Sau đây chúng ta minh hoạ nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ, định lí điểm bất động Caristi – Kirk véc tơ và định lí Takahashi véc tơ bằng một số ví dụ.
1 1 1
Cho X =[0,1] , Y = l∞, f ( x) =x +1, x + 2, ..., x +n, , ... và quan hệ thứ tự trong l∞
được cho bởi C = { y ∈ l∞ | yi ≥ 0, ∀i ∈ } . Nón C ⊂
Y là lồi, nhọn, đóng và có phần trong khác rỗng. Đặt k 0 = 1 , 1 ,..., 1 ,..., y =(0, 0,...) . Ta thấy ánh xạ f thoả mãn 8 16 2n
f ( X ) ∩ ( y − int C) =∅ và điều kiện (H).
Ta lấy ε = 1, x0 = 1 và ánh xạ f thoả mãn
f ( X ) ∩ ( f (x0 ) −ε
k
− int C) =∅.
Khi đó tồn tại x = 1 thoả mãn (i) và (iii) của định lí 2.1. Với Tx =−x2 + 2 ta có: 2 2 2 2 f (x) − f (Tx) −d (Tx, x)k 0 = −x −x + 2 −−x −x + 2 , −x −x + 2 −−x −x + 2 ,... ∈ C ( x +1)(−x2 + 3) 8 ( x + 2)(−x2 + 4) 16 Suy ra T có điểm bất động x = 1 .
Với u =[0,1) thoả mãn f ( X ) ∩ ( f (u) − C 0 ) ≠ { f (u)}
C
f (v) +d (u, v)k 0 ≤ f (u) .
Suy ra f có điểm cực tiểu yếu 1 , 1 , 1 ,...
và x = 1 là lời giải.
2 3 4
x C
C
0
0
0
2.6. Sự tƣơng đƣơng giữa nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ, định lí điểm bất động Caristi – Kirk véc tơ và định lí Takahashi véc tơ Định lí 2.5. [5]
Các định lí 2.2, định lí 2.3 và định lí 2.4 là tương đương với nhau.
Chứng minh Định lí 2.2 ⇒ định lí 2.3 (xem chứng minh định lí 2.3). Định lí 2.3 ⇒ định lí 2.4 Ta đặt: S = {y ∈X | x ≠ y, f ( y) +d ( y, x)k 0 ≤ f (x)} x Tx = Sx nếu {x ∈ X | f ( X ) ∩ ( f ( x) − C 0 ) = { f ( x)}} nếu {x ∈ X | f ( X ) ∩ ( f ( x) − C 0 ) ≠ { f ( x)}} Từ định nghĩa của Sx và Tx , ta có : x ∉Sx , Tx ≠ ∅ với mọi x ∈ X và T : X → 2X . Ta cũng có ∀x ∈X , ∃y ∈Tx sao cho f ( y) +d (x, y)k 0 ≤ f (x) . Do định lí 2.3, tồn tại x ∈X sao cho x ∈T x . Từ định nghĩa của T , ánh xạ f có điểm cực tiểu yếu.
Định lí 2.4 ⇒ định lí 2.2
Không mất tính tổng quát, ta giả thiết ε = 1 và đặt:
X 0 = {x ∈X | f (x) +d (x, x0 )k
≤C
f (x0 )}.
Vì x0 ∈ X 0 nên X 0 ≠ ∅. Hơn nữa, với điều kiện (H), tập X 0 là đóng và đầy đủ. Giả sử không tồn tại x ∈ X 0 thoả mãn (iii) của định lí 2.2 tức là
sao cho: ∀x ∈X thì ∃w ≠ x Ta có: f (w) + d ( x, w) ≤C f ( x) . d (w, x0 ) k 0 ≤x)C kd (w, 0 k+d (x, x0 )0 ≤≤C C f (x) − f (w) + f (x0 ) − f (x) f (x0 ) − f (w) . Do đó w ∈ X 0 , tức là f ( X ) ∩ ( f (x0 ) − C ) ≠ { f (x0 )} .
f ( X ) ∩ ( f (x) −C0 ) = { f (x)} .
Tuy nhiên,∃w ∈ X 0sao cho f (w) ≤C f ( x)đây là điều mâu thuẫn. Bằng cách tương
tự như định lí 2.2 ta
KẾT LUẬN
Nguyên lí biến phân Ekeland là một kết quả cổ điển có nhiều ứng dụng và cho đến gần đây vẫn được nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu. Trong luận văn này, chúng tôi đã tìm hiểu một số bài báo liên quan đến nguyên lí biến phân Ekeland và đã trình bày lại chúng một cách hệ thống cụ thể là:
Chương 1 của luận văn trình bày gồm nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, dạng hình học của nguyên lí (định lí Bishop - Phelps, định lí giọt nước, định lí cánh hoa), trình bày một cách chứng minh ngắn gọn nguyên lí trong không gian hữu hạn chiều, một số ứng dụng của nguyên lí (định lí điểm bất động Banach, định lí điểm bất động Caristi-Kirk, đạo hàm Gateaux).
Chương 2 gồm nguyên lí biến phân Ekeland mở rộng cho ánh xạ nhận giá trị véc tơ, định lí Caristi – Kirk véc tơ, định lí Takahashi véc tơ, một số ví dụ minh hoạ và sự tương đương của ba định lí này.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] M.J. Borwein and J. Z. Qiji, Techniques of Variational Analysis, Springer (2004).
[2] I. Ekeland, On the variational principle, J.Math.Anal. Appl . 47(1974) 324-354.
[3] I. Ekeland, The ε- variational principle revisited, Notes by S.
Tetracini. [4] J.P. Aubin and I. Ekeland, Applied Nonlinear Analysis, John Wiley,
New York (1984).
[5] Y. Araya, Ekeland’S variational principle and its equivalent
theorems in vecto optimization, J.Math.Anal.App. 346(2008), 9-16.
[6] J.P. Aubin, Optima Equilibria. An introduction to Nonlinear Analysis,
Springer-Verlag, Berlin, 1993.
[7] H. Brezis, F.E. Browder, A general principle on ordered sets in
nonlinear function analysis, Adv. Math. 21(1976), 355-364.
[8] J. Caristi, Fixed point theorems for mapping satisfying inwardness
conditions, Trans. Amer. Math. Soc. 215(1976), 241-251.
[9] A. Gopfert, H. Riahi, C. Tammer, C. Zalinescu, Variational Methods in
Partially Odered Spaces, Springer-Verlag, New York , 2003.
[10] A. Gopfert, C. Tammer, C. Zalinescu, On the vectorial Ekeland’s
variational principle and minimal point in product spaces, Nonlinear
Anal. 39(2000), 909-922.
[11] G. Isac, The Ekeland’s principle and Pareto ε - efficien, in:Multi- Objective Programming and Goal Programming: Theories and
Applications, in:Lecture Notes in Econom. and Math. System, Vol. 243,
Springer-Verlag, Berlin, 1986, 148-163.
[12] J. Jahn, Vecto Optimization: Theory, Applications, and Extentions,
[13] P. Loridan, ε- solutions in vecto minimization problems, J. Optim. Theory Appl. 43(1984), 265-276.
[14] R.R. Phelps, Convex Function, Monotone Operators and Differentiability,
Lecture Notes in Math, Vol. 1364, Springer-Verlag,Berlin, 1993.
[15] N. Mizoguchi, W. Takahashi, Fixed point theorems for multivalue
mappings on complete metric spaces, J. Math. Anal. Appl. 141(1989),
177-188.
[16] W. Takahashi, Existence theorms genneralizing fixed point theorems for
multivalue mappings, in: Fixed Point Theory and Applications,
Marseille, 1989, in:Pitman Res. Notes Math. Ser. Vol.252, Longman Sci. Tech. Harlow,1991, 397-406.
[17] C. Tammer, A generalization of Ekeland’s principle, Optimization
25(1992), 129-141.
[18] C. Tammer, A variational principle and a fixed point theorem, in:System Modelling and Optimization, Compiegne, 1993, in: Lecture Notes in
Contron and inform. Sci. vol. 197, Springer-Verlag, London, 1994, 248-257.