Biến đổi laplace và một số ứng dụng

Trờng đại học Vinh Khoa Toán === o0o === Cao Thị Thuỷ biến đổi laplace và một số ứng dụng khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân khoa học toán Vinh - 2006 1 Mục lục Trang Lời nói đầu 2 Đ0. Kiến thức chuẩn bị 3 Đ1. Biến đổi Laplace 7 Đ2. Biến đổi Laplace ngợc 22 Đ3. Một số ứng dụng của ứng dụng đổi Laplace 27 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 2 Lời nói đầu Phơng trình vi phân, phơng trình tích phân là một trong những nội dung nghiên cứu của bộ muôn toán giải tích, đặc biệt trong các phơng trình toán - lý. Khi giải các phơng trình vi phân, phơng trình tích phân ngời ta thờng vận dụng các phép biến đổi Fourier, Laplace . Tuy nhiên, trong chơng trình chính khoá của ngành đào tạo cử nhân khoa học phép biến đổi này cha có điều kiện nghiên cứu. Do đó, mục đích của luận văn này muốn đi sâu, tìm tòi, nghiên cứu phép biến đổi Laplace và một số ứng dụng của nó. Với mục đích đó luận văn đợc chia làm 4 phần nh sau Đ0. Kiến thức chuẩn bị. Đợc trình bày các khái niệm và các kết quả cần dùng về sau. Đ1. Biến đối Laplace. ở phần này chúng tôi trình bày khái niệm, đi sâu nghiên cứu các tính chất của biến đổi Laplace. Đ2. Biến đổi Laplace ngợc. Đợc trình bày một số công thức tìm hàm gốc khi biết ảnh của nó. Đ3, Một số ứng dụng của biến đổi Laplace. Trong phần này chúng tôi đa ra phơng pháp giải và một số bài tập ứng dụng của biến đổi Laplace để giải ph- ơng trình, hệ phơng trình vi phân tích phân tuyến tính. Vì kiến thức và thời gian còn hạn chế nên không thể tránh khỏi những sai sót về nội dung và hình thức. Tác giả rất mong đợc sự góp ý, chỉ bảo của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên. Khoá luận đợc hoàn thành tại khoa Toán, trờng Đại học Vinh. Nhân dịp này, cho phép tôi gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Th.S. Trần Văn Tự - Ngời thầy trực tiếp hớng dẫn, giúp đỡ tác giả trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khoá luận này. Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa toán, các thầy giáo, cô giáo trong khoa, đặc biệt là trong tổ giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và làm việc tại tr- ơng. Vinh, tháng 5 năm 2006 Tác giả 3 Đ0. Kiến thức chuẩn bị 0.1. Định nghĩa, tính chất của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 0.1.1. Định nghĩa. Cho hàm số f: [a, +) ì A , trong đó A . Giả sử rằng với mỗi A, tích phân a f(x, ) + dx tồn tại, nghĩa là tồn tại giới hạn lim B a dxxf ),( Khi đó, tích phân a f(x, ) + dx là một hàm số của tham số xác định trên A và ta viết I() = a f(x, ) + dx. (0.1) Tích phân ở vế phải của (0.1) đợc gọi là tích phân phụ thuộc tham số với cận là +. 0.1.2. Định nghĩa. Ta nói rằng, tích phân a f(x, ) + dx hội tụ đều trên tập hợp A nếu với mỗi số > 0 bé tuỳ ý, tồn tại B 0 > a sao cho với mọi B > B 0 và với mọi A ta đều có B f(x, )dx + < . 0.1.3. Tiêu chuẩn Côsi. Giả sử hàm số f: [a, + ) ì [c, d] với mỗi [c, d] hàm f: x a f(x) khả tích trên mọi đoạn [a, b] với b > a, khi đó tích phân I( ) = a f(x, ) + dx 4 B+ hội tụ đều trên [c, d] nếu và chỉ nếu với một số > 0 cho trớc, tồn tại một số thực b 0 a sao cho từ b' b b 0 suy ra b' b f(x, )dx < , với mọi [c, d]. 0.1.4. Dấu hiệu Vâyơxtrat. Giả sử cho hàm f: [a, + ) ì [c, d] với mỗi [c, d], hàm khả tích trên mọi đoạn [a, b], b a. Nếu tồn tại một hàm số : x a (x) xác định trên [a, + ) sao cho tích phân a (x) + dx hội tụ và f (x, ) (x), (x, ) R. Thì tích phân I( ) = a f(x, ) + dx hội tụ đều trên [c, d]. 0.1.5.Định lý ( Tính liên tục). Nếu hàm f: [a, + ) ì [c, d] liên tục và a f(x, ) + dx hội tụ đều trên [c, d] thì hàm số I( ) = a f(x, ) + dx liên tục trên [c, d]. 0.1.6. Định lý (Tính khả vi).Giả sử f: [a, + ) ì [c, d] là hàm liên tục và có đạo hàm riêng f' , hơn nữa f' : [a, + ) ì [c, d] cũng liên tục. Nếu tích phân a f(x, ) + dx hội tụ với [c, d] và ' a f (x, ) + dx hội tụ đều trên [c, d] thì hàm I( ) = a f(x, ) + dx khả vi trên (c, d) và ta có I'( ) = ' a f (x, ) + dx . 