Phép biến đổi laplace và ứng dụng

Khoá luận tốt nghiệp đại học MỤC LỤC Trang LỜI MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận NỘI DUNG Chương I: Một số khái niệm kết chuẩn bị 1.1 Sơ lược giải tích phức 1.2 Một số khái niệm phương trình hệ phương trình vi phân12 Chương II: Phép biến đổi Laplace 20 2.1 Biến đổi Laplace thuận 20 2.2 Biến đổi Laplace ngược 41 Chương III: Ứng dụng phép biến đổi Laplace 57 3.1 Ứng dụng giải phương trình vi phân hệ phương trình vi phân 57 3.2 Ứng dụng để tính tích phân suy rộng tính tổng chuỗi 97 Bảng đối chiếu gốc - ảnh 106 KẾT LUẬN 110 TÀI LIỆU THAM KHẢO 111 Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán Khoá luận tốt nghiệp đại học LỜI MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài: Phép biến đổi Laplace phép biến đổi tích phân Lý thuyết biến đổi tích phân ban đầu áp dụng để giải phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng Phương trình vi phân một lĩnh vực toán học bản, vừa mang tính lý thuyết, vừa mang tính ứng dụng rộng rãi Thông thường toán phương trình vi phân rút từ vấn đề thực tế sau người ta tìm có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Vật lý, Kỹ thuật, Xử lý tín hiệu, Xác suất… Các sách tham khảo dành cho sinh viên nghiên cứu sử dụng phép biến đổi Laplace vào phương trình hệ phương trình vi phân chưa có nhiều Bởi việc nghiên cứu phép biến đổi cần thiết sinh viên Do mà em chọn đề tài: ”Phép biến đổi Laplace ứng dụng” để thực khóa luận tốt nghiệp đại học 2.Mục đích nghiên cứu: Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu phương trình hệ phương trình vi phân, giải tích hàm đặc biệt phép biến đổi Laplace 3.Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu phép biến đổi Laplace thuận nghịch, ứng dụng phép biến đổi vào giải toán 4.Phƣơng pháp nghiên cứu: Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp đánh giá 5.Cấu trúc khóa luận: Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm ba chương : Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán Khoá luận tốt nghiệp đại học Chương I : Một số khái niệm kết chuẩn bị Chương II : Phép biến đổi Laplace Chương III : Ứng dụng phép biến đổi Laplace Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán Khoá luận tốt nghiệp đại học NỘI DUNG CHƢƠNG I: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ 1.1 SƠ LƢỢC VỀ GIẢI TÍCH PHỨC 1.1.1 Hàm biến phức 1.1.1.1 Khái niệm hàm biến phức tập Cho Một hàm biến phức xác định quy luật đặt tương ứng Ký hiệu , + Nếu + Nếu + Đặt với phần tử với ∈ hàm gọi hữu hạn với hàm gọi bị chặn Khi đó: hàm hai biến thực gọi tương ứng phần ) thực phần ảo hàm Ký hiệu : ; 1.1.1.2 Hàm số liên tục Hàm , gọi liên tục có: , +) Nếu nếu: định nghĩa tương đương với: , +) Nếu hàm số , liên tục điểm thuộc gọi liên tục +) Hàm v(x, y) liên tục +) Tổng, hiệu, tích, thương (nếu mẫu khác 0) hai hàm số liên tục hàm số liên tục +) Hàm gọi liên tục nếu: Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán Khoá luận tốt nghiệp đại học , , 1.1.2 Hàm giải tích: Tập hợp gọi lân cận dương đấy) ( số Còn tập gọi lân cận điểm xa vô tận 1.1.2.1 Đạo hàm hàm phức: xác định miền , Cho hàm Cho có số gia , số gia hàm là: Nếu tồn hữu hạn: hàm gọi có đạo hàm giới hạn gọi đạo hàm hàm , ký hiệu Như vậy: có đạo hàm Hàm thì: ) vô bé bậc cao Ta gọi: , vi phân hàm khả vi Chú ý: Đạo hàm hàm phức có công thức quy tắc tính tương tự hàm thực 1.1.2.2 Hàm giải tích: 1.1.2.2.1 Định lý Cauchy-Riemann: Hàm số khả vi điểm (như hàm số biến số phức ) hàm số khả vi (như hàm số giá trị thực hai biến thực , ) đạo hàm riêng chúng điểm Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán thoả mãn điều kiện: Khoá luận tốt nghiệp đại học 1.1.2.2.2 Định nghĩa hàm giải tích: xác định +) Hàm hàm điểm gọi giải tích (hay chỉnh hình) có đạo hàm điểm lân cận Hay: có đạo hàm +) Hàm số gọi hàm giải tích miền giải tích Ta mở rộng định nghĩa nêu tới trường hợp miền tuỳ ý điểm thuộc miền +) Nhận xét: ánh xạ từ hạn ta nói phép nghịch đảo