Đối ngẫu liên hợp cho bài toán tối ưu đa mục tiêu và ứng dụng tt

ẹP ì ệ ệ số t ỵ tt ố ữủ ọ tr ỵ tt trỏ ỡ s t tr q t t 1951 ởt ự ố t q t t ữủ ổ ố r õ ổ ứ õ ỵ tt ố tr tr ởt ữỡ q trồ ỵ tt tố ữ ữỡ ỵ tt t t ự tỹ t t út t q t ự tr õ ú ỵ ổ tr r r r t ổ tr t P ỳ P ụ Pt ỵ tt ố ữủ ỹ t tố ữ t t r õ ổ s õ t rở trữớ ủ t tố ữ t tr tố ữ tr ỵ tt ố ữủ ữ r tỹ sỹ õ ỵ õ ự õ ữủ ố tr trữớ ủ tờ qt õ ữủ ố rt õ t ợ ữ r ữủ ố ởt số ợ t tọ ởt số õ õ t q q trồ ố t tố ữ t q õ ữủ ỹ tr ỵ tt ố r ố ủ ỹ ủ ữ ủ tỹ ủ ởt số ủ ợ t tố ữ ổ ữợ t t ữủ ố ợ t tố ữ ỗ ố r ố ữ t t r r r trữớ ủ t tố ữ ổ ỗ ởt số t q ữủ õ P ợ t tố ữ t t ữủ ố tr õ ỡ ữỡ ỹ tr ỵ tt ố r ố ổ ữợ õ t ú t tr ợ t tố ữ ữủ t số t ố ữủ ỹ ữỡ tr tữớ t tố ữ ổ ữợ tố ữ tr õ sỡ ỗ ố t ữủ tữớ ổ ố ự r tr t q õ ố t t t tố ữ ỗ r ỵ tt ố ủ t ố ởt t ố tr ổ X max(min){f (x)| A X} ữủ ỹ tr ổ ố X max(min){g(p)| A X }, tr õ g ủ f A t ủ A s t q t ợ t q ự t ố s tổ t t ố ú t ố ỡ tr trữớ ủ tốt t ố ủ ữủ sỷ ởt rở r tr tố ữ ỗ ố ợ ợ t tờ qt ỡ ởt số t q ữủ r P t ữ r ố ợ t tỹ ỗ ỹ tr tỹ ủ f : Rn R {} ữủ inf{f (x) : pT x 1} p Rn \ {0} H f (p) = sup{f (x) : x Rn } p = t q ữủ ổ ố tr ổ tr ữủ ữớ t ữủ t tr tử ự ố ủ P tỹ ủ f (p) = {sup{f (x) : pT x 1, x 0} ợ t q t t r r t ố t ỹ ởt t t ổ tr t ỗ tr Rn+ t s t t ú ỵ r tr trữớ ủ t t t ố ữủ ỵ tt ố r ố trũ ụ t q t t t q t ú P r trữ t ữ tứ tr t s t t ỹ tr ố ố ỳ s t ữ sỹ tỗ t trữ ữ r t r ỡ ỡ ố s t t q ỏ r t ỳ ự rở ỡ r ú tổ tr ởt số t q ợ ự rở sỡ ỗ ố ủ ỹ tr tỹ ủ ợ t rở ỡ ỗ t tố ữ ổ ữợ tố ữ t t ỗ tớ ự t q ố t ữủ ự ởt số t tr t ỗ ữỡ ữỡ P tỹ ủ ự trữ ợ tọ t õ q tỹ ủ t q ú ú t t ữủ t ố ự ố t ốố s ữủ tr tr ữỡ t t t ổ tr Rn+ s t t ỳ trữớ ủ r ợ ó t t ữỡ ỡ t tr Rn ú tổ ự ữủ r ợ tọ t õ q tỹ ủ sỹ rở t ợ t t ữủ t trữợ õ ởt t q rở ỡ ụ ữủ ữ r ú tổ ự ữủ r ợ ỷ tử tr tỹ ó ỡ t tr Rn ợ tờ qt tọ t ố ợ tỹ ủ ợ ợ s t tr ổ t ữ s t t s t rở