Nguyên lí ánh xạ kkm và bài toán cân bằng vectơ trong không gian vectơ tôpô

Nguyên lí ánh xạ kkm và bài toán cân bằng vectơ trong không gian vectơ tôpô

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-

NGUYỄN THỊ HÕA

NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM VÀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số : 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Lê Văn Chóng

THÁI NGUYÊN-2008

MỤC LỤC

Mở đầu 1

Chương 1 NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM

1.1 Bổ đề KKM ……… 3 1.2 Nguyên lí ánh xạ KKM ………7 1.3 Bất đẳng thức Ky Fan ………10 Chương 2 BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ CHO HÀM ĐƠN TRỊ

2.1 Nón và quan hệ thứ tự theo nón ……… 13 2.2 Bài toán cân bằng vô hướng ……… 16 2.3 Bài toán cân bằng vectơ không có giả thiết đơn điệu ………… 23 2.4 Bài toán cân bằng vectơ giả đơn điệu ……… 28 2.5 Bài toán cân bằng vectơ tựa đơn điệu ……… 34 2.6 Một số mở rộng ……… 39 Chương 3 BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ CHO HÀM ĐA TRỊ

3.1.Bài toán cân bằng vectơ đa trị không có giả thiết đơn điệu …… 51 3.2 Bài toán cân bằng vectơ đa trị đơn điệu ……… 56

Kết luận ……… 63 Tài liệu tham khảo ……… 64

MỞ ĐẦU

Để đưa ra một chứng minh đơn giản hơn chứng minh ban đầu rất phức tạp của Định lí điểm bất động Brouwer (1912), ba nhà toán học Balan là Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz đã chứng minh một kết quả quan trọng về giao khác rỗng của hữu hạn các tập đóng trong không gian hữu hạn chiều (1929), kết quả này sau gọi là Bổ đề KKM Năm 1961, Ky Fan mở rộng bổ đề này ra không gian vô hạn chiều, kết quả này sau gọi là Nguyên lí ánh xạ KKM Năm 1972, dùng Nguyên lí ánh xạ KKM Ky Fan chứng minh một bất đẳng thức quan trọng, sau gọi là Bất đẳng thức Ky Fan

Sau khi được công bố, Bất đẳng thức Ky Fan nhanh chóng thu hút sự quan tâm của nhiều nghiên cứu trong lĩnh vực giải tích hàm phi tuyến Phương pháp tiếp cận xây dựng bất đẳng thức này từ Nguyên lí ánh xạ KKM là ý tưởng khởi nguồn của nhiều nghiên cứu tiếp theo về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng trong các không gian khác nhau (như không

gian vectơ tôpô, không gian G -lồi, không gian siêu lồi…) Trong không

gian vectơ tôpô , cách tiếp cận trên được nghiên cứu mở rộng ra bài toán cân bằng vô hướng với các kết quả cơ bản như Brezis- Nirenberg- Stampacchia [4](1972), Mosco [13](1976), Blum- Oettli [3](1993)…và mở rộng ra bài toán cân bằng vectơ (đơn trị, đa trị) với các kết quả quan trọng như Bianchi- Hadjisavvas- Schaible [2](1997), Oettli [3](1997), Tấn-Tĩnh [16](1998), Fu [10](2000), Ansari- Konnov- Yao [1](2001), Tấn- Minh [17](2006)…

Bài toán cân bằng vectơ đơn trị được xét trong luận văn là bài toán sau:

Tìm x K sao cho ( , ) 0f x y với mọi y K ,

trong đó K là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian vectơ tôpô X ,

f K K  , Y là một không gian vectơ tôpô với nón thứ tự C YY  nhọn,

lồi, đóng, int C  

Bài toán cân bằng vectơ đa trị được xét là các bài toán sau:

Tìm x K sao cho ( , )F x y   intC với mọi y C ,

Tìm x K sao cho ( , )F x y với mọi y CC  ,

trong đó hàm đa trị :F K K  (các tập ,2YK C và không gian Y như trên)

Mục đích của luận văn là trình bày một số kết quả nghiên cứu cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ trong không gian vectơ tôpô với cách tiếp cận dùng Nguyên lí ánh xạ KKM