Như vào giải tích ta nói giải tích nếu: , , giải tích Nếu đặc biệt ta coi Ví dụ: Hàm giải tích hữu hữu hạn Nếu Nếu 1.1.3 Tích phân hàm biến phức 1.1.3.1 Định nghĩa cách tính - Tích phân hàm số xác định, liên tục đường cong khả trường L với mút a,b hướng từ a đến b, ký hiệu giới hạn tổng tích phân: điểm chia thành phần, - Giả sử điểm tuỳ ý thuộc cung , với Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán Khoá luận tốt nghiệp đại học Với giả thiết cho hàm số đường cong , ta có: phần thực phần ảo vế phải (1.1.1) tích phân đường loại lấy - Khi theo hướng từ a đến b đường cong khả trường đóng (1.1.1) có nghĩa tích phân lấy theo hướng dương (hướng mà chuyển động L, miền hữu hạn giới hạn L nằm bên trái) Như vậy, tính tích phân phức ta áp dụng công thức (1.1.1) tính tích phân đường loại tương ứng ta sử dụng phương pháp biết - Nếu L đường cong trơn, có phương trình dạng tham số: Thì ta có công thức: tích phân xác định hàm số biến số thực nhận giá trị phức 1.1.3.2 Tích phân Cauchy (một số định lý quan trọng) 1.1.3.2.1 Định lý tích phân Cauchy miền đơn liên Nếu hàm số giải tích miền D đơn liên L đường cong Jordan đóng, trơn khúc nằm D 1.1.3.2.2 Định lý tích phân Cauchy miền đa liên Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán Khoá luận tốt nghiệp đại học Nếu D miền hữu hạn - liên với biên gồm số hữu hạn đường cong Jordan đóng, trơn khúc cho miền đóng hữu hạn giới hạn nằm hoàn toàn miền hữu hạn giới hạn đôi không giao nhau, hàm số giải tích miền đóng , thì: 1.1.3.2.3 Công thức tích phân Cauchy Nếu D miền hữu hạn với biên gồm số hữu hạn đường cong Jordan đóng, trơn khúc, hàm số giải tích , điểm mặt phẳng phức không thuộc Khi Định nghĩa tích phân loại Cauchy: Tích phân loại Cauchy hàm số đơn trị biến z, dạng: đường cong Jordan (đóng không đóng) trơn khúc; f(t) liên tục ; điểm thuộc mặt phẳng phức không thuộc Đặc biệt, đường cong liên tục đóng, f(t) giải tích miền D hữu hạn giới hạn tích phân loại Cauchy trở thành công thức tích phân Cauchy: 1.1.3.2.4 Định lí tính chất tích phân loại Cauchy Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán Khoá luận tốt nghiệp đại học Với thuộc mặt phẳng phức không thuộc , tích phân loại Cauchy hàm giải tích, có đạo hàm cấp tính theo công thức: (n = 1,2,3,…) Chú ý: Trong điều kiện công thức (1.1.2) công thức (1.1.3) trở thành: 1.1.4 Lý thuyết chuỗi thặng dƣ 1.1.4.1 Chuỗi Laurent 1.1.4.1.1.Định nghĩa chuỗi Laurent gọi tương ứng phần phần khai triển Laurent Nếu phần có miền hội tụ , phần có miền hội tụ miền hội tụ chuỗi Laurent là: gọi hình vành khăn hội tụ chuỗi Nếu hàm giải tích hình vành khăn: hình vành khăn khai triển thành chuỗi Laurent: Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán Khoá luận tốt nghiệp đại học hệ số (n = 0, ±1, ±2,…; tính theo công thức: đường tròn ) 1.1.4.1.2 Các điểm kì dị cô lập +) ≠ ∞ gọi điểm kì dị cô lập hàm số lân cận thủng lân cận giải tích , giải tích ∞ gọi điểm kì dị cô lập hàm số +) , điểm +) Điểm kì dị cô lập chia thành loại:  gọi điểm kì dị bỏ  gọi cực điểm  gọi điểm kì dị cốt yếu mặt phẳng phức không tồn lẫn mặt phẳng phức mở rộng 1.1.4.2 Thặng dư 1.1.4.2.1 Định nghĩa thặng dư Giả sử ≠ ∞ điểm kì dị cô lập hàm giải tích , đường cong Jordan đóng, trơn khúc nằm hoàn toàn miền giải tích cho miền hữu hạn D với biên khác Tích phân dư không chứa điểm kì dị cô lập lấy dọc L theo hướng dương gọi thặng điểm kì dị cô lập , kí hiệu là: Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 10 Khoá luận tốt nghiệp đại học Lấy phép biến đổi Laplace ngược tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta nghiệm tổng quát hệ là: Đặt: Khi nghiệm hệ là: 3.2: ỨNG DỤNG ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN SUY RỘNG VÀ TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI 3.2.1 Ứng dụng để tính tích phân suy rộng Ta chứng minh rằng: Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 97 Khoá luận tốt nghiệp đại học a) hàm gốc b) : c) Nếu tích với ; ; , giải thì: (định lý Paseval) Chứng minh: a) Khi Với ta có: : b) Ta có: c) Ta có: Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 98 Khoá luận tốt nghiệp đại học  Ví dụ áp dụng: Tính tích phân suy rộng sau Ta sử dụng công thức 3.2.1.a) từ Ta có: Theo tính chất tích phân ảnh ta có: Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 99 Khoá luận tốt nghiệp đại học Vậy: Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 100 Khoá luận tốt nghiệp đại học Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 101 Khoá luận tốt nghiệp đại học 3.2.2 Ứng dụng để tính tổng chuỗi Ta chứng minh rằng: Nếu a) b) Cho hàm , , có cho: Chứng minh: Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 102 Khoá luận tốt nghiệp đại học  Ví dụ áp dụng: Tính tổng chuỗi sau Ta biết với a, b có: Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 103 Khoá luận tốt nghiệp đại học Theo 3.2.2.a) ta có: Xét hàm Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 104 Khoá luận tốt nghiệp đại học Ta có: Theo công thức 3.2.2.b) ta có: Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 105 Khoá luận tốt nghiệp đại học BẢNG ĐỐI CHIẾU GỐC - ẢNH stt f(t) 1 t F(p) 10 11 12 Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 106 Khoá luận tốt nghiệp đại học 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 107 Khoá luận tốt nghiệp đại học 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 108 Khoá luận tốt nghiệp đại học KẾT LUẬN Trên toàn nội dung khoá luận tốt nghiệp:” Phép biến đổi Laplace ứng dụng” mà em mạnh dạn đưa Các tập phương pháp nghiên cứu để đến lời giải khoá luận tốt nghiệp em áp dụng học tập em học phương trình đạo hàm riêng giải tích hàm sự hướng dẫn thầy cô khoa Toán So với phương pháp cổ điển để giải phương trình vi phân hệ số ta thấy phương pháp sử dụng phép biến đổi Laplace có ưu điểm vượt trội: + Dù n lớn ta cần giải phương trình đại số bậc Y(p) Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 109 Khoá luận tốt nghiệp đại học + Khối lượng tính toán nói chung so với phương pháp biến thiên số Lagrance + Cho nghiệm riêng không cần thông qua nghiệm tổng quát Trong trường hợp muốn có nghiệm tổng quát ta cần đặt , ,…, , với số tuỳ ý Biến đổi Laplace nhiều ứng dụng toán học lĩnh vực khác Trong khuôn khổ khoá luận tốt nghiệp em khai thác vấn đề trên, em mong nghiên cứu thêm vấn đề này, kính mong sự góp ý thầy cô giáo bạn sinh viên để khoá luận tốt nghiệp em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Luân, Nguyễn Văn Nhân (2002), Biến đổi tích phân, Nxb Giáo dục Đậu Thế Cấp, Bài tập hàm biến phức (2000), Nxb Giáo dục Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung, Bài tập phương trình vi phân (1979), Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lí thuyết ổn định (2003), Nxb Giáo dục Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 110 Khoá luận tốt nghiệp đại học Nguyễn Phụ Hy, Bài tập hàm số biến số phức (2006), Nxb Khoa học Kỹ thuật Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 111 [...]... đơn vị: Biến đổi Laplace của là: Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 22 Khoá luận tốt nghiệp đại học Ví dụ 2: Xét hàm mũ: Biến đổi Laplace của là: với Ví dụ 3: Hàm lũy thừa: Biến đổi Laplace của hàm như sau: (sử dụng tích phân từng phần) Ví dụ 4: Tìm ảnh của hàm gốc: Hàm ảnh của hàm gốc là: Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 23 Khoá luận tốt nghiệp đại học 2.1.3 Các định lý và tính chất... số tăng , biến đổi Laplace Khi đó biến đổi Laplace của hàm tổ hợp tuyến tính của các hàm là hàm định bởi: với miền xác định Chứng minh: Ta có: Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 25 Khoá luận tốt nghiệp đại học Ý nghĩa: Muốn tìm ảnh (hoặc tìm gốc) của một tổng gồm nhiều số hạng ta chỉ cần tìm ảnh (hoặc tìm gốc) của từng số hạng mà thôi Ví dụ: Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng Trong... nghiệp đại học 2.1.3 Các định lý và tính chất của phép biến đổi Laplace 2.1.3.1 Định lý Cho là hàm