Một số định lý cổ điển và họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình trong giải tích phức nhiều biến

Header Page of 16 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN QUỲNH HOA MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN VÀ HỌ CHUẨN TẮC CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TRONG GIẢI TÍCH PHỨC NHIỀU BIẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN QUỲNH HOA MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN VÀ HỌ CHUẨN TẮC CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TRONG GIẢI TÍCH PHỨC NHIỀU BIẾN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS PHẠM VIỆT ĐỨC THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 MỤC LỤC Lời nói đầu Chƣơng I: Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm 1.2 Họ ánh xạ chuẩn tắc Chƣơng II: Họ chuẩn tắc đa tạp hyperbolic 11 2.1 Một số tính chất họ chuẩn tắc đa tạp hyperbolic 11 2.2 Tổng quát hóa số định lý cổ điển giải tích phức họ chuẩn tắc đa tạp hyperbolic 20 2.3 Một số ví dụ họ chuẩn tắc 26 Chƣơng III: Họ chuẩn tắc không gian phức tổng quát hóa định lý cổ điển Schottky, Lappan, Bohr họ chuẩn tắc 29 3.1 Một số tính chất họ chuẩn tắc không gian phức tùy ý 29 3.2 Tổng quát hóa số định lý cổ điển giải tích phức họ chuẩn tắc không gian phức tùy ý 32 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 LỜI NÓI ĐẦU Họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu trường hợp biến nhiều biến phức Lý thuyết họ chuẩn tắc có nhiều ứng dụng có mối liên hệ mật thiết với Giải tích phức hyperbolic Mục đích đề tài trình bày lại kết J E Joseph M H Kwach [19] họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình nhiều biến phức ứng dụng việc mở rộng số định lý cổ điển giải tích phức lên trường hợp nhiều biến Bố cục luận văn chia làm ba chương: Chương I: Những kiến thức chuẩn bị Nội dung chương trình bày số kiến thức Giải tích phức hyperbolic Đồng thời, trình bày số khái niệm số tính chất chọ chuẩn tắc, họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình Những kiến thức sở cho việc nghiên cứu chương sau Chương II: Họ chuẩn tắc đa tạp hyperbolic Trong chương này, nghiên cứu số tính chất quan trọng họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình đa tạp hyperbolic Những kết có ý nghĩa quan trọng việc tổng quát hóa số định lý cổ điển Brody Lohwater Pommerenke, Lehto Virtanen, Hahn, Zaidenberg Cuối chương, giới thiệu khái niệm số kết ánh xạ chuẩn tắc họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình nhiều tác giả khác Chương III: Họ chuẩn tắc không gian phức tổng quát hóa định lý cổ điển Schottky, Lappan, Bohr họ chuẩn tắc Trong chương này, số kết chương II họ chuẩn tắc đa tạp hyperbolic mở rộng họ chuẩn tắc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 không gian phức tùy ý Ngoài ra, tính chất sử dụng để tổng quát hóa số định lý cổ điển Schottky, Hayman, bổ đề Bohr định lý – điểm Lappan cho trường hợp họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình không gian phức tùy ý Trong trình làm luận văn, nhận hướng dẫn tận tình PGS TS Phạm Việt Đức Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Đồng thời tác giả xin phép gửi tới thầy cô giáo khoa Sau đại học khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên lời cảm ơn chân thành quan tâm tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành tốt luận văn Tác giả xin chân thành cảm cảm ơn thầy cô phản biện dành thời gian đọc đóng góp ý kiến quý báu cho luận văn Thái Nguyên, ngày tháng năm 2010 Tác giả Nguyễn Quỳnh Hoa Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 CHƢƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Giả khoảng cách Kobayashi không gian phức Giả sử X không gian phức, x y hai điểm tùy ý thuộc X; H  D, X  tập tất ánh xạ chỉnh hình từ D vào X, trang bị tôpô compact mở Xét dãy điểm p0  x, p1 , , pk  y thuộc X, dãy điểm a1 , , ak thuộc D dãy ánh xạ f1 , , f k thuộc H  D, X  thỏa mãn: fi  0  pi 1; fi    pi i  1, , k Tập hợp    p0 , , pk , a1 , , ak , f1 , , f k  thỏa mãn điều kiện gọi dây chuyền chỉnh hình nối x y X  k  Ta định nghĩa k X  x, y   inf   D  0;  ;  x , y  , x , y   i 1  tập hợp tất dây chuyền chỉnh hình nối x y X Khi đó, k X : X  X    thỏa mãn tiên đề: (1) k X  x, y   0, x, y  X , (2) k X  x, y   k X  y, x  , x, y  X , (3) k X  x, y   k X  y, z   k X  x, z  , x, y, z  X , gọi giả khoảng cách Kobayashi không gian phức X k Tổng    0; a  gọi tổng Kobayashi dây chuyền chỉnh hình  D i i 1 1.1.2 Không gian phức hyperbolic Không gian phức X gọi không gian hyperbolic (theo nghĩa Kobayashi) giả khoảng cách Kobayashi k X khoảng cách X, tức k X  x, y    x  y, x, y  X Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 1.1.3 Định nghĩa Giả sử E   n1 không gian véctơ phức n + chiều Gọi P  E  tập hợp tất không gian tuyến tính chiều (hoặc đường thẳng qua gốc 0) E Ta định nghĩa ánh xạ  : E \ 0  P  E  sau: Với x  E \ 0   x  đường thẳng qua x Ta có P  E   Pn    không gian xạ ảnh phức n chiều Ta gọi P  E   không gian xạ ảnh đối ngẫu P  E  , P n     không gian xạ ảnh đối ngẫu Pn    Lấy H1 , , H q siêu phẳng P  E  , gọi y1 , , yq điểm P  E  tương ứng với siêu phẳng   : E  \ 0  P  E   phân thớ Hopf H1 , , H q L j  E  \ 0 Giả sử cho    L j   y j Khi đó, ta gọi L j dạng tuyến tính tương ứng với siêu phẳng Hj  j  1, , q  Ta nói họ điểm y1 , , yq P  E   vị trí tổng quát với cách chọn  jo   jk  q,  k  n, ta có dim L j0 , , L jk  k  1, L j0 , , L jk không gian tuyến tính E  sinh Lj0 , , Ljk Định nghĩa không phụ thuộc vào cách chọn L1 , , Lq với    L j   y j Cho H1 , , H q siêu phẳng P n    Ta nói H1 , , H q vị trí tổng quát họ điểm y1 , , yq P  E   tương ứng với H1 , , H q vị trí tổng quát Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 Hay nói cách khác, cho H1 , , H q siêu phẳng P n    L1 , , Lq dạng tuyến tính tương ứng Khi đó, H1 , , H q vị trí tổng quát L j0 , , L jn  hệ độc lập tuyến tính, với cách chọn  jo   jn  q 1.2 Họ ánh xạ chuẩn tắc 1.2.1 Metric vi phân Kobayashi Giả sử M đa tạp hyperbolic Khi đó, ta định nghĩa K M metric vi phân Kobayashi M xác định bởi: K M  p, v   inf r  :     p, d  0, re   v; víi   H  D, M , p  M , v  Tp  M  , d ánh xạ tiếp xúc  e vectơ đơn vị  D 1.2.2 Định nghĩa Giả sử M đa tạp hyperbolic, Y không gian phức, E hàm độ dài Y d E hàm khoảng cách Y sinh hàm độ dài E Khi đó, ta định nghĩa chuẩn df E ánh xạ tiếp xúc f  H  M ,Y  ứng với hàm độ dài E , xác định bởi: df E    sup df  p  E : p  M ,   df  p  E  sup E  f  p  , df  p, v   : K M  p, v   1.2.3 Định nghĩa Giả sử X, Y không gian phức F  C  X ,Y  Khi đó, ta định nghĩa F liên tục đồng từ p  X đến q  Y với lân cận mở U chứa điểm q Y tồn tập mở V, W X, Y chứa p, q tương ứng cho  f  F : f  p  W    f  F : f V  U  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 Nếu F liên tục đồng với p  X đến q  Y ta nói F liên tục đồng từ X vào Y Khi đó, kết sau coi cách phát biểu khác định lý Arzela – Ascoli họ liên tục đồng 1.2.4 Mệnh đề Giả sử X không gian quy compact địa phương Y không gian quy Khi đó, họ F  C  X ,Y  compact tương đối C  X ,Y  hai điều kiện sau thỏa mãn: a) F liên tục đồng đều, b) F  x    f  x  f  F  compact tương đối Y với x  X Cho X, Y không gian phức Ta ký hiệu: +) Y   Y   compact hóa điểm Alexandroff không gian tôpô Y Y   Y Y compact +) Nếu F  C Y , Z  G  C  X ,Y  ta viết F  G   f  g : f  F , g  G 1.2.5 Định nghĩa Một họ F ánh xạ chỉnh hình từ không gian phức X tới không gian phức Y gọi chuẩn tắc F compact tương đối H  X ,Y  tôpô compact – mở 1.2.6 Định nghĩa Giả sử X Y không gian phức Một họ F  H  X ,Y  gọi chuẩn tắc F  H  M , X  compact tương đối C  M , Y   với đa tạp phức M Ta nói f  H  X ,Y  ánh xạ chuẩn tắc  f  chuẩn tắc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 10 of 16 Từ định nghĩa ta thấy phần tử họ chuẩn tắc ánh xạ chuẩn tắc Nhưng ngược lại, họ ánh xạ chuẩn tắc không chuẩn tắc Thật vậy, ta có ví dụ: Ví dụ Định nghĩa họ F  H  D, P1     xác định F   f n : n  1,2,  với f n  z   Khi đó, f n chuẩn tắc với n  1,2, F n  nz  1 không chuẩn tắc Thật vậy, f n  z   D nên f n ánh xạ chuẩn tắc n  n  1 theo Lehto-Virtanen Định nghĩa ánh xạ n  A D  xác định n  z   n3 z  1  n  1  n  z  n Khi đó, ta có f n   n  n 1  n 3   0, f n  n  0 không dần đến Vậy họ F không chuẩn tắc Từ định nghĩa 1.2.6 ta có mệnh đề sau: 1.2.7 Mệnh đề Nếu M đa tạp phức, Y không gian phức F  H  M ,Y  chuẩn tắc F compact tương đối C  M , Y   1.2.8 Mệnh đề Nếu X, Y không gian phức F  H  X ,Y  mệnh đề sau tương đương: (1) F chuẩn tắc (2) Nếu Z không gian phức G  H  Z , X  F  G chuẩn tắc (3) Nếu Z không gian phức X họ ánh xạ thuộc F hạn chế Z chuẩn tắc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 10 of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 34 of 16 Chứng minh Ta có định lý 3.1.2 hệ trực tiếp từ định nghĩa 1.2.5 kết hợp với mệnh đề 1.2.9, 3.1.1 định lý 2.1.4 3.1.3 Định lý Giả sử X không gian phức F  H  X ,Y  chuẩn tắc Khi đó, ta có: (1) Mọi dãy Brody F có dãy hội tụ tới giới hạn Brody F tập compact  (2) Mọi giới hạn Brody F Chứng minh Ta có định lý 3.1.3 hệ suy trực tiếp từ mệnh đề 1.2.9, 3.1.1 hệ 2.1.6 3.1.4 Định lý Giả sử X, Y không gian phức F  H  X ,Y  thỏa mãn F  x  compact tương đối Y với x  X Khi đó, F chuẩn tắc giới hạn Brody F Chứng minh Ta có kết luận định lý hệ suy từ mệnh đề 1.2.9, 3.1.1 hệ 2.1.7 3.1.5 Định lý Giả sử X không gian phức F  H  X ,   Ta có mệnh đề sau tương đương: (1) F họ chuẩn tắc (2) F tập chuẩn tắc H  X , P1     (3) Nếu g  H   ,   giới hạn Brody F ánh xạ g Chứng minh Xem hệ 2.1.8 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 34 of 16 31 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 35 of 16 3.2 Tổng quát hóa số định lý cổ điển giải tích phức họ chuẩn tắc không gian phức tùy ý Định lý sau tổng quát hóa định lý Lohwater Pommerenke cho họ chuẩn tắc không gian phức tùy ý 3.2.1 Định lý Giả sử X, Y không gian phức F  H  X ,Y  Khi đó, F không họ chuẩn tắc với hàm độ dài E Y tồn dãy Brody gn  F giới hạn Brody g F cho g n  g , lim supE  g n  z  , dg n  z , e    với z  E  g n   , dg n  0, e    Chứng minh Xem hệ 2.2.4 2.2.5 Hơn nữa, Hayman ([15], trang 165) chứng minh kết mạnh định lý Schottky Cụ thể, ta có định lý sau: 3.2.2 Định lý Giả sử F  H  D,   họ chuẩn tắc bất biến Khi đó, tồn 1 r  2cr  số c  phụ thuộc vào F cho sup f  z    1r exp   với z r 1 r    f  F ,  r    max 1, f   Giả sử X không gian phức, với f  H  X ,   x  X ta   ký hiệu max 1, f  x    f , x  Khi đó, kết luận định lý 3.2.2 thay tồn số c  phụ thuộc vào F cho   f , x      f ,0   1 z 1 z  2c z  exp   với f  F z  D  z   Mặt khác, Zaidenberg [31] mở rộng kết Hayman cho họ chuẩn tắc đa tạp phức Ở đây, ta sử dụng kỹ thuật chứng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 35 of 16 32 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 36 of 16 minh định lý 3.2.2 Hayman để mở rộng kết Zaidenberg cho họ chuẩn tắc không gian phức tùy ý Ta có định lý sau: 3.2.3 Định lý Giả sử X không gian phức F  H  X ,   Khi đó, mệnh đề sau tương đương: (1) F họ chuẩn tắc (2) Tồn số c  cho hàm f  F , x, y  X thỏa mãn bất đẳng thức   f , x      f , y   exp  k X  x , y   exp c exp  2k X  x, y    1  (3) Tồn số c  cho hàm f  F , x, y  X thỏa mãn bất đẳng thức log  c  f , x    exp  2k X  x, y    log  c  f , y   (4) Tồn số c  cho hàm f  F , x  X   Q  X thỏa mãn bất đẳng thức log  c  f , x     sup log  c  f , y    exp  2k X  x, Q    yQ  (5) Tồn số c  cho hàm f  F , x, y  X thỏa mãn bất đẳng thức c  f , x   c  f , y   exp  k X  x , y   (6) Tồn số c  cho hàm f  F ,   H  D, X  , x, y  D thỏa mãn bất đẳng thức c  f   , x   c  f   , y   exp  kD  x , y   Chứng minh  1  2 Dễ thấy, theo hệ 2.2.7, F  H  D, X  chuẩn tắc đều, bất biến Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 36 of 16 33 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 37 of 16 Do đó, F  H  D, X  họ chuẩn tắc theo định nghĩa Montel Mặt khác, Hayman ([15], trang 165) tồn số c  cho với hàm g  F  H  D, X  ta có g '    0  log 0  c  , 0  max 1, g    Với z  D, ta định nghĩa  z  A D  xác định  z  w  w z  zw Khi đó, với hàm g  F  H  D, X  ta có: 1  z  g  z    g     0 ' ' z  2 z  log  z  c  ,   z  max 1, g  z  Lấy x, y  X , f  F số   Khi đó, tồn số nguyên j  1, 1 ,2 , , j  H  D, X  a1 , a2 , , a j   0;1 thỏa mãn 1    y, i   i 1   với i  1, , j   j  a j   x Ta giả sử f  x   1; gi  0,   D g i  0,     D, gi  f  i ; giả sử   k  0, a   k  x, y   D i X i   Đặt I  i : gi  0,     D Khi đó, với i  I ta có:  gi'  z  gi  z  log gi  z   c   2 1 z với z 0,  Do đó, với i  I , có:  log gi    c  log    2k D  0,   log gi    c  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 