tóm tắt luận án tiến sĩ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THẾ ANH ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất Thống kê toán học Mã số: 62 46 01 06 (Dự thảo) TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội- 2014 Cơng trình hồn thành tại: ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN-ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Đặng Hùng Thắng Phản biện : Phản biện : Phản biện : Luận án bảo vệ Hội đồng cấp ĐHQG chấm luận án tiến sĩ họp trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà nội vào hồi …… giờ……….ngày…….tháng…… năm ……… Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin-Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội MỞ ĐẦU Lý thuyết phương trình tốn tử ngẫu nhiên, điểm bất động ngẫu nhiên nghiên cứu từ năm 1950 trường Prague O Hans, A Spacek cơng trình A T Bharucha-Reid năm 1972, 1976 Mở rộng toán điểm bất động ngẫu nhiên toán điểm trùng ngẫu nhiên, nghiên cứu toán tử đa trị, cặp toán tử đơn trị đa trị Mở rộng kết trên, ta xây dựng tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Φ từ LX (Ω) vào LX (Ω) mà hạn chế Φ X trùng với toán tử ngẫu 0 nhiên f Nội dung luận án bao gồm định lý thác triển toán tử ngẫu nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, kết nghiên cứu điểm bất động, điểm trùng toán tử hồn tồn ngẫu nhiên Từ áp dụng để giải nghiệm phương trình tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Luận án gồm chương Chương trình bày cách tổng quan khái niệm kết liên quan đến định lý điểm bất động điểm trùng ngẫu nhiên toán tử ngẫu nhiên Các kết chương trích dẫn khơng có chứng minh chi tiết Chương trình bày khái niệm tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên, định lý thác triển tốn tử ngẫu nhiên thành tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên, tính liên tục theo xác suất tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Tiếp theo, chương trình bày kết nghiên cứu điểm bất động số dạng tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Cuối cùng, số kết điểm trùng tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên đề cập đến Nội dung chương định lý tồn điểm bất động điểm trùng tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Chương trình bày kết nghiên cứu ứng dụng định lý điểm bất động, điểm trùng tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Các ứng dụng chứng minh tồn nghiệm phương trình tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên sử dụng định lý điểm trùng ngẫu nhiên để chứng minh tồn điểm bất động ngẫu nhiên Nội dung chương định lý tồn nghiệm phương trình tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ TỔNG QUAN 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Định nghĩa Ánh xạ f : Ω × X → Y gọi toán tử ngẫu nhiên từ X vào Y với phần tử x ∈ X ánh xạ ω → f (ω, x) biến ngẫu nhiên Y -giá trị xác định X Toán tử ngẫu nhiên từ X vào X gọi toán tử ngẫu nhiên X Toán tử ngẫu nhiên từ X vào R gọi phiếm hàm ngẫu nhiên 1.1.2 Định nghĩa Cho f, g : Ω × X → Y hai toán tử ngẫu nhiên Toán tử ngẫu nhiên f gọi toán tử ngẫu nhiên g với x ∈ X f (ω, x) = g(ω, x) h.c.c., (1.1) tập ω mà f (ω, x) = g(ω, x) nói chung phụ thuộc vào x 1.1.3 Định nghĩa 1) Tốn tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y gọi đo ánh xạ f : Ω × X → Y F × B(X)-đo 2) Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y gọi liên tục với ω quỹ đạo f (ω, ) f toán tử liên tục từ X vào Y 3) Tốn tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y gọi Lipschitz với ω quỹ đạo f (ω, ) toán tử Lipschitz, nghĩa tồn số thực k(ω) cho với x, y ∈ X d(f (ω, x), f (ω, y)) ≤ k(ω)d(x, y) (1.2) 4) Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y gọi co f toán tử Lipschitz với k(ω) ∈ [0; 1), ∀ω ∈ Ω 1.1.4 Định lý ([29]) Cho X, Y không gian Polish f : Ω × X → Y tốn tử ngẫu nhiên liên tục Khi f tốn tử ngẫu nhiên đo Hơn ξ : Ω → X biến ngẫu nhiên ánh xạ ω → f (ω, ξ(ω)) biến ngẫu nhiên Y -giá trị 1.1.5 Định nghĩa (Điểm bất động ngẫu nhiên) Biến ngẫu nhiên ξ : Ω → X gọi điểm bất động ngẫu nhiên toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → X f (ω, ξ(ω)) = ξ(ω) h.c.c (1.3) Ta nhận thấy f : Ω × X → X có điểm bất động ngẫu nhiên với ω ∈ Ω, f (ω, ) có điểm bất động X Ngược lại khơng 1.1.6 Định nghĩa Phương trình tốn tử ngẫu nhiên đơn trị phương trình có dạng f (ω, x) = g(ω, x) (1.4) với f, g : Ω × X → Y toán tử ngẫu nhiên từ X vào Y 1.1.7 Định nghĩa 1) Phương trình (1.4) gọi có nghiệm tất định với hầu hết Ω tồn tập D có xác suất cho với Ω ∈ D tồn phần tử u(ω) ∈ X cho f (ω, u(ω)) = g(ω, u(ω)) (1.5) Khi u(ω) gọi nghiệm tất định phương trình (1.4) 2) Phương trình (1.4) gọi có nghiệm ngẫu nhiên tồn biến ngẫu nhiên ξ : Ω → X cho f (ω, ξ(ω)) = g(ω, ξ(ω)) h.c.c (1.6) Khi ξ gọi nghiệm ngẫu nhiên phương trình (1.4) Một công cụ quan trọng để chứng minh tồn nghiệm phương trình tốn tử ngẫu nhiên hay tồn điểm bất động toán tử ngẫu nhiên định lý tồn hàm chọn đo ánh xạ đa trị Cho (Ω, F) không gian đo X không gian metric Ánh xạ đa trị F : Ω → 2X gọi F -đo F −1 (B) = {ω ∈ Ω|F (ω) ∩ B = ∅} ∈ F (1.7) với B tập đóng X Trong số tài liệu, tính đo F cịn gọi đo yếu Đồ thị ánh xạ F tập Ω × X xác định Gr(F ) = {(ω, x)|ω ∈ Ω, x ∈ F (ω)} (1.8) Ánh xạ u : Ω → X gọi hàm chọn ánh xạ đa trị F : Ω → 2X u(ω) ∈ F (ω) với ω ∈ Ω Khi định lý sau sử dụng công cụ để chứng minh tồn điểm bất động ngẫu nhiên toán tử ngẫu nhiên 1.1.8 Định lý ([29]) Cho (Ω, F, P ) không gian xác suất, X không gian Polish F : Ω → 2X ánh xạ đa trị Nếu Gr(F ) tập F ×B(X)-đo tồn biến ngẫu nhiên X -giá trị ξ : Ω → X cho ξ(ω) ∈ F (ω) h.c.c Định lý 1.1.8 gọi định lý hàm chọn Sự tồn hàm chọn tồn điểm bất động ngẫu nhiên toán tử ngẫu nhiên 1.1.9 Định nghĩa Ánh xạ F : Ω×X → 2Y gọi tốn tử ngẫu nhiên đa trị từ X vào Y với phần tử x ∈ X ánh xạ đa trị ω → F (ω, x) F -đo 1.1.10 Định nghĩa (Điểm bất động toán tử ngẫu nhiên đa trị) Cho X khơng gian Banach tốn tử ngẫu nhiên đa trị F : Ω × X → 2X Biến ngẫu nhiên ξ(ω) ∈ LX gọi điểm bất động F ξ(ω) ∈ F (ω, ξ(ω)) với ω ∈ Ω 1.2 Điểm bất động toán tử ngẫu nhiên Đối với điểm bất động ngẫu nhiên, năm 1957 báo Hans bước đầu đưa điều kiện đảm bảo ánh xạ ngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên dạng xấp xỉ đến nghiệm phương trình ngẫu nhiên Cùng với phát triển định lý điểm bất động trường hợp tất định, định lý điểm bất động ngẫu nhiên bắt đầu nghiên cứu nhiều sau báo Hans Năm 1976 báo tổng quan mình, tác giả Bharucha Reid chứng minh định lý điểm bất động cho toán tử co ngẫu nhiên 1.2.1 Định lý ([16]) Cho T (ω) toán tử ngẫu nhiên liên tục từ không gian Banach khả ly X vào X , k(ω) biến ngẫu nhiên không âm nhận giá trị thực cho k(ω) < h.c.c T (ω, x) − T (ω, y) ≤ k (ω) x − y với x, y ∈ X Khi tồn biến ngẫu nhiên X -giá trị ξ(ω) cho ξ(ω) điểm bất động ngẫu nhiên T Cũng báo ([16]), tác giả Bharucha Reid xét đến phương trình giá trị riêng ngẫu nhiên dạng (T (ω) − λ)x = y(ω) đưa điều kiện để phương trình có nghiệm 1.2.2 Định lý ([16]) Cho T (ω) tốn tử co ngẫu nhiên từ khơng gian Banach khả ly X vào nó, k(ω) biến ngẫu nhiên không âm nhận giá trị thực bị chặn h.c.c Khi với số thực λ = cho k(ω) < |λ| h.c.c tồn toán tử ngẫu nhiên S(ω) nghịch đảo T (ω) − λI , với I toán tử đồng X Ngoài ra, báo ([16]) tác giả Bharucha Reid chứng minh dạng ngẫu nhiên định lý điểm bất động Schauder, tức đưa điều kiện để tốn tử ngẫu nhiên liên tục có điểm bất động ngẫu nhiên 1.2.3 Định lý ([16]) Cho E tập compact, lồi không gian Banach khả ly X T (ω) toán tử ngẫu nhiên liên tục E Khi tồn biến ngẫu nhiên E -giá trị ξ(ω) điểm bất động ngẫu nhiên T Năm 1977 báo ([30]), phương pháp hàm chọn tác giả Itoh chứng minh định lý điểm bất động ngẫu nhiên cho toán tử co ngẫu nhiên đa trị 1.2.4 Định lý ([30]) Cho (Ω, F) không gian đo, X không gian Banach khả ly Gọi T : Ω × X → CB(X) ánh xạ thỏa mãn với ω ∈ Ω, T (ω, ) k(t)-co với k : Ω → [0; 1) hàm đo Khi tồn ánh xạ đo ξ : Ω → X cho với ω ∈ Ω, ξ(ω) ∈ T (ω, ξ(ω)) Năm 1979 báo ([31]), tác giả Itoh chứng minh hệ điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên compact 1.2.5 Hệ ([31]) Cho X tập compact (hoặc khả ly đóng) khơng gian Banach, T : Ω × X → X toán tử ngẫu nhiên compact Khi T có điểm bất động ngẫu nhiên Đến năm 1993 báo ([54]), tác giả Tan Yuan có chứng minh mối liên hệ điểm bất động tất định điểm bất động ngẫu nhiên Không gian Suslin không gian tôpô Hausdorff ảnh liên tục không gian Polish Tập Suslin không gian tôpô không gian không gian tôpô không gian Suslin Ký hiệu I J tập dãy vô hạn hữu hạn tập số nguyên dương Gọi G họ tập hợp F : J → G ánh xạ Với σ= (σi )∞ i=1 ∞ ∈ I n ∈ N, ta ký hiệu (σ1 , , σn ) σ/n, F (σ/n) σ∈J n=1 gọi nhận từ G toán tử Suslin Bây tập nhận từ G theo cách thuộc G , G gọi họ Suslin 1.2.6 Định lý ([54]) Cho (Ω, Σ) không gian đo, Σ họ Suslin, X không gian tôpô X0 tập Suslin X Giả sử T : Ω × X0 → 2X có đồ thị GraphT ∈ Σ × B(X0 × X) Khi T có điểm bất động ngẫu nhiên T có điểm bất động tất định, tức T (ω, ) có điểm bất động X0 với ω ∈ Ω 1.2.7 Định lý ([54]) Cho (Ω, Σ) không gian đo, Σ họ Suslin X0 tập Suslin không gian metric khả ly X Giả sử T : Ω×X0 → C(X) tốn tử ngẫu nhiên liên tục Khi T có điểm bất động ngẫu nhiên T có điểm bất động tất định, tức với ω ∈ Ω, T (ω, ) có điểm bất động X0 Năm 1995, tác giả Choudhury ([18]) sử dụng dãy lặp Ishikawa để tồn điểm bất động toán tử ngẫu nhiên dãy lặp hội tụ không gian Hilbert 1.2.8 Định lý ([18]) Cho X khơng gian Hilbert khả ly, T : Ω×X → X toán tử ngẫu nhiên liên tục cho tồn ánh xạ u : Ω → X (không yêu cầu đo được) thỏa mãn ||T (ω, x) − u(ω)|| ≤ ||x − u(ω)|| với ω ∈ Ω x ∈ X Khi với biến ngẫu nhiên ξ0 : Ω → X dãy biến ngẫu nhiên (ξn (ω)) xác định dãy lặp Ishikawa hội tụ hội tụ tới tới điểm bất động F , ξn+1 (ω) = αn T (ω, ηn (ω)) + (1 − αn ) ξn (ω) , ηn (ω) = βn T (ω, ξn (ω)) + (1 − βn ) ξn (ω) dãy số thực (αn ), (βn ) thỏa mãn < αn , βn < 1, lim sup βn = M < 1, n n αn βn = +∞ Năm 1998, tác giả Xu Beg ([63]) chứng minh định lý co cho trường hợp toán tử ngẫu nhiên đa trị 1.2.9 Định lý ([63]) Giả sử (X, d) không gian metric khả ly, (Ω, Σ) khơng gian đo T : Ω × X → CB(X) co ngẫu nhiên, tức với x ∈ X , T (., x) đo với ω ∈ Ω, tồn số k(ω) ∈ [0; 1) cho H(T (ω, x), T (ω, y)) ≤ k(ω)d(x, y) (1.9) với H(A, B) khoảng cách Hausdorff hai tập hợp đóng A, B Khi hàm T có điểm bất động ngẫu nhiên Trong báo ([12]) năm 2006, tác giả Beg Abbas sử dụng phương pháp lặp để chứng minh tồn điểm bất động ngẫu nhiên toán tử ngẫu nhiên co yếu 1.2.10 Định lý ([12]) Cho F tập lồi, đóng khơng gian metric khả ly đầy đủ X , T : Ω × F → F toán tử ngẫu nhiên co yếu theo nghĩa với x, y ∈ F T (ω, x) − T (ω, y) ≤ x − y − f ( x − y ) ∀ω ∈ Ω (1.10) f : [0; +∞) → [0; +∞) hàm liên tục, không giảm, f (t) = t = 0, limt→+∞ f (t) = +∞ Khi T có điểm bất động ngẫu nhiên Cũng báo ([12]), tác giả Beg Abbas chứng minh hai định lý q trình lặp đến điểm bất động tốn tử ngẫu nhiên co yếu 1.2.11 Định lý ([12]) Cho F tập lồi, đóng khơng gian metric khả ly đầy đủ X , T : Ω × F → F toán tử ngẫu nhiên co yếu Giả sử dãy biến ngẫu nhiên (ξn (ω)) từ Ω vào F , gọi dãy lặp Mann (xem ([38])), xác định công thức ξn+1 (ω) = (1 − αn ) ξn (ω) + αn T (ω, ξn (ω)) với ω ∈ Ω, n = 0, 1, 2, , ≤ αn ≤ 1, n αn (1.11) = +∞, ξ0 (ω) : Ω → F biến ngẫu nhiên Khi dãy lặp (ξn (ω)) hội tụ điểm bất động T Năm 2010 báo ([55]), tác giả Thắng Ánh phương pháp hàm chọn ánh xạ đa trị chứng minh kết sau phương trình tốn tử ngẫu nhiên 1.2.12 Định lý ([55]) Cho X, Y không gian Polish f, g : Ω × X → Y tốn tử ngẫu nhiên đo Khi phương trình ngẫu nhiên f (ω, x) = g(ω, x) có nghiệm ngẫu nhiên phương trình có nghiệm tất định với hầu hết ω ∈ Ω Hơn với hầu hết ω ∈ Ω phương trình f (ω, ) = g(ω, ) có nghiệm tất định, phương trình f (ω, x) = g(ω, x) có nghiệm ngẫu nhiên Từ định lý này, tác giả thu kết sau mối liên hệ tồn điểm bất động tất định điểm bất động ngẫu nhiên 1.2.13 Định lý ([55]) Cho X không gian Polish, f : Ω × C → X tốn tử ngẫu nhiên đo Khi f có điểm bất động ngẫu nhiên với hầu hết ω ∈ Ω, ánh xạ f (ω, ) có điểm bất động tất định Định lý 1.2.13 cho thấy trường hợp toán tử ngẫu nhiên đo được, vấn đề tồn điểm bất động ngẫu nhiên tương đương với tồn điểm bất động tất định cho hầu hết ω Mặt khác vấn đề điểm bất động tất định nghiên cứu gần đầy đủ với số lượng lớn cơng trình nghiên cứu Như trước có báo ([55]), việc chứng minh tồn điểm bất động ngẫu nhiên toán tử ngẫu nhiên đo mà sử dụng kết trường hợp tất định kết hợp với định lý hàm chọn đến không cịn nhận nhiều quan tâm Vì thế, để đưa kết điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên đo được, tác giả thường chứng minh trực tiếp thông qua phương pháp dãy lặp mà không sử dụng cách chứng minh dựa định lý hàm chọn trước Đến nhiều dạng dãy lặp sử dụng, điển hình dãy lặp Picard, dãy lặp Mann, dãy lặp Ishikawa, dãy lặp ba bước, dãy lặp ẩn, Sử dụng phương pháp lặp, số kết điểm bất động ngẫu nhiên chứng minh phong phú nhiều so với sử dụng phương pháp hàm chọn 1.3 Điểm trùng toán tử ngẫu nhiên Tiếp theo xuất toán điểm bất động toán tử ngẫu nhiên toán tử ngẫu nhiên đa trị, toán điểm trùng toán tử ngẫu nhiên quan tâm đến Lần lượt nhiều cơng trình đưa kết quan trọng điểm trùng toán tử ngẫu nhiên 1.3.1 Định nghĩa (Điểm trùng ngẫu nhiên) Cho T1 , T2 , , Tn : Ω × X → X toán tử ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên ξ : Ω → X gọi điểm trùng ngẫu nhiên toán tử ngẫu nhiên T1 , T2 , , Tn T1 (ω, ξ(ω)) = T2 (ω, ξ(ω)) = = Tn (ω, ξ(ω)) h.c.c (1.12) 1.3.2 Định nghĩa Ánh xạ đo ξ : Ω → X gọi điểm trùng ngẫu nhiên tốn tử ngẫu nhiên f : Ω × X → X toán tử ngẫu nhiên đa trị T : Ω × X → CB(X) với ω ∈ Ω ta có f (ω, ξ(ω)) ∈ T (ω, ξ(ω)) Cho ánh xạ ξ0 : Ω → X Nếu tồn dãy (ξn (ω)) cho f (ω, ξ2n+1 (ω)) ∈ S(ω, ξ2n (ω)), f (ω, ξ2n+2 (ω)) ∈ T (ω, ξ2n+1 (ω)), n = 0, 1, 2, , Of (ξ0 (ω)) = {f (ω, ξn (ω)) : n = 1, 2, 3, với ω ∈ Ω} gọi quỹ đạo (S, T, f ) ξ0 (ω) Nếu Of (ξ0 (ω)) hội tụ X X gọi (S, T, f, ξ0 (ω))-quỹ đạo đủ (xem ([40])) 1.3.3 Định lý ([40]) Cho S, T : Ω × X → CB(X) hai toán tử ngẫu nhiên đa trị liên tục, f : Ω × X → X tốn tử ngẫu nhiên cho S(ω, X) ∪ T (ω, X) ⊆ f (ω, X) Giả sử với ánh xạ đo ξ0 : Ω → X , f (ω, X) (S, T, f, ξ0 (ω))-quỹ đạo đủ với ω H (S (ω, x) , T (ω, x)) ≤ α (ω) max {d (f (ω, x) , f (ω, y)) , d (f (ω, x) , S (ω, x)) , d (f (ω, y) , S (ω, y)) , [d (f (ω, x) , T (ω, y)) + d (f (ω, y) , T (ω, x))] /2} (1.13) với x, y ∈ X , ω ∈ Ω α : Ω → (0; 1) ánh xạ đo Khi tồn điểm trùng ngẫu nhiên S, T f Sau ta xét đến định nghĩa toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên 2.1.1 Định nghĩa ([1]) Cho X, Y không gian Banach khả ly 1) Ánh xạ Φ : LX (Ω) → LY (Ω) gọi tốn tử hồn tồn ngẫu 0 nhiên 2) Tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Φ gọi liên tục với dãy (un ) thuộc LX (Ω) thỏa mãn limn un = u h.c.c., ta có limn Φun = Φu h.c.c 3) Tốn tử hồn toàn ngẫu nhiên Φ gọi liên tục theo xác suất với dãy (un ) LX (Ω) thỏa mãn limn un = u theo xác suất, ta có limn Φun = Φu theo xác suất 2.1.2 Định nghĩa Tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Φ : LX (Ω) → LY (Ω) 0 gọi mở rộng toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y với x∈X Φx(ω) = f (ω, x) h.c.c (2.2) với x ∈ X , x ký hiệu biến ngẫu nhiên u ∈ LX (Ω) cho u(ω) = x h.c.c 2.1.3 Định lý Cho f : Ω × X → Y tốn tử ngẫu nhiên có liên tục Khi tồn tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên liên tục Φ : LX (Ω) → LY (Ω) cho Φ mở rộng f 0 2.1.4 Định nghĩa ([1]) Cho Φ : LX (Ω) → LY (Ω) tốn tử hồn tồn 0 ngẫu nhiên 1) Φ gọi k(ω)-Lipschitz tồn biến ngẫu nhiên nhận giá trị dương k(ω) cho với cặp u, v ∈ LX (Ω) Φu(ω) − Φv(ω) ≤ k(ω) u(ω) − v(ω) h.c.c (2.3) Chú ý tập bỏ phụ thuộc vào u, v 2) Φ gọi k(ω)-Lipschitz xác suất tồn biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực k(ω) cho với cặp u, v ∈ LX (Ω) t > 0 P ( Φu(ω) − Φv(ω) > t) ≤ P (k(ω) u(ω) − v(ω) > t) (2.4) 3) Φ gọi k(ω)-co (k(ω)-co xác suất) Φ k(ω)-Lipschitz (k(ω)Lipschitz xác suất) với k(ω) < 1, ∀ω ∈ Ω 4) Φ gọi không giãn (không giãn xác suất) Φ 1-Lipschitz (1-Lipschitz xác suất) 11 2.1.5 Mệnh đề Cho Φ : LX (Ω) → LY (Ω) tốn tử hồn tồn ngẫu 0 nhiên Khi tính liên tục Φ suy tính liên tục theo xác suất Φ 2.1.6 Mệnh đề 1) Nếu Φ : LX (Ω) → LY (Ω) tốn tử hồn tồn 0 ngẫu nhiên k(ω)-Lipschitz Φ liên tục 2) Nếu Φ : LX (Ω) → LY (Ω) tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên k(ω)0 Lipschitz xác suất Φ liên tục theo xác suất 2.2 Điểm bất động tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên 2.2.1 Định nghĩa (Điểm bất động) ([1]) Cho Φ : LX (Ω) → LX (Ω) 0 X (Ω) tốn tử hồn toàn ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên X -giá trị ξ ∈ L0 gọi điểm bất động Φ Φξ = ξ h.c.c (2.5) Định lý sau trình bày điểm bất động tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên co yếu Định lý điểm bất động toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên co yếu mở rộng định lý điểm bất động toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên co 2.2.2 Định nghĩa Cho f : Ω × [0; +∞) → [0; +∞) ánh xạ cho với ω ∈ Ω, f (ω, t) = t = 1) Tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Φ : LX (Ω) → LX (Ω) gọi f (ω, t)0 X (Ω) co