nguyên lý biến phân ekeland và một số ứng dụng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt p : // ww w . l r c - t nu . e du . v n ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN XUÂN HÒA NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG L L UẬ UẬ N N VĂ VĂ N N TH TH Ạ Ạ C C S S Ĩ Ĩ TO TO Á Á N N HỌC HỌC Thái Nguyên - năm 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt p : // ww w . l r c - t nu . e du . v n ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN XUÂN HOÀ NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 L L UẬ UẬ N N V V Ă Ă N N T T HẠ HẠ C C S S Ĩ Ĩ T T OÁ OÁ N N H H Ọ Ọ C C Ngƣời h ƣ ớng dẫn khoa học: PGS.TS. TRƢƠNG XUÂN ĐỨC HÀ Thái Nguyên - năm 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt p : // ww w . l r c - t nu . e du . v n Mục lục Lời nói đầu Trang Ch ƣ ơng 1. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển 1 1.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1.2. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.2.2. Nguyên lí biến phân Ekeland trong không gian hữu hạn chiều . 9 1.3. Dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1. Định lí Bishop-Phelps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2. Định lí cánh hoa (Định lí Flower-Pental) . . . . . . . . . . . . . . . . .12 1.3.3. Định lí giọt nước (Định lí Drop) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Một số ứng dụng của nguyên lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.1. Nguyên lí biến phân Ekeland và tính đầy đủ . . . . . . . . . . . . . .16 1.4.2. Các định lí điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.3. Đạo hàm tại điểm xấp xỉ cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ch ƣ ơng 2. Nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ 25 2.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 2.2. Nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 2.3. Định lí điểm bất động Caristi véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4. Định lí Takahashi véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5. Một vài ví dụ minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 2.6. Sự tương đương giữa các định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 LỜI NÓI ĐẦU Trong giải tích, bài toán tìm điểm cực trị của hàm số có rất nhiều ứng dụng quan trọng. Một kết quả cổ điển chỉ ra rằng hàm f nửa liên tục dưới trên tập compact X thì sẽ đạt cực tiểu trên tập đó. Khi tập X không compact thì hàm f có thể không có điểm cực trị. Tuy vậy, với không gian mêtric đủ X , hàm f bị chặn dưới ta vẫn có thông tin về điểm xấp xỉ cực tiểu. Cụ thể là khi hàm f bị chặn dưới ta luôn tìm được điểm ε - xấp xỉ cực tiểu x ε , tức là inf X f ≤ f ( x ε ) ≤ inf X f + ε . Hơn nữa, vào năm 1974, I.Ekeland đã phát biểu nguyên lí nói rằng với hàm f nửa liên tục dưới, bị chặn dưới trên không gian mêtric đủ X thì với mọi điểm ε - xấp xỉ cực tiểu x ε , ta luôn tìm được điểm x là cực tiểu chặt của hàm nhiễu của hàm ban đầu, đồng thời f ( x) ≤ f ( x ε ) . Không những thế, còn đánh giá được khoảng cách giữa x và x ε . Từ khi ra đời, nguyên lí biến phân Ekeland đã trở thành công cụ mạnh trong giải tích hiện đại. Những ứng dụng của nguyên lí này bao trùm nhiều lĩnh vực như: Lí thuyết tối ưu, giải tích không trơn, lí thuyết điều khiển, lí thuyết điểm bất động, kinh tế, . . . Trong những năm gần đây, nguyên lí này đã được mở rộng cho trường hợp hàm f là ánh