NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN XUÂN HÒA NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - năm 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN XUÂN HOÀ NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS TRƢƠNG XUÂN ĐỨC HÀ Thái Nguyên - năm 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Trang Lời nói đầu Chƣơng Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển 1.2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển 1.2.2 Nguyên lí biến phân Ekeland không gian hữu hạn chiều 1.3 Dạng hình học nguyên lí biến phân Ekeland 11 1.3.1 Định lí Bishop-Phelps 11 1.3.2 Định lí cánh hoa (Định lí Flower-Pental) 12 1.3.3 Định lí giọt nước (Định lí Drop) 13 1.4 Một số ứng dụng nguyên lí 15 1.4.1 Nguyên lí biến phân Ekeland tính đầy đủ 16 1.4.2 Các định lí điểm bất động 17 1.4.3 Đạo hàm điểm xấp xỉ cực tiểu 22 Chƣơng Nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ 25 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị 25 2.2 Nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ 28 2.3 Định lí điểm bất động Caristi véc tơ 30 2.4 Định lí Takahashi véc tơ 32 2.5 Một vài ví dụ minh hoạ 33 2.6 Sự tương đương định lí 34 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Trong giải tích, toán tìm điểm cực trị hàm số có nhiều ứng dụng quan trọng Một kết cổ điển hàm f nửa liên tục tập compact X đạt cực tiểu tập Khi tập X không compact hàm f điểm cực trị Tuy vậy, với không gian mêtric đủ X , hàm f bị chặn ta có thông tin điểm xấp xỉ cực tiểu Cụ thể hàm f bị chặn ta tìm điểm  - xấp xỉ cực tiểu x , tức inf X f  f ( x )  inf X f   Hơn nữa, vào năm 1974, I.Ekeland phát biểu nguyên lí nói với hàm f nửa liên tục dưới, bị chặn không gian mêtric đủ X với điểm  - xấp xỉ cực tiểu x , ta tìm điểm x cực tiểu chặt hàm nhiễu hàm ban đầu, đồng thời f ( x)  f ( x ) Không thế, đánh giá khoảng cách x x Từ đời, nguyên lí biến phân Ekeland trở thành công cụ mạnh giải tích đại Những ứng dụng nguyên lí bao trùm nhiều lĩnh vực như: Lí thuyết tối ưu, giải tích không trơn, lí thuyết điều khiển, lí thuyết điểm bất động, kinh tế, Trong năm gần đây, nguyên lí mở rộng cho trường hợp hàm f ánh xạ đơn trị đa trị nhận giá trị không gian véc tơ Mục đích Luận văn tìm hiểu số kết liên quan đến nguyên lí biến phân Ekeland (cổ điển véc tơ) số ứng dụng nguyên lí này, giới thiệu báo [2,5] Luận văn gồm chương: Chương gồm nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển [2], dạng hình học nguyên lí (định lí Bishop -Phelps, định lí giọt nước, định lí cánh hoa), số ứng dụng nguyên lí (định lí điểm bất động Banach, định lí điểm bất động Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Caristi-Kirk,đạo hàm Gateaux) Đây kết giới thiệu báo I.Ekeland [2] năm1974 báo tác giả khác [1,4] Trong chương trình bày cách chứng minh ngắn gọn nguyên lí biến phân Ekeland không gian hữu hạn chiều (sử dụng điều kiện bức), cách chứng minh giới thiệu giảng lí thuyết tối ưu Giáo sư Hoàng Tuỵ - Viện Toán học Chương gồm nguyên lí biến phân Ekeland mở rộng cho ánh xạ nhận giá trị véc tơ, định lí Caristi - Kirk véc tơ, định lí Takahashi véc tơ, số ví dụ minh hoạ tương đương ba định lí Đây kết nhận được, đăng báo Y.Araya [5] năm 2008 Nhân dịp này, Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Trƣơng Xuân Đức Hà - cán Viện Toán học - Viện Khoa học Công nghệ quốc gia Luận văn hoàn thành bảo, hướng dẫn, giúp đỡ tận tình cô Em xin chân thành cảm ơn thầy cô hội đồng phản biện, thầy cô khoa Toán khoa Sau đại học - ĐHSP Thái Nguyên, giúp đỡ em hoàn thiện luận văn Xin cảm ơn Ban giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Phú Bình tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn Xin cảm ơn gia đình bạn Phạm Hùng Linh, Vũ Quang Huy, Nguyễn Hữu Toàn, Hoàng Hữu Quý, Phạm Hồng Nam, quan tâm, động viên, giúp đỡ trình hoàn thành luận văn Thái Nguyên, ngày 28 tháng 09 năm 2009 Học viên Nguyễn Xuân Hoà Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND CỔ ĐIỂN Trong chương này, xem xét nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, dạng hình học nguyên lí số ứng dụng nguyên lí 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong mục này, xét lớp hàm nửa liên tục số tính chất hàm Cho X không gian tôpô hàm f : X     Kí hiệu:   domf  x  X f  x    La f   x  X f ( x)  a tập mức f epif   x, a   X    f  x   a tập đồ thị f Định nghĩa 1.1 Cho X không gian tôpô Hàm f : X     gọi hàm nửa liên tục x0 liminf f  x   f ( x0 ) x  x0 Hàm f gọi nửa liên tục X f nửa liên tục điểm X Nhận xét 1.1 Hàm f nửa liên tục x0   tồn lân cận U x0 cho x U ta có f  x   f  x0    Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.1 Hàm số f :    cho bởi: 3x  f  x   0 x ≠2 x  Ta thấy: domf   L1 f   x   f ( x)  1   1,1 tập mức hàm f epif   x, a       f  x   a phần mặt phẳng nằm parabol có phương trình f ( x)  x  hợp với đoạn thẳng AB A  2,  , B  2,10 tập đồ thị f Dễ thấy f hàm liên tục  \ 2 , gián đoạn x  Nhưng f f  x   10  f (2) Do f hàm nửa hàm nửa liên tục x  limx inf liên tục  Mệnh đề 1.1 Cho X không gian mêtric hàm f : X     , khẳng định sau tương đương: (a) f hàm nửa liên tục X (b) epif   x, a   X   f  x   a tập đóng X   (c) La f   x  X f ( x)  a tập đóng X ( a  ) Chứng minh (a)  (b).Giả sử f hàm nửa liên tục X Ta lấy dãy {( xn , an )}  epif xn , an )  ( x0 , a0 ) Ta cần ( x0 , a0 )  epif Thật vậy, Sao cho lim( n  lim xn  x0 , lim an  a0 hàm f nửa liên tục x0 nên n  n  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lim inf f  xn   f ( x0 ) , mà dãy {( xn , an )}  epif nên f ( xn )  an ( n   ), nên n  lim inf f  xn   lim an Do f ( x0 )  lim inf f  xn   lim an  a0 n  n  n  n  Điều chứng tỏ ( x0 , a0 )  epif (b)  (c) Giả sử epi f tập đóng X   Ta chứng minh tập mức f đóng X Thật vậy, giả sử La f   x  X f ( x)  a tập mức f Lấy dãy{ xn }  La f cho lim xn  x0 dãy { xn }  La f n  Nên f ( xn )  a hay ( xn , a )  epif ( n   ) Hơn nữa, lim xn  x0 nên n  lim( xn, a)  ( x0 , a) Mà epif