gốc có chỉ số tăng Khi đó biến đổi Laplace của hàm là hàm giải tích trong miền Chứng minh: + Đặt thì dãy của hàm định bởi: hội tụ đều về trên miền với bất kỳ Thật vậy: ta có: do bất đẳng thức trên không phụ thuộc vào suy ra trong miền nên giải tích trên miền Sử dụng hội tụ đều về trên miền đó + Ngoài ra,... CHƢƠNG II: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 2.1 BIẾN ĐỔI LAPLACE THUẬN 2.1.1 Định nghĩa và ví dụ hàm gốc Hàm biến số thực được gọi là hàm gốc nếu thỏa mãn 3 điều kiện sau đây: (1) (2) (3) liên tục từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn của trục thực khi tăng không nhanh hơn hàm số mũ, nghĩa là tìm được các số sao cho với mọi ta đều có: Số inf , với tất cả thỏa mãn (3) được gọi là chỉ số tăng của Ví dụ 1: Chứng minh... lấy Vì: 2.1.2 Định nghĩa và ví dụ phép biến đổi Laplace Cho hàm số gốc , ta gọi hàm số phức của biến số phức được xác định bằng công thức sau đây: là hàm ảnh của hàm hay là phép biến đổi Laplace của hàm Kí hiệu: hoặc Chú ý: + Hàm ảnh chỉ xác định trong miền và là hàm giải tích trong miền đó + Còn có thể chứng minh được khi nên những hàm thì Cho nào không thỏa mãn điều kiện này sẽ không phải là hàm... không? Giải: Điều kiện (1) và (2) rõ ràng được thỏa mãn Đối với điều kiện (3), ta chú ý khi nếu là hàm gốc thì: sao cho: đây là một điều mâu thuẫn vì: Ví dụ 4: Hàm: là hàm gốc Thật vậy: + Điều kiện (1), (2) rõ ràng được thỏa mãn Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 21 Khoá luận tốt nghiệp đại học + Với điều kiện (3) ta có thể lấy Vì: 2.1.2 Định nghĩa và ví dụ phép biến đổi Laplace Cho hàm số gốc... 2.1.2 ta có: Từ tính chất tuyến tính và kết quả trên ta sẽ tìm biến đổi Laplace của các hàm thông dụng sau: a) Tính Ta có với thì: Ta đã biết các hàm Hyperbolic được định nghĩa: Nên: b) Tính Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 26 Khoá luận tốt nghiệp đại học + Tương tự: Bây giờ nếu là số phức thì ta đặt , khi đó: Ta có: Mặt khác: Đồng nhất hai vế của (2.1.1) và (2.1.2) ta được: + Ngoài ra bằng... ảnh của là trước rồi Khi làm bài tập cần vận dụng tính chất này theo cả hai chiều Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình: thỏa mãn điều kiện đầu: Giải: Đặt Theo tính chất đạo hàm của gốc trình bày ở trên ta có: Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 34 Khoá luận tốt nghiệp đại học Bằng cách lấy biến đổi Laplace hai vế của phương trình trên và thay (2.1.7) vào ta được: là nghiệm của (2.1.6) thỏa mãn... Cauchy đối với phương trình (1.2.2) tồn tại và duy nhất Hàm số: được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.2) trong G nếu trong miền biến thiên của x và C nó có đạo hàm riêng liên tục theo x và thoả mãn các điều kiện sau: a) Từ hệ thức (1.2.4) ta có thể giải được C: b) Hàm thoả mãn phương trình (1.2.2) với mọi giá trị của xác định từ (1.2.5) khi (x, y) biến thiên trong Nếu nghiệm tổng quát của... kỳ thì hàm ảnh của nó sẽ tính được theo công thức sau: Chứng minh: đổi biến suy ra: Ý nghĩa: Muốn tìm ảnh của hàm tuần hoàn ta chỉ phải tính tích phân với cận hữu hạn (2.1.4) rồi áp dụng công thức (2.1.3) Ví dụ: Tính Ta đã biết 2 cách tính trong 2.1.3.2 Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 31 Khoá luận tốt nghiệp đại học Bằng cách sử dụng tính chất 2.1.3.6 ta cũng tìm ra được các kết quả như ... sử dụng phép biến đổi Laplace vào phương trình hệ phương trình vi phân chưa có nhiều Bởi việc nghiên cứu phép biến đổi cần thiết sinh viên Do mà em chọn đề tài: Phép biến đổi Laplace ứng dụng ... trình vi phân, giải tích hàm đặc biệt phép biến đổi Laplace 3.Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu phép biến đổi Laplace thuận nghịch, ứng dụng phép biến đổi vào giải toán 4.Phƣơng pháp nghiên cứu:... Chương II : Phép biến đổi Laplace Chương III : Ứng dụng phép biến đổi Laplace Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán Khoá luận tốt nghiệp đại học NỘI DUNG CHƢƠNG I: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