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chương Chương 1 trình bày một số điểm cơ bản về xuất xứ của Nguyên lí ánh xạ KKM trong sự liên quan với một số thành tựu quan trọng của giải tích hàm phi tuyến (Định lí điểm bất động Brouwer, Bổ đề KKM, Bất đẳng thức Ky Fan) Chương 2 trình bày một số kết quả cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ đơn trị ở hai hướng nghiên cứu: sử dụng và không sử dụng giả thiết đơn điệu Trước khi trình bày các kết quả này, chúng tôi đưa ra một số kết quả đặc thù ở bài toán cân bằng vô hướng để dễ thấy phần chính là kết quả và phương pháp ở bài toán cân bằng vectơ được mở rộng thế nào từ bài toán vô hướng Một số kiến thức chuẩn bị về nón và quan hệ thứ tự theo nón cần cho nghiên cứu bài toán vectơ cũng được đưa vào chương này Chương 3 đề cập đến một số kết quả nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ đa trị có giả thiết đơn điệu và không có giả thiết đơn điệu

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Lê Văn Chóng- Viện toán học Việt Nam, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và nghiêm khắc trong khoa học Xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo thuộc Viện toán học và các thầy, cô giáo của trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên đã trực tiếp giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu Xin được cảm ơn cơ quan, gia đình và bạn bè đã động viên rất nhiều giúp tôi hoàn thành luận văn này

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2008

Chương 1

NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM

Như ta biết, Bổ đề KKM (1929) trong không gian hữu hạn chiều của ba nhà toán học Balan thiết lập được một chứng minh đơn giản hơn chứng minh ban đầu rất phức tạp của Định lí điểm bất động Brouwer (1912) và sau đó bổ đề này được mở rộng ra không gian vô hạn chiều thành Nguyên lí ánh xạ KKM (1961) Bất đẳng thức Ky Fan (1972) được chứng minh bằng cách sử dụng nguyên lí này

Ở chương này chúng tôi đề cập tới một số điểm cơ bản của Nguyên lí ánh xạ KKM trong liên quan với các thành tựu trên của giải tích hàm phi tuyến (Định lí Brouwer, Bổ đề KKM, Bất đẳng thức Ky Fan)

1.1 BỔ ĐỀ KKM

Trước hết ta nhắc đến một số khái niệm sau:

Cho X là một không gian vectơ, tập hợp S trong X được gọi là một n- đơn hình nếu S co u u  0, , ,1 un với u u0, , ,1 un và các vectơ X

ni ii

Dùng Bổ đề Sperner về phép gán số trong phép tam giác phân một đơn hình do Sperner đưa ra từ 1928, Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz đã chứng minh bổ đề quan trọng sau trong không gian R n

 

Chứng minh đầy đủ của Bổ đề KKM bằng cách dùng Bổ đề Sperner

được giới thiệu trong Tân-Hà [18], do khuôn khổ của luận văn chúng tôi

không nêu ra ở đây

Định lí điểm bất động Brouwer(Brouwer [5], 1912) Mọi ánh xạ liên tục từ hình cầu đơn vị đóng trong R vào chính nó đều n

có điểm bất động

Để chứng minh định lí này bằng cách dùng Bổ đề KKM ta sử dụng kết quả sau

Mệnh đề 1.1

Giả sử M là một tập hợp trong không gian tôpô có tính chất: mọi ánh

xạ liên tục :T M M đều có điểm bất động Khi ấy nếu M  đồng phôi với M thì M  cũng có tính chất đó

Chứng minh

Cho  là phép đồng phôi từ M lên M  và T M: M là ánh xạ liên

tục Ta cần chứng minh T  cũng có điểm bất động

Thật vậy, đặt T 1T ta được :T M Mlà ánh xạ liên tục, nên theo giả thiết tồn tại x0 với MTx0  Khi đó x0 ( )x0 là điểm bất động

của T  

Chứng minh Định lí điểm bất động Brouwer

Cho đơn hình S, vì hình cầu đơn vị đóng trong R đồng phôi với một n

n- đơn hình S nên ta chỉ cần chứng minh ánh xạ liên tục :T S  có S

điểm bất động trong S

Với mỗi x S ta có x( , , , ),x x0 1 xn các x với ii  0,1, ,n là các tọa độ trọng tâm của x và y Tx ( , , ,y y0 1 yn) Ta đặt

Fi x S x : i  yi,i 1, ,n

Do T liên tục nên các F đều đóng Ta sẽ chứng minh các iF thỏa mãn i

điều kiện (KKM) sau

 i :  i

i I

  ,

trong đó I là một tập con bất kỳ của tập 0,1, , n 

Lấy x co u i I  i :  ta có  x( , , , )x x0 1 xn với x  nếu i Ii 0  , x  i 0

ta cần chỉ ra tồn tại i0 để Ix F i0, tức là xi0  yi0 Giả sử ngược lại rằng xi với mọi i Iyi  Khi đó ta gặp mâu thuẫn:

