Nguyên lí biến phân ekeland và một số ứng dụng

Nguyên lí biến phân ekeland và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN XUÂN HÒA

NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - năm 2009

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN XUÂN HOÀ

NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRƯƠNG XUÂN ĐỨC HÀ

Thái Nguyên - năm 2009

Mục lục

Trang Lời nói đầu Chương 1 Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển 1

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1

1.2 Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển 4

1.2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển 4

1.2.2 Nguyên lí biến phân Ekeland trong không gian hữu hạn chiều 9 1.3 Dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland 11

1.4.3 Đạo hàm tại điểm xấp xỉ cực tiểu 22

Chương 2 Nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ 25

2.1 Một số kiến thức chuẩn bị 25

2.2 Nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ 28

2.3 Định lí điểm bất động Caristi véc tơ 30

2.4 Định lí Takahashi véc tơ 32

2.5 Một vài ví dụ minh hoạ 33

2.6 Sự tương đương giữa các định lí 34

Kết luận 35

Tài liệu tham khảo 36

LỜI NÓI ĐẦU

Trong giải tích, bài toán tìm điểm cực trị của hàm số có rất nhiều ứng

dụng quan trọng Một kết quả cổ điển chỉ ra rằng hàm f nửa liên tục dưới trên tập compact X thì sẽ đạt cực tiểu trên tập đó Khi tập X không compact

thì hàm f có thể không có điểm cực trị Tuy vậy, với không gian mêtric đủ

X , hàm f bị chặn dưới ta vẫn có thông tin về điểm xấp xỉ cực tiểu Cụ thể là khi hàm f bị chặn dưới ta luôn tìm được điểm  - xấp xỉ cực tiểu x, tức là infXf  f x( )infXf 

 - xấp xỉ cực tiểu x, ta luôn tìm được điểm x là cực tiểu chặt của hàm nhiễu của hàm ban đầu, đồng thời f x( ) f x( ) Không những thế, còn đánh giá được khoảng cách giữa x và x

Từ khi ra đời, nguyên lí biến phân Ekeland đã trở thành công cụ mạnh trong giải tích hiện đại Những ứng dụng của nguyên lí này bao trùm nhiều lĩnh vực như: Lí thuyết tối ưu, giải tích không trơn, lí thuyết điều khiển, lí thuyết điểm bất động, kinh tế,

Trong những năm gần đây, nguyên lí này đã được mở rộng cho trường hợp hàm f là ánh xạ đơn trị hoặc đa trị nhận giá trị trong không gian véc tơ Mục đích của Luận văn là tìm hiểu một số kết quả liên quan đến nguyên lí biến phân Ekeland (cổ điển và véc tơ) cùng một số ứng dụng của nguyên lí này, được giới thiệu trong các bài báo [2,5]

Luận văn gồm 2 chương:

Chương 1 gồm nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển [2], dạng hình học của

nguyên lí (định lí Bishop -Phelps, định lí giọt nước, định lí cánh hoa), một số ứng dụng của nguyên lí (định lí điểm bất động Banach, định lí điểm bất động

Caristi-Kirk,đạo hàm Gateaux)

Đây là các kết quả được giới thiệu trong bài báo của I.Ekeland [2] năm1974 và các bài báo của các tác giả khác [1,4] Trong chương này chúng tôi cũng trình bày một cách chứng minh ngắn gọn nguyên lí biến phân Ekeland trong không gian hữu hạn chiều (sử dụng điều kiện bức), cách chứng minh này được giới thiệu trong bài giảng về lí thuyết tối ưu của Giáo sư Hoàng Tuỵ - Viện Toán học

Chương 2 gồm nguyên lí biến phân Ekeland mở rộng cho ánh xạ nhận giá trị

véc tơ, định lí Caristi - Kirk véc tơ, định lí Takahashi véc tơ, một số ví dụ minh hoạ và sự tương đương của ba định lí này Đây là kết quả mới nhận được, được đăng trong bài báo của Y.Araya [5] năm 2008

Nhân dịp này, Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến

PGS.TS Trương Xuân Đức Hà - cán bộ Viện Toán học - Viện Khoa học và

Công nghệ quốc gia Luận văn này sẽ không thể hoàn thành nếu không có sự chỉ bảo, hướng dẫn, sự giúp đỡ tận tình của cô

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong hội đồng phản biện, các thầy cô trong khoa Toán và khoa Sau đại học - ĐHSP Thái Nguyên, đã giúp đỡ em hoàn thiện luận văn này

Xin cảm ơn Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trường THPT Phú Bình đã luôn tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Xin cảm ơn gia đình và các bạn Phạm Hùng Linh, Vũ Quang Huy, Nguyễn Hữu Toàn, Hoàng Hữu Quý, Phạm Hồng Nam, đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn

Thái Nguyên, ngày 28 tháng 09 năm 2009

Học viên

Nguyễn Xuân Hoà

Chương 1 NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND CỔ ĐIỂN

Trong chương này, chúng ta xem xét nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, dạng hình học của nguyên lí và một số ứng dụng của nguyên lí này

Cho X là không gian tôpô Hàm f X:     được gọi là hàm nửa liên

0lim inf

Ví dụ 1.1

Hàm số f : cho bởi:

  3 2 20

Dễ thấy rằng f là hàm liên tục trên \ 2 , gián đoạn tại x2 Nhưng f là

Cho Xlà không gian mêtric và hàm f :X     , khi đó các khẳng định

sau là tương đương:

(a) f là hàm nửa liên tục dưới trênX

(b) epif  x a, X  f x a là tập đóng trong X (c) L fa xX f x( )a là tập đóng trong X ( a  )

Chứng minh

(a)(b).Giả sử f là hàm nửa liên tục dưới trên X Ta lấy dãy {(x an, n)}epif

Sao cho lim( ,nn)

(b)(c) Giả sử epi f là tập đóng trong X Ta sẽ chứng minh mọi tập mức của f đều đóng trong X Thật vậy, giả sử L fa xX f x( )a là tập mức bất kỳ của f Lấy dãy{xn} L fa sao cho lim n 0

x L fa ta có điều phải chứng minh

(c)(a) Giả sử mọi tập mức của f đều đóng trong X Ta cần chứng

liên tục dưới tại x0X Khi đó có dãy{xn}X sao cho lim n 0

 xS

 

1.2 Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển

Trong mục này, chúng ta xem xét nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển và xem xét nguyên lí này trong không gian hữu hạn chiều

1.2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland

Vấn đề chúng ta thường quan tâm là khi nào hàm f X:     đạt cực tiểu trên X , tức là  xX sao cho f x( ) f x( ), xX Trước hết, ta nhìn lại kết

xX Ta sẽ chứng minh f x( )a Thật vậy, do f là nửa liên tục dưới tại x

và x là điểm cực tiểu của hàm f trên X.

Khi X không compact thì hàm f có thể không đạt cực tiểu

thì đưa tới x0 (2,1)X Vậy hàm f không đạt cực tiểu trên X

trị Khi đó, ta xét khái niệm điểm xấp xỉ cực tiểu như sau:

Với  0cho trước, một điểm x Xgọi là xấp xỉ cực tiểu của f x( )

trên X nếu

infXf  f x( )infXf 

Điểm xấp xỉ cực tiểu bao giờ cũng tồn tại nếu f bị chặn dưới Tuy nhiên,

ta xét nguyên lí biến phân Ekeland và một số phát biểu khác của nguyên lí này

Định lí 1.1 (nguyên lí biến phân Ekeland ) [2]

Cho ( , )X d là không gian mêtric đủ và hàm f :X      là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới Giả sử  0và x X thoả mãn:

f x  f  Khi đó với  0 bất kì, tồn tại xXsao cho: (i) d x x( , )

Cho S là tập đóng trong X thoả mãn tồn tại m sao cho nếu

( , )x a Sthìam.Khi đó với mỗi phần tử ( ,x a0 0)S luôn có phần tử ( , )x a SSao cho ( , )x a ( ,x a0 0) và ( , )x a là phần tử cực đại trong S theo nghĩa

( , )x a ( , )x a,( , )x a Svà ( , )x a ( , )x a

Chứng minh

Ta xây dựng dãy (x an, n) trong S bằng quy nạp như sau: Bắt đầu từ ( ,x a0 0)S cho trước, giả sử (x an, n) đã biết Ta ký hiệu:

1

Như vậy đường kính của Sn tiến về 0 Suy ra dãy {Sn} là dãy các tập đóng

đủ) Do đó tồn tại ( , )x a S thoả mãn:  ( , ) n

Bây giờ ta sẽ chứng minh ( , )x a là phần tử cần tìm

Thật vậy, từ định nghĩa của ( , )x a ta có ( , )x a (x an, n), n  do đó

Và như vậy ( , )x a là phần tử cực đại trong S thoả mãn yêu cầu của bổ đề 

Chứng minh định lí 1.1

Đặt Sepif ( , )x a  X  f x( )a

Dễ thấy (x, (f x))S Do f là nửa liên tục dưới trên X nên S là tập đóng trong X

Ta áp dụng bổ đề 1.1 với  

 và phần tử (x, (f x)), ta luôn tìm được ( , )x a

sao cho ( , )x a (x, (f x)) và ( , )x a là phần tử lớn nhất trong S

Từ định nghĩa của epif ta luôn có ( , ( ))xf x S,  xX Mặt khác f x( )a

Do ( , ( ))x f x là phần tử lớn nhất trong S, mà ( , ( ))xf x S  xX nên

( , ( ))x f x ( , ( ))x f x , xxdo đó f x( )  d x x( , ) f x( )

