Phép biến đổi laplace và một số ứng dụng

Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC Lời Nói Đầu Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Sơ lược giải tích phức 1.2 Một số khái niện phương trình đạo hàm riêng 1.3 Một số khái niện phương trình hệ phương trình vi phân Chương 2: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 2.1 Biến đổi Laplace thuận 2.2 Biến đổi Laplace ngược Chương 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 3.1 Ứng dụng giải phương trình đạo hàm riêng 3.2 Ứng dụng giải phương trình vi phân thường 3.3 Ứng dụng giải phương trình vi phân có vế phải hàm bậc thang 3.4 Ứng dụng giải hệ phương trình vi phân hệ số số Kết Luận TÀI LIỆU THAM KHẢO GVHD: Nguyễn Văn Hùng SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Phép biến đổi Laplace phép biến đổi tích phân Lý thuyết biến đổi tích phân ban đầu áp dụng để giải phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng Phương trình vi phân (PTVP) lĩnh vực toán học bản, vừa mang tính lý thuyết vừa mang tính ứng dụng rộng rãi Thông thường toán PTVP rút từ vấn đề thực tế sau người ta tìm có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Vật lý, Xác suất, kỹ thuật … Các sách tham khảo dành cho sinh viên nghiên cứu sử dụng biến đổi Laplace vào phương trình hệ PTVP chưa nhiều Bởi việc nghiên cứu biến đổi cần thiết sinh viên Do mà em chọn đề tài: “Phép biến đổi Laplace số ứng dụng” để thực khóa luận tốt nghiệp đại học Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu phương trình hệ phương trình vi phân, giải tích hàm đặc biệt phép biến đổi Laplace Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phép biến đổi Laplace thuận nghịch, ứng dụng phép biến đổi vào giải toán Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận, phân tích tổng hợp đánh giá Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận tốt nghiệp gồm ba chương: GVHD: Nguyễn Văn Hùng SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Phép biến đổi Laplace Chương 3: Một số ứng dụng phép biến đổi Laplace Trong suốt trình nghiên cứu em nhận tận tình giúp đỡ thầy cô tổ Giải tích khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt thầy Nguyễn Văn Hùng Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô Em mong nhận đóng góp ý kiến quý báu quý thầy cô bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! GVHD: Nguyễn Văn Hùng SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp CHƢƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Sơ lƣợc giải tích phức Cho hàm số f biến số phức z, ta viết dạng sau: f(z) = u(x,y) + iv(x,y) u, v hàm số hai biến số thực 1.1.1 Tính khả vi hàm số biến số phức Cho hàm số f xác định miền G £ điểm z thuộc miền G, hàm f gọi hàm khả vi điểm z, tồn hệ số z cho: đó: R z f z z z 0 f z z z R (1.1) Hàm f gọi khả vi miền G f khả vi điểm miền G 1.1.2 Hàm giải tích Cho hàm số f xác định miền G điểm z0 , z0 G hàm f gọi hàm giải tích điểm z , hàm số f khả vi lân cận điểm z Điểm mà mà hàm f không giải tích gọi điểm kỳ dị hay hàm f gọi có