Vậy điều kiện KKM được thỏa mãn Do đó theo bổ đề KKM tồn tại 0

Định lí điểm bất động Brouwer vẫn đúng nếu ta thay hình cầu đơn vị đóng trong R bởi một tập lồi đóng bị chặn trong không gian tuyến tính n

hữu hạn chiều (điều kiện hữu hạn chiều là bắt buộc) Dùng định lí này ta cũng nhận được Bổ đề KKM như chứng minh dưới đây

Chứng minh Bổ đề KKM

Giả sử S u u0, , ,1 un là một đơn hình và F F0 1, , ,F là các tập đóng ntrong S thỏa mãn điều kiện (KKM) nhưng

động Brouwer, tồn tại x S mà x Tx

Đặt I i:i( ) 0x   Khi đó ta có

Theo các chứng minh trên thì từ Bổ đề KKM ta nhận được Định lí

Brouwer và ngược lại, như vậy Bổ đề KKM tương đương với Định lí Brouwer

1.2.NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM

Nguyên lí ánh xạ KKM là một mở rộng của Bổ đề KKM ra không gian

vô hạn chiều và là trung tâm của Lý thuyết KKM, một bộ phận cơ bản và sâu sắc của giải tích phi tuyến

Trước khi phát biểu và chứng minh Nguyên lí ánh xạ KKM, chúng ta định nghĩa ánh xạ KKM

Cho C là một tập hợp trong không gian vectơ tôpô X , ánh xạ (đa trị) F từ C vào 2Xđược gọi là ánh xạ KKM nếu với mọi tập hợp hữu hạn

Cho C là một tập hợp trong không gian vectơ tôpô Hausdorff X ,

F x

 

 Gọi L là không gian con tuyến tính của X sinh bởi x x1, 2, , xn và d là một khoảng cách trên L tương thích với tôpô cảm sinh từ X Ký hiệu

( )



Mặt khác, vì với mọi i I ta có ( ) 0ix  nên x G x ( )i Vì x L nên ( )i

Nếu trong Nguyên lí ánh xạ KKM, ánh xạ F có một giá trị compắc,

chẳng hạn F x , khi ấy họ tập đóng ( )0 F x( )F x( ) :0 x C  thuộc tập compắc F x và có tính chất giao hữu hạn Vì vậy họ này có giao khác ( )0rỗng Kết quả này trong tài liệu gọi là Bổ đề Ky Fan dưới đây

phần lớn đều dùng Nguyên lí này với giả thiết X là Hausdorff Tuy nhiên

điều kiện Hausdorff là không cần thiết và đã được Ding- Tân [7] chỉ ra từ 1992

Nhận xét 1.3

Chúng ta đã chứng minh Nguyên lí ánh xạ KKM từ Định lí điểm bất động Brouwer Mặt khác từ Nguyên lí ánh xạ KKM suy ra Bổ đề KKM (với X  R Cn, u0, ,un, ( )F ui  F ii, 0,1, ,n), còn Bổ đề KKM thì suy ra Định lí Brouwer Vậy từ Nguyên lí ánh xạ KKM ta cũng nhận được Định lí điểm bất động Brouwer, nghĩa là Nguyên lí ánh xạ KKM tương đương với Định lí Brouwer

1.3.BẤT ĐẲNG THỨC KY FAN

Bất đẳng thức Ky Fan được chứng minh từ Nguyên lí ánh xạ KKM Bất đẳng thức này cùng với cách chứng minh của nó có nhiều ứng dụng, nhất là trong nghiên cứu tồn tại nghiệm bài toán cân bằng

Bất đẳng thức Ky Fan (Ky Fan [9], 1972)

Cho C là một tập hợp lồi, compắc trong không gian vectơ tôpô Hausdorff X và f C C:   là một hàm số thỏa mãn các điều kiện Rsau:

1) ( , )f x y tựa lõm theo x với mỗi y cố định;

2) ( , )f x y nửa liên tục dưới theo y với mỗi x cố định; 3) ( , ) 0f x x  với mọi x C

Khi đó tồn tại y C sao cho ( , ) 0f x y  với mọi x C

Chứng minh

Kết luận của Bất đẳng thức Ky Fan được suy ra từ Nguyên lí ánh xạ KKM như sau:

Với mỗi x C đặt F x( ) y C f x y : ( , ) 0  Vì hàm f nửa liên tục dưới theo y nên ( )F x là tập đóng

Ta kiểm tra điều kiện KKM bằng phản chứng Giả sử tồn tại x1, ,xn và Cx co x  1, ,xn mà

( )

 Khi đó:

Do ( , )f x y tựa lõm theo biến thứ nhất nên tập hợp z C f z x : ( , ) 0 là 

lồi Tập hợp này chứa mọi x nên cũng chứa i

ni ii

 , vậy ta có:

 

(theo Nguyên lí ánh xạ KKM) Lấy ( )

Mệnh đề 1.2

Mọi ánh xạ liên tục từ một tập hợp lồi, compắc trong một không gian Hilbert vào chính nó đều có điểm bất động

Thật vậy, cho C là một tập lồi, compắc trong không gian Hilbert với

tích vô hướng x y, , T C:  là một ánh xạ liên tục, với mỗi cặp C

liên tục dưới Hiển nhiên ( , ) 0f x x  với mọi x C Do đó theo Bất đẳng

thức Ky Fan tồn tại y C sao cho:

Theo chứng minh trên và các nhận xét 1.1, 1.3 thì Bổ đề KKM, Định lí

điểm bất động Brouwer, Nguyên lí ánh xạ KKM và Bất đẳng thức Ky Fan là tương đương với nhau

Chương 2

BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ CHO HÀM ĐƠN TRỊ

Sau khi được công bố (1972), Bất đẳng thức Ky Fan nhanh chóng thu

hút sự quan tâm của nhiều nghiên cứu trong lĩnh vực giải tích phi tuyến Brezis- Nirenberg- Stampacchia [4](1972) chứng minh một kết quả quan trọng kết nối Bất đẳng thức Ky Fan và bất đẳng thức biến phân đơn điệu cổ điển Mosco [13](1976) đưa ra kết quả mở rộng Bất đẳng thức Ky Fan ra tập không compắc và kết quả mở rộng bất đẳng thức biến phân đơn điệu cổ điển…Đây là các kết quả khởi đầu cơ bản về tồn tại nghiệm bài toán cân bằng vô hướng được xây dựng từ Nguyên lí ánh xạ KKM Cách tiếp cận dùng Nguyên lí ánh xạ KKM để thiết lập điều kiện tồn tại nghiệm cho bài toán cân bằng được nhiều nghiên cứu mở rộng hiệu quả cho trường hợp bài toán cân bằng vectơ cho hàm đơn trị như Ansari- Konnov- Yao [1] (2001), Bianchi- Hadjisavvas- Schaible [2](1997), Tan- Tinh [16](1998)… Chương này trình bày một số kết quả cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ cho hàm đơn trị theo cách tiếp cận nêu trên Trước đó chúng tôi trình bày ngắn gọn một số kết quả tiêu biểu cho cách tiếp cận này ở bài toán vô hướng để dễ thấy sự mở rộng cách tiếp cận này ở bài toán vectơ Để tiện cho việc trình bày bài toán vectơ, trước hết chúng tôi đưa vào một số kiến thức chuẩn bị Các kết quả nghiên cứu được trình bày trong chương này chủ yếu được tập hợp từ các bài báo [1, 2, 13, 16]

2.1. NÓN VÀ QUAN HỆ THỨ TỰ THEO NÓN

Cho C là một tập con trong không gian vectơ tôpô Y Tập C được gọi

là một nón nếu tc C với mỗi c C và t  Như vậy theo định nghĩa, 0

nón luôn có đỉnh tại gốc 0 Y Nón C được gọi là lồi (đóng) nếu C là tập

lồi (đóng, tương ứng)

Kí hiệu ( )l C là tập C  Đặc biệt nếu C là lồi thì ( )Cl C    là CCkhông gian tuyến tính nhỏ nhất trong C và được gọi là phần trong tuyến tính của nón C

Nón lồi C trong Y được gọi là nhọn nếu l C ( )  0

Rõ ràng tập  0 và cả không gian Y đều là nón, hơn nữa còn lồi, đóng,

ta gọi các nón này là nón tầm thường

Trong không gian tuyến tính tôpô ta kí hiệu ( ), int( ),cl CCco C lần ( )

lượt là bao đóng, phần trong, bao lồi của nón C

Ví dụ

1) Nón orthant dương:

Cho Y  Rn x ( , , ) :x1 xnxjR,  j 1, ,n Khi đó

C R n  x ( , , ) :x1 xnxjR x, j   0, j 1, ,nlà một nón lồi, đóng, nhọn 2) Nếu tập C x ( , ,x1 xn) :x10, xjR j, 2, ,n thì C là nón

lồi, đóng, nhưng không nhọn vì ta dễ dàng thấy: l C( )x(0, , , )x2 xn Rn 0

Tập ( , , )x1 xn Rn:x1R x, i 0,i 2, ,n cũng là một nón lồi, đóng, nhưng không nhọn

3) Tập chứa 0 Y và các vectơ x( , , )x1 xn với cùng một tọa độ dương, chẳng hạn x  là một nón nhọn, lồi, nhưng không đóng Tập 1 0

cũng là một nón nhọn, lồi, nhưng không đóng

Ta nói nón C được gọi là thỏa mãn điều kiện () nếu tồn tại nón lồi, đóng nhọn C với phần trong khác rỗng sao cho: C \ 0 intC

Nón C được gọi là sinh bởi tập B , ký hiệu YC cone B ( ) nếu:

C tb b B t:  , 0

Nếu ngoài ra B không chứa điểm gốc 0 và với mỗi c C c ,  đều tồn 0tại duy nhất b B t ,  sao cho c tb0  khi ấy B được gọi là cơ sở của nón C

Người ta chứng minh được rằng nếu nón C có cơ sở lồi, compắc thì nó

thỏa mãn điều kiện () ([16]) Từ kết quả này và theo định nghĩa ta có các ví dụ sau về nón thỏa mãn điều kiện ()

Ví dụ

1) Cho B là một tập khác rỗng thuộc phần trong của hình cầu B R  n,

0 B  , C cone B C cone B ( ),   ( ) Khi ấy theo định nghĩa C là nón thỏa

mãn điều kiện () vì C \ 0 int C

2) Cho B là một tập con lồi compắc trong Rn, 0 Khi ấy nón B

( )

C cone B có cơ sở B lồi compắc nên thỏa mãn điều kiện ()

Ta nhắc lại khái niệm Quan hệ thứ tự sinh bởi nón:

Cho C là một nón nhọn, lồi, đóng trong không gian vectơ tôpô Y Khi ấy C xác định một quan hệ thứ tự trong Y : với ,x y C ta viết

x y khi và chỉ khi y x C 

x  y khi và chỉ khi y x C 

Trong trường hợp int C  , với ,x y C ta viết x y khi và chỉ khi y x intC

x  khi và chỉ khi yy x intC

Định nghĩa hoàn toàn tương tự cho các quan hệ thứ tự , , ,  

Ví dụ

1) Cho Y  , nón thứ tự RC R n (nhọn, lồi, đóng) Với x x1, ,xn,y y1, ,ynRn ta có

x y xiyi, i 1, , n

x y xiyi,  i 1, ,n

x y   với ít nhất một xiyii1, ,n x  y  xiyi với ít nhất một i1, ,n

Y  R C  x x R x  x Với x( , ),x x1 2 y ( ,y y1 2)R2 ta có x y  0 y1 x1 y2 x2.

x y   y x R2 \ C

0 1 12 2 2.\ int

  

Lưu ý là khi Y  R C, 0; thì với , x y R : .

    

2.2. BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÔ HƯỚNG

Hai hướng cơ bản trong các nghiên cứu về tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vô hướng là các nghiên cứu có giả thiết đơn điệu và các nghiên cứu không có giả thiết đơn điệu của hàm trong bất đẳng thức Hướng thứ hai chính là các nghiên cứu mở rộng Bất đẳng thức Ky Fan (xét ở Chương 1) ra tập không compắc mà dưới đây là một kết quả cơ bản

2) (., )gy là nửa liên tục dưới với mỗi y C ;

3)Điều kiện bức:Tồn tại một tập compắc B X và một vectơ

Chứng minh:

Đặt G y( )x C g x y : ( , ) 0 , y C

Ta có ( )G y là đóng với mỗi y C (do Điều kiện 2)), do đó G y là ( )0

tập đóng trong tập compắc B nên cũng compắc (Điều kiện 3)) Hơn nữa

  với i  0,1

và y G y  i  i 1, ,n , nghĩa là

g y y( , )i   0 i 1, , n

Do đó

 

 nghĩa là bài toán cân bằng (2.1)

có nghiệm Do tập nghiệm của (2.1) là đóng (do 2)) và thuộc tập compắc B

(do 3)) nên compắc Định lí được chứng minh 

Nhận xét 2.1

Nếu C là tập lồi compắc thì Định lí 2.1 chính là Bất đẳng thức Ky Fan Dùng chứng minh của Định lí 2.1 kết hợp với chứng minh của Bất đẳng

thức Ky Fan, ta cũng chứng minh được Định lí 2.1 trong trường hợp tính

lõm của hàm g được thay bằng tính tựa lõm

Để đưa ra kết quả trong trường hợp có giả thiết đơn điệu ta cần các khái

niệm sau trong [13]

Cho C là một tập lồi trong không gian vectơ tôpô Hàm :g C C  gọi Rlà hemi-liên tục nếu với ,x y C , hàm (f x t y x y (  ), ) là liên tục theo

Về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vô hướng, dưới đây là một kết quả cơ bản ở hướng nghiên cứu dùng giả thiết đơn điệu

Định lí 2.2 (Mosco [13], 1976)

Cho C là tập lồi, đóng trong không gian vectơ tôpô Hausdorff X và hàm :g C C  với ( , ) 0Rg x x   sao cho các điều kiện sau thỏa x Cmãn:

1) g là hàm hemi-liên tục và đơn điệu;

2) Với mỗi x C , hàm ( ,.)g x là lõm và nửa liên tục trên;

3) Điều kiện bức: Tồn tại tập compắc B và Cy0 sao cho B g x y( , 0) 0,  x C B\

Khi ấy tập nghiệm của bài toán cân bằng

x C g x y : ( , ) 0,   (2.2) y Clà tập con khác rỗng, lồi và compắc trong B

Định lí trên chính là Định lí 3.1 trong [13] với   (Cho 0   để 0tránh các phức tạp không cần thiết trong trình bày và tiện sử dụng ở các phần sau) Định lí 2.2 được chứng minh bằng cách dùng Bổ đề Ky Fan và

Bổ đề dưới đây (mở rộng một kết quả của Minty [12] về toán tử đơn điệu) Với mỗi y C đặt

( ) : ( , ) 0

G y  x C g x y  ;

H y( )x C g y x : ( , ) 0  và ký hiệu F y là bao đóng của ( ).( ) G y

Bổ đề 2.1

Cho tập C , hàm g như ở Định lí 2.2 và thỏa mãn điều kiện 1),2) của định lí này Cho các tập ( ), ( ),G y F y H y như ở trên Khi ấy ( )

Suy ra ( , )g y x  , nghĩa là 0 x H y ( ) nên ( )G y H y( ).

Ta có với mỗi y C H y , ( ) là lồi và đóng do ( ,.)g y là lõm và nửa liên

tục trên Do ( )F y là bao đóng của ( )G y nên ( )F y H y( ).Vậy suy ra ( ) ( ).

g x x( , ) 0,t   t  0,1 (2.7) Do tính lõm của ( ,.)g x nên từ (2.6) và (2.7) suy ra

con đóng của tập compắc B ( theo điều kiện bức 3))

Ta chứng minh tập nghiệm này khác rỗng bằng cách sử dụng Bổ đề Ky

 

 và do đó theo Bổ đề 2.1, ( )

y CG y

 

Định lí được chứng minh 

Về sự duy nhất nghiệm của Bài toán (2.2) ta có mệnh đề sau

y  

vào hai bất đẳng thức ở trên, do tính chất lõm của

hàm ( ,.)g x nên khi cộng hai bất đẳng thức đó với nhau ta được

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 02 g x x  g x x g x x g x x  Vì g x x( , )1 1  g x x( , ) 02 2  nên:

1 1221 

( , ) ( , ) 02 g x x  g x x  , do đó

g x x( , )1 2 g x x( , ) 02 1  ,

điều này mâu thuẫn với tính đơn điệu chặt của g

Mệnh đề được chứng minh 

Sau hai kết quả trên của Mosco [13] có nhiều kết quả khác là mở rộng, hợp nhất các kết quả này như Blum- Oettli [3](1993), Chadli-Chbani-Riahi [6](2000)…Ở đây chúng tôi không đi sâu vào các mở rộng này mà chỉ nêu ra cách tiếp cận dùng Nguyên lí ánh xạ KKM trong bài toán vô hướng để dễ thấy sự mở rộng của cách tiếp cận này trong bài toán vectơ được xét ở các phần sau

2.3 BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ KHÔNG CÓ GIẢ THIẾT ĐƠN ĐIỆU

Một hướng cơ bản trong các nghiên cứu về tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ, cũng như đối với bài toán cân bằng vô hướng được xét ở trên, là hướng nghiên cứu không dùng giả thiết đơn điệu Chúng tôi chọn trình bày một kết quả gần đây của Ansari- Konnov- Yao [1](2001) ở hướngnghiên cứu này

Cho ,X Y là các không gian vectơ tôpô, C là một nón nhọn, lồi, đóng trong Y với int C   Một quan hệ thứ tự từng phần trong Y được xác định bởi nón C Cho K là một tập lồi khác rỗng trong X và :f K K  Y

là một hàm (đơn trị)

Xét bài toán cân bằng vectơ sau

Tìm x K sao cho ( , ) 0,f x y   y K Bài toán trên có thể viết ở dạng:

Tìm x K sao cho ( , )f x y  int ,C  y K Một ánh xạ :q K gọi là tựa lồi nếu với mọi Y  tập Y

U  x K q x :   là lồi

Người ta có thể chỉ ra rằng nếu q là tựa lồi thì tập x K q x :  

cũng là tập lồi Dễ thấy nếu Y R C ; 0; thì ta có khái niệm tựa lồi 

quen biết của hàm vô hướng

Một ánh xạ :q K gọi là nửa liên tục trên trên K nếu với mọi YY

 tập L( ) x K q x : ( )  là đóng trong K

Dễ thấy, nếu Y  R C, 0; thì ta có khái niệm nửa liên tục trên 

quen biết đối với hàm vô hướng

Với mỗi tập A , ta ký hiệu Xcl A là bao đóng của A trong X và X

 X

 là họ các tập con hữu hạn không rỗng trong X

Đối với bài toán cân bằng vectơ trên ta có định lí tồn tại nghiệm dưới

đây được chứng minh nhờ dùng Nguyên lí ánh xạ KKM

Định lí 2.3 (Ansari- Konnov- Yao[1], 2001)

Cho ,X Y là các không gian vectơ tôpô, tập K lồi khác rỗng, nón Xthứ tự C nhọn, lồi, đóng với intC   và hàm (đơn trị) Y

2) Với mỗi A( )X và với mỗi x coA , hàm p x là tựa lồi; ( ,.)

3) Với mỗi x K p x x , ( , ) 0;

4) Điều kiện bức: tồn tại một tập lồi, compắc D và Ky0 sao Dcho p x y  với mọi ( , ) 00 x K D \

Khi ấy tồn tại x K thỏa mãn

( , ) 0f x y với mọi y K

Chứng minh

Với mỗi y K ta đặt G y( )x D f x y : ( , ) 0  Ta có ( )G y là tập đóng trong tập compắc D Do đó để chỉ ra họ tậpG y y K( ) :   có giao khác rỗng ta chỉ cần chỉ ra họ này có tính chất giao hữu hạn và khi ấy ta có điều phải chứng minh (vì mỗi điểm trong giao của họ tập này là nghiệm

của bài toán cân bằng được xét trong định lí trên)

Lấy By y1 2, , ,ym là một tập con hữu hạn của K Ta đặt A co B D (  )

Ta có A là một tập lồi compắc của K Xét ánh xạ F A : 2A xác định

bởi:

F y( )x A p x y : ( , ) 0 ,  y A

Ta chứng minh họ cl F yA( ( )) :y A  có giao khác rỗng Thật vậy, ta có ( )F y   với mỗi y A (do giả thiết 3))

Mặt khác F là ánh xạ KKM Thật vậy, giả sử F không phải là ánh xạ

KKM, khi ấy tồn tại một tập hữu hạn v v1, 2, ,vn  A và với mọi 1, ,

( )

nn

điều này mâu thuẫn với giả thiết 3) Vậy F là ánh xạ KKM

Theo Nguyên lí ánh xạ KKM thì họ tập clA( ( )) :F yy Acó giao khác rỗng, lấy A( ( ))

 



Định lí được chứng minh  Cần lưu ý là trong [1] các tác giả dùng giả thiết chung là ( , ) 0,f x x 

x K

  Thực ra trong chứng minh không sử dụng đến giả thiết này

Trong Định lý 2.3, lấy p ta nhận được kết quả sau f

Hệ quả 2.1

Cho các không gian X Y , tập K,  X, nón thứ tự C Y như trong Định lí 2.3 và hàm :f K K  sao cho các điều kiện sau thỏa mãn: Y

Rõ ràng khi K là một tập compắc, ta có điều kiện bức trong hệ quả trên

thỏa mãn và như vậy ta có dạng vectơ của Bất đẳng thức Ky Fan trong hệ

quả sau của Định lí 2.3

Hệ quả 2.2

Cho các không gian ,X Y và nón thứ tự C Y như trong Định lý 2.3, K  X là tập lồi compắc và hàm :f K K  thỏa mãn điều kiện sau: Y 1) ( , ) 0f x x với mỗi x K ;

2) Với mỗi y K , hàm (., )fy là nửa liên tục trên trên K ; 3) Với mỗi x K , hàm ( ,.)f x là tựa lồi

Khi ấy, tồn tại x K sao cho ( , ) 0,f x y   y K

3) Với mỗi x K hàm ( ,.)g x là tựa lõm;

thì theo Hệ quả 2.2 ta có x K sao cho ( , ) 0g x y    Đây chính là y K

bất đẳng thức Ky Fan (dạng vô hướng)

2.4 BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECVƠ GIẢ ĐƠN ĐIỆU

Một hướng cơ bản khác trong các nghiên cứu về tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ là hướng nghiên cứu dùng giả thiết đơn điệu Nhiều kết quả quan trọng ở hướng nghiên cứu này đã được công bố như Oettli [14](1997), Bianchi- Hadjisavvas- Schaible [2](1997)…Chúng tôi chọn trình bày ở phần này kết quả lí thú của Bianchi- Hadjisavvas- Schaible sử dụng giả thiết giả đơn điệu (bao hàm trường hợp đơn điệu)

Cho K là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian vectơ tôpô Hausdorff X , Y là không gian lồi địa phương được xắp thứ tự bởi nón C Y nhọn, lồi, đóng với intC   và hàm :F K K Y  với ( , ) 0F x x  ,

x K

  Bài toán cân bằng được xét ở đây là bài toán sau:

Tìm x K sao cho ( , ) 0F x y   y K , (2.8)

trong đó F là một hàm giả đơn điệu

Hàm F được gọi là đơn điệu (đơn điệu chặt) nếu

( , )F x y F y x( , ) 0 x y K, 

( ( , )F x y F y x( , ) 0 x y K x,  ,  y, tương ứng)

F được gọi là giả đơn điệu (giả đơn điệu chặt) nếu

( , ) 0F x y  kéo theo ( , ) 0F y x  với mọi ,x y K

( ( , ) 0F x y  kéo theo ( , ) 0,F y x  với mọi ,x y K x ,  , tương ứng) y Dễ thấy, nếu F là đơn điệu (đơn điệu chặt) thì F cũng là giả đơn điệu (giả đơn điệu chặt, tương ứng), nhưng không ngược lại Nếu F giả đơn

điệu chặt thì cũng giả đơn điệu

Hàm :f K gọi là nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) nếu với mọi YY

t , là nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên theo t

Hàm f gọi là tựa lồi hiện (explicitly quasiconvex) nếu f là tựa lồi và

với mọi ,x y K với ( )f x  f y( ) luôn có

f z( )t  f y( ) với zt   tx (1 ) ,t y t(0,1)

Về sự tồn tại nghiệm của Bài toán cân bằng giả đơn điệu (2.8) ta có kết quả quan trọng sau được chứng minh trên cơ sở sử dụng Nguyên lí ánh xạ KKM

Định lí 2.4 (Bianchi- Hadjisavvas- Schaible [2],1997)

Cho các không gian ,X Y , tập K , nón C và hàm F như trên Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:

1) Với mỗi y K F , (., )y là hemi-liên tục; 2) F là giả đơn điệu;

3) Với mỗi x K F x , ( ,.) là nửa liên tục dưới và tựa lồi hiện ;

4) Điều kiện bức: Tồn tại tập compắc B  K và y0 B sao cho F x y  ( , 0) 0  x K B\

Khi ấy tập nghiệm của Bài toán (2.8) không rỗng và compắc

Các bổ đề dưới đây được dùng để chứng minh Định lí 2.4

tt

Chứng minh

Từ giả thiết 3) suy ra:

i) Với mỗi c  0 và mỗi x K , tập y K F x y : ( , )c là lồi; ii) Nếu F x y( , ) F x z( , ) và F x z( , )  thì ( , )0 F x zt  F x z( , )với zt   ty (1 t z t) , (0,1)

y   tyt x t , khi ấy

F y x( , ) 0t   t (0,1) (2.9) Ta chỉ ra:

F y y( , ) 0t   t (0,1) (2.10) Thật vậy, giả sử có một t 0 (0,1) với F y( t0, )y  , khi đó 0

a) Nếu F y( t0, )x  thì 0 F y x( t0, ) F y( t0, )y Do ii) ta có:

F y( t0,yt0)F y x( t0, ) Theo giả thiết thì

F y( t0,yt0) 0 Suy ra

F y x  , ( t0, ) 0