Họ s- chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và tính hyperbolic của các không gian phức

Họ s- chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và tính hyperbolic của các không gian phức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ BÍCH HẰNG

HỌ S- CHUẨN TẮC

CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH

VÀ TÍNH HYPERBOLIC CỦA CÁC KHÔNG GIAN PHỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2008

MỤC LỤC

Lời mở đầu 1

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức 3

1.2 Không gian phức hyperbolic 5

1.3 Không gian phức hyperbolic Brody 9

1.4 Không gian phức hyperbolic đầy 10

1.5 Không gian phức nhúng hyperbolic 16

1.6 Metric vi phân Royden-Kobayashi 18

Chương 2: Họ s-chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và tính hyperbolic của

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 LỜI MỞ ĐẦU

Vào những năm đầu của thế kỷ 20, Montel đã đưa ra khái niệm họ chuẩn tắc các hàm chỉnh hình Từ đó, khái niệm họ chuẩn tắc giữ một vai trò quan trọng đối với lý thuyết hàm biến phức và có ứng dụng rộng rãi trong động lực học, lý thuyết tối ưu,…Điều này đã khiến cho việc nghiên cứu các ánh xạ chuẩn tắc được nhiều nhà toán học quan tâm Việc tìm ra các tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc cho đến nay đã đạt được nhiều kết quả đẹp đẽ như tiêu chuẩn của Montel, tiêu chuẩn của Marty, tiêu chuẩn của Miranda,…Đồng thời có những mối liên hệ mật thiết giữa lý thuyết họ ánh xạ chuẩn tắc với giải tích phức hyperbolic Chẳng hạn, những ánh xạ chuẩn tắc vào không gian phức tuỳ ý có những tính chất quan trọng nhất của ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức hyperbolic compact (hay không gian nhúng hyperbolic) Vì thế, tính hyperbolic của các không gian phức có thể được nghiên cứu từ cách nhìn của họ ánh xạ chuẩn tắc Đã có nhiều nghiên cứu theo hướng nói trên, năm 1991 dựa trên ý tưởng của

Aladro, M.Zaidenberg đã đưa ra khái niệm họ s-chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình

trên các không gian phức Trong luận văn này, chúng tôi muốn trình bày những

kết quả về họ s-chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến dưới góc độ của giải

tích phức hyperbolic Chúng tôi cũng lưu ý đến mối liên hệ mật thiết về tính

hyperbolic của không gian phức và tính chuẩn tắc của các ánh xạ thuộc họ

s-chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình

Nội dung của luận văn gồm có hai chương

Trong chương 1, chúng tôi trình bày những vấn đề cơ bản về giải tích phức nhiều biến và giải tích hyperbolic nhằm chuẩn bị cho chương sau

Chương 2 là nội dung chính của luận văn Trong chương này chúng tôi trình

bày khái niệm và các tiêu chuẩn metric của họ s-chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến, mối liên hệ giữa lý thuyết họ ánh xạ s-chuẩn tắc với tính hyperbolic

của các không gian phức Việc chứng minh chủ yếu dựa trên kiểu của bổ đề

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Schwarz-Pick hoặc tính chất giảm khoảng cách và các bao hàm thức, bất đẳng thức đã được chứng minh chi tiết Cuối cùng là phần kết luận của luận văn trình bày tóm tắt các kết quả đã đạt được Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót hạn chế, rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các độc giả

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Việt Đức Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Nhân dịp này em cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các Thầy, Cô đã giảng dạy cho em các kiến thức khoa học trong suốt quá trình học tập tại trường Xin cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập của tôi Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành khoá học

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2008

Tác giả

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 GIẢ KHOẢNG CÁCH KOBAYASHI TRÊN KHÔNG GIAN PHỨC

Với 0 < r < ta đặt rz , zr , 1 , và gọi r là đĩa bán kính r,

là đĩa đơn vị trong 

1.1.1 Metric Bergman – Poincaré và chuẩn hyperbolic trên các đĩa

Metric Bergman – Poincaré trên đĩa đơn vị và đĩa r được định nghĩa như sau :

euchyp z

2 /

euchyp r z

rz rvv

trong đó veuclà chuẩn Euclide trên 

Các chuẩn vhyp z, , vhyp r z, , được gọi là chuẩn hyperbolic trên , r tương

ứng Chú ý rằng tại z = 0 chuẩn hyperbolic bằng hai lần chuẩn Euclide Để đơn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4

