Luận văn thạc sĩ điểm bất động của ánh xạ kiểu giãn trong không gian metric nón

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI Hng Hnh IM BT NG CA NH X KIấU GIN TRONG KHễNG GIAN METRIC NểN LUN VN THC s TON HC Hng Hnh H Ni Nm 2015 B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI IM BT NG CA NH X KIấU GIN TRONG KHễNG GIAN METRIC NểN Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC s TON HC NGềI HểNG DN KHOA HC: TS H c Vng H Ni Nm 2015 Li cm n Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca TS H c Vng S giỳp v hng dn tn tỡnh, nghiờm tỳc ca thy sut quỏ trỡnh thc hin lun ó giỳp tỏc gi trng thnh hn rt nhiu cỏch tip cn mt mi Tỏc gi xin by t lũng bit n, lũng kớnh trng sõu sc nht i vi thy Tỏc gi xin trõn trng cm n Ban giỏm hiu trng i hc S phm H Ni 2, phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo nh trng ó giỳp , to iu kin thun li cho tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun H Ni, ngy 21 thỏng nm 2015 Tỏc gi Hng Hnh Li cam oan Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni Tụi xin cam oan lun ny tụi t lm di s hng dn ca TS H c Vng Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh lun tụi ó k tha nhng thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc v ng nghip vi s trõn trng v bit n Tụi xin cam oan rng cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc H Ni, ngy 21 thỏng nm 2015 Tỏc gi Hng Hnh Ill Bng kớ hiu N Tp s t nhiờn R Tp s thc c Tp s phc int(P) Tp rng Phn ca p d Quan h th t theo nún p Metric dp Metric nún Kt thỳc chng minh Mc lc KT LUN 41 Ti liu tham kho 42 Li m u Lý chn ti Mt hp M tựy ý khỏc rng v ỏnh x T : M > M Nu tn ti X Q M m Tx = X Q thỡ X Q c gi l im bt ng ca ỏnh x T trờn hp M Chng hn xột ỏnh x T : R > R xỏc nh bi: Tx = 2x Ta cú Xo = thỡ Tx = Ti = = x Vy x l im bt ng ca ỏnh x T trờn hp M Cỏc kt qu nghiờn cu v lnh vc ny ó hỡnh thnh nờn Lý thuyt im bt ng (fixed point theory) Lý thuyt im bt ng phỏt trin gn lin vi tờn tui nhiu nh khoa hc ln trờn th gii nh: Banach, Brouwer, Shauder, Tikhonov, Sadovski, KyFan, Ta ó bit, vi hp X bt k nh x d : X X X > R tha cỏc tiờn v metric c gi l mt metric trờn X Nh vy giỏ tr ca metric l mt s thc Nm 2007, Huang Long Guang v Zhang Xian l hai nh toỏn hc ngi Trung Quc ó gii thiu khỏi nim metric nún bng cỏch thay s thc nh ngha metric bi mt nún nh hng khụng gian Banach thc Cỏc tỏc gi ó gii thiu khỏi nim v s hi t v tớnh y ca khụng gian ng thi cỏc tỏc gi ó gii thiu kt qu v im bt ng ca ỏnh x co lp khụng gian ny Sau ú nhiu nh toỏn hc ó quan tõm v cỏc kt qu v im bt ng khụng gian metric nún ó ln lt c cụng b Nm 2011, Sarla Chouhan v Neeraj Malviya l hai nh toỏn hc ngi n ó cụng b kt qu v im bt ng cho lp ỏnh x kiu gión khụng gian metric nún qua bi bỏo A Fixed Point Theorem for Expansive Type Mappings in Cone Metric Spaces [6] Vi mong mun tỡm hiu sõu hn v im bt ng ca ỏnh x kiu gión khụng gian metric nún, c s hng dn ca tin s H c Vng, tụi chn ti nghiờn cu: im bt ng ca ỏnh x kiu gión khụng gian metric nún. Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu v im bt ng ca ỏnh x kiu gión khụng gian metric nún Nhim v nghiờn cu Tng hp kt qu v im bt ng ca ỏnh x kiu gión khụng gian metric nún i tng v phm vi nghiờn cu Nghiờn cu v khụng gian metric nún v im bt ng ca ỏnh x kiu gión khụng gian metric nún Ni dung chớnh da vo hai bi bỏo: Cone Metric Spaces and Fixed Point Theorems of Contractive Mapping ca Huang Long Guang v Zhang Xian [3] A Fixed Point Theorem for Expansive Type Mappings in Cone Metric Spaces ca Sarla Chouhan v Neeraj Malviya [6] Phng phỏp nghiờn cu Dch, c v nghiờn cu ti liu Tng hp, phõn tớch, dng kin thc cho mc ớch nghiờn cu úng gúp ca ti Lun l bi tng quan v im bt ng ca ỏnh x kiu gión khụng gian metric nún Lun c trỡnh by vi hai chng ni dung Chng Kin Thc chun b Trong chng ny chỳng tụi trỡnh by mt s khỏi nim c bn v khụng gian metric, s hi t khụng gian metric, khụng gian metric y Tip theo chỳng tụi trỡnh by khỏi nim c bn v khụng gian Banach v cui cựng l nguyờn lớ ỏnh x co Banach Chng im bt ng ca ỏnh x kiu gión khụng gian metric nún Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by mt s khỏi nim c bn v nún, khụng gian metric nún, s hi t khụng gian metric nún v kt thỳc l nh lớ v im bt ng ca ỏnh x kiu gión khụng gian metric nún Chng Kin thc chun b Trong chng ny chỳng tụi trỡnh by mt s khỏi nim c bn v khụng gian metric, khụng gian metric y , khụng gian Banach v cui cựng l Nguyờn lý ỏnh x co Banach 1.1 Khụng gian metric nh ngha 1.1.1 [1] Khụng gian metric l mt hp X cựng vi mt ỏnh x d : X X X > M, tha cỏc iu kin sau: d(x,y) ^ 0,d(x,y) = X = y, Va;, y X] d ( x , y ) = d ( y , x ), \ / x , y e X ] d ( x , y ) ^ d ( x , z ) + d ( z , y ) , Va;, y , z e X nh x d gi l metric trờn X S d(x, y) gi l khong cỏch gia hai phn t X v y Cỏc phn t ca X gi l cỏc im Khụng gian metric c kớ hiu l (X, d) Vớ d 1.1.1 Cho Ca , l cỏc hm s thc liờn tc trờn on [a, b], ta t a^t^b d(x, y) = max |a?(ớ) y(t) I vi mi X = x ( t ) , y = y ( t ) e C [ a M Khi ú {C [ a b ] ,d) l mt khụng gian metric nh ngha 1.1.2 [1] Cho khụng gian metric (X, d), dóy {x} c X, im XQ X Dóy {x} c gi l hi t n im X Q n > oo nu vi Ve > 0, 3n0 G N*, vi Vn ^ n thỡ d(x n , Xo) < e Hay lim d(x n , x0) = 71> 00 Ký hiu lim x n = x hay x n > x , n > oo 71y 00 im x c gi l gii hn ca dóy {x} X nh ngha 1.1.3 [1] Cho khụng gian metric ( x , d ) Dóy {x} c X c gi l dóy Cauchy, nu vi Ve > 0, 3n G N*, Vn, m ^ n thỡ d(xn, hay 71,771> 00 lim d ( x n , x m ) = Vớ d 1.1.2 Cho khụng gian metric ((7[0 1], d) vi metric d c nh ngha nh sau: cho ôCp c v K\\c\\ < Ê Khi ú, t {xn l dóy Cauchy nờn tn ti s t nhiờn N cho dp(x n , x m) ôCp c vi mi n,m > N Vỡ p l nún chun tc vi hng s chun tc K nờn ta cú \\dp(x n , x m ) II ^ -K||c||, vi mi