Định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN ĐỨC THÀNH ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO MỘT SỐ ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRÊN CÁC KHÔNG GIAN KIỂU MÊTRIC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 62 46 01 02 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2015 Luận án hoàn thành Trường Đại học Vinh Tập thể hướng dẫn khoa học: PGS TS Trần Văn Ân TS Kiều Phương Chi Phản biện 1: GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Phản biện 2: GS TSKH Nguyễn Quang Diệu Phản biện 3: PGS TS Đinh Huy Hoàng Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp Trường Đại học Vinh vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: Thư viện Nguyễn Thúc Hào, Trường Đại học Vinh Thư Viện Quốc gia Việt Nam MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1.1 Lý thuyết điểm bất động ứng dụng lĩnh vực nghiên cứu hấp dẫn toán học đại Đây lĩnh vực thu hút quan tâm nhiều nhà toán học nước Lý thuyết điểm bất động công cụ quan trọng để nghiên cứu tượng phi tuyến Nó có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Toán học tồn nghiệm phương trình vi, tích phân, hệ phương trình tuyến tính, phương trình hàm, quỹ đạo đóng hệ động lực Hơn nữa, có nhiều ứng dụng ngành khoa học khác khoa học máy tính, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò chơi, vật lý toán, sinh học, kinh tế Sự phát triển mạnh mẽ lý thuyết điểm bất động nói bắt nguồn từ ứng dụng rộng rãi 1.2 Xuất phát từ ba định lý điểm bất động tiếng: Định lý điểm bất động Brouwer (1911), định lý điểm bất động Banach (1922), định lý điểm bất động Tarski (1955), lý thuyết điểm bất động chia thành ba hướng nghiên cứu chính: Lý thuyết điểm bất động tôpô, lý thuyết điểm bất động mêtric lý thuyết điểm bất động rời rạc Cùng với việc nghiên cứu tồn nghiệm phương trình vi phân thường, nguyên lý ánh xạ co Banach trung tâm lý thuyết điểm bất động không gian mêtric: "Mỗi ánh xạ co từ không gian mêtric đầy đủ (X, d) vào có điểm bất động" Sự đời nguyên lý ánh xạ co Banach với ứng dụng mở phát triển lý thuyết điểm bất động mêtric 1.3 Hướng nghiên cứu lý thuyết điểm bất động mêtric phát triển chủ yếu theo vấn đề sau: Mở rộng điều kiện co cho ánh xạ; mở rộng định lý điểm bất động biết lên không gian có cấu trúc tương tự không gian mêtric; tìm ứng dụng chúng Đối với vấn đề mở rộng điều kiện co ánh xạ, biết lớp ánh xạ co tiêu biểu kể đến Kannan (1968), Boyd-Wong (1969), MeirKeeler (1969), Reich (1971), Ciric (1971), Zamfirescu (1972), Hardy - Rogers (1973), Ciric (1974), Berinde (2004) Ngoài ra, người ta đề xuất thêm loại ánh xạ co suy rộng như: Φ-co, co yếu, tựa co, hầu co Đối với vấn đề mở rộng không gian, người ta đề xuất định lý điểm bất động ánh xạ co lớp không gian có cấu trúc tương tự không gian mêtric như: Không gian mêtric suy rộng, không gian mêtric nón, không gian 2-mêtric, không gian b-mêtric Đặc biệt, năm 1992, dự án nghiên cứu hiển thị ngôn ngữ lưu thông mạng máy tính, S G Matthew đề xuất xây dựng khái niệm không gian mêtric riêng Sau đó, định lý điểm bất động ánh xạ co lớp không gian thiết lập Và gần đây, người ta quan tâm tới việc thiết lập định lý điểm bất động ánh xạ co suy rộng lớp không gian này, xuất phát từ số ý nghĩa ứng dụng chúng Theo mạch vấn đề ứng dụng định lý điểm bất động mêtric, ứng dụng truyền thống biết, gần đây, người ta tìm ứng dụng sâu sắc định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng không gian có cấu trúc kiểu không gian mêtric vào lĩnh vực khác toán học, kinh tế kỹ thuật Có thể nói, mạch vấn đề không phát triển tách rời mà luôn đồng hành, gắn bó mật thiết với Những vấn đề thu hút đông người làm việc lĩnh vực toán giải tích nước Đặc biệt, mạch vấn đề toán thời đặt nghiên cứu giải Với lý nêu chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: "Định lý điểm bất động cho số ánh xạ co suy rộng không gian kiểu mêtric ứng dụng" Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án mở rộng số kết tồn điểm bất động số lớp ánh xạ lớp không gian như: không gian mêtric, không gian mêtric riêng, không gian mêtric riêng có thứ tự phận tìm hiểu ứng dụng chúng việc chứng minh tồn nghiệm số lớp phương trình tích phân toán cân không cộng tác lý thuyết trò chơi Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án không gian mêtric, không gian mêtric riêng, ánh xạ co suy rộng không gian mêtric, không gian mêtric riêng, điểm bất động, điểm bất động đôi số lớp ánh xạ không gian mêtric, không gian mêtric riêng, số lớp phương trình tích phân Phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu định lý điểm bất động ánh xạ không gian mêtric, không gian mêtric riêng ứng dụng vào toán tồn nghiệm phương trình tích phân toán cân không cộng tác lý thuyết trò chơi Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết Giải tích hàm, Lý thuyết phương trình vi phân, phương trình tích phân Lý thuyết điểm bất động trình thực đề