Một số định lý điểm bất động

Header Page of 126 Đại học tháI nguyên Trường đại học sư phạm Trương thị hải yến Một số định lý điểm bất động Chuyên ngành : Giải tích Mã số : 60.46.01 Luận văn thạc sỹ toán học Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRNG XUN C H Thái Nguyên - 2008 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 126 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 126 MC LC Li núi u Chng 1: Mt s kin thc chun b 1.1.Tớnh compact v tớnh y 1.2 Tớnh b chn v tớnh liờn tc ca hm s5 1.3 Tp sp th t.5 1.4 Khụng gian im bt ng.6 1.5 To khụng gian im bt ng mi t khụng gian c9 Chng 2: Mt s nh lớ tn ti im bt ng khụng gian y v ng dng ca nh lớ Banach 12 2.1 Nguyờn lý ỏnh x co Banach12 2.2 Min bt bin c s 15 2.3 Phng phỏp liờn tc cho ỏnh x co.17 2.4 Luõn phiờn phi tuyn cho ỏnh x co.20 2.5 M rng nguyờn lớ ỏnh x co Banach 23 2.6 nh x khụng gión khụng gian Hilbert 28 2.7 ng dng nguyờn lớ Banach cho phng trỡnh tớch phõn.36 Chng 3: M t s nh lớ tn ti im bt ng khụng gian cú th t .39 3.1 nh lớ Knaster - Tarski 39 3.2 Tớnh th t v tớnh y nh lớ Bishop - Phelps.42 3.3 im bt ng ca ỏnh x co a tr 45 3.4 ng dng vo nghiờn cu hỡnh hc ca khụng gian Banach 47 3.5 ng dng vo nghiờn cu im ti hn 48 Chng 4: Mt s nh lớ tn ti im bt ng da trờn tớnh li51 4.1 Nguyờn lớ ỏnh x KKM . 51 4.2 nh lớ ca von Newmann v h bt ng thc 56 4.3 im bt ng ca ỏnh x Affine nh lớ Markoff Kakutani 60 Kt lun 63 Ti liu tham kho.64 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 126 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 126 LI NểI U Cho C l mt ca khụng gian X , F l mt ỏnh x t C vo X Phi t nhng iu kin no trờn C , X v F cú th khng nh s tn ti ca mt im x0 C cho Fx0 = x0 ? im x0 nh vy gi l im bt ng ca ỏnh x F Lý thuyt im bt ng l mt nhỏnh ca Toỏn hc, cú nhiu ng dng lớ thuyt ti u, lớ thuyt trũ chi, cỏc bao hm thc vi phõn v nhiu nghiờn cu ca Vt lớ Mt s kt qu v tn ti im bt ng ni ting ó xut hin t u th k XX, ú phi k n nguyờn lớ im bt ng Brouwer (1912) v nguyờn lớ ỏnh x co Banach (1922) Cỏc kt qu kinh in ny ó c m rng cỏc lp ỏnh x v khụng gian khỏc Mc ớch ca lun ny l trỡnh by mt cỏch chi tit hn mt s nh lớ im bt ng ti liu A.Granas, J.Dugundji Fixed point Theory Springer Verlag NewYork, 2003 Chỳng tụi ch hn ch vic gii thiu nhng kt qu da trờn tớnh y , tớnh sp th t ca khụng gian v tớnh li B cc ca lun gm chng vi nhng ni dung chớnh sau õy: Chng Nhc li mt s kin thc chun b lm c s theo dừi lun Chng Nghiờn cu s tn ti im bt ng da trờn tớnh y ca khụng gian nh Nguyờn lớ ỏnh x co Banach, cỏc m rng v ng dng ca nú Chng Trỡnh by s tn ti im bt ng khụng gian cú th t nh nh lớ Knaster - Tarski, nh lớ Tarski - Kantorovitch Xột mi liờn h gia khỏi nim th t v tớnh y ta thu c nh lớ Bishop Phelps, nh lớ im bt ng Carsti, nh lớ Ekeland Trong chng ny cũn trỡnh S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 126 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 126 by im bt ng ca ỏnh x co a tr, ng thi xột mt vi ng dng vo nghiờn cu hỡnh hc ca khụng gian Banach, vo nghiờn cu im ti hn Chng Nghiờn cu s tn ti im bt ng da trờn tớnh li c th l da trờn Nguyờn lớ ỏnh x KKM Lun ny c hon thnh vi s hng dn tn tỡnh ca PGS.TS Trng Xuõn c H , tỏc gi xin by t lũng kớnh trng v s bit n sõu sc n cụ Tỏc gi xin chõn thnh cm n cỏc thy cụ giỏo phn bin ó c v úng gúp nhiu ý kin quý bỏu cho lun ca tỏc gi; cỏc thy cụ giỏo Khoa Toỏn, Trng i hc S phm Thỏi Nguyờn; cỏc thy cụ giỏo Vin Toỏn hc cựng ton th bn bố ó úng gúp ý kin, giỳp , ng viờn tỏc gi quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun Cui cựng, tỏc gi xin gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố, nhng ngi ó to iu kin thun li v ng viờn tỏc gi hon thnh lun ny Do thi gian v kinh nghim cũn nhiu hn ch nờn lun khụng trỏnh nhng thiu sút Tỏc gi rt mong nhn c s gúp ý t thy cụ v cỏc bn Tỏc gi xin chõn trng cm n! Thỏi Nguyờn, ngy 22 thỏng nm 2008 Hc viờn Trng Th Hi Yn S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 126 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 126 Chng MT S KIN THC CHUN B Chng ny ta nhc li mt s khỏi nim v mt s nh lớ quan trng c dựng lun ([1] , [ 2] , [ 4] , [5]) 1.1 Tớnh compact v tớnh y nh ngha 1.1.1 Cho X l mt khụng gian mờtric vi mờtric d Mt dóy { xn } X c gi l dóy Cauchy nu lim d ( xn , xm ) = , tc l vi mi n , m > , tn ti n0 cho vi mi n, m > n0 ta cú d ( xn , xm ) < nh ngha 1.1.2 Khụng gian mờtric X gi l y (hay y) nu mi dóy Cauchy nú u hi t Vớ d: n l khụng gian mờtric y vi khong cỏch Euclid nh ngha 1.1.3 Tp A ca khụng gian mờtric X c gi l compact nu vi mi dóy { xn } A , tn ti dóy {xnk } hi t n mt phn t ca A Tp A gi l compact tng i nu bao úng A ca A X l compact Vớ d: Mi úng v b chn n l compact t nh ngha 1.1.4 Cho X v Y l hai khụng gian Banach Toỏn T : D(T ) X Y c gi l toỏn t compact nu T l liờn tc v T bin mt b chn thnh mt compact tng i nh lớ 1.1.5 (Nguyờn lớ Cantor) Trong khụng gian mờtric y mi dóy hỡnh cu úng tht dn u cú mt im chung nht Ta nhc li, dóy hỡnh cu {Bn } (vi dóy bỏn kớnh tng ng {rn } ) c gi l tht dn nu Bn+1 Bn , vi mi n v lim rn = n S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 126 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 126 nh lớ 1.1.6 (nh lớ im bt ng Schauder) Cho M l mt khụng rng, li, úng, b chn ca khụng gian Banach X , v gi s T : M M l toỏn t compact Khi ú, T cú mt im bt ng 1.2 Tớnh b chn v tớnh liờn tc ca hm s Cho X l khụng gian mờtric Gi s A X , f : A v x0 A nh ngha 1.2.1 Hm f b chn di trờn A nu tn ti h : f ( x) h vi mi x A Hm f b chn trờn trờn A nu tn ti h : f ( x) h vi mi x A nh ngha 1.2.2 Hm f l na liờn tc di ti x0 A nu vi mi > , tn ti > cho f ( x0 ) f ( x) < vi mi x B ( x0 , ) , tc l lim inf f ( x) f ( x0 ) Trong ú, lim inf f ( x= ) inf {u : ( xn ) x0 , f ( xn ) u} x x0 x x0 Nu f l na liờn tc di ti mi im x A thỡ f c gi l na liờn tc di trờn A Hm f c gi l na liờn tc trờn trờn A nu hm f l na liờn tc di trờn A 1.3 Tp sp th t nh ngha 1.3.1 Tp X cựng vi quan h tho i) x x vi mi x X (tớnh phn x) ii) x y , y x kộo theo x = y (tớnh phn i xng) iii) x y , y z kộo theo x z (tớnh bc cu) c gi l sp th t b phn vi quan h th t nh ngha 1.3.2 Tp A X c gi l sp th t tuyn tớnh (hay xớch) nu vi x, y A bt kỡ thỡ hoc x y hoc y x Gi s X l mt sp th t vi quan h th t v A l mt khỏc rng ca X S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 126 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 126 nh ngha 1.3.3 Mt phn t a X gi l phn t cc i ca X nu quan h a x kộo theo x = a , vi mi x X Mt phn t a X gi l phn t cc tiu ca X nu quan h x a kộo theo x = a , vi mi x X nh ngha 1.3.4 Phn t a X gi l cn trờn ca A nu x a vi mi x A Nu a A v a l mt cn trờn ca A thỡ a gi l phn t ln nht ca A v kớ hiu l max A Phn t a X gi l cn di ca A nu a x vi mi x A Nu a A v a l mt cn di ca A thỡ a gi l phn t nh nht ca A v kớ hiu l A nh ngha 1.3.5 Phn t a X gi l supremum ca A (hay cn trờn ỳng ca A ) nu nú l phn t nh nht (nu cú) ca hp cỏc cn trờn ca A , v kớ hiu l supA Phn t a X gi l infimum ca A (hay cn di ỳng ca A ) nu nú l phn t ln nht (nu cú) ca hp cỏc cn di ca A , v kớ hiu l inf A nh ngha 1.3.6 Tp hp A c gi l b chn trờn nu nú cú mt cn trờn Tp hp A c gi l b chn di nu nú cú mt cn di Tp hp A c gi l b chn nu nú b chn trờn v b chn di B 1.3.7 (B Zorn) Gi s X l sp th t b phn Nu mi xớch ca X u cú cn trờn thỡ X cú phn t cc i 1.4 Khụng gian im bt ng nh ngha 1.4.1 Cho X l mt khụng gian tụpụ (Hausdorff ) v f l mt ỏnh x liờn tc ca X, hoc ca mt ca X , vo X Mt im x X c gi l mt im bt ng i vi f nu x = f ( x) Tp tt c cỏc im bt ng ca f ký hiu l Fix( f ) Ngi ta cú th thy c nh ngha ny, dng in hỡnh ca cỏc nh lớ v tn ti gii tớch Vớ d: tỡm mt nghim ca phng trỡnh P( z ) = , ú P l mt a thc phc, tng ng vi vic tỡm mt S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 126 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 126 im bt ng ca ỏnh x z z P( z ) Tng quỏt hn, nu D l toỏn t bt k trờn mt ca mt khụng gian tuyn tớnh, vic ch phng trỡnh Du = (tng ng u Du = ) cú nghim tng ng vi vic ch ỏnh x u u Du (tng ng u Du ) cú mt im bt ng Nh vy, nhng iu kin lờn mt toỏn t hay xỏc nh nh ngha m bo tn ti mt im bt ng din gii nh cỏc nh lớ v tn ti gii tớch Cho mt khụng gian X v ỏnh x liờn tc f : X X S tn ti mt im bt ng i vi f cú th ph thuc hon ton vo tớnh cht ca khụng gian X , hn l vo tớnh cht ca ỏnh x f nh ngha 1.4.2 Mt khụng gian tụpụ (Hausdorff ) X c gi l khụng gian im bt ng nu mi ỏnh x liờn tc f : X X u cú mt im bt ng Vớ d 1.4.3 = J a, b bt k l mt khụng gian im (i) Mt khong úng b chn bt ng Tht vy, cho f : J J ta cú a f (a) v b f (b) , theo nh lý giỏ tr trung bỡnh phng trỡnh x f ( x) = cú mt nghim J, ú f cú mt im bt ng (ii) Tp s thc khụng l khụng gian im bt ng, vỡ ỏnh x x x + khụng cú im bt ng Trong trng hp tng quỏt, rt khú kim nh l mt khụng gian cú l khụng gian im bt ng hay khụng, nhng kt qu thuc loi ú thng cú rt nhiu h qu tụpụ quan trng Mt vớ d l nh lớ im bt ng Brouwer ch rng: Mi compact li n u l khụng gian im bt ng Tớnh cht l khụng gian im bt ng l mt bt bin tụpụ: nu X l khụng gian im bt ng v h : X Y l ng phụi thỡ vi bt kỡ ỏnh x liờn S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 126 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 126 tc g : Y Y , ỏnh x h1 g h : X X cú mt im bt ng x0 nờn g h( x0 ) = h( x0 ) v h( x0 ) l mt im bt ng i vi g Vớ d 1.4.4 th ca hm liờn tc f : a, b , cho bi x sin f ( x) = x < x x =0 l ng phụi vo [ a, b ] , vỡ th nú l mt khụng gian im bt ng Nu X khụng l mt khụng gian im bt ng, cú th ỳng rng mt s ỏnh x vi cỏc tớnh cht tt s cú im bt ng hp thc hoỏ khỏi nim ny, chỳng ta m rng phỏt biu ca nh ngha 1.4.2: nh ngha 1.4.5 Cho X l mt khụng gian tụpụ (Hausdorff ) v M l mt lp cỏc ỏnh x liờn tc f : X X Nu mi f M cú im bt ng thỡ X c gi l khụng gian im bt ng tng ng vi M Chng hn, nguyờn lý ỏnh x co Banach khng nh rng: Mi khụng gian mờtric y u l khụng gian im bt ng i vi cỏc ỏnh x co Khỏi nim trờn l c bit quan trng M l lp cỏc ỏnh x compact, ngha l nhng ỏnh x liờn tc f : X X vi bao úng f ( X ) ca f ( X ) l compact, cỏc ỏnh x thuc loi ny xut hin mt cỏch t nhiờn cỏc ca gii tớch phi tuyn Vớ d 1.4.6 (i) Ta ó bit khụng l khụng gian im bt ng Trong thc t, l mt khụng gian im bt ng tng ng vi lp ỏnh x compact Nu ỏnh x f : l compact thỡ f ( ) cha on hu hn a, b no ú; ú t ỏnh x f : a, b a, b cú mt im bt ng S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page of 126 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 10 of 126 (ii) nh lớ im bt ng Schauder cú nhiu ng dng gii tớch ó khng nh rng: Mi li khụng gian tuyn tớnh nh chun l khụng gian im bt ng i vi cỏc ỏnh x compact Do nh liờn tc ca mt compact l mt compact, cú th s dng cỏc k thut tng t ch rng tớnh cht l khụng gian im bt ng l mt bt bin tụpụ Chng hn, mt m bt kỡ ( a, b ) , cng nh th ca sin , < x < , l mt khụng gian im bt ng i vi cỏc x ỏnh x compact 1.5 To khụng gian im bt ng mi t khụng gian c Núi chung, mt khụng gian ca mt khụng gian im bt ng khụng nht thit l mt khụng gian im bt ng: chng hn {a, b} a, b khụng cú tớnh cht im bt ng Tuy nhiờn, mt s khụng gian cú th tha k tớnh cht im bt ng nh ngha 1.5.1 Mt A X c gi l co rỳt ca X nu cú mt ỏnh x liờn tc r : X A cho r (a ) = a vi mi a A ; ỏnh x r c gi l ỏnh x co rỳt ca X n A Ta lu ý rng mt co rỳt ca mt khụng gian Hausdorff nht thit l mt úng, vỡ A = Chng hn, x : r ( x) {= nu E id ( x)} , ú id (.) l ỏnh x ng nht l mt khụng gian nh chun v Kủ = { x E : x ủ} l mt hỡnh cu úng E cú tõm O v bỏn kớnh ủ , thỡ r : E Kủ c cho bi y r ( y) = y ủ y y ủ y >ủ (1.1) l ỏnh x co rỳt chun tc t E n Kủ S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 10 of 126 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 52 of 126 Chng MT S NH L TN TI IM BT NG DA TRấN TNH LI Chng ny nghiờn cu s tn ti im bt ng da trờn tớnh li, c th l da trờn Nguyờn lớ ỏnh x KKM ([ 4]) 4.1 Nguyờn lý ỏnh x KKM u tiờn ta nhc li mt s nh ngha liờn quan n ỏnh x a tr: Cho X v Y l hai tp; t p tt c cỏc ca X kớ hiu l X nh x S : X 2Y c gi l ỏnh x a tr Cỏc Sx l cỏc giỏ tr ca S Kớ hiu G = S {( x, y ) X ì Y : y Sx} l th ca S v S ( X ) = Sx l nh xX ca S nh x ngc ca ỏnh x S l ỏnh x S : Y X xỏc nh bi y S y = { x X : y Sx} Cỏc giỏ tr ca S c gi l cỏc th ca S nh x i ngu ca ỏnh x S l ỏnh x S * : Y X xỏc nh bi y S * y = X \ S y Cỏc giỏ tr ca S * c gi l cỏc i th ca S Ta thy, S l ton ỏnh (tc l S ( X ) = Y ) nu v ch nu cỏc th S y u khụng rng im bt ng ca ỏnh x a tr S : X X l im x0 X tho x0 Sx0 D thy, nu S cú mt im bt ng thỡ S cng cú mt im bt ng Xột khụng gian vộc t tụpụ (Hausdorff) E (trờn trng ) v A E , ta thng kớ hiu bao li ca A l convA hoc [ A] Cho s t nhiờn n bt kỡ, ta vit [ n ] = {i :1 i n} S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 52 of 126 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 53 of 126 nh ngha 4.1.1 Cho E l m t khụng gian vộc t tụpụ (Hausdorff ) v X E l mt tu ý Mt ỏnh x a tr G : X E c gi l ỏnh x Knaster Kuratowski Mazurkiewicz (gi tt l ỏnh x KKM) nu tớnh cht = G ( A) [ A] conv { x1,, xs } = s Gx i i =1 c tho vi mi hu hn A = { x1 ,, xs } ca X Ta núi rng G l ỏnh x KKM mnh nu (i) x Gx vi mi x X v (ii) Cỏc i th G * y ca G l li B 4.1.2 Cho E l mt khụng gian vộc t tụpụ (Hausdorff ), C E li v G : C E l ỏnh x KKM mnh Khi ú G l ỏnh x KKM { x1,, xs } C Chng minh t A = v gi s y0 [ A] s Ta phi chng minh y0 Gxi Tht vy, theo gi thit G l ỏnh x i =1 KKM mnh nờn y0 Gy0 vi mi y0 [ A] ú y0 G * y0 , vỡ vy [ A] G* y0 Ta cú G l ỏnh x KKM mnh nờn G * y0 li, vỡ th tn ti ớt nht mt im xi ca A cho xi G * y0 suy xi G y0 , iu ny cú ngha l s s i =1 i =1 y0 Gxi , ú y0 Gxi Nh vy, [ A] Gxi B 4.1.3 Cho E l mt khụng gian vộc t tụpụ (Hausdorff ) v C E l mt li khụng rng Gi s G : C 2C l ỏnh x a tr cho G * : C 2C khụng l ỏnh x KKM Khi ú (i) Tn ti mt im W C tho W conv(GW ) , (ii) Nu G cú giỏ tr li thỡ G cú mt im bt ng S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 