s rở ữỡ ụ ữ r tỹ ữợ ự ởt số t t tỹ ữợ ử ự t q ố ữỡ s ữỡ ố ủ t tố ữ tr tố ữ ữợ rở ỵ rt t tố ữ ổ ữợ ứ ỳ t q ợ tỹ ủ tr tr ữỡ ú tổ ữ r sỡ ỗ ố ủ ợ t tố ữ ổ ữợ tố ữ t ợ tt t ó t t ữỡ ỡ t tr Rn tờ qt ỡ ỳ t ợ t tỹ ó tử ỡ t t tr Rn+ t q ú t t ữủ ố ố ự t ố t tố ữ t ụ t tố ữ t r ú tổ ỏ ữ r ữủ tự ố ú trữ ỳ t tố ữ t ố ố ữỡ tr ự sỡ ỗ ố ủ ự ởt số t s t tr t ố ủ ú tổ ự ữủ t t ữỡ s t ợ ởt r ố ỗ ỹ t t tữỡ ữỡ ợ t ỹ ởt ó t tr ởt ỗ ú r r t ợ ởt r ố ỗ ỹ õ ởt t ữủ t tố ữ ỗ ỡ ỡ t rở t ữỡ s t ợ k k > r ố ỗ ỹ tữỡ ữỡ ợ t tố ữ t ợ t s t s t q ú ú t q ởt ợ t tố ữ ổ ỗ ợ r ố ỗ ỹ t tố ữ tr t ỳ Prt ởt t tố ữ t t ữủ q ữủ t q t ự õ t ữủ ởt số tt t t ữỡ t P t ú tổ q t tố ữ tr t ỳ Prt t ỹ tỹ ỗ tr ởt t ỗ tr Rk+ õ t õ t t ữỡ ợ ữỡ t ỹ tr q ỵ tt tố ữ ỡ ú tổ r t tố ữ ợ r ố ỗ ỹ tữỡ ữỡ ợ ởt t ỡ tố ữ ỡ t q tr ữủ t t ố ữ t ố ữ t t qố r ỏ r Pỏ ố ữ ổ t ự s t ổ t t q ữủ ổ ố t r tt ss ts t r t t ởt ữủ ỷ ữỡ P tỹ ủ é ữỡ s ởt số tự ú tổ tr t q t ữủ ởt tọ t ự ởt số t t tỹ ữợ ữỡ ỹ tr tr ổ tr t ởt số tự P tỹ ủ P ú tổ ữ r ởt số t q tỹ ủ f ứ t ữỡ t ổ tt r f (x) số ổ tr ỳ tr Rn+ f (x) > x > f ữủ tỹ ủ f f (p) = sup{f (x) : pT x 1, x 0} p Rn+ q ữợ + = x Rn+ p Rn+ pT x t f (x)f (p) số f ữủ õ t ố ợ tỹ ủ (f ) f (x) = = f x Rn+ T sup{f (p) : p x 1, p 0} ỵ f ó t t ữỡ ỡ t tr Rn t tỹ ủ f ụ ó t t ữỡ ỡ t tr Rn ỡ ỳ (f ) = f t q ữủ t tr ỵ sỹ rở tỹ ủ ợ t t ữủ tr tr ổ tr t f tỹ ó ỡ t tr Rn+ ỵ s t tờ qt ởt số tọ t q tỹ ủ ỵ f tỹ ó ỷ tử tr ỡ t tr Rn+ t f õ t q tỹ ủ f tử tr Rn+ t f ỷ tử tr t p ỷ tử ữợ t p > ỵ F F tữỡ ự t ự tr f f t > f tử tỹ ó ỡ t t tr Rn+ õ ợ > s F = , F F ủ tr ỹ ữợ r ỹ tố ữ t tố ữ ổ ỗ ú tổ ữ r tỹ ữợ rt ự ởt số t t ử tt t q tr ữỡ s tỡ p Rn+ ữủ tỹ ữợ rt f t x pT x = f (x)f (p) ỗ tỹ ữợ rt f t x ữủ tỹ ữợ f t x ỵ f (x) ỵ f tử tỹ ó ỡ t t tr Rn+ õ f (x) t ỗ rộ t x > r p f (x) x f (p) f tử tỹ ó ỡ t t tr Rn+ t p f (x) pT x = pT z z Ff (x) f tử tỹ ó ỡ t t tr Rn+ õ ợ x > ú t õ p (f (x)) \ {0} p f (x), pT x tr õ (f (x)) t ữợ f t x f tử tỹ ó ỡ t t tr Rn+ f t x > tọ f (x) = t f (x)T x f (x) f (x), tr õ f (x) rt f t x tr Rn+ ỵ x X tố ữ t f (x) N (x, X) P ủ ữợ X t ố t ữủ ữ s max{f (p) : p P } X P ủ ữợ ỗ tớ f tọ t t ụ t ố õ sỡ ỗ ố ú t ữ r tọ t ố ự ỵ ợ x X p P t õ f (x)f (p) ố ữủ t tr ỵ s ỵ x X p P õ x tố ữ p tố ữ f (x)f (p) = t ỵ ố t tr trữớ ủ f ó t t ữỡ ỡ t tr Rn+ ữủ ú tổ ự ởt ỡ ỡ tr tr ổ tr t ứ t q ỵ ú t õ t õ tự ố t õ ú t õ ố ợ t tố ữ ổ ỗ t q x X p P õ x tố ữ p tố ữ p f (x) ố ủ t tố ữ t max(f1 (x), f2 (x), , fk (x)) x X tr õ fi : Rn R X ởt t tr Rn sỷ Rn t ổ Rn , i = 1, 2, , k (k 1) i k n R ni , R = i=1 tr õ n = ki=1 ni ni i = 1, 2, , k t x = (x1, x2, , xk ) tr õ xi Rn+ ợ i = 1, 2, , k ứ t ữỡ ú t ổ t t ợ tt fi(x) = fi(xi) fi ỳ tr Rn+ tọ t tử tỹ ó ỡ t t t fi(xi) > xi Rn++ i = 1, 2, , k X t t ỗ õ tr rộ tr Rn+ fi tử tr Rn+ ợ i = 1, 2, , k X t t õ ỳ i i i i t ố ữủ max(f1 (p1 ), f2 (p2 ), , fk (pk )) p = (p1 , p2 , , pk ) P, pi Rn+i , i = 1, 2, , k, tr õ fi tỹ ủ fi tr Rn+ ợ i = 1, 2, , k P ủ ữợ X t ố ữủ fi ỷ tử i tr tr Rn+ ợ i = 1, 2, , k P X ụ ủ ữợ P fi ợ i = 1, 2, , k sỡ ỗ ố t tố ữ t ố ự i ỵ ợ x X p P ú t õ k fi (xi )fi (pi ) i=1 x X p P (x, p) tọ tự k fi (xi )fi (pi ) = 1, i=1 t x ỳ Prt p ỳ Prt ú t õ ỵ ố s ỵ x ỳ Prt t tỗ t tỡ p P s (x, p) tọ tự ữỡ tỹ p ỳ Prt t tỗ t tỡ x X s (x, p) tọ tự t r trữớ ủ fi ó t t ỡ t tr Rn ợ i = 1, 2, , k t ỵ õ t ữủ ự ỹ tr ổ t ỗ i t q ỵ r r tự ố ú trữ ỳ Prt t tố ữ t õ ỵ ữủ ỵ ố t tố ữ t ữỡ r ữỡ ú tổ ự sỡ ỗ ố ủ ữủ tr tr ữỡ ự ởt số t s t tr t ữỡ ỹ tr tr ổ tr t t ợ ởt r ố ỗ ỹ m tỡ Rn++, i = 1, , m Rn+ s n ji > j = 1, , n; j = j=1 t t t tỡ x Rn+ p Rn+ tọ tự t tự s m m i i a , i i = 1, 2, , m, x= i=1 i = 1, i=1 T i pj j = 1, 2, , n, p a i = 1, 2, , m, pj xj = j j = 1, 2, , n t õ t tr t ởt ổ t õ m s t n s t ởt ỗ ỹ t õ tờ ữủ ố sỷ minj=1, ,n aij > tỡ trữ ỹ tự i tự i t ổ st õ t s t ữủ aij ỡ õ tự j j = 1, , n ố pj t ỗ ỹ ữủ ố s t ởt ỡ õ tự j xj tờ ữủ õ tự j s t ổ t õ pj xj tờ ỗ ỹ ữủ ố s t õ tự j tự ố s t ữủ õ tự j tr tr t trữớ tt r pj xj = j , j = 1, , n, tr õ 1, , n số trữợ t t r t ởt ữỡ t t tự t ởt tỡ (x, p) Rn+ ì Rn+, tọ tỡ ữủ tỡ ố ỗ ỹ ỵ X t tỡ x Rn+ tọ P t tỡ p Rn+ tọ t X P ỗ tỡ (x, p) X ì P tọ tự tự t t ổ ỡ t s r r tữỡ ữỡ ợ ởt t tố ữ ỗ r t ỏ r r õ ởt t (x, p) X ì P t n n xj j , f (x) = j=1 pj j g(p) = j=1 t t max{f (x) : x X}, max{g(p) : p P } ợ x > p > t f (x), f (x)T x g(p) = g(p), g(p)T p (x) = f tr õ f (x) rt f t x g(p) rt g t p ỵ s t r t ố (x) ỵ x t t f p t g(p) t ỵ (x, p) t x p x (x) p t (x, p) ợ p = f t (x, p) ợ x = g(p) t t tữỡ ự tữỡ ữỡ ợ t ỹ ó s max{ln(f (x)) : x X}, max{ln(g(p)) : p P } ln(f (x)) ln(g(p)) ó t tr Rn++ t tỗ t t õ tứ ỵ ú t tỗ t t ỗ tớ õ ữủ t ú ỵ r t tữỡ ữỡ ợ t tố ữ ỗ t ỡ ỡ t t ợ r ố ỗ ỹ r ú t t t rở ổ t õ k ỗ ỹ ữủ sỷ s t n s tr m ợ àr tr ỗ ỹ tự r (r = 1, , k) ổ t t tờ qt t õ t tt r kr=1 àr = sỷ jr ỗ ỹ tự r ữủ ố s t s tự j t ỗ ỹ ữủ sỷ t õ t õ n jr jr = 1, r = 1, , k j=1 tỡ = (1, , n) Rn+ ợ j = kr=1 àr jr tờ tr ỗ ỹ ữủ sỷ s t s tự j j = 1, , n, ữủ tỡ ố ỗ ỹ t t ỗ tt tỡ ố ỗ ỹ k = Rn+ | k r = àr = 1, àr r = 1, 2, , k àr , r=1 r=1 ợ ộ tỡ ố ỗ ỹ tỡ x Rn+ tọ s ữủ ởt ữỡ s t tỡ p = (p1, , pn) ợ pj tờ tr ỗ ỹ ữủ sỷ s t ởt ỡ õ tự j tự ố s t ỡ õ tự j s ữủ tỡ s t ỡ t t r t ữỡ s t x Rn+ tỡ s t ỡ p Rn+ tọ (p1x1, , pnxn) , tr õ ữủ õ õ ú t s m m i i a , i i = 1, 2, , m, x= i=1 i = 1, i=1 pj xj = j j = 1, 2, , n, = (1 , , n ) ú t s r r ữủ q ởt tr t tố ữ t T i pj j = 1, 2, , n, p a i = 1, 2, , m, n r xj j r = 1, 2, , k, fr (x) = j=1 n r pj j r = 1, 2, , k gr (p) = j=1 t t tố ữ t fr (x) max r = 1, 2, , k, x X, t ố gr (p) max r = 1, 2, , k, p P, tr õ X t tỡ x tọ P t tỡ p tọ x X ỳ Prt tỗ t Rk+ s x tố ữ t k fr (x)àr | x X} max{ r=1 p P ỳ Prt tỗ t Rk+ s p P tố ữ t k gr (p)àr | p P } max{ r=1 x ỳ Prt p ỳ Prt õ (x, p) ữủ ỳ Prt ốố tỗ t Rk+ s x ỳ Prt p ỳ Prt ỵ s r ố ủ ỵ (x, p) õ (x, p) ỳ Prt ốố ỵ sỷ (x, p) ỳ Prt ốố õ (x, p) ố ữ ợ r ố ỗ ỹ t t max q(x) m m i , i i = 1, 2, , m, x= i=1 i = 1, i=1 T i pj j = 1, 2, , n, p a i = 1, 2, , m, pj xj = j j = 1, 2, , n, = (1 , , n ) tr õ q(x) ó tử tr Rn+ s q(x) > x > q(x) ủ ổ t t ữỡ s t x Rn+ t tr t t t ữỡ s t s ủ ổ t ợ t ỵ XE t ỗ ữỡ s t ú t ữủ t ữ s max{q(x)| x XE } ỵ ỵ XE ụ t ỳ Prt t tố ữ t õ t tố ữ tr t ỳ Prt t tố ữ t t k M = = (1 , , , k ) Rn+ | frr (x) , max xX r=1 k frr (x) 3, x X h() = max q(x)| Rn+ r=1 M t ỗ rộ tr Rk+ h ỷ tử tr tỹ ỗ tr Rk+ ú t s ự r t tữỡ ữỡ ợ t ỹ tỹ ỗ tr t ỗ s max{h() : M } ỵ tr tố ữ t q = h r tố ữ t ỹ x kr=1 fr (x) tr X tố ữ r ữ t tố ữ ổ ỗ ự t tr ổ n õ t ữủ t ỡ ỡ tr ổ k r tỹ t t k tữớ ọ ỡ s ợ n õ ú t õ t t s ữỡ tố ữ ỡ r ú tổ s r r t tữỡ ữỡ ợ t ỡ tố ữ ỡ x X ởt ữỡ s t ự ợ tỡ ố ỗ ỹ = kr=1 àr r ởt ủ v õ t tở x à, v(à, x) = q(x) c(à, x) tr õ q(x) tờ t ỹ tr c(à, x) tờ t ỗ s t ú t t t ỹ v(à, x) tr t tỡ (à, x) Rk+ ì X s x argmaxx X kr=1 frà (x ), r v(à, x) max, Rk+ , x X x argmaxxX k àr r=1 fr (x) t G = {(à, t)| t maxxX F (à, t) = max{v(à, x)| x X, k àr r=1 fr (x)} t kr fràr (x)} tữỡ ữỡ ợ t tố ữ s max{F (à, t)| (à, t) G} t k àr r=1 fr (x)} t x max{v(à, x)| kr=1 fràr (x) t, G := {à Rk+ | F (à) := X}, x X } ú t õ ỵ s ỵ tữỡ ữỡ ợ t tố ữ ỡ s max{F (à)| G} t é ú t t r t tố ữ ỡ ỡ t õ t ữủ ữỡ t tố ữ ỡ t v(à, x) = q(x) t õ F (à) = max{q(x)| kr=1 frà (x) t, x X} maxxX kr=1 frà (x) t õ t t = r trữớ ủ t trũ ợ t õ õ õ t ữủ ữỡ ữ r tr r r t r ú tổ t ữủ ỳ t q s ợ tỹ ó ỷ tử tr