Đối ngẫu liên hợp cho bài toán tối ưu đa mục tiêu và ứng dụng tt

Hi»n nay, èing¨u li¶n hñp Fenchel ÷ñc sû döng mët c¡ch rëng r¢i v phê bi¸n trongtèi ÷u lçi... êi tüa li¶n hñp.

VI›N H€N L…M KHOA HÅC V€ CÆNG NGH› VI›T NAM

T Rockafellar, Y Sawaragi v  ð Vi»t Nam l  c¡c cæng tr¼nh cõa c¡c t¡cgi£ Ho ng Töy, Ph¤m Húu S¡ch, inh Th¸ Löc, Phan Thi¶n Th¤ch, VôNgåc Ph¡t, Nguy¹n ành, Ban ¦u lþ thuy¸t èi ng¨u ÷ñc x¥y düngcho c¡c b i to¡n tèi ÷u tuy¸n t½nh bði A W Tucker v  nhâm cõa æng, sau

â c¡c nh  to¡n håc ¢ mð rëng cho tr÷íng hñp phi tuy¸n, tèi ÷u a möcti¶u v  c£ trong tèi ÷u a trà Lþ thuy¸t èi ng¨u ÷ñc ÷a ra thüc sü câ

þ ngh¾a v  câ nhi·u ùng döng khi nâ £m b£o ÷ñc èi ng¨u m¤nh Tuynhi¶n, trong tr÷íng hñp têng qu¡t vi»c câ ÷ñc èi ng¨u m¤nh l  r§t khâkh«n Cho ¸n nay c¡c nh  to¡n håc mîi ch¿ ÷a ra ÷ñc èi ng¨u m¤nhcho mët sè lîp c¡c b i to¡n thäa m¢n mët sè i·u ki»n n o â ¢ cânhi·u k¸t qu£ quan trång v· èi ng¨u cho c¡c b i to¡n tèi ÷u, c¡c k¸t qu£

n y chõ y¸u câ ÷ñc düa tr¶n lþ thuy¸t èi ng¨u Lagrange v  èi ng¨uli¶n hñp düa v o c¡c ph²p bi¸n êi li¶n hñp nh÷ ph²p bi¸n êi li¶n hñp

Fenchel, ph²p bi¸n êi tüa li¶n hñp v  mët sè ph²p bi¸n êi li¶n hñp kh¡c.Vîi b i to¡n tèi ÷u væ h÷îng, c¡c nh  to¡n håc ¢ thu ÷ñc èi ng¨um¤nh cho lîp c¡c b i to¡n tèi ÷u lçi bði èi ng¨u Lagrange hay èi ng¨uFenchel nh÷ c¡c k¸t cõa c¡c t¡c gi£: R T Rockafellar, H.W Kuhn v  A.

W Tucker, H Töy Trong tr÷íng hñp b i to¡n tèi ÷u khæng lçi, mët sèk¸t qu£ hay ÷ñc nâi ¸n l  cõa Phan Thi¶n Th¤ch

Vîi b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u, vi»c thu ÷ñc èi ng¨u m¤nh trðn¶n khâ kh«n hìn Cho ¸n nay c¡c ph÷ìng ph¡p chõ y¸u l  düa tr¶n lþthuy¸t èi ng¨u Lagrange v  èi ng¨u Fenchel b¬ng c¡ch væ h÷îng hâa

h m möc ti¶u hay nhóng b i to¡n ban ¦u v o trong lîp c¡c b i to¡n tèi

÷u ÷ñc nhi¹u bði c¡c tham sè C¡c b i to¡n èi ng¨u ÷ñc x¥y düng bðic¡c ph÷ìng ph¡p tr¶n th÷íng l  b i to¡n tèi ÷u væ h÷îng hay tèi ÷u atrà, do â sì ç èi ng¨u thu ÷ñc th÷íng l  khæng èi xùng Ngo i ra,trong nhi·u k¸t qu£ º câ èi ng¨u m¤nh th¼ b i to¡n ban ¦u ph£i l  b ito¡n tèi ÷u lçi