tập đóng X   nên ( x0 , a )   epif , n  x0  La f ta có điều phải chứng minh (c)  (a) Giả sử tập mức f đóng X Ta cần chứng minh f hàm nửa liên tục f Giả sử phản chứng f không nửa liên tục x0  X Khi có dãy{ xn }  X lim inf f  xn   f ( x0 ) n   0 Chọn đủ nhỏ sao cho lim xn  x0 , n  cho có k  để f ( xn )  f ( x0 )   ( n  k ) Xét tập mức L  x  X f ( x)  f ( x0)    ta thấy xn  L , n  k Mặt khác L đóng lim xn  x0 nên x0  L , n  f ( x0 )  f ( x0 )   (vô lí) Vậy f nửa liên tục X  Định nghĩa 1.2 Cho tập S không gian mêtric ( X , d ) Hàm tập S hàm: 0 lS  x      x  S xS Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ta có kết sau: Mệnh đề 1.2 Nếu S tập đóng l S hàm nửa liên tục Chứng minh Khi x0  S , từ định nghĩa hàm l S ta có   tồn lân cận U x0 mà lS ( x)  lS ( x0 )   , x  U Khi x0  S , S tập đóng nên d ( x0 , S )  Chọn r d ( x0 , S ) , x  B( x0 , r ) x  S Do lS ( x)  lS ( x0 )   , x  B( x0 , r ) Ta có điều phải chứng minh  1.2 Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển Trong mục này, xem xét nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển xem xét nguyên lí không gian hữu hạn chiều 1.2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland Vấn đề thường quan tâm hàm f : X     đạt cực tiểu X , tức x  X cho f ( x)  f ( x), x  X Trước hết, ta nhìn lại kết quen thuộc tồn điểm cực tiểu hàm f nửa liên tục tập compact Mệnh đề 1.3 Cho hàm f : X     hàm nửa liên tục tập X compact Khi f đạt cực tiểu X Chứng minh f ( xn )  a Do Đặt a  inf  f ( x) x  X  Khi có dãy { xn }  X cho lim n  X compact, để không tính tổng quát ta coi { xn } dãy hội tụ đến Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x  X Ta chứng minh f ( x)  a Thật vậy, f nửa liên tục x nên liminf f  xn   f ( x) Kết hợp với lim f ( xn )  a ta suy f ( x)  a ( điều n  n  chứng tỏ a   ) Mặt khác theo định nghĩa a ta có f ( x)  a Vậy f ( x)  a x điểm cực tiểu hàm f X  Khi X không compact hàm f không đạt cực tiểu Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1.2 Xét hàm số: f : X     \{(2,1)}   x  ( x1 , x2 )  f ( x)  ( x1  2)4  ( x2  1)2 Ta dễ dàng thấy f liên tục X f ( x)  , x  X Với   , ta có x  (2,1   ) thoả mãn f ( x )     tức ta có inf X f  Tuy không tồn x  X để f ( x)  Thật vậy, giả sử có x0  X cho f ( x0 )  đưa tới x0  (2,1)  X Vậy hàm f không đạt cực tiểu X Khi giả thiết compact tập X không hàm f không đạt cực trị Khi đó, ta xét khái niệm điểm   xấp xỉ cực tiểu sau: Với   cho trước, điểm x  X gọi   xấp xỉ cực tiểu f ( x) X inf X f  f ( x )  inf X f   Điểm   xấp xỉ cực tiểu tồn f bị chặn Tuy nhiên, X không gian mêtric đủ nguyên lí biến phân Ekeland phát biểu ta làm nhiễu hàm f để thu hàm đạt cực tiểu X Sau ta xét nguyên lí biến phân Ekeland số phát biểu khác nguyên lí Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nhận xét 1.4 Ta dễ dàng chứng minh f khả vi Frechet X f khả vi Gateaux X Định lí 1.12 [2] Cho X không gian Banach hàm nửa liên tục dưới, bị chặn f : X   khả vi Gateaux X Giả sử với   