tài Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận án mở rộng số kết tồn điểm bất động không gian mêtric, không gian mêtric riêng Đồng thời, áp dụng kết thu vào việc chứng minh tồn nghiệm số lớp phương trình tích phân toán cân không cộng tác lý thuyết trò chơi Luận án làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh chuyên ngành Toán giải tích nói chung, lý thuyết điểm bất động không gian kiểu mêtric ứng dụng nói riêng Tổng quan cấu trúc luận án Nội dung luận án trình bày chương Ngoài ra, luận án có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, Kết luận Kiến nghị, Danh mục công trình khoa học nghiên cứu sinh liên quan đến luận án Tài liệu tham khảo Chương trình bày mở rộng định lý điểm bất động số lớp ánh xạ không gian mêtric cho ánh xạ kiểu T -co Trong Mục 1.1, nghiên cứu điểm bất động ánh xạ T -co cho ánh xạ co Meir-Keeler Trong Mục 1.2, nghiên cứu điểm bất động ánh xạ T -co cho ánh xạ tựa co Ciric Trong Mục 1.3, nghiên cứu điểm bất động ánh xạ T -co cho ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu Các kết Chương Định lý 1.1.5, Định lý 1.1.8, Định lý 1.2.2, Hệ 1.2.5, Hệ 1.2.6, Hệ 1.2.7 Định lý 1.3.2 Các kết chương đăng tạp chí Arab Journal of Mathematical Sciences, Abstract and Applied Analysis International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences Chương nhằm trình bày số mở rộng kết điểm bất động cho lớp ánh xạ co suy rộng, ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu không gian mêtric riêng Mục 2.1 dành để trình bày số khái niệm, tính chất không gian mêtric riêng Trong Mục 2.2, đưa định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng không gian mêtric riêng Trong Mục 2.3, đưa định lý điểm bất động chung cho ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu không gian mêtric riêng Các kết Chương Định lý 2.2.3, Định lý 2.2.9, Hệ 2.2.10, Hệ 2.2.11, Hệ 2.2.12, Hệ 2.2.13, Định lý 2.3.3, Hệ 2.3.7 Hệ 2.3.8 Các kết chương đăng nhận đăng tạp chí Mathematical and Computer Modelling, Journal of Nonlinear Science and Applications, Bulletin of the Iranian Mathematical Society Chương dành cho việc nghiên cứu tồn điểm bất động đôi ánh xạ không gian mêtric riêng có thứ tự phận ứng dụng Mục 3.1 dành cho việc trình bày chứng minh định lý điểm bất động đôi lớp ánh xạ kiểu F -co không gian mêtric riêng Trong Mục 3.2, ứng dụng kết tìm để nghiên cứu tồn nghiệm phương trình tích phân phi tuyến kiểu Fredholm Cuối cùng, Mục 3.3, áp dụng kết tìm điểm bất động đôi vào toán cân không cộng tác lý thuyết trò chơi Các kết Chương Định lý 3.1.4, Định lý 3.1.5, Định lý 3.1.7, Hệ 3.1.6 Các kết chương đăng tạp chí Journal of Inequalities and Applications Trong luận án này, giới thiệu nhiều ví dụ nhằm minh họa cho kết thu ý nghĩa mở rộng định lý đưa CHƯƠNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT SỐ ÁNH XẠ T -CO SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC Chương dành để trình bày khái niệm ánh xạ T -co Đồng thời, phát biểu chứng minh số định lý điểm bất động ánh xạ T -co cho số ánh xạ co Meir-Keeler (1969), tựa co Ciric (1974) (ψ, ϕ)-co yếu (2009) lớp không gian mêtric 1.1 Điểm bất động ánh xạ T -co kiểu Meir-Keeler Trong mục này, trình bày khái niệm ánh xạ T -co, đồng thời phát biểu chứng minh số mở rộng ánh xạ T -co cho ánh xạ co Meir-Keeler Trước hết đến với định nghĩa sau Định nghĩa 1.1.1 Cho (X, d) không gian mêtric ánh xạ T, S : X → X Ánh xạ S gọi T -co tồn k ∈ [0, 1) cho d(T Sx, T Sy) ≤ kd(T x, T y), với x, y ∈ X (1.1) Rõ ràng, ta chọn T x = x với x ∈ X ánh xạ T -co ánh xạ co Banach Định nghĩa 1.1.3 Cho (X, d) không gian mêtric, ánh xạ T : X → X gọi hội tụ dãy (sequentially convergent) với dãy {yn } ⊂ X mà dãy {T yn } hội tụ dãy {yn } hội tụ Định nghĩa 1.1.4 Cho (X, d) không gian mêtric, ánh xạ S : X → X gọi co Meir-Keeler với ε > tồn δ > cho ε ≤ d(x, y) < ε + δ kéo theo d(Sx, Sy) < ε với x, y ∈ X Định lý 1.1.5 Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ Giả sử ánh xạ T : X → X đơn ánh, liên tục, hội tụ dãy ánh xạ S : X → X thỏa mãn điều kiện: với ε > tồn δ > cho ε ≤ d(T x, T y) < ε + δ kéo theo d(T Sx, T Sy) < ε, (1.2) với x, y ∈ X S có điểm bất động z ∈ X lim T n x = z với x ∈ X n→∞ Nếu ta cho T x = x với x ∈ X Định lý 1.1.5 ta nhận định lý sau A Meir A Keeler Định lý 1.1.6 Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ ánh xạ S : X → X Nếu với ε > tồn δ > cho ε ≤ d(x, y) < ε + δ kéo theo d(Sx, Sy) < ε với x, y ∈ X S có điểm bất động Ví dụ 1.1.7 Lấy X = [1, 8] với mêtric thông thường R: d(x, y) = |x − y| với x, y ∈ X Khi đó, (X, d) không gian mêtric đầy đủ Xét ánh xạ Sx = √ với x ∈ X x Khi đó, S không thỏa mãn điều kiện co Meir-Keeler Xét ánh xạ T : [1, +∞) → [1, +∞) xác định T x = ln x + 1, ∀x ∈ X Rõ ràng, T đơn ánh, liên tục hội tụ dãy S thỏa mãn điều kiện Định lý 1.1.5 Định lý 1.1.8 Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ F : X → X ánh xạ liên tục Giả sử ánh xạ T : X → X