điểm bất động của ánh xạ không giãn và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH QUÁCH THỊ LỆ HẰNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 2 MỤC LỤC Contents 1TMỤC LỤC1T 2 1TMỞ ĐẦU1T 3 1TChương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ1T 4 1T1.1.Định nghĩa1T 4 1T1.2.Định lí1T 4 1T1.3.Định lí1T 5 1T1.4.Định nghĩa1T 6 1T1.5.Định nghĩa1T 6 1T1.6.Định lí1T 6 1T1.7.Định nghĩa1T 7 1T1.8.Định nghĩa1T 7 1T1.9.Định nghĩa1T 7 1T1.10.Định lí (Nguyên lí điểm bất động của ánh xạ co)1T 7 1T1.11.Định lí1T 9 1T1.12.Định lí ( bất đẳng thức Schwarz )1T 10 1T1.13.Định lí ( Đẳng thức hình bình hành )1T 10 1T1.14.Định lí ( Riesz )1T 10 1T1.15.Định lí1T 11 1T1.16.Hệ quả:( suy ra trực tiếp từ định lí 1.1.15)1T 12 1T1.17.Định nghĩa:1T 13 1T1.18.Bổ đề:1T 13 1TChương 2: ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT1T 16 1T2.1.Điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert1T 16 1T2.2.Định lí egrodic phi tuyến của Ballion1T 17 1T2.3. Định lí điểm bất động cho nửa nhóm các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert1T 23 1T2.4.Dạng tổng quát của định lí Ergodic phi tuyến1T 29 1TChương 3: ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH1T 35 1T3.1.Điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach1T 35 1T3.2. Điểm bất động của họ ánh xạ không giãn1T 44 1TKẾT LUẬN1T 54 1TTài liệu tham khảo1T 55 3 MỞ ĐẦU Định lí Banach về điểm bất động của ánh xạ co là định lí điểm bất động được tìm ra sớm nhất và cho đến nay vẫn là định lí cơ bản nhất trong lí thuyết điểm bất động. Định lí này không chỉ cho biết sự tồn tại điểm bất động mà còn chỉ ra một dãy lập đơn giản hội tụ về nó. Vì vậy, định lí Banach tìm được những ứng dụng đa dạng trong nghiên cứu định tính và giải số cho nhiều lớp phương trình xuất phát từ nhiều lĩnh vực khoa học. Do sự quan trọng của ánh xạ co, lớp ánh xạ này đã được mở rộng theo nhiều hướng khác nhau. Lớp ánh xạ không giãn là một mở rộng tự nhiên và quan trọng nhất của lớp ánh xạ co. Các nghiên cứu đầu tiên về ánh xạ không giãn được bắt đầu từ năm 1965 trong các công trình Browder, Gôhde, Kirk và được tiếp tục cho đến nay. Nhiều định lí về tồn tại điểm bất động của lớp ánh xạ không giãn đã được tìm ra, đầu tiên là xét trong không gian Hilbert, sau đó là không gian Banach có tính chất hình học tốt như lồi đều , có chuẩn khả vi… Bên cạnh đó, các dãy lặp đa dạng hội tụ về điểm bất động đã được xây dựng khá hoàn chỉnh. Nó tìm được những ứng dụng đa dạng và sâu sắc trong lý thuyết phương tình vi phân, tích phân, trong giải tích số, lý thuyết xác suất thống kê,… Luận văn giới thiệu những kết quả lí thuyết ban đầu về tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn, điểm bất động chung của họ các ánh xạ không giãn, về dãy lặp hội tụ về điểm bất động của ánh xạ không giãn…. Luận văn gồm 3 chương: UChương 1U: Hệ thống lại các kết quả quan trọng trong không gian Hilbert, Banach có sử dụng trong các chứng minh của chương 2,3; UChương 2U: Trình bày các kết quả về điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert; UChương 3U: Trình bày các kết quả về điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach lồi đều, có chuẩn khả vi. 4 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Định nghĩa Cho không gian tôpô X , hàm ( ] :,fX→ −∞ ∞ được gọi là nửa liên tục dưới nếu cho mọi a∈¡ , tập hợp ( ) { } :x Xfx a∈≤ đóng theo tôpô trên X . 