ỡ t tr Rn+ tọ t tỹ ủ ố ợ tỹ ủ ữ r tỹ ữợ ự ởt số t t ợ ữ r tố ữ ữợ ỵ rt rở ỹ sỡ ỗ ố ố ự t tố ữ ổ ữợ ổ ỗ ữ r ố ố ự t tố ữ t ổ ỗ r ú tổ ỏ ữ r tự ố ú trữ ỳ Prt t ố ố r ỡ s t q t ữủ ố ủ ú tổ ự t s t tr t t ữủ t q s t ợ ởt r ố ỗ ỹ tữỡ ữỡ ợ t tố ữ ỗ t ợ r ố ỗ ỹ tữỡ ữỡ ợ t tố ữ ỗ t t tố ữ ổ ỗ ợ r ố ỗ ỹ ữủ q t ỹ tỹ ỗ tr t ỗ t ỡ tố ữ ỡ ổ tr t q P t t r trt rs t P Prs t rsr t strts tt r t t st t t t tt rs tt r t t st ỷ ổ tr ữủ t t ổ t ữớ ữợ P P P P s ữủ trữợ ỗ t ỗ ớt õ t t t ữ ố t ữ [...]... ở ố ỗ ỹ tữỡ ữỡ ợ t tố ữ ỗ ử t t tố ữ ổ ỗ ợ r ở ố ỗ ỹ ữủ q t ỹ tỹ ỗ tr t ỗ t ỡ ừ tố ữ ỡ ử ổ tr ừ t q P t t r trt rs t P Prs t rsr t strts tt r t t st t t t tt rs tt r t t st ỷ ổ tr ữủ t t ồ ồ ổ t ữớ ữợ ồ P ử P P P s ữủ trữợ ở ỗ ồ t ỗ ớt õ t t t ữ ố t ữ ồ ... ỗ ỹ ữủ sỷ ử s t n s tr m ợ àr tr ừ ỗ ỹ tự r (r = 1, , k) ổ t t tờ qt t õ t tt r kr=1 àr = 1 sỷ jr ỗ ỹ tự r ữủ ố s t s tự j t ở ỗ ỹ ữủ sỷ ử t õ t õ n 0 jr jr = 1 1, r = 1, , k j=1 tỡ = (1, , n) Rn+ ợ j = kr=1 àr jr tờ tr ỗ ỹ ữủ sỷ ử s t s tự j j = 1, , n, ữủ ồ tỡ ố ỗ ỹ t t ỗ tt tỡ ố ỗ ỹ k = Rn+ | k r = àr = 1, àr 0 r = 1, 2, , k àr , r=1 r=1 ợ... Rn R X ởt t tr Rn sỷ Rn t ừ ổ Rn , i = 1, 2, , k (k 1) i k n R ni , R = i=1 tr õ n = ki=1 ni ni 1 i = 1, 2, , k t x = (x1, x2, , xk ) tr õ xi Rn+ ợ ồ i = 1, 2, , k ứ t ữỡ ú t ổ t t ợ tt fi(x) = fi(xi) fi ỳ tr Rn+ tọ t tử tỹ ó ỡ t t t fi(xi) > 0 xi Rn++ i = 1, 2, , k X t t ỗ õ tr rộ tr Rn+ fi tử tr Rn+ ợ ồ i = 1, 2, , k X t t õ ỳ i i i i t ố ừ ữủ max(f1... i t ổ st õ t s t ữủ aij ỡ õ tự j j = 1, , n ố pj t ỗ ỹ ữủ ố s t ởt ỡ õ tự j xj tờ ữủ õ tự j s t ổ t õ pj xj tờ ỗ ỹ ữủ ố s t õ tự j tự ố s t ữủ õ tự j tr tr t trữớ tt r pj xj = j , j = 1, , n, tr õ 1, , n số trữợ t t r t ởt ữỡ t ở t tự t ởt tỡ (x, p) Rn+ ì Rn+, tọ tỡ ữủ ồ tỡ ố ỗ ỹ ỵ X t tỡ x Rn+ tọ P t tỡ p Rn+ tọ t X P ỗ