Líi mð đ¦u 1. Giîi thi»u bài toán tèi ưu đa möc tiêu Trong nhúng năm 50 cõa th¸ k 20, Quy ho¤ch đa möc tiêu, hay còn đưñc gåi là Tèi ưu đa möc tiêu ho°c Tèi ưu véc tơ, đã trð thành mët chuyên ngành toán håc, thu hút sü quan tâm cõa nhi·u tác gi£ và đưñc phát triºn m¤nh m³ suèt g¦n 70 năm qua. Các thành tüu cõa Quy ho¤ch đa möc tiêu đưñc ùng döng rëng rãi trong thüc t¸, đ°c bi»t là trong lý thuy¸t ra quy¸t đành, kinh t¸, tài chính, kÿ thuªt, vi¹n thông,... (xem [23], [64], [83], [93], [94],...). Bài toán quy ho¤ch đa möc tiêu đưñc phát biºu dưîi d¤ng Min f (x) = ( f 1 (x); f 2 (x); : : : ; f (x)) vîi đi·u ki»n x 2 X; (MOP) trong đó X R n p là tªp các phương án ch§p nhªn đưñc, f : X !R, j = 1; : : : ; p, p 2, là các hàm möc tiêu. Do không gian giá trà R p j không có thù tü đ¦y đõ nên thay vì khái ni»m nghi»m tèi ưu thông thưíng, tèi ưu véc tơ sû döng khái ni»m nghi»m húu hi»u đưñc xác đành theo thù tü tøng ph¦n do G. Cantor (1845-1918) [21] và F. Hausdorff (1868-1942) [37] đ· xu§t. Bài toán (MOP) đưñc gåi là bài toán quy ho¤ch đa möc tiêu lçi, ký hi»u là (CMOP), n¸u X là tªp lçi và f 1 ; : : : ; f là các hàm lçi. Đây là trưíng hñp đ°c bi»t cõa bài toán quy ho¤ch đa möc tiêu lçi suy rëng, ký hi»u là (GMOP), trong đó f 1 ; : : : ; f p p là các hàm lçi suy rëng và tªp ch§p nhªn đưñc X cũng là tªp lçi. N¸u t§t c£ các hàm möc tiêu f 1 ; : : : ; f đ·u là hàm tuy¸n tính và X là tªp lçi đa di»n thì ta gåi (MOP) là bài toán quy ho¤ch đa möc tiêu tuy¸n tính và ký hi»u là (LMOP). Như đã bi¸t, bài toán (LMOP) là trưíng hñp đơn gi£n nh§t cõa bài toán (MOP) nói chung và cõa bài toán (CMOP) nói riêng. p Theo ti¸p cªn trên không gian quy¸t đành (decision space), vi»c gi£i bài toán (MOP) đưñc xem như vi»c xác đành toàn bë hay mët ph¦n cõa tªp nghi»m húu hi»u X E ho°c tªp nghi»m húu hi»u y¸u X . Đây là mët vi»c khó, vì ngay c£ trong trưíng hñp đơn gi£n nh§t cõa (MOP) là bài toán quy ho¤ch đa möc tiêu tuy¸n tính WE
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI —————————- TRẦN NGỌC THĂNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2017 Lời mở đầu Giới thiệu toán tối ưu đa mục tiêu Trong năm 50 kỷ 20, Quy hoạch đa mục tiêu, hay gọi Tối ưu đa mục tiêu Tối ưu véc tơ, trở thành chuyên ngành toán học, thu hút quan tâm nhiều tác giả phát triển mạnh mẽ suốt gần 70 năm qua Các thành tựu Quy hoạch đa mục tiêu ứng dụng rộng rãi thực tế, đặc biệt lý thuyết định, kinh tế, tài chính, kỹ thuật, viễn thông, (xem [23], [64], [83], [93], [94], ) Bài toán quy hoạch đa mục tiêu phát biểu dạng Min f (x) = ( f1 (x), f2 (x), , f p (x)) với điều kiện x ∈ X, (MOP) X ⊂ Rn tập phương án chấp nhận được, f j : X → R, j = 1, , p, p ≥ 2, hàm mục tiêu Do không gian giá trị R p thứ tự đầy đủ nên thay khái niệm nghiệm tối ưu thông thường, tối ưu véc tơ sử dụng khái niệm nghiệm hữu hiệu xác định theo thứ tự phần G Cantor (1845-1918) [21] F Hausdorff (1868-1942) [37] đề xuất Bài toán (MOP) gọi toán quy hoạch đa mục tiêu lồi, ký hiệu (CMOP), X tập lồi f1 , , f p hàm lồi Đây trường hợp đặc biệt toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng, ký hiệu (GMOP), f1 , , f p hàm lồi suy rộng tập chấp nhận X tập lồi Nếu tất hàm mục tiêu f1 , , f p hàm tuyến tính X tập lồi đa diện ta gọi (MOP) toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính ký hiệu (LMOP) Như biết, toán (LMOP) trường hợp đơn giản toán (MOP) nói chung toán (CMOP) nói riêng Theo tiếp cận không gian định (decision space), việc giải toán (MOP) xem việc xác định toàn hay phần tập nghiệm hữu hiệu XE tập nghiệm hữu hiệu yếu XW E Đây việc khó, trường hợp đơn giản (MOP) toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính viii (LMOP), tập nghiệm hữu hiệu XE tập nghiệm hữu hiệu yếu XW E tập không lồi với cấu trúc phức tạp Theo H.P Benson [11], khối lượng tính toán để sinh toàn tập nghiệm hữu hiệu XE tập nghiệm hữu hiệu yếu XW E toán (LMOP) tăng nhanh kích thước toán (tức số biến n, số hàm mục tiêu p số ràng buộc biểu diễn tập chấp nhận được) tăng Với hy vọng giảm khối lượng tính toán, thuật toán theo hướng tiếp cận không gian ảnh hay không gian giá trị (outcome space) thiết kế để xác định toàn hay phần tập ảnh hữu hiệu YE = f (XE ) tập ảnh hữu hiệu yếu YW E = f (XW E ) Theo định nghĩa, YE YW E tương ứng tập điểm hữu hiệu tập điểm hữu hiệu yếu tập ảnh Y = f (X) tập chấp nhận X qua ánh xạ f Lý cho hướng tiếp cận là: i) Các toán tối ưu đa mục tiêu nảy sinh thực tế thường có số hàm mục tiêu p nhỏ nhiều so với số biến n, hay thứ nguyên không gian ảnh R p nhỏ nhiều so với thứ nguyên không gian định Rn ; ii) Nhiều điểm tập nghiệm hữu hiệu (tương ứng1 , tập nghiệm hữu hiệu yếu) có ảnh qua ánh xạ f nên tập ảnh hữu hiệu YE (t.ư., tập ảnh hữu hiệu yếu YW E ) có cấu trúc đơn giản XE (t.ư., XW E ); iii) Trong trình đưa định, người ta thường lựa chọn phương án dựa giá trị hữu hiệu dựa nghiệm hữu hiệu (xem [11]) Trong tối ưu đa mục tiêu, việc nghiên cứu để giải toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính (LMOP) xem gần hoàn chỉnh Đã có nhiều sách chuyên khảo toán (LMOP) (xem [57], [59], [92], [93], danh mục tài liệu tham khảo kèm theo) Rất nhiều thuật toán đề xuất theo hai hướng tiếp cận không gian định không gian ảnh để giải toán nhiều phương pháp khác phương pháp đơn hình đa mục tiêu, phương pháp tham số, phương pháp vô hướng hóa, phương pháp nón pháp tuyến, phương pháp xấp xỉ kết hợp phương pháp đó, chẳng hạn xem công trình M Zeleny [94], P Armand and C Malivert [7], R.E Steuer [83], J.P Dauer Y.H Liu [27], H.P Benson [11], N.T.B Kim D.T Lục [44], [45], M Ehrgott, A L¨ohne L Shao [29], Từ sau đến hết luận án, cụm từ "tương ứng" viết tắt "t.ư." ix Với toán quy hoạch đa mục tiêu lồi không lồi, có số thuật toán đề xuất Hầu hết thuật toán theo tiếp cận không gian định thiết kế dựa phương pháp trọng số [25], phương pháp ε−ràng buộc [36], phương pháp hàm lợi ích [93], phương pháp lexicographic [20], phương pháp Tchebycheff [83], để sinh phần tập nghiệm hữu hiệu hay hữu hiệu yếu toán Theo tiếp cận không gian ảnh, thuật toán thường sử dụng kỹ thuật xấp xỉ để xây dựng dãy tập xấp xỉ tập ảnh, ta dễ dàng xác định tập hữu hiệu tập xấp xỉ Với cách tiếp cận này, mặt, thuật toán sinh phần tập ảnh hữu hiệu toán, mặt khác, sinh tập xấp xỉ tập ảnh hữu hiệu chứa toàn tập ảnh hữu hiệu (xem [30], [34], [62] danh mục tài liệu tham khảo kèm theo) Trong [65], K Miettinen phân loại chi tiết so sánh phương pháp có để giải toán quy hoạch đa mục tiêu phi tuyến Các phương pháp để sinh tập xấp xỉ tập nghiệm hữu hiệu tập ảnh hữu hiệu thống kê [78] Hai toán tối ưu toàn cục quan trọng có liên quan chặt chẽ đến toán quy hoạch đa mục tiêu toán tối ưu hàm thực tập nghiệm hữu hiệu toán quy hoạch đa mục tiêu (gọi tắt Bài toán tối ưu tập nghiệm hữu hiệu) toán quy hoạch tích dạng mở rộng Bài toán tối ưu tập nghiệm hữu hiệu có mô hình toán học sau h(x) v.đ.k x ∈ XE , (P) h(x) hàm số thực xác định Rn XE tập nghiệm toán quy hoạch đa mục tiêu (MOP) Việc giải toán có ý nghĩa đặc biệt giúp ta chọn nghiệm hữu hiệu tốt theo tiêu chuẩn mà không thiết phải xác định toàn tập nghiệm hữu hiệu Tuy nhiên, toán khó, chí h hàm tuyến tính XE tập nghiệm hữu hiệu toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính (LMOP), tập chấp nhận XE , nói chung, tập không lồi với cấu trúc phức tạp mô tả tường minh Bài toán (P) Philip [73] đưa lần vào năm 1972 thu hút quan tâm đặc biệt nhiều tác giả nước Nhiều thuật toán đề xuất để giải toán (P) Các thuật toán phân x loại theo hai hướng tiếp cận bao gồm tiếp cận không gian định Rn (xem H.P Benson [10], J.P Dauer T.A Fosnaugh [26, 1995], L.T.H An, L.D Mưu P.D Tảo [4], L.T Lực L.D Mưu [60], L.D Mưu [67], N.T.B Kim [42], N.V Thoại [87], L.D Mưu H.Q Tuyến [70], N.V Thoại, Y Yamamoto D Zenke [39], L.T.H An, P.D Tảo, N.C Nam L.D Mưu [5], L.D Mưu L.Q Thủy [69], ) tiếp cận không gian ảnh R p (xem R Horst N.V Thoại [38], J Fulop and L.D Mưu [31], Y Yamamoto [91], N.T.B Kim L.D Mưu [47], N.V Thoại [88], H.P Benson [16], ) Ta phân loại thuật toán dựa theo phương pháp dùng để xây dựng thuật toán, thuật toán xấp xỉ ngoài, thuật toán nhánh cận, thuật toán theo tiếp cận đối ngẫu, thuật toán tìm đỉnh kề, thuật toán tìm đỉnh không kề, (xem [92]) Bài toán quy hoạch tích dạng mở rộng (gọi chung toán quy hoạch tích mở rộng) có nhiều ứng dụng quan trọng lĩnh vực khác kinh tế tài chính, tối ưu hóa quy trình sản xuất, tối ưu danh mục đầu tư, thiết kế chip VLSI, Đây lớp toán tối ưu toàn cục khó thú vị nên thu hút quan tâm đặc biệt nhiều tác giả Bài toán quy hoạch tích phát biểu sau p ∏ f j (x), v.đ.k x ∈ X, (MP) j=1 X ⊂ Rn tập phương án chấp nhận f j , j = 1, , p, p ≥ 2, hàm số thực xác định X Tương tự cách phân loại toán quy hoạch đa mục tiêu, X tập lồi đóng Rn hàm f1 , , f p hàm lồi X (MP) gọi toán quy hoạch tích lồi, ký hiệu (CMP) Bài toán (MP) gọi toán quy hoạch tích tuyến tính, ký hiệu (LMP), f1 , , f p hàm tuyến tính X tập lồi đa diện Trong [63], T Matsui rằng, trường hợp đơn giản toán (MP), tức toán (LMP) với p = X đa diện khác rỗng, thuộc lớp toán NP−khó Hiện có nhiều thuật toán đề xuất để giải toán quy hoạch tích tuyến tính (LMP) (xem H Konno T Kuno [52], S Schaible C Sodini [80], H.P Benson G.M Boger [17], T Kuno [53], N.T.B Kim [43], N.T.B Kim, T.T.H Yên N.T.L Trang [48], L xi Shao M Ehrgott [82], ) quy hoạch tích lồi (CMP) (xem N.V Thoại [86], T Kuno, Y Yajima, H Konno [54], H.P Benson [12], R.M Oliveira, P.A.V Ferreira [71], Y Gao, G Wu W Ma [32], N.T.B Kim, N.C Nam, L.Q Thủy [46], L Shao M Ehrgott [81], ) Theo hiểu biết tác giả, có nhiều ứng dụng thực tiễn có công trình nghiên cứu toán quy hoạch tích mở rộng Mục đích nghiên cứu ý nghĩa đề tài Như trình bày, toán quy hoạch đa mục tiêu lồi vấn đề liên quan nghiên cứu tương đối hoàn chỉnh thuật toán giải toán tối ưu đa mục tiêu lồi suy rộng [92] Hơn nữa, nhu cầu ứng dụng, việc nghiên cứu xây dựng thuật toán hiệu để giải toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng, toán quy hoạch tích mở rộng, toán tối ưu tập nghiệm hữu hiệu vấn đề thời cần đầu tư nhiều công sức Luận án nghiên cứu đề xuất thuật toán để giải toán sau: Bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng Min f (x) = ( f1 (x), f2 (x), , f p (x)) v.đ.k x ∈ X, (GMOP) tập chấp nhận X ⊂ Rn tập lồi compact khác rỗng hàm mục tiêu f hàm véc tơ giả lồi vô hướng X Bài toán quy hoạch tích lồi suy rộng tương ứng với toán (GMOP) m ∏ f j (x), v.đ.k x ∈ X, (GMP) j=1 hàm số f j : Rn → R, j = 1, , m tập chấp nhận X giả thiết phát biểu toán (GMOP) Bài toán quy hoạch tích lõm mở rộng, hàm mục tiêu có dạng tổng hàm với tích hàm tập chấp nhận tập lồi compact khác rỗng Cụ thể, toán xii k max Φ(x) = f0 (x) + ∏ fi (x) v.đ.k x ∈ X, (GIMP) i=1 X ⊂ Rn tập lồi compact khác rỗng f j , j = 0, 1, , k, hàm lõm nhận giá trị dương X Bài toán quy hoạch tích mở rộng liên quan gần gũi với toán (GIMP) nghiên cứu [41] toán k Φ(x) = f0 (x) + ∏ fi (x) v.đ.k x ∈ X, i=1 X ⊂ Rn tập lồi compact khác rỗng f j , j = 0, 1, , k, hàm lồi nhận giá trị dương X Trong trường hợp đặc biệt, k = 2, toán (GIMP) trở thành toán cực đại tổng hàm lõm với tích hai hàm lõm, có số thuật toán hữu hiệu đề xuất để giải toán (xem [6], [14], [68], ) Theo hiểu biết chúng tôi, nay, chưa có thuật toán đề xuất để giải toán (GIMP) trường hợp tổng quát Hai toán tối ưu tập nghiệm hữu hiệu XE toán quy hoạch hai mục tiêu lồi Đó toán h(x) = ϕ( f (x)) v.đ.k x ∈ XE , (QP) ϕ : R2 → R hàm tựa lõm tập ảnh Y toán max h(x) = ϕ( f (x)) v.đ.k x ∈ XE , (DP) với ϕ : R2 → R hàm đơn điệu tăng tập ảnh Y Dạng hàm mục tiêu h(x) = ϕ( f (x)) với hàm số thực ϕ : Y → R xuất nhiều toán nảy sinh từ thực tế nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn [47], [87], [88], [91] danh sách tài liệu tham khảo kèm theo Tất thuật toán đề xuất luận án chứng minh hội tụ, đồng thời tính toán thử nghiệm so sánh với số thuật toán có Ngoài toán trên, nghiên cứu đề xuất thuật toán giải toán cực đại tổng hàm lõm với cặp tích hai hàm lõm tập lồi compact khác rỗng, xiii cụ thể toán s max g(x) = f1 (x) + ∑ f2i (x)f2i+1 (x) v.đ.k x ∈ X, (GCMP) i=1 X ⊂ Rn tập lồi compact khác rỗng f j , j = 1, , 2s + 1, hàm lõm X Bài toán H.P Benson [14] đưa lần đầu tiên, sau nghiên cứu A.M.M Ashtiani P.A.V Ferreira [6] Bằng phép biến đổi thích hợp, chuyển toán (GCMP) toán tương đương đề xuất phương pháp nón pháp tuyến không gian ảnh để giải toán [84] Kết nhận đăng Pacific Journal of Optimization Tuy nhiên, khuôn khổ có hạn nên luận án không bao hàm kết Cấu trúc kết luận án Luận án bao gồm phần mở đầu, lời cảm ơn, bốn chương, kết luận chung, danh mục công trình công bố tác giả có liên quan đến luận án danh mục tài liệu tham khảo Sau nội dung chương Chương “Bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng” dành để giới thiệu mô hình toán học toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng (GMOP) số khái niệm kết liên quan Các khái niệm kết trình bày chương sở lý thuyết cho thuật toán đề xuất chương sau luận án Mục 1.1 giới thiệu số hàm lồi suy rộng hàm tựa lồi, hàm giả lồi, hàm véc tơ giả lồi vô hướng tính chất hữu dụng chúng Định lý KKT điều kiện tối ưu cho toán quy hoạch lồi suy rộng mục tiêu trình bày mục công cụ lý thuyết nhằm xác định siêu phẳng cắt thuật toán xấp xỉ đề xuất Chương để giải toán (GMOP) Các khái niệm điểm hữu hiệu, điểm hữu hiệu yếu tập, điều kiện nhận biết thông qua khái niệm hướng pháp tuyến kết cấu trúc tập điểm trình bày Mục 1.2 Cuối cùng, Mục 1.3 giới thiệu toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng (GMOP), khái niệm nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu θ -xấp xỉ, nghiệm hữu hiệu yếu θ -xấp xỉ cấu trúc tập giá trị hữu hiệu tập giá trị hữu hiệu yếu toán (GMOP) xiv Chương “Thuật toán hướng pháp tuyến giải toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng” đề xuất thuật toán hướng pháp tuyến giải toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng (GMOP), sử dụng kỹ thuật xấp xỉ không gian ảnh để xác định tập nghiệm hữu hiệu yếu θ −xấp xỉ toán (GMOP) Cách xác định điểm giá trị hữu hiệu yếu hướng pháp tuyến bước lặp điển hình giới thiệu Mục 2.1 Thuật toán chi tiết mô tả Mục 2.2 Tiếp theo, Mục 2.3 trình bày chi tiết chứng minh tính hội tụ thuật toán đề xuất Đây đóng góp quan trọng mặt lý thuyết cho phương pháp xấp xỉ giải toán quy hoạch đa mục tiêu Các kết tính toán thử nghiệm giới thiệu Mục 2.4 chứng tỏ tính hiệu ưu điểm thuật toán so với số thuật toán xấp xỉ giải toán quy hoạch đa mục tiêu lồi trước Chương “Thuật toán giải số toán quy hoạch tích mở rộng” đưa thuật toán theo tiếp cận không gian ảnh để giải hai toán quy hoạch tích: Bài toán quy hoạch tích lồi suy rộng (GMP) Bài toán quy hoạch tích lõm mở rộng (GIMP) Thuật toán giải toán (GMP) giới thiệu Mục 3.1 Thuật toán thiết lập dựa mối quan hệ toán quy hoạch tích lồi suy rộng (GMP) toán quy hoạch đa mục tiêu (GMOP) tương ứng Đây xem ứng dụng thuật toán giải toán (GMOP) thiết lập Chương Mục 3.2 dành để trình bày thuật toán giải toán (GIMP) Bằng biến đổi thích hợp, việc giải toán đưa việc giải toán cực đại hàm đơn điệu tăng tập điểm hữu hiệu tập lồi đóng R2 Các tính toán thử nghiệm chứng tỏ tính hiệu thuật toán đề xuất Chương “Thuật toán giải toán tối ưu tập nghiệm hữu hiệu” đề xuất thuật toán không gian ảnh để giải hai toán (QP) (DP) nhằm tối ưu hàm hợp tập nghiệm hữu hiệu toán quy hoạch hai mục tiêu lồi, tức toán (CMOP) với p = Bằng cách biến đổi toán gốc toán tương đương không gian ảnh tận dụng cấu trúc đặc biệt tập ảnh hữu hiệu tính chất đặc thù hàm mục tiêu, Mục 4.1 đề xuất thuật toán nhánh cận giải toán (QP) Mục 4.2 đưa thuật toán nhánh cận kết hợp với lược đồ xấp xỉ giải toán (DP) xv Các kết luận án công bố báo đăng tạp chí Pacific Journal of Optimization, Advances in Intelligent Systems and Computing, Optimization, Journal of Industrial and Management Optimization báo cáo tại: Xêmina Lý thuyết tối ưu ứng dụng, Bộ môn Toán ứng dụng, Viện Toán ứng dụng Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, ngày 16/03/2013, 11/09/2014, 10/10/2014, 10/03/2016; Xêmina Bài toán cân bằng, toán điểm bất động vấn đề liên quan, Viện Toán ứng dụng Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, ngày 05/05/2015; Xêmina Lý thuyết Tối ưu, Viện Nghiên cứu Cao cấp Toán, ngày 28/05/2012; Xêmina Bài toán cân vấn đề liên quan, Viện Toán học, ngày 21/03/2012; Hội thảo Tối ưu Tính toán khoa học Lần thứ 11, Ba Vì, ngày 26/04/2013; Đại hội Toán học Việt Nam Lần thứ 8, Nha Trang, ngày 10/08/2013; Hội nghị NAFOSTED Khoa học Thông tin Máy tính Lần thứ nhất, Học viện Kỹ thuật quân sự, Hà Nội, ngày 14/03/2014; Hội nghị quốc tế Tính toán Khoa học Hiệu cao Lần thứ (6th International Conference on High Performance Scientific Computing), Viện Nghiên cứu Cao cấp Toán, Hà Nội, ngày 20/03/2015 xvi đa mục tiêu lồi suy rộng (GMOP) Tính hội tụ thuật toán Định lý 3.1 Nghiên cứu toán (GIMP) cực đại hàm mục tiêu tổng hàm lõm với tích p ≥ hàm lõm tập chấp nhận tập lồi compact khác rỗng, đưa việc giải toán giải toán (EPY − ) cực đại hàm liên tục, đơn điệu tăng tập điểm hữu hiệu yếu tập lồi có thứ nguyên đầy đủ R2 Thuật toán nhánh cận Solve(EPY − ) giải toán (EPY − ) xây dựng dựa cấu trúc đặc biệt tập điểm hữu hiệu chứng minh hội tụ (Định lý 3.2) Các kết tính toán thử nghiệm cho thấy thuật toán giải toán có số biến lớn Đề xuất hai thuật toán không gian ảnh để giải hai toán tối ưu hàm mục tiêu có dạng h(x) = ϕ( f (x)) tập nghiệm hữu hiệu XE toán quy hoạch hai mục tiêu lồi (CBOP), hàm véc tơ lồi f (x) = ( f1 (x), f2 (x)) hàm mục tiêu toán (CBOP), dựa cấu trúc đặc biệt tập giá trị hữu hiệu YE = f (XE ) tính đặc thù hàm ϕ: • Thuật toán nhánh cận giải toán cực tiểu hàm h(x) = ϕ( f (x)) XE , ϕ : R2 → R hàm tựa lõm (Thuật toán Solve(QPY + )); • Thuật toán nhánh cận kết hợp xấp xỉ giải toán cực đại hàm h(x) = ϕ( f (x)) XE , ϕ : R2 → R đơn điệu tăng (Thuật toán Solve(DPY + )) Cả hai thuật toán chứng minh hội tụ (Định lý 4.1 Định lý 4.2) Tính toán thử nghiệm với nhiều toán khác cho thấy thuật toán xây dựng theo hướng tiếp cận không gian ảnh cho phép giảm đáng kể chi phí tính toán Một số vấn đề tiếp tục nghiên cứu: Sử dụng phương pháp hướng pháp tuyến không gian ảnh để giải lớp toán tối ưu khác toán quy hoạch lõm, toán tối ưu tập nghiệm hữu hiệu, toán quy hoạch toàn phương, toán tối ưu với ràng buộc không lồi, 112 Đề xuất thuật toán giải lớp toán quy hoạch tích mở rộng khác nảy sinh từ vấn đề thực tế lĩnh vực kinh tế, viễn thông, công nghiệp, Mở rộng thuật toán giải hai toán tối ưu tập nghiệm hữu hiệu trình bày Chương cho trường hợp toán quy hoạch đa mục tiêu có số mục tiêu lớn Nghiên cứu đề xuất thuật toán hiệu giải lớp toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng khác, hàm mục tiêu hàm tựa lồi, hàm phân thức hàm đa thức, Nghiên cứu xây dựng thuật toán giải toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc với biến số nguyên Ứng dụng thuật toán đề xuất vào việc giải toán nảy sinh thực tế, chẳng hạn toán tối ưu danh mục đầu tư, toán tối ưu hóa sản xuất, toán luồng cực đại mạng, toán xử lý ảnh, 113 Danh mục công trình công bố luận án Nguyen Thi Bach Kim, Tran Ngoc Thang (2013), Optimization over the efficient set of a bicriteria convex programming problem, Pac J Optim., 9(1), 103-115 (ISI) Tran Ngoc Thang (2015), Outcome-based branch and bound algorithm for optimization over the efficient set and its application, Adv Int Syst Comput., Springer Publishing Switzerland, 341, 31-47 (SCOPUS) Tran Ngoc Thang, Nguyen Thi Bach Kim (2016), Outcome space algorithm for generalized multiplicative problems and optimization over the efficient set1 , J Ind Manag Optim., 12(4), 1417 - 1433 (ISI) Tran Ngoc Thang, Dinh The Luc, Nguyen Thi Bach Kim (2016), Solving generalized convex multiobjective programming problems by a normal direction method, Optimization, 65(12), 2269-2292 (ISI) Thuộc danh sách công trình thưởng năm 2016 Chương trình Trọng điểm Quốc gia phát triển Toán học giai đoạn 2010 - 2020 114 Danh mục tài liệu tham khảo Tiếng Việt Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền (2009), Nhập môn giải tích lồi ứng dụng, NXB Khoa học tự nhiên Công nghệ, Hà Nội Nguyễn Thị Bạch Kim (2014), Giáo trình phương pháp tối ưu: Lý thuyết thuật toán, NXB Bách Khoa, Hà Nội Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội Tiếng Anh An L.T.H., Tao P.D., Muu L.D (1996), Numerical solution for optimization over the efficient set by d.c optimization algorithm, Oper Res Lett., 19, 117128 An L.T.H., Tao P.D., Nam N.C., Muu L.D (2010), Method for optimizing over efficient and weakly efficient the sets of an affine fractional vector optimization program, Optimization, 59(1), 77-93 Ashtiani A.M.M., Ferreira P.A.V (2011), On the solution of generalized multiplicative extremum problems, J Optim Theory Appl., 149, 411-419 Armand P., Malivert C (1991), Determination of the efficient set in multiobjective linear programming, J Optim Theory Appl., 70, 467 - 489 Avriel M., Diewert W.E., Schaible S., Zang I (1988), Generalized concavity, Plenum Press, New York Benoist J (2001), Contractibility of the efficient set in strictly quasiconcave vector maximization, J Optim Theory Appl., 110, 325-336 10 Benson H.P (1991), An all-linear programming relaxation algorithm for optimization over the efficient set, J Global Optim., 1, 83 - 104 115 11 Benson H.P (1998), An outer approximation algorithm for generating all efficient extreme points in the outcome set of a multiple objective linear programming problem, J Global Optim., 13, 1-24 12 Benson H.P (1999), An outcome space branch and bound-outer approximation algorithm for convex multiplicative programming, J Global Optim., 15, 315-342 13 Benson H.P (2004), On the global optimization of sums of linear fractional functions over a convex set, J Optim Theory Appl., 121(1), 19–39 14 Benson H.P (2008), Global maximization of a generalized concave multiplicative function, J Optim Theory Appl., 137, 105-120 15 Benson H.P (2010), Simplicial branch-and-reduce algorithm for convex programs with a multiplicative constraint, J Optim Theory Appl., 145, 213-233 16 Benson H.P (2012), An outcome space algorithm for optimization over the weakly efficient set of a multiple objective nonlinear programming problem, J Global Optim., 52, 553-574 17 Benson H.P., Boger G.M (1997), Multiplicative programming problems: Analysis and efficient point search heuristic, J Optim Theory Appl., 94, 487-510 18 Benson H.P., Boger G.M (2000), Outcome-space cutting-plane algorithm for linear multiplicative programming, J Optim Theory Appl., 104, 301-322 19 Benson H.P., Sayin S (1994), Optimization over the efficient set: four special case, J Optim Theory Appl., 80, 3-18 20 Ben-Tal A (1980), Characterization of Pareto and lexicographic optimal solutions, Lecture Notes in Eco and Math Sys., Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 177, 1-11 21 Cantor G (1897), Contributions to the foundation of transfinite set theory, Math Ann., 49, 207–246 116 22 Chen P.C., Hansen P., Jaumard B (1991), On-line and off-line vertex enumeration by adjacency lists, Oper Res Lett., 10, 403-409 23 Cohon J.L (1978), Multiobjective programming and planning, New York, Academic Press 24 Dan N.D., Muu L.D (1996), Parametric simplex method for optimizing a linear function over the efficient set of a bicriteria linear problem, Acta Math Vietnam., 21, 59-67 25 Das I., Dennis J.E (1998), Normal-boundary intersection: A new method for generating the Pareto surface in nonlinear multicriteria optimization problems, SIAM J Optim., 8, 631-657 26 Dauer J.P., Fosnaugh T.A (1995), Optimization over the eficient set, J Global Optim., 7, 261-277 27 Dauer J.P., Liu Y.H (1990), Solving multiple objective linear programs in objective space, Eur J Oper Res., 46, 350–357 28 Dauer J.P., Gallagher R.J (1996), A combined constraint-space, objectivespace approach for determining high-dimensional maximal efficient faces of multiple objective linear programs, Eur J Oper Res., 88, 368-381 29 Ehrgott M., L¨ohne A., Shao L (2012), A dual variant of Benson’s “outer approximation algorithm” for multiple objective linear programming, J Global Optim., 52(4), 757–778 30 Ehrgott M., Shao L., Schobel A (2011), An approximation algorithm for convex multi-objective programming problems, J Global Optim., 50, 397416 31 Fulop J., Muu L.D (2000), Branch-and-bound variant of an outcome-based algorithm for optimizing over the efficient set of a bicriteria linear programming problem, J Optim Theory Appl., 105, 37-54 117 32 Gao Y., Wu G., Ma W (2010), A new global optimization approach for convex multiplicative programming, Appl Math Comput., 216, 1206-1218 33 Gourion D., Luc D.T (2008), Generating the weakly efficient set of nonconvex multiobjective problems, J Global Optim., 41, 517-538 34 Gourion D., Luc D.T (2010), Finding efficient solutions by free disposal outer approximation, SIAM J Optim., 20, 2939-2958 35 Greenberg H.J., Pierskalla W.P (1971), A review of quasi-convex functions, Oper Res., 19, 1553–1570 36 Haimes Y.Y., Lasdon L.S., Wismer D.A (1971), On a bicriterion formulation of the problems of integrated system identification and system optimization, IEEE Trans Syst Man Cyber., ,296-297 37 Hausdorff F (1906), Investigations concerning order types, Math Physic Class., 58, 106-169 38 Horst R., Thoai N.V (1997), Utility function programs and optimization over the efficient set in multiple-objective decision making, J Optim Theory Appl., 92 , 605-631 39 Horst R., Thoai N.V., Yamamoto Y., Zenke D (2007), On optimization over the efficient set in linear multicriteria programming, J Optim Theory Appl., 134, 433-443 40 Huy N.Q (2003), Topology of the efficient sets of convex sets in R2 , Vietnam J Math., 31(1), 45-55 41 Jaumard B., Meyer C., Tuy H (1997), Generalized convex multiplicative programming via quasiconcave minimization, J Global Optim., 10, 229-256 42 Kim N.T.B (2000), An algorithm for optimizing over the efficient set, Vietnam J Math., 28, 329-340 43 Kim N.T.B (2007), Finite algorithm for minimizing the product of two linear functions over a polyhedron, J Ind Manag Optim., 3(3), 481-487 118 44 Kim N.T.B., Luc D.T (2000), Normal cone to a polyhedral convex set and generating efficient faces in linear multi-objective programming, Acta Math Vietnam., 25(1), 101-124 45 Kim N.T.B., Luc D.T (2002), Normal cone method in solving linear multiobjective problem, J Stat Manag Sys., 5, 341 - 358 46 Kim N.T.B., Nam N.C., Thuy L.Q (2013), An outcome space algorithm for minimizing the product of two convex functions over a convex set, J Ind Manag Optim., 9(1), 243-253 47 Kim N.T.B., Muu L.D (2002), On the projection of the efficient set and potential application, Optimization, 51, 401-421 48 Kim N.T.B., Trang N.T.L., Yen T.T.H (2007), Outcome-space outer approximation algorithm for linear multiplicative programming, East West J Math., 9, 81-98 49 Kim N.T.B., Thuy L.Q (2010), An algorithm for generating efficient outcome points for convex multiobjective programming problem, Lecture Notes in Comp Sci., 5991, 390-399 50 Klamroth K., Tind J., Wiecek M.M (2002), Unbiased approximation in multicriteria optimization, Math Meth Oper Res., 56, 413-457 51 Konno H and Kuno T (1990), Generalized linear multiplicative and fractional programming, Ann Oper Res., 25, 147-162 52 Konno H., Kuno T (1992), Linear multiplicative programming, Math Program., 56, 51-64 53 Kuno T (2001), A finite branch-and-bound algorithm for linear multiplicative programming, Comput Optim Appl., 20, 119-135 54 Kuno T., Yajima Y., Konno H (1993), An outer approximation method for minimizing the product of several convex functions on a convex set, J Global Optim., 3, 325-335 119 55 Lohne A., Rudloff B., Ulus F (2014), Primal and dual approximation algorithms for convex vector optimization problems, J Global Optim., 60, 713736 56 Luc D.T (1987), Connectedness of the efficient point sets in quasiconcave vector maximization, J Optim Theory Appl., 122, 346-354 57 Luc D.T (1989), Theory of vector optimization, Lecture Notes in Econom and Math Systems, 319, Springer-Verlag, Germany 58 Luc D.T (2005), Generalized convexity in vector optimization, Handbook of Generalized Convexity and Generalized Monotonicity, Springer, New York, 195–236 59 Luc D.T (2016), Multiobjective Linear Programming, Springer, Switzerland 60 Luc L.T., Muu L.D (1997), Global optimization approach to optimization over the efficient set, Lecture Notes in Econom and Math Systems, 452, Springer-Verlag, Berlin, Germany, 213-221 61 Luc D.T., Phong T.Q., Volle M (2005), Scalarizing functions for generating the weakly efficient solution set in convex multiobjective problems, SIAM J Optim., 15, 987-1001 62 Luc D.T., Phong T.Q., Volle M (2006), A new duality approach to solving concave vector maximization problems, J Global Optim., 36, 401-423 63 Matsui T (1996), NP-hardness of linear multiplicative programming and related problems, J Global Optim., 9, 113-119 64 Marler R., Arora J (2004), Survey of multi-objective optimization methods for engineering, Struct Multi Optim., 26(6), 369–395 65 Miettinen K (1999), Nonlinear Multiobjective Optimization, Kluwer Academic Publishers, Boston 66 Mangasarian O.L (1969), Nonlinear Programming, McGraw-Hill, New York 120 67 Muu L.D (2000), A convex-concave programming method for optimizing over the efficient set, Acta Math Vietnam., 25, 67-85 68 Muu L.D., Tam B.T (1992), Minimizing the sum of a convex function and the product of two affine functions over a convex set, Optimization, 24, 57-62 69 Muu L.D., Thuy L.Q (2011), Smooth optimization algorithms for optimizing over the Pareto efficient set and their application to minmax flow problems, Vietnam J Math., 39(1), 31-48 70 Muu L.D., Tuyen H.Q (2002), Bilinear programming approach to optimization over the efficient set of a vector affine fractional problem, Acta Math Vietnam., 27, 119 - 139 71 Oliveira R.M., Ferreira P.A.V (2008), A convex analysis approach for convex multiplicative programming, J Global Optim., 41, 579-592 72 Payne A.N., Polak E., Collins D.C., Meisel W.S (1975), An algorithm for bicriteria optimization based on the sensitivity function, IEEE Trans Autom Control, 20, 546 - 548 73 Philip J (1972), Algorithms for the vector maximization problem, Math Program., 2, 207-229 74 Phu H.X (2005), On Efficient Sets in R2 , Vietnam J Math., 33(4), 463–468 75 Polak E (1976), On the approximation of solutions to multiple-criteria decision making problems, Lecture Notes in Econom and Math Systems, 123, Springer, 271- 282 76 Rockafellar R.T (1970), Convex analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey 77 Rockafellar R.T., Wets R.B (2010), Variational Analysis, Springer-Verlag, Berlin, Germany 78 Ruzika S., Wiecek M.M (2005), Approximation methods in multiobjective programming, J Optim Theory Appl., 126, 473-501 121 79 Sach P.H (1999), Characterization of scalar quasiconvexity and convexity of locally lipschitz vector-valued maps, Optimization, 46, 283-310 80 Schaible S., Sodini C (1995), Finite algorithm for generalized linear multiplicative programming, J Optim Theory Appl., 87, 441-455 81 Shao L., Ehrgott M (2014), An objective space cut and bound algorithm for convex multiplicative programmes, J Global Optim., 58, 711-728 82 Shao L., Ehrgott M (2016), Primal and dual multi-objective linear programming algorithms for linear multiplicative programmes, Optimization, 65(2), 415-431 83 Steuer R.E (1986) Multiple criteria optimization: Theory, computation and application, Wiley, New York 84 Thang T.N., Kim N.T.B., Hung D.X (2017), An outcome-space normal