Trong lþ thuy¸t èi ng¨u li¶n hñp, b i to¡n èi ng¨u cõa mët b i to¡ngèc trong khæng gian X:

max(min){f (x)| A ⊂ X}

÷ñc x¥y düng trong khæng gian èi ng¨u X∗:

max(min){g(p)| A∗ ⊂ X∗},trong â g l  h m li¶n hñp cõa f v  A∗ l  tªp li¶n hñp cõa A sao cho hai

b i to¡n li¶n quan ch°t ch³ vîi nhau, thº hi»n qua vi»c nghi¶n cùu b ito¡n èi ng¨u s³ cung c§p thæng tin v· b i to¡n gèc hay º gióp cho vi»cgi£i b i to¡n gèc d¹ d ng hìn trong tr÷íng hñp tèt nh§t Hi»n nay, èing¨u li¶n hñp Fenchel ÷ñc sû döng mët c¡ch rëng r¢i v  phê bi¸n trongtèi ÷u lçi èi vîi lîp c¡c b i to¡n têng qu¡t hìn, mët sè k¸t qu£ ÷ñc

kº ra ð ¥y l  cõa Phan Thi¶n Th¤ch, t¡c gi£ ¢ ÷a ra èi ng¨u m¤nh

cho lîp c¡c b i to¡n tüa lçi düa tr¶n ph²p bi¸n êi tüa li¶n hñp cõa h m

f\(p) = 1

{sup{f (x) : pTx ≤ 1, x ≥ 0} (1)cho lîp c¡c b i to¡n quy ho¤ch tuy¸n t½nh v  ch¿ ra r¬ng b i to¡n èi ng¨ucõa b i to¡n cüc ¤i mët h m tuy¸n t½nh khæng gi£m tr¶n tªp lçi trongRn+

l  b i to¡n s£n xu§t Leontief Chó þ r¬ng, trong tr÷íng hñp tuy¸n t½nh,

b i to¡n èi ng¨u ÷ñc lªp bði lþ thuy¸t èi ng¨u Lagrange hay èi ng¨uFenchel l  tròng nhau v  công l  b i to¡n quy ho¤ch tuy¸n t½nh K¸t qu£kh¡c bi»t n y gióp Phan Thi¶n Th¤ch ch¿ ra c¡c °c tr÷ng cho t½nh phi d÷thøa trong b i to¡n s£n xu§t Leontief düa tr¶n mèi li¶n h» èi ng¨u giúanguy¶n li»u s£n xu§t v  gi¡ nguy¶n li»u, ch¯ng h¤n nh÷ sü tçn t¤i gi¡ °ctr÷ng º ÷a r ng buëc t i nguy¶n v· r ng buëc ìn gi£n hìn v· vèn s£nxu§t K¸t qu£ mð ¦u n y cán mð ra cho ta nhúng ùng döng rëng hìn.Trong luªn ¡n n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ mîi khi nghi¶ncùu mð rëng sì ç èi ng¨u li¶n hñp düa tr¶n ph²p bi¸n êi tüa li¶n hñpd¤ng (1) cho lîp c¡c b i to¡n rëng hìn bao gçm c¡c b i to¡n tèi ÷u væh÷îng v  tèi ÷u a möc ti¶u phi tuy¸n, çng thíi ùng döng k¸t qu£ èing¨u ¢ ¤t ÷ñc v o nghi¶n cùu mët sè b i to¡n trong kinh t¸ Luªn ¡nbao gçm 3 ch÷ìng

Ch÷ìng 1 "Ph²p bi¸n êi tüa li¶n hñp" nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n °ctr÷ng cho lîp h m thäa m¢n t½nh ph£n x¤ v  âng k½n qua ph²p bi¸n

êi tüa li¶n hñp K¸t qu£ n y gióp chóng ta thu ÷ñc t½nh èi xùng cõa

èi ng¨u cho c°p b i to¡n gèc-èi ng¨u s³ ÷ñc tr¼nh b y trong ch÷ìng

2 Nhªn th§y c¡c h m tuy¸n t½nh khæng gi£m tr¶n Rn+ v  h m s£n xu§tLeontief ·u l  nhúng tr÷íng hñp ri¶ng cõa lîp h m a di»n lãm thu¦nnh§t d÷ìng v  ìn i»u t«ng tr¶n Rn, chóng tæi ¢ chùng minh ÷ñc r¬nglîp h m n y thäa m¢n t½nh ph£n x¤, âng k½n qua ph²p bi¸n êi tüa li¶nhñp v  ¥y l  sü mð rëng g¦n nh§t cho lîp h m tuy¸n t½nh ¢ ÷ñc x²ttr÷îc â Mët k¸t qu£ mð rëng hìn công ÷ñc ÷a ra khi chóng tæi chùngminh ÷ñc r¬ng lîp c¡c h m nûa li¶n töc tr¶n, tüa lãm v  ìn i»u t«ngtr¶n Rn, l  lîp h m têng qu¡t thäa m¢n t½nh ph£n x¤ èi vîi ph²p bi¸n

êi tüa li¶n hñp Lîp c¡c h m n y bao h m ph¦n lîn c¡c h m s£n xu§ttrong c¡c mæ h¼nh kinh t¸, ch¯ng h¤n nh÷ c¡c h m s£n xu§t Leontief,Cobb-Douglas, Leontief mð rëng, Cobb-Douglas mð rëng, Ch÷ìng n ycông ÷a ra kh¡i ni»m tüa d÷îi vi ph¥n v  chùng minh mët sè t½nh ch§tcõa tüa d÷îi vi ph¥n º phöc vö cho vi»c chùng minh c¡c k¸t qu£ v· èing¨u ð c¡c ch÷ìng sau

Ch÷ìng 2 "èi ng¨u li¶n hñp cho c¡c b i to¡n tèi ÷u" tr¼nh b y i·uki»n c¦n v  õ tèi ÷u d÷îi d¤ng mð rëng cõa nguy¶n lþ Fermat cho b ito¡n tèi ÷u væ h÷îng Tø nhúng k¸t qu£ mîi v· ph²p bi¸n êi tüa li¶n hñp

¢ tr¼nh b y trong Ch÷ìng 1, chóng tæi ÷a ra sì ç èi ng¨u li¶n hñp cholîp c¡c b i to¡n tèi ÷u væ h÷îng v  tèi ÷u a möc ti¶u vîi gi£ thi¸t möcti¶u l  c¡c h m a di»n lãm, thu¦n nh§t d÷ìng, ìn i»u t«ng tr¶n Rn v têng qu¡t hìn núa khi x²t vîi c¡c h m möc ti¶u ch¿ tüa lãm, li¶n töc v 

ìn i»u t«ng ch°t tr¶n Rn+ K¸t qu£, chóng ta thu ÷ñc èi ng¨u m¤nh,

èi xùng v  b i to¡n èi ng¨u cõa b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u công l  b ito¡n tèi ÷u a möc ti¶u Ngo i ra, chóng tæi cán ÷a ra ÷ñc ¯ng thùc

èi ng¨u gióp °c tr÷ng cho c°p nghi»m húu hi»u cõa c¡c b i to¡n tèi ÷u

a möc ti¶u gèc v  èi ng¨u

Ch÷ìng 3 "Ùng döng" tr¼nh b y ùng döng sì ç èi ng¨u li¶n hñp v onghi¶n cùu mët sè b i to¡n s£n xu§t trong kinh t¸ Nhí èi ng¨u li¶n hñpchóng tæi chùng minh ÷ñc b i to¡n t¼m ph÷ìng ¡n s£n xu§t vîi mët r ngbuëc ph¥n bè nguçn lüc (b i to¡n gi£i h» phi tuy¸n) t÷ìng ÷ìng vîi b ito¡n cüc ¤i mët h m lãm ch°t tr¶n mët a di»n lçi i·u n y gióp ch¿ rar¬ng b i to¡n vîi mët r ng buëc ph¥n bè nguçn lüc câ mët nghi»m duynh§t v  ÷ñc gi£i bði b i to¡n tèi ÷u lçi ìn gi£n hìn B i to¡n mð rëngt¼m ph÷ìng ¡n s£n xu§t vîi k (k > 1) r ng buëc ph¥n bè nguçn lüc t÷ìng

÷ìng vîi b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u vîi c¡c möc ti¶u l  c¡c h m s£nxu§t Cobb-Douglas, k¸t qu£ n y gióp chóng ta quy mët lîp c¡c b i to¡ntèi ÷u khæng lçi vîi c¡c r ng buëc ph¥n bè nguçn lüc v· b i to¡n tèi ÷utr¶n tªp nghi»m húu hi»u Pareto cõa mët b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u B ito¡n ÷ñc quy v· ¢ ÷ñc nhi·u t¡c gi£ quan t¥m nghi¶n cùu v  câ thº

÷ñc gi£i bði mët sè thuªt to¡n ¢ bi¸t B¬ng ph÷ìng ph¡p ti¸p cªn cõa

P T Th¤ch, H Konno v  D Yokota, chóng tæi quy b i to¡n tèi ÷u tr¶ntªp nghi»m húu hi»u Pareto v· b i to¡n cüc ¤i h m tüa lçi tr¶n mët tªplçi comp­c trong Rk+ v  do â ta câ thº gi£i b i to¡n n y b¬ng ph÷ìngph¡p x§p x¿ ngo i Vîi ph÷ìng ph¡p ti¸p cªn kh¡c, düa tr¶n quy ho¤chhai c§p v  lþ thuy¸t tèi ÷u ìn i»u cõa Ho ng Töy, chóng tæi ch¿ ra b ito¡n tèi ÷u vîi c¡c r ng buëc ph¥n bè nguçn lüc t÷ìng ÷ìng vîi mët b ito¡n cì b£n cõa tèi ÷u ìn i»u

C¡c k¸t qu£ trong luªn ¡n ¢ ÷ñc b¡o c¡o v  th£o luªn t¤i:

- Hëi nghà Tèi ÷u v  T½nh to¡n khoa håc, Ba V¼, H  Nëi (2010)

- Hëi nghà Tèi ÷u v  T½nh to¡n khoa håc, Ba V¼, H  Nëi (2011)

- ¤i hëi To¡n håc to n quèc, Nha Trang, Kh¡nh Háa (2013)

- Seminar cõa Pháng Tèi ÷u v  i·u khiºn, Vi»n To¡n håc, Vi»n H nl¥m Khoa håc v  Cæng ngh» Vi»t Nam

- Hëi nghà nghi¶n cùu sinh h ng n«m t¤i Vi»n To¡n håc, Vi»n H n l¥mKhoa håc v  Cæng ngh» Vi»t Nam.

C¡c k¸t qu£ ch½nh cõa luªn ¡n ¢ ÷ñc cæng bè ð t¤p ch½ Journal ofMathematical Analysis and Applications, t¤p ch½ Journal of Global Opti-mization v  mët b i b¡o ¢ ÷ñc gûi «ng

Ch֓ng 1

Ph²p bi¸n êi tüa li¶n hñp

Ð ch÷ìng n y, sau mët sè ki¸n thùc chu©n bà, chóng tæi tr¼nh b y c¡ck¸t qu£ ¢ ¤t ÷ñc v· i·u ki»n º mët h m thäa m¢n t½nh ph£n x¤ v chùng minh mët sè t½nh ch§t cõa tüa d÷îi vi ph¥n

Nëi dung cõa Ch÷ìng n y düa tr¶n c¡c b i b¡o [1] v  [3] trong danhmöc c¡c cæng tr¼nh cõa t¡c gi£

1.1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà

1.2 Ph²p bi¸n êi tüa li¶n hñp

Ph¦n n y, chóng tæi ÷a ra mët sè k¸t qu£ v· ph²p bi¸n êi tüa li¶nhñp cõa h m f Tø ¥y cho ¸n h¸t ch÷ìng ta luæn gi£ thi¸t r¬ng f(x) l 

h m sè khæng ¥m, nhªn gi¡ trà húu h¤n tr¶n Rn+ v  f(x) > 0 ∀x > 0

ành ngh¾a 1.2.1 H m f\ ÷ñc gåi l  tüa li¶n hñp cõa f n¸u

f\(p) = 1

sup{f (x) : pTx ≤ 1, x ≥ 0} ∀p ∈ Rn+

K¸t qu£ ÷ñc ph¡t biºu trong ành lþ 1.2.6 l  sü mð rëng cõa ph²pbi¸n êi tüa li¶n hñp cho lîp h m tuy¸n t½nh v  ÷ñc tr¼nh b y ð b i b¡o[1] trong danh möc c¡c cæng tr¼nh cõa t¡c gi£.

M»nh · 1.2.11 N¸u f li¶n töc tr¶n Rn+, th¼ f\ nûa l¶n töc tr¶n t¤i måi

p ≥ 0 v  nûa li¶n töc d÷îi t¤i måi p > 0

Kþ hi»u Fγ v  F∗

γ t÷ìng ùng l  c¡c tªp mùc tr¶n cõa f v  f\ t¤i γ > 0.M»nh · 1.2.12 Cho f l  h m li¶n töc, tüa lãm v  ìn i»u t«ng ch°ttr¶n Rn+ Khi â, vîi måi γ > 0 sao cho Fγ 6= ∅, F∗1

γ v  Fγ l  li¶n hñp tr¶ncõa nhau

1.3 Tüa d÷îi vi ph¥n

Trong ph¦n n y, º x¥y düng i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n tèi ÷u khænglçi, chóng tæi ÷a ra kh¡i ni»m tüa d÷îi gradient v  chùng minh mët sèt½nh ch§t phöc vö cho vi»c thi¸t lªp c¡c k¸t qu£ trong c¡c ch÷ìng sau

ành ngh¾a 1.3.1 V²ctì p ∈ Rn+ ÷ñc gåi l  tüa d÷îi gradient cõa f t¤i

−p ∈ ∂(−f (x)) \ {0} ⇒ 1

pTxp ∈ ∂

\

f (x),

trong â ∂(−f(x)) l  tªp d÷îi vi ph¥n cõa −f t¤i x

M»nh · 1.3.7 Cho f l  h m li¶n töc, tüa lãm v  ìn i»u t«ng ch°ttr¶n Rn+ N¸u f kh£ vi t¤i x > 0 thäa m¢n ∇f(x) 6= 0, th¼

1

∇f (x)Tx∇f (x) ∈ ∂\f (x),trong â ∇f(x) l  gradient cõa f t¤i x

Nëi dung cõa Ch÷ìng n y düa tr¶n c¡c b i b¡o [1] v  [3] trong danhmöc c¡c cæng tr¼nh cõa t¡c gi£.

2.1 èi ng¨u li¶n hñp cho b i to¡n tèi ÷u væ h÷îng

Trong ph¦n n y, chóng tæi ÷a ra i·u ki»n c¦n v  õ tèi ÷u d÷îi d¤ngnguy¶n lþ Fermat mð rëng v  èi ng¨u cho b i to¡n tèi ÷u væ h÷îng sau

¥y

max{f (x) : x ∈ X}, (2.1)trong â f l  h m li¶n töc, tüa lãm, ìn i»u t«ng ch°t, húu h¤n, khæng

¥m tr¶n Rn+; X l  tªp chu©n t­c, lçi, comp­c vîi ph¦n trong kh¡c réng

l  sì ç èi ng¨u m  chóng ta ÷a ra thäa m¢n t½nh èi xùng.

ành lþ 2.1.8 Vîi måi x ∈ X v  p ∈ P ta câ f(x)f\(p) ≤ 1

èi ng¨u m¤nh ÷ñc ph¡t biºu trong ành lþ sau

ành lþ 2.1.9 Cho x ∈ X v  p ∈ P Khi â, x l  nghi»m tèi ÷u cõa(2.1) v  p l  nghi»m tèi ÷u cõa (2.3) n¸u v  ch¿ n¸u

f (x)f\(p) = 1 (2.4)

Nhªn x²t 2.1.10 ành lþ èi ng¨u m¤nh cho c°p b i to¡n (2.1) v  (2.3)trong tr÷íng hñp f l  h m a di»n, lãm, thu¦n nh§t d÷ìng v  ìn i»ut«ng tr¶n Rn+ ¢ ÷ñc chóng tæi chùng minh mët c¡ch ìn gi£n hìn trong

b i b¡o [1] trong danh möc c¡c cæng tr¼nh cõa t¡c gi£

Tø k¸t qu£ cõa ành lþ 2.1.9, chóng ta câ thº nâi (2.4) l  ¯ng thùc èing¨u cho c¡c b i to¡n (2.1) v  (2.3) Do â, chóng ta câ èi ng¨u m¤nhcho lîp b i to¡n tèi ÷u khæng lçi (2.1) ¢ x²t

H» qu£ 2.1.11 Cho x ∈ X v  p ∈ P Khi â, x l  nghi»m tèi ÷u cõa(2.1) v  p l  nghi»m tèi ÷u cõa (2.3) n¸u v  ch¿ n¸u

p ∈ ∂\f (x)

2.2 èi ng¨u li¶n hñp cho b i to¡n tèi ÷u a möc

ti¶u

max(f1(x), f2(x), , fk(x)) (2.5)

x ∈ X

trong â fi : Rn → R; X l  mët tªp con trong Rn

Gi£ sû Rn l  t½ch · c¡c cõa c¡c khæng gian Rni, i = 1, 2, , k (k ≥ 1)

+ vîi måi i = 1, 2, , k Tø ¥y cho ¸n h¸t ch÷ìng,chóng ta luæn x²t b i to¡n (2.5) vîi gi£ thi¸t fi(x) = fi(xi), fi l  h mhúu h¤n tr¶n Rn+i thäa m¢n t½nh li¶n töc, tüa lãm, ìn i»u t«ng, thu¦nnh§t v  fi(xi) > 0 ∀xi ∈ Rni

++, i = 1, 2, , k; X l  tªp chu©n t­c, lçi,comp­c câ ph¦n trong kh¡c réng trong Rn+ V¼ fi li¶n töc ð tr¶n Rn+i vîimåi i = 1, 2, , k v  X l  tªp comp­c n¶n b i to¡n (2.5) câ nghi»m húuhi»u

B i to¡n èi ng¨u cõa (2.5) ÷ñc ành ngh¾a bði

max(f1\(p1), f2\(p2), , fk\(pk)) (2.6)

p = (p1, p2, , pk) ∈ P, pi ∈ Rni

+, i = 1, 2, , k,trong â f\

i l  h m tüa li¶n hñp cõa fi tr¶n Rn+i vîi måi i = 1, 2, , k v  P

l  li¶n hñp d÷îi cõa X B i to¡n èi ng¨u l  gi£i ÷ñc v¼ f\

i nûa li¶n töc

tr¶n ð tr¶n Rn+i vîi måi i = 1, 2, , k v  P comp­c Do X công l  li¶n hñpd÷îi cõa P v  fi ph£n x¤ vîi måi i = 1, 2, , k, n¶n sì ç èi ng¨u cho

b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u l  èi xùng

ành lþ 2.2.10 Vîi måi x ∈ X v  p ∈ P , chóng ta câ

Chóng ta câ ành lþ èi ng¨u m¤nh sau

ành lþ 2.2.14 N¸u x l  nghi»m húu hi»u y¸u Pareto cõa (2.5), th¼ tçnt¤i v²ctì p ∈ P sao cho (x, p) thäa m¢n ¯ng thùc (2.8) T÷ìng tü, n¸u p

l  nghi»m húu hi»u y¸u Pareto cõa (2.6), th¼ tçn t¤i v²ctì x ∈ X sao cho(x, p) thäa m¢n ¯ng thùc (2.8)

Nhªn x²t 2.2.15 Trong tr÷íng hñp fi l  h m a di»n, lãm, thu¦n nh§t

v  ìn i»u t«ng tr¶n Rni vîi måi i = 1, 2, , k, th¼ ành lþ 2.2.14 câ thº

÷ñc chùng minh ch¿ düa tr¶n c¡c cæng cö cõa Gi£i t½ch lçi

K¸t qu£ cõa ành lþ 2.2.14 v  M»nh · 2.2.11 ch¿ ra r¬ng (2.8) l  ¯ngthùc èi ng¨u gióp °c tr÷ng cho c°p nghi»m húu hi»u y¸u Pareto cho c¡c

b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u (2.5) v  (2.6) Do â, ành lþ 2.2.14 ÷ñc xem

l  ành lþ èi ng¨u m¤nh cõa c¡c b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u n y

Ch֓ng 3

Ùng döng

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi ùng döng sì ç èi ng¨u li¶n hñp ÷ñctr¼nh b y trong Ch÷ìng 2 º nghi¶n cùu mët sè b i to¡n s£n xu§t trongkinh t¸

Nëi dung cõa ch÷ìng n y düa tr¶n b i b¡o [2] trong danh möc c¡c cængtr¼nh cõa t¡c gi£

3.1 B i to¡n vîi mët r ng buëc ph¥n bè nguçn lüc

X²t b i to¡n t¼m c¡c v²ctì x ∈ Rn+ v  p ∈ Rn+, thäa m¢n h» c¡c ¯ng thùc

B i to¡n n y câ thº g°p trong vi»c lªp k¸ ho¤ch ho¤t ëng cõa mët cæng

ty câ m nh  m¡y º s£n xu§t n h ng ho¡ kh¡c nhau º s£n xu§t c¡c h ngho¡ n y, mët nguçn lüc nh§t ành câ têng b¬ng 1 ÷ñc ph¥n bè cho c¡c

nh  m¡y Gi£ sû ai, minj=1, ,naij > 0 l  v²ctì °c tr÷ng cho n«ng lüc cõa

nh  m¡y thù i, ngh¾a l  nh  m¡y thù i ch¤y h¸t cæng su§t câ thº s£n xu§t

֖c ai

j ìn và h ng hâa thù j, j = 1, , n Sè pj biºu thà ph¦n nguçn lüc

÷ñc ph¥n bè cho vi»c s£n xu§t mët ìn và h ng hâa thù j v  xj l  têngl÷ñng h ng hâa thù j c¦n s£n xu§t bði c£ cæng ty Khi â, pjxj l  têngnguçn lüc ÷ñc ph¥n bè cho vi»c s£n xu§t h ng hâa thù j, tùc l  gi¡ vèns£n xu§t l÷ñng h ng hâa thù j º £m b£o kh£ n«ng c¤nh tranh tr¶n thàtr÷íng, c¦n thi¸t r¬ng pjxj = αj, j = 1, , n, trong â α1, , αn l  c¡c

sè cho tr÷îc B i to¡n °t ra l  t¼m mët ph÷ìng ¡n ho¤t ëng kh£ thi,tùc l  t¼m mët v²ctì (x, p) ∈ Rn+ ×Rn

+, thäa m¢n h» (3.2)-(3.4) V²ctì α

÷ñc gåi l  v²ctì ph¥n bè nguçn lüc

Kþ hi»u X l  tªp c¡c v²ctì x ∈ Rn+, thäa m¢n (3.2) v  P l  tªp c¡cv²ctì p ∈Rn+, thäa m¢n (3.3) D¹ th§y c£ X v  P l  c¡c mi·n lçi a di»n.Nghi»m cõa h» (3.2)-(3.4) l  c¡c v²ctì (x, p) ∈ X × P , thäa m¢n c¡c ¯ngthùc (3.4) V¼ (3.4) l  c¡c ¯ng thùc phi tuy¸n, n¶n (3.2)-(3.4) l  h» phituy¸n i·u n y d¨n ¸n vi»c gi£i h» n y l  khæng ìn gi£n Sau ¥y, ta s³ch¿ ra r¬ng h» (3.2)-(3.4) t÷ìng ÷ìng vîi mët b i to¡n tèi ÷u lçi Ngo i

ra, ta cán ch¿ ra r¬ng h» n y câ mët líi gi£i duy nh§t (x, p) ∈ X × P

ành lþ sau cho th§y r¬ng c¡c b i to¡n (3.6) v  (3.7 ) l  èi ng¨u cõanhau.

ành lþ 3.1.3 N¸u x l  nghi»m cõa b i to¡n (3.6), th¼ ˜∇f (x) l  nghi»mcõa (3.7) £o l¤i, n¸u p l  nghi»m cõa (3.7), th¼ ˜∇g(p) l  nghi»m cõa b ito¡n (3.6)

ành lþ 3.1.4 N¸u (x, p) l  nghi»m cõa h» (3.2)-(3.4), th¼ x l  nghi»mcõa (3.6) v  p l  nghi»m cõa (3.7) £o l¤i, n¸u x l  nghi»m cõa (3.6),th¼ (x, p) vîi p = ˜∇f (x) l  nghi»m cõa h» (3.2)-(3.4); n¸u p l  nghi»m cõa(3.7), th¼ (x, p) vîi x = ˜∇g(p) l  nghi»m cõa h» (3.2)-(3.4)

D¹ th§y c¡c b i to¡n (3.6) v  (3.7 ) t÷ìng ùng t÷ìng ÷ìng vîi c¡c b ito¡n cüc ¤i h m lãm sau:

max{ln(f (x)) : x ∈ X}, (3.8)max{ln(g(p)) : p ∈ P } (3.9)C¡c h m ln(f(x)) v  ln(g(p)) l  lãm ch°t tr¶n Rn++, n¶n nghi»m cõa c¡c

b i to¡n (3.6) v  (3.7 ) l  tçn t¤i duy nh§t Do â, tø ành lþ 3.1.4 chóng