xạ đơn trị hoặc đa trị nhận giá trị trong không gian véc tơ. Mục đích của Luận văn là tìm hiểu một số kết quả liên quan đến nguyên lí biến phân Ekeland (cổ điển và véc tơ) cùng một số ứng dụng của nguyên lí này, được giới thiệu trong các bài báo [2,5]. Luận văn gồm 2 chương: Chương 1 gồm nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển [2], dạng hình học của nguyên lí (định lí Bishop -Phelps, định lí giọt nước, định lí cánh hoa), một số ứng dụng của nguyên lí (định lí điểm bất động Banach, định lí điểm bất động Caristi-Kirk,đạo hàm Gateaux). Đây là các kết quả được giới thiệu trong bài báo của I.Ekeland [2] năm1974 và các bài báo của các tác giả khác [1,4]. Trong chương này chúng tôi cũng trình bày một cách chứng minh ngắn gọn nguyên lí biến phân Ekeland trong không gian hữu hạn chiều (sử dụng điều kiện bức), cách chứng minh này được giới thiệu trong bài giảng về lí thuyết tối ưu của Giáo sư Hoàng Tuỵ - Viện Toán học. Chương 2 gồm nguyên lí biến phân Ekeland mở rộng cho ánh xạ nhận giá trị véc tơ, định lí Caristi - Kirk véc tơ, định lí Takahashi véc tơ, một số ví dụ minh hoạ và sự tương đương của ba định lí này. Đây là kết quả mới nhận được, được đăng trong bài báo của Y.Araya [5] năm 2008. Nhân dịp này, Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Tr ƣ ơng Xuân Đức Hà - cán bộ Viện Toán học - Viện Khoa học và Công nghệ quốc gia. Luận văn này sẽ không thể hoàn thành nếu không có sự chỉ bảo, hướng dẫn, sự giúp đỡ tận tình của cô. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong hội đồng phản biện, các thầy cô trong khoa Toán và khoa Sau đại học - ĐHSP Thái Nguyên, đã giúp đỡ em hoàn thiện luận văn này. Xin cảm ơn Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trường THPT Phú Bình đã luôn tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Xin cảm ơn gia đình và các bạn Phạm Hùng Linh, Vũ Quang Huy, Nguyễn Hữu Toàn, Hoàng Hữu Quý, Phạm Hồng Nam, đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, ngày 28 tháng 09 năm 2009 Học viên Nguyễn Xuân Hoà Chƣơng 1 NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND CỔ ĐIỂN Trong chương này, chúng ta xem xét nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, dạng hình học của nguyên lí và một số ứng dụng của nguyên lí này. 1.1. Một số kiến thức chuẩn bị Trong mục này, chúng ta xét lớp hàm nửa liên tục dưới và một số tính chất của hàm này. Cho X là không gian tôpô và hàm Kí hiệu: f : X →  ∪ { +∞ } domf = { x ∈ X f ( x ) < +∞ } . L a f = { x ∈ X f (x) ≤ a } là tập mức của f . epif = { ( x, a ) ∈ X ×  f ( x ) ≤ a } là tập trên đồ thị của f . Định nghĩa 1.1 Cho X là không gian tôpô. Hàm f : X →  ∪ { +∞ } được gọi là hàm nửa liên tục dưới tại x 0 khi và chỉ khi lim inf x → x 0 f ( x ) ≥ f ( x 0 ) . Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu f nửa liên tục dưới tại mọi điểm của X . Nhận xét 1.1 Hàm f là nửa liên tục dưới tại x 0 khi và chỉ khi ∀ε > 0 tồn tại lân cận U của x 0 sao cho ∀x ∈U ta đều có f ( x ) ≥ f ( x 0 ) − ε . Ví dụ 1.1 Hàm số f :  →  cho bởi:  3x 2 − 2 f ( x ) =  nếu x ≠2  0 nếu x = 2 Ta thấy: domf =  . L 1 f = { x ∈  f (x) ≤ 1 } = [ −1,1 ] là tập mức của hàm f . epif = { ( x, a ) ∈  ×  f ( x ) ≤ a } là phần mặt phẳng nằm trên parabol có phương trình f ( x) = 3x 2 − 2 hợp với đoạn thẳng AB trong đó A ( 2, 0 ) , B ( 2,10 ) là tập trên đồ thị của f . Dễ thấy rằng f là hàm liên tục trên  \ { 2 } , gián đoạn tại x = 2 . Nhưng f là hàm nửa