m,n> N Hay dp(x n , x m )\\ < Ê, vi mi m,n > N Vy n,mẽOO lim dp(x n ,x m ) = Ngc li ta cú, vi mi c G E m ôCp c, tn ti ụ > cho ||ổ|| < ụ thỡ c X G int(p) (do int(p) l m) Vi ụ > xỏc nh nh trờn tn ti N cho \\dp(x n ,x m )\\ N Suy ra, c dp(x n ,x m ) G int(p) Ta nhn c dp(x n ,x m) ôCp c vi mi n, m > N, tc l lim dp(x n , x m ) = n,mùoo Vy {rn l dóy Cauchy X nh lý 2.2.6 [3] Nu {rn l dóy hi t khụng gian metric nún (X, dp) thỡ nú l dóy Cauchy Chng minh Gi s lim x n = X , X G X Khi ú, vi mi c G E, 00 s t nhiờn N cho Q dp(x n ,x) N Vỡ vy, vi mi m,n > N, ta cú c c dp(x m , x n ) ^p dp(x n , x) T dp(x m , x) ^Cp 2 = c Vy lim dp(x n , x m ) = n,m>oo Ta cú dóy {x n} l dóy Cauchy dp(x,y) = (a\x - y\,p\x - y\) = (a\x - z + z - y\, (3\x - z + z - y\) i a \ x - Z IP\ X - z \) + i a \ z - y\>p\ z - y\) = d p (x, z) + d p (z, y), Vx, y,z e X Nhn xột 2.2.1 T nh ngha v metric nún ta nhn thy, nu p l mt nún khụng gian Banach thc E v (X, dp) l mt khụng gian metric nún thỡ V, v,w X, u ôCp V, V ôCp w ta cú u w Vi k, k , k , k, k l cỏc s dng, nu lim x n = X , lim y = y , lim z = z , lim t = t n-too n n-too n n-too n n-too v a X, ta cú ka ! el :x n >0,\/n>l} t = I ^ ^ ằ n> Vx G 2, Vớ > Xỏc nh ỏnh x dp X X X y E vi d p {i,^) = ĂXi -Xj\ = , V, j = 1, 2, Khi ú (X, dp) l khụng gian metric nún y J n> nh ngha 2.2.4 [2] Cho ( x , d ) l khụng gian metric v ỏnh x T :X ^ X Nu tn ti hng s k > tha d (Tx, Ty) < kd (z, y), Va;, y G X, thỡ T c gi l ỏnh x Lipschitz hay ỏnh x fc-Lipschitz Nu < k < thỡ T c gi l ỏnh x co Nu k = thỡ T c gi l ỏnh x khụng gión nh lý 2.2.7 [5] Cho (x,d p) l khụng gian metric nún y , p l nún chun tc vi hng s K Gi s T ; X > X l ỏnh x co, tc l dp (Tx,Ty) < p kdp (x,y), Va;, y G X, vi k G [0,1) Khi ú T cú im bt ng nht Chng minh Chn X o G X Ta xõy dng dóy lp bng cỏch t X = T X Q , X2 = Tx = Tl , Ta cú dóy lp {xn xỏc nh bi X n + = Tx n = = T"+1 Ta cú dp (3^71+1 ỡ % rỡ) dp (Tx n , Tx n_ ) ^p kd (x n , x n 1) P k d (ớt'TI 1J X n 2) P p k d (ớt' 1J 3-0) Do ú vi n > m thỡ dp (3^77, 3-771 ) ^p dp (3^ 3-711) T dp (xn_ 13 ớt^Ti 2) T " T dp (ớt'rn +1 3-771 ) p (^n T k n + + fcm) dp { x \ ỡ 3^o) 00 Vy {3:77} l dóy Cauchy X l khụng gian y nờn ta cú limx n = X* G X >0 77 Bõy gi ta chng minh X* l im bt ng ca ỏnh x T X Ta suy dp (Tx*,x*) ^p dp (Tx n ,Tx*) + dp (Tx n ,x*) d(x,y), Va;,y X thỡ T c gi l ỏnh x gión nh lý 2.3.1 [7] Cho (x,dp) l mt khụng gian metric nún v {x n} l mt dóy X Nu tn ti s k (0,1) cho dp (xn+i, Xn') P kdp (x n *^TI ) ! ^ 1)2, (l) thỡ {n l dóy Cauchy X Chng minh T iu kin (1) ta suy d p [ x i 1+1, x n ) ^ p k d p [ x n ỡ x n i) P k d p (ớt-ri 15 (*Ê712) P P k d p (xi, Xo) Vỡ vy vi n > m ta cú dp(x 71 ! ) P dp (x n ỡ xn_i) T dp (X P 71 X r ) T T dp (ớt'rn +13 ) (k n + T k n + + + fcm) dp (xi, Xo) < p d { x 1,X0 ) Vi c E, cho c + N s (0) c p, õy Ng(0) = {y G E : \\y\\ < } l - lõn cn ca Khi ú vi