ta có inf X f  f ( x )   Khi với   tồn x  B( x ,  ) mà đạo hàm Gateaux thoả mãn: f ( x )    Điểm x thoả mãn kết luận định lí gọi điểm xấp xỉ tới hạn Chứng minh Áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland cho hàm f ta tìm x  B( x ,  ) thoả mãn: f ( x)  f ( x )   x  x , x  X  (1.13) Thay x  x  tv ( v  X , t  ) vào (1.13) ta có: f ( x  tv)  f ( x )   tv  Do f ( x  tv)  f ( x )    v , v  X t  (1.14) Vì f khả vi Gateaux nên cho t  0 (1.14) ta có f ( x )(v)  lim t 0 f ( x  tv)  f ( x )   v t  (1.15) cho t  0 (1.14) ta có Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn f ( x )(v)  lim t 0 f ( x  tv)  f ( x )   v t  (1.16) Kết hợp (1.15) (1.16) ta được:  Vậy f ( x )    v  f ( x )(v)  v , v  X      Như vậy, nói chuẩn đạo hàm điểm  - xấp xỉ cực tiểu làm bé tuỳ ý theo  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND VÉC TƠ Trong năm gần có nhiều nghiên cứu tổng quát nguyên lí biến phân Ekeland kết cổ điển liên quan tới nguyên lí như: định lí điểm bất động Caristi – Kirk, định lí Takahashi tồn điểm cực tiểu cho hàm nhận giá trị không gian hữu hạn chiều vô hạn chiều (Loridan [13], Isac [11], Gopfert, Tammer, Zalinescu [9,10,17] nhiều người khác) Tammer [18] giới thiệu định lí điểm bất động Caristi – Kirk véc tơ định lí Takahashi véc tơ không liên hệ ba định lí Trong chương này, trình bày cách chứng minh đơn giản J.P.Aubin nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ[6] Từ định lí ta suy định lí điểm bất động Caristi-Kirk véc tơ định lí Takahashi véc tơ Tiếp theo trình bày điều kiện đủ để có điểm cực tiểu yếu, giới thiệu vài ví dụ minh hoạ định lí phần cuối chứng minh tương đương nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ, định lí điểm bất động Caristi – Kirk véc tơ định lí Takahashi véc tơ 2.1.Một số kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 2.1 Cho Y không gian Banach C  Y tập khác rỗng Ta kí hiệu: int C cl C phần bao đóng C Ta nói tập C nón C  C ,    0,   Có thể chứng minh nón C nón lồi C  C  C Nón lồi C gọi nón nhọn C  (C)  {0} Cho nón nhọn C  Y , ta xác định quan hệ thứ tự  C Y sau Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x C y y  x  C Quan hệ thứ tự phù hợp với cấu trúc véc tơ Y , tức x  Y y Y ta có (i) x C y  x  z C y  z , z  Y (ii) x C y   x C  y ,   Ta viết x C y y  x  C , kí hiệu C  int C  {0} Cho f : X  Y ánh xạ, kí hiệu: f ( X )   { f ( x)} xX Định nghĩa 2.2 Cho Y không gian Banach C  Y tập khác rỗng Ta gọi: (i) a  A điểm cực tiểu (điểm hữu hiệu Pareto) A A  (a  C)  {a} (ii) a  A điểm cực tiểu yếu A A  (a  C )  {a} Kí hiệu: Min( A; C) tập hợp tất điểm cực tiểu A tương ứng tới C WMin( A; C) tập hợp tất điểm cực tiểu yếu A tương ứng tới C Ta có: Min( A; C)  WMin( A; C) Ví dụ 2.1 Cho Y   , nón C   2 , tập A hình tròn tâm O (0,0) bán kính hợp với hình vuông DFEO D( 0, 1), F( 1, 1 ), F( 1,0 ),B(-1,0)  WMin( A; C) cung tròn nhỏ BD  Khi Min( A; C) cung tròn nhỏ BD hợp với đoạn thẳng DF Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tammer