điểm kỳ dị Hàm f gọi giải tích miền G f khả vi miền Ví dụ: Xét hàm f(z) = zn, n ¢ + Nếu n ≥ f giải tích £ + Nếu n < f giải tích £ \{0} 1.1.3 Khai triển Laurent Tại cực điểm cấp n ta có hàm GVHD: Nguyễn Văn Hùng SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp n z z a f z ta khai triển thành chuỗi hàm giải tích miền z a Taylor: k z k i z a , f z z a , k i , i = 1, 2, … i Như vậy, khai triển biết chuỗi Laurent độ phân giải đơn giản điểm kỳ dị 1.2 Một số khái niệm phƣơng trình đạo hàm riêng 1.2.1 Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng Xét phương trình: Au = f (1.2) Trong f hàm (hoặc vectơ hàm) biết miền ¡ n , A toán tử vi phân tuyến tính tác dụng Ω tức toán tử A A có dạng: với Dx x1 x n n , , , a n x Dx i (1.3) số nguyên không âm: n Dn D1 D2 D Nn , D j i xj , i 1, i , a hàm i ma trận Ω u = u(x) hàm chưa biết Ω Cấp cao đạo hàm riêng u, có mặt hệ thức (1.2) gọi cấp toán tử A Định nghĩa: Phương trình (1.2) với toán tử A cấp m hàm u, f thỏa mãn điều kiện nêu gọi phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp m Định nghĩa tổng quát: Phương trình liên hệ hàm ẩn: u1,u , ,u n biến đạo hàm riêng chúng gọi phương trình đạo hàm riêng GVHD: Nguyễn Văn Hùng SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Một phương trình đạo hàm riêng chứa đạo hàm cấp m không chứa đạo hàm cấp cao m gọi phương trình cấp m Phương trình Laplace: u 2 Phương trình truyền sóng: u u t2 Phương trình truyền nhiệt: u t u n u i u toán tử x i2 Laplace Nghiệm phương trình đạo hàm riêng hệ hàm số cho thay vào hàm ẩn, phương trình biến thành phương trình đồng thức theo biến số độc lập 1.2.2 Bài toán Cauchy Giả sử Ω miền không gian ¡ n (có thể trùng với ¡ n ) Xét Ω phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai: n a ij x i, j n u xi x j x i u xi a x u f x (1.4) a ij , a i , a, f hàm phức trơn Ta tách biến biến chẳng hạn x n đặt t = x n Giả sử mặt phẳng t = t lân cận điểm x kiện ban đầu: u t t u0 x' , u t t x10 ,x 20, ,x n0 cho điều u1 x ' t (1.5) Bài toán tìm nghiệm phương trình lân cận điểm với điều kiện ban đầu gọi toán Cauchy Trong trường hợp tổng quát: Giả sử miền Ω cho mặt (n-1) chiều đủ trơn S điểm mặt cho đường cong không tiếp xúc với mặt S, biến thiên đủ trơn mặt S GVHD: Nguyễn Văn Hùng SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Bài toán tìm nghiệm phương trình (1.4) lân cận mặt S cho: uS u0 x (1.6) u tS u1 x (1.7) u , u1 hàm cho mặt S, gọi toán Cauchy tổng quát phương trình (1.4) Các hàm u , u1 gọi kiện Cauchy mặt S gọi mặt Cauchy 1.2.3 Bài toán biên Giả sử Ω miền bị chặn ¡ n Trong Ω xét phương trình (1.4) toán tìm nghiệm phương trình (1.4) thỏa mãn điều kiện (1.8) u hàm cho , gọi toán biên thứ Bài toán tìm nghiệm phương trình (1.4) thỏa mãn điều kiện biên u v (1.9) hàm cho liên tục vectơ tới , u đạo hàm theo hướng pháp v , gọi toán biên thứ hai Bài toán biên thứ ba toán tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện biên dạng u v với a hàm cho au 1.2.4 Bài toán hỗn hợp Giả sử ¡ n không gian n chiều với điểm