yếu với cặp u, v ∈ L0 Φu(ω) − Φv(ω) u(ω) − v(ω) − f (ω, u(ω) − v(ω) ) h.c.c (2.6) 2) Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Φ : LX (Ω) → LX (Ω) gọi f (ω, t)0 X (Ω) t > co yếu xác suất với cặp u, v ∈ L0 P ( Φu(ω) − Φv(ω) > t) P ( u(ω) − v(ω) − f (ω, u(ω) − v(ω) ) > t) (2.7) 2.2.3 Định lý Cho Φ : LX (Ω) → LX (Ω) tốn tử hồn tồn ngẫu 0 nhiên f (ω, t)-co yếu với ω ∈ Ω, hàm t → f (ω, t) khơng giảm Khi Φ có điểm bất động Đối với tốn tử hoàn toàn ngẫu nhiên, điều kiện co yếu điều kiện co yếu xác suất mở rộng hiển nhiên Sau định lý điểm bất động tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên co yếu xác suất xét đến 12 2.2.4 Định lý Cho Φ tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên f (t)-co yếu xác suất với hàm f (ω, t) = f (t) < t, ∀t > Với t > 0, xét hàm f (t) xác định công thức f (s) s≥t s (2.8) h(t) = inf Giả sử h(t) > 0, ∀t > Khi 1) Φ có điểm bất động tồn biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX (Ω) p > cho E Φu0 − u0 p < +∞ (2.9) Trong trường hợp này, Φ có điểm bất động 2) Gọi (un ) dãy biến ngẫu nhiên thuộc LX (Ω) xác định un+1 = Φun , n = 0, 1, (2.10) ξ điểm bất động Φ Khi ta có ước lượng sau (q p )n P ( un − ξ > t) ≤ p p (1 − q 1+p )1+p t M (2.11) với M = E Φu0 − u0 p , q = − h(t) Trong phần này, dạng mở rộng khác định lý điểm bất động toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên co xác suất xét đến, định lý điểm bất động tốn tử hoàn toàn ngẫu nhiên (f, q)-co xác suất 2.2.5 Định nghĩa Cho f : [0; +∞) → [0; +∞) hàm liên tục, tăng thỏa mãn f (0) = 0, limt→+∞ f (t) = +∞ q số thực dương 1) Tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Φ : LX (Ω) → LX (Ω) gọi (f, q)0 Lipschitz xác suất với cặp u, v ∈ LX (Ω) P ( Φu(ω) − Φv(ω) > f (t)) P ( u(ω) − v(ω) > f (t/q)) (2.12) 2) Tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Φ : LX (Ω) → LX (Ω) gọi (f, q)-co 0 xác suất Φ (f, q)-Lipschitz xác suất với q < 2.2.6 Mệnh đề Nếu Φ : LX (Ω) → LY (Ω) (f, q)-Lipschitz xác suất 0 Φ liên tục theo xác suất 2.2.7 Định lý Cho Φ : LX (Ω) → LX (Ω) tốn tử hồn tồn ngẫu 0 nhiên (f, q)-co xác suất 13 1) Nếu Φ có điểm bất động có điểm bất động Hơn nữa, tồn biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX (Ω) p > cho M = sup P ( Φu0 − u0 > f (t)) < +∞ (2.13) t>0 2) Giả sử tồn c ∈ (q; 1) cho ∞ f (cn ) < +∞ (2.14) n=1 Khi (2.13) điều kiện đủ để Φ có điểm bất động 3) Giả sử với t, s > f (t + s) ≥ f (t) + f (s) (2.15) Khi (2.13) điều kiện đủ để Φ có điểm bất động Ngoài việc xét đến điều kiện phía bên biểu thức xác suất, phần điều kiện hàm xét đến Khi ta nhận định lý điểm bất động cho tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên f -tựa co, f -tiệm cận co xác suất 2.2.8 Định nghĩa ([39])Hàm không giảm f : [0; +∞) → [0; +∞) gọi hàm so sánh • f (t) = t = 0; • limn f n (t) = với t > với f n (t) = f (f ( f (t) )) n lần 2.2.9 Bổ đề ([39]) Nếu f : [0; +∞) → [0; +∞) hàm so sánh f (t) < t với t > 2.2.10 Định lý Cho X không gian Banach khả ly Φ : LX (Ω) → X (Ω) tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên liên tục theo xác suất f : L0 [0; +∞) → [0; +∞) hàm so sánh Giả sử toán tử Φ (f, k)-tựa co theo nghĩa P Φk u − Φk v > t ≤ f (C (Φ, u, v, t)) (2.16) với u, v ∈ LX (Ω), t > với C (Φ, u, v, t) = {P ( Φp u − Φq v > t)} , max 0≤p,q≤k,(p,q)=(k,k) 14 (2.17) hàm so sánh f thỏa mãn ∞ f i (1) < +∞ (2.18) i=1 Khi Φ có điểm bất động thuộc LX (Ω) dãy lặp (Φn u0 ) hội tụ theo xác suất đến điểm bất động Φ với biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX (Ω) 2.2.11 Ví dụ Giả sử (Ω, F, P ) không gian xác suất với Ω = [0; 1], F σ -đại số Lebesgue tập [0; 1] P độ đo Lebesgue [0; 1] Với X = R xét tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Φ : LX (Ω) → LX (Ω) xác định 0 qu (2ω) ≤ ω ≤ 1/2 Φu (ω) = 1/2 < ω ≤ q ∈ (0; 1) số thực Đặt A = {ω : Φu (ω) − Φv (ω) > t} = {ω : u (2ω) − v (2ω) > t/q, ω ∈ [0; 1/2]} B = {ω : u (ω) − v (ω) > t/q} Khi B giãn A, B = 2A Do P (B) = 2P (A) P ( Φu (ω) − Φv (ω) > t) = P ( u (ω) − v (ω) > t/q) ≤ P ( u (ω) − v (ω) > t) với u, v ∈ LX (Ω), t > 0 Vì P ( Φu (ω) −Φv (ω) > t) ≤ max P ( u (ω) − v (ω) > t) , P ( u (ω) − Φv (ω) > t) , P ( Φu (ω) − v (ω) > t) ta nhận Φ (f, k)-tựa co với f (t) = t/2, k = Dễ dàng nhận thấy biến ngẫu nhiên u(ω) = điểm bất động Φ Trong