Chương 2. Nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ 25
2.3. Định lí điểm bất động Caristi véc tơ
Cho ( X , d )
là không gian mêtric đủ và hàm f : X → ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới, f ≠ +∞ . Cho ánh xạ đa trị
và giá trị khác rỗng thoả mãn :
F : X → 2X với đồ thị đóng
f ( y) ≤ f (x) − d (x, y) , ∀(x, y) ∈ graphF . Khi đó tồn tại y∗ ∈ X
Chứng minh
sao cho y∗ ∈ F ( y∗ ) . Định nghĩa khoảng cỏch ρ trờn X ì X bởi:
ρ (( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )) = d ( x1 , x2 ) + d ( y1 , y2 )
với ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ∈ X ì X . Khi đú ( X ì X ,
ρ)
là không gian mêtric đủ.
Chọn ε ∈ (0, 1
2) và xét hàm g : X → ∪ {+∞} cho bởi
g(x, y) = f (x) − (1− ε )d (x, y) + lgraphF (x, y)
.
Khi đó g là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland cho hàm g ta tìm được ( x∗ , y∗ ) ∈
graphF
sao cho
g ( x∗ , y∗ ) ≤ g ( x, y) + ερ (( x, y), ( x∗ , y∗ ))
Do đó với mọi (x, y) ∈ graphF , ta có
với mọi (x, y) ∈ X ì X .
f ( x∗ ) − (1− ε )d (x∗ , y∗ )
≤ f (x) − (1− ε )d (x , y ) + ε (d (x , x∗ )+ d ( y , y∗ )). (1.12) Giả sử z∗ ∈ F ( y∗ ) , thay ( x, y) = ( y∗ ,
z∗ )
trong (1.12) ta có:
f ( x∗ ) − (1 − ε )d ( x∗ , y∗ ) ≤ f ( y∗ ) − (1 − ε )d ( y∗ , z∗ ) + ε (d ( y∗ , x∗ ) + d ( z∗ , y∗ )) . Kết hợp với giả thiết về hàm F ta thu được:
0 ≤ d ( x∗ , y∗ )
≤ f ( x∗ ) − f ( y∗ ) − d ( x∗ , y∗ ) ≤ −(1 − 2ε )d ( z∗ , y∗ )
suy ra d ( z∗ , y∗ ) = 0 hay y∗ = z∗ . Vậyy∗ ∈ F ( y∗ ) .
Nhận xét 1.3
Từ chứng minh trên ta thấy F ( y∗ ) = { y∗} .
∗
∗
∗
1.4.3. Đạo hàm tại điểm xấp xỉ cực tiểu
Ta đã biết nếu hàm f : U → ∪ {+∞}với tập mở U ⊂ , là khả vi trên U
và f đạt cực trị tại c ∈U , khi đó ta luôn có f ′(c) = 0 , đó là kết quả của định lí Fermat. Vấn đề đặt ra ở đây là: với những hàm không có điểm cực trị thì sao?
Liệu có thể đánh giá được đạo hàm tại những điểm ε -xấp xỉ cực tiểu không?
Liệu có thể làm nhỏ đạo hàm tại những điểm ε -xấp xỉ cực tiểu một cách tuỳ ý không? Định lí sau sẽ trả lời cho chúng ta những câu hỏi đó.
Trước hết ta nhắc lại một số khái niệm.
Định nghĩa 1.8. [4]
Cho X là không gian Banach và X ∗ là không gian đối ngẫu của X , hàm
f : X → được gọi là khả vi Gateaux tại x0 ∈ X nếu tồn tại phiếm hàm tuyến tính f ′(x0 ) ∈ X thoả mãn:
lim f ( x0 + tv) − f ( x0 )
= f ′(x )(v)
,
∀v ∈ X
t →0 t 0
Hàm f được gọi là khả vi Gateaux trên X nếu như f khả vi Gateaux tại mọi điểm x ∈ X .
Định nghĩa 1.9. [4]
Cho X là không gian Banach và X ∗ là không gian đối ngẫu của X , hàm
f : X → được gọi là khả vi Frechet tại x0 ∈ X nếu tồn tại phiếm hàm tuyến tính f ′(x0 ) ∈ X thoả mãn:
lim f ( x0 + v) − f ( x0 ) − f ′( x0 )(v)
= 0 , ∀v ∈ X .
v→0 v
Hàm f được gọi là khả vi Frechet trên X nếu như f khả vi Frechet tại mọi điểm x ∈ X .
Ánh xạ tuyến tính f ′(x0 ) ∈ X được gọi là đạo hàm của f tại x0 .
∗
∗
Nhận xét 1.4
Ta dễ dàng chứng minh được rằng nếu f khả vi Frechet trên X thì f cũng khả vi Gateaux trên X .
Định lí 1.12. [2]
Cho X là không gian Banach và hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới
f : X → là khả vi Gateaux trên X . Giả sử với ε > 0 ta có
inf X f > f ( xε) − ε . Khi đó với bất kì λ > 0 tồn tại x ∈ B( xε,
λ)
mà đạo hàm Gateaux thoả mãn:
f ′( x∗ ) ≤ ε λ .
Điểm x∗ thoả mãn kết luận của định lí gọi là điểm xấp xỉ tới hạn.
Chứng minh
Áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland cho hàm f ta tìm đượcx ∈ B( xε , λ) thoả mãn:
f ( x) ≥ f ( x∗ ) − ε λ
x − x∗ , ∀x ∈ X . (1.13)
Thay x = x∗ + tv
Do đó
( v ∈ X , t ∈ ) vào (1.13) ta có:
f (x∗ + tv) ≥ f ( x∗ ) − ε λ
tv .
f ( x∗ + tv) − f ( x∗ ) ε v
≥ − ,
t λ
∀v ∈ X . (1.14)
Vì f khả vi Gateaux nên cho t → 0− trong (1.14) ta có
f ′(x∗ )(v) = lim f (x∗ + tv) − f (x∗ ) ≤ε v . (1.15)
ch o
t → 0+
trong (1.14) ta có
t →0− t
λ
f ′(x∗ )(v) = lim f (x∗ + tv) − f (x∗ ) ≥− ε v . (1.16)
t →0+ t λ
Kết hợp (1.15) và (1.16) ta được:
−ε
v ≤ f ′( x∗ )(v) ≤ε
v , ∀v ∈ X . Vậy f ′( x∗)
λ λ
≤ ε
. λ
Như vậy, có thể nói chuẩn của đạo hàm tại những điểm ε - xấp xỉ cực tiểu có thể làm bé tuỳ ý theo ε .
Chương 2 NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND VÉC TƠ
Trong những năm gần đây có rất nhiều nghiên cứu tổng quát nguyên lí biến phân Ekeland và những kết quả cổ điển liên quan tới nguyên lí này như:
định lí điểm bất động Caristi – Kirk, định lí Takahashi về tồn tại điểm cực tiểu cho các hàm nhận giá trị trong không gian hữu hạn chiều và vô hạn chiều (Loridan [13], Isac [11], Gopfert, Tammer, Zalinescu [9,10,17] và nhiều người khác). Tammer [18] giới thiệu định lí điểm bất động Caristi – Kirk véc tơ và định lí Takahashi véc tơ nhưng không chỉ ra sự liên hệ giữa ba định lí.
Trong chương này, chúng tôi trình bày một cách chứng minh đơn giản của J.P.Aubin nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ[6]. Từ định lí này ta suy ra định lí điểm bất động Caristi-Kirk véc tơ và định lí Takahashi véc tơ. Tiếp theo chúng tôi trình bày điều kiện đủ để có điểm cực tiểu yếu, giới thiệu vài ví dụ minh hoạ các định lí và ở phần cuối cùng là chứng minh sự tương đương của nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ, định lí điểm bất động Caristi – Kirk véc tơ và định lí Takahashi véc tơ.
Định nghĩa 2.1
2.1.Một số kiến thức chuẩn bị
Cho Y là không gian Banach và C ⊂ Y là tập khác rỗng.
Ta kí hiệu:
int C và cl C là phần trong và bao đóng của C . Ta nói tập C là một nón nếuλC ⊆ C , ∀λ ∈ [0, +∞ ).
Có thể chứng minh rằng nón C là nón lồi nếu C + C ⊆ C
Nón lồi C được gọi là nón nhọn nếuC ∩ (−C) = {0}.
Cho một nón nhọn C ⊂ Y , ta xác định một quan hệ thứ tự ≤C trong Y như sau
+
x ≤C y khi và chỉ khi y − x ∈C .
Quan hệ thứ tự này phù hợp với cấu trúc véc tơ trong Y , tức là
ta có
∀x ∈Y và y ∈Y
(i) x ≤C y ⇒ x + z ≤C y + z , ∀z ∈ Y . (ii) x ≤C y ⇒ α x ≤C α y , ∀α ≥ 0 . Ta viết x ≤C y khi y − x ∉C , kí hiệuC 0 = int C ∪{0} . Cho f : X → Y là một ánh xạ, kí hiệu: f ( X ) = { f ( x)} .
x∈X
Định nghĩa 2.2
Cho Y là không gian Banach và C ⊂ Y là tập khác rỗng. Ta gọi:
(i) a ∈ Alà điểm cực tiểu (điểm hữu hiệu Pareto) của A nếuA ∩ (a − C) = {a} . (ii) a ∈ A
Kí hiệu:
là điểm cực tiểu yếu của A nếu A ∩ (a − C 0 ) = {a} .
Min( A;
C) là tập hợp tất cả các điểm cực tiểu của A tương ứng tới C WMin( A;C) là tập hợp tất cả các điểm cực tiểu yếu của A tương ứng tới
Ta có:
C 0 .
Min( A; C) ⊂ WMin( A; C)
.
Ví dụ 2.1
Cho Y = 2 , nón C = 2 , tập A là hình tròn tâm O (0, 0) bán kính bằng 1 hợp với hình vuông DFEO trong đó D( 0, −1), F(1, −1), F(1, 0 ),B(-1,0).
Khi đó Min( A; C) là cung tròn nhỏ
BD
còn
WMin( A;C) là cung tròn nhỏ BD
hợp với đoạn thẳng DF.
0
C ,k 0
0
0
0
Tammer và Weider [5] đã phát biểu về một hàm phi tuyến có nhiều tính chất tốt sẽ được dùng trong chứng minh nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ như sau:
Cho Y là không gian Banach, C ⊂ Y là một nón nhọn, lồi, đóng có phần trong khác rỗng và cho k 0 ∈int C , định nghĩa hàm
số
hC ,k : Y → [−∞, +∞] như sau
h ( y) = inf{t ∈ | y ∈ tk 0 − C} .
Bổ đề 2.1. [9,10]
Khi đó hàm hC ,k 0 thoả mãn các tính chất sau đây:
(i) h 0 nhận giá trị hữu hạn.
(ii)
C ,k
hC ,k 0 là hàm liên tục
(iii) h 0 là dưới tuyến tính.
(iv)
C ,k
h 0 là C - đơn điệu ( y1 ≤C y2 thì h 0 ( y1 ) ≤
h 0 ( y2 ) ).
C ,k C ,k C ,k
(v) h 0 là đơn điệu ngặt ( y2 − y1 ∈ int
C thì h 0 ( y1 ) <
h 0 ( y2 ) ).
C ,k
(vi) {y ∈Y | h 0 ( y) ≤ t} = tk− C .
C ,k C ,k
C ,k
(vii) {y ∈Y | h 0 ( y) < t} =
tk − int C .
(viii) h
C ,k
0 ( y +λk) = h 0 ( y) +λ , ∀y
∈Y và λ∈ .
C ,k C ,k
Bổ đề 2.2. [9]
Cho Y là không gian Banach, C ⊂ Y là nón nhọn, lồi, đóng, có phần trong khác rỗng, k 0 ∈int Cvà A ⊂ Y là một tập khác rỗng thoả mãn A ∩ (− int C) = ∅
khi đó hàm hC ,k 0 là hàm giá trị hữu hạn liên tục thoả mãn:
h − y < ≤ h x
với mọi x ∈ A
, y ∈int C .
C ,k 0 ( ) 0
C ,k 0 ( )
C 0
C
Định lí 2.1. (Định lí Takahashi cổ điển) Cho (X , d
)
là không gian mêtric đủ và hàm f : X → ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. khi đó với mỗi u ∈ X và inf x∈X f ( x)
<
f (u) tồn tại v ∈ X
sao cho v ≠ u và f (v) + d (u, v) ≤ f (u)
thì:
∃x0 ∈ X sao cho f ( x0 ) = inf x∈X f ( x) .
Định lí 2.2.[5]
2.2. Nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ
Cho ( X , d )
là không gian mêtric đủ, Y là không gian Banach và C ⊂ Y là nón nhọn, lồi, đóng, có phần trong khác rỗng, k 0 ∈int C và cho ánh
xạ
f : X → Y . Giả sử rằng ∀ε > 0 tồn tại một điểm x0 ∈ X sao cho
f ( X ) ∩ ( f (x0 ) − ε k
và f thoả mãn điều kiện (H) sau
− int C) = ∅
(H):Tập {x′ ∈ X | f (x′) + d (x′, x)k 0
≤ f (x)} là đóng ∀x ∈ X .
Khi đó ∃x ∈ X sao cho
(i) f ( x) ≤int C f ( x0 ).
(ii) (iii)
d ( x0 , x) ≤ 1.
f (x) + ε d (x, x)k 0
≤ f ( x) ,∀x ≠ x .
Chứng minh
Không mất tính tổng quát ta giả thiếtε = 1.
Trước hết ta nhận thấy rằng ∀x ∈ X ,
h 0 f bị chặn dưới trên X . Theo bổ đề 2.2 ta có :
C ,k
hC ,k 0 −( ) 0 y < ≤ h C ,k 0 ( ( ) f x − f x( 0 ) + k 0), ∀x ∈ X , y ∈int C . Sử dụng (iii) và (vi) của bổ đề 2.1 ta có :
C
C
C
C
n
−∞< hC ,k 0 ( )− y − h − f x − < h f x
C ,k 0 ( ( 0 )) 1
C ,k 0 ( ( )).
Định nghĩa ánh xạ đa trị F : X → 2X như sau
F (x) = {y ∈ X | f ( y) + d (x, y)k 0
≤ f (x)}.
Với điều kiện (H), tập F (x)là đóng đối với mỗi x ∈
X
và F có các tính chất:
(a) x ∈ F(x) (tính phản xạ).
(b) Nếu y ∈ F
(x)
thì F( y) ⊂ F(x) (tính bắc cầu).
Dễ thấy rằng (a) đúng vì F ( x) = { y ∈ X | f ( x)
≤C
f ( x)} , nên x ∈ F(x) . Để chứng minh tính chất (b) , ta lấy y ∈ F
(x)
và giả sử rằng z ∈ F( y). Khi đó
f (z) + d ( y, z)k 0
≤ f ( y) và f ( y) + d (x, y)k 0
≤
f (x)
do tính tương ứng của quan hệ thứ tự ≤C với cấu trúc véc tơ.
Từ bất đẳng thức tam giác đối với mêtric trong X vàk 0 ∈int C , ta có
f (z) + d (x, z)k 0
≤ f (x) suy ra z ∈ F(x) .
Tiếp theo sử dụng tính chất (iv) và (viii) trong bổ đề 2.1, ta có và suy ra
y ∈ F (x)
h f y + d x y ≤ h f x . Do đó
C ,k 0 ( ( )) ( , )
C ,k 0 ( ( ))
≤ h f x − ∈ h f z , ∀y ∈ F (x) .
d ( x, y) C ,k 0 ( ( )) inf z F ( x ) C ,k 0 ( ( ))
Như vậy, đường kính của tập F (x)bị chặn trên
(A) DiamF (x) ≤ 2 (h C ,k 0 ( f ( x)) − inf z∈F ( x ) C ,k h 0 ( f ( z))) .
Với mỗi n = 1, 2,..., theo định nghĩa infimum,
∃xn +1 ∈ F ( xn )
sao cho:
h f x ≤ h f z + −n .
n
C ,k 0 ( ( n+1 )) infz∈F ( x )
C ,k 0 ( ( )) 2
Từ F ( xn +1 ) ⊂ F ( xn )
ta có
h f z ≤ h f z .
inf z∈F ( x )
Mặt khác, từ bất đẳng thức
C ,k 0 ( ( )) inf z∈F ( x
n+1 ) C ,k 0 ( ( ))
n+1
0 0
0
− n
0
0
0
∈ h f z ≤ h f y
ta có
inf z F ( y ) C ,k 0 ( (
)) C ,k
0 ( ( ))
≤ h f x − h f z ≤ −n 0 C ,k 0 ( ( n+1 )) infz∈F ( x ) C ,k 0 ( ( )) 2
do đó DiamF (x 1 ) ≤ 2.2 . Công thức (A) chỉ ra rằng đường kính của tập đóng
F ( xn )
n+
hội tụ đến 0. Theo bổ đề Canto tồn tại x ∈ X
sao cho
vì x ∈ F ( x0 )
nên ta có
∞ F ( xn ) = {x}
n=0
f ( x) + d ( x, x0 )k
≤C f ( x0 ). (2.1)
Do đó f ( x ) − f ( x) ∈ C + d ( x, x )k 0 ⊂ int C . Điều này cho thấy (i) đúng.