Weider [5] phát biểu hàm phi tuyến có nhiều tính chất tốt dùng chứng minh nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ sau: Cho Y không gian Banach, C  Y nón nhọn, lồi, đóng có phần khác rỗng cho k  int C , định nghĩa hàm số hC ,k : Y   ,  sau hC ,k ( y )  inf{t   | y  tk  C} Bổ đề 2.1 [9,10] Khi hàm hC ,k thoả mãn tính chất sau đây: (i) hC ,k nhận giá trị hữu hạn (ii) hC ,k hàm liên tục (iii) hC ,k tuyến tính (iv) hC ,k C - đơn điệu ( y1 C y2 hC ,k ( y1 )  hC ,k ( y2 ) ) 0 (v) hC ,k đơn điệu ngặt ( y2  y1  int C hC ,k ( y1 )  hC ,k ( y2 ) ) 0 (vi) { y Y | hC ,k ( y)  t}  tk  C (vii) { y Y | hC ,k ( y)  t}  tk  int C (viii) hC ,k ( y  k )  hC ,k ( y)   , y Y    0 Bổ đề 2.2 [9] Cho Y không gian Banach, C  Y nón nhọn, lồi, đóng, có phần khác rỗng, k  int C A  Y tập khác rỗng thoả mãn A  ( int C)   hàm hC ,k hàm giá trị hữu hạn liên tục thoả mãn: hC ,k ( y )   hC ,k ( x) với x  A , y  int C Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lí 2.1 (Định lí Takahashi cổ điển) Cho  X , d  không gian mêtric đủ hàm f : X     hàm nửa liên tục dưới, bị chặn với u  X inf xX f ( x)  f (u ) tồn v  X cho v  u f (v)  d (u, v)  f (u) thì: x0  X cho f ( x0 )  inf xX f ( x) 2.2 Nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ Định lí 2.2.[5] Cho  X , d  không gian mêtric đủ, Y không gian Banach C  Y nón nhọn, lồi, đóng, có phần khác rỗng, k  int C cho ánh xạ f : X  Y Giả sử   tồn điểm x0  X cho f ( X )  ( f ( x0 )   k  int C )   f thoả mãn điều kiện (H) sau (H):Tập {x  X | f ( x)  d ( x, x)k C f ( x)} đóng x  X Khi x  X cho (i) f ( x) int C f ( x0 ) (ii) d ( x0 , x)  (iii) f ( x)   d ( x, x)k  C f ( x) , x  x Chứng minh Không tính tổng quát ta giả thiết   Trước hết ta nhận thấy x  X , hC ,k  f bị chặn X Theo bổ đề 2.2 ta có : hC ,k ( y)   hC ,k ( f ( x)  f ( x0 )  k ) , x  X , y  int C Sử dụng (iii) (vi) bổ đề 2.1 ta có : Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn   hC ,k ( y )  hC ,k ( f ( x0 ))   hC ,k ( f ( x)) Định nghĩa ánh xạ đa trị F : X  2X sau F ( x)  { y  X | f ( y)  d ( x, y)k C f ( x)} Với điều kiện (H), tập F ( x) đóng x  X F có tính chất: (a) x  F ( x) (tính phản xạ) (b) Nếu y  F ( x) F ( y)  F ( x) (tính bắc cầu) Dễ thấy (a) F ( x)  { y  X | f ( x) C f ( x)} , nên x  F ( x) Để chứng minh tính chất (b) , ta lấy y  F ( x) giả sử z  F ( y) Khi f ( z )  d ( y, z )k C f ( y) f ( y)  d ( x, y)k C f ( x) tính tương ứng quan hệ thứ tự  C với cấu trúc véc tơ Từ bất đẳng thức tam giác mêtric X k  int C , ta có f ( z)  d ( x, z)k C f ( x) suy z  F ( x) Tiếp theo sử dụng tính chất (iv) (viii) bổ đề 2.1, ta có y  F ( x) suy hC ,k ( f ( y ))  d ( x, y )  hC ,k ( f ( x)) Do d ( x, y )  hC ,k ( f ( x))  inf zF ( x ) hC ,k ( f ( z )) , y  F ( x) Như vậy, đường kính tập F ( x) bị chặn (A)   DiamF ( x)  hC ,k ( f ( x))  inf zF ( x ) hC ,k ( f ( z )) Với n  1, 2, , theo định nghĩa infimum, xn 1  F ( xn ) cho: hC ,k ( f ( xn1 ))  inf zF ( xn ) hC ,k ( f ( z))  2n Từ F ( xn1 )  F ( xn ) ta có inf zF ( xn ) hC ,k ( f ( z ))  inf zF ( xn1 ) hC ,k ( f ( z )) Mặt khác, từ bất đẳng thức Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn inf zF ( y ) hC ,k ( f ( z ))  hC ,k ( f ( y)) ta có  hC ,k ( f ( xn1 ))  inf zF ( xn1 ) hC ,k ( f ( z))  2n DiamF ( xn1 )  2.2 n Công thức (A) đường kính tập đóng F ( xn ) hội tụ đến Theo bổ đề Canto tồn x  X cho   F ( x )  {x} n n 0 x  F ( x0 ) nên ta có f ( x)  d ( x, x0 )k C f ( x0 ) (2.1) Do f ( x0 )  f ( x)  C  d ( x, x0 )k  int C Điều cho thấy (i) Tiếp theo, x  F ( xn ) , n nên ta có F ( x)  F ( xn ) suy F ( x)  {x} (iii) Để chứng minh (ii), giả sử d ( x0 , x)   d ( x, x0 )  1 k  C  int C , theo điều kiện (2.1) ta có: f ( x)  f ( x0 )  d ( x, x0 )k  C  f ( x0 )  k  int C mâu thuẫn Vậy d ( x0 , x)   Chú ý 2.1 Cho Y   , C=    0,   , k  1   \{0} định lí 2.2 ta thu định lí 1.1 (nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển với   ) 2.3 Định lí điểm bất động Caristi-Kirk véc tơ Định lí 2.3.[5] Cho  X , d  không gian mêtric đủ, Y không gian Banach C  Y nón nhọn, lồi, đóng, có phần khác rỗng, k  int C , ánh xạ f : X  Y hàm véc tơ Cho T : X  2X ánh xạ đa trị cho x  X ta có Tx   Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Giả sử f thoả mãn điều kiện (H) y  Y cho: f ( X )  ( y  int C )   Hơn nữa, giả thiết hàm f thoả mãn điều kiện (C) sau: (C): x  X tồn y Tx cho f ( y)  d ( x, y)k C f ( x) Khi T có điểm bất động X tức x  X để x  T x Hơn nữa, f thoả mãn điều kiện (C’) sau (C’): x  X , y Tx f ( y)  d ( x, y)k C f ( x) T có điểm tới hạn X , tức là: x  X để T x  {x} Chứng minh Vì y  Y thoả mãn f ( X )  ( y  int C)   , ta chọn x0  X    cho: f ( X )  ( f ( x0 )   k  int C )   (2.2) Thật vậy, ta đặt:   inf xX hC ,k ( f ( x)  y)   Trong trường hợp   1, ta lấy  cho     tìm x0  X t0   cho f ( x0 )  y  t0 k  C , ta có (2.2) Trong trường hợp   1, đặt y  y      k Ta thấy rằng:  3 f ( X )  ( y  int C )    inf xX hC ,k ( f ( x)  y)  Tương tự, ta tìm x0  X    thoả mãn (2.2) Theo định lí 2.2, tồn x  X cho: f ( y)  d ( x, y)k  C f ( x) , y  X \{x} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.3) http://www.lrc-tnu.edu.vn Mặt khác, theo điều kiện (C) y  X cho y  T x f ( y)  d ( x, y)k C f (x ) Từ (2.3) ta có x  y Suy T có điểm bất động Hơn nữa, y  T x trùng với x T có điểm tới hạn  Chú ý 2.2 Cho Y   , C=    0,   , k  1   \{0} định lí 2.3 ta thu định lí 1.11 (định lí điểm bất động Caristi – Kirk cổ điển) 2.4 Định lí Takahashi véc tơ Định lí 2.4 [5] Cho  X , d  không gian mêtric đủ, Y không gian Banach C  Y nón nhọn, lồi, đóng, có phần khác rỗng, k  int C , cho ánh xạ f : X  Y Giả sử f thoả mãn điều kiện (H) y  Y cho f ( X )  ( y  int C )   Hơn nữa, giả thiết hàm f thoả mãn điều kiện (T1) sau: (T1): Với u  X với f ( X )  ( f (u )  C )  { f (u )} , tồn v  u cho f (v)  d (u, v)k C f (u) Khi x  X cho f ( x ) WMin( f ( X ); C ) Chứng minh Tương tự định lí 2.3, ta chọn x0  X    cho: f ( X )  ( f ( x0 )   k  int C )   Do định lí 2.2 tồn u  X cho f (v)  d (u, v)  C f (u) với v  X \{u} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nếu u  X thoả mãn f ( X )  ( f (u )  C )  { f (u )} , theo điều kiện (T1) nên v  X \{u} cho f (v)  d (u, v)k C f (u)  Chú ý 2.3 Cho Y   , C=     0,   , k  1   \{0} định lí 2.4 ta thu định lí 2.1 2.5 Một vài ví dụ minh hoạ Sau minh hoạ nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ, định lí điểm bất động Caristi – Kirk véc tơ định lí Takahashi véc tơ số ví dụ  Cho X   0,1 , Y  l , f ( x)   1  , , , ,  quan hệ thứ tự l x  n,   x 1 x  cho C  { y  l | yi  0, i   } Nón C  Y lồi, nhọn, đóng có phần khác rỗng Đặt k   , 1  , , n ,  , y   0, 0,  Ta thấy ánh xạ f thoả mãn  16  f ( X )  ( y  int C )   điều kiện (H) Ta lấy   1, x0  ánh xạ f thoả mãn f ( X )  ( f ( x0 )   k  int C)   Khi tồn x  thoả mãn (i) (iii) định lí 2.1 Với Tx  x2  ta có:   x2  x   x2  x   x2  x   x2  x   f ( x)  f (Tx)  d (Tx, x)k    ,  ,   C ( x  2)( x  4) 16  ( x  1)( x  3)  Suy T có điểm bất động x  Với u   0,1 thoả mãn f ( X )  ( f (u )  C )  { f (u )} v   u,1 cho f (v)  d (u, v)k C f (u) 1 Suy f có điểm cực tiểu yếu  , , ,  x  lời giải 2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.6 Sự tƣơng đƣơng nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ, định lí điểm bất động Caristi – Kirk véc tơ định lí Takahashi véc tơ Định lí 2.5 [5] Các định lí 2.2, định lí 2.3 định lí 2.4 tương đương với Chứng minh Định lí 2.2  định lí 2.3 (xem chứng minh định lí 2.3) Định lí 2.3  định lí 2.4 Ta đặt: Sx  { y  X | x  y, f ( y)  d ( y, x)k C f ( x)} x Tx   Sx {x  X | f ( X )  ( f ( x)  C )  { f ( x)}} {x  X | f ( X )  ( f ( x)  C )  { f ( x)}} Từ định nghĩa Sx Tx , ta có : x  Sx , Tx   với x  X T : X  X Ta có x  X , y Tx cho f ( y)  d ( x, y)k C f ( x) Do định lí 2.3, tồn x  X cho x  T x Từ định nghĩa T , ánh xạ f có điểm cực tiểu yếu Định lí 2.4  định lí 2.2 Không tính tổng quát, ta giả thiết   đặt: X  {x  X | f ( x)  d ( x, x0 )k C f ( x0 )} Vì x0  X nên X   Hơn nữa, với điều kiện (H), tập X đóng đầy đủ Giả sử không tồn x  X thoả mãn (iii) định lí 2.2 tức x  X w  x cho: f ( w)  d ( x, w) C f ( x) Ta có: d (w, x0 )k C d (w, x)k  d ( x, x0 )k C f ( x)  f (w)  f ( x0 )  f ( x) C f ( x0 )  f (w) Do w  X , tức f ( X )  ( f ( x0 )  C )  { f ( x0 )} Ta đặt y  f ( x0 )  k , theo định lí 2.4, x  X cho f ( X )  ( f ( x)  C )  { f ( x)} Tuy nhiên, w  X cho f ( w) C f ( x) điều mâu thuẫn Bằng cách tương tự định lí 2.2 ta có f ( x) int C f ( x0 ) d ( x, x0 )   Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn KẾT LUẬN Nguyên lí biến phân Ekeland kết cổ điển có nhiều ứng dụng gần nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu Trong luận văn này, tìm hiểu số báo liên quan đến nguyên lí biến phân Ekeland trình bày lại chúng cách hệ thống cụ thể là: Chương luận văn trình bày gồm nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, dạng hình học nguyên lí (định lí Bishop - Phelps, định lí giọt nước, định lí cánh hoa), trình bày cách chứng minh ngắn gọn nguyên lí không gian hữu hạn chiều, số ứng dụng nguyên lí (định lí điểm bất động Banach, định lí điểm bất động Caristi-Kirk, đạo hàm Gateaux) Chương gồm nguyên lí biến phân Ekeland mở rộng cho ánh xạ nhận giá trị véc tơ, định lí Caristi – Kirk véc tơ, định lí Takahashi véc tơ, số ví dụ minh hoạ tương đương ba định lí Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M.J Borwein and J Z Qiji, Techniques of Variational Analysis, Springer (2004) [2] I Ekeland, On the variational principle, J.Math.Anal Appl 47(1974) 324-354 [3] I Ekeland, The  - variational principle revisited, Notes by S Tetracini [4] J.P Aubin and I Ekeland, Applied Nonlinear Analysis, John Wiley, New York (1984) [5] Y Araya, Ekeland’S variational principle and its equivalent theorems in vecto optimization, J.Math.Anal.App 346(2008), 9-16 [6] J.P Aubin, Optima Equilibria An introduction to Nonlinear Analysis, Springer-Verlag, Berlin, 1993 [7] H Brezis, F.E Browder, A general principle on ordered sets in nonlinear function analysis, Adv Math 21(1976), 355-364 [8] J Caristi, Fixed point theorems for mapping satisfying inwardness conditions, Trans Amer Math Soc 215(1976), 241-251 [9] A Gopfert, H Riahi, C Tammer, C Zalinescu, Variational Methods in Partially Odered Spaces, Springer-Verlag, New York , 2003 [10] A Gopfert, C Tammer, C Zalinescu, On the vectorial Ekeland’s variational principle and minimal point in product spaces, Nonlinear Anal 39(2000), 909-922 [11] G Isac, The Ekeland’s principle and Pareto  - efficien, in:MultiObjective Programming and Goal Programming: Theories and Applications, in:Lecture Notes in Econom and Math System, Vol 243, Springer-Verlag, Berlin, 1986, 148-163 [12] J Jahn, Vecto Optimization: Theory, Applications, and Extentions, Springer-Verlag,Berlin, 2004 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [13] P Loridan,  - solutions in vecto minimization problems, J Optim Theory Appl 43(1984), 265-276 [14] R.R Phelps, Convex Function, Monotone Operators and Differentiability, Lecture Notes in Math, Vol 1364, Springer-Verlag,Berlin, 1993 [15] N Mizoguchi, W Takahashi, Fixed point theorems for multivalue mappings on complete metric spaces, J Math Anal Appl 141(1989), 177-188 [16] W Takahashi, Existence theorms genneralizing fixed point theorems for multivalue mappings, in: Fixed Point Theory and Applications, Marseille, 1989, in:Pitman Res Notes Math Ser Vol.252, Longman Sci Tech Harlow,1991, 397-406 [17] C Tammer, A generalization of Ekeland’s principle, Optimization 25(1992), 129-141 [18] C Tammer, A variational principle and a fixed point theorem, in:System Modelling and Optimization, Compiegne, 1993, in: Lecture Notes in Contron and inform Sci vol 197, Springer-Verlag, London, 1994, 248-257 [19] Hoàng Tuỵ, Bài giảng lí thuyết tối ưu, Viện toán học (2003) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn