1.4. Một số ứng dụng của nguyên lí
1.4.2. Các định lí điểm bất động
Trong phần này, ta sẽ áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland để chứng minh định lí điểm bất động Banach, định lí điểm bất động Caristi-Kirk, định lí điểm bất động của ánh xạ co theo hướng.
1.4.2.1. Định lí điểm bất động Banach Định nghĩa 1.6
Cho ( X , d )
là không gian mêtric và ánh xạ φ : X → X . Chúng ta gọi φ là ánh xạ co nếu tồn tại k ∈ [0,1) sao cho:
d (φ(x),φ( y) ≤ kd (x, y) , ∀x, y ∈ X . Định lí 1.9. (Định lí điểm bất động Banach) [3]
Cho ( X , d )
là không gian mêtric đủ và ánh xạ φ : X → X là ánh xạ co. Khi đó tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ co φ .
Chứng minh
Giả sử φ là ánh xạ co với hệ số k ∈ [0,1) .Trước hết ta chứng minh rằng nếu φ có điểm bất động thì điểm bất động đó là duy nhất.
Thật vậy, giả sử có
Khi đó :
x1 ≠ x2 sao cho:
φ ( x1 ) = x1
và φ ( x2 ) = x2 .
d ( x1 , x2 ) = d (φ ( x1 ),φ ( x2 ) ≤ kd ( x1 , x2 ) . Do k ∈ [0,1)nên bất đẳng thức trên xảy ra khi x1 = x2 (mâu thuẫn).
Vậy điểm bất động của φ nếu có là duy nhất.
Xét hàm f (x) = d (x,φ(x)) , từ định nghĩa của hàm f ta suy ra
x ∈ X , nên f là hàm bị chặn dưới trên X .
f (x) ≥ 0 với mọi
Ta sẽ chứng minh f là hàm liên tục trên X . Thật vậy, dựa vào đánh giá:
d ( x,φ ( x)) − d ( y,φ ( y)) ≤ d ( x,φ( x)) − d ( x, φ( y)) + d ( x, φ( y)) − d ( y, φ( y))
≤ d (φ(x),φ( y) + d (x, y) ≤ (k +1)d (x, y)
ta suy ra f là hàm liên tục trên X .
Áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland cho hàm f (x) = d (x,φ(x))với ε ∈ (0,1 − k ) ta tìm được x∗ ∈ X sao cho:
f ( x) + ε d ( x, x∗ ) ≥ f ( x∗ ) , ∀x ∈
X
. (1.6)
Do φ ( x∗ ) ∈ X
nên thay x = φ ( x∗ )
trong (1.6) ta có :
d ( x∗ ,φ ( x∗ )) ≤ d (φ ( x∗ ),φ 2 ( x∗ )) +ε d ( x∗ ,φ ( x∗ )) ≤ (k +ε )d ( x∗ ,φ ( x∗ )) . Kết hợp với k + ε ∈ (0,1) , ta
có
d ( x∗ ,φ ( x∗ )) = 0
hay φ ( x∗ ) = x∗ . Vậy x∗ chính là điểm bất động của ánh xạ φ .
1.4.2.2. Điểm bất động của ánh xạ co theo hướng
Trong định lí điểm bất động Banach, ta có thể thay ánh xạ co bởi điều kiện yếu hơn là ánh xạ co theo hướng.
Cho ( X , d )
x và y là:
là không gian mêtric. Xét x, y ∈ X , ta định nghĩa đoạn thẳng giữa
[ x, y] = {z ∈ X | d ( x, z) + d (z, y) = d (x, y)} .
Định nghĩa 1.7 . [1]
Cho ( X , d )
là không gian mêtric và ánh xạ φ : X → X .
Chúng ta gọi φ là ánh xạ co theo hướng nếu φ thoả mãn các điều kiện sau:
(i) φ là ánh xạ liên tục.
(ii)Tồn tại k ∈ (0,1)sao cho với bất kì x ∈ X mà φ(x) ≠ x
tồn tại z ∈[ x,φ ( x)] \ {x}
thoả mãn:
d (φ(x),φ(z)) ≤ kd (x, z)
.
Ví dụ 1.3
Trên X = 2 ta định nghĩa x = ( x , x ) = x +
x . Đoạn thẳng giữa hai điểm
(a1 , a2 ) và (b1 , b2 )
1 2 1 2
là hình chữ nhật có các cạnh song song với hai trục toạ độ và nhận hai điểm này là hai đỉnh đối diện nhau.
Xét ánh xạ:
φ ( x , x ) = 3x1
−x2
x , + x2
1 2 2 3 1 3
khi đó φ là ánh xạ co theo hướng. Thật vậy, khi y = φ(x) ≠ x với x = ( x1 , x2 ) ,
y = ( y1 , y2 ) . Giả sử y
2 ≠ x2 , ta chọn trên đoạn [ x, y ]
điểm z = ( x1 , t )
với t gần x2 nhưng không bằng x2 . Với những điểm như thế ta có:
d (φ ( x , t),φ ( x , x )) =2
d (( x , t), ( x , x )) .
1 1 2
3 1 1 2
Điểm bất động của φ là tất cả những điểm có dạng x, 3x . Vì điểm bất động
2
của φ là không duy nhất nên định lí điểm bất động Banach không áp dụng được cho ánh xạ này. Tuy vậy, định lí sau chỉ ra sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ co theo hướng.
Định lí 1.10. [1]
Cho ( X , d )
là không gian mêtric đủ và ánh xạ φ : X → X là ánh xạ co theo hướng. Khi đó φ có điểm bất động.
Chứng minh
Giả sử φ là ánh xạ co theo hướng với hệ số k ∈ (0,1). Xét f (x) = d (x,φ(x)) . Do hàm khoảng cách và hàm φ là liên tục nên f là liên tục. Hơn nữa f bị chặn dưới bởi 0. Áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland cho hàm f với ε ∈ (0,1 − k ) ta tìm được y ∈ X sao cho:
f ( y) ≤ f (x) + ε d (x, y)
, ∀x ∈ X
(1.7) Ta chứng minh φ( y) = y . Thật vậy, nếuφ( y) ≠ y , do φ là ánh xạ co theo hướng nên ta tìm được z ≠ y mà z ∈[y,φ ( y)] , tức là:
thoả mãn
d ( y, z) + d (z,φ( y)) = d ( y,φ( y)) = f ( y)
(1.8)
Thay x = z
d (φ( y),φ(z)) ≤ kd ( y, z)
trong (1.7) và kết hợp với (1.8) ta có
. (1.9)
hay
d ( y, z) + d (z,φ( y)) ≤ d (z,φ(z)) + ε d (z, y)
d ( y, z) ≤ d (z,φ(z)) − d (z,φ( y)) + ε d (z, y) . (1.10) Sử dụng bất đẳng thức tam giác kết hợp với (1.9) ta có
d (z,φ(z)) − d (z,φ( y)) ≤ d (φ( y),φ(z)) ≤ kd ( y, z)
Kết hợp (1.10) và (1.11) ta được
d ( y, z) ≤ (k + ε )d ( y, z) .
. (1.11)
Do k + ε ∈ (0,1) , ta suy ra
d ( y, z) = 0 dẫn đến y = z
(mâu thuẫn).
Ta có điều phải chứng minh.
1.4.2.3. Định lí điểm bất động Caristi-Kirk Định lí 1.11. [1]
Cho ( X , d )
là không gian mêtric đủ và hàm f : X → ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới, f ≠ +∞ . Cho ánh xạ đa trị
và giá trị khác rỗng thoả mãn :
F : X → 2X với đồ thị đóng
f ( y) ≤ f (x) − d (x, y) , ∀(x, y) ∈ graphF . Khi đó tồn tại y∗ ∈ X
Chứng minh
sao cho y∗ ∈ F ( y∗ ) . Định nghĩa khoảng cỏch ρ trờn X ì X bởi:
ρ (( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )) = d ( x1 , x2 ) + d ( y1 , y2 )
với ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ∈ X ì X . Khi đú ( X ì X ,
ρ)
là không gian mêtric đủ.
Chọn ε ∈ (0, 1
2) và xét hàm g : X → ∪ {+∞} cho bởi
g(x, y) = f (x) − (1− ε )d (x, y) + lgraphF (x, y)
.
Khi đó g là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland cho hàm g ta tìm được ( x∗ , y∗ ) ∈
graphF
sao cho
g ( x∗ , y∗ ) ≤ g ( x, y) + ερ (( x, y), ( x∗ , y∗ ))
Do đó với mọi (x, y) ∈ graphF , ta có
với mọi (x, y) ∈ X ì X .
f ( x∗ ) − (1− ε )d (x∗ , y∗ )
≤ f (x) − (1− ε )d (x , y ) + ε (d (x , x∗ )+ d ( y , y∗ )). (1.12) Giả sử z∗ ∈ F ( y∗ ) , thay ( x, y) = ( y∗ ,
z∗ )
trong (1.12) ta có:
f ( x∗ ) − (1 − ε )d ( x∗ , y∗ ) ≤ f ( y∗ ) − (1 − ε )d ( y∗ , z∗ ) + ε (d ( y∗ , x∗ ) + d ( z∗ , y∗ )) . Kết hợp với giả thiết về hàm F ta thu được:
0 ≤ d ( x∗ , y∗ )
≤ f ( x∗ ) − f ( y∗ ) − d ( x∗ , y∗ ) ≤ −(1 − 2ε )d ( z∗ , y∗ )
suy ra d ( z∗ , y∗ ) = 0 hay y∗ = z∗ . Vậyy∗ ∈ F ( y∗ ) .
Nhận xét 1.3
Từ chứng minh trên ta thấy F ( y∗ ) = { y∗} .
∗
∗
∗