0.2. Tích phân ơle loại II - Hàm GAMA 0.2.1. Định nghĩa. Tích phân ơle loại II là tích phân có dạng 5 (a) = a 1 x 0 x .e dx + với a > 0. (0.2) Tích phân (0.2) là hàm số của tham số a và đợc gọi là hàm Gama. 0.2.2. Định lý (n+1) = n x 0 x .e dx + = n! 0.3. Vài kết quả khác 0.3.1. Định lý (Định lý hội tụ bị chặn của Lesbesgue) Cho (f n ) là một dãy các hàm thực (hoặc phức) khả tích trên . Giả sử (a) f n (x) f(x) hầu hết khắp nơi trên ; (b) Tồn tại hàm g khả tích sao cho với mỗi n, f(x) g(x) hầu hết khắp nơi trên . Khi đó, f khả tích và n n 1 f f f (x) f(x) dx 0 khin = . 0.3.2. Định nghĩa.Cho hai hàm số f và g xác định trên N thì hàm số f *g xác định bởi (f * g) (x) = N f(x y)g(y).dy Ă đợc gọi là tích chập của f và g. 0.3.3. Định lý. Giả sử f L 1 ( N ), g L P ( N ), với 1 P . Khi đó, với mỗi x N , hàm số y a f(x - y) g(y) khả tích trên N và f * g L P ( N ). Hơn nữa p 1 p f*g f . g . 0.3.4. Định nghĩa. Cho f L 1 ( N ) hàm f xác định bởi + = dtetff ti ).( 2 1 )( đợc gọi là biến đổi Fourier của f. 0.3.4. Định lý. Nếu f thoả mãn điều kiện Đirichlet trên mọi khoảng mở hữu hạn và f liên tục tại x thì ta có 6 + = dxefxf xi ).( 2 1 )( . Tích phân này đợc hiểu theo nghĩa giá trị chính. 0.3.5. Định lý (Stone - Weierstrass). Cho một hàm số f liên tục trên đoạn đóng bị chậm [a.b] thì có một dãy đa thức hội tụ đều trên [a.b] về f. 0.3.6. Định lý (Weierstrass). Giả sử với mỗi n , f n là một hàm phức giải tích trên miền n , sao cho dãy (f n ) hội tụ từng điểm trên miền n , sao cho dãy (f n ) hội tụ từng điểm trên miền về một hàm f và hội tụ đều trên mỗi tập con compact của . Khi đó f giải tích trên . Hơn nữa f n hội tụ đều tới f trên mỗi tập con compact của . 7 Đ1. Biến đổi LapLace 1.1. Định nghĩa. Cho hàm số f thoả mãn các tính chất sau: (i) f đo đợc trên (0; +). (ii) f tăng không nhanh hơn một hàm mũ khi t , nghĩa là tồn tại > 0 ,tồn tại M > 0 sao cho f(t) M . e t ,t > 0 Hàm f có các tính chất (i) - (ii) đợc gọi là hàm gốc; số 0 = inf { : thoả mãn (ii) } đợc gọi là chỉ số tăng (hay hoành độ khả tổng) của f. 1.2. Định nghĩa. Giả sử f là hàm gốc với chỉ số tăng 0 . Hàm phức biến phức F xác định bởi F(p) = pt 0 e f(t)dt , xác định trên miền Rep > 0 , đợc gọi là biến đổi Laplace của f và ký hiệu là F = (f) 1.3. Các ví dụ Ví dụ. Xét hàm số đơn vị Heaviside 0 (t) = 1 nếu t 0 0 nếut <0 . Biến đổi Laplace của 0 là dtedtedttepF pta a ptpt .lim.).(.)( 0000 === p e p e p pt a apt a 1 ]1[ 1 lim 1 lim 0 = = = Vậy F(p) = 1 P với Rep > 0. 8 VÝ dô 2. XÐt hµm sè f(t) = t n BiÕn ®æi Laplace cña f lµ dttedttedttfepF npt a nptpt lim ).()( 000 − ∞ ∞→ − ∞ − ∞ ∫=∫=∫=       ∫−−=       ∫−= −−− ∞→ − ∞→ dtetnet p edt p ptn a aptn a ptn a a .lim 1 )(. 1 lim 1 0 0 0 dtet p n ptn a a −− → ∫= 1 0 0 lim 0Re, ! . 1 >== + p p n n VËy F(p) = n 1 n! p + , víi Rep > 0. VÝ dô 3. T×m biÕn ®æi Laplace cña hµm sè F(t) = t α , α > -1, α ∈ ℚ. Gi¶i. Ta cã: F(p) = pt pt 0 0 e .f(t).dt e .t .dt ∞ ∞ − − α = ∫ ∫ §Æt u = pt ta cã p u t = do ®ã p du dt = , khi ®ã F(p) = u u 1 0 0 u du 1 e . . . e .u du p p p ∞ ∞ α − − α α α+ = ∫ ∫ 9 1 ( 1) p + = . Ví dụ 4. Tìm biến đổi Laplace của hàm f(t) = e t Giải. Ta có F(p) = pt pt t ( pt)t 0 0 0 e .f(t).dt e .e dt e dt = = . 11 0 )( 0 )( lim lim = == pp dt a p a a p a ee Vậy F(p) = 1 p , với Re(p - ) > 0. 1.4. Các tính chất của biến đổi Laplace 1.4.1. Tính chất 1. Cho hàm f là hàm gốc có chỉ số tăng là 0 . Khi đó biến đổi Laplace F của f là hàm giải tích trong miền Rep > 0 . Chứng minh. Đặt F n là hàm định bởi F n (p) = pt 0 e .f(t).dt , với Rep > 0 . Khi đó, dãy (F n ) n = 1, 2, hội tụ đều về F trên miền Rep 0 + 2, với > 0 bất kỳ. Thật vậy, với mọi p thuộc miền Rep 0 + 2. Ta có F n (p) - F(p) = n pt pt 0 0 e f(t).dt e f(t).dt 0 pt (Rep)t 0 0 ( )t (Rep)t 0 t n 0 e f(t).dt e f(t) dt M. e .e .dt. M M. e dt .e ; 0 + = > 10