1.2.Định lí Cho không gian tôpô X , với số thực không âm α , nếu các hàm ( ] ( ) ,, : , , i fgf X i I→ −∞ ∞ ∈ là các hàm nửa liên tục dưới trên X, thì các hàm ( ) ; ; sup i iI f g f fx α ∈ + cũng là hàm nửa liên tục dưới trên X. Chứng minh (i). Chứng minh hàm fg+ là hàm nửa liên tục dưới trên X Với mọi ,ac∈¡ , ta có ( ) { } :x Xfx c∈> là tập mở trong X ( ) { } :x Xgx a c∈ >− là tập mở trong X Mà ( )( ) { } ( ) { } ( ) { } : :: c G xX fgx a xXfx c xXgx ac ∈  = ∈ + > = ∈ > ∈ >−  ¡ I U Suy ra G là tập mở trong X hay fg+ là hàm nửa liên tục dưới trên X (ii). Chứng minh hàm f α là hàm nửa liên tục dưới trên X Nếu 0 α = thì ta được f α là hàm nửa liên tục dưới trên X Nếu 0 α > , với mọi a∈¡ , ta có ( ) : a x Xfx c  ∈≤   là tập đóng trong X Mà ( )( ) { } ( ) :: a G xX fx a xXfx c α  =∈ ≤=∈ ≤   Suy ra G là tập đóng trong X hay f α là hàm nửa liên tục dưới trên X 5 (iii). Chứng minh hàm ( ) sup i iI fx ∈ là hàm nửa liên tục dưới trên X Với mọi ,a iI∈∈¡ ta có ( ) { } : i x Xfx a∈≤ là tập đóng trong X Mà ( ) { } ( ) { } ( ) { } : :sup : i iI iI G xXgx a xX fx a xXfx a ∈ ∈ =∈ ≤=∈ ≤= ∈ ≤ I Suy ra G là tập đóng trong X hay ( ) sup i iI fx ∈ là hàm nửa liên tục dưới trên X . ▄ 1.3.Định lí Cho X là không gian compact, ánh xạ ( ] :,fX→ −∞ ∞ là hàm nửa liên tục dưới trên X. Khi đó, tồn tại o xX∈ sao cho ( ) ( ) { } inf : o fx fx x X= ∈ Chứng minh Với mọi a∈¡ , đặt ( ) { } : a G x Xfx a=∈> , ta được a G là tập mở và a a XG ∈ = ∪ ¡ do X compact nên tồn tại { } 12 ; ; ; n aa a GG G con { } : a Ga∈¡ sao cho 1 i n a i XG = = ∪ đặt { } 12 min ; ; ; on a aa a= ta có ( ) o fx a> với mọi xX∈ do vậy, tồn tại ( ) { } inf :b fx x X= ∈ Giả sử, ( ) fx b> với mọi xX∈ , khi đó ( ) 1 1 : n X x Xfx b n ∞ =  =∪ ∈ >+   do X compact nên tồn tại { } * 12 ; ; ; m nn n ⊂ ¥ sao cho ( ) 1 1 : m i i X x Xfx b n =  =∪ ∈ >+   đặt 12 11 1 ' min ; ; ; m b bb b nn n  = ++ +   , ta có 6 ( ) 'fx b> với mọi xX∈ suy ra ( ) { } inf : 'b fx x X b b= ∈ ≥> (mâu thuẩn) do vậy, tồn tại o xX∈ sao cho ( ) ( ) { } inf : o fx fx x X= ∈ ▄ 1.4.Định nghĩa Tập C là tập con lồi của không gian tuyến tính H nếu C không rỗng và khi ,xy C∈ thì phần tử ( ) ( ) 1tx t y t x y y C+− = − +∈ cho mọi t thỏa 01t≤≤ 1.5.Định nghĩa Cho không gian tuyến tính thực (phức) H và X là tập con lồi của H . Hàm ( ] :,fX→ −∞ ∞ được gọi là lồi ngặt trên X nếu cho mọi ,xy X∈ , ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11f tx t y t f x t f y+− < +− với mọi ( ) 0,1t ∈ . 1.6.