53 of 126 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 54 of 126 Chng minh (i) Vỡ G * khụng l ỏnh x KKM n ờn tn ti im W conv { x1 ,, xn } vi x1 ,, xn C tho * -1 C \ G = xi C \ ( C \ G= xi ) n W n =i =i n G xi , =i suy xi GW vi mi i [ n ] , ú conv = { xi : i 1,2 , n} conv(GW ) Ta cú W conv { x1 ,, xn } , vỡ vy W conv(GW ) (ii) T G cú giỏ tr li ta cú GW li, vỡ th conv(GW ) li Theo (i), W conv(GW ) ú W GW Trc a mt s vớ d ca ỏnh x KKM, ta nhc li mt s nh ngha: Cho E l mt khụng gian vộc t tụpụ (Hausdorff), C E l li Hm : C c gi l li nu ( tx + (1 t ) y ) t ( x) + (1 t ) ( y ) vi mi t [ 0,1] v x, y C Tng v cc i ca hai hm li l li Mt hm y : C c gi l lừm nu y l li Mt hm : C c gi l ta li nu { y C : ( y ) < } li vi mi Hm y : C c gi l ta lừm nu y l ta li Ta thy mi hm li u l ta li Vớ d 4.1.4 Cho X , Y l hai li ca hai khụng gian vộc t tụpụ (Hausdorff ) EX v EY Gi s f : X ì Y l hm lừm - li (tc l, x f ( x, y ) l lừm vi mi y Y v y f ( x, y ) l li vi mi x X ) Khi ú ỏnh x G : X ì Y X ìY xỏc nh bi G ( x,= y) {( x, y) EX ì EY : f ( x, y) f ( x, y ) 0} l ỏnh x KKM mnh Tht vy, S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 54 of 126 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 55 of 126 i) ( x, y ) G ( x, y ) vi mi ( x, y ) X ì Y , ii) Ta cú ( x, y ) f ( x, y) f ( x, y ) l lừm nờn i th ca G ) G * ( x, y= {( x, y ) X ì Y : f ( x, y) f ( x, y ) > 0} l li Do ú, Gx l ỏnh x KKM mnh Vớ d 4.1.5 Cho C l li ca khụng gian vộc t tụpụ (Hausdorff ) E v g : C ì C l hm tho a) g ( x, x) vi mi x C , b) x g ( x, y ) l ta lừm trờn C vi mi y C Khi ú ỏnh x G : C 2C cho bi x Gx = { y C : g ( x, y ) 0} l ỏnh x KKM mnh Tht vy, i) x Gx vi mi x C , vỡ g ( x, x) = vi mi x C , ii) Ta cú x g ( x, y ) l ta lừm trờn C vi mi y C nờn i th ca G G* y = { x C : g ( x, y) > 0} l li Nh vy, Gx l ỏnh x KKM mnh Cho E l mt khụng gian vộc t tụpụ (Hausdorff) Mt A ca E c gi l úng hu hn nu giao ca nú vi khụng gian hu hn chiu L E l úng khụng gian tụpụ Euclid c a L Ta nhc li rng: Mt h { A : } cỏc ca mt no ú c gi l cú tớnh cht giao hu hn nu giao ca mi h hu hn l khụng rng nh lớ 4.1.6 (Nguyờn lý ỏnh x KKM ) Cho X E v G : X E l mt ỏnh x KKM cú giỏ tr úng , li, hu hn Khi ú h {Gx} xX cú tớnh cht giao hu hn S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 55 of 126 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 56 of 126 Chng minh Gi s A = { x1 ,, xn } l mt hu hn cỏc phn t ca n X Bng phng phỏp quy np, ta s chng minh [ A] Gxi (4.1) i =1 Nu A l ch cú mt phn t x ca X thỡ mnh ỳng vỡ x Gx vi x X bt kỡ Gi s mnh ỳng vi A cha ( n ) phn t Ta s ch mnh ỳng vi A cha n phn t: theo gi thit quy np, Gx j j i A \ { xi } nờn vi mi i [ n ] , ta chn mt phn t yi Gx j j i v xột t p compact li Y = A \ { xi } ; [ y1,, yn ] [ A] chng minh (4.1), ta phi chng minh n Gx Y i i =1 Gi s n Gx Y = Ta xột khụng gian hu hn chiu i L sinh bi A , i =1 gi s d l khong cỏch Euclid L Lu ý rng vỡ Gxi L l úng L nờn ta cú d ( x, Gxi Y ) = nu v ch nu x Gxi Y Vi mi j [ n ] , j : Y xỏc nh bi j ( y ) = d ( y, Gx j Y ) Lu ý rng vi j mi li v liờn tc, hm :Y cho ib ( y ) = max {1 ( y ),,n ( y )} vi y Y cng li v liờn tc Vỡ l hm liờn tc trờn compact nờn tn ti y Y l im m ti ú t cc tiu T iu gi nh n Gx Y = i ta phi cú ( y ) > vỡ nu ( y ) = thỡ i =1 n , iu ny vụ lớ Vỡ G l ỏnh ( y= ) = n ( y= ) suy y Gxn Y = i =1 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 56 of 126 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 57 of 126 n x KKM nờn Y [ A] Gxi v vỡ th y thuc vo mt cỏc Gxi , i =1 gi s ú l Gxn Ta c lng hm i ti im zt = t y + (1 t ) yn ca on y, yn Y nờn n ( y ) d= Trc tiờn, cho i = n , vỡ y Gxn Y= ( y, Gxn Y ) Ta cú n ( z= n (t y + (1 t ) yn ) tn ( y ) + (1 t )n ( yn ) (1 t )n ( yn ) t) Khi t ta thy rng n ( zt ) v vỡ th cho t0 gn ta c n ( zt ) < ( y ) (4.2) Hn na, cho i [ n 1] , vỡ i ( yn ) = nờn i ( zt ) t0i ( y ) + (1 t0 )i ( yn ) < ( y ) (4.3) { } T (4.2) v (4.3), ta cú = ( zt0 ) max i ( zt0 ) : i [ n ] < ( y ) vi zt0 y, yn , mõu thun vi ( y ) l cc tiu Vy n Gx Y i i =1 nh lớ 4.1.7 (Dng hỡnh hc ca nguyờn lý KKM) Cho E l mt khụng gian tụpụ tuyn tớnh (Hausdorff ), X E v G : X E l ỏnh x KKM cú giỏ tr li, úng cho Gx0 l compact vi x0 X Khi ú giao {Gx : x X } l khụng rng 4.2 nh lớ ca von Newmann v h bt ng thc Ngay sau õy chỳng ta a mt ng dng ca nguyờn lý ỏnh x KKM thng xut hin lý thuyt trũ chi v Toỏn kinh t nh lớ 4.2.1 (von Newmann) Cho X v Y l hai khụng rng, li, compact ca hai khụng gian tụpụ tuyn tớnh (Hausdorff ) EX v EY Gi s f : X ì Y l hm thc tho S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 57 of 126 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 58 of 126 (i) x f ( x, y ) l lừm v na liờn tc trờn vi mi y Y , (ii) y f ( x, y ) l li v na liờn tc di vi mi x X Khi ú (A) Cú mt im ( x0 , y0 ) X ì Y cho f ( x, y0 ) f ( x0 , y ) vi mi ( x, y ) X ì Y im ( x0 , y0 ) c gi l im yờn nga i vi f (B) max f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) = max f ( x, y ) xX yY yY xX Chng minh (A) Theo Vớ d 4.1.4, ỏnh x G : X ì Y X ìY xỏc nh bi {( x, y) EX ì EY : f ( x, y) f ( x, y ) 0} G ( x,= y) l ỏnh x KKM mnh vỡ hm f l hm lừm - li Theo B 4.1.2, G l ỏnh x KKM Hn na, vi mi ( x, y ) hm ( x, y) f ( x, y) f ( x, y ) l li v na liờn tc di nờn cỏc G ( x, y ) l li, úng Theo nh lý 4.1.7, tn ti ( x0 , y0 ) cho ( x0 , y0 ) G ( x, y ) vi mi ( x, y ) X ì Y ; iu ny núi mt cỏch chớnh xỏc rng ( x0 , y0 ) l mt im yờn nga i vi f B) Ta cú f ( x, y ) max f ( x, y ) suy f ( x, y ) max f ( x, y ) ú yY xX yY xX max f ( x, y ) max f ( x, y ) xX yY yY xX (4.4) Theo ý (A), f ( x, y0 ) f ( x0 , y ) vi mi ( x, y ) X ì Y Khi ú, cho x = x0 v trỏi ta c f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y ) vi mi y Y nờn f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y ) max f ( x, y ) yY xX yY (4.5) Tng t, cho y = y0 v phi ta c f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ) vi mi x X vỡ th S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 58 of 126 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 59 of 126 max f ( x, y ) max f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ) yY xX (4.6) xX Do (4.5) v (4.6), ta cú max f ( x, y ) f ( x0 , y0 ) max f ( x, y ) yY xX xX yY T (4.4) v (4.7), max f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) = max f ( x, y ) xX yY yY xX (4.7) T nh lý trờn ta thu c hai kt qu quan trng lý thuyt h vụ hn cỏc bt ng thc Cho X E l compact li khụng gian tụ pụ tuyn tớnh (Hausdorff) E v cho ={} l mt h khụng rng c ỏc hm thc : X , vi l li v na liờn tc di a cụng thc tng quỏt ta gi s [ ] l bao li ca khụng gian vộc t X , chỳng ta s xột hai sau: (P1 ) Tn ti x0 X cho ( x0 ) vi mi (P2 ) Vi mi y [ ] tn ti x X cho y ( x ) nh lớ 4.2.2 Hai bi toỏn (P1 ) v (P2 ) l tng ng Núi cỏch khỏc, hoc a) Cú x0 X tho ( x0 ) vi mi , hoc b) Cú y [ ] cho y ( x) > vi mi x X Chng minh (P1 ) (P2 ) Hin nhiờn vỡ nu tn ti x0 X cho ( x0 ) vi mi , ta chn x0 = x v y , thỡ vi mi y [ ] , tn ti x X cho y ( x ) (P2 ) (P1 ) Gi s (P2 ) ỳng, tc l vi mi y [ ] tn ti x X cho y ( x ) ; v xột S ( ) = { x X : ( x) 0} Ta phi chng minh S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 59 of 126 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 60 of 126 S ( ) T cỏc S ( ) l li, úng v khụng rng (do (P2 ) ), ta ch rng h {S ( ) : } cú tớnh cht giao hu hn Gi s ,,n ; n n = (1 ,, n ) : i 0,= i, i , i =1 v trờn tớch ca hai compact li X v ta xột hm f : X ì cho bi n f ( x, ) = i i ( x) i =1 Ta cú x f ( x, ) l lừm v na liờn tc trờn vi mi ; f ( x, ) l li v na liờn tc di vi mi x X Theo nh lớ 4.2.1, f cú mt im yờn nga, tc l tn ti ( x0 , ) X ì cho f ( x0 , ) f ( x, ) vi mi = y ( x, ) X ì Ta cú th núi cỏch khỏc, tn ti x0 X v n [ ] i =1 i i cho i ( x0 ) y ( x) vi mi i [ n ] v mi x X Theo (P2 ) , tn ti x X n cho y ( x ) nờn i ( x0 ) y ( x ) vi mi i [ n ] , ú x0 S (i ) i =1 Nh vy, S ( ) khụng rng, ngha l tn ti x X tho ( x0 ) vi mi Gi s X l mt v ={ } l mt h khỏc rng ca cỏc hm thc : X Ta núi rng l lừm theo ngha ca Fan (hoc n gin l n F - lừm) nu vi mi t hp li i =1 i i ca ,,n cú cho n ( x) i i ( x ) vi mi x X i =1 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 60 of 126 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 61 of 126 H qu 4.2.3 Cho X l khỏc rng, li, compact ca mt khụng gian tụpụ tuyn tớnh (Hausdorff ) E v ={ } l mt h F - lừm cỏc hm thc, li, na liờn tc di : X Khi ú cỏc iu kin sau l tng ng: A) Tn ti x0 X cho ( x0 ) vi mi , B) Vi mi tn ti x X cho ( x ) Chng minh A) B) Gi s khụng tn ti x0 X cho ( x0 ) vi mi Theo nh lớ 4.2.2, ta cú t hp li n [ ] cho i =1 i i n ( x) > vi mi x X , i i =1 v ={ } l h i F - lừm, vỡ th n ( x) i i ( x ) > vi mi x X , ; i =1 tc l khụng tn ti x X cho ( x ) , Nh vy, nu tn ti x0 X cho ( x0 ) vi mi thỡ vi mi tn ti x X cho ( x ) (B) (A) Hin nhiờn vỡ nu vi mi tn ti x X cho ( x ) , ta chn x0 = x thỡ tn ti x0 X cho ( x0 ) vi mi 4.3 im bt ng ca ỏnh x Affine nh lớ Markoff - Kakutani Trong phn ny ta phỏt biu mt nh lớ im bt ng cho cỏc ỏnh x affine liờn tc, ú l nh lớ Markoff Kakutani Cho E l mt khụng gian tụpụ tuyn tớnh, E * l khụng gian liờn hp ca E, tc l E * l khụng gian cỏc phim hm tuyn tớnh liờn tc trờn E Ta núi S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 61 of 126 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 62 of 126 rng E cú nhiu cỏc phim hm tuyn tớnh nu cỏc phn t ca E * l tỏch c cỏc im ca E , tc l vi mi x E cú mt l E * cho l ( x) nh lớ 4.3.1 Cho E l mt khụng gian tụpụ tuyn tớnh (Hausdorff ) cú nhiu cỏc phim hm tuyn tớnh, C E l mt compact, li, khỏc rng v F : C E l mt ỏnh x affine liờn tc Gi thit rng vi mi y C , y Fy , on thng [ y, Fy ] cha ớt nht hai im ca C Khi ú Fix( F ) Chng minh Cho l l mt phn t ca E * Trc tiờn, ta gii bt phng trỡnh C l ( Fy y ) (4.8) Xột hm liờn t c l C : C Do l l hm liờn tc trờn compact C nờn tn ti y0 C l cc i C Nu Fy0 y0 thỡ theo iu gi nh, tn ti > cho im Fy0 + (1 ) y0 nm C Khi ú l [ Fy0 + (1 ) y0 ] l ( y0 ) , v vỡ vy l ( Fy0 y0 ) Vỡ > nờn ta cú l ( Fy0 y0 ) 0, tc l y0 l nghim ca bt phng trỡnh (4.8) Bõy gi ta xột trờn C h ={ } ca cỏc hm li liờn tc : C xỏc nh bi ( y ) = l ( Fy y ), y C , ú l E * Theo nh lý 4.2.2, tn ti y0 C cho l ( Fy0 y0 ) vi mi l E * Vỡ E cú nhiu cỏc hm tuyn tớnh nờn vi mi Fy0 y0 thỡ cú mt l E * cho l ( Fy0 y0 ) Gi s l ( Fy0 y0 ) < ta cú l ( Fy0 y0 ) > , iu ny mõu thun vi l ( Fy0 y0 ) vỡ l E * Do vy, t l ( Fy0 y0 ) vi mi l E * s tn ti y0 C tho l ( Fy0 y0 ) = , tc l Fy0 = y0 Vy Fix( F ) nh lý 4.3.2 (Markoff - Kakutani) Cho C l mt compact, li, khỏc rng mt khụng gian tụpụ tuyn tớnh (Hausdorff ) vi nhiu cỏc S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 62 of 126 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 63 of 126 phim hm tuyn tớnh v F l mt h giao hoỏn cỏc ỏnh x affine liờn tc t C vo C Khi ú F cú mt im bt ng chung Chng minh Theo nh lý 4.3.1, vi mi F F ta cú Fix( F ) Hn na, Fix( F ) l compact, úng compact C v Fix( F ) l li (vỡ F l ỏnh x affine) Ta phi chng minh rng { Fix( F ) : F F } Vỡ mi Fix( F ) l compact, ta ch cn ch rng mi giao hu hn n Fix( F1 ,, Fn ) Fix( Fi ) i =1 Ta chng minh bng phng phỏp quy np: Vi n = nh lý ỳng vỡ Fix( F ) vi mi F F Gi thit Fix( F1 ,, Fi ) vi i < n , ta phi chng minh Fix( F1 ,, Fn ) Do h F giao hoỏn nờn Fi [ Fn ( x) ] = Fn [ Fi ( x) ] Cho x Fix( F1 ,, Fn1 ) ta cú Fi ( x) = x vỡ th F= F= Fn ( x) i [ Fn ( x ) ] n [ Fi ( x ) ] vi mi i < n Nh vy, Fn ( x) l im bt ng ca Fi vi mi i < n hay Fn ( x) Fix( F1 ,, Fn1 ) , Vỡ Fix( F1 ,, Fn1 ) l compact, li, khỏc rng nờn theo nh lớ 2.3.3.1 ta c Fix( F1 ,, Fn ) S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 63 of 126 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 64 of 126 KT LUN Lun Mt s nh lớ im bt ng trỡnh by mt cỏch chi tit hn mt s nh lớ im bt ng ti liu A.Granas, J.Dugundji Fixed point Theory Springer Verlag NewYork, 2003 C th lun ó hp c cỏc kt qu sau: H thng cỏc khỏi nim: Tớnh compact v tớnh y , tớnh b chn v tớnh liờn tc ca hm s, sp th t, im bt ng, khụng gian im bt ng Nghiờn cu s tn ti im bt ng da trờn tớnh y ca khụng gian nh Nguyờn lớ ỏnh x co Banach, cỏc m rng v ng dng ca nú S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 64 of 126 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 65 of 126 Trỡnh by s tn ti im bt ng khụng gian cú th t nh nh lớ Knaster - Tarski, nh lớ Tarski Kantorovitch, nh lớ Bishop Phelps, nh lớ im bt ng Car isti, nh lớ Ekeland, nh lớ Nadler, nh lớ Danes Nguyờn lớ ỏnh x KKM v im bt ng ca ỏnh x Affine S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 65 of 126 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 66 of 126 Ti liu tham kho Nguyn Vn Khuờ, Bựi c Tc, c Thỏi (2001), C s lớ thuyt hm v gii tớch hm - 1, Nh xut bn Giỏo dc, H Ni Nguyn Vn Khuờ, Lờ Mu Hi (2001), C s lớ thuyt hm v gii tớch hm - 2, Nh xut bn Giỏo dc, H Ni Hng Tõn, Nguyn Th Thanh H (2003), Cỏc nh lớ im bt ng, Nh xut bn i hc S phm, H Ni A.Granas, J.Dugundji (2003), Fixed point Theory, Springer Verlag, NewYork E.Zeidler (1986), Nonlinear Functional Analysis and its applications I, Springer S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Footer Page 66 of 126 http://www.lrc-tnu.edu.vn ... tôpô quan trọng Một ví dụ định lí điểm bất động Brouwer rằng: Mọi tập compact lồi  n không gian điểm bất động Tính chất không gian điểm bất động bất biến tôpô: X không gian điểm bất động h : X →... gian điểm bất động không thiết không gian điểm bất động: chẳng hạn {a, b} ⊂  a, b  tính chất điểm bất động Tuy nhiên, số không gian thừa kế tính chất điểm bất động Định nghĩa 1.5.1 Một tập... nghiệm J, f có điểm bất động (ii) Tập số thực  không không gian điểm bất động, ánh xạ x  x + điểm bất động Trong trường hợp tổng quát, khó để kiểm định không gian có không gian điểm bất động hay