1.1.2 Định nghĩa

Giả sử X,Y là các không gian với các hàm khoảng cách d,d’ tương ứng Ánh

xạ :f XY được gọi là giảm khoảng cách nếu

'( ( ), ( )) ( , ) ,

1.1.3 Khoảng cách Bergman – Poincaré

Khoảng cách sinh bởi metric Bergman – Poincaré trên đĩa đơn vị , ký hiệu , được gọi là khoảng cách Bergman – Poincaré Do đó khoảng cách Bergman – Poincaré cũng chính là khoảng cách sinh bởi chuẩn hyperbolic xác định trong 1.1.1 Sử dụng định nghĩa khoảng cách sinh bởi hàm độ dài là chuẩn hyperbolic trên đĩa đơn vị mở ta có thể xác định công thức tính khoảng cách Bergman – Poincaré như sau:

( , ) ln , ,1

a ba bab

1.1.4 Định nghĩa giả khoảng cách Kobayashi

Giả sử X là một không gian phức, p và q là hai điểm tùy ý của X Ta gọi một dây chuyền chỉnh hình nối p với q là tập hợp :

a a1, 2, ,an ; ,f f1 2, , fn Hol( ,X)

sao cho

f1(0) p f a, ( )iifi 1(0), f an( n) q,

trong đó Hol( ,X)là không gian các ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị vào

không gian phức X được trang bị tô pô compact mở

La và định nghĩa kX( , )p q infL , trong đó infimum

lấy theo tất cả các dây chuyền chỉnh hình nối p với q

Dễ thấy kX thỏa mãn các tiên đề về giả khoảng cách, tức là :

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5

Nói cách khác kX là một giả khoảng cách trên X Giả khoảng cách kX đƣợc

gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X

( , ) ( ( ), ( )), ,

kp qkf p f qp qX Từ đó suy ra rằng nếu :f XYlà song ánh chỉnh hình thì

Không gian phức X đƣợc gọi là không gian hyperbolic nếu giả khoảng cách

Kobayashi kX là khoảng cách trên X, nghĩa là

( , ) 0

kp qpq

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6

1.2.2 Tính chất

i) Nếu X, Y là không gian phức, thì XY là không gian hyperbolic khi và chỉ

khi cả X và Y đều là các không gian hyperbolic

ii) Nếu X là không gian con phức của không gian hyperbolic Y thì X cũng là

không là hyperbolic Thật vậy, giả sử kn

 là giả khoảng cách Kobayashi trên n, ta sẽ chỉ ra rằng kn 0

 và do đó kn

 không là khoảng cách trên n

Với , n

x y và p (p 0), xét ánh xạ : :

Khi đó f là ánh xạ chỉnh hình, (0)fx và f p( ) y Do đó f là giảm khoảng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7

cách từ kX tới k'Y và B(y,s) là hình cầu mở ứng với khoảng cách k'Yvới

Giả sử fi: X, i 1, ,mvới fi 1(qi 1) fi(0)là một dây chuyền chỉnh

hình trong X nối x với x’

ii) f qj( j) B y s( , ) với mọi chỉ số j

Trước hết ta có nhận xét:

Giả sử f : Y là ánh xạ chỉnh hình, r và q là hai số thực thoả mãn

0 r 1, 0< q <1 Khi đó tồn tại một phép chia [0 = t0, t1, …,tn = q] của đoạn [0, q] trong , có các số rk (k=1,…,N) thoả mãn 0

r và có các tự đẳng cấu gk: , k 1, ,N sao cho gk ánh xạ [0,rk ] lên [tk-1, tk] Nếu ta thay f

bởi f og1, , f ogN thì ta nhận được từ f một dây chuyền chỉnh hình nối các điểm f (0) với f (q), nói cách khác ta có phép chia đoạn [0, q] thoả mãn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 0

r mà dây chuyền chỉnh hình vẫn có cùng độ dài Kobayashi

Ta áp dụng nhận xét trên cho mỗi hàm fi (i = 1, ., m) của dây chuyền chỉnh hình đã cho Chọn r (0 r 1) thoả mãn

(0, )

kzsvới zr

Khi đó r chỉ là một hàm đối với s Theo nhận xét trên, không mất tính tổng

quát ta có thể giả thiết rằng dây chuyền chỉnh hình được lấy thoả mãn

rq với

mọi i Nếu dây chuyền chỉnh hình mới này thoả mãn điều kiện của i) thì ta có

điều phải chứng minh Trong trường hợp còn lại ta có

(0, )

kzck với zr/2 Khi đó tổng Kobayashi thoả mãn bất đẳng thức

kqrckx x

Thật vậy, fi( r) Vvới mọi i Vì vậy nếu ta ký hiệu bởi mr là phép nhân với

r, thì {f1omr, , fmomr} là một dây chuyền chỉnh hình trong V Vì vậy ta cũng

có kX( , ')x xckV( , ')x x Từ cả hai trường hợp trên có ra điều phải chứng minh

Sau đây là một số tiêu chuẩn nhận biết tính hyperbolic của các không gian

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 phức thông qua các ánh xạ chỉnh hình

1.2.5 Mệnh đề (Bổ đề Eastwood)

Giả sử : XY là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức Giả sử Y là hyperbolic (đầy) và với mỗi điểm yY có lân cận U của y sao cho 1( )U là hyperbolic (đầy) thì X là hyperbolic (đầy)

Mệnh đề trên là trường hợp riêng của mệnh đề sau

1.2.6 Mệnh đề

Giả sử X,Y là các không gian phức và kY' là hàm khoảng cách trên Y mà xác định tô pô của Y Giả sử : XYlà ánh xạ chỉnh hình và

i) là giảm khoảng cách từ kX tới kY'

ii) Với mỗi điểm yY có một lân cận mở U sao cho 1( )U là hyperbolic Khi đó X là hyperbolic

Chứng minh

Lấy x x, ' X x, x'

+ Nếu ( )x ( ')x thì từ giả thiết là giảm khoảng cách ta có kX( , ')x x 0, do

đó X là hyperbolic

+ Nếu ( )x ( ')xy: theo giả thiết có một lân cận mở U của y mà 1( )U là

hyperbolic Từ đó tồn tại s > 0 sao cho '

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Các kết quả sau đƣợc trình bày trong [1]

Giả sử X là không gian phức compact Khi đó X là hyperbolic Brody khi và

chỉ khi X là hyperbolic Kobayashi

1.4 KHÔNG GIAN PHỨC HYPERBOLIC ĐẦY1.4.1 Định nghĩa

Không gian phức X đƣợc gọi là hyperbolic đầy nếu X là hyperbolic và mọi

dãy Cô si đối với khoảng cách kX đều hội tụ

Ví dụ : Các đĩa và đa đĩa là hyperbolic đầy 1.4.2 Mệnh đề

Giả sử X là không gian hyperbolic liên thông Khi đó X là hyperbolic đầy nếu và chỉ nếu với mọi xX và r 0 mọi hình cầu đóng B x r( , )là compact

Để chứng minh mệnh đề trên ta cần chứng minh các bổ đề sau:

Giả sử X là không gian phức và Y là tập con tuỳ ý, r 0 Đặt

Nói cách khác U Y r là tập các điểm trong X thoả mãn khoảng cách tới một ( , )

điểm nào đó của Y nhỏ hơn r

1.4.3 Bổ đề

Giả sử X là không gian phức, aX và r r, ' 0 Khi đó U U a r r( , ), ' U a r( , r')

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11

Tồn tại dây chuyền chỉnh hình trong X nối a với x, gọi đường nối 1, , ,2 m là

ảnh của dây chuyền đó trong X, thỏa mãn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12

với mọi a X và r r, ' 0 Khi đó với a X và r 0, nếu tồn tại s 0sao cho

U a ts Ta chứng minh xncó dãy con hội tụ Theo giả thiết, với mỗi n

tồn tại điểm ynU a t( , )sao cho

Nếu mọi hình cầu đóng U a r( , ) là compact với mọi aX, thì hiển nhiên X là

đầy Thật vậy, giả sử xn là dãy Côsi trong X, khi đó xn bị chặn, do đó tồn tại

r > 0, xX sao cho xnU x r( , ) Theo giả thiết U x r( , ) là compact, nên tồn tại dãy con

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13

Mà xn là dãy cơ bản nên xnyX Vậy X là đầy

Ngược lại, giả sử X là đầy Theo bổ đề 1.4.4, ta chỉ cần chứng minh tồn tại số

s > 0 sao cho với mọi dãy xX hình cầu đóng U s x( , )là compact Giả sử ngược lại, khi đó tồn tại x1 X sao cho U x( ,1/ 2)1 không là compact Theo bổ dề 1.4.4, tồn tại x2 U x( ,1/ 2)1 sao cho U x( ,1/ 2 )1 2 không là compact Lập luận tương tự,

( ,1/ 2n )

xU x sao cho U x( ,1/ 2 )nn không là compact (*)

Theo giả thiết, dãy Côsi xnhội tụ tới điểm x Vì X là compact địa phương, tồn

tại hình cầu đóng U x t( , )với t > 0 nào đó thỏa mãn U x( ,1/ 2 )nn nằm trong

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14

Lấy U là lân cận mở của y sao cho U là compact Khi đó 1( )U là mở và

bao đóng của nó nằm trong 1( )U và do đó là compact (vì là ánh xạ riêng và U là compact) Theo định lý Brody nếu 1( )U không là hyperbolic thì tồn tại

một ánh xạ chỉnh hình khác hằng

f  U (*) Với mọi x x, '  ta có

ii) Vì là ánh xạ riêng y0 là tập compact nên 1(y0) là compact, theo định lý

1.4.6 có lân cận V của 1(y0), V là hyperbolic, do đó tồn tại lân cận U của y0

sao cho

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 1( )UV (**)

Suy ra với mọi y U có

1( )y 1( )UV, V là hyperbolic

Vậy 1( )ylà hyperbolic với mọi yU .

Chứng minh (**): Giả sử (**) không xảy ra suy ra tồn tại dãy

Gọi K là lân cận compact của y0 trong Y, do là ánh xạ riêng suy ra 1( )K là

compact trong X Vì yny0nên tồn tại n0 để 0

xx , mà liên tục nên ( 0) lim ( ) lim 0

xxV nên tồn tại k0  sao cho 0

kk thì

Giả sử X là không gian hyperbolic đầy và f là một hàm chỉnh hình bị chặn

Khi đó tập mở XfxX f x( ) 0 là hyperbolic đầy

Chứng minh

Do f X: £ là hàm bị chặn nên nếu nhân f với số c 0 đủ nhỏ ta có thể giả thiết f X: Giả sử xn là dãy

k - Côsi, do XfX nên

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16

Suy ra f x( )n là dãy k *-Côsi mà *là hyperbolic đầy nên

mà kk* nên f x( )n hội tụ theo kđến y Lại do f liên tục và

xx, f x( )nny 0, suy ra yf x( ) 0 do đó xXfXf đầy Rõ ràng XfX, X là hyperbolic nên Xf hyperbolic

Vậy Xflà hyperbolic đầy (đpcm)

1.5 KHÔNG GIAN PHỨC NHÚNG HYPERBOLIC 1.5.1 Định nghĩa

Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y Khi đó ta nói X là nhúng hyperbolic trong Y nếu với mọi x y, XY, tồn tại các lân cận mở U của x và V của y trong Y sao cho

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17

1.5.3 Định lý

Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

HI1 X là nhúng hyperbolic trong Y

HI2 X là hyperbolic và nếu xn , yn là các dãy trong X thỏa mãn

xxX yyX Khi đó nếu kX(x yn, n) 0khi n thì x = y

HI4 Giả sử H là hàm độ dài trên Y Khi đó tồn tại các hàm liên tục

dương trên Y sao cho:

f*( H) H , f Hol( ,X)

trong đó Hlà chuẩn hyperbolic trên đĩa đơn vị

HI5 Tồn tại hàm độ dài H trên Y sao cho với mọi f Hol( ,X ta có )