37 of 16 34 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 38 of 16 Nếu 1 I  log f  x   c  log    k X  x, y    log f y  c     Nếu 1 I , gọi  phần tử nhỏ I Khi đó, g     log f  x   c  log    k X  x, y    log g  c      Từ suy  2   2 3 Thay c log c kết   ta điều cần chứng minh  3  4 Nếu   Q  X x  X lấy dãy y   Q n cho d X  x, yn   d X  x, Q  Khi đó, ta có điều cần chứng minh   4 5 Hiển nhiên  5  6 Nếu f  F ,   H  D, X  x, y  D từ   ta có: c  f   , x   c  f ,  x    c  f ,  y    c  f ,  y     exp  k X   x ,  y    exp  kD  x , y    c  f   , y   exp  k D  x , y    6 1 Từ mệnh đề 1.2.9 tính D, ta cần  f ,   n n dãy F H  D, X  tồn dãy dãy  f n  n  hội tụ đến g  C V , Y   lân cận V Thật vậy, với tập compact K  Y lân cận V 0, ta có f n  n V   K   ta có điều cần chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 38 of 16 35 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 39 of 16 Ngược lại, ta giả sử có dãy f n z   D n 1/2 cho dãy   n  zn  bị chặn Khi đó, tồn số c  cho với z  D1/2 ta có c  f n  n , z   c  f n  n , zn  exp  kD  z , zn   f n  n  bị chặn D1/2 Vậy định lý hoàn toàn chứng minh Hayman ([15], trang 50) chứng minh bổ đề Bohr sau đây: 3.2.4 Bổ đề Giả sử w  f  z  hàm quy đĩa đơn vị z  1, thỏa mãn f  z   Khi đó, f  z  xác định đĩa đơn vị z  f    max z 1/ nhận tất giá trị đường tròn w  r , r  A A số dương Ta có kết sau mở rộng bổ đề Bohr hàm chỉnh hình định nghĩa không gian phức tùy ý 3.2.5 Hệ Giả sử X không gian phức, B  X , f  H  X ,   thỏa mãn: (1) B bị chặn giả khoảng cách k X , (2) sup f  x   1, xB (3)  f  B  Khi đó, tồn r  không phụ thuộc vào f  w   : r  w  2r   f  X  cho hoặc w   : 4r  w  5r  f  X  Chứng minh Ta ý H  X ,   0,1  họ chuẩn tắc H  X ,   Từ   định lý 3.2.3, suy tồn c  cho:   p   exp c exp  2k X  p, q    1  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 39 of 16 36 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 40 of 16 với p, q  B,   H  X ,   0,1  thỏa mãn   q      1   Đặt A  exp c exp  sup k X  x, y    1  r   A        x , yB Giả sử w1  w   : r  w  2r  f  X  , w2  w   : 4r  w  5r  f  X  Định nghĩa   H  X ,   0,1  xác định   p   f  p   w1 w2  w1 Khi đó, tồn q  B cho f  q   Do   q   Mặt khác, với p  B ta có   p   A f  p     p  w2  w1   w1  A  w2  w1   w1   A   r  Suy mâu thuẫn với giả thiết Vậy ta có điều phải chứng minh Nhận xét Các tương đương 1   3   4  1 định lý 3.2.4 Zaidenberg [31] chứng minh họ chuẩn tắc đa tạp phức Năm 1974, Lappan [25] chứng minh định lý điểm sau 3.2.6 Định lý Cho A tập P1    chứa điểm Khi đó, f  H  D, P1    hàm chuẩn tắc   1 z ' 1 sup  f  z  : z  f A     1 f  z   Ta mở rộng định lý Lappan cho họ hàm chuẩn tắc từ không gian phức tùy ý đến không gian xạ ảnh phức n chiều Pn    3.2.7 Định nghĩa Ta nói g  H   m , P n     suy biến g   m    với  siêu phẳng không gian xạ ảnh phức Pn    Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 40 of 16 37 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 41 of 16 3.2.8 Định nghĩa Cho  siêu phẳng Pn    , ký hiệu T phiếm hàm tuyến tính khác không  n1 cho  hạt nhân Gọi  tập hợp siêu phẳng vị trí tổng quát Pn    Khi đó, ta nói hàm không suy