x1,x , ,x n , GVHD: Nguyễn Văn Hùng ¡ n SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp miền bị chặn, ¡ n ¡ n t không gian (n + 1) chiều, T số dương Ta kí hiệu Qt t QT x ,0 t T có mặt xung quanh x t Đáy QT x ,0 t T ; x , t T ; đáy QT Q0 t0 ,t ,t x Với T > hình trụ QT ta xét phương trình (1.4) Bài toán tìm nghiệm (1.4) thỏa mãn điều kiện ban đầu ut x , u tS điều kiện biên x (1.11) (1.12) u1 x T u x;t (1.13) T u v (hoặc , , x;t ) au (1.14) T a hàm cho, gọi toán hỗn hợp thứ (hoặc thứ ba) Nếu a = T gọi toán hỗn hợp thứ hai 1.3 Một số khái niện phƣơng trình hệ phƣơng trình vi phân 1.3.1 Phương trình vi phân cấp Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp có dạng tổng quát F x, y, y hàm F xác định miền D ¡ (1.15) Nếu miền D, từ phương trình (1.15) ta giải y : y f x, y (1.16) ta phương trình vi phân cấp giải đạo hàm GVHD: Nguyễn Văn Hùng SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp x xác định khả vi khoảng I = (a;b) gọi Hàm y nghiệm phương trình (1.15) nếu: a x, b F x, x , D với x D x x , I x Bài toán Cauchy: Nghiệm phương trình vi phân cấp vô số, ta thường quan tâm đến nghiệm PTVP cấp thỏa mãn điều kiện Chẳng hạn tìm nghiệm phương trình (1.15) (1.16) thỏa mãn điều kiện: y x0 y0 (1.17) x , y0 số cho trước Điều kiện (1.17) gọi điều kiện ban đầu Bài toán tìm nghiệm phương trình (1.15) (1.16) thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.17) gọi toán Cauchy Nghiệm tổng quát: Ta nói hàm y x,C (1.18) nghiệm tổng quát phương trình (1.16) miền G nếu: y0 a Từ hệ thức ta giải được: C x , y0 x ,C (1.19) với x , y0 G (1.20) b Hệ thức (1.18) nghiệm (1.16) với số C xác định từ hệ thức (1.20) Nghiệm riêng: Nghiệm (1.16) mà điểm tính nghiệm toán Cauchy đảm bảo, gọi nghiệm riêng Nghiệm kì dị: Nghiệm phương trình (1.16) mà điểm tính nghiệm toán Cauchy bị phá vỡ, gọi nghiệm kì dị 1.3.2 Phương trình vi phân cấp cao Định nghĩa: PTVP cấp n có dạng tổng quát là: F x, y, y , y , y GVHD: Nguyễn Văn Hùng n (1.21) SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Hàm F xác định miền G không gian ¡ n Trong phương trình (1.21) vắng mặt biến x, y, y , …, y y n n thiết phải có mặt Nếu từ (1.21) ta giải đạo hàm cấp cao nhất, tức phương trình (1.21) có dạng: y n f x, y, y , , y n (1.22) ta PTVP cấp n giải đạo hàm cấp cao Bài toán Cauchy: Là toán tìm nghiệm y y x phương trình (1.21) (1.22) thỏa mãn điều kiện ban đầu y x0 x , y0 , y0 , , y0 y0 , y x n y0 , , y n x0 y0 n (1.23) giá trị cho trước Nghiệm tổng quát: Ta giả thiết miền G miền tồn nghiệm phương trình (1.22), tức nghiệm toán Cauchy tồn điểm x , y0 , y0 , , y0 n G hàm y x,C1,C2 , ,Cn xác định biến thiên biến x, C1 , C2 , , Cn có tất đạo hàm riêng theo x liên tục đến cấp n gọi nghiệm tổng quát phương trình (1.22) miền G nên G từ hệ phương trình y0 y0 x ,C1 , Cn x x ,C1 , Cn y0 n n x x ,C1 , Cn Ta xác định được: GVHD: Nguyễn Văn Hùng 10 SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp 3.2.1.4 Giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hàm Phép biến đổi Laplace