ví dụ trên, A tập R đo Lebesgue với độ đo Lebesgue λ số δ > 0, giãn tập A δ kí hiệu δA = {δx : x ∈ A} đo Lebesgue với độ đo δλ(A) 15 2.2.12 Định lý Cho X không gian Banach khả ly Φ : LX (Ω) → X (Ω) tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên liên tục theo xác suất f : L0 [0; +∞) → [0; +∞) hàm so sánh Giả sử Φ thỏa mãn điều kiện f -tiệm cận co theo nghĩa tồn dãy hàm liên tục fn : [0; +∞) → [0; +∞) cho fn hội tụ tới f với u, v ∈ LX (Ω) , t > 0 P ( Φn u − Φn v > t) ≤ fn (P ( u − v > t)) (2.19) Khi Φ có điểm bất động dãy lặp (Φn u0 ) hội tụ theo xác suất tới điểm bất động Φ với u0 ∈ LX (Ω) 2.3 Điểm trùng tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Bài toán điểm trùng ngẫu nhiên nhiều tác giả xem xét cơng trình mình, đặc biệt toán điểm trùng ngẫu nhiên toán quan trọng trường hợp toán tử ngẫu nhiên đa trị Trong phần này, ta xét đến tốn điểm trùng tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên 2.3.1 Định nghĩa (Điểm trùng nhau) Cho Φ1 , Φ2 , , Φn : LX (Ω) → X (Ω) tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên X -giá trị L0 ξ ∈ LX (Ω) gọi điểm trùng Φ1 , Φ2 , , Φn Φ1 ξ = Φ2 ξ = = Φn ξ h.c.c (2.20) 2.3.2 Mệnh đề Cho Φ, Ψ : LX (Ω) → LY (Ω) toàn tử hoàn toàn 0 ngẫu nhiên Ψ liên tục theo xác suất Giả sử tồn biến ngẫu nhiên nhận giá trị dương k(ω) cho với cặp u, v ∈ LX (Ω) t > 0 P ( Φu − Φv > t) ≤ P (k (ω) Ψu − Ψv > t) (2.21) Khi Φ liên tục theo xác suất 2.3.3 Định lý Cho Φ, Ψ : LX (Ω) → LX (Ω) tốn tử hồn toàn 0 ngẫu nhiên f : [0; +∞) → [0; +∞) hàm số thỏa mãn f (t) = t = f (t) < t, ∀t > Với t > 0, xét hàm số h(t) xác định f (s) s≥t s h(t) = inf Giả sử h(t) > 0, ∀t > (a) Ψ(LX (Ω)) đóng LX (Ω); 0 16 (2.22) (b) Φ(LX (Ω)) ⊂ Ψ(LX (Ω)); 0 (c) với cặp u, v ∈ LX (Ω) t > 0 P ( Φu − Φv > t) ≤ P ( Ψu − Ψv − f ( Ψu − Ψv ) > t) (2.23) Khi Φ Ψ có điểm trùng tồn biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX (Ω) p > cho M = E Φu0 − Ψu0 p < +∞ (2.24) Cùng với định lý điểm bất động cho tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên (f, q)-co xác suất, định lý điểm trùng tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên dạng (f, q) co xác suất tổng quát xét đến 2.3.4 Định lý Cho Φ, Ψ : LX (Ω) → LX (Ω) tốn tử hồn tồn 0 ngẫu nhiên, f : [0; +∞) → [0; +∞) hàm liên tục, tăng cho f (0) = 0, limt→+∞ f (t) = +∞ q số dương thuộc (0; 1) Giả sử (a) Ψ(LX (Ω)) đóng LX (Ω); 0 (b) Φ(LX (Ω)) ⊂ Ψ(LX (Ω)); 0 (c) với u, v ∈ LX (Ω) t > 0 P ( Φu − Φv > f (t)) ≤ P ( Ψu − Ψv > f (t/q)) (2.25) Khi 1) Nếu Φ, Ψ có điểm trùng tồn biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX (Ω) p > cho M = sup P ( Φu0 − Ψu0 > f (t)) < +∞ (2.26) t>0 2) Giả sử tồn số c ∈ (q; 1) cho ∞ f (cn ) < +∞ (2.27) n=1 Khi điều kiện (2.26) điều kiện đủ để Φ, Ψ có điểm trùng 3) Giả sử với t, s > f (t + s) ≥ f (t) + f (s) (2.28) Khi điều kiện (2.26) điều kiện đủ để Φ, Ψ có điểm trùng 17 Kết luận: Trong chương này, xét đến vấn đề mở rộng toán tử ngẫu nhiên thành toán tử hồn tồn ngẫu nhiên Chúng tơi chứng minh định lý thác triển toán tử ngẫu nhiên thành toán tử hồn tồn ngẫu nhiên Chúng tơi xét đến tính liên tục theo xác suất tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Bằng phương pháp dãy lặp điều kiện đủ, điều kiện cần đủ để khẳng định tồn điểm bất động dạng tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên co yếu, tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên co yếu xác xuất, tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên (f, q)-co xác suất, tồn tử hồn tồn ngẫu nhiên (f, k)-tựa co, tốn tử hoàn toàn ngẫu nhiên f -tiệm cận co Tiếp theo xét đến vấn đề điểm trùng tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Chúng tơi đưa điều kiện đảm bảo cho để tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên có điểm trùng nhau, điều kiện dạng co yếu xác suất tổng quát, dạng (f, q)-co xác suất tổng quát 18 CHƯƠNG ỨNG DỤNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ HỒN TỒN NGẪU NHIÊN Với mục đích mở rộng vấn đề phương trình tốn tử trường hợp tất định, có nhiều cơng trình xét đến tốn phương trình tốn tử ngẫu nhiên Trong chương này, ta quan tâm đến dạng phương trình tốn tử xây dựng tốn tử hoàn toàn ngẫu nhiên 3.1 Ứng dụng định lý điểm bất động Đầu tiên, ta xét đến khái niệm phương trình tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên 3.1.1 Định nghĩa (Phương trình tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên) Cho Φ, Ψ : LX (Ω) → LY (Ω) tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Phương trình 0 tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên phương trình có dạng Φu = Ψu (3.1) Một số dạng đặc biệt phương trình tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên thấy Φu = u hay (Φ − λI)u = v (với Φ, I : LX (Ω) → LX (Ω), 0 I toán tử đồng nhất) Ngồi ra, phương trình tốn tử giá trị riêng hoàn toàn ngẫu nhiên (Φ − λI)u = nhận quan tâm cách đặc biệt 3.1.2 Định nghĩa Biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX (Ω) gọi nghiệm phương trình tốn tử hoàn toàn ngẫu nhiên (3.1) Φu0 = Ψu0 h.c.c (3.2) 3.1.3 Định lý Cho Φ : LX (Ω) → LX (Ω) tốn tử hồn tồn ngẫu 0 nhiên (f, q)-Lipschitz xác suất với f hàm thỏa mãn điều kiện (2.14) (2.15) Xét phương trình ngẫu nhiên Φu − λu = η với λ số thực η biến ngẫu nhiên thuộc LX (Ω) 19 (3.3) Giả sử |λ| > sup t>0 f (qt) f (t) (3.4) Khi phương trình (3.3) có nghiệm tồn biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX (Ω) số thực p > cho M = sup P ( Φu0 − λu0 − η > |λ|f (t)) < +∞ (3.5) t>0 3.1.4 Định lý Giả sử f : [0, +∞) → [0, +∞) hàm số thỏa mãn f (0) = 0, f (t) < t f (s) > 0, ∀t > s≥t s h(t) = inf (3.6) Gọi Φ, Ψ : LX (Ω) → LX (Ω) tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên thỏa 0 mãn điều kiện sau (a) Ψ(LX (Ω)) tập đóng LX (Ω); 0 (b) Φ(LX (Ω)) ⊂ Ψ(LX (Ω)); 0 (c) Ψ liên tục theo xác suất; (d) với u, v ∈ LX (Ω) t > 0 P ( Φu − Φv > t) ≤ P ( Ψu − Ψv − f ( Ψu − Ψv ) > t) (3.7) Khi phương trình Φu = Ψu (3.8) có nghiệm tồn biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX (Ω) p > 0 cho E Φu0 − Ψu0 p < +∞ (3.9) 3.1.5 Hệ Cho Φ Ψ hai tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên giao hốn, tức ΦΨu = ΨΦu với u ∈ LX (Ω) Giả sử Φ Ψ thỏa mãn điều kiện phát biểu Định lý 3.1.4 Khi Φ Ψ có điểm bất động chung tồn u0 ∈ LX (Ω) p > 0 cho (3.9) 3.2 Ứng dụng định lý điểm trùng Trong phần này, ta xét đến số định lý điểm bất động tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Các định lý hệ định lý điểm trùng tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên 20 3.2.1 Định lý Cho Φ : LX (Ω) → LX (Ω) tốn tử hồn tồn ngẫu 0 nhiên, f : [0; +∞) → [0; +∞) hàm liên tục, tăng cho f (0) = 0, limt→+∞ f (t) = +∞ q số thực dương Giả sử với cặp u, v ∈ LX (Ω) P ( Φu − Φv > f (t)) ≤ P ( u − v > f (t/q)) (3.10) Khi 1) Nếu Φ có điểm bất động điểm bất động Hơn nữa, tồn biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX (Ω) p > cho M = sup P ( Φu0 − u0 > f (t)) < +∞ (3.11) t>0 2) Giả sử tồn số c ∈ (q; 1) cho ∞ f (cn ) < +∞ (3.12) n=1 Khi (3.11) điều kiện đủ để Φ có điểm bất động 3) Giả sử với t, s > f (t + s) ≥ f (t) + f (s) (3.13) Khi (3.11) điều kiện đủ để Φ có điểm bất động 3.2.2 Định lý Cho Φ, Ψ : LX (Ω) → LX (Ω) tốn tử hồn toàn 0 ngẫu nhiên, f : [0; +∞) → [0; +∞) ánh xạ cho f (t) = t = f (t) < t, ∀t > Với t > 0, xét hàm số h(t) xác định công thức f (s) s≥t s h(t) = inf (3.14) Giả sử h(t) > 0, ∀t > (a) Ψ(LX (Ω)) tập đóng LX (Ω); 0 (b) Φ(LX (Ω)) ⊂ Ψ(LX (Ω)); 0 (c) với cặp u, v ∈ LX (Ω) t > 0 P ( Φu − Φv > t) ≤ P ( Ψu − Ψv − f ( Ψu − Ψv ) > t) ; (3.15) (d) Φ Ψ giao hoán, tức ΦΨu = ΨΦu với biến ngẫu nhiên u thuộc LX (Ω) 21 Khi Φ Ψ có điểm bất động chung tồn biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX (Ω) p > cho M = E Φu0 − Ψu0 p < +∞ (3.16) 3.2.3 Hệ Cho Φ : LX (Ω) → LX (Ω) tốn tử hồn tồn ngẫu 0 nhiên q -co xác suất theo nghĩa tồn số q ∈ (0; 1) cho P ( Φu − Φv > t) ≤ P ( u − v > t/q) (3.17) với biến ngẫu nhiên u, v ∈ LX (Ω) t > Khi Φ có điểm bất động tồn biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX (Ω) p > cho E Φu0 − u0 p < +∞ (3.18) 3.2.4 Định lý Cho Φ, Ψ : LX (Ω) → LX (Ω) toàn tử hoàn toàn 0 ngẫu nhiên thỏa mãn P ( Φu − Φv > f (t)) ≤ P ( Ψu − Ψv > f (t/q)) (3.19) với u, v ∈ LX (Ω), t > f : [0; +∞) → [0; +∞) hàm liên tục, tăng cho f (0) = 0, limt→+∞ f (t) = +∞ thỏa mãn (3.12) (3.13) q số dương Xét phương trình ngẫu nhiên dạng Φu − λΨu = η với λ số thực η biến ngẫu nhiên LX (Ω) Giả sử Ψ(LX (Ω)) đóng LX (Ω); 0 Φ(LX (Ω)) ⊂ λΨ(LX (Ω)) + η; 0 |λ| > sup t>0 f (qt) f (t) (3.20) (3.21) (3.22) (3.23) Khi phương trình (3.20) có nghiệm