đơn ánh, liên tục, hội tụ dãy với ε > tồn δ > cho với x, y ∈ X ta có ε ≤ MT (x, y) < ε + δ kéo theo d(T F x, T F y) < ε, (1.3) MT (x, y) = max d(T x, T y), d(T x, T F x), d(T y, T F y), [d(T x, T F y) + d(T y, T F x)] Khi đó, F có điểm bất động x ∈ X 1.2 Điểm bất động ánh xạ T -co kiểu tựa co Ciric Trong mục này, trình bày khái niệm ánh xạ tựa co Ciric, đồng thời phát biểu chứng minh số mở rộng ánh xạ T -co cho ánh xạ tựa co Ciric (1974) Định nghĩa 1.2.1 Cho (X, d) không gian mêtric, ánh xạ S : X → X gọi tựa co tồn ≤ q < cho d(Sx, Sy) ≤ q max d(x, y), d(x, Sx), d(y, Sy), d(x, Sy), d(y, Sx) , với x, y ∈ X Cho ánh xạ T : X → X, với tập Y ⊂ X với x ∈ X đặt: δ(Y ) = sup{d(x, y) : x, y ∈ Y } O(x, n) = {x, T x, T x, · · · , T n x} với n ∈ N (1.4) O(x, ∞) = {x, T x, T x, · · · } Định lý 1.2.2 Cho (X, d) không gian mêtric, T : X → X ánh xạ đơn ánh, liên tục, hội tụ dãy ánh xạ S : X → X Giả sử tồn q ∈ [0, 1) cho d(T Sx, T Sy) ≤ q max{d(T x, T y), d(T x, T Sx), d(T y, T Sy), d(T x, T Sy), d(T y, T Sx)} (1.5) với x, y ∈ X dãy Cauchy có dạng {T S n x} hội tụ X Khi đó, ta có (i) d(T S i , T S j ) ≤ qδ O(T x, n) , với i, j ∈ {1, 2, , n}, x ∈ X n ∈ N, (ii) δ O(T x, ∞) ≤ 1−q d(T x, T Sx), với x ∈ X, (iii) S có điểm bất động b ∈ X, (iv) lim T S n x = T b với x ∈ X n→∞ Nếu ta cho T x = x với x ∈ X Định lý 1.2.2 ta nhận hệ sau định lý ánh xạ tựa co Ciric (1974) Hệ 1.2.3 Cho (X, d) không gian mêtric ánh xạ S : X → X Nếu tồn q ∈ [0, 1) cho d(Sx, Sy) ≤ q max d(x, y), d(x, Sx), d(y, Sy), d(x, Sy), d(y, Sx) , (1.6) với x, y ∈ X dãy Cauchy có dạng {S n x} hội tụ X S có điểm bất động Ví dụ sau chứng tỏ Định lý 1.2.2 mở rộng thực Định lý ánh xạ tựa co Ciric Ví dụ 1.2.4 Lấy X = R+ với mêtric thông thường: d(x, y) = |x − y| với x, y ∈ X x2 với x ∈ X Ta Rõ ràng (X, d) không gian mêtric đầy đủ Xét ánh xạ Sx = x+1 có, ánh xạ S không thỏa mãn điều kiện co Hệ 1.2.3 S thỏa mãn điều kiện Định lý 1.2.2 với T x = ex − q = Hệ 1.2.5 Cho (X, d) không gian mêtric, T : X → X ánh xạ đơn ánh, liên tục, hội tụ dãy ánh xạ S : X → X Giả sử tồn q ∈ [0, 1) cho d(T Sx, T Sy) ≤ q max{d(T x, T y), d(T x, T Sx), d(T y, T Sy), d(T x, T Sy) + d(T y, T Sx) } với x, y ∈ X dãy Cauchy dạng {T S n x} hội tụ X Khi a) S có điểm bất động b ∈ X (1.7) b) lim T S n x = T b với x ∈ X n→∞ Hệ 1.2.6 Cho (X, d) không gian mêtric, T : X → X ánh xạ đơn ánh, liên tục, hội tụ dãy ánh xạ S : X → X Giả sử tồn q ∈ [0, 1) cho d(T S k x, T S k y) ≤ q max{d(T x, T y), d(T x, T S k x), d(T y, T S k y), d(T x, T S k y), d(T y, T S k x)} (1.8) với x, y ∈ X, số tự nhiên k dãy Cauchy dạng {T S n x} hội tụ X Khi S có điểm bất động b ∈ X Hệ 1.2.7 Cho (X, d) không gian mêtric, T : X → X ánh xạ đơn ánh, liên tục, hội tụ dãy ánh xạ S : X → X Nếu tồn ≥ 0, i = 1, 2, , cho < thỏa mãn i=1 d(T Sx, T Sy) ≤a1 d(T x, T y) + a2 d(T x, T Sx) + a3 d(T y, T Sy) + a4 d(T x, T Sy) + a5 d(T y, T Sx) (1.9) với x, y ∈ X dãy Cauchy dạng {T S n x} hội tụ X (a) S có điểm bất động b ∈ X (b) lim T S n x = T b n→∞ 1.3 Điểm bất động chung ánh xạ T -co kiểu (ψ, ϕ)co yếu Trong mục này, phát biểu chứng minh kết điểm bất động chung ánh xạ T -co cho ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu Ký hiệu Ψ:={ψ : R+ → R+ } họ hàm thỏa mãn điều kiện (i) ψ liên tục, không giảm; (ii) ψ(t) = t = Φ :={ϕ : R+ → R+ } họ hàm thỏa mãn điều kiện (iii) ϕ nửa liên tục dưới; (iv) ϕ(t) = t = Năm 2009, theo hướng mở rộng kết điểm bất động cho ánh xạ kiểu co yếu, D Doric đề xuất chứng minh định lý sau điểm bất động chung hai ánh xạ Định lý 1.3.1 Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ ánh xạ f, g : X → X Nếu tồn hàm ψ ∈ Ψ ϕ ∈ Φ cho ψ d(f x, gy) ≤ ψ M (x, y) − ϕ M (x, y) , (1.10) 11 CHƯƠNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC RIÊNG Chương dành để nghiên cứu tồn điểm bất động số lớp ánh xạ co suy rộng không gian mêtric riêng Trong mục thứ nhất, trình bày khái niệm không gian mêtric riêng, số tính chất tôpô, hội tụ dãy không gian mêtric riêng mối quan hệ không gian mêtric riêng với không gian mêtric Mục thứ hai dành để trình bày số định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng không gian mêtric riêng Chú ý rằng, kỹ thuật chứng minh định lý mục hoàn toàn khác với kỹ thuật chứng minh có không gian mêtric Trong mục cuối chương, thiết lập định lý điểm bất động ánh xạ co yếu thông qua số định lý điểm bất động chung cho ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu 2.1 Không gian mêtric riêng Năm 1992, dự án nghiên cứu hiển thị ngôn ngữ lưu thông mạng máy tính, S G Matthew đề xuất xây dựng khái niệm không gian mêtric riêng Các khái niệm, tính chất tôpô, hội tụ dãy, mối quan hệ không gian mêtric riêng không gian mêtric, nguyên lý ánh xạ co Banach không gian gian mêtric riêng S G Matthew trình bày hội nghị quốc tế Tôpô ứng dụng lần thứ (1994) Khái niệm không gian mêtric riêng nhận cách thay đẳng thức d(x, x) = định nghĩa mêtric bất đẳng thức d(x, x) ≤ d(x, y) với x, y Trước hết, nhắc lại số khái niệm tính chất cần dùng sau, mà chúng đưa S G Matthew Định nghĩa 2.1.1 Cho X tập hợp khác rỗng, ánh xạ p : X × X → R+ gọi mêtric riêng (partial metric) X với x, y, z ∈ X điều kiện sau thỏa mãn (P1) x = y p(x, x) = p(y, y) = p(x, y) 12 (P2) p(x, x) ≤ p(x, y) (P3) p(x, y) = p(y, x) (P4) p(x, z) ≤ p(x, y) + p(y, z) − p(y, y) Tập X với mêtric riêng p gọi không gian mêtric riêng (partial metric space) ký hiệu (X, p) Ví dụ 2.1.2 1) Cho X = R+ ánh xạ p : X × X → R+ xác định p(x, y) = max{x, y} với x, y ∈ X Khi đó, (X, p) không gian mêtric riêng Hơn nữa, (X, p) không không gian mêtric p(x, x) = x > với x > 2) Cho X = {[a, b] : a, b ∈ R, a ≤ b} ánh xạ p : X × X → R+ xác định p([a, b], [c, d]) = max{b, d} − min{a, c}, với [a, b], [c, d] ∈ X Khi đó, (X, p) không gian mêtric riêng 3) Cho X = [0, 1] ∪ [2, 3] ánh xạ p : X × X → R+ xác định p(x, y) = |x − y| max{x, y} {x, y} ⊂ [0, 1] {x, y} ∩ [2, 3] = ∅, với x, y ∈ X Khi đó, (X, p) không gian mêtric riêng Mệnh đề 2.1.3 Giả sử (X, p) không gian mêtric riêng Khi đó, ánh xạ ps , pm : X × X → R+ cho ps (x, y) = 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y) pm (x, y) = max{p(x, y) − p(x, x), p(x, y) − p(y, y)} xác định mêtric tương đương X Định nghĩa 2.1.6 Cho (X, p) không gian mêtric riêng 1) Dãy {xn } X gọi hội tụ tới x ∈ X p(x, x) = lim p(xn , x) n→∞ 2) Dãy {xn } X gọi dãy Cauchy lim p(xn , xm ) tồn n,m→∞ hữu hạn 3) Không gian (X, p) gọi đầy đủ dãy Cauchy {xn } X hội tụ tới x ∈ X theo tôpô τp 4) Hàm f : X → X gọi liên tục x0 ∈ X với ε > 0, tồn δ > cho f (B(x0 , δ)) ⊂ B(f (x0 ), ε) Định nghĩa 2.1.7 Cho (X, p) không gian mêtric riêng 13 1) Dãy {xn } X gọi 0-Cauchy lim p(xn , xm ) = n,m→∞ 2) Không gian (X, p) gọi 0-đầy đủ dãy 0-Cauchy X hội tụ theo tôpô τp tới x ∈ X cho p(x, x) = Mệnh đề 2.1.9 Cho (X, p) không gian mêtric riêng Khi đó, ta có khẳng định sau (1) Nếu {xn } dãy hội tụ không gian mêtric (X, ps ) dãy hội tụ không gian mêtric riêng (X, p) (2) Dãy {xn } dãy Cauchy (X, p) {xn } dãy Cauchy (X, ps ) (3) Không gian (X, p) đầy đủ không gian (X, ps ) đầy đủ Hơn nữa, lim ps (xn , x) = ⇔ lim p(x, x) = lim p(xn , x) = lim p(xm , xn ) n→∞ n→∞ n→∞ n,m→∞ Bổ đề 2.1.11 Cho (X, p) không gian mêtric riêng Khi đó, ta có (1) Nếu p(x, y) = x = y (2) Nếu x = y p(x, y) > 2.2 Điểm bất động ánh xạ co suy rộng không gian mêtric riêng Năm 2010, I Altun, F Sola H Simsek đưa kết tồn điểm bất động ánh xạ co kiểu Hardy-Rogers cho trường hợp X không gian mêtric riêng định lý sau Định lý 2.2.1 Cho (X, p) không gian mêtric riêng đầy đủ T : X → X ánh xạ thỏa mãn p(T x, T y) ≤ ap(x, y) + bp(T x, x) + cp(y, T y) + d p(T x, y) + p(x, T y) , (2.1) với x, y ∈ X, a + b + c + 2d < a, b, c, d ≥ Khi đó, T có điểm bất động Năm 2011, mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach không gian mêtric riêng, D Ilic, V Pavlovic V Rakocevic đề xuất chứng minh kết sau Định lý 2.2.2 Cho (X, p) không gian mêtric riêng đầy đủ T : X → X ánh xạ thỏa mãn p(T x, T y) ≤ max{ap(x, y), p(x, x), p(y, y)}, (2.2) với x, y ∈ X, a ∈ [0, 1) Khi đó, ta có 14 1) Xp = x ∈ X : p(x, x) = inf{p(y, y) : y ∈ X} tập khác rỗng 2) Tồn u ∈ Xp cho T u = u Mở rộng điều kiện co với ánh xạ không gian mêtric riêng, thu kết sau Định lý 2.2.3 Giả sử (X, p) không gian mêtric riêng đầy đủ T : X → X ánh xạ thỏa mãn p(T x, T y) ≤ max ap(x, y), bp(x, T x), cp(y, T y), d[p(x, T y) + p(y, T x)], (2.3) p(x, x), p(y, y) , với x, y ∈ X, a, b, c ∈ [0, 1) d ∈ [0, ) Khi đó, ta có 1) Xp = x ∈ X : p(x, x) = inf{p(y, y) : y ∈ X} tập khác rỗng 2) Tồn u ∈ Xp cho T u = u Định lý 2.2.9 Giả sử (X, p) không gian mêtric riêng đầy đủ ánh xạ T : X → X thỏa mãn p(T x, T y) ≤ M (x, y), (2.4) với x, y ∈ X, M (x, y) = max ap(x, y), bp(x, T x), cp(y, T y), d[p(x, T y) + p(y, T x)], ep(x, x), f p(y, y) a, b, c, 2d, e, f ∈ [0, 1) Khi đó, tồn z ∈ X cho T z = z Hệ 2.2.10 Cho (X, p) không gian mêtric riêng đầy đủ ánh xạ T : X → X thỏa mãn p(T x, T y) ≤ max ap(x, y), bp(x, T x), cp(y, T y), d[p(x, T y) + p(y, T x)], (2.5) p(x, x) + p(y, y) , với x, y ∈ X, a, b, c ∈ [0, 1) d ∈ [0, ) Khi đó, Xp = x ∈ X : p(x, x) = inf{p(y, y) : y ∈ X} tập khác rỗng T có điểm bất động Hệ 2.2.11 Cho (X, p) không gian mêtric riêng đầy đủ T : X → X ánh xạ thỏa mãn p(T x, T y) ≤ max λp(x, y), α[p(x, T x) + p(y, T y)], γ[p(x, T y) + p(y, T x)], p(x, x) + p(y, y) , (2.6) 15 với x, y ∈ X, λ ∈ [0, 1) α, γ ∈ [0, ) Khi ta có 1) Tồn u ∈ Xp cho T u = u 2) p(u, u) = inf{p(y, y) : y ∈ X} Hệ 2.2.12 Cho (X, p) không gian mêtric riêng đầy đủ T : X → X ánh xạ thỏa mãn p(T x, T y) ≤ max ap(x, y), bp(x, T x), cp(y, T y), d[p(x, T y) + p(y, T x)] , với x, y ∈ X, a, b, c ∈ [0, 1) d ∈ [0, ) Khi đó, Xp = x ∈ X : p(x, x) = inf{p(y, y) : y ∈ X} (2.7) tập khác rỗng T có điểm bất động Hệ 2.2.13 Cho (X, p) không gian mêtric riêng đầy đủ T : X → X ánh xạ thỏa mãn p(T x, T y) ≤ap(x, y) + bp(T x, x) + cp(y, T y) + d[p(T x, y) + p(x, T y)] (2.8) + ep(x, x) + f p(y, y) với x, y ∈ X, a + b + c + 2d + e + f < 1, a, b, c, d, e, f ≥ Khi đó, T có điểm bất động Ví dụ sau chứng tỏ Định lý 2.2.3 mở rộng thực Định lý 2.2.2 Ví dụ 2.2.14 Lấy X = [0, 1] ∪ [2, 3] xét ánh xạ p : X × X → R xác định p(x, y) = |x − y| max{x, y} {x, y} ⊂ [0, 1] {x, y} ∩ [2, 3] = ∅ Rõ ràng (X, p) không gian mêtric riêng đầy đủ Hàm T : X → X xác định   1 ≤ x < T x = 21   x = ≤ x ≤ Rõ ràng, T không thỏa mãn điều kiện kiện co Định lý 2.2.2 T thỏa mãn điều kiện co (2.3) Định lý 2.2.3 với < a, b, c, 2d < Ví dụ sau chứng tỏ Định lý 2.2.3 mở rộng thực Hệ 2.2.11 Ví dụ 2.2.15 Lấy X := R+ xét ánh xạ p : X × X → R+ cho p(x, y) = max{x, y} với x, y ∈ X Dễ thấy (X, p) không gian mêtric riêng đầy đủ Xét ánh xạ T : X → X xác định T x = ln(1 + x) với x ∈ X Rõ ràng, T không thỏa mãn điều kiện Hệ 2.2.11 T thỏa mãn điều kiện co Định lý 2.2.3 16 2.3 Điểm bất động chung ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu không gian mêtric riêng Năm 2011, T Abdeljawad, E Karapinar K Tas phát biểu chứng minh kết Q Zhang Y Song không gian mêtric trường hợp X không gian mêtric riêng Định lý 2.3.2 Cho (X, p) không gian mêtric riêng đầy đủ T, S : X → X ánh xạ thỏa mãn p(T x, Sy) ≤ M (x, y) − ϕ M (x, y) , (2.9) với x, y ∈ X, a) ϕ : R+ → R+ hàm liên tục cho ϕ(t) = t = p(x, Sy) + p(T x, y) b) M (x, y) = max p(x, y), p(x, T x), p(y, Sy), , với x, y ∈ X Khi đó, T S có điểm bất động chung Mở rộng kết trên, phát biểu chứng minh định lý điểm bất động chung cho ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu lớp không gian mêtric riêng Định lý 2.3.3 Giả sử (X, p) không gian mêtric riêng đầy đủ T, S : X → X ánh xạ thỏa mãn (2.10) ψ p(T x, Sy) ≤ ψ M (x, y) − ϕ M (x, y) , với x, y ∈ X, a) ψ, ϕ : R+ → R+ hàm liên tục cho ψ(t) = t = 0, ϕ(t) = t = p(x, Sy) + p(T x, y) , với x, y ∈ X b) M (x, y) = max p(x, y), p(x, T x), p(y, Sy), Khi đó, T S có điểm bất động chung Nhận xét 2.3.4 Từ Định lý 2.3.3, chọn ψ(t) = t với t ∈ R+ nhận Định lý 2.3.2 Ví dụ sau chứng tỏ Định lý 2.3.3 mở rộng thực Định lý 2.3.2 Ví dụ 2.3.5 Lấy X = {1, 2, 3, 4} p : X × X → R+ xác định p(2, 2) = p(4, 4) = , p(3, 3) = , p(1, 1) = 0, 13 , p(1, 3) = p(3, 1) = , p(2, 3) = p(3, 2) = , 10 10 p(1, 4) = p(4, 1) = p(3, 4) = p(4, 3) = p(2, 4) = p(4, 2) = p(1, 2) = p(2, 1) = Dễ kiểm tra (X, p) không gian mêtric riêng đầy đủ 17 Ta xác định ánh xạ S, T : X → X cho T = T = T = 1, T = 2, hàm ψ, ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) cho  2t        20t − 15 ψ(t) =      −20t + 28   S1 = 1, S3 = S4 = 2, S2 = 3, nếu nếu nếu ≤ t ≤ 21 , < t ≤ 5, 10 ϕ(t) cho ϕ(t) =  t     5t −   nếu nếu ≤ t ≤ 12 , < t ≤ 10 10 < t ≤ t > Khi đó, Định lý 2.3.3 thỏa mãn với ánh xạ T ánh xạ ψ, ϕ, áp dụng Định lý 2.3.2 Hệ 2.3.7 Giả sử (X, p) không gian mêtric riêng đầy đủ T : X → X ánh xạ thỏa mãn ψ p(T x, T y) ≤ ψ M (x, y) − ϕ M (x, y) , với x, y ∈ X, (2.11) a) ψ, ϕ : R+ → R+ hàm liên tục thỏa mãn ψ(t) = t = ϕ(t) = t = p(x, T y) + p(T x, y) , với x, y ∈ b) M (x, y) = max p(x, y), p(x, T x), p(y, T y), X Khi đó, T có điểm bất động Hệ 2.3.8 Giả sử (X, p) không gian mêtric riêng đầy đủ, T, S : X → X ánh xạ thỏa mãn ψ p(T m x, S n y) ≤ ψ Mm,n (x, y) − ϕ Mm,n (x, y) , (2.12) với x, y ∈ X số tự nhiên m, n, a) ψ, ϕ : R+ → R+ hàm liên tục thỏa mãn ψ(t) = t = ϕ(t) = t = p(x, S n y) + p(T m x, y) , với b) Mm,n (x, y) = max p(x, y), p(x, T m x), p(y, S n y), x, y ∈ X Khi đó, T S có điểm bất động chung 18 Kết luận Chương Trong Chương này, thu kết sau • Đưa Định lý 2.3.3, Định lý 2.2.9, Hệ 2.2.10, Hệ 2.2.11, Hệ 2.2.12 Hệ 2.2.13 khẳng định tồn tồn điểm bất động cho lớp ánh xạ co suy rộng không gian mêtric riêng Đưa Ví dụ 2.2.14 Ví dụ 2.2.15 nhằm minh họa cho Định lý 2.2.3 để kết mở rộng thực so với kết D Ilic, V Pavlovic V Rakocevic (2011,2012) Các kết công bố báo: Kieu Phuong Chi, Erdal Karapinar and Tran Duc Thanh (2012), A generalized contraction principle in partial metric spaces, Mathematical and Computer Modelling, 55, (5-6), 1673-1681, Tran Duc Thanh (2015), On the extensions of Ciric’s almost contraction on partial metric spaces, Journal of Nonlinear Science and Applications, accepted • Đưa Định lý 2.3.3, Hệ 2.3.7 Hệ 2.3.8 khẳng định tồn điểm bất động chung cho lớp ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu không gian mêtric riêng Đưa Ví dụ 2.3.5 2.3.6 minh họa cho Định lý 2.3.3 để kết mở rộng thực so với kết T Abdeljawad, E Karapinar K Tas (2011) Các kết công bố báo: Kieu Phuong Chi, Erdal Karapinar and Tran Duc Thanh (2012), On the fixed point theorems for generalized weakly contractive mappings on partial metric spaces, Bulletin of the Iranian Mathematical Society, 39, (2), 369-381 19 CHƯƠNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI CỦA MỘT SỐ ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC RIÊNG CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN VÀ ỨNG DỤNG Trong chương này, phát biểu chứng minh số định lý điểm bất động đôi cho ánh xạ kiểu F -co suy rộng không gian mêtric riêng có thứ tự phận Sau đó, áp dụng kết thu vào việc chứng minh tồn nghiệm lớp phương trình tích phân phi tuyến toán cân không cộng tác lý thuyết trò chơi 3.1 Điểm bất động đôi số ánh xạ co suy rộng không gian mêtric riêng Trong phần này, phát biểu chứng minh số định lý điểm bất động đôi cho ánh xạ kiểu F -co suy rộng không gian mêtric riêng có thứ tự phận Trước hết, cần số khái niệm điểm bất động đôi ánh xạ đơn điệu trộn cần dùng sau Định nghĩa 3.1.1 Cho (X, ≤) tập thứ tự phận T : X × X → X Ánh xạ T gọi có tính chất đơn điệu trộn (mixed monotone) F không giảm theo biến thứ không tăng theo biến thứ hai, nghĩa là, với x, y ∈ X ta có x1 , x2 ∈ X, x1 ≤ x2 T (x1 , y) ≤ T (x2 , y) y1 , y2 ∈ X, y1 ≤ y2 T (x, y1 ) ≥ T (x, y2 ) Cặp (x, y) ∈ X × X gọi điểm bất động đôi ánh xạ T T (x, y) = x T (y, x) = y Năm 2012, mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach không gian mêtric, D Wardowski đề xuất khái niệm ánh xạ kiểu F -co chứng minh số định lý điểm bất động cho ánh xạ kiểu F -co Định nghĩa 3.1.2 Cho (X, d) không gian mêtric Ánh xạ T : X × X → X gọi F − co tồn F ∈ F τ ∈ R+ cho τ + F (d(T x, T y)) ≤ F (d(x, y)) 20 với x, y ∈ X Trong đó, F họ hàm F : R+ → R thỏa mãn điều kiện (F1 ) (F2 ) (F1 ) F tăng ngặt liên tục (F2 ) Với dãy {an } ⊂ R+ , ta có lim an = lim F (an ) = −∞ n→∞ n→∞ Bằng cách kết hợp ánh xạ đơn điêu trộn, điểm bất động đôi ánh xạ kiểu F -co, phát biểu chứng minh số định lý điểm bất động đôi cho ánh xạ kiểu F -co lớp không gian mêtric riêng Đầu tiên, phát biểu chứng minh định lý sau Định lý 3.1.4 Cho (X, ≤) tập thứ tự phận p mêtric riêng X cho (X, p) không gian mêtric riêng 0-đầy đủ Cho T : X × X → X ánh xạ liên tục có tính chất đơn điệu trộn Giả sử 1) Tồn F ∈ F τ > cho τ + F p(T (x, y), T (u, v)) ≤ F max p(x, u), p(y, v)} (3.1) với x, y, u, v ∈ X thỏa mãn x ≤ u, y ≥ v 2) Tồn x0 , y0 ∈ X cho x0 ≤ T (x0 , y0 ) y0 ≥ T (y0 , x0 ) Khi đó, T có điểm bất động đôi Trong Định lý 3.1.4, cách thay giả thiết tính liên tục ánh xạ T ta thu Định lý sau Định lý 3.1.5 Cho (X, ≤) tập thứ tự phận mêtric riêng p X cho (X, p) không gian mêtric riêng 0-đầy đủ Cho T : X × X → X ánh xạ có tính chất đơn điệu trộn Giả sử 1) Tồn F ∈ F τ > cho τ + F p(T (x, y), T (u, v)) ≤ F max p(x, u), p(y, v)} (3.2) với x, y, u, v ∈ X thỏa mãn x ≤ u, y ≥ v 2) Tồn x0 , y0 ∈ X cho x0 ≤ T (x0 , y0 ) y0 ≥ T (y0 , x0 ) Ngoài ra, giả sử X có tính chất: i) Nếu {xn } dãy không giảm X hội tụ tới x xn ≤ x với n ∈ N ii) Nếu {yn } dãy không tăng X hội tụ tới y yn ≥ y với n ∈ N Khi đó, T có điểm bất động đôi Hệ 3.1.6 Cho (X, ≤) tập thứ tự phận mêtric riêng p X cho (X, p) không gian mêtric riêng 0-đầy đủ Cho T : X × X → X ánh xạ có tính chất đơn điệu trộn Giả sử 1) Tồn F ∈ F τ > cho τ + F p(T (x, y), T (u, v)) ≤ F p(x, u)) + p(y, v) với x, y, u, v ∈ X thỏa mãn x ≤ u, y ≥ v 2) Tồn x0 , y0 ∈ X cho x0 ≤ T (x0 , y0 ) y0 ≥ T (y0 , x0 ) Ngoài ra, giả thiết thêm a) T liên tục, (3.3) 21 b) X có tính chất: i) Nếu {xn } dãy không giảm X hội tụ tới x xn ≤ x với n ∈ N ii) Nếu {yn } dãy không tăng X hội tụ tới y yn ≥ y với n ∈ N Khi đó, T có điểm bất động đôi Bằng cách bổ sung thêm điều kiện, định lý sau chứng tỏ T có điểm bất động Định lý 3.1.7 Giả sử điều kiện Hệ 3.1.6 thỏa mãn Hơn nữa, x0 y0 so sánh với T có điểm bất động 3.2 ´ Ưng dụng vào lớp phương trình tích phân phi tuyến Trong mục này, áp dụng định lý chứng minh Mục 3.1 để nghiên cứu toán tồn nghiệm lớp phương trình tích phân phi tuyến Trong toàn mục này, ta hiểu C A, R) không gian hàm liên tục xác định A nhận giá trị R, K ∈ R Xét phương trình tích phân t [K1 (t, s) + K2 (t, s)] f (s, x(s)) + g(s, x(s) ds, x(t) = h(t) + (3.4) K1 , K2 ∈ C [0, K] × [0, K], R , f, g ∈ C [0, K] × R, R , h ∈ C [0, K], R) hàm chưa biết x ∈ C [0, K], R) Nghiệm phương trình (3.4) hàm liên tục x : [0, K] → R thỏa mãn (3.4) [0, K] Để xét tồn nghiệm x ∈ C [0, K], R) phương trình tích phân (3.4), bổ sung thêm giả thiết sau (A) Tồn f, g ∈ C([0, K] × R, R), h ∈ C [0, K], R) K1 , K2 ∈ C([0, K] × [0, K], R) cho K1 (t, s) ≥ K2 (t, s) ≤ với t, s ∈ [0, K] (B) Hàm f (t, ) : [0, K] × R → R tăng với t ∈ [0, K] hàm g(t, ) : [0, K] × R → R giảm với t ∈ [0, K] (C) Tồn τ ∈ [1, ∞) cho ≤ f (t, x) − f (t, y) ≤ τ e−τ x−y , ∀x ≥ y x−y ≤ g(t, x) − g(t, y) ≤ 0, ∀x ≥ y (D) max |K1 (t, s) − K2 (t, s)| ≤ −τ e−τ t,s∈[0,K] Định nghĩa 3.2.1 Phần tử (α, β) ∈ C [0, K], R × C [0, K], R gọi nghiệm đôi (coupled lower and upper solution) phương trình (3.4) 22 α(t) ≤ β(t) thỏa mãn t α(t) ≤ h(t) + K1 (t, s) f (s, α(s)) + g(s, β(s)) ds t + K2 (t, s) f (s, β(s)) + g(s, α(s)) ds t β(t) ≥ h(t) + K1 (t, s) f (s, β(s)) + g(s, α(s)) ds t + K2 (t, s) f (s, α(s)) + g(s, β(s)) ds Định lý 3.2.2 Cho phương trình tích phân (3.4) với hàm K1 , K2 ∈ C [0, K] × [0, K], R , f, g ∈ C [0, K] × R, R , h ∈ C [0, K], R) giả sử giả thiết (A), (B), (C), (D) thỏa mãn Khi đó, tồn nghiệm đôi phương trình (3.4) kéo theo tồn nghiệm phương trình (3.4) C [0, K], R 3.3 ´ Ưng dụng vào toán cân không cộng tác lý thuyết trò chơi Với mục đích nghiên cứu điểm cân trò chơi, mục này, áp dụng số định lý chứng minh Mục 3.1 để nghiên cứu toán cân không cộng tác trò chơi với hai người chơi Đầu tiên, ta nhắc lại số khái niệm sau Định nghĩa 3.3.1 Một trò chơi với hai người chơi G dạng tắc gồm kiện sau: (1) Hai không gian tôpô S1 S2 , tương ứng không gian chiến thuật chơi người chơi người chơi (2) Không gian tôpô cặp chiến thuật (strategies pairs) U ⊂ S1 × S2 (3) Hàm song thua (a biloss operator) L : U → R2 (s1 , s2 ) → (L1 (s1 , s2 ); L2 (s1 , s2 )), (3.5) Li (s1 , s2 ) hàm thua (loss operator) người chơi thứ i, i = 1, chiến thuật s1 s2 sử dụng Định nghĩa 3.3.2 Cặp (s1 , s2 ) ∈ U gọi điểm cân không cộng tác (a non-cooperative equilibrium) L1 (s1 , s2 ) ≤ L1 (s1 , s2 )), ∀s1 ∈ S1 L2 (s1 , s2 ) ≤ L2 (s1 , s2 )), ∀s2 ∈ S2 , (3.6) hay L1 (s1 , s2 ) = L1 (s1 , s2 )) s1 ∈S1 L2 (s1 , s2 ) = L2 (s1 , s2 )) s2 ∈S2 (3.7) 23 Định nghĩa 3.3.3 Các ánh xạ C : S2 → S1 D : S1 → S2 (3.8) thỏa mãn điều kiện L1 (C(s2 ), s2 ) = L1 (s1 , s2 ), ∀s2 ∈ S2 s1 ∈S1 L2 (s1 , D(s1 )) = L2 (s1 , s2 ), ∀s1 ∈ S1 (3.9) s2 ∈S2 gọi phương án định tối ưu (optimal decision rules) ‘ Định lý 3.3.5 Cho (S, ≤) tập thứ tự phận mêtric riêng p S = S1 = S2 cho (S, p) không gian mêtric riêng 0-đầy đủ G trò chơi với hai người chơi Giả sử phương án định tối ưu hàm đơn điệu, liên tục C : S → S cho 1) Tồn F ∈ F τ > cho τ + F p(C(x), C(y)) ≤ F (p(x, y)) (3.10) với x, y ∈ S thỏa mãn y ≥ x 2) Tồn x0 , y0 ∈ S cho x0 ≤ C(y0 ) y0 ≥ C(x0 ) Khi đó, trò chơi với hai người chơi G có điểm cân không cộng tác Kết luận Chương Trong Chương này, thu kết sau • Đưa Định lý 3.1.4, Định lý 3.1.5, Định lý 3.1.7 Hệ 3.1.6 khẳng định tồn tồn điểm bất động đôi cho lớp ánh xạ kiểu F -co không gian mêtric riêng thứ tự phận • Áp dụng Định lý 3.1.7 để tồn nghiệm lớp phương trình tích phân phi tuyến kiểu Fredholm • Áp dụng Định lý 3.1.4 để chứng tỏ trò chơi với hai người chơi cân không cộng tác Các kết công bố báo: Tran Duc Thanh, Aatef Hobiny and Erdal Karapinar (2015), A solution for the non-cooperative equilibrium problem of two person via fixed point theory, Journal of Inequalities and Applications, 2015:158, 18 pages, doi: 10.1186/s13660-015-0679-3 24 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Luận án nghiên cứu tồn điểm bất động số lớp ánh xạ không gian mêtric, mêtric riêng, mêtric riêng có thứ tự ứng dụng để chứng minh tồn nghiệm lớp phương trình tích phân toán cân không cộng tác lý thuyết trò chơi Các kết luận án là: 1) Đưa định lý khẳng định tồn điểm bất động lớp ánh xạ T -co cho ánh xạ co Meir-Keleer, tựa co Ciric (ψ, ϕ)-co yếu không gian mêtric 2) Đưa định lý khẳng định tồn tồn điểm bất động cho lớp ánh xạ co suy rộng không gian mêtric riêng 3) Đưa định lý khẳng định tồn điểm bất động chung cho lớp ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu không gian mêtric riêng 4) Đưa định lý khẳng định tồn tồn điểm bất động đôi cho lớp ánh xạ kiểu F -co không gian mêtric riêng có thứ tự phận Ứng dụng kết thu để tồn nghiệm lớp phương trình tích phân toán cân không cộng tác lý thuyết trò chơi 5) Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa cho kết quả, đồng thời chứng tỏ kết thu mở rộng thực kết có Kiến nghị Trong thời gian tới tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau: 1) Nghiên cứu tồn điểm bất động số lớp ánh xạ đa trị không gian mêtric riêng ứng dụng vào toán tồn nghiệm phương trình tích phân, phương trình vi phân 2) Nghiên cứu ứng dụng định lý điểm bất động không gian mêtric riêng ngành khoa học máy tính DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA NGHIÊN CỨU SINH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN E Karapinar, K P Chi and T D Thanh (2012), A generalization of Ciric quasicontraction, Abstract and Applied Analysis, Article ID 518734, pages doi:10.1155/2012/ 518374(SCIE) K P Chi, E Karapinar and T D Thanh (2012), A generalization of the MeirKeeler type contraction, Arab Journal of Mathematical Sciences, 18, 141-148 T V An, K P Chi, E Karapinar and T D Thanh (2012), An extension of generalized (ψ, ϕ)-weak contractions, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, Vol 2012, Article ID 431872, 11pages doi:10.1155/2012/431872 K P Chi, E Karapinar and T D Thanh (2012), A generalized contraction principle in partial metric spaces, Mathematical and Computer Modelling, 55, (5-6), 16731681 (SCIE) K P Chi, E Karapinar and T D Thanh (2013), On the fixed point theorems for generalized weakly contractive mappings on partial metric spaces, Bulletin of the Iranian Mathematical Society, Vol 39 (2), 369-381 (SCIE) T D Thanh (2015), On the extensions of Ciric’s almost contraction on partial metric spaces, accepted for publication at Journal of Nonlinear Science and Applications (SCIE) T D Thanh, Aatef Hobiny and Erdal Karapinar (2015), A solution for the noncooperative equilibrium problem of two person via fixed point theory, Journal of Inequalities and Applications, 2015:158, 18 pages, doi: 10.1186/s13660-015-0679-3 (SCIE) CÁC KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN ĐÃ ĐƯỢC BÁO CÁO TẠI • Seminar Tổ Giải tích thuộc Khoa Toán Trường Đại học Vinh • Các hội nghị NCS Trường Đại học Vinh (2011 - 2015) • Hội nghị Toán học phối hợp Việt - Pháp Huế 20-24/8/2012 • Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ Nha Trang 10-14/8/2013 [...]