n+1 \%n < 2n 2/n IỊ,y ^ ll^n ÿ V n J l ( _ n + 1V4 n 2/n 11n ^ ^ 2(n + l)e \%n + VnWfj, — —q—j- + < An ^ J (e nt + e 2ní) dtJ ' 2e Đ ịn h nghĩa 3.2.3 Cho X không gian Banach, môđun lồi X hàm : [0,2] ->• [0,1] xác định công thức ỗ(e) = inf 1 — x +y Đặc trưng lồi không gian Banach X £oPO = sup {£ £ [0) 2] : ổ(e) = 0} Đ ịn h lý 3.2.1 Môđun ỉồỉ ỏ hàm liên tục [0,2) tăng ngặt [£0) 2) Chứng minh Đặt ^i(e) = £ổ(e) với £ £ (0, 2) Vì ỏ hàm tăng nên với £ị, £2 G (0, 2) ta có |^i(£i) — ^ 1(^2)! = |£i £ —>■0+ mà ổ(0) = Vậy hàm ỏ liên tục [0,2) Với £ E [£To, 2), lấy X G X : \\x\\ = y = (1 — è)x Ta có |Ịrr — y\\ = £, — \ |Ịrr + y II = f Vậy, ố(e) < I với £ e [£o, 2) Ta chứng minh hàm ỏ tăng ngặt phản chứng Giả sử tồn E\ < £2 [er0,2) cho 0, £o = 0Ngược lại, £o = ổ(s) > với £ > X+ V 38 với X, y £ X thỏa mãn ||a;|| ^ 1, ||y|| ^ 1, \x y II ^ E Vậy, không gian X lồi 2) Lấy x , y £ X cho \\x\\ < 1, ||y|| < 1, ||rr — y II ^ Khi ta có Ill'll + II- y\\ = ll2' + (—ỉ/)II = 2- Do X lồi ngặt nên tồn À > cho X = A(—y) Vì \\x\\ = ||—y\\ nên À = Do X + y = 0, suy ổ(2) = Với X, y £ X thỏa mãn \\x\\ = 1, ||y|| = 1, X ỹ£ y, giả sử ||rr + y II Vì [...]... im bt ng ca ỏnh x khụng gión trong khụng gian Banach nh x T t khụng gian mờtric (X, d) vo khụng gian mờtric (Y, p) c gi l khụng gión nu vi mi X, y Ê X ta cú p ( T x , T y ) < d( x, y) Ta xột vớ d sau: Gi B l hỡnh cu n v úng trong khụng gian Co (khụng gian ca cỏc dóy s hi t n 0 vi chun sup) Vi mi X = ( x i , x 2 , ) Ê B ta t T x = (1, Xi, X 0 u cha im X Ê H sao cho su p { ||x z II : z E H } < d a m H õy d a m H = sup{||w V II : u , v G H } l ng kớnh ca H V ớ d 3.1.1 Mi tp hp compact trong khụng gian Banach u cú cu trỳc chun tc T ht vy, ta chng minh bng phn chng Gi s tn ti tp compact K trong khụng gian Banach X sao cho... n h n g h a 3.1.4 Tp li, b chn K trong khụng gian Banach X c gi l cú cu trỳc chun tc u nu tn ti c Ê (0; 1) sao cho r ( D ) ^ c damD vi mi tp li úng D c K , trong ú r (D ) = inf sup ||i4 u|| ueD veD n h lý 3.1.1 Nu khụng gian Banach X cú cu trỳc chun tc u thỡ X phn x Chng minh Ly dóy {K } c X l dóy gim cỏc tp li, úng, b chn t c = sup I d ^ c c ^ tp con li úng b chn trong X} Vỡ X cú cu trỳc chun tc... metric phự hp ụi khi rt hu ớch trong cỏc ng dng bi vỡ nú cung cp nhng c tớnh ỳng theo tc hi t ca cỏc ln lp Cú l cõu hi hin nhiờn thng c xut hin khi nghiờn cu v ỏnh x co l : iu gỡ xy ra khi k ( T ) = 1 Vớ d c bn T x = X + 1 vi X Ê M ch ra rng iu ngc li ca nguyờn lý ỏnh x co Banach khụng ỳng Tuy nhiờn trong ni dung ca mt lp khụng gian cỏc tp con li, úng v b chn ca khụng gian Banach mt gi thit im bt ng... ớch giỳp khai thỏc sõu hn ni dung ca nh lý Ngoi ra trong chng ny chỳng tụi cũn chng minh nh lý Caristi v a ra mt s vớ d a dng v ng dng ca nguyờn lý ỏnh x co Banach: Gii bi toỏn Cụsi ca phng trỡnh vi phõn ( c chng minh bng ba cỏch khỏc nhau), thit lp t ng dng, cn bc hai trong i s Banach 2.1 N gu yờn lý ỏnh x co Banach n h n gha 2.1.1 Cho M l mt khụng gian mờtric vi mờtric p Mt ỏnh x T : M > M c gi l...6 T ớn h c h t 1.3.9 Mt khụng gian Banach phn x khi v ch khi tha món mt trong nhng iu kin (tng ng) di õy: a) X* phn x b) 5 (0 ; 1) compact yu trong X * c) Bt kỡ dóy b chn no trong X u cú mt dóy con hi t yu d) (James (1964)) Vi bt k tp con li, úng v b chn K no ca X v bt k X* Ê X * , tn ti X K , x*{x)... 3.2 K u K u D D Kn D < kn damK < kn damK >0 khi n >00 Theo nguyờn lý Cantor ta cú n^L i Kn 7^ gim cỏc tp li úng b chn cú giao khỏc rng, theo nh ra khụng gian Banach X phn x M ụ un li v c trng li n h n gha 3.2.1 Khụng gian Banach X c gi l khụng gian li ngt nu vi mi X y tha món ||x|| < 1, ||y|| < 1 thỡ 11^ 2^11 < 1 ... trỡnh by c th phn sau Nú tng ng vi nguyờn lý cc tiu húa Ekeland ( Ekeland, 1974 )(gi thit cú tiờn chn) v cú rt nhiu ng dng trong gii tớch im bt ng trong c hai trng hp khụng nht thit duy nht v trong vớ d th hai dóy { T nx o} khụng cn hi t ti mt im bt ng ca T N h n x ộ t 2.1.3 Trong cỏch chng minh th ba cho thy gi nh k ( T ) < 1 rt cn thit, nú tha món gi nh k ( T n) < 1 i vi mt n c nh no ú iu ny cng... 0 t f(s,x(s)) - f(s,y(s))\ds 0 0 hay IIF x F y II < L T ||x y II Ngha l k ( F ) < LT Nu L T < 1 thỡ kt qu s suy ra ngay t nguyờn lý ỏnh x co Banach Tuy nhiờn, nu L T ^ 1 ta ly h > 0 tha món L h < 1 v xột trong khụng gian (7[0; h] Bng vic thay th T bi h trong lý lun trờn chỳng ta thu c mt "nghim a phng" ca (2.10) gi l Xq Ê c [ 0] h] Bõy gi xột bi toỏn Cụsi trờn [/i; 2h]: Zl'(ớ) = / ( M l ( ớ ) )