Định lý điểm bất động và một số ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường LỜI CAM ĐOAN Khóa luận nghiên cứu em hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc thầy Bùi Kiên Cường Bên cạnh em quan tâm, tạo điều kiện thầy, cô giáo khoa toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Vì em xin khẳng định nội dung đề tài: “Định lí điểm bất động số ứng dụng” trùng lặp với đề tài khác Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên ĐINH THỊ NHÂM SVTH: Đinh Thị Nhâm K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy, cô giáo tổ Giải tích, thầy cô khoa Toán, thầy cô giáo trường ĐHSP Hà Nội bạn sinh viên Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Bùi Kiên Cường – người tận tình giúp đỡ em trình hoàn thành khóa luận Do lần làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Hơn thời gian lực thân hạn chế, cố gắng chắn không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy, cô giáo bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện có nhiều ứng dụng thực tế Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên ĐINH THỊ NHÂM SVTH: Đinh Thị Nhâm K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường MỤC LỤC Phần mở đầu Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian Hilbert 1.3 Không gian L2a, b 12 1.4 Toán tử tích phân 16 Chương 2: Định lí điểm bất động số ứng dụng 24 Định lí Banach ánh xạ co 24 Ứng dụng định lí Banach ánh xạ co 31 2.1 Ứng dụng việc giải phương trình giá trị thực 31 2.2 Ứng dụng việc giải phương trình ma trận 32 2.3 Ứng dụng việc giải phương trình tích phân 36 2.4 Ứng dụng việc giải phương trình vi phân 41 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 SVTH: Đinh Thị Nhâm K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lí thuyết điểm bất động phần quan trọng giải tích hàm phi tuyến - môn toán học vừa mang tính lí thuyết vừa mang tính ứng dụng rộng rãi Ngay từ đầu kỉ 20, nhà toán học giới quan tâm đến vấn đề khẳng định lí thuyết điểm bất động phát triển sâu rộng, trở thành công cụ thiếu để giải nhiều toán khác thực tế đặt Nói đến lí thuyết điểm bất động không nhắc đến định lí điểm bất động Vậy, nội dung định lí nào? Định lí có ứng dụng toán học, cụ thể việc giải phương trình giá trị thực, giải phương trình ma trận, giải phương trình tích phân giải phương trình vi phân? Đó lí em chọn đề tài: “Định lí điểm bất động số ứng dụng” Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học khóa luận tốt nghiệp Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu định lí điểm bất động Nghiên cứu việc áp dụng định lí điểm bất động việc giải phương trình giá trị thực, giải phương trình ma trận, giải phương trình tích phân giải phương trình vi phân Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lí luận Phương pháp phân tích, tổng hợp đánh giá SVTH: Đinh Thị Nhâm K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Định lí điểm bất động số ứng dụng SVTH: Đinh Thị Nhâm K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi không gian metric tập hợp X   với ánh xạ d từ tích Descartes X  X vào tập hợp số thực thỏa mãn tiên đề sau đây: i d ( x, y )   x  y x, y X ii d ( x, y )  d ( y, x) x, y X iii d ( x, y )  d ( x, z )  d ( z , y ) x, y, z  X Ánh xạ d gọi metric X , số d  x, y  gọi khoảng cách phần tử x y Ví dụ 1.1.1 Với hai vectơ x   x1, x2 , , xk  , y   y1, y2 , , yk  thuộc không gian k k    ta đặt: k  xj  yj  d  x, y   (1.1.1) j 1 Khi hệ thức (1.1.1) xác định metric k , dễ dàng thấy hệ thức (1.1.1) thỏa mãn tiên đề (i), (ii) metric Để kiểm tra hệ thức (1.1.1) thỏa mãn tiên đề (iii) metric trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy - Bunhiacopski: Với 2k số thực a j , b j  j  1,2, , k  , ta có: k k k  a jb j   a 2j  b2j j 1 j 1 j 1 SVTH: Đinh Thị Nhâm (1.1.2) K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Thật vậy: k  k     aib j  a j bi i 1  j 1   2 k k k k k k 2 2     b j    aibi a j b j    a j bi  i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1  k  k   k     a 2j   b 2j     a j b j   j 1  j 1   j 1       Từ suy bất đẳng thức (1.1.2) Với ba vectơ k x   x1, x2 , , xk  , y   y1, y2 , , yk  , z   z1, z2 , , z3  thuộc d  x, y   k  xj  yj  k  j 1 j 1 k    x j  z j    z j  y j  ta có:  xj  zj  k k   2 xj  zj j 1  z j  y j     z j  y j  j 1  d  x, z   j 1 k  xj  zj j 1  k  zj  yj   d  z, y  j 1  d  x , z   d  x, z  d  z , y   d  z , y    d  x, z   d  z , y    d  x, y   d  x, z   d  z , y  Do hệ thức (1.1.1) thỏa mãn tiên đề (iii) metric Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian metric M   X , d  , dãy điểm  xn   X , điểm xo  X Dãy điểm  xn  gọi hội tụ tới điểm xo  không gian M n   ,     no    n  no  d  xn , xo    Kí hiệu: lim  xn   xo hay xn  xo  n    n  Điểm xo gọi giới hạn dãy  xn  không gian M SVTH: Đinh Thị Nhâm K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Ví dụ 1.1.2 Sự hội tụ dãy điểm  xn  không gian hội tụ dãy số thực biết giải tích toán học Định nghĩa 1.1.3 Cho không gian metric M   X , d  Dãy điểm  xn   X gọi dãy M  m, n  no  d  xm , xn         no    hay lim d  xm , xn   m, n  Dễ thấy dãy điểm  xn   X hội tụ M dãy Định nghĩa 1.1.4 Không gian metric M   X , d  gọi không gian metric đủ dãy không gian dãy hội tụ Định nghĩa 1.1.5 Cho không gian metric M   X , d  Tập hợp K chứa X gọi tập hợp compact không gian M dãy vô hạn phần tử tập hợp K chứa dãy hội tụ tới phần tử thuộc K Khi K  X M gọi không gian compact Tập K gọi tập compact tương đối không gian M dãy vô hạn phần tử tập K chứa dãy hội tụ (tới phần tử thuộc X ) 1.2 Không gian Hilbert 1.2.1 Tích vô hướng Định nghĩa 1.2.1 Cho không gian tuyến tính X trường P ( P  P  ) Ta gọi tích vô hướng không gian X ánh xạ từ tích Descartes X  X vào trường P , kí hiệu (.,.) thỏa mãn tiên đề: SVTH: Đinh Thị Nhâm K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường 1) ( y, x)  ( x, y ) x, y X 2) ( x  y, z )  ( x, z )  ( y, z ) x, y, z  X 3) ( x, y )   ( x, y ) x, y X ;   P 4) x X , ( x, x)  , x   ( kí hiệu phần tử không) ( x, x)  , x  Các phần tử x, y, z gọi phần tử tích vô hướng Số ( x, y ) gọi tích vô hướng hai nhân tử x y , tiên đề 1), 2), 3), 4) gọi hệ tiên đề tích vô hướng 1.2.2 Bất đẳng thức Schwarz Định lí 1.2.1 (x, y X ) , ta có ( x, y )  ( x, x) ( y, y ) Đối với x X , ta đặt: x  ( x, x) Định nghĩa 1.2.2 (định nghĩa không gian Hilbert) Ta gọi tập hợp H  gồm phần tử x, y, z , không gian Hilbert, tập hợp H thỏa mãn điều kiện: 1) H không gian tuyến tính trường P 2) H trang bị tích vô hướng (.,.) 