Chứng minh

Giả sử Hol( ,X là compact tương đối trong Hol( , )) Y nhưng X không là

nhúng hypebolic trong Y Theo định lý 1.5.3, HI5, thì với mỗi hàm độ dài trên Y

và với mỗi số nguyên dương n, tồn tại một ánh xạ chỉnh hình

v (*)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 18 Do tính thuần nhất của đối với nhóm Aut( ) ta có thể giả sử zn 0 Vì X compact tương đối trong Y và fn(zn) XYnên tồn tại yX thỏa mãn

dsinh bởi một hàm độ dài H trên Y Nhưng theo định lý 1.5.3, HI5 do X nhúng

hyperbolic trong Y nên tồn tại hàm độ dài H trên Y sao cho

Giả sử M là một đa tạp phức và TM là phân thớ tiếp xúc của M Một

ánh xạ :F TM được gọi là metric vi phân trên M nếu nó thỏa mãn các

điều kiện sau :

i) F(0 )x 0 trong đó 0x là vectơ không của T Mx ii) Với mọi xT Mx và aC thì F a( x) a F( x)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 19

1.6.2 Định nghĩa

Cho X là không gian phức

Giả sử x là điểm trong X Nón tiếp xúc 

Nếu x là điểm kỳ dị và nếu không tồn tại u nhƣ trên thì ta đặt KX( )v

Ta gọi KX là metric vi phân Royden – Kobayashi trên không gian phức X

1.6.3 Một số tính chất của metric vi phân Royden – Kobayashi

a) Nếu X và Y là hai không gian phức, thì

( ( )) ( )

KfvKv với f Hol( , ),X YvT X .

Đặc biệt dấu bằng xảy ra khi f là song ánh chỉnh hình

b) + Trong đĩa đơn vị ,K đồng nhất với metric Bergman – Poincaré, tức là

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 20 *

thì

( ) X( ),

KK

f) Nếu X là đa tạp phức, thì KX là hàm nửa liên tục trên trên TX Nếu X là không

gian phức hypebolic đầy thì KX liên tục

g) Gọi E là hàm độ dài nào đó của X sao cho EKX, thế thì

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 21 CHƯƠNG 2:

HỌ S- CHUẨN TẮC CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀ TÍNH HYPERBOLIC CỦA KHÔNG GIAN PHỨC

Nội dung chính của chương này là trình bày một số kết quả của họ s-chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình Đồng thời trình bày một số ứng dụng của họ s-chuẩn

tắc trong việc nghiên cứu tính hyperbolic hay tính nhúng hyperbolic của các không gian phức Ta biết rằng các metric hyperbolic đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết các hàm chuẩn tắc [5] Ở đây chúng tôi muốn nhấn mạnh mối liên hệ sâu sắc giữa lý thuyết các hàm chuẩn tắc với giải tích hyperbolic Cụ thể, các ánh xạ chuẩn tắc vào các không gian phức tùy ý đều có những tính chất quan trọng nhất của các ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức hyperbolic compact (hoặc nhúng hyperbolic) Chẳng hạn chúng thỏa mãn định lý tương tự như định lý Kiernan về tính nhúng hyperbolic hay tiêu chuẩn Eastwood về tính hyperbolic

Cuối chương là một tiêu chuẩn về tính s – chuẩn tắc dưới dạng không tồn tại các

đường cong nguyên Kết quả này là một mở rộng tiêu chuẩn Brody cho tính hyperbolic [2] và tiêu chuẩn về tính chuẩn tắc của Hahn [4]

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 22 Rõ ràng nếu họ F là s-chuẩn tắc thì họ con của họ F cũng làs-chuẩn tắc (vì

tập con của tập compact tương đối cũng là tập compact tương đối)

f   của dãy f   n n 1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 hội tụ trong Hol( , ')Y Suy ra f  Hol( , )Z là compact tương đối trong

Hol( , ')Y Vậy f  là chuẩn tắc + Xét dãy

f  hội tụ đến f1 Hol( ,Y1') Tương tự vì f2 chuẩn tắc nên tồn tại dãy 2

f  y là dãy con của {f  y2 n n} 1hội tụ đến '