Dãy hội tụ về điểm bất động của ánh xạ không giãn và điểm bất động chung

Header Page of 123 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH  LÊ ANH TUẤN DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 Footer Page of 123 Header Page of 123 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH LÊ ANH TUẤN DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số : 60 4601 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 Footer Page of 123 Header Page of 123 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Bổ đề 1.1 1.2 Không gian mêtric Định nghĩa 1.2 Bổ đề 1.3 Định nghĩa 1.4 Định lý 1.5 1.3 Không gian Banach lồi Định nghĩa 1.6 Bổ đề 1.7 CHƯƠNG II ĐỊNH LÝ VỀ SỰ DUY NHẤT CỦA ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH YẾU 2.1 Các định nghĩa Định nghĩa 2.1 Định nghĩa 2.2 Định nghĩa 2.3 Định nghĩa 2.5 Định nghĩa 2.6 2.2 Định lý 2.7 2.3 Định lý 2.8 10 2.4 Định lý 2.9 12 2.5 Hệ 2.10 14 2.6 Hệ 2.11 14 2.7 Định lý 2.12 15 Footer Page of 123 Header Page of 123 2.8 Định lý 2.13 16 2.9 Định lý 2.14 17 2.10 Hệ 2.15 18 2.11 Định lý 2.16 19 CHƯƠNG III 23 LẬP DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG HỌ N ÁNH XẠ TỰA TIỆM CẬN KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LỒI ĐỀU 23 3.1 Các định nghĩa 23 Định nghĩa 3.1 23 Định nghĩa 3.2 23 Định nghĩa 3.3 23 Định nghĩa 3.4 23 Định nghĩa 3.5 24 Định nghĩa 3.6 24 3.2 Định lý 3.7 24 3.3 Định lý 3.8 24 3.4 Định lý 3.9 25 3.5 Ánh xạ loại (A) 25 3.6 Ánh xạ loại (B) 26 3.7 Lập dãy hội tụ điểm bất động họ ánh xạ tựa tiệm cận không giãn 26 3.8 Bổ đề 3.10 27 3.9 Bổ đề 3.11 29 3.10 Định lý 3.12 36 3.11 Định nghĩa 3.13 38 3.12 Định lý 3.14 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 Footer Page of 123 Header Page of 123 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS LÊ HOÀN HÓA – người tận tâm hướng dẫn tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn Tiếp theo, xin gửi lời cám ơn đến quý Thầy Cô hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc, chỉnh sửa đóng góp ý kiến cho hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh Tôi xin cám ơn bàn Giám Hiệu, phòng Sau Đại Học toàn thể quý Thầy Cô khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM giảng dạy tạo điều kiện tốt cho suốt trình nghiên cứu đề tài Cuối cùng, trình viết luận văn khó tránh khỏi điều sai sót, mong góp quý Thầy Cô Bạn đọc để hoàn thiện đề tài Footer Page of 123 Header Page of 123 LỜI NÓI ĐẦU Định lý điểm bất động chung ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên không gian mêtric trình bày nhiều tác giả bài: A Mbarki, Fixed points for near-contractive type multivalued mapping, Southwest J Pure Appl Math; A Djoudi and L Nisse, Gregus type fixed points for weakly compatiple mappings, Bull Belg Math Soc Simon Stevin; M Imdad and J Ali, Jungck’s common fixed point theorems and E A Property, Acta Math Sin; … Cách lập dãy hội tụ mạnh tới điểm bất động chung họ N ánh xạ tựa tiệm cận không giãn không gian Banach lồi nghiên cứu nhiều tác giả qua bài: B E Rhoades, Fixed point iteration for certain nonlinear mapping, J Math Anal Appl; N Shahzad and A Udomene, Approximating common fixed points of two asymptotically quasi nonexpansive mappings in Banach spaces, Fixed point theory and Applicatoins; H K Xu, Existence and convergence for fixed points of mappings of asymptotically non-expansive type, Nonlinear Anal; Luận văn trình bày lại cách có hệ thống kết định lý điểm bất động chung ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên không gian mêtric cách lập dãy lặp hội tụ điểm bất động chung họ N ánh xạ tựa tiệm cận không giãn không gian Banach lồi Footer Page of 123 Header Page of 123 Luận văn trình bày ba chương: Chương I KIẾN THỨC CƠ SỞ Trình bày lại số kết hội tụ dãy số thực, không gian mêtric, không gian Banach lồi sử dụng cho việc chứng minh chương sau Chương II ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH YẾU Xây dựng điều kiện đủ để ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên không gian mêtric có điểm bất động chung Chương III LẬP DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA HỌ N CÁC ÁNH XẠ TỰA TIỆM CẬN KHÔNG GIÃN Cách lập dãy hội tụ điểm bất động chung họ N ánh xạ tựa tiệm cận không giãn không gian Banach lồi Footer Page of 123 Header Page of 123 CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Bổ đề 1.1 ∞ ∞ ∞ Cho dãy số thực không âm = , {rn }n thỏa điều kiện: {α n }n ,= {β n }n = β n < ∞ ∑ n rn < ∞ lim α n tồn Nếu ∑ n = α n +1 ≤ (1 + β n )α n + rn , ∀n ≥= n →∞ ∞ ∞ (Bổ đề chứng minh bởi: K K Tan and H K Xu, Approximating fixed points of nonexpansive mappings by the Ishikawa iteration process, J Math Anal Appl 178 (1993), pp 301-308) 1.2 Không gian mêtric Bên cạnh kiến thức quan trọng nghiên cứu trình học đại học không gian mêtric, phần nhắc lại số định nghĩa sử dụng trình thực luận văn Định nghĩa 1.2 Cho hai tập compact A B không gian mêtric X Độ lệch A B đại lượng ký hiệu e ( A, B ) xác định sau: e ( A, B ) = sup d ( x , B ) x∈A ( ) ( ) Nhận xét: e A, B ≠ e B, A Ví dụ A ⊆ B A ≠ B Khi ta có e ( A, B ) = e ( B, A ) ≠ Bổ đề 1.3 Độ lệch e ( A, B ) hữu hạn tồn điểm a ∈ A cho e ( A, B ) = d ( a, B ) Footer Page of 123 Header Page of 123 Chứng minh Vì A compact nên giới nội Do với y0 ∈ B tìm α > để d ( x , y0 ) < ε , ∀x ∈ A , e ( A, B ) hữu hạn Theo định nghĩa e ( A, B ) tồn xn ∈ A để e ( A, B ) = lim d ( xn , B ) Do A compact nên { xn } có dãy hội tụ tới n →∞ a∈ A (không tính tổng quát ta xem dãy dãy { xn } ) d ( xn , a ) + d ( a, B ) = d ( a, B ) Vậy e ( A, B ) = d ( a, B ) Khi d ( a, B ) ≤ e ( A, B ) ≤ lim n →∞ Định nghĩa 1.4 Khoảng cách Hausdorff (hay gọi siêu mêtric) A B đại lượng ký hiệu H ( A, B ) xác định sau: { } H ( A, B ) = max e ( A, B ) , e ( B, A ) Ký hiệu ℘fb ( X ) tập hợp mà phần tử tập compact khác rỗng không gian mêtric X Định lý 1.5 Siêu mêtric H ( 5) H ( A, B ) ≥ có tính chất sau đây: , ∀A, B ∈℘fb ( X ) ( ) H ( A, B ) = ⇔ A = B ( 7= ) H ( A, B ) H ( B, A ) , ∀A, B ∈℘fb ( X ) ( 8) H ( A, C ) ≤ H ( A, B ) + H ( B, C ) Chứng minh Footer Page of 123 , ∀A, B, C ∈℘fb ( X ) Header Page 10 of 123 ( 5) H ( A, B ) = max {e ( A, B ) , e ( B, A )}   = max sup d ( x, B ) ,sup d ( y, A ) ≥ , ∀A, B ∈℘fb ( X )  x∈A  y∈B ( ) H ( A, B ) = max {e ( A, B ) , e ( B, A )}   = max = sup d ( x , B ) ,sup d ( y, A )  y∈B  x∈A    x ∈ B, ∀x ∈ A  d ( x , B )= 0, ∀x ∈ A ⇔ ⇔  y ∈ A, ∀y ∈ B   d ( y, A )= 0, ∀y ∈ A A ⊂ B ⇔ B hay A = B ⊂ A ( 7) ∀A, B ∈℘fb ( X ), ta coù: { { } }  H ( A, B ) = max e ( A, B ) , e ( B, A )    H ( B, A ) = max e ( B, A ) , e ( A, B )  Suy H ( A, B ) = H ( B, A ) (8) Từ bổ đề 1.2 suy x ∈ A , tồn c ∈ C để: d ( x, B ) ≤ d ( x, c ) + d ( c, B ) ≤ d ( x, C ) + d ( c, B ) , với d ( x, C ) = d ( x, c ) Ta suy e ( A, B ) ≤ e ( A, C ) + e ( C , B ) Tương tự ta có: e ( B, A ) ≤ e ( B, C ) + e ( C , A) Theo tính chất ( 3) ta có: H ( A, B ) = max {e ( A, B ) , e ( B, A )} ≤ max {e ( A, C ) + e ( C , B ) , e ( C , A ) + e ( B, C )} ≤ max {H ( A, C ) + H ( C , B ) , H ( C , A ) + H ( B, C )} Từ định lý khảo sát (℘fb ( X ) , H ) không gian mêtric Footer Page 10 of 123 Header Page 31 of 123 26 3.6 Ánh xạ loại (B) Họ ánh xạ {T1 , T2 , , TN } từ K vào K, K tập E gọi thỏa điều kiện B tồn hàm không giảm f :[ 0, ∞ ) → [ 0, ∞ ) thỏa điều kiện: f(0) = 0, f(r) > 0, ∀ r ∈[ 0, ∞ ) a1 x − T1 x + a2 x − T2 x + + aN x − TN x ≥ f (d ( x, F )), ∀x ∈ K Trong  = d ( x,= F ) inf  x − p : p ∈ F   N  T  a , a2 , …, a N số thực không âm i i =1  cho a + a + + a N = Nhận xét Nếu ta chọn T = T2 = T N = T ta có kết quả: a1 x − Tx + a2 x − Tx + + aN x − Tx ≥ f (d ( x, F )), ∀x ∈ K ⇔ ( a1 + a2 + + aN ) x − Tx ≥ f (d ( x, F )), ∀x ∈ K ⇔ x − Tx ≥ f (d ( x, F )), ∀x ∈ K Tức T ánh xạ thoả điều kiện loại (A) 3.7 Lập dãy hội tụ điểm bất động họ ánh xạ tựa tiệm cận không giãn { } { } Với T : K → K ánh xạ tựa tiệm cận không giãn ; un(1) , , un( N ) dãy { }{ }{ } bị chặn K ; α n(i ) , β n(i ) , γ n(i ) ⊂ [ ;1 ] thoả điều kiện α n( i ) + β n( i ) + γ n( i ) = 1, i ∈ {1, 2, , N } , K tập khác rỗng, đóng lồi không gian định chuẩn X xn( )= α n( )T1n xn + β n( ) xn + γ n( ) un( ) 1 1 2) 2 2 xn( = α n( )T2n xn( ) + β n( ) xn + γ n( ) un( ) 3) 3 3 xn(= α n( )T3n xn( ) + β n( ) xn + γ n( ) un( ) Footer Page 31 of 123 Header Page 32 of 123 27 = ( ) α n( x= n N −1 N −1) N −2 ) TNn−1 xn( + β n( N −1) N −1 N −1 xn + γ n( ) un( ) N N −1 N −1 N N N xn +1 = xn( ) = α n( )TNn xn( ) + β n( ) xn + γ n( ) un( ) (1.6) Bây chứng minh dãy lập (1.6) tồn Thật vậy, trước tiên ta cần kiểm tra T n xn(i ) tồn với i = 1, 2, , N Vì x1 ∈ K nên xn(1) xác định xn(1) ∈ K xn(1) tổ hợp lồi phần tử thuộc K Do xn( 2) tồn xn( N ) tồn từ ta có xn +1 xác định 3.8 Bổ đề 3.10 Cho X không gian định chuẩn K tập đóng lồi X; { } T1 , T2 , , TN : K → K N ánh xạ tựa tiệm cận không giãn với dãy rn(i ) cho = ax {rn(i ) : i 1,2, , N } Dãy rn m= ∞ ∑r Vì kết bổ đề 3.10 ta có: xn +1 − p= xn( N ) − p ≤ (1 + rn ) N xn − p + tn( N ) , ∀n ≥ Trong đó, tn( N ) = (1 + rn ) tn( N −1) + γ n( N ) M cho d ( xn +1 , F ) ≤ (1 + rn ) N xn − p + tn( N ) , ∞ ∑ t( n =1 n N) < ∞ Khi ta có : ∀n ≥ Vì ∞ ∑ rn < ∞ n =1 ∞ ∑ t( n =1 d ( xn , F ) tồn Và theo bổ đề 3.11 ta có: ta có: lim n →∞ Footer Page 41 of 123 n N) < ∞ , bổ đề 1.1 Header Page 42 of 123 37 lim xn − Ti xn = 0, ∀i= 1, 2, , N Vì ánh xạ {T1 , T2 , , TN } ánh xạ loại (B) nên n →∞ d ( xn , F ) = ta suy lim n →∞ d ( xn , F ) = , Tiếp theo, chứng minh dãy { xn } dãy cauchy Vì lim n →∞ ε với ε > , tồn số không âm n0 cho d ( xn , F ) < , ∀n > n0 Vì ε có tìm phần tử p* ∈ F cho xn − p * < Với n ≥ n0 m ≥1 có: xn + m − xn ≤ xn + m − p * + xn − p * ≤ xn0 − p * + xn0 − p * < ε + ε ε = Vì X không gian Banach lồi nên { xn } hội tụ mạnh Giả sử lim xn = q * n →∞ q* ∈ K Để hoàn thành việc chứng minh ta cần chứng minh q* ∈ F Với số dương ε1 cho trước, tồn số nguyên dương n1 cho xn − q * < ε1 với n ≥ n1 Vì lim d ( xn , F ) = nên tồn số nguyên dương n2 ≥ n1 cho n →∞ d ( xn , F ) ≤ ε ε1 với n ≥ n2 Khi có: d ( xn , F ) ≤ Vì tồn 5 w* ∈ F cho xn2 − w * < ε1 Với i = 1, 2, , N n ≥ n2 ta có: Ti q * −q * ≤ Ti q * − w * + w * −q * ≤ q * −w * ≤  q * − xn2 + xn2 − w *  ε ε  <  +  < ε1 4 4 Footer Page 42 of 123 Header Page 43 of 123 38 N Suy Ti q* = q * với i = 1, 2, , N Vì q* ∈ F (Ti ) q* ∈ F =  F (Ti ) i =1 Như dãy { xn } hội tụ mạnh tới điểm bất động họ ánh xạ {T1 , T2 , , TN } 3.11 Định nghĩa 3.13 Cho K tập đóng, khác rỗng không gian Banach X Một ánh xạ T :K →K gọi nửa compact với dãy bị chặn { xn }∞n =1 K { } xn − Txn = tồn dãy xn cho lim n →∞ ∞ j ⊂ { xn }n =1 cho ∞ j =1 lim xn j = x ∈ K j →∞ 3.12 Định lý 3.14 Cho X không gian Banach thực lồi đều, K tập đóng khác rỗng X, họ T1 , T2 , , TN : K → K họ ánh xạ tựa tiệm cận không giãn Với dãy = r {r ( ) } cho ∑ r < ∞ ∞ i n n =1 n n nghĩa (1.6) với ∞ ∑ γ ( ) < ∞, ≤ i ≤ N i n n =1 F = với ε ∈ ( ;1) Nếu { } max = rn( i ) : i 1, 2, , N Cho { xn } định { } 1, 2, , N ứng α n(i ) ⊆ [ε , − ε ] , i = N  F (T ) ≠ ∅ , {T , T , , T } i N nửa compact Khi đó, { xn } i =1 hội tụ mạnh tới điểm bất động họ ánh xạ {T1 , T2 , , TN } Chứng minh Theo giả thiết ta giả sử Ti ánh xạ nửa compact với i0 ∈ {1, 2, , N } Theo { } xn − Ti xn = Vì tồn dãy xn ⊂ { xn } bổ đề 3.11 ta có: lim n →∞ Footer Page 43 of 123 j Header Page 44 of 123 39 lim xn=j x* ∈ K Áp dụng bổ đề 3.11 suy lim xn − Ti xn = với i = 1, 2, , N j →∞ n →∞ j j {T1 , T2 , , TN } họ ánh xạ tựa tiệm cận không giãn cách xây dựng N Từ suy x* ∈ F = dãy { xn } nên x * −Ti x * =  F (Ti ) Vì ta có: i =1 lim d ( xn , F ) = Áp dụng định lý 3.12 ta có { xn }∞n =1 hội tụ mạnh đến điểm bất n →∞ động họ ánh xạ tựa tiệm cận không giãn {T1 , T2 , , TN } TỔNG KẾT Luận văn giới thiệu kết định lý điểm bất động chung ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên không gian mêtric cách lập dãy hội tụ điểm bất động chung ánh xạ tựa tiệm cận không giãn không gian Banach lồi cách hệ thống qua chương sau: Chương II trình bày định định nghĩa ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên, định lý 2.7, định lý 2.8, định lý 2.9, hệ 2.10, hệ 2.11, định lý 2.12, định lý 2.13, định lý 2.14, hệ 2.15 định lý 2.16 ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên không gian mêtric; chương III trình bày định nghĩa, định lý 3.7, định lý 3.8, định lý 3.9, bổ đề 3.10, bổ đề 3.11, định lý 3.12 định lý 3.14 cách lập dãy hội tụ điểm bất động chung ánh xạ tựa tiệm cận không giãn không gian Banach lồi Vì không gian định chuẩn trang bị khoảng cách d ( x, y=) x − y không gian mêtric nên kết không gian định chuẩn Riêng việc lập dãy hội tụ điểm bất động ánh xạ tựa tiệm cận không giãn không gian Banach lồi với không gian này, áp dụng không gian Banach thông thường không gian Banach thường khái niệm lồi cho tập Footer Page 44 of 123 Header Page 45 of 123 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO PGS.TS LÊ HOÀN HÓA, Định Lý Điểm Bất Động Ứng Dụng Sự Tồn Tại Nghiệm Của Phương Trình, đề tài nghiên cứu cấp sở, mã số CS.2008.19.02 GS.TS HOÀNG TỤY, Hàm Thực Giải Tích Hàm, Đại Học Quốc Gia Hà Nội (2005) G S Saluja, Convergence to common fixed point of multi-step iteration with errors for asymptotically quasi-nonexpansive mappings, A M Vietnammica (2001), PP 89-103 H Bouhadjera and C Godet-Thobie, Common fixed point theorems for occasionally weakly compatible maps, A M Vietnammica (2011), PP 1-17 H K Xu, Existence and convergence for fixed points of mappings of asymptotically nonexpansive type, Nonlinear Anal 16 (1991), pp 1139-1146 K K Tan and H K Xu, Approximating fixed points of nonexpansive mappings by the Ishikawa iteration process, J Math Anal Appl 178 (1993), pp 301-308 M O Osilike and S C Aniagbosor, Weak and strong convergence theorems for fixed points of asymptotically nonexpansive mappings, Math and Computer Modelling 32 (2000), PP 1181-1191 S H Khan and W Takahhashi, Approximating common fixed points of two asymptotically nonexpansive mappings, Sci Math Jpn 53 (2001), PP 143-148 Footer Page 45 of 123 ... để ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên khơng gian mêtric có điểm bất động chung Chương III LẬP DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA HỌ N CÁC ÁNH XẠ TỰA TIỆM CẬN KHƠNG GIÃN Cách lập dãy hội tụ điểm. ..Header Page of 123 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH LÊ ANH TUẤN DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG Chun ngành: Tốn Giải Tích... có hệ thống kết định lý điểm bất động chung ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên khơng gian mêtric cách lập dãy lặp hội tụ điểm bất động chung họ N ánh xạ tựa tiệm cận khơng giãn khơng gian Banach