3) H không gian Banach với chuẩn x  ( x, x), x H Ta gọi không gian tuyến tính đóng không gian Hilbert H không gian Hilbert không gian H 1.2.3 Phần bù trực giao, tập trực giao Định nghĩa 1.2.3 Cho không gian Hilbert H , hai phần tử x, y H gọi trực giao với nhau, kí hiệu x  y , ( x, y )  SVTH: Đinh Thị Nhâm K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Định nghĩa 1.2.4 Cho không gian Hilbert H tập hợp A  H , A  Phần tử x H gọi trực giao với tập hợp A , x  y (y A) , kí hiệu x  A 1.2.4 Phần bù trực giao Định nghĩa 1.2.5 Cho không gian Hilbert H không gian E H Tập F  H gồm phần tử không gian H trực giao với tập E gọi phần bù trực giao tập E không gian H kí hiệu: F  H  E Dễ thấy F không gian H ta có biểu diễn: H  E  F   x  x1  x2 , x1 E , x2  F  Định lí 1.2.2 (định lí hình chiếu lên không gian con) Cho không gian Hilbert H H o không gian H Khi phần tử x H biểu diễn cách dạng: x  y  z, yH o , z  H 1.2.5 Hệ trực chuẩn Định nghĩa 1.2.6 Cho không gian Hilbert H Một tập hợp (còn gọi hệ thống) gồm hữu hạn hay đếm phần tử (en ) n1  H gọi hệ trực chuẩn nếu: 0, nÕu i  j  ei ,e j  ij  1, nÕu i  j  ij _ kí hiệu Kroneckes (i, j 1,2 ) SVTH: Đinh Thị Nhâm K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường d Tx,Tx '  kd  x, x ' ,  k  n T ánh xạ co từ vào Vì vậy, áp dụng định lí 1.1 tồn điểm bất động x T n , x nghiệm hệ (2.2.1) Ví dụ 2.2 Giải hệ phương trình sau 10 x1  x2  x3  10   x1  10 x2  x3  12  x  x  10 x   Giải Ta có 10 x1  x2  x3  10  x1  0.2 x2  0.1x3     x1  10 x2  x3  12  0.1x1  x2  0.2 x3  1.2  x  x  10 x  0.1x  0.1x  x  0.8 3   Khi hệ viết thành  x1  x1  0.2 x2  0.1x3    x2  0.1x1  x2  0.2 x3  1.2,  x  0.1x  0.1x  x  0.8  Theo cách đặt  ij  aij   ij ta ij  Xét ánh xạ T :    0.2  0.1   0.1  0.2   0.1  0.1    x  Tx  x  Ax  b Với i    1 j   0.2  0.1  0.3  j 1 SVTH: Đinh Thị Nhâm 35 K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường i 2  2 j  0.1   0.2  0.3  j 1 i 3  3 j  0.1  0.1   0.2  j 1 Vậy T ánh xạ co Áp dụng định lí 1.1 tồn điểm bất động x T , x nghiệm hệ phương trình cho Dễ dàng kiểm tra x   0.64,0.94,0.58  nghiệm hệ phương trình 2.3 Ứng dụng việc giải phương trình tích phân Ở ta chứng minh định lí tồn sau cho phương trình tích phân Định lí 2.3.1 Cho hàm K  x, y  xác định đo hình vuông A   x, y   a  x  b, a  y  b Giả thiết rằng, cho bb   K  x, y  dxdy  , aa g  x L2  a, b  Khi phương trình tích phân b f  x   g  x     K  x, y  f  y  dy (2.3.1) a có nghiệm f  x L2  a, b  với giá trị đủ nhỏ tham số  Chứng minh Áp dụng định lí 1.1, cho X  L2  a, b  xét ánh xạ T T : L2  a, b   L2  a, b  Tf  h SVTH: Đinh Thị Nhâm 36 K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường b h( x)  g ( x)    K ( x, y ) f ( y )dy a Định nghĩa cho f  L2 (a, b), h L2 (a, b) Thật vậy, vì: Khi g  L2 ( a, b)  vô hướng, đủ để chứng tỏ b  ( x)   K ( x, y ) f ( y )dyL2 (a, b) a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz b b  K ( x, y ) f ( y)dy   K ( x, y) f ( y ) dy a a 12 b 2    K ( x, y )    a  b  Hay:  ( x)    K ( x, y ) f ( y )dy  a    12 b 2 f ( y )     a   2 b  b     K ( x, y ) dy   f ( y ) dy   a   a   Hay b bb 2  b   ( x) dx     K ( x, y) dy  dx  f ( y) dy a a a a  Bởi giả thiết bb  b 2  K ( x, y ) dxdy    f ( y ) dy     a aa   Do SVTH: Đinh Thị Nhâm 37 K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường b  ( x)   K ( x, y ) f ( y )dyL2 (a, b) a Ta biết L2 ( a, b) không gian metric đủ với metric 12 b  d ( f , g )    f ( x)  g ( x) dx    a  Bây chứng