Định lí Cho X là tập con lồi của không gian tuyến tính E, { } :fI α α ∈ là họ các hàm lồi ngặt xác định từ X vào ( ] ,−∞ ∞ . Khi đó, hàm g cho bởi ( ) ( ) sup I gx f x α α ∈ = với mọi xX∈ là hàm lồi ngặt trên X. Chứng minh Cho mọi ( ) 12 ; , ; 0,1I xx X t α ∈ ∈∈ ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 21 2 11f tx t x tf x t f x α αα +− < +− Do đó 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 12 1 21 2 1 sup 1 sup 1 1 I I g tx t x f tx t x tf x t f x tg x t g x α α αα α ∈ ∈ +− = +− < +− = +− Điều này chứng tỏ g là hàm lồi ngặt trên X. ▄ 1.7.Định nghĩa Không gian tuyến tính định chuẩn thực (phức) H được gọi là không gian Banach nếu H là một không gian đầy đủ. 1.8.Định nghĩa Không gian Banach thực (phức) H được gọi là không gian Hilbert nếu chuẩn của không gian này sinh ra từ tích vô hướng, nghĩa là ( ) ,x xx= cho mọi xH∈ UNhận xétU: Không gian Hilbert H là không gian phản xạ. 1.9.Định nghĩa Cho C là tập con của không gian Banach E; ánh xạ :TC E→ thỏa mãn Tx Ty r x y−≤− với mọi ,xy C∈ Nếu 01r≤< thì ánh xạ :TC E→ được gọi là ánh xạ co Nếu 1r = thì ánh xạ :TC E→ được gọi là ánh xạ không giãn. 1.10.Định lí (Nguyên lí điểm bất động của ánh xạ co) Cho không gian Banach H , nếu ánh xạ :fH H→ là ánh xạ co thì ánh xạ :fH H→ có duy nhất điểm bất động o xH∈ , nghĩa là ( ) oo fx x= . Chứng minh Với mọi 0 ε > , tồn tại 0 δ > thỏa ( ) 0r r ε δ = ≠ , do giả thuyết nên 8 ( ) ( ) xy fx fy rxy δε −<⇒ − ≤ −< với mọi ,xy X∈ suy ra, :fH H→ là hàm liên tục Với bất kì xX∈ , đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 21 1 n nn x fx x fx f x x fx f x − = = = = = Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 12 2 12 1 nn n n nn n n nn n x x fx fx rx x rfx fx rx x rx x +− − −− −− −= − ≤−= − ≤− ≤− Với bất kì ,;mn m n∈>¥ ta có ( ) 1 12 1 12 11 1 12 1 1 1 mn mm m m n n mm n mm n n xx xx x x x x r xxr xx rxx r r rxx r xx r − −− + −− −− − ≤ − + − ++ − ≤ −+ −++ − = + ++ − ≤− − Theo giả thuyết, 01r≤< , nên { } n x là dãy Cauchy trong không gian Banach X , vì vậy, có o xX∈ sao cho lim on n xx →∞ = Vì :fH H→ là hàm liên tục nên ( ) ( ) ( ) 1 lim lim lim onnno nn n fx f x fx x x + →∞ →∞ →∞ = = = = điều này chứng tỏ :fH H→ có điểm bất động o xH∈ Giả sử, :fH H→ có điểm bất động o yH∈ , ta có ( ) ( ) oo o o oo xy fx fy rxy−= − ≤ − vì 01r≤< nên 0 oo xy−= hay oo xy= hay f có duy nhất điểm bất động o xH∈ ▄ 9 1.11.Định lí Cho không gian Banach phản xạ H , tập X là tập con lồi, đóng của H. Với bất kì hàm ( ] :,fX→ −∞ ∞ lồi, nửa liên tục dưới trên X , giả sử ( ) n fx →∞ khi n x →∞ Khi đó, tồn tại ( ) 0 x Df∈ sao cho ( ) ( ) { } 0 inf :fx fx x X= ∈ Chứng minh Với mọi a∈¡ , xét tập ( ) { } : a C x Xfx a=∈≤ do ( ] :,fX→ −∞ ∞ lồi, nửa liên tục dưới trên X nên a C là tập lồi, đóng mạnh. với \ oa x XC∈ thì { } o x và a C thỏa định lí tách nên tồn tại * ,X ϕα ∈∈¡ sao cho ( ) ( ) re re o xx ϕ αϕ << với mọi a xC∈ khi đó, o x thuộc tập mở yếu ( ) { } :re \ a x X x XC ϕα ∈ <⊂ hay tập \ a XC mở yếu. Điều này tương đương với a C là tập lồi, đóng yếu. nghĩa là hàm ( ] :,fX→ −∞ ∞ lồi, nửa liên tục