tồn biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX (Ω) số p > cho M = sup P ( Φu0 − λΨu0 − η > |λ|f (t)) < +∞ (3.24) t>0 3.2.5 Hệ Cho Φ : LX (Ω) → LX (Ω) tốn tử hồn tồn ngẫu 0 nhiên thỏa mãn P ( Φu − Φv > f (t)) ≤ P ( u − v > f (t/q)) (3.25) với u, v ∈ LX (Ω), t > 0, f : [0; +∞) → [0; +∞) hàm liên tục, tăng cho f (0) = 0, limt→+∞ f (t) = +∞ thỏa mãn điều kiện 22 (3.12) (3.13) q số dương Xét phương trình ngẫu nhiên có dạng Φu − λu = η (3.26) với λ số thực η biến ngẫu nhiên thuộc LX (Ω) Giả sử |λ| > sup t>0 f (qt) f (t) (3.27) Khi phương trình (3.26) có nghiệm tồn biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX (Ω) số p > cho M = sup P ( Φu0 − λu0 − η > |λ|f (t)) < +∞ (3.28) t>0 3.2.6 Hệ Cho Φ, Ψ : LX (Ω) → LX (Ω) hai toàn tử hoàn toàn 0 ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện sau P ( Φu − Φv > t) ≤ P ( Ψu − Ψv > t/q) (3.29) Xét phương trình ngẫu nhiên Φu − λΨu = η (3.30) với λ số thực η biến ngẫu nhiên LX (Ω), p > p Giả sử Ψ(LX (Ω)) đóng LX (Ω); 0 Φ(LX (Ω)) ⊂ λΨ(LX (Ω)) + η; 0 |λ| > q Khi phương trình ngẫu nhiên (3.30) có nghiệm tồn biến ngẫu nhiên u0 ∈ LX (Ω) cho E Φu0 − λΨu0 p < +∞ (3.31) Kết luận: Trong chương này, xét đến ứng dụng định lý điểm bất động điểm trùng tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Chúng từ định lý điểm bất động điểm trùng nhau, chứng minh tồn nghiệm số phương trình tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Bên cạnh đó, dựa kết điểm trùng toán tử hồn tồn ngẫu nhiên, ta nhận lại kết điểm bất động 23 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I Kết luận Luận án đạt kết sau • Chứng minh định lý thác triển toán tử ngẫu nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, đưa tiêu chuẩn liên tục theo xác suất toán tử hồn tồn ngẫu nhiên • Chứng minh định lý điều kiện đủ, điều kiện cần đủ để tồn điểm bất động ngẫu nhiên, điểm trùng ngẫu nhiên dạng tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên • Chỉ điều kiện đủ tồn nghiệm ngẫu nhiên phương trình tốn tử hoàn toàn ngẫu nhiên II Kiến nghị Trong thời gian tới mong muốn tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau • Nghiên cứu tốn thác triển tốn tử ngẫu nhiên thành tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên, xét đến trường hợp tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên từ tập không gian biến ngẫu nhiên X-giá trị vào • Do xét quỹ đạo mẫu nên phải tìm phương pháp khác để tồn điểm bất động ngẫu nhiên, điểm trùng ngẫu nhiên ngồi phương pháp lặp có • Đưa điều kiện đảm bảo toán tử hồn tồn ngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên, điều kiện đảm bảo tồn điểm trùng ngẫu nhiên tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên, điều kiện để phương trình tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên có nghiệm ngẫu nhiên 24 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Dang Hung Thang, Pham The Anh (2013), "Random fixed points of completely random operators", Random Oper Stoch Equ 21 (1), - 20 Dang Hung Thang, Pham The Anh (2013), "Some results on random fixed points of completely random operators", Vietnam J Math., DOI 10.1007/s10013-013-0037z Dang Hung Thang, Pham The Anh (2014), "Some results on random coincidence points of completely random operators", Acta Mathematica Vietnamica, DOI 10.1007/s40306-014-0051-6 MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐƯỢC BÁO CÁO TẠI Bộ môn Xác suất – Thống kê, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học KHTN - ĐHQGHN Hội thảo Xác suất thống kê mừng thọ GS Nguyễn Duy Tiến 70 tuổi (Hà Nội, 18/08/2012) Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ (Nha Trang, 10-14/08/2013) ... ngẫu nhiên từ X vào X gọi toán tử ngẫu nhiên X Toán tử ngẫu nhiên từ X vào R gọi phiếm hàm ngẫu nhiên 1.1.2 Định nghĩa Cho f, g : Ω × X → Y hai toán tử ngẫu nhiên Toán tử ngẫu nhiên f gọi toán tử. .. dụng phương pháp lặp, số kết điểm bất động ngẫu nhiên chứng minh phong phú nhiều so với sử dụng phương pháp hàm chọn 1.3 Điểm trùng toán tử ngẫu nhiên Tiếp theo xuất toán điểm bất động toán tử. .. ngẫu nhiên toán tử ngẫu nhiên đa trị, toán điểm trùng toán tử ngẫu nhiên quan tâm đến Lần lượt nhiều cơng trình đưa kết quan trọng điểm trùng toán tử ngẫu nhiên 1.3.1 Định nghĩa (Điểm trùng ngẫu