liên tục dưới tại liên tục dưới trên  . x = 2 vì lim inf x →2 f ( x ) = 10 ≥ f (2) . Do đó f là hàm nửa Mệnh đề 1.1. Cho X là không gian mêtric và hàm sau là tương đương: f : X →  ∪ { +∞ } , khi đó các khẳng định (a) f là hàm nửa liên tục dưới trên X . (b) epif = { ( x, a ) ∈ X ×  f ( x ) ≤ a } là tập đóng trong X ×  . (c) L a f = { x ∈ X f (x) ≤ a } là tập đóng trong X ( ∀ a ∈  ). Chứng minh (a) ⇒ (b).Giả sử f là hàm nửa liên tục dưới trên X . Ta lấy dãy {( x n , a n )} ⊂ epif Sao cho lim( x n , a n ) = ( x 0 , a 0 ) . Ta cần chỉ ra n→∞ ( x 0 , a 0 ) ∈ epif . Thật vậy, lim x n = x 0 , lim a n = a 0 và hàm f là nửa liên tục dưới tại x 0 nên n→∞ n→∞ 0 lim inf f ( x n ) ≥ f ( x ) , mà dãy {( x , a )} ⊂ epif nên f ( x ) ≤ a ( ∀ n ∈  ), nên n →∞ 0 n n n n lim inf n→∞ f ( x n ) ≤ lim a n . Do đó n →∞ f ( x 0 ) ≤ lim inf n→∞ f ( x n ) ≤ lim a n n→∞ = a 0 . Điều này chứng tỏ ( x 0 , a 0 ) ∈ epif . (b) ⇒ (c). Giả sử epi f là tập đóng trong X ×  . Ta sẽ chứng minh mọi tập mức của f đều đóng trong X . Thật vậy, giả sử L a f = { x ∈ X f (x) ≤ a } là tập mức bất kỳ của f . Lấy dãy{ x n } ⊂ L a f sao cho lim x n = x 0 n →∞ do dãy { x n } ⊂ L a f Nên f ( x n ) ≤ a hay ( x n , a ) ∈ epif ( ∀n ∈  ). Hơn nữa, lim x n = x 0 nên n→∞ lim( x n, a) = ( x 0 , a) . Mà epif là tập đóng trong X ×  nên ( x 0 , a ) ∈ ∈ epif , do đó n →∞ x 0 ∈ L a f ta có điều phải chứng minh. (c) ⇒ (a). Giả sử mọi tập mức của f đều đóng trong X . Ta cần chứng minh f là hàm nửa liên tục dưới trên f . Giả sử phản chứng f không là nửa liên tục dưới tại x 0 ∈ X . Khi đó có dãy{ x n } ⊂ X sao cho lim x n = x 0 , n→∞ lim inf f ( x n ) < f ( x ) . Chọn n →∞ ε > 0 đủ nhỏ sao cho có k ∈  để f ( x n ) ≤ f ( x 0 ) − ε ( ∀n > k ). Xét tập mức L = { x ∈ X f (x) ≤ f (x 0) − ε } ta thấy x n ∈ L , ∀n > k . Mặt khác do L đóng và lim x n = x 0 n →∞ nên x 0 ∈ L , do đó f ( x 0 ) ≤ f ( x 0 ) − ε (vô lí). Vậy f là nửa liên tục dưới trên X .  Định nghĩa 1.2 Cho tập S trong không gian mêtric ( X , d ) . Hàm chỉ của tập S là hàm:  +∞ S l ( x ) =  0  ∀x ∈ S x ∉ S [...]... liên hệ giữa nguyên lí biến phân Ekeland, định lí giọt nước và định lí cánh hoa được J.-P.Penot và S.Rolewicz xem xét vào năm 1986 1.4 Một số ứng dụng của nguyên lí biến phân Ekeland Trong phần này, chúng ta chỉ ra nguyên lí biến phân Ekeland là tương đương với tính đầy đủ của không gian Tiếp đó, chúng ta sử dụng nguyên lí biến phân Ekeland để chứng minh định lí điểm bất động Banach, định lí điểm bất động... trước, một điểm xε ∈ X gọi là ε − xấp xỉ cực tiểu của f (x) trên X nếu inf X f ≤ f ( x ) ≤ inf f + ε ε X Điểm ε − xấp xỉ cực tiểu bao giờ cũng tồn tại nếu f bị chặn dưới Tuy nhiên, khi X là không gian mêtric đủ thì nguyên lí biến phân Ekeland phát biểu rằng ta có thể làm nhiễu hàm f để thu được một hàm đạt cực tiểu trên X Sau đây ta xét nguyên lí biến phân Ekeland và một số phát biểu khác của nguyên. .. cùng từ (1.4) và bổ đề 1.2 với r = ( 1−γ) a − b ta có (1 + γ ) [ y, B(b, r)] ∩ S = {y}  Trong ba định lí này, định lí Bishop-Phelps xuất hiện sớm nhất vào năm 1961 Định lí này là nguồn cảm hứng chính cho nguyên lí biến phân Ekeland Định lí giọt nước được J.Danes phát biểu vào năm 1972 Còn định lí cánh hoa được phát biểu bởi J.-P.Penot vào năm 1986 Mối liên hệ giữa nguyên lí biến phân Ekeland, định... ta có dạng yếu của nguyên lí biến phân: Định lí 1.3 [1] Cho ( X , d là không gian mêtric đủ và hàm f : X →  ∪ {+∞} là hàm nửa liên ) tục dưới, bị chặn dưới Khi đó với mọi ε > 0 tồn tại x sao cho: f (x) + ε d (x, x) > f (x) ∀x ∈ X \ {x} , 1.2.2 .Nguyên lí biến phân Ekeland trong không gian hữu hạn chiều Trong không gian hữu hạn chiều, ta thu được kết quả của nguyên lí biến phân Ekeland với hàm nhiễu... Chứng minh Khi x0 ∈ S , từ định nghĩa hàm l S ta có ∀ε > 0 tồn tại lân cận U của x0 mà lS ( x) ≥ lS ( x0 ) − ε , ∀x ∈U Khi r= d ( x0 , S ) đó l x0 ∉ S , vì S là tập đóng nên d ( x0 , S ) > 0 Chọn , ∀x ∈ B( x , r) thì x ∉ S Do ( x) ≥ l ( x ) − ε , ∀x ∈ B( x , r ) Ta có 0 2 S S điều 0 0 phải chứng minh  1.2 Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển Trong mục này, chúng ta xem xét nguyên lí biến phân Ekeland. .. , điều này chứng tỏ f (a) < inf S f + (t − r ) = inf f + (t − r ) X Áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland cho hàm f (x) với ε = t − r và λ = ta tìm được y sao cho y − a ≤ t−r , γ t−r thoả mãn: γ y − b + lS ( y) + γ a − y ≤ a − b Và x − b + l ( x) + x − y > y − b + l ( y) S S , ∀x ∈ X \ {y} γ Bất đẳng thức đầu tiên chứng tỏ y ∈ S Do đó y − b + γ a − y ≤ a − b hay y ∈ Pγ (a, b) Thay y ∈ vào bất đẳng... bất động cho ánh xạ co theo hướng và đánh giá đạo hàm tại điểm xấp xỉ cực tiểu 1.4.1 Nguyên lí biến phân Ekeland và tính đầy đủ Định lí sau đây chỉ ra một đặc trưng của không gian mêtric đầy đủ Định lí 1.8 [1] Cho ( X , d là không gian mêtric Khi đó X là đầy đủ khi và chỉ khi với mọi ) hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới f : X →  ∪ {+∞} và với mọi ε > 0 , tồn tại một điểm x ∈ X thoả mãn: (i) f ( x)... Với ε ∈ ( 0,1) , ta tìm được x ∈ sao cho: X f ( x) ≤ inf f + ε và X f (x) + ε d (x, x) ≥ f (x) , ∀x ∈ X (1.5) Cho x = xn trong (1.5) và chuyển qua giới hạn n → ∞ , ta được f (x) ≤ ε f (x) , suy ra f (x) = 0 Điều này chứng tỏ lim xn = x  n→∞ 1.4.2 Các định lí điểm bất động Trong phần này, ta sẽ áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland để chứng minh định lí điểm bất động Banach, định lí điểm bất động Caristi-Kirk,... − a } γ là cánh hoa liên kết với γ ∈ (0, +∞) và a, b ∈ X Ta dễ dàng chứng minh được một cánh hoa luôn lồi Định lí 1.6 (Định lí cánh hoa) [1] Cho X là không gian Banach và S là tập đóng trong X Giả sử a ∈ S và b ∈ X \ S Đặt t = b − a và τ ∈ (0, d (S, Khi đó bất kì γ > 0 , tồn tại b)) t −τ y ∈ S ∩ Pγ (a, thoả mãn y − a ≤ và Pγ ( y, b) ∩ S = {y} γ b) Chứng minh Xét hàm f ( x) = x − b + lS ( x) Vì... 1.1 (nguyên lí biến phân Ekeland ) [2] Cho ( X , d là không gian mêtric đủ và hàm f : X →  ∪ {+∞} là hàm nửa liên ) tục dưới, bị chặn dưới Giả sử ε > 0 và xε ∈ X thoả mãn: f ( xε ) < inf X f + ε Khi đó với λ > 0 bất kì, tồn tại x ∈ X sao cho: (i) d ( x, xε ) ≤ λ (ii) f ( x) + ε d ( x, x ) ≤ f ε( x ε (iii) ) λ   ε  f ( x) +   d ( x, x) > f (x) λ   ∀x ∈ X \ {x} , Trước hết ta chứng minh . nguyên lí biến phân Ekeland (cổ điển và véc tơ) cùng một số ứng dụng của nguyên lí này, được giới thiệu trong các bài báo [2,5]. Luận văn gồm 2 chương: Chương 1 gồm nguyên lí biến phân Ekeland. thì nguyên lí biến phân Ekeland phát biểu rằng ta có thể làm nhiễu hàm f để thu được một hàm đạt cực tiểu trên X . Sau đây ta xét nguyên lí biến phân Ekeland và một số phát biểu khác của nguyên. 0 phải chứng minh.  1.2. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển Trong mục này, chúng ta xem xét nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển và xem xét nguyên lí này trong không gian hữu hạn chiều. 1.2.1. Nguyên