tỏ T ánh xạ co Ta có: d (Tf , Tf1)  d ( h, h1) b h1( x)  g ( x)    K ( x, y ) f1( y )dy a b d (h, h1)     a  b    K ( x, y )  f ( y )  f1( y ) dy   a  12 b  bb       K ( x, y ) dxdy    aa  12  dx    12    f ( y )  f1( y ) dy    a  Bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Bunyakowski, đó: 12 bb  d (Tf ,Tf1)      K ( x, y ) dxdy    aa  Nếu   12 bb     K ( x, y ) dxdy    aa  d ( f , f1) , đó: d (Tf , Tf1)  k d ( f , f1) 12 bb   k      K ( x, y ) dxdy    aa  SVTH: Đinh Thị Nhâm 1 38 K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Do T ánh xạ co áp dụng định lí 1.1, T có điểm bất động f   L2 (a, b) cho Tf   f  Điểm bất động f  nghiệm phương trình (2.3.1) Định lí 2.3.2 Cho K : 0, T    0, T    liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitz K  t , s , x   K  t , s, y   L x  y với  s, t    0, T    0, T  x, y  Khi cho u  C  0, T  phương trình t u  t   u  t    K  t , s, u  s   ds 0  t  T  có nghiệm u  C  0, T  Hơn nữa, ta xác định dãy hàm un  quy nạp việc chon uo  C  0, T  đặt t un 1  t   u  t    K  t , s, un  s   ds, Thì dãy un  hội tụ  0,T  đến nghiệm u Chứng minh Cho E không gian Banach tất hàm thực liên tục đa trị  0,T  trang bị chuẩn g max e  Lt g  t  0 t T Chuẩn tương đương với chuẩn sup x , e Lt x x x ; nữa, đầy đủ Xác định F : E  E SVTH: Đinh Thị Nhâm 39 K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường t F  g  t   u  t    K  t , s, g  s   ds Để chứng minh phương trình tích phân có nghiệm, ta phải chứng minh F : E  E có điểm bất động Ta F ánh xạ co Thật vậy, ta có: F  g   F  h  max e Lt F  g  t   F  h  t  0t T t  max e Lt  K  t , s, g  s    K  t , s, h  s   ds 0t T t t  L max e Lt  g  s   h  s  ds  L max e Lt  e Ls e Ls g  s   h  s  ds 0 t T 0t T 0 t  Lg  h max e Lt  e Ls dsLg  h max e  Lt 0 t T  0t T e Lt  L    e  Lt g  h  e Lt  nên ánh xạ F : E  E ánh xạ co Theo nguyên lý Banach thứ F có điểm bất động u  E thứ hai dãy un  xác định trình lặp mô tả phát biểu định lí hội tụ chuẩn x, hội tụ chuẩn sup x Như vậy, F với chuẩn sup x có điểm bất động Ví dụ 2.3 Tìm hàm u  u  t  đoạn  0, 2 thỏa mãn phương trình t t   et  s g  s  ds Giải Đặt K  t , s, x   et  s g  s  , t , s   0,2 Ta có K : 0,2   0,2   thỏa mãn điều kiện Lipschitz với số L  e2 : SVTH: Đinh Thị Nhâm 40 K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường K  t , s, x   K  t , s, y   e x  y , x, y  Vì vậy, theo định lí 2.3.2, phương trình có nghiệm  0, 2 Có thể kiểm tra trực tiếp hàm số g  t    t nghiệm phương trình cho 2.4 Ứng dụng giải phương trình vi phân Trong phần ta áp dụng định lí 1.1 để chứng minh định lí Picard Định lí 2.4 (Định lí Picard) Cho f ( x, y ) hàm liên tục hai biến hình chữ nhật A ( x, y)  a  x  b, c  y  d  thỏa mãn điều kiện Lipchitz thứ tự hai biến y Hơn cho ( x0 , y0 ) điểm A Khi phương trình vi phân dy  f ( x, y ) dx (2.4.1) Có nghiệm Nói cách khác y  g ( x) qua điểm ( x0 , y0 ) Chứng minh Trước hết thấy vấn đề việc xác định nghiệm phương trình (2.4.1) tương đương với vấn đề tìm nghiệm phương trình tích phân Nếu y  g ( x) thỏa mãn phương trình (2.4.1) có tính chất g ( x0 )  y0 phương trình tích phân (2.4.1) từ x0 đến x , ta nhận là: SVTH: Đinh Thị Nhâm 41 K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường x  g ( x)  g ( x0 )   f (t , g (t )dt  x0 x g ( x)  y0   f (t , g (t )dt x0      (2.4.2) Do nghiệm phương trình (2.4.1) tương đương với nghiệm hệ phương trình (2.4.2) Để xác định nghiệm hệ phương trình (2.4.2) ta áp dụng định lí 1.1 Vì f ( x, y ) thỏa mãn điều kiện Lipchitz để hai biến y, tồn số q  cho f ( x, y1)  f ( x, y2 )  q y1  y2 Vì f ( x, y ) liên tục tập hợp compact A R bị chặn tồn số dương m cho f ( x, y)  m ( x, y ) A Chọn số dương p cho pq 1 hình chữ nhật B  ( x, y )   p  x0  x  p  x0 ,  pm  y0  y  pm  y0 độc lập A Cho X tập hợp tất hàm giá trị thực liên tục y  g ( x) xác định   p  x0 , p  x0  cho d ( g ( x), y0 )  mp X tập hợp đóng không gian metric C  x0  p, x0  p  với metric sup , không gian metric đầy đủ Cho T : X  X xác định x Tf  h , đó: h( x)  y0   f (t , g (t ))dt x0 SVTH: Đinh Thị Nhâm 42 K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường x Vì d (h( x), y0 )  sup f (t , g (t ))dt  m( x  x0 )  mp ,  h ( x ) X x0 nên T hoàn toàn xác định Cho g , g1 X x d (Tg , Tg1)  d (h, h1)  sup   f (t , g (t )  f (t , g1(t ))  dt x0 x   sup f (t , g (t ))  f (t , g (t )) dt x0 x  q  g (t )  g1 (t ) dt x0  qpd ( g , g1 ) Hay d (Tg , Tg1)  kd ( g , g1)  k  pq 1 Do T ánh xạ co từ X vào nó, áp dụng định lí 1.1 T có điểm bất động g   X Điểm bất động g  nghiệm phương trình (2.4.1) Mệnh đề 2.4: Giả sử a) Hàm số F : S  liên tục có đạo hàm riêng F : S  liên tục b) Đặt M  max F  x, u  L  max Fu  x, u  chọn số thực  x,u S  x,u S h trường hợp cho  h  r , hM  r hL  Khi đó, điều sau đúng: i) Bài toán ban đầu (2.4.3) có nghiệm dạng (2.4.3*) ii) Đây nghiệm phương trình tích phân (2.4.4) iii) Dãy  un  tạo (2.4.5) hội tụ đến u không gian Banach X SVTH: Đinh Thị Nhâm 43 K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp iv) GVHD: Bùi Kiên Cường Với n  0,1, , ta có đánh giá sai số un  u  k n 1  k  1 un 1  u  k n 1  k  u1  uo 1 un 1  un với k  hL Chứng minh Bước Định nghĩa toán tử qua x Au  x   uo   F  y, u  y   dy, xo  h  x  xo  h xo Khi phương trình (2.4.4) tương đương với toán điểm bất động (2.4.4*) Au  u , u  M Với u  M , hàm số: u : xo  h, xo  h  liên tục  x, u  x    S , x   xo  h, xo  h F : x  F  x, u  x   Suy hàm số liên tục  xo  h, xo  h hàm số Au : xo  h, xo  h   liên tục Vậy ta có toán tử A : M  X , ta chứng minh được: 1) A M   M 2) Au  Av  k u  v , u, v  M , k   0,1 Thật vậy: 1) Với u  M bất kì, đó: x  F  y, u  y   dy  xo x  xo max F  y, u   hM  r ( y , u )S với x   xo  h, xo  h  SVTH: Đinh Thị Nhâm 44 K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường x hay Au  uo   F  y, u  y   dy  r max xo  h  x  xo  h x o Từ đó, suy Au  M 2) Theo định lí giá trị trung bình F  x, u   F  x, v   Fu  x,   u  v  L u  v ,   x, u  ,  x, v   S Khi đó, u, v  M Ta có: x Au  Av  max   F  y, u  y    F  y, v  y   dy xo  h  x  x0  h x  hL max xo  h  x  xo  h u  y   v  y   k u  v với k  hL  Vậy giả thiết định lí điểm bất động Banach thỏa mãn áp dụng định lí với phương trình (2.4.4*) Bước Sự tương đương Gọi u nghiệm phương trình (2.4.4*) Lấy đạo hàm (2.4.4*), ta có hàm số u nghiệm toán giá trị ban đầu (2.4.3) - (2.4.3*) Ngược lại, gọi u nghiệm (2.4.3) - (2.4.3*) Tích phân (2.4.3) cho thấy hàm số u nghiệm phương trình tích phân (2.4.4) Chứng tỏ hai toán (2.4.3) - (2.4.3*) (2.4.4) tương đương Vậy mệnh đề chứng minh Ví dụ 2.4: Bài toán ban đầu  u u '  F  x, u   x   u     SVTH: Đinh Thị Nhâm 45 1  x 4 K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường  Có nghiệm tập S   x, u    1 : x  ,u   4 Thật vậy, ta có hàm số: F :S  u  x, u   x  hàm liên tục có đạo hàm riêng Fu  liên tục 1 Đặt M  max F  x, u     64 16 64  x, u S L  max Fu  x, u    x, u S 1 Theo giả thiết ta có: h  , r  Khi đó:  h  r , hM  r , hL  4 Do đó, mệnh đề (2.4) thỏa mãn nên toán có nghiệm tập S Ta tìm nghiệm này, phương trình ban đầu có dạng: u '  u  x3 Phương trình đặc trưng là:   Do   1 0  4  nên ta có: Tìm nghiệm riêng u*  x  dạng: u*  x   Ax  Bx  Cx  D Thay vào phương trình ban đầu, ta có: Ax  Bx  C  Ax  Bx  Cx  D  x3   Đồng hệ số, ta thu được: A  4, B  48, C  384, D  1536 SVTH: Đinh Thị Nhâm 46 K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Suy ra: u  x   4 x3  48 x  384 x  1536 Vì vậy, nghiệm phương trình là: u x  C1.e  x3  48 x  384 x  1536 Do u     C1  1536 nên nghiệm là: u x  1536.e SVTH: Đinh Thị Nhâm  x3  48 x  384 x  1536 47 K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường KẾT LUẬN Trên toàn nội dung khóa luận: “Định lí điểm bất động số ứng dụng nó” Nội dung khóa luận đề cập đến là: Nêu lên khái niệm, ví dụ, định lí quan trọng không gian metric, không gian Hilbert Những kiến thức toán tử tích phân không gian L2  a, b  Nêu định lí điểm bất động số ứng dụng định lí điểm bất động vào tìm nghiệm phương trình, giải phương trình ma trận, giải phương trình tích phân giải phương trình vi phân Tuy nhiên, thời gian kiến thức có hạn nên không tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn sinh viên Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Đinh Thị Nhâm SVTH: Đinh Thị Nhâm 48 K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Đức Chính (1987), Giải tích hàm  Tập  Cơ sở lý thuyết, NXB Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Thu (2002), Giải tích hàm, NXB Giáo dục Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB khoa học kỹ thuật Đỗ Hồng Tân (2001), Các định lí điểm bất động, NXB Đại Học Sư Phạm Applied Functional Analysis, Siddiqui SVTH: Đinh Thị Nhâm 49 K35G- SP Toán [...]... CHƯƠNG 2 ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 1 Định lí Banach ánh xạ co Định nghĩa 1.1 (Ánh xạ co) Một ánh xạ T từ một không gian metric ( X , d ) vào chính nó (T : X  X ) được gọi là một ánh xạ liên tục Lipschitz nếu có một hằng số thực dương  sao cho d (Tx, Ty )   d ( x, y ) x, y X Nếu 0    1 thì T được gọi là một ánh xạ co,  được gọi là hệ số co của T Ví dụ 1.1 Cho T : R  R và Tx...  M là một ánh xạ mà T N là một ánh xạ co với mỗi số nguyên dương N Khi đó T có một điểm bất động duy nhất Chứng minh Nhờ định lí Banach ánh xạ co T N có một điểm bất động duy nhất x Vì   T N 1  x   T T N  x   T  x  , SVTH: Đinh Thị Nhâm 26 K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Vì vậy T  x  cũng có một điểm bất động của T N Vì điểm bất động của T N là duy nhất, nên... đặt ra là liệu có một điểm bất động nào là kết quả cho ánh xạ co được Bây giờ câu trả lời là có, nhưng lớp của không gian mà nó được áp dụng nhiều hơn Định lí 1.4 Cho M ,d  là một không gian metric compact và cho T : M  M là một ánh xạ co được Khi đó T có một điểm bất động duy nhất xo , và hơn nữa, với mỗi x  M , lim T n  x   xo n  Chứng minh Sự tồn tại của một điểm cố định đối với T là dễ... có điểm bất động u nếu tồn tại u X sao cho: Tu  u SVTH: Đinh Thị Nhâm 24 K35G- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường Định lí 1.1 (Định lí Banach về ánh xạ co) Cho T : X  X là một ánh xạ co với hệ số co  từ không gian metric đủ ( X , d ) vào chính nó Khi đó ánh xạ T tồn tại duy nhất một điểm bất động u X Hơn nữa, với bất kỳ x X dãy x, T  x  , T 2  x  , ,T k  x  hội tụ tới điểm. .. trình Ax  b tương đương với việc tìm điểm bất động của ánh xạ T Lúc này Tx  Tx   I  A  x  x  và chúng ta chứng tỏ rằng T là ánh xạ co dưới một điều kiện phù hợp trên ma trận Để tìm điểm bất động duy nhất của T , một nghiệm duy nhất của hệ phương trình (2.2.1) chúng ta áp dụng định lí 2.1 Thực ra, ta chứng minh kết quả sau: hệ phương trình (2.2.1) có một nghiệm duy nhất nếu n n  ij  ... : M  M là ánh xạ liên tục đối với metric  và một ánh xạ co đối với metric d Khi đó T có một điểm bất động duy nhất trong M Trong việc xem xét ánh xạ Lipchitz một câu hỏi đặt ra rằng liệu có thể làm suy yếu sự co mà vẫn tồn tại điểm bất động Theo nghĩa rộng thì câu trả lời này là không và đây là một ví dụ Bắt đầu với không gian metric đầy đủ C  0,1 và xem xét các không gian con đóng M của C ... là một mâu thuẫn Chứng minh định lí 1.5 là hoàn thành Cho x  M Vì M là không   gian đầy đủ và vì T n  x  là dãy Cauchy, lim T n  x   z  M , và vì T n  là liên tục, T  z   z Tính duy nhất của z được suy ra từ điều kiện co được của T 2 Ứng dụng của định lí Banach ánh xạ co 2.1 Ứng dụng trong việc giải phương trình giá trị thực Cho X  R là không gian metric của các số thực với x  x và. .. duy nhất một lần nữa ta được y  x Định lí dưới đây là mở rộng của định lí Banach ánh xạ co Chúng ta bỏ qua việc chứng minh vì kết quả tổng quát được chứng minh trong muc sau Tuy nhiên, kết quả chứng minh nó là một bài toán đẹp Định lí 1.3 Cho M là một không gian metric có hai metric d và  , và giả sử   x, y   d  x, y  với mỗi x, y M Giả sử  M ,   là không gian metric đầy đủ, và giả sử... toán tử đối xứng Định lí 1.2.5 Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào chính nó là tự liên hợp khi và chỉ khi tích vô hướng (Ax, x) là một số thực đối với mọi x H 1.2.10 Sự hội tụ yếu Định nghĩa 1.2.10 Cho không gian Hilbert H Dãy điểm ( xn )  H gọi là hội tụ yếu tới điểm x H , nếu với mọi điểm y H ta có: lim ( xn , y )  ( x, y ) n  1.2.11 Toán tử compact Định lí 1.2.6... một hàm khả vi sao cho: f   x   k 1 Giả sử chúng ta muốn tìm nghiệm của phương trình x  f  x  , áp dụng định lí giá trị trung bình Lagarange với bất kỳ x, y a, b  , f  x   f  y   f   z  x  y  ở đó y  z  x Do đó: f  x   f  y   f   z  x  y  k x  y ở đó 0  k 1 Do đó, f là một ánh xạ co từ  a, b  vào chính nó Áp dụng định lí   1.1, tồn tại duy nhất điểm bất động ... CHƯƠNG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Định lí Banach ánh xạ co Định nghĩa 1.1 (Ánh xạ co) Một ánh xạ T từ không gian metric ( X , d ) vào (T : X  X ) gọi ánh xạ liên tục Lipschitz có số. .. bất động số ứng dụng Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học khóa luận tốt nghiệp Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu định lí điểm bất động Nghiên cứu việc áp dụng định lí điểm. .. Hilbert Những kiến thức toán tử tích phân không gian L2  a, b  Nêu định lí điểm bất động số ứng dụng định lí điểm bất động vào tìm nghiệm phương trình, giải phương trình ma trận, giải phương