áp dụng để giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hàm trường hợp hệ số đa thức Xét phương trình tuyến tính sau: a0(t)y(n)(t) + a1(t)y(n-1)(t) + …… + an(t)y(t) = f(t) (3.8) đó: a i t , i 0,n đa thức t, bậc nhỏ m Gọi y(t) = Y(p), áp dụng tính chất đạo hàm gốc ta tìm ảnh đạo hàm y(t), sau a i t , i 0,n đa thức nên áp dụng tính chất đạo hàm ảnh ta tìm ảnh số hạng vế trái phương trình (3.8) tiến hành biến đổi thuận hai vế (3.8) để chuyển (3.8) phương trình vi phân ảnh y(p) phương trình vi phân cấp nhỏ m Giải phương trình vi phân Y(p) tìm Y(p) sau biến đổi ngược Y(p) = y(t) tìm nghiệm y(t) phải tìm Ví dụ 2: Tìm nghiệm tổng quát phương trình: ty’’(t) – 2y’(t) = (3.9) Giải: Gọi y(t) = Y(p), ta có: y t y t ty t pY p y p2Y p py y d p Y p py dp dY p2 2pY y dp y biến đổi thuận hai vế (3.9) ta được: p2Y GVHD: Nguyễn Văn Hùng 2pY y 42 2pY 2y 0 SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp hay Y Y p 3y p2 (3.10) Đây phương trình vi phân tuyến tính cấp ảnh Y(p) Giải ta Y(p) = y p C1 p4 -1 Biến đổi ngược ta được: y(t) = L {Y(p)} = y C1 t3 3! Ví dụ 3: Tìm nghiệm riêng phương trình: xy’’ + (x+2)y’ + y = 2e-xcosx (3.11) x biến số, y ẩn hàm Giải: Gọi y(x) = Y(p), ta có: y’ = pY – y(0) (x + 2)y’ = xy’ + 2y’ = - [py – y(0)]’ + 2[py – y(0)]’ = -py’ + (2p -1)Y – 2Y(0) y’’ = p2Y(p) – py(0) – y’(0) xy’’ = [-p2Y(p) – py(0) – y’(0)]’ = - p2Y’(p) – 2py + y(0) Do biến đổi thuận hai vế (3.11) ta phương trình ảnh y(p) sau đây: p2 y hay 2py y py p p Y y(0) Y y(0) p(p 1) Y y 2p y 2y(0) y p p p p 2p 2 p p p2 p 1 2p p p p 2p 2 (3.12) Bây biến đổi ngược (3.12) ta tìm nghiệm y(x) GVHD: Nguyễn Văn Hùng 43 SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ý gốc y’ y’ = Xy Còn vế phải (3.12) có số hạng p p 2p 2 p p p biến đổi sau: p 2p 2 p e x cos x e x sinx e x cos x sinx Như biến đổi ngược (3.12) ta nhận đẳng thức: xy suy y e y x x x y e e x e x cos x sinx cos x sinx x 3.3 Ứng dụng giải phƣơng trình vi phân có vế phải hàm bậc thang 3.3.1 Hàm bậc thang Heaviside 3.3.1.1 Định nghĩa a t t H t gọi hàm bậc thang Heaviside, gọi hàm bậc thang đơn vị, hàm bậc thang nhận giá trị biến đối số t âm nhận giá trị dương đối số t dương b Hàm tịnh tiến bậc thang Heaviside: Cho số thực c ta có: Hc t H t c t c t c Nếu c > (c < 0) đồ thị Hc tịnh tiến qua phải (trái) đơn vị so với đồ thị H c Hàm khoảng Hab (a < b) định nghĩa hàm tịnh tiến bậc thang Heaviside Hab(ab) = Ha(t) –Hb(t) = H(t – a) – H(t – b) Thật vậy: t < a Ha(t) = Hb(t) = nên Hab = GVHD: Nguyễn Văn Hùng 44 SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp a t b Ha(t) = 1, Hb(t) = t b Ha(t) = 1, Hb(t) = Hab t Hab t Hàm Heaviside H, hàm tịnh tiến Ha hàm khoảng Hab thường sử dụng để miêu tả hàm liên tục khúc Vậy Hab(ab) = Ha(t) –Hb(t) = H(t – a) – H(t – b) = a t a t b b t Ví dụ 4: Mô tả hàm sau sử dụng hàm bậc thang Heaviside f t 2t t t Thật vậy, từ hàm f(t) hàm khả vi liên tục khoảng t t Ta có f(t) = 2tH01(t) + 2H1(t) = 2t[H(t) – H(t - 1)]+2H(t - 1) = 2tH(t) – 2(t-1)H(t-1) 3.3.1.2 Biến đổi Laplace thuận hàm Heaviside a Biến đổi Laplace hàm Heaviside pt L Hc t e H c t dt e cp p b Biến đổi Laplace hàm tịnh tiến Heaviside L{H(t – c)f(t – c)} = e-cpF(p) Ví dụ 5: Tìm biến đổi Laplace hàm sau: f t t t t e t Giải: Ta có: f(t) = 3H04(t) – 5H46(t) + e7-tH6(t) = 3[H(t) – H(t – 4)] – 5[H(t – 4) – H(t – 6)] + e7-tH(t – 6) = H(t) - H(t - 4) + H(t - 6) + e.e-(t-6) H(t - 6) GVHD: Nguyễn Văn Hùng 45 SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Dựa vào công thức biến đổi Laplace hàm bậc thang Heaviside bảng biến đổi Laplace ta được: e 4p F(p) = L{f(t)} = p p 6p e e p e 6p p 3.3.1.3 Phép biến đổi ngược hàm Heaviside Cho hàm f(t) liên tục đoạn F(p) = L{f(t)} thì: L-1{e-cpF(p)} = H(t – c)f(t – c) 3.3.2 Các ứng dụng hàm Laplace có vế phải hàm bậc thang Ví dụ 6: Tìm nghiệm phương trình vi phân: y’’ +4y = f(t) với t sin t t f t thỏa mãn điều kiện ban đầu : y(0) = -1; y’(0) = Giải: f(t) = H0π(t) + sint Hπ(t) = sint H(t – π) = - sin(t – π) H(t – π) e p p2 F(p) L f t Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình cho ta có: L{y’’(t) + 4y(t)} = L{f(t)} e p p2 p Y(p) – py(0) – y’(0) + 4Y(p) = (p Y p e p p2 4)Y(p) p p2 e p p2 p2 p2 Dùng phép biến đổi Laplace ngược tra bảng đối chiếu gốc ảnh ta có: GVHD: Nguyễn Văn Hùng 46 SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp L1 e p L1 e p L1 đó: L Y p L p p p p H(T )sin(t H(T ) sin 2(t H(T e p p2 1 H t y t ) ) )cos 2t e p p2 p p2 H t sin t y t sin t cos2t Vậy nghiệm phương trình cho là: cos2t 1 y(t) = sin t t sin t t Ví dụ 7: Tìm nghiệm phương trình vi phân: y’’ + y = f(t) với 2t t t f t thỏa mãn điều kiện ban đầu: y(0) = 0; y’(0) = Giải: Ta có: f(t) = 2t H01(t) + H1(t) = 2t [H(t) - H1(t)] + H1(t) = 2t H(t) – (t – 1) H1(t - 1) L f t 2 p ep 2 p F p Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình cho: L{y’’(t) + y(t)} = L{f(t)} GVHD: Nguyễn Văn Hùng 47 SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp pY p p py 1Y p 2e p p2 p2 Y p Y p 2e p2 2e p p2 p2 Y p Mà y 2e p2 p p p 2e p p2 p 2e p2 2e p2 p 2e p p2 1 p2 p2 2e p p2 2e p 2 p p Dùng biến đổi Laplace ngược tra bảng đối chiếu gốc ảnh ta có: L L L1 p2 2t; L 2e p p2 1 p 1 2e p p2 t 1H t 2H t sin t sin t đó: y(t) = L-1{Y(p)} = 2t – 2(t – 1)H(t – 1) + 2H(t – 1)sin(t – 1) – sint = 2t – sint – 2[(t – 1) + sin(t – 1)]H(t – 1) Vậy nghiệm phương trình cho là: y(t) GVHD: Nguyễn Văn Hùng 2t sin t t 2sin(t 1) sin t t 48 SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp 3.4 Ứng dụng giải hệ phƣơng trình vi phân hệ số 3.4.1 Phương pháp chung Cũng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng, để giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số ta thay hàm cần phải tìm, đạo hàm chúng hàm vế phải (nếu hệ không nhất) Khi ta thu hệ phương trình đại số tuyến tính ảnh hàm phải tìm Giải hệ dùng phép biến đổi ngược để tìm hàm gốc, ta nghiệm riêng hệ thỏa mãn điều kiện cho 3.4.2 Ví dụ Ví dụ 8: Tìm nghiệm hệ phương trình vi phân: x t y t 2x t 2x t 3y t y t 0 thỏa điều kiện ban đầu: x(0) = 8; y(0) = Giải: Giả sử: L{x(t)} = X(p) L{y(t)} = Y(p) Ta