s t nhiờn N cho dp(x 1, Xo) G N(0), Vra > Ni, ta cú d p (x 1,X0) < c Hay km dp{x nJ x m ) m 1+K Vy {x n} l dóy Cauchy X nh lý 2.3.2 [7] Cho ( x , d ) l mt khụng gian metric nún y v T : X > X l mt ton ỏnh Gi s rng tn ti ai,a ,a > vi dl + a + a3 > cho d(Tx,Ty) > a d(x,y)+a d(x,Tx)+a d(y,Ty), Vx,yeX,x^y (2) thỡ T cú im bt ng X Chng minh Vi gi thit ta cú T l n ỏnh Gi G l ỏnh x ngc ca T, tc l G = T~ l Chn ẽQ s 1, ta lp dóy lp nh sau: t Xi = GXQ, X2 = Gx = G2X0, xn+1 = G x n = G n + X , Khụng mt tớnh tng quỏt ta gi s rng X (Vỡ nu cú n m Xn a -1 n -1 x n, Vn = 1, 2, = Xn a thỡ hin nhiờn Xn a l im bt ng ca G v chớnh l im bt ng ca T) T iu kin (2) ta cú dp(x n - U x n ) = dp (TT~ x n -i, TT~ x n ) p> aidp (T~ l x n -i ) T~ l x n ) + a dp (T~ l x n -i ) TT~ l x n -i) + a dp (T~ l x n _ l ,TT~ l x n ) dp [Gx n J Gxiỡ) a dp [Gx n J x n i'j a dp (Gx n J x n) ttdp x n T a dp x n X n 1) T a dp (ớCn+i; x n) Vy ta cú (1 - a ) d p ( x n - u x n ) p > (i + ) d p ( x n + u x n ) Nu d + a3 = thỡ d + a2 + a3 > suy a2 > 1, bt ng thc trờn dn n iu vụ lý Vy i + a 7^ v a2 >0 Ta cú dp (3-71+1) 3'iỡ) P (*En 1) \d n) (oi + ô3) t h = 1~Q2 ta cú dp (x n + i, x n ) 00 t z = Tu vi u Ê X ta cú dp{x n , z) dp(Txn-- , Tự) p> d l dp{x n + l ỡ u) + d dp(x n + , x n ) + d dp(u, Tu) Cho n > 00 ta cú > (i + d )d(u, z) Do di + a3 0- Vy ta cú d (u, z) = 0, hay u = z = Tu Sdo cho d(Tx, Ty) p > kd(x, y), Vx, y Ê X (3) Thỡ T cú im bt ng nht X Chng minh Trong nh kớ 2.3.2 ta chn = = 0, d = k thỡ T cú im bt ng z X Bõy gi ta chng minh tớnh nht ca im bt ng Gi s w cng l im bt ng ca T X T iu kin (3) ta cú d p (z,w)= dp (Tz, Tw) p > kdp (z, w) Vỡ k > ta suy dp (z, w) = 0, vy Z = w Hay im bt ng ca T X l nht nh lý 2.3.4 [6] Cho (x,dp) l mt khụng gian metric nún y vi p l nún khụng gian Banach thc E T : X > X l mt song ỏnh tha món: d p ( T p , T , j ) + k [ d p (x, T y ) + d p ( y , T p ) ] r > a d p ( x , T p ) + b d p ( y , T y ) + c d p ( x , y ) , (2.1) vi Vx,y Ê X,x ^ y, a,b,c,k > 0, a + ũ + c>l + 2fc>ũ + c>fc, c > 2k Khi ú T cú im bt ng nht Chng minh Cho Xo l mt im tựy ý X, cú Xi X cho T{xi) = X Q Ta lp dóy lp, t x n = Tx n + 1, n = 0,1, 2, (2.2) Ta cú dóy {x n} c X Nu x n = X n+ vi mt s n thỡ ta cú x n l im bt ng ca T Gi s rng khụng cú hai im liờn tip no ca dóy {x n} l trựng Trong (2.1) ta ly X = X ngha l dp(T 3>n +1 Tx n + ) + k [dp{ 3>n +1 Tx n + 2) + dp{ 3>n+ Tx n + 1)] TXfL+i') T bdp(x n j r J TXftjp 2) T cdp((rn+i, x n j r ) Ta suy n+ v y = x n+ cú dp{x n ỡ 3*71+ l) T k [dp(x 71+1) *^71+ l) T ^p(*^7l+2) *^71)] P đ^p(*^7l+l) *Ê71) T bdp(x n -- 2ỡ *Ê71+1) T cdp(x n --l *Ê71+2) Hay dp[x 7J, 3?n+l) T k dp(x n --2, 3?7i+l) T dp(x n --1, 3?n)] Cp(3'7i+l) *Ê71) T bdpx 71+2) *Ê71+1) T cdp(3yjj+ij Ê71+2) Tc l (1 + k- a)dp(x n + 1,x n ) > {b + c- k)dp(x n + 1,x n + ) Vy ^P(*ETI+1 J *Ê71+2) P p _|_ j dp (*^ằ1! %n+1) Do ú ta cú ^>(*Ê71+1) *Ê71+2) P Hdp {x n , 1) , ú H = = < l ; v ỡ a + + c> + 2fc nờn ta cú H < Hay ta cú d{x n , x n + i) < Hd(x n -I,x n ), H e [0,1) Do ú ta cú d(x n ,x n + ) < H n d(x ,x ) (2.3) Bõy gi chỳng ta chng minh rng {x n} l mt dóy Cauchy Vi mi s nguyờn dng k ta cú dp{xn xnj-p^ dp(xn, 3?n+i) T d p ( x x j - i J xn--2'j H n + k ~ l ) d p { x 0, Zi) T T d p ( ^ x n j r i c i J 3?n+fc) 0 nờn ta cú d(x, y) = Vy x = y, (2.4) hay X l mt im bt ng ca T Bõy gi ta chng minh tớnh nht ca im bt ng Gi s z cng l im bt ng khỏc ca T, thỡ ta cú Tz = z Vỡ d p (x, Z) = d p (Tx, Tz) p> k [dp(x, Tz) + dp(z, Tx)] + adp(x, Tx) + bdp(z, Tz) + cdp(x, Tz) = fc [dp(ổ, z) + dp(z, ổ)] + cdp(x, z) = (2k + c)d(x, z) Vy ta cú d p (x,z) < M c > 2k nờn -3^ > ta cú d(ổ, z) = Vy X = z , hay X l im bt ng nht KT LUN Lun chỳng tụi trỡnh by gm hai chng ni dung Chng Kin thc chun b Trong chng ny chỳng tụi ó trỡnh by cỏc khỏi nim c bn v khụng gian metric, khụng gian Banach v trỡnh by chi tit nguyờn lý ỏnh x co Banach Chng im bt ng ca ỏnh x kiu gión khụng gian metric nún Trong chng ny chỳng tụi ó trỡnh by cỏc khỏi nim v nún, nún chun tc, t ú trỡnh by khỏi nim v khụng gian metric nún, s hi t khụng gian metric nún Tip theo chỳng tụi trỡnh by kt qu v im bt ng ca lp ỏnh x co khụng gian metric nún v cui cựng l kt qu v im bt ng ca lp ỏnh x khụng gión khụng gian metric Kt qu chớnh ca lun ó c tỏc gi Sarla Chouhan v Neeraj Malviya gii thiu bi bo "A Fixed Point Theorem for Expanxive Type Mappings in Cone Metric Spaces" (2011) trờn International Mathematical Form Ti liu tham kho [A] Ti liu ting Vit [1] Nguyn Ph Hy (2005), Gii tớch hm, NXB Khoa hc- K thut H Ni [2] Hng Tõn, Nguyn Th Thanh H (2002), Cỏc nh lý im bt ng, NXB i hc quc gia H Ni [B] Ti liu ting Anh [3] Huang Long Guang, Zhang Xian (2007), Cone Metric Spaces and Fixed Point Theorems of Contractive Mappings, J Math Anal Appl 332, 1468-1476 [4] Sh Rezapour and R Hamlbarani (2008), Some Notes on The Pa per Cone Metric Spaces and Fixed Point Theorems of Contractive mappings, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 345, No 2, 719- 724 [5] I Sahin and M Telci (2009), Fixed Points of Contractive Mappings on Complete Cone Metric Spaces, Hacettepe Journal of Mathematics and statistics, Vol 38, No.l, 59-67 [...]... suy ra T là ánh xạ CO Hơn nữa K, là không gian metric đầy đủ nên theo Nguyên lý ánh xạ CO Banach thì ánh xạ T có điểm bất động duy nhất, nghĩa là phương trình đã cho có nghiệm duy nhất □ Chương 2 Điểm bất động của ánh xạ kiểu giãn trong không gian metric nón Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm về nón, nón chuẩn tắc và xây dựng quan hệ thứ tự xác định bởi nón trong không gian Banach... thực Sau đó chúng tôi trình bày khái niệm về metric nón, không gian metric nón và sự hội tụ trong không gian metric nón Cuối cùng chúng tôi trình bày kết quả về