... lớp các ánh xạ T -co cho các ánh xạ co Meir-Keleer, tựa co Ciric và (ψ, ϕ) -co yếu trong không gian mêtric 2) Đưa ra các định lý khẳng định sự tồn tại và tồn tại duy nhất điểm bất động cho lớp ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng 3) Đưa ra các định lý khẳng định sự tồn tại duy nhất điểm bất động chung cho lớp các ánh xạ kiểu (ψ, ϕ) -co yếu trong không gian mêtric riêng 4) Đưa ra các định lý. .. được gọi là điểm bất động bộ đôi của ánh xạ T nếu T (x, y) = x và T (y, x) = y Năm 2012, khi mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach trong không gian mêtric, D Wardowski đã đề xuất khái niệm ánh xạ kiểu F -co và chứng minh một số định lý điểm bất động cho các ánh xạ kiểu F -co Định nghĩa 3.1.2 Cho (X, d) là không gian mêtric Ánh xạ T : X × X → X được gọi là F − co nếu tồn tại F ∈ F và τ ∈ R+ sao cho τ + F... niệm không gian mêtric riêng, một số tính chất tôpô, sự hội tụ của dãy trong không gian mêtric riêng và mối quan hệ giữa không gian mêtric riêng với không gian mêtric Mục thứ hai dành để trình bày một số định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng Chú ý rằng, các kỹ thuật chứng minh trong các định lý ở mục trên hoàn toàn khác với các kỹ thuật chứng minh đã có trong các không. .. đó, áp dụng các kết quả thu được vào việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của một lớp phương trình tích phân phi tuyến và bài toán cân bằng không cộng tác trong lý thuyết trò chơi 3.1 Điểm bất động bộ đôi của một số ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng Trong phần này, chúng tôi phát biểu và chứng minh một số định lý điểm bất động bộ đôi cho ánh xạ kiểu F -co suy rộng trong các không gian mêtric. .. generalized weakly contractive mappings on partial metric spaces, Bulletin of the Iranian Mathematical Society, 39, (2), 369-381 19 CHƯƠNG 3 ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI CỦA MỘT SỐ ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC RIÊNG CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN VÀ ỨNG DỤNG Trong chương này, chúng tôi phát biểu và chứng minh một số định lý điểm bất động bộ đôi cho ánh xạ kiểu F -co suy rộng trong các không gian mêtric riêng có... đó, F là họ các hàm F : R+ → R thỏa mãn các điều kiện (F1 ) và (F2 ) (F1 ) F tăng ngặt và liên tục (F2 ) Với mỗi dãy {an } ⊂ R+ , ta có lim an = 0 nếu và chỉ nếu lim F (an ) = −∞ n→∞ n→∞ Bằng cách kết hợp giữa ánh xạ đơn điêu trộn, điểm bất động bộ đôi và ánh xạ kiểu F -co, chúng tôi phát biểu và chứng minh một số định lý điểm bất động bộ đôi cho các ánh xạ kiểu F -co trên lớp các không gian mêtric riêng... y (2) Nếu x = y thì p(x, y) > 0 2.2 Điểm bất động của ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng Năm 2010, I Altun, F Sola và H Simsek đã đưa ra kết quả về sự tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ co kiểu Hardy-Rogers cho trường hợp X là không gian mêtric riêng bởi định lý sau Định lý 2.2.1 Cho (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ và T : X → X là ánh xạ thỏa mãn p(T x, T y) ≤ ap(x, y)... trong các không gian mêtric Trong mục cuối cùng của chương, chúng tôi thiết lập các định lý điểm bất động đối với ánh xạ co yếu thông qua một số định lý điểm bất động chung cho các ánh xạ kiểu (ψ, ϕ) -co yếu 2.1 Không gian mêtric riêng Năm 1992, trong dự án nghiên cứu về sự hiển thị ngôn ngữ và lưu thông mạng máy tính, S G Matthew đã đề xuất và xây dựng khái niệm không gian mêtric riêng Các khái niệm,... được là mở rộng thực sự của các kết quả đã có 2 Kiến nghị Trong thời gian tới chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu các vấn đề sau: 1) Nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của một số lớp ánh xạ đa trị trong không gian mêtric riêng và ứng dụng vào các bài toán về sự tồn tại nghiệm của các phương trình tích phân, phương trình vi phân 2) Nghiên cứu ứng dụng của các định lý điểm bất động trên không gian mêtric riêng... tục sao cho ϕ(t) = 0 nếu và chỉ nếu t = 0 p(x, Sy) + p(T x, y) b) M (x, y) = max p(x, y), p(x, T x), p(y, Sy), , với mọi x, y ∈ X 2 Khi đó, T và S có điểm bất động chung duy nhất Mở rộng kết quả trên, chúng tôi phát biểu và chứng minh định lý điểm bất động chung cho ánh xạ kiểu (ψ, ϕ) -co yếu trên lớp các không gian mêtric riêng Định lý 2.3.3 Giả sử (X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ và T, S :