có: L x t L y t pX p pY p 2x t 2x t x y 3y t y t 2X p 2X p p X p 3Y p 2X p p 1Y p X p Y p L L 8p 17 p 3p 3p 22 p 3p GVHD: Nguyễn Văn Hùng 3Y p Y p 0 X p Y p 49 p p p p SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Lấy biến đổi Laplace ngược tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta có nghiệm x t hệ là: y t 5e 5e t 3e4t 2e4t t Ví dụ 9: Giải hệ phương trình sau: y t y t x t t x t e t thỏa mãn điều kiện ban đầu: x(0) = y(0) = y’(0) = - Giải: Giả sử: L{x(t)} = X(p) L{y(t)} = Y(p) Ta có: L y t L y t x t x t L t L e t pY p y pX p p2Y p py pX p X p p2Y p X p X p Y p Y p p X p p p 1 p pY p p 2Y p X p y x p 3p 3p p2 3p p p 1 1 p 2 p p p2 1 1 p 2 p p p p2 GVHD: Nguyễn Văn Hùng 50 SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Lấy biến đổi Laplace ngược tra bảng đối chiếu gốc ảnh ta có nghiệm x t hệ là: y t t e cos t sin t 2 t t e cos t sin t 2 x t y t z t y t z t Ví dụ 10: Giải hệ phương trình sau: z t x t z t thỏa mãn điều kiện ban đầu: x(0) = 1; y(0) = ;z 2 Giải: Giả sử: L{x(t)} = X(p); L{y(t)} = Y(p); L{z(t)} = Z(p) Ta có: L x t L L y t L z t L y t z t L z t x t z t pX p x Y p Z p pY p y Z p pZ p z X p Z p pX p Y p Z p 1 pY p Z p X p p Z p Lấy biến đổi Laplace ngược tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta có nghiệm x t cos t hệ là: y t cos t sin t z t cos t sin t GVHD: Nguyễn Văn Hùng 51 SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Bảng đối chiếu gốc - ảnh TT f(t) = L-1{F(p)} F(p) = L{f(t)} 1 p t p2 t n! pn eat p a t eat 10 11 12 13 p a t n eat n! p a sinwt w p2 w2 coswt p p p p shwt w2 w w2 chwt p eat sin wt w2 w p a eat cos wt w2 p a p a eat s hwt GVHD: Nguyễn Văn Hùng n w2 w p a 52 w2 SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp eat chwt 14 p a t sinwt t coswt 16 w2 p2 w2 p2 w2 18 t eatsinwt t eatcoswt p2 w2 p2 w2 2 p a t eatshwt t eatchwt p a e bt bt cosat GVHD: Nguyễn Văn Hùng bt w2 p a 22 24 w2 w2 p a e a 2 2w p a 21 a b w2 p a 20 25 w2 p a be p2 2w p a 19 at 2pw t chwt ae p2 t shwt 17 w2 2pw 15 23 p a w2 w2 p p a p b sin at p b b sin at a 53 a2 a2 p p b SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp 1 cosat a2 26 e a2 27 28 1 e a2 30 a b e at a2 b2 34 a b a b 36 a2 b2 bt e e ae a 2e p p a a b e bt p p a p b at p p a t 1 a2 at at e bt te 32 35 at e 31 p p2 at 1 a b be ab a b 29 33 at at at at GVHD: Nguyễn Văn Hùng a b te bt p p a p b at at e 2 p a p at cosat p a b sin at a p p b a2 b sin bt cos bt a p a p2 b2 a cos bt bsin bt p p a p2 b2 absin bt b cos bt p2 p a p2 b2 54 SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Trên toàn nội dung khóa luận tốt nghiệp: “Phép biến đổi Laplace số ứng dụng” mà em mạnh dạn đưa Các tập phương pháp nghiên cứu để đến lời giải khóa luận tốt nghiệp em áp dụng học tập em học Phương trình đạo hàm riêng Giải tích hàm hướng dẫn thầy cô khoa Toán So với phương pháp cổ điển để giải phương trình vi phân hệ số ta thấy phương pháp sử dụng biến đổi Laplace có ưu điểm vượt trội: + Dù n lớn ta cần giải phương trình đại số bậc Y(p) + Khối lượng tính toán nói chung so với phương pháp biến thiên số Lagrange + Cho nghiệm riêng không cần thông qua nghiệm tổng quát Trong trường hợp muốn có nghiệm tổng quát ta cần đặt: y0 = C0, y0 = C1, …… , y0 n Cn , Ck số tùy ý Biến đổi Laplace nhiều ứng dụng toán học lĩnh vực khác Trong khuôn khổ khóa luận tốt nghiệp em khai thác vấn đề đây, em mong nghiên cứu thêm vấn đề kính mong góp ý quý thầy cô bạn sinh viên để khóa luận tốt nghiệp em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! GVHD: Nguyễn Văn Hùng 55 SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Luân, Nguyễn Văn Nhân, Biến đổi tích phân, NXB Giáo Dục, 2002 [2] Đậu Thế Cấp, Bài tập hàm biến phức, NXB Giáo dục, 2002 [3] Nguyễn Thừa Hợp, Giáo trình đạo hàm riêng, NXB Đại học quốc gia, 2001 [4] Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung, Bài tập phương trình vi phân, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp, 1979 [5] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lí thuyết ổn định, NXB Giáo dục, 2003 [6] Nguyễn Mạnh Hùng, Phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại học sư phạm, 2006 GVHD: Nguyễn Văn Hùng 56 SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy [...]... trong g g Khi đó: f f 1 u và f = Au, u 2 2 1 2 L2 ( trên R+) 1 2 2 GVHD: Nguyễn Văn Hùng 34 SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp CHƢƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 3.1 Ứng dụng giải phƣơng trình đạo hàm riêng 3.1.1 Bài toán giải phương trình truyền nhiệt u t x, t u xx x, t u x, t f 0 , x ¡ ,t 0 Giải: Ta thực hiện biến đổi Laplace với biến thời gian t ta có:... nghiệp CHƢƠNG 2: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 2.1 Biến đổi Laplace thuận 2.1.1 Hàm gốc và vị trí hàm gốc Hàm biến số thực f(t) được gọi là hàm gốc nếu thỏa mãn 3 điều kiện sau: i f(t) liên tục từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn của trục thực t ii f(t) = 0 khi t < 0 iii f(t) tăng không nhanh hơn hàm số mũ, nghĩa là tìm được các số M > 0 và S0 ≥ 0 sao cho với mọi t ta đều có: │f(t)│ ≤ M eS0 t Số inf S0 với tất... Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp 2.2 Biến đổi Laplace ngƣợc 2.2.1 Định nghĩa và ví dụ về phép biến đổi Laplace ngược Thông thường người ta kí hiệu L-1 { F(p) } là hàm ngược của hàm F(p) Nó có nghĩa là nếu: F p e pt f t dt L{f t } 0 L 1{F p } thì f t Khi đó: f t L 1{F p }=L 1{L[f p ]}=I{f t } Biến đổi Laplace ngược có ý nghĩa quan trọng trong thực hành và cũng có rất nhiều cách khác nhau để tìm... đổi Laplace là Fk, k 1 n Khi đó biến đổi Laplace của hàm tổ hợp tuyến tính f của các hàm fk, n n const là hàm F xác định bởi F p ck f k t , ck f(t) = ck Fk p k 1 k 1 với miền xác định Rep > max αk Ý nghĩa: Muốn tìm ảnh (hoặc tìm gốc) của một tổng gồm nhiều số hạng ta chỉ cần tìm ảnh (hoặc tìm gốc) của từng số hạng mà thôi Ví dụ 7: Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng Trong ví dụ 2 của 2.1.2 ta... eαt Biến đổi Laplace của f là: e t e pt dt F p e( 0 p)t dt 0 1 1 p e ( p)t t t 0 1 p p với Re(α - p) > 0 Ví dụ 6: Xét hàm f(t) = tα, α > -1, α ¤ Biến đổi Laplace của hàm f là: t e pt dt F p 0 e uu 0 du p p 1 p e u u du 1 0 1 p 1 GVHD: Nguyễn Văn Hùng 15 SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp e u u du là hàm Gamma với 0 2.1.3 Các định lý và tính chất của phép biến đổi Laplace. .. Hàm số sau đây có phải là hàm gốc hay không? f t e t2 et 0 t 2 khi khi t 0 t 0 Giải: Điều kiện i, ii, rõ ràng được thỏa mãn Đối với điều kiện iii, ta chú ý khi t ≥ 0 nếu f(t) là hàm gốc thì: tồn tại M >0, S0 ≥ 0 sao cho: et 2 MeS0t et 2 2 S0 t S0 t M, t 0 đây là một điều mâu thuẫn vì: lim e t t 2.1.2 Định nghĩa và ví dụ phép biến đổi Laplace Cho hàm số gốc f(t), ta gọi hàm số phức F(p) của biến số phức... Vậy suy ra (f g) là gốc với chỉ số tăng ( 0 0 ) Ta thấy: x i pt L fg pt e f t g t dt e g t 0 0 x i 1 2 ix F v G p v dv dt i x i F v dv e i 1 2 ix v p t 0 1 g t dt 2 ix F v G p v dv i Trong định lí trên ta đã rút ra công thức Mellin từ giả thiết F là biến đổi Laplace của một hàm gốc nào đó Vấn đề đặt ra là F phải thỏa mãn điều kiện gì để có thể là biến đổi Laplace của một hàm gốc nào đó Ta có định lí... mọi x > α0 có: F x iy dy M với M là hằng số x i Khi đó hàm F xác định trên Rep > α0 là biến đổi Laplace của hàm f xác định bởi: x i 1 2 ix f t ept F p dp, x 0 i Định lí dưới đây cho phép ta tìm hàm gốc của một hàm chính quy tại vô cực 2.2.2.4 Định lí 4 Giả sử rằng thác triển giải tích của F lên nửa mặt phẳng trái là một hàm giải tích đơn trị Giả sử L(f) = F và P = ∞ là điểm chính quy của F, nghĩa là... Khóa luận tốt nghiệp 2.2.2 Các định nghĩa và tính chất của phép biến đổi Laplace 2.2.2.1 Định lý 1 ( công thức Mellin) Cho hàm gốc f(t) trơn từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn của nửa trục thực t ≥ 0, f có chỉ số tăng là α0, khi đó x i 1 2 ix f t ept F p dp, Rep x 0 i Tích phân trong định lý 1 được hiểu theo nghĩa giá trị chính và công thức này có tên là Mellin Chứng minh: + Với x > α0, đặt g(t) = e-xt... chập: Cho f(t) và g(t) là hai hàm xác định trên toàn trục số Ta gọi tích chập của chúng là hàm (f*g)(t) xác định bởi f * g t f g t d Nhận xét: Tích chập có tính chất giao hoán (f*g)(t) = (g*f)(t) Nếu f(t) và g(t) là hàm gốc thì: t f *g t f t g t d 0 f g t d 0 cũng là hàm gốc với chỉ số tăng γ0 = max{α0, β0 }; ở đây α0, β0 lần lượt là chỉ số tăng của f(t) và g(t) Định lý nhân (Borel): Nếu f(t) và g(t) là ... viên nghiên cứu sử dụng biến đổi Laplace vào phương trình hệ PTVP chưa nhiều Bởi việc nghiên cứu biến đổi cần thiết sinh viên Do mà em chọn đề tài: Phép biến đổi Laplace số ứng dụng để thực khóa... phương trình vi phân, giải tích hàm đặc biệt phép biến đổi Laplace Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phép biến đổi Laplace thuận nghịch, ứng dụng phép biến đổi vào giải toán Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên... Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Phép biến đổi Laplace Chương 3: Một số ứng dụng phép biến đổi Laplace Trong suốt trình nghiên cứu em nhận tận