dưới yếu trên X (1.1.11a) Cố định cX∈ sao cho ( ) fc b= <∞ , xét tập ( ) { } :C x Xfx b=∈≤ . theo chứng minh trên, tập ( ) { } :C x Xfx b=∈≤ đóng yếu mặt khác, tập ( ) { } :C x Xfx b=∈≤ bị chặn, vì nếu không thì tồn tại dãy không bị chặn { } n xC⊂ , kéo do đó, có dãy con { } { } i nn xx⊂ sao cho lim i n i x →∞ = ∞ . mà theo giả thuyết thì ( ) lim i n i fx →∞ = ∞ , mâu thuẩn với ( ) lim i n i fx b →∞ ≤ <∞ . Do H là không gian phản xạ, nên theo Kakutani thì C là tập compact yếu (1.1.11b) Kết hợp (1.1.11a) (1.1.11b) và định lí (1.1.3), tồn tại o xC∈ sao cho ( ) ( ) { } 0 inf :fx fx x X= ∈ Với mọi \x XC∈ thì ( ) ( ) o fx b fx>≥ , do đó 10 ( ) ( ) { } 0 inf :fx fx x X= ∈ ▄ 1.12.Định lí ( bất đẳng thức Schwarz ) Cho không gian Hilbert H, với bất kì ,xy H∈ ta có ( ) ,.xy x y≤ Chứng minh Đặt ( ) 22 ; ,;A x B xy C y= = = Với bất kì số thực r∈¡ , số thực (phức) α thỏa ( ) 1; ,yx B αα = = ta có ( ) ( ) ( ) 22 2 ; ,,xryx ry x r yx r xy ry αα α α − −=− − + (1.1.12a) Vế trái của (1.1.12a) là một số không âm nên ta được ( ) ( ) 22 22 ,, 2 0x r y x r x y r y A Br Cr αα − − + =−+≥ r∈¡ (1.1.12b) Nếu 0C = thì 0B = nên ta có điều phải chứng minh Nếu 0C > thay /r BC= vào (1.1.12b) , ta được ( ) ,.xy x y≤ . ▄ 1.13.Định lí ( Đẳng thức hình bình hành ) Cho không gian Hilbert H, với bất kì ,xy H∈ ta có 2 222 22xy xy x y+ +− = + Chứng minh Với bất kì ,xy H∈ , ta có ( ) ( ) ( ) 22 2 , ,,xy xyxy x xy yx y +=++=+++ ( ) ( ) ( ) 22 2 , ,,xy xyxy x xy yx y−=−−=−−+ Cộng hai đẳng thức trên ta được đẳng thức hình bình hành. ▄ 1.14.Định lí ( Riesz ) Cho không gian Hilbert H, với bất kì hàm ( ) :fH→ ¡£ tuyến tính liên tục luôn tồn tại duy nhất vectơ yH∈ sao cho [...]... Chương 2: ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 2.1 .Điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert 2.1.1 Định lí (Điểm bất động ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert) U U Cho C là tập con lồi, đóng, không rỗng của không gian Hilbert H; ánh xạ T : C → C không giãn Các mệnh đề sau tương đương (a) Tập F(T) các điểm bất động của ánh xạ T không rỗng (b) Với mọi x ∈... U T 1 T 1 Cho C là tập con lồi, đóng, bị chặn trong không gian Hilbert H; ánh xạ T : C → C không giãn Khi đó, T có một điểm bất động trong C 2.2.Định lí egrodic phi tuyến của Ballion 2.2.1 Định lí (Định lí hội tụ của Browder) U U Cho C là tập con lồi, đóng, bị chặn trong không gian Hilbert H; ánh xạ T : C → C không giãn, điểm xo tùy ý trong C; ánh xạ Tn : C → C xác định bởi Khi đó, ta có: (i) 1  1... khi và chỉ khi S khả nghịch trái và khả nghịch phải 2.3.11 Định lí (điểm bất động của nửa nhóm không giao hoán các ánh xạ không giãn) Cho C là tập con lồi đóng của không gian Hilbert H, S thỏa định nghĩa 2.3.10a, họ các ánh xạ {Tt : C → C , t ∈ S } là biểu diễn liên tục của S bởi các - - 29 ánh xạ. .. Định lí (sự hội tụ yếu của {T n x} với T là ánh xạ không giãn) U U Cho C là tập con lồi, đóng, trong không gian Hilbert H; ánh xạ T : C → C là ánh xạ không giãn Với mọi x ∈ C , các mệnh đề sau tương đương: (a) {T n x} hội tụ yếu (b) Nếu F (T ) ≠ ∅ và dãy con {T ni x} của {T n x} hội tụ yếu về y ∈ C thì ta được y ∈ F (T ) ( a ) ⇒ (b) : Chứng minh { } Giả sử, T n x hội tụ yếu về xo và xo ∉ F (T ) Theo định... ∈ H nghĩa là Tλ x = xo theo bổ đề 2.4.3 thì T= T= Q hay Qx = xo và Tµα x → Qx ▄ µ λ - - 35 Chương 3: ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH 3.1 .Điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach 3.1.1 Định nghĩa Cho E là không gian Banach a E được gọi là lồi ngặt nếu với mọi x, y ∈ E... F (T ) ▄ 2.3 Định lí điểm bất động cho nửa nhóm các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert 2.3.1 Định nghĩa U S là semitopological semigroup nếu S là nửa nhóm với tôpô Hausdorff sao U U cho với mọi a ∈ S ánh xạ s a a.s và ánh xạ s a s.a liên tục 2.3.2 Định nghĩa U Cho S là thỏa định nghĩa 2.3.1, C ( S ) là không gian Banach chứa tất cả các hàm giá trị thực xác định, liên tục và bị chặn trên S Trên... một trung bình bất biến µ , C là tập lồi đóng trong không gian Hilbert H, họ {Tt : C → C , t ∈ S } là biểu diễn liên tục của S bởi các ánh xạ không giãn từ C vào C và F ( S ) ≠ ∅ Khi đó, Tµ thỏa mãn (i) T= TTµ Tµ cho mọi t ∈ S = µ Tt t (ii) Tµ : C → F ( S ) là ánh xạ không giãn Nghĩa là Tµ x − Tµ y ≤ x − y ; Tµ 2 = cho mọi x, y ∈ C Tµ (iii) Tµ x ∈ co {Tt : t ∈ S } cho mọi x ∈ C Chứng minh (i): Theo... 2.4.6 Định lí (Định lí Egrodic phi tuyến tổng quát trong không gian Hilbert) U U Cho S là thỏa định nghĩa 2.3.1, C là tập con lồi, đóng của không gian Hilbert H Họ các ánh xạ {Tt : C → C , t ∈ S } là biểu diễn liên tục của S bởi các ánh xạ không giãn từ C vào C thỏa F ( S ) ≠ ∅ Nếu lưới {µα : α ∈ I } của các hàm trung bình xác định trên C(S) là bất biến tiệm cận thì với mọi x ∈ C , {T x} hội tụ yếu... không gian Hilbert H Họ các ánh xạ {Tt : C → C , t ∈ S} gọi là biểu diễn liên tục của S bởi các ánh xạ không giãn từ C vào C nếu S thỏa mãn các điều kiện sau: (i) với mọi t , s ∈ S ; x ∈ C thì Tts x = TTs x t (ii) với mọi x ∈ C , ánh xạ s a Ts x từ S vào C liên tục (iii) với mọi t ∈ S ; x, y ∈ C thì Tt x − Tt y ≤ x − y 2.3.6 Nhận xét: U F ( S )= U { x ∈ C : Ts x = x, ∀s ∈ S } là tập con lồi, đóng của. .. tuyến của Ballion) U U Cho C là tập con lồi, đóng, trong không gian Hilbert H; ánh xạ T : C → C không giãn Khi đó, các mệnh đề sau tương đương: (a) F (T ) ≠ ∅ 1 n−1 k (b) Với mọi x ∈ C , Sn x = ∑ T x hội tụ yếu trong F (T ) Trong trường n k =0 hợp này, nếu Sn x → Qx thì Q : C → F (T ) là ánh xạ không giãn thỏa: (i ) Q2 = Q n ii ) QT n Q khi n (= T= 1,2,3 x; n ( iii ) Qx ∈ co {T n= 0,1,2 } khi x ∈C Chứng . tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn, điểm bất động chung của họ các ánh xạ không giãn, về dãy lặp hội tụ về điểm bất động của ánh xạ không giãn 2: ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 2.1 .Điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert 2.1.1 UĐịnh lí U (Điểm bất động ánh xạ không