Tiếp theo, vì đúng.
x ∈ F ( xn ) ,
∀n
nên ta có F ( x) ⊂ F ( xn )
suy ra F (x) = {x}
vậy (iii)
Để chứng minh (ii), giả sử rằng theo điều kiện (2.1) ta có:
d ( x0 , x) >
1 khi đó (d (x, x0 ) −1)
k
+ C ⊂ int C ,
f ( x) ∈ f ( x0 ) − d ( x, x0 )k
0 − C ⊂ f ( x ) − k
0
− int C
đây là mâu thuẫn. Vậy Chú ý 2.1
d ( x0 , x) ≤ 1.
Cho Y = , C= + = [0, +∞ ) ,
k
= 1∈ + \ {0} trong định lí 2.2 ta thu được định lí 1.1 (nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển với λ = 1 ).
2.3. Định lí điểm bất động Caristi-Kirk véc tơ
Định lí 2.3.[5]
Cho ( X , d ) là
không gian mêtric đủ, Y là không gian Banach và C ⊂ Y
là nón nhọn, lồi, đóng, có phần trong khác rỗng, k 0 ∈int C , ánh
xạ
f : X → Y là hàm véc tơ. Cho T : X → 2X là ánh xạ đa trị sao cho ∀x ∈ X ta có Tx ≠ ∅ .
C
C
0 0
0
Giả sử f thoả mãn điều kiện (H) và ∃y
∈Y
sao cho:
f ( X ) ∩ ( y − int C) =
∅
Hơn nữa, giả thiết hàm f thoả mãn điều kiện (C) sau:
(C): ∀x ∈ X tồn tại y ∈Tx sao cho f ( y) + d (x, y)k 0
≤
f (x) . Khi đó T có điểm bất động trong X tức là ∃x ∈ X để x ∈T x . Hơn nữa, nếu f thoả mãn điều kiện (C’) sau
(C’): ∀x ∈ X , ∀y
∈Tx
thì f ( y) + d (x, y)k 0
≤
f (x)
thì T có điểm tới hạn trong X , tức là:
∃x ∈ X để T x = {x}.
Chứng minh Vì y
∈Y
sao cho:
thoả mãn rằng f ( X ) ∩ ( y − int C) = ∅ , ta có thể chọn
x0 ∈ X và 0 < ε < 1
f ( X ) ∩ ( f (x0 ) − ε k
− int C) = ∅ . (2.2)
Thật vậy, ta đặt: α = inf x∈X
h 0 ( f ( x) −
y) và α≥ 0 .
C ,k
Trong trường hợp α < 1, ta lấy ε sao cho α < ε < 1 và tìm
x0 ∈ X và t0 < ε
sao cho f ( x ) − y ∈ t k 0 − C , do đó ta có (2.2).
Trong trường hợp α≥ 1, đặty =y +
α−1 k 0 . Ta thấy rằng:
3 f ( X ) ∩ ( y − int C) =∅ 2
và 0 ≤ inf ∈ h 0 ( f ( x) − y) < .
x X C ,k 3
Tư ơng tự, ta có thể tìm
C
tồn tại x ∈ X sao cho:. x0 ∈ X và 0 < ε < 1 thoả mãn (2.2). Theo định lí 2.2,
f ( y) + d ( x, y)k 0
≤ f ( x) , ∀y ∈ X \ {x} . (2.3)
C
Mặt khác, theo điều kiện (C) ∃y ∈ X sao cho y ∈T x và f ( y) + d (x, y)k 0 ≤C f (x) . Từ (2.3) ta có x = y . Suy ra T có ít nhất 1 điểm bất động. Hơn nữa, ∀y ∈T x
đều trùng với x do đó T có điểm tới hạn.
Chú ý 2.2
Cho Y = , C= + = [0, +∞ ), k 0= 1∈ + \ {0} trong định lí 2.3 ta thu được định lí 1.11 (định lí điểm bất động Caristi – Kirk cổ điển).
Định lí 2.4. [5]