điểm bất động của ánh xạ kiểu giãn trong không gian metric nón 2.1 Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 2.1.1 [3] Cho E là không gian Banach thực, tập con p của E được gọi là một nón khi và chỉ khi 1 p không rỗng, p đóng và p Ỷ {0}; 2 ữ, b € M, ữ,... ( x , d ) là không gian metric và ánh xạ T :X ^ X Nếu tồn tại hằng số k > 0 thỏa mãn d (Tx, Ty) < kd (z, y), Va;, y G X, thì T được gọi là ánh xạ Lipschitz hay ánh xạ fc-Lipschitz Nếu 0 < k < 1 thì T được gọi là ánh xạ co Nếu k = 1 thì T được gọi là ánh xạ không giãn Định lý 2.2.7 [5] Cho (x,d p) là không gian metric nón đầy đủ, p là nón chuẩn tắc với hằng số K Giả sử T ; X —> X là ánh xạ co, tức là... I|rc — y II thì ta có (V, d ) là không gian metric Vậy mọi không gian định chuẩn đều là không gian metric 1.3 Nguyên lý ánh xạ co Banach Định nghĩa 1.3.1 [2] Cho không gian metric (X, d) Ánh xạ T : X —> X được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số k € [0,1) sao cho d(Tx,Ty) ^ kd(x,y), Vx,y £ X Ví dụ 1.3.1 Cho X = R và ánh xạ T : X —> X xác định bởi T x = ịx thì T là ánh xạ co d{Tx,Ty) 1 1 3 \x - y\ = 3đ{x,y)... ) d p ( x , z ) + d p ( z , y ) , Vx, y , z e X Vậy (X, dp) là không gian metric nón Sau đây chúng tôi trình bày về sự hội tụ trong không gian metric nón 2.2 Sự hội tụ trong không gian metric nón Định nghĩa 2.2.1 [3] Cho ( x , d p ) là một không gian metric nón, {x„} là một dãy trong X và X thuộc X Dãy {xnỊ được gọi là hội tụ (hội tụ nón) tới X nếu với mọi c thuộc E thỏa mãn 0 -00 71—y 00 X*) = 0, nên ta suy ra d(Tx*,x*) = 0 hay Tx* = X*, nghĩa là X* là điểm bất động của ánh xạ T... 1 2 ị 0 nếu 1 < t ^ 1 2 1 Vậy x(t) không liên tục tại t = nên x(t) ặ c 1J £à Do đó, dãy x n (t) không có giới hạn nào trong không gian Cị ữ 1J, hay dãy {x n (t)} không hội tụ tới một x(t) trong c^ 1J Vậy cị không là không gian Banach Nhận xét 1.2.1 1 Trên cùng một tập hợp X, ta có thể trang bị các metric khác nhau để được các không gian metric khác nhau Trong không gian định chuẩn (V, ||.||) nếu đặt... là một dãy Cauchy trong (Cị 0 !], d) Định nghĩa 1.1.4 [1] Không gian metric (X, d) được gọi là không gian metric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ tới một điểm thuộc X Ví dụ 1.1.3 Không gian Cị a Ị,Ị các hàm số liên tục trên [a,b] với metric d(x,y) = max | æ(t) — y(t) I là không gian metric đầy đủ a^t^b Ví dụ 1.1.4 Cho X là tập hợp tất cả các hàm số X (t) liên tục trên không gian metric K, sao cho... (t) Ệ X, mâu thuẫn với giả thiết X (t) G X Mâu thuẫn trên chứng tỏ tồn tại một dãy Cauchy trong không gian (x,d) nhưng không hội tụ đến phần tử trong (x,d) Do đó (x,d) là không gian metric không đầy đủ 1.2 Không gian Banach Định nghĩa 1.2.1 [1], Cho X là không gian tuyến tính trên trường K (thực hoặc phức) Một ánh xạ II • II : X —> M được gọi là một chuẩn nếu 1 ||a;|| ^0, Va; G X ||a;|| = 0 X = 6 2 II