cone method for generalized concave multiplicative problems, Pac J Optim., (đã nhận đăng) 85 Thieu T.V., Tam B.T., Ban V.T (1983), An outer approximation method for globally minimizing a concave function over a compact convex set, Acta Math Vietnam., 8, 21-40 86 Thoai N.V (1991), A global optimization approach for solving the convex multiplicative programming problem, J Optim Theory Appl., 1, 341-357 87 Thoai N.V (2000) , A class of optimization problems over the efficient set of a multiple criteria nonlinear programming problem, Eur J Oper Res., 122, 58-68 88 Thoai N.V (2010), Reverse convex programming approach in the space of extreme criteria for optimization over efficient sets, J Optim Theory and Appl., 147, 263-277 89 Tuy H (1998), Convex analysis and global optimization, Kluwer Academic Publishers 122 90 Tuy H., Nghia N.D (2003), Reverse polyblock approximation for generalized multiplicative/fractional programming, Vietnam J Math., 31(4), 391-402 91 Yamamoto Y (2002), Optimization over the efficient set: overview, J Global Optim., 22, 285-317 92 Wiecek M.M., Ehrgott M., Engau A (2016), Continuous multiobjective programming, Multiple criteria decision analysis: State of the art surveys, Oper Res Manag Sci., Springer, New York, 233, 739-815 93 Yu P.L (1985), Multiple-criteria decision making: Concepts, techniques and extensions, Plenum Press, New York 94 Zeleny M (1982), Multiple criteria decision making, New York, McGraw Hill 123 Danh mục thuật ngữ ), 69 (Psub ), 72 (Psub 2-đơn hình, 70, 88 toán (Pro(z∗ )), 68 (CBMP), 93 (RP(E )), 71 (SP(E )), 69 (CBOP), 83, 93 (CMOP), 17 (T (yO )), 100 nới lỏng, 71, 88 (CMP), 56, 57 (DP), 85 tối ưu biến, 72 (DPY + ), 85, 98 (GIMP), 55 (GMOP), 17 (GMP), 55, 57 tập nghiệm hữu hiệu, x, 83 cấu trúc (LMOP), 17 (LMP), 56 (P(v)), 16 tập điểm hữu hiệu, 67 tập ảnh hữu hiệu, 18 cận (QP), 85 (QPY + ), 85 (SPi ), 84 (P(vk )), 24 (PM (i)), 15 (Pm (i)), 15 (IPi ), 68 (DP(S(yL , yR ))), 103 (EPY − ), 66 (GIMPY ), 65 (GIMP), 64 tốt tại, 58 tốt tại, 59 đồng phôi, 13, 84 đơn hình, 32 đường cong hữu hiệu, 84 liên thông, 67 điều kiện Slater, 8, 21, 26, 55 tối ưu, 11 điểm 124 ảnh giả lồi vô hướng, 6, 21, 55 hữu hiệu, 18 hữu hiệu yếu, 18 lồi, tựa lồi, 6, 21 chia đôi, 74, 87, 101 dừng, 4, tuyến tính, giá trị hữu hiệu, 18 hữu hiệu yếu, 18, 27 hữu hiệu yếu θ − xấp xỉ, 22 hữu hiệu, θ -xấp xỉ, 10 hữu hiệu yếu, θ − xấp xỉ ngoài, 28 KKT, lý tưởng, 15, 83 tụ, 77, 92 hướng pháp tuyến, 10 dương, 11, 86 không âm, 11 không gian ảnh, ix giá trị, ix định, viii khoảng cách Hausdorff, 33 lược đồ rẽ nhánh, 101 liên thông, 17, 18 đường, 17, 18 đường gấp khúc, 13 đoạn cong hữu hiệu, 86 hình chiếu, 33, 68 nón pháp tuyến, 11, 27 hàm đơn điệu tăng, 99 nửa không gian tựa, 11 nghiệm afin, giả lồi, chấp nhận tốt tại, 59 giả lõm, lồi, hữu hiệu, 18 θ − xấp xỉ, 19 lồi suy rộng, hữu hiệu yếu, 18 θ − xấp xỉ, 19 lõm, phân thức, tối ưu địa phương, tựa lồi, tựa lõm, toàn cục, 4, 57, 77 xấp xỉ, 90, 102 ε- xấp xỉ, 58 hàm véc tơ giả lồi, 125 phân hoạch, 73 hữu hiệu, 22 phân phối điểm ảnh hữu hiệu, 48 phương pháp mức dưới, hướng pháp tuyến, 23 liệt kê đỉnh, 33 trên, nghiệm hữu hiệu, 18, 19 xấp xỉ ngoài, ix, 57 hữu hiệu xấp xỉ, 19 hữu hiệu yếu, 18, 19, 22 quy hoạch đa mục tiêu, viii lồi, viii, 1, 17, 21 lồi suy rộng, 1, 17, 21 tuyến tính, viii, 17, 21 hai mục tiêu lồi, 83 lồi, 68, 100 tích lồi, xi, 56 lồi suy rộng, 55 lõm mở rộng, 64 hữu hiệu yếu xấp xỉ, 19 tương đương hữu hiệu, 14 thứ tự phần, thủ tục Solve(SP(yL , yR )), 89 Solve(SP(E )), 72 thuật toán hướng pháp tuyến, 22, 23, 27 nhánh cận, 74, 90 nhánh cận - xấp xỉ ngoài, 101 tuyến tính, xi, 56 Solve(DPY + ), 103 Solve(EPY − ), 74 tối ưu đa mục tiêu, viii véc tơ, viii, tập ảnh, 18 hữu hiệu, 18 hữu hiệu yếu, 18 Solve(QPY + ), 90 Solve(GMPY ), 59 Solve(GMOP), 29 tiếp cận xấp xỉ, 19 tiêu chí dừng, 48 số véc tơ pháp tuyến, 11, 86 ràng buộc thỏa mãn chặt, 8, 25 giá trị, 18 126 ... [78] Hai toán tối ưu toàn cục quan trọng có liên quan chặt chẽ đến toán quy hoạch đa mục tiêu toán tối ưu hàm thực tập nghiệm hữu hiệu toán quy hoạch đa mục tiêu (gọi tắt Bài toán tối ưu tập nghiệm... toán nhiều phương pháp khác phương pháp đơn hình đa mục tiêu, phương pháp tham số, phương pháp vô hướng hóa, phương pháp nón pháp tuyến, phương pháp xấp xỉ kết hợp phương pháp đó, chẳng hạn xem công...Lời mở đầu Giới thiệu toán tối ưu đa mục tiêu Trong năm 50 kỷ 20, Quy hoạch đa mục tiêu, hay gọi Tối ưu đa mục tiêu Tối ưu véc tơ, trở thành chuyên ngành toán học, thu hút quan tâm nhiều