 ,  xx Vậy (iii) được chứng minh 

Hằng số  trong định lí trên rất linh hoạt Chọn  ta có kết quả sau:

Khi mà điểm xấp xỉ cực tiểu x không biết rõ, ta chỉ quan tâm đến tính chất

1.2.2.Nguyên lí biến phân Ekeland trong không gian hữu hạn chiều

Trong không gian hữu hạn chiều, ta thu được kết quả của nguyên lí biến phân Ekeland với hàm nhiễu là hàm trơn (tức là hàm khả vi liên tục)

Khi đó tồn tại N

x sao cho: (i)x  x .

chặn dưới ta thấy g x( ) thoả mãn điều kiện bức tức là lim( )

xg x

 

a bất kì, xét tập Lg a( )gxNg x( )g a( ) do g là hàm nửa liên tục dưới nên Lg a( )g là tập đóng trong N

ng xg a

 (mâu thuẫn) Vậy Lg a( )g là đóng và bị chặn

 , g là hàm nửa liên dưới trên tập compact Lg a( )g nên tồn tại điểm cực

tiểu x của g trên Lg a( )g

Bây giờ ta sẽ chứng minh x chính là điểm cực tiểu của g trên N Thật vậy

với x Lg a( )g thì g x( )g a( )g x( ) Điều này chứng tỏ x là điểm cực tiểu của

g trên N

 Dễ dàng kiểm tra x thoả mãn các kết luận của định lí 

1.3 Dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland

Trong phần này, ta xem xét định lí Bishop-Phelps, định lí cánh hoa Pental), định lí giọt nước (Drop) Chúng là các dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland

(Flower-1.3.1 Định lí Bishop-Phelps Định nghĩa 1.3 [1]

Cho Xlà không gian Banach Với bất kì xX\ {0} và bất kì  0 chúng ta gọi: K x(, )xX  ||x|||| ||x x x( )

là nón Bishop-Phelps liên kết với xvà 

Ta chứng minh y S K x( , )  y Thật vậy, từ (i) suy ra yS Mặt khác

1.3.2 Định lí cánh hoa (Định lí Flower- Pental) Định nghĩa 1.4 [1]

Cho Xlà không gian Banach và a b,X Ta gọi:

( , )

P a b xX  a    xx bb a

là cánh hoa liên kết với (0,) và a b,X

Ta dễ dàng chứng minh được một cánh hoa luôn lồi

1.3.3 Định lí giọt nước (Định lí Drop)Định nghĩa 1.5 [1]

Cho Xlà không gian Banach, tập Clà tập lồi trong Xvà aX Chúng ta gọi:

a C, conv a({ }C){a t c(a) |cC, 0 t 1}

là giọt nước liên kết với a và C

Bổ đề tiếp theo cung cấp cho ta mối liên hệ giữa giọt nước và cánh hoa

Cho Xlà không gian Banach và cho Slà tập đóng trong X Giả sử bX S\

và r0, ( , )d S b  Khi đó với bất kì  0, tồn tại yS thoả mãn:

( , )

y b d S b  và y B b r, ( , ) S { }y

Chứng minh

Chọn aS sao cho a b d S b( , ) và

 0,1

a bra br

dẫn đến xP y b( , ) Vậy x SP y b( , ) mâu thuẫn với (1.4) Do đó yS

Hơn nữa, từ yP a b( , ) suy ra y b  a b d S b( , )

1.4 Một số ứng dụng của nguyên lí biến phân Ekeland

Trong phần này, chúng ta chỉ ra nguyên lí biến phân Ekeland là tương đương với tính đầy đủ của không gian Tiếp đó, chúng ta sử dụng nguyên lí biến phân Ekeland để chứng minh định lí điểm bất động Banach, định lí điểm bất động Caristi-Kirk, định lí điểm bất động cho ánh xạ co theo hướng và đánh giá đạo hàm tại điểm xấp xỉ cực tiểu

1.4.1 Nguyên lí biến phân Ekeland và tính đầy đủ

Định lí sau đây chỉ ra một đặc trưng của không gian mêtric đầy đủ

Định lí 1.8 [1]

Cho ( , )X d là không gian mêtric Khi đó X là đầy đủ khi và chỉ khi với mọi hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới f X:     và với mọi  0, tồn tại một điểm xX thoả mãn:

