Định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng

Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN ĐỨC THÀNH ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO MỘT SỐ ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRÊN CÁC KHÔNG GIAN KIỂU MÊTRIC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2015 Footer Page of 126 Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN ĐỨC THÀNH ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO MỘT SỐ ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRÊN CÁC KHÔNG GIAN KIỂU MÊTRIC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 62 46 01 02 TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS TRẦN VĂN ÂN TS KIỀU PHƯƠNG CHI NGHỆ AN - 2015 Footer Page of 126 Header Page of 126 iii LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành hướng dẫn PGS TS Trần Văn Ân TS Kiều Phương Chi Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án hoàn toàn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng luận án không trùng lặp với tài liệu khác Tác giả Footer Page of 126 Header Page of 126 iv LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Trần Văn Ân TS Kiều Phương Chi Trước hết, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc người Thầy - PGS TS Trần Văn Ân TS Kiều Phương Chi mình, người đặt toán hướng nghiên cứu cho tác giả Tác giả học nhiều kiến thức khoa học, nhận chia sẻ, yêu thương Thầy trình học tập nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Đinh Huy Hoàng Thầy tận tình bảo tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập, nghiên cứu, để tác giả học tập hoàn thành luận án Tác giả xin bày tỏ cảm ơn đến Ban chủ nhiệm khoa Sư phạm Toán học, Tổ Giải tích đồng nghiệp khoa Sư phạm Toán - Trường Đại học Vinh quan tâm động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả tập trung học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo Sau đại học phòng ban khác Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới GS Erdal Karapinar, Department of Mathematics, Atilim University, 06836 Incek, Ankara, Turkey GS Ljubomir Ciric, Faculty of Mechanical Engineering, University of Belgrade, 12-35 Aleksinackih Rudara, Belgrade, Serbia and Montenegro giúp đỡ to lớn việc trao đổi tài liệu thảo luận toán liên quan Xin cảm ơn thầy cô giáo, anh chị em nghiên cứu sinh Trường Đại học Vinh tất bạn bè tác giả chia sẻ, động viên trình học tập nghiên cứu Footer Page of 126 Header Page of 126 v Cuối cùng, tác giả vô biết ơn thành viên gia đình mình, tạo điều kiện dành tất quan tâm, chia sẻ khó khăn tác giả suốt năm tháng qua để tác giả hoàn thành luận án Nghệ An, năm 2015 Tác giả Footer Page of 126 Header Page of 126 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Điểm bất động số ánh xạ T -co suy rộng không gian mêtric 12 1.1 Điểm bất động ánh xạ T -co kiểu Meir-Keeler 12 1.2 Điểm bất động ánh xạ T -co kiểu tựa co Ciric 20 1.3 Điểm bất động chung ánh xạ T -co kiểu (ψ, ϕ)-co yếu 29 Điểm bất động số lớp ánh xạ co suy rộng không gian mêtric riêng 39 2.1 Không gian mêtric riêng 39 2.2 Điểm bất động ánh xạ co suy rộng không gian mêtric riêng 43 2.3 Điểm bất động chung ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu không gian mêtric riêng 65 Điểm bất động đôi số ánh xạ co suy rộng không gian mêtric riêng có thứ tự phận ứng dụng 82 3.1 Điểm bất động đôi số ánh xạ co suy rộng không gian mêtric riêng 82 3.2 ´Ưng dụng vào lớp phương trình tích phân phi tuyến 92 Footer Page of 126 Header Page of 126 3.3 ´Ưng dụng vào toán cân không cộng tác lý thuyết trò chơi 97 Kết luận kiến nghị 103 Danh mục công trình liên quan trực tiếp đến luận án 105 Tài liệu tham khảo Footer Page of 126 110 Header Page of 126 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1.1 Lý thuyết điểm bất động ứng dụng lĩnh vực nghiên cứu hấp dẫn toán học đại Đây lĩnh vực thu hút quan tâm nhiều nhà toán học nước Lý thuyết điểm bất động công cụ quan trọng để nghiên cứu tượng phi tuyến Nó có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Toán học tồn nghiệm phương trình vi, tích phân, hệ phương trình tuyến tính, phương trình hàm, quỹ đạo đóng hệ động lực Hơn nữa, có nhiều ứng dụng ngành khoa học khác khoa học máy tính, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò chơi, vật lý toán, sinh học, kinh tế Sự phát triển mạnh mẽ lý thuyết điểm bất động nói bắt nguồn từ ứng dụng rộng rãi 1.2 Xuất phát từ ba định lý điểm bất động tiếng: Định lý điểm bất động Brouwer (1911, [22]), định lý điểm bất động Banach (1922, [9]), định lý điểm bất động Tarski (1955, [60]), lý thuyết điểm bất động chia thành ba hướng nghiên cứu chính: Lý thuyết điểm bất động tôpô, lý thuyết điểm bất động mêtric lý thuyết điểm bất động rời rạc Cùng với việc nghiên cứu tồn nghiệm phương trình vi phân thường, nguyên lý ánh xạ co Banach trung tâm lý thuyết điểm bất động không gian mêtric: "Mỗi ánh xạ co từ không gian mêtric đầy đủ (X, d) vào có điểm bất động" Sự đời nguyên lý ánh xạ co Banach với ứng dụng mở phát triển lý thuyết điểm bất động mêtric Footer Page of 126 Header Page of 126 1.3 Hướng nghiên cứu lý thuyết điểm bất động mêtric phát triển chủ yếu theo vấn đề sau: Mở rộng điều kiện co cho ánh xạ; mở rộng định lý điểm bất động biết lên không gian có cấu trúc tương tự không gian mêtric; tìm ứng dụng chúng Đối với vấn đề mở rộng điều kiện co ánh xạ, biết lớp ánh xạ co tiêu biểu kể đến Kannan ([39]), Boyd-Wong ([21]), Meir-Keeler ([42]), Reich ([54]), Ciric ([29]), Zamfirescu ([62]), Hardy Rogers ([36]), Ciric ([27]), Berinde ([14]) Ngoài ra, người ta đề xuất thêm loại ánh xạ co suy rộng như: Φ-co, co yếu, tựa co, hầu co Đối với vấn đề mở rộng không gian, người ta đề xuất định lý điểm bất động ánh xạ co lớp không gian có cấu trúc tương tự không gian mêtric như: Không gian mêtric suy rộng, không gian mêtric nón, không gian 2-mêtric, không gian b-mêtric Đặc biệt, năm 1992, dự án nghiên cứu hiển thị ngôn ngữ lưu thông mạng máy tính, S G Matthew ([45]) đề xuất xây dựng khái niệm không gian mêtric riêng Sau đó, định lý điểm bất động ánh xạ co lớp không gian thiết lập Và gần đây, người ta quan tâm tới việc thiết lập định lý điểm bất động ánh xạ co suy rộng lớp không gian này, xuất phát từ số ý nghĩa ứng dụng chúng Theo mạch vấn đề ứng dụng định lý điểm bất động mêtric, ứng dụng truyền thống biết, gần đây, người ta tìm ứng dụng sâu sắc định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng không gian có cấu trúc kiểu không gian mêtric vào lĩnh vực khác toán học, kinh tế kỹ thuật Có thể nói, mạch vấn đề không phát triển tách rời mà luôn đồng hành, gắn bó mật thiết với Những vấn đề thu hút đông người làm việc lĩnh vực toán giải tích nước Đặc biệt, mạch vấn đề toán thời đặt nghiên cứu giải Footer Page of 126 Header Page 10 of 126 Với lý nêu chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: "Định lý điểm bất động cho số ánh xạ co suy rộng không gian kiểu mêtric ứng dụng" Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án mở rộng số kết tồn điểm bất động số lớp ánh xạ lớp không gian như: không gian mêtric, không gian mêtric riêng, không gian mêtric riêng có thứ tự phận tìm hiểu ứng dụng chúng việc chứng minh tồn nghiệm số lớp phương trình tích phân toán cân không cộng tác lý thuyết trò chơi Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án không gian mêtric, không gian mêtric riêng, ánh xạ co suy rộng không gian mêtric, không gian mêtric riêng, điểm bất động, điểm bất động đôi số lớp ánh xạ không gian mêtric, không gian mêtric riêng, số lớp phương trình tích phân Phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu định lý điểm bất động ánh xạ không gian mêtric, không gian mêtric riêng ứng dụng vào toán tồn nghiệm phương trình tích phân toán cân không cộng tác lý thuyết trò chơi Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết Giải tích hàm, lý thuyết phương trình vi phân, phương trình tích phân lý thuyết điểm bất động trình thực đề tài ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận án mở rộng số kết tồn điểm bất động không gian mêtric, không gian mêtric riêng Đồng thời, áp dụng cácof kết Footer Page 10 126 thu vào việc chứng minh tồn nghiệm số Header Page 101 of 126 96 t K1 (t, s) f (s, x(s)) − f (s, u(s)) − g(s, v(s)) − g(s, y(s)) ds = t − K2 (t, s) f (s, v(s)) − f (s, y(s)) − g(s, x(s)) − g(s, u(s)) ds t x(s) − u(s) v(s) − y(s) + ds 2 t v(s) − y(s) x(s) − u(s) − K2 (t, s)τ e−τ + ds 2 t x(s) − u(s) v(s) − y(s) −τ K1 (t, s) − K2 (t, s) τe + ds 2 K1 (t, s)τ e−τ t |x(s) − u(s)|e−τ s |x(s) − u(s)|e−τ s = τe K1 (t, s) − K2 (t, s) e + ds 2 t y−v τ x−u τ −τ τe max K1 (t, s) − K2 (t, s)|eτ s + ds 2 t,s∈[0,K] τt x−u τ y−v τ −τ e τe + τ 2 Điều kéo theo y−v τ x−u τ |T (x, y)(t) − T (u, v)(t)|e−τ t e−τ + 2 Do đó, với x, y, u, v ∈ X cho x u, y v x τ , y τ , u τ , v τ −τ τs 1, ta có pτ (x, u) + pτ (y, v) Bằng cách lấy logarit hai vế bất phương trình ta nhận pτ (x, u) + pτ (y, v) τ + ln pτ T (x, y), T (u, v) ln Vì F (x) = ln x ∈ F nên T thỏa mãn điều kiện co (3.18) Tiếp theo, giả sử pτ T (x, y), T (u, v) e−τ (α, β) nghiệm đôi phương trình tích phân (3.20) Khi đó, ta có α β , đồng thời α T (α, β) β T (β, α) Cuối cùng, áp dụng Định lý 3.1.7, ta suy T có điểm bất động x Vì T (x, x) = x x nghiệm phương trình (3.20) Footer Page 101 of 126 Header Page 102 of 126 97 ´ 3.3 Ưng dụng vào toán cân không cộng tác lý thuyết trò chơi Lý thuyết trò chơi lĩnh vực nghiên cứu có nhiều ứng dụng thực tế sống sinh học, tâm lý, chiến tranh, đặc biệt lĩnh vực kinh tế Trong lý thuyết trò chơi, người ta thường chia trò chơi thành hai loại trò chơi cộng tác trò chơi không cộng tác Đối với trò chơi cộng tác, người ta quan tâm đến việc tìm chiến thuật thỏa hiệp để đạt khả chiến thắng tối đa Trong đó, trò chơi không cộng tác, thay tìm chiến thuật để có khả chiến thắng tối đa, người ta mong muốn tìm chiến thuật để có khả thất bại tối thiểu Do đó, để có khả thất bại tối thiểu, người ta quan tâm đến việc tìm chiến thuật cho trò chơi trạng thái "cân bằng" Những trạng thái cân gọi điểm cân trò chơi Với mục đích nghiên cứu điểm cân trò chơi, mục này, áp dụng số định lý chứng minh Mục 3.1 để nghiên cứu toán cân không cộng tác trò chơi với hai người chơi Đầu tiên, ta nhắc lại số khái niệm sau 3.3.1 Định nghĩa ([26]) Một trò chơi với hai người chơi G dạng tắc gồm kiện sau: (1) Hai không gian tôpô S1 S2 , tương ứng không gian chiến thuật chơi người chơi người chơi (2) Không gian tôpô cặp chiến thuật (strategies pairs) U ⊂ S1 ×S2 (3) Hàm song thua (a biloss operator) L : U → R2 (s1 , s2 ) → (L1 (s1 , s2 ); L2 (s1 , s2 )), (3.23) Li (s1 , s2 ) hàm thua (loss operator) người chơi thứ i, Footer Page 102 i =of1,126 chiến thuật s1 s2 sử dụng Header Page 103 of 126 98 3.3.2 Định nghĩa ([26]) Cặp (s1 , s2 ) ∈ U gọi điểm cân không cộng tác (a non-cooperative equilibrium) L1 (s1 , s2 ) L1 (s1 , s2 )), ∀s1 ∈ S1 L2 (s1 , s2 ) L2 (s1 , s2 )), ∀s2 ∈ S2 , (3.24) hay L1 (s1 , s2 ) = L1 (s1 , s2 )) s1 ∈S1 L2 (s1 , s2 ) = L2 (s1 , s2 )) (3.25) s2 ∈S2 3.3.3 Định nghĩa ([26]) Các ánh xạ C : S2 → S1 D : S1 → S2 (3.26) thỏa mãn điều kiện L1 (C(s2 ), s2 ) = L1 (s1 , s2 ), ∀s2 ∈ S2 s1 ∈S1 L2 (s1 , D(s1 )) = L2 (s1 , s2 ), ∀s1 ∈ S1 (3.27) s2 ∈S2 gọi phương án định tối ưu (optimal decision rules) ‘ 3.3.4 Nhận xét Rõ ràng nghiệm (s1 , s2 ) hệ C(s2 ) = s1 D(s1 ) = s2 (3.28) điểm cân không cộng tác Xét ánh xạ F xác định F : S1 × S2 → S1 × S2 (s1 , s2 ) → (C(s2 ), D(s1 )) (3.29) Khi đó, điểm bất động (s1 , s2 ) F điểm cân không cộng tác Hơn nữa, với trường hợp D(s) = C(s) với s ∈ S = S1 = S2 ta thấy L1 (s1 , s2 ) = L2 (s2 , s1 ) với (s1 , s2 ) ∈ S1 × S2 D(s) = C(s) Bây giờ, cho ánh xạ T : S1 × S2 → S xác định Footer Page 103 of 126 T (x, y) = C(y) Header Page 104 of 126 99 với x, y ∈ S Giả sử T có điểm bất động đôi (a, b) ∈ S Điều kéo theo a = T (a, b) = C(b) (3.30) b = T (b, a) = C(a) (a, b) điểm bất động đôi ánh xạ (s1 , s2 ) → C(s2 ), C(s1 ) Do đó, tồn điểm bất động đôi T kéo theo tồn điểm cân không cộng tác Vì vậy, ta suy việc chứng minh tồn điểm cân không cộng tác cách chứng minh tồn điểm bất động đôi T thể định lý sau 3.3.5 Định lý Cho (S, ) tập thứ tự phận mêtric riêng p S = S1 = S2 cho (S, p) không gian mêtric riêng 0-đầy đủ G trò chơi với hai người chơi Giả sử phương án định tối ưu hàm đơn điệu, liên tục C : S → S cho 1) Tồn F ∈ F τ > cho τ + F p(C(x), C(y)) với x, y ∈ S thỏa mãn y (3.31) F (p(x, y)) x 2) Tồn x0 , y0 ∈ S cho x0 C(y0 ) y0 C(x0 ) Khi đó, trò chơi với hai người chơi G có điểm cân không cộng tác Chứng minh Xét hàm T : S × S → S xác định T (x, y) = C(y) với x, y ∈ S Vì C liên tục nên T liên tục Lại C đơn điệu nên T có tính chất đơn điệu trộn S Với x, y, u, v ∈ S cho x y v ta có p(T (x, y), T (u, v)) = p(C(y), C(v)) Từ bất đẳng thức (3.31) ta có Footer Page 104 of 126 τ + F p(C(y), C(v)) F (p(y, v)) u, Header Page 105 of 126 100 với y, v ∈ S thỏa mãn y v Hơn max{p(x, u), p(y, v)} τ + F p(C(y), C(v)) p(y, v) F hàm tăng nên ta có F max p(x, u), p(y, v)} , với x, y, u, v ∈ S thỏa mãn x u, y (3.32) v Do đó, bất đẳng thức (3.1) thỏa mãn Áp dụng Định lý 3.1.4, ta suy T có điểm bất động đôi Điều kéo theo trò chơi với hai người chơi G có điểm cân không cộng tác Vì không gian mêtric không gian mêtric riêng nên ta nhận hệ sau 3.3.6 Hệ Cho (S, ) tập thứ tự phận mêtric d S = S1 = S2 cho (S, d) không gian mêtric đầy đủ G trò chơi với hai người chơi Giả sử phương án định tối ưu hàm đơn điệu liên tục C : S → S cho 1) Tồn F ∈ F τ > cho τ + F d(C(x), C(y)) với x, y ∈ S thỏa mãn y (3.33) F (d(x, y)) x 2) Tồn x0 , y0 ∈ S cho x0 C(y0 ) y0 C(x0 ) Khi đó, trò chơi với hai người chơi G có điểm cân không cộng tác Ví dụ sau minh họa cho Hệ 3.3.6 3.3.7 Ví dụ Lấy S = R+ với mêtric thông thường d(x, y) = |x−y| với x, y ∈ S Giả sử G trò chơi với hai người chơi với hàm song thua Footer Page 105 of 126 L1 (s1 , s2 ) = s21 (1 + s2 )e−τ − 2s1 L2 (s1 , s2 ) = s22 (1 + s1 )e−τ − 2s2 Header Page 106 of 126 101 (s1 , s2 ) ∈ R+ × R+ τ > cho trước Dễ dàng tính phương án định tối ưu C, D G e−τ C(s2 ) = + s2 e−τ , D(s1 ) = + s1 s1 , s2 ∈ R+ Rõ ràng D(s) = C(s) với s ∈ R+ C liên tục Ta cần chứng tỏ C thỏa mãn giả thiết Hệ 3.3.6 Thật vậy, ta có d(C(x), C(y)) = e−τ 1 − 1+x 1+y e−τ |x − y| = e−τ d(x, y) với x, y ∈ R+ Lấy logarit hai vế ta nhận τ + ln d(C(x), C(y)) ln d(x, y) với x = y Vì F (x) = ln x ∈ F nên ta suy C thỏa mãn điều kiện 1) Hệ 3.3.6 Lấy x0 = 0, ta có C(x0 ) = e−τ e−τ Với y0 = 1, ta có y0 C(x0 ) Mặt khác x0 = C(y0 ) = Do đó, C thỏa mãn điều kiện Hệ 3.3.6 Vậy, trò chơi với hai người chơi G có điểm cân không cộng tác Kết luận chương Trong Chương này, thu kết sau • Đưa Định lý 3.1.4, Định lý 3.1.5, Định lý 3.1.7 Hệ 3.1.6 khẳng định tồn tồn điểm bất động đôi cho lớp Footer Page 106 126 ánhofxạ kiểu F -co không gian mêtric riêng thứ tự phận Header Page 107 of 126 102 • Áp dụng Định lý 3.1.7 để tồn nghiệm lớp phương trình tích phân phi tuyến kiểu Fredholm • Áp dụng Định lý 3.1.4 để chứng tỏ trò chơi với hai người chơi cân không cộng tác Các kết công bố báo: Tran Duc Thanh, Aatef Hobiny and Erdal Karapinar (2015), A solution for the non-cooperative equilibrium problem of two person via fixed point theory, Journal of Inequalities and Applications, 2015:158, 18 pages, doi: 10.1186/s13660015-0679-3 Footer Page 107 of 126 Header Page 108 of 126 103 kết luận kiến nghị I Kết luận chung Luận án nghiên cứu tồn điểm bất động số lớp ánh xạ không gian mêtric, mêtric riêng, mêtric riêng có thứ tự ứng dụng để chứng minh tồn nghiệm lớp phương trình tích phân toán cân không cộng tác lý thuyết trò chơi Các kết luận án là: 1) Đưa định lý khẳng định tồn điểm bất động lớp ánh xạ T -co cho ánh xạ co Meir-Keleer, tựa co Ciric (ψ, ϕ)-co yếu không gian mêtric 2) Đưa định lý khẳng định tồn tồn điểm bất động cho lớp ánh xạ co suy rộng không gian mêtric riêng 3) Đưa định lý khẳng định tồn điểm bất động chung cho lớp ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu không gian mêtric riêng 4) Đưa định lý khẳng định tồn tồn điểm bất động đôi cho lớp ánh xạ kiểu F -co không gian mêtric riêng có thứ tự phận Ứng dụng kết thu để tồn nghiệm lớp phương trình tích phân toán cân không cộng tác lý thuyết trò chơi 5) Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa cho kết quả, đồng thời chứng tỏ kết thu mở rộng thực kết có II Kiến nghị Trong thời gian tới mong muốn tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau: 1) Nghiên cứu tồn điểm bất động số lớp ánh xạ đa trị không gian mêtric riêng ứng dụng vào toán tồn Footer Page 108 of 126 Header Page 109 of 126 104 nghiệm phương trình tích phân, phương trình vi phân 2) Nghiên cứu ứng dụng định lý điểm bất động không gian mêtric riêng ngành khoa học máy tính Footer Page 109 of 126 Header Page 110 of 126 105 danh mục công trình ncs liên quan trực tiếp đến luận án E Karapinar, K P Chi and T D Thanh (2012), A generalization of Ciric quasicontraction, Abstract and Applied Analysis, Article ID 518734, pages doi:10.1155/2012/518734 (SCIE) K P Chi, E Karapinar and T D Thanh (2012), A generalization of the Meir-Keeler type contraction, Arab Journal of Mathematical Sciences, 18, 141-148 T V An, K P Chi, E Karapinar and T D Thanh (2012), An extension of generalized (ψ, ϕ)-weak contractions, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, Vol 2012, Article ID 431872, 11pages doi:10.1155/2012/431872 K P Chi, E Karapinar and T D Thanh (2012), A generalized contraction principle in partial metric spaces, Mathematical and Computer Modelling, 55, (5-6), 1673-1681 (SCIE) K P Chi, E Karapinar and T D Thanh (2013), On the fixed point theorems for generalized weakly contractive mappings on partial metric spaces, Bulletin of the Iranian Mathematical Society, Vol 39 (2), 369-381 (SCIE) T D Thanh (2015), On the extensions of Ciric’s almost contraction on partial metric spaces, accepted for publication at Journal of Nonlinear Science and Applications (SCIE) T D Thanh, Aatef Hobiny and Erdal Karapinar (2015), A solution for the non-cooperative equilibrium problem of two person via fixed point theory, Journal of Inequalities and Applications, 2015:158, 18 pages, doi: 10.1186/s13660-015-0679-3 (SCIE) Footer Page 110 of 126 Header Page 111 of 126 106 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] T Abdeljawad (2011), Fixed points for generalized weakly contractive mappings in partial metric spaces, Math Comput Modelling, 54 (11-12), 2923-2927 [2] T Abdeljawad, E Karapinar and K Tas (2011), Existence and uniqueness of common fixed point on partial metric spaces, Appl Math Lett., 24 (11), 1894–1899 [3] O Acar, V Berinde and I Altun (2012), Fixed point theorems for Ciric-type strong almost contractions on partial metric spaces, J Fixed Point Theory Appl., 12, 247-259 [4] R P Agarwal, M A El-Gebeily and D O’Regan (2008), Generalized contractions in partially ordered metric spaces, Appl Anal., 87, 1-8 [5] Y I Alber and S Guerre-Delabriere (1997), Principle of weakly contractive maps in Hilbert spaces, Oper Theory Adv Appl., 98, 7-22 [6] I Altun and O Acar (2012), Fixed point theorems for weak contraction in the sense of Berinde on partial metric spaces, Topology Appl., 159, 2642-2648 [7] I Atun and A Erduran (2011), Fixed point theorem for monotone mapping on partial metric spaces, Fixed Point Theory Appl., Article ID 508730 [8] I Altun, F Sola and H Simsek (2010), Generalized contractions on partial metric spaces, Topology Appl., 157 (18), 2778–2785 [9] S Banach (1922), Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aux equations itegrales, Fund Math., 3, 133-181 [10] T G Bhaskar and V Lakshmikantham (2006), Fixed point theorems in partially ordered metric spaces and application, Nonlinear Anal., 65, 1379-1393 [11] V Berinde (2003), Approximating fixed points of weak ϕ- contractions using the Picard iteration, Fixed Point Theory, 4, 131-142 Footer Page 111 of 126 Header Page 112 of 126 107 [12] V Berinde (2011), Generalized coupled fixed point theorems for mixed monotone mappings in partially ordered metric spaces, Nonlinear Anal., 74, 7347-7355 [13] V Berinde (2012), Coupled fixed point theorems for ϕ-contractive mixed monotone mappings in partially ordered metric spaces, Nonlinear Anal., 75, 3218-3228 [14] V Berinde (2004), Approximating fixed points of weak contractions, Nonlinear Anal Forum, 9, 43-53 [15] V Berinde (2003), On the approximation of fixed points of weak contractive mappings, Carpathian J Math., 19, 7-22 [16] V Berinde (2007), Iterative approximation of fixed points, Springer-Verlag, Berlin [17] V Berinde (2009), Some remarks on a fixed point theorem for Cirictype almost contractions, Carpathian J Math., 25, 157-162 [18] R M T Bianchini (1972), Su un problema di S Reich riguardante la teoria dei punti fissi, Boll Unione Mat Ital., 5, 103-108 [19] K C Border (1989), Fixed point theorems with Applications to Economics and Game Theory, Cambridge University Press [20] R K Bose and M K Roychowdhury (2009), Fixed point theorems for generalized weakly contractive mappings, Surv Math Appl., 4, 215-238 [21] D W Boyd and S W Wong (1969), On nonlinear contractions, Proc Amer Math Soc., 20, 458-464 [22] L E J Brouwer (1911), Uber Abbildungen von Mannigfaltigkeiten, Math Ann., 71, pp 97-115 [23] M Bukatin, R Kopperman, S Matthews and H Pajoohesh (2009), Partial metric spaces, Amer Math Monthly., 116 (8), 708–718 [24] K P Chi (2009), On a fixed point theorem for certain class of maps satisfying a contractive condition depended on an another function, Lobachevskii J Math., 30 (4), 289-291 [25] B S Choudhury, P Konar, B E Rhoades and N Metiya (2011), Fixed point theorems for generalized weakly contractive mappings, Nonlinear Anal., 74, 2116–2126 [26] O E Christian (2003),Games, Fixed Points and Mathematical Economics, School of Economics and Finance University of Footer Page 112 of 126 St.Andrews, http://ssrn.com/abstract=976592 Header Page 113 of 126 108 [27] L B Ciric (1974), A generalization of Banach principle, Proc Amer Math Soc., 45, 267–273 [28] L B Ciric (1971), On contraction type mappings, Math Balkanica, 1, 52-57 [29] L B Ciric , Generalized contraction and fixed point theorems, Publ Inst Math., 12 (26), 19-26(1971) [30] M Cosentino, P Vetro (2014), Fixed Point Results for F -Contractive Mappings of Hardy-Rogers-Type, Filomat, 28, 715-722 [31] K Deimling (1985), Nonlinear functional analysis, Springer Verlag, Berlin Heidelberg, New York, Tokyo [32] D Doric (2009), Common fixed point for generalized (ψ, ϕ)-weak contractions, Appl Math Lett., 22, (12), 1896–1900 [33] P N Dutta and B S Choudhury (2001), A generalization of contraction principle in metric spaces, Fixed Point Theory Appl., Article ID 406368 [34] A O Efe (2007), Real Analysis with Economic applications, Princeton University Press [35] R Engelking (1977), General Topology, Polish Scientific Publishers, INC., Warszawa [36] G E Hardy and T D Rogers (1973), A generalization of a fixed point theorem of Reich, Canad Math Bull., 16, 201-206 [37] D Ilic, V Pavlovic and V Rakocevic (2011), Some new extensions of Banach’s contraction principle to partial metric space, Appl Math Lett., 24, 1326-1330 [38] D Ilic, V Pavlovic and V Rakocevic (2012), Extensions of the Zamfirescu theorem to partial metric spaces, Math Comput Modelling, 55, (3-4), 801-809 [39] R Kannan (1968), Some results on fixed points, Bull Calcutta Math Soc., 60, 71 - 76 [40] E Karapinar (2012), Weak ϕ-contraction on partial metric spaces, J Comput Anal Appl., 14, 206-210 [41] E Karapinar and I M Erhan (2011), Fixed point theorems for operators on partial metric spaces, Appl Math Lett., 24, 1900–1904 Footer Page 113 of 126 Header Page 114 of 126 109 [42] A Keeler and A Meir (1969), A theorem on contraction mappings, J Math Anal Appl., 28, 326–329 [43] V Lakshmikantham and L Ciric (2009), Coupled fixed point theorems for nonlinear contractions in partially ordered metric spaces, Nonlinear Anal., 70, 4341-4349 [44] N V Luong and N X Thuan (2011), Coupled point theorems in partially ordered metric spaces and applications, Nonlinear Anal., 74, 983-992 [45] G S Mathews (1992), Partial metric topology, Reseach Report 212, Department of Computer Science University of Warwick [46] G S Mathews (1994), Partial metric topology, Ann New York Acad Sci., 728, 183-197 [47] S Moradi and M Omid (2010), A fixed-point theorem for integral type inequality depending on another function, Int J Math Anal (Ruse), 4, (29-32), 1491-1499 [48] J Nieto and R R Lopez (2005), Contractive mapping theorems in partially ordered sets and applications to ordinary differential equations, Order, 22, 223-239 [49] J Nieto and R R Lopez (2007), Existence and uniqueness of fixed point in partially ordered sets and applications to ordinary differential equations, Acta Math Sin., 23, 2205-2212 [50] S Oltra and O Valero (2004), Banach’s fixed point theorem for partial metric spaces, Rend Istit Mat Univ Trieste, 36, (1-2), 17–26 [51] D Paesano and C Vetro (2014), Multi-valued F -contractions in 0-complete partial metric spaces with application to Volterra type integral equation, Rev Real Acad Cienc Exact Fis Naturales Serie A Matematicas, 108, (2), 1005-1020 [52] E Rakotch (1962), A note on contractive mappings, Proc Amer Math Soc., 13, 459-465 [53] A C M Ran and M C B Reuring (2004), A fixed point theorem in partially ordered sets and some applications to matrix equations, Proc Amer Math Soc., 132, 1435-1443 [54] S Reich (1971), Some remarks concerning contraction mappings, Canad Math Bull., 14, 121-124 Footer Page 114 of 126 Header Page 115 of 126 110 [55] S Reich (1971), Kannan’s fixed point theorem, Boll Uni Mat Ital., 4, 1–11 [56] B E Rhoades (1977), A comparison of various definitons of contractive mappings, Trans Amer Math Soc., 226, 257-290 [57] B E Rhoades (2001), Some theorems on weakly contractive maps, Nonlinear Anal., 47, 2683-2693 [58] S Romaguera (2010), A Kirk type characterization of completeness for partial metric spaces, Fixed Point Theory Appl., Article ID 493298, doi:10.1155/2010/493298, pages [59] M Sgroi and C Vetro (2013), Multi-valued F -contractions and the solution of certain functional and integral equations, Filomat, 27, 1259-1268 [60] A Tarski (1955), A Lattice-Theoretical Fixpoint Theorem and Its Applications, Pacific J Math., 5, 285-309 [61] D Wardowski (2012), Fixed points of a new type of contractive mappings in complete metric spaces, Fixed Point Theory Appl., doi:10.1186/1687-1812-2012-94, pages [62] T Zamfirescu (1972), Fix point theorems in metric spaces, Arch Math., 23, 292-298 [63] Q Zhang and Y Song (2009), Fixed point for generalized ϕ-weak contractions, Appl Math Lett., 22 (1), 75-78 Footer Page 115 of 126 ... Điểm bất động số ánh xạ T -co suy rộng không gian mêtric 12 1.1 Điểm bất động ánh xạ T -co kiểu Meir-Keeler 12 1.2 Điểm bất động ánh xạ T -co kiểu tựa co Ciric 20 1.3 Điểm bất động. .. nghiên cứu không gian mêtric riêng định lý điểm bất động cho số lớp ánh xạ co suy rộng không gian mêtric riêng, Chương 2, đề xuất số kết tồn điểm bất động lớp ánh xạ co suy rộng không gian mêtric. .. chung ánh xạ T -co kiểu (ψ, ϕ) -co yếu 29 Điểm bất động số lớp ánh xạ co suy rộng không gian mêtric riêng 39 2.1 Không gian mêtric riêng 39 2.2 Điểm bất động ánh xạ co suy rộng