biến g  H   m , P n     rẽ nhánh toàn cục  với   ta có  T  g     0, T  g    ' Bổ đề sau Hahn [11] tổng quát hóa kết tiếng lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình (xem [16], trang 231) 3.2.9 Bổ đề Giả sử    , ,  q  tập hợp siêu phẳng vị trí tổng quát Pn    Khi đó, g  H   m , P n     rẽ nhánh toàn cục  q  2n  Áp dụng kỹ thuật chứng minh bổ đề Hahn, ta mở rộng định lý – điểm cổ điển Lappan họ chuẩn tắc từ không gian phức tùy ý vào không gian xạ ảnh phức Pn    Nhưng trước hết, ta mở rộng cho trường hợp họ chuẩn tắc đa tạp hyperbolic Cụ thể, ta có kết sau: 3.2.10 Định lý Giả sử M đa tạp hyperbolic,  tập hợp chứa 2n  siêu phẳng vị trí tổng quát P n    cho A    Khi đó,  F  H  M , Pn   chuẩn tắc hai điều kiện sau thỏa mãn:   sup df  p  : p   f 1  A  , F Mọi giới hạn Brody suy biến F Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 41 of 16 38 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 42 of 16 Chứng minh  Vì tất hàm độ dài P n    tương đương theo   ,   định lý 2.1.4, nên ta có điều kiện cần định lý hiển nhiên  Để chứng minh điều kiện đủ, ta điều kiện   xảy F không chuẩn tắc điều kiện 1 không xảy Thật vậy, P    compact F không chuẩn tắc nên từ   n định lý 2.1.4 suy tồn giới hạn Brody khác g  H  , Pn    F Lấy dãy  f k ,  k  thỏa mãn fk  F ,  k  H  Dk , M  f k   k  g Khi đó, từ   ta có g không suy biến, từ bổ đề 3.2.9 ta có g không rẽ nhánh toàn cục   với   Chọn hệ tọa độ  w0 , , wn  P n    cho  xác định w0  Nếu gk  f k   k ta biểu diễn g , g k tọa độ  g , , g n  ,  g k0 , , g kn  với g s , gks  s  0, , n  hàm chỉnh hình g k0  g Mặt khác, phương trình g  z   có nghiệm z0  thỏa mãn  g   z0   ' Do đó, E hàm độ dài P n    E  g  z0  , dg  z0 , e      Theo bổ đề Hurwitz, tồn dãy z    k thỏa mãn zk  z0 , gk0  zk   E  g k  zk  , dg k  zk , e     Đặt pk   k  zk  Khi đó: 2     zk    zk  df k  pk   E  f k  k  zk , k 1   e    k 1   E  g k  zk  , dg k  zk , e      k k        Do df k  pk    Vì pk  f k1    f k1  A nên 1 không xảy Vậy ta có điều phải chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 42 of 16 39 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 43 of 16 Bây ta mở rộng định lý - điểm Lappan cho trường hợp họ chuẩn tắc từ không gian phức tùy ý tới không gian xạ ảnh phức Pn    Ta có định lý 3.2.11 Định lý Giả sử X không gian phức,  tập hợp chứa 2n  siêu phẳng vị trí tổng quát P n    giả sử A    Khi đó,  F  H  X , Pn   chuẩn tắc hai điều kiện sau thỏa mãn:   (1) sup df     :   H  D, X  ,      f 1  A  , F (2) Mọi giới hạn Brody suy biến F Chứng minh Từ định lý 3.2.10 mệnh đề 1.2.9 ta có F chuẩn tắc hai điều kiện sau thỏa mãn:   a) sup dg  p  : g  F  H  D, X  , p   g 1  A   , b) Mọi hàm giới hạn Brody suy biến F  H  D, X  Điều kiện a ), b) tương đương với điều kiện 1 ,   mệnh đề 3.2.11 ta có đẳng thức sau:  dg  p  : g  F  H  D, X , p  g 1  A   d  f    0 :   H  D, X  ,   0   f  A 1 F Vậy định lý chứng minh 3.2.12 Hệ Giả sử X không gian phức Khi đó, F  H  X , P1     họ chuẩn   tắc sup d  f    0 :   H  D, X  ,      f 1  A  , với A  P1    F tập có nhiều phần tử (tương ứng A có nhiều hai phần tử hữu hạn F  H  X ,   ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 43 of 16 40 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 44 of 16 3.2.13 Hệ Giả sử M đa tạp hyperbolic Khi F  H  M , P1      họ chuẩn tắc sup df  p  : p   f 1  A  , với A  P1    F tập có nhiều phần tử (tương ứng A có nhiều hai phần tử hữu hạn F  H  M ,   ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 44 of 16 41 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 45 of 16 KẾT LUẬN Nội dung luận văn “Một số định lý cổ điển họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình giải tích phức nhiều biến” nghiên cứu tính chất họ chuẩn tắc, họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình đa tạp hyperbolic không gian phức tùy ý Từ đó, áp dụng kết để tổng quát hóa số định lý cổ điển Giải tích phức họ chuẩn tắc Những kết luận văn đạt là:  Trình bày số tiêu chuẩn họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình đa tạp hyperbolic không gian phức tùy ý  Trình bày việc tổng quát hóa định lý cổ điển Lehto – Virtanen, Aladro – Krantz, Lohwater Pommerenke họ chuẩn tắc đa tạp hyperbolic  Trình bày việc tổng quát hóa định lý cổ điển Lohwater Pommerenke họ chuẩn tắc không gian phức tùy ý  Trình bày việc mở rộng định lý cổ điển Schottky cho trường hợp họ chuẩn tắc  Trình bày việc mở rộng bổ đề Bohr ánh xạ chỉnh hình không gian phức tùy ý  Trình bày việc mở rộng định lý – điểm Lappan họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình từ không gian phức tùy ý vào không gian xạ ảnh phức n chiều Pn    Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 45 of 16 42 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 46 of 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phạm Việt Đức (2005), Mở đầu lý thuyết không gian phức hyperbolic, Nhà xuất Đại học sư phạm, Hà Nội [2] Đoàn Quỳnh (2000), Hình học vi phân, Nhà xuất Đại học sư phạm, Hà Nội Tiếng Anh [3] M Abate (1993), A characterization of hyperbolic manifolds, Proc Amer Math Soc 117, 789 - 793 [4] G Aladro (1987), Applications of the Kobayashi metric to normal functions of several complex variables, UtilitasMath 31, 13 - 24 [5] G Aladro and S G Krantz (1991), A criterion for normality in  n , J Math Anal and Appl 161, - [6] C Carathéodory (1954), Theory of Functions, vol II.Chelsea, NY [7] J A Cima and S G Krantz (1983), The Lindelof principle and normal functions of several complex variables, Duke Math J 50, 303 - 328 [8] E E Collingwood and A J Lohwater (1966), The Theory of Cluster Sets, Cambridge University Press, London [9] K Funahashi (1984), Normal holomorphic mappings and classical theorems of function theory, Nagoya Math J 94, 89c104 [10] M L Green (1977), The hyperbolicity of the complement of 2n+1 hyperplanes in general position in Pn, and related results, Proc Amer Math Soc 66, 109-113 [11] K T Hahn (1986), Higher dimensional generalizations of some classical theorems on normal meromorphic functions, Complex Variables 6, 109 - 121 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 46 of 16 43 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 47 of 16 [12] K T Hahn (1988), Non-tangential limit theorems for normal mappings, Pac J Math 135, 57 - 64 [13] K T Hahn (1987), Boundary behavior of normal and nonnormal holomorphic mappings, Proc KIT Math Workshop, Analysis and Geometry, KIT Math Research Center, Taejon, Korea [14] K T Hahn (1989), Hyperbolicity of the complement of closed subsets in a compact Hermitian manifold, Complex Anal and Appl '87,Sofia, 211 - 218 [15] W K Hayman (1964), Meromorphic Functions, Oxford University Press, Oxford [16] E Hille (1962), Analytic Function Theory, vol II, Ginn, Lexington, MA [17] P Jarvi (1988), An extension theorem for normal functions in several variables, Proc AMS 103, 1171 - 1174 [18] J E Joseph and M H Kwack (1994), Hyperbolic imbedding and spaces of continuous extensions of holomorphic maps, J Geom Analysis 4, 3, 361 - 378 [19] J E Joshep and M H Kwack (1996), Some classical theorems and families of normal maps in several complex variables, Complex Variables, Vol 29, 343 - 362 [20] J L Kelley (1955), General Topology, Van Nostrand, Princeton, NJ [21] P Kiernan (1973), Hyperbolically imbedded spaces and the big Picard theorem, Math Ann 204, 203 - 209 [22] S Kobayashi (1970), Hyperbolic Manifolds and Holomorphic Mappings, Marcel Dekker, New York Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 47 of 16 44 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 48 of 16 [23] S G Krantz (1993), Geometric Analysis and Function Spaces, CBMS, Amer Math Soc 81, Providence, RI [24] S Lang (1987), Introduction to Complex Hyperbolic Spaces, Springer - Verlag, NY [25] P Lappan (1974), A criterion for a meromorphic function to be normal, Comment Math Helvetici 49, 492 - 495 [26] A J Lohwater and Ch Pommerenke (1973), On normal meromorphic functions, Ann Acad Sci Fenn Ser A1 550 [27] O Lehto and K I Virtanen (1957), Boundary behaviour and normal meromorphic functions, Acta Math 97, 47 - 65 [28] K Noshiro (1938), Contributions to the theory of meromorphic functions in the unit circle, J Fac Sci Hokkaido Univ 7, 149 - 159 [29] H Royden (1971), Remarks on the Kobayashi metric, Proc Maryland Conference on Several Complex Variables, Lecrure Notes 185, Springer - Verlag, Berlin [30] H Wu (1967), Normal families of holomorphic mapping, Acta Math 119, 193 - 233 [31] M G Zaidenberg (1992), Schottky - Landau growth estimates for s-normal families of holomorphic mappings, Math Ann 293, 123 - 141 [32] M G Zaidenberg (1983), Picard's theorem and hyperbolicity, Siberian Math J 24, 858 - 867 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 48 of 16 45 http://www.lrc-tnu.edu.vn ... s dng tng quỏt húa mt s nh lý c in ca Schottky, Hayman, b ca Bohr v nh lý im ca Lappan cho trng hp h chun tc u cỏc ỏnh x chnh hỡnh trờn cỏc khụng gian phc tựy ý Trong quỏ trỡnh lm lun vn, chỳng... a mt nh lý tng t nh lý ca Aladro v Krantz Hn na, vi nhng tớnh cht ny ta cũn cú c nhng kt qu quan trng chng 2.1 Mt s tớnh cht ca h chun tc u trờn cỏc a hyperbolic Brody ó chng minh c nh lý sau... , dg n iu ny mõu thun vi Suy ỳng Vy nh lý hon ton c chng minh Nhn xột Ta cú th núi thờm rng iu kin ca nh lý 2.1.4 l tng quỏt húa nh lý ca Lehto v Virtanen [26] vỡ mi hm di trờn cỏc