(i) f x( )infXf 

(ii) f x( )d x x( , ) f x( ),  xX

Chứng minh

Từ định lí 1.1 với  1 ta có chiều thuận của định lí

Đảo lại, giả sử với mọi hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới f :X     

và với mọi  0, tồn tại một điểm xX thoả mãn:

là hàm liên tục Hơn nữa, dãy { }xn là dãy Cauchy nên f x( n)0 khi n 

Từ đây suy ra infXf 0

Với  0,1 , ta tìm được xX sao cho: f x( )infXf  và

f x( )d x x( , ) f x( ),  xX (1.5)

Cho xxn trong (1.5) và chuyển qua giới hạn n , ta được f x( )f x( ), suy ra f x( )0 Điều này chứng tỏ lim n

 

1.4.2 Các định lí điểm bất động

Trong phần này, ta sẽ áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland để chứng

minh định lí điểm bất động Banach, định lí điểm bất động Caristi-Kirk, định lí điểm bất động của ánh xạ co theo hướng

1.4.2.1 Định lí điểm bất động BanachĐịnh nghĩa 1.6

Cho ( , )X d là không gian mêtric và ánh xạ : X X Chúng ta gọi  là ánh xạ co nếu tồn tại k0,1sao cho:

Giả sử  là ánh xạ co với hệ số k0,1.Trước hết ta chứng minh rằng nếu 

có điểm bất động thì điểm bất động đó là duy nhất Thật vậy, giả sử có x1x2 sao cho:

( )xx

 và (x2)x2 Khi đó :

Vậy điểm bất động của  nếu có là duy nhất

Xét hàm f x( )d x( , ( )) x , từ định nghĩa của hàm f ta suy ra f x( )0 với mọi

xX, nên f là hàm bị chặn dưới trên X

Ta sẽ chứng minh f là hàm liên tục trên X Thật vậy, dựa vào đánh giá:

ta suy ra f là hàm liên tục trên X

Áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland cho hàm f x( )d x( , ( )) x với 0,1 k 

ta tìm được xX sao cho:

Vậy x chính là điểm bất động của ánh xạ  

1.4.2.2 Điểm bất động của ánh xạ co theo hướng

Trong định lí điểm bất động Banach, ta có thể thay ánh xạ co bởi điều kiện yếu hơn là ánh xạ co theo hướng

Cho ( , )X d là không gian mêtric Xét x y,X, ta định nghĩa đoạn thẳng giữa

x và y là:

 x y,zX d x z| ( , )d z y( , )d x y( , )

Định nghĩa 1.7 [1]

Cho ( , )X d là không gian mêtric và ánh xạ : X X

Chúng ta gọi  là ánh xạ co theo hướng nếu  thoả mãn các điều kiện sau:

( ,a a ) và ( ,b b12) là hình chữ nhật có các cạnh song song với hai trục toạ độ

và nhận hai điểm này là hai đỉnh đối diện nhau Xét ánh xạ:

y y y Giả sử y2 x2, ta chọn trên đoạn  x y, điểm z( , )x t1 với t gần x2

( ( , ), ( ,))(( , ), ( ,))3

Định lí 1.10 [1]

Cho ( , )X d là không gian mêtric đủ và ánh xạ : X X là ánh xạ co theo hướng Khi đó  có điểm bất động

Chứng minh

Giả sử  là ánh xạ co theo hướng với hệ số k 0,1 Xét f x( )d x( , ( )) x Do hàm khoảng cách và hàm  là liên tục nên f là liên tục Hơn nữa f bị chặn dưới bởi 0 Áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland cho hàm f với 0,1 k 

ta tìm được yX sao cho:

f y( ) f x( )d x y( , ),  xX (1.7)

Ta chứng minh ( )y y Thật vậy, nếu ( )y y, do  là ánh xạ co theo

hướng nên ta tìm được z y mà zy, ( ) y , tức là:

1.4.2.3 Định lí điểm bất động Caristi-Kirk Định lí 1.11 [1]

Cho ( , )X d là không gian mêtric đủ và hàm f X:     là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới, f   Cho ánh xạ đa trị F X:2X với đồ thị đóng

và giá trị khác rỗng thoả mãn :

( )( )( , )

f y  f x d x y, ( , )x y graphF Khi đó tồn tại yX sao cho yF y( )

f x() (1 ) (d x y,) f x( ) (1 ) ( , )d x y ( ( ,d x x)d y y( ,)) (1.12)

Giả sử zF y( ), thay ( , )x y (y z, ) trong (1.12) ta có:

() (1) (,)() (1) (,)( (,)( ,))

f x  d x y f y  d y z d y xd z y Kết hợp với giả thiết về hàm F ta thu được: