Một số ứng dụng của tiên đề tách trong không gian compact ..... Mục đích nghiên cứu của đề tài Bước đầu liên quan với việc nghiên tài cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về hình học đặc biệ
Trang 1MỞ ĐẦU 2
1. Lý do chọn đề tài 2
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài 2
3. Đối tượng nghiên cứu của đề tài 3
4. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu của đề tài 3
5. Giả thuyết khoa học 3
6. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài 3
7. Phương pháp nghiên cứu 3
8. Nội dung công trình nghiên cứu 4
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5
1.1 Không gian metric 5
1.2 Tập mở và tập đóng 9
1.3 Không gian topo 15
1.4 Không gian con. Tích Descartes. Không gian thương 18
1.5 Ánh xạ liên tục. Phép đồng phôi 21
CHƯƠNG 2: CÁC TIÊN ĐỀ TÁCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 23
2.1 Các tiên đề tách T i 23
2.2. Một số định lý và hệ quả 27
2.3. Một số ứng dụng của tiên đề tách trong không gian compact 36
2.4. Các phản ví dụ 40
KẾT LUẬN 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO 59
Trang 2MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Trong giải tích hiện đại một nội dung có vai trò quan trọng và cũng khá hấp dẫn với chúng ta là nghiên cứu về không gian topo. Nhưng bản thân không gian topo lại quá rộng làm ta không thể tìm hiểu sâu về nhiều vấn đề hay cùng một lúc. Không gian topo cụ thể thì càng có nhiều vấn đề để bàn. Với mong muốn được tìm hiểu và nắm vứng kiến thức cơ bản của môn học đồng thời là bước đầu tiếp cận với việc nghiên cứu khoa học cùng với sự giúp đỡ của thầy giáo Ngu yễn Năng Tâm e m chọn đề tài “Các tiên đề tách và ứng dụng” để làm khóa luận tốt nghiệp.
2 Mục đích nghiên cứu của đề tài
Bước đầu liên quan với việc nghiên tài cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về hình học đặc biệt là các tiên đề tách và một số ứng dụng của nó. Các tiên đề tách đề cập tới việc tách điểm, tách điểm và tập hợp đóng hoặc tách các tập hợp đóng thông qua khái niệm T - không gian, 0 T - không gian, 1 T - không 2
gian, T - không gian, 3 1
2
T - không gian, T - không gian; các định 4
lý đặc trưng, hệ quả và các nhận xét; các phản ví dụ chứng tỏ tồn tại những không gian tách “nhỏ hơn” nhưng không là không gian tách “lớn hơn” và một số ứng dụng của các tiên đề tách.
Trang 33 Đối tượng nghiên cứu của đề tài
Nghiên cứu về các tiên đề tách và một số vấn đề có liên quan đến các tiên đề tách và một số ứng dụng.
4 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu của đề tài
Giới hạn nội dung: nghiên cứu các tiên đề tách và một số vấn đề liên quan.
Giới hạn đối tượng: các tiên đề tách.
Giới hạn thời gian: 5 tháng.
5 Giả thuyết khoa học
Hệ thống lý thuyết về các tiên đề tách làm thành tài liệu chu yên sâu giúp các bản thân em có thể tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này.
6 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
Nghiên cứu một số phần kiến thức nhỏ là chuẩn bị cơ bản liên quan đến toán học.
7 Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện bài này tác giả khóa luận đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau đây:
Trang 48 Nội dung công trình nghiên cứu
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm hai chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian metric
1.2 Tập hợp mở và tập hợp đóng
1.3 Không gian topo
1.4 Không gian con. Tích Descartes. Không gian thương 1.5 Ánh xạ liên tục. Phép đồng phôi
Trang 5CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này đề cập đến một số kiến thức cơ bản về không gian metric, không gian topo, tập đóng tập mở, không gian con, tích Descartes, không gian thương, ánh xạ liên tục và phép đồng phôi.
1.1 Không gian metric
Định nghĩa 1.1.1. Không gian metric là một cặp X d, ,
trong đó X là một tập hợp, d : X X là một hàm xác định trên X X thỏa mãn các tiên đề sau:
d gọi là metric trong X và d x y là khoảng cách giữa ,
hai điểm , x y X. Mỗi phần tử trong X được gọi là một điểm của X
Ví dụ 1.1.1. Tập hợp các số thực ℝ và tập hợp các số
phức ℂ là những không gian metric, với metric
, | |, ,
Trang 6Ví dụ 1.1.2. Không gian ơclit (Euclide) ℝk
là không gian metric với metric d xác định như sau:
Nếu x 1, ,k và y 1, ,k là hai phần tử của ℝk
thì
1 2 2
Hiển nhiên d thỏa mãn hai tiên đề đồng nhất và đối xứng.
Ta kiểm tra tiên đề tam giác. Trước hết, để ý rằng nếu
Trang 7Giả sử M là một tập hợp con của không gian metric
X d Dễ thấy rằng hàm số , d M d MM là một metric trên tập
hợp M Không gian metric M d, M gọi là không gian con của không gian metric X d, ; d M gọi là metric cảm sinh bởi metric d trên M
Định nghĩa 1.1.2. Dã y { }x n những phần tử của không gian metric X d được gọi là hội tụ đến phần tử a, X , với mọi 0,
Trang 8
1 2 2
Trang 9Định nghĩa 1.1.3 Dã y x n trong không gian metric X d ,
Trang 10Điể m x X được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại một
hình cầu S x( ,) tâm x chứa trong A (hay 0 :S x , A).
A được gọi là tập hợp mở nếu mọi điểm thuộc A đều là
Trang 11Do đó x là điểm trong của S a r , . Su y ra S a r là tập ,
Trang 12(iii) Giả sử G i i 1, ,n là các tập hợp mở, với
1
n i i
thì xG i i 1, ,n.
Vì G là tập hợp mở nên x là điểm trong của i G Su y ra i
G
là một tập hợp mở.□
Trang 131
n
i i
F
là một tập hợp đóng. □
Định nghĩa 1.2.3. Cho X là không gian metric, với x X Tập hợp mở U chứa x được gọi là một lân cận mở chứa x
Lân cận của x là một tập hợp V chứa một lân cận mở
của x
Hình cầu mở S x , còn được gọi là một lân cận của x
Ký hiệu: V x S x ,.
Họ x tập hợp các lân cận của x được gọi là một cơ sở lân cận của x nếu với mọi lân cận V của x thì tồn tại U x sao
Trang 141, , 1, 2,
hoặc IntA .Phần trong của một tập hợp có thể là tập hợp rỗng. Hiển nhiên ta có:
Phần trong của một tập hợp là một tập hợp mở, và đó là tập hợp mở lớn nhất chứa trong A
Tập hợp A là tập hợp mở khi và chỉ khi IntA A.
Nếu A B thì IntA IntB.
Định nghĩa 1.2.5 Cho không gian metric X tập hợp A là ,tập hợp con của X Điểm x X được gọi là điểm dính của A
nếu mọi lân cận V của x thì V A .
Tập hợp tất cả các điểm dính của A được gọi là bao đóng
của A Ký hiệu: A hoặc clA
Chú ý: Vì X là một tập hợp đóng chứa A nên bao đóng của tập hợp A luôn tồn tại.
Hiển nhiên ta có:
(i) Nếu x A thì x A nên suy ra A A.
(ii) A là một tập hợp đóng và đó là một tập hợp đóng nhỏ nhất chứa A
(iii) Tập hợp A là tập hợp đóng khi và chỉ khi A A.
(iv) Nếu A B thì
Trang 15Định lý 1.2.5. Giả sử A là một tập hợp con của không gian metric X và x X Khi đó x A khi và chỉ khi mỗi lân cận V của x đều có điểm chung với A
Chứng minh
Nếu x thì V X \ là một lân cận của x không chứa
điểm chung với A Đảo lại, nếu tồn tại một lân cận V của x .sao cho V A thì X \V là một tập hợp đóng chứa A
1.3 Không gian topo
Định nghĩa 1.3.1. Không gian topo là một cặp X , trong
Trang 16Tập hợp X gọi là không gian, các phần tử của X gọi là
các điểm của không gian, mỗi phần tử của gọi là một tập hợp
mở của không gian X Họ gọi là một topo trên tập hợp X .Định nghĩa 1.3.4. Cho X là một không gian topo. Tập ,
Ví dụ 1.3.1. Cặp X , trong đó X là một không gian metric và là họ tất cả các tập hợp mở trong X là một không
gian topo. Vì họ các tập hợp mở trong một không gian metric thỏa mãn các điều kiện của một topo.
Ví dụ 1.3.2. Nếu là họ các tập hợp con của tập hợp số thực mở rộng sao cho với mọi A ,A khi và chỉ khi A
là hợp của một họ nào đó những tập hợp có dạng
a b, ,,c , d,, , , ,a b c d ,a b thì cặp , là một
không gian topo.
Trang 17
Định nghĩa 1.3.3. Cho A X và V X. V được gọi là một lân cận của tập hợp A nếu tồn tại G sao cho
A G V
Nếu A x thì V được gọi là một lân cận của điểm x
Nếu V là tập mở thì V là lân cận mở của A
Định nghĩa 1.3.4. Cho họ Bx V x là một cơ sở lân cận của
điểm x (ha y cơ sở địa phương của không gian X tại điểm x )
nếu với mọi V V x, tồn tại B B sao cho x x B V.
Định nghĩa 1.3.5. Cho 1, 2 là hai không gian topo trên
X Ta nói mạnh hơn 1 (2 yếu hơn 2 ) nếu 1 tức là 1 2mỗi tập hợp mở đối với topo 2 cũng là một tập hợp mở đối với topo 1. Ký hiệu: 1 2.
Hiển nhiên, topo rời rạc trên một tập hợp X là mạnh nhất và topo phản rời rạc trên X là yếu nhất trong tất cả các
Trang 18bị hai topo A X,, A; B X,, B. Dễ thấy và A B
là không so sánh được: không mạnh hơn A , B không Bmạnh hơn A
Định nghĩa 1.3.6. Giả sử X là một không gian topo, ,
A X Điểm x được gọi là điểm biên của tập hợp A khi và
chỉ khi x A A c Tập hợp tất cả các điểm biên của A được gọi là biên của tập hợp A , ký hiệu: A.
Định nghĩa 1.3.7. Giả sử A là một tập hợp con của không
gian topo X. Điểm x X gọi là một điểm tụ của tập hợp A
nếu x A\ x Tập hợp tất cả các điểm tụ của A gọi là tập hợp dẫn xuất của A , ký hiệu: A d
Các điểm của tập hợp A \ A gọi là các điểm cô lập của tập d
hợp A Điểm x của không gian topo X là một điểm cô lập của
X khi và chỉ khi x là một tập hợp mở. Thật vậy, x là một
điểm cô lập của X khi và chỉ khi x X \ x , điều này tương đương với X \ x X \ x , tức là X \ x là một tập hợp
Trang 19(ii) Bao đóng cl A của tập hợp A trong không gian M và M
bao đóng A của tập hợp A trong không gian X liên hệ với
(ii) Theo định nghĩa của bao đóng, cl A là giao của tất cả M
các tập hợp đóng trong M chứa A tức là giao của tất cả các ,tập hợp có dạng M F, trong đó F là tập hợp đóng trong X
và F A.
Từ đó su y ra
cl A M M A. □
Trang 20Ví dụ 1.4.1. Không gian I 0, 1 với topo tự nhiên là không gian con đóng của không gian các số thực với tôpô tự
nhiên. Nếu A là một tập hợp con của ℝ thì tôpô tự nhiên trong
A được hiểu là tôpô cảm sinh vào A bởi tôpô tự nhiên trên ℝ. Khi nói tới các khoảng hoặc các tập hợp những số thực mà không có giải thích gì thêm thì ta hiểu các tập hợp đó được trang bị topo tự nhiên. Dễ dàng chứng minh được rằng hai khoảng mở bất kì, hai khoảng đóng bất kì không su y biến thành một điểm, hai khoảng nửa đóng bất kì là đồng phôi với nhau. Đường thẳng ℝ được nhúng đồng phôi vào khoảng đóng
Định nghĩa 1.4.2. Cho X là một không gian topo, R là
một quan hệ tương đương trong X Gọi X / R là tập hợp các
lớp tương đương và i: X X / R x, i x x ( x là lớp tương đương chứa x ) là ánh xạ thương.
Trang 21Đó là topo mạnh nhất trong các topo trang bị trên X / R
sao cho ánh xạ i liên tục. Tập hợp X / R với topo thương gọi
là không gian thương.
1.5 Ánh xạ liên tục Phép đồng phôi
Định nghĩa 1.5.1. Cho hai không gian topo X , X và
Y , Y . Ánh xạ f : X Y gọi là liên tục tại điểm x o X nếu
mỗi lân cận V của điểm f x o Y tồn tại lân cận U của x sao o
Trang 22Giả sử f : X Y là một song ánh từ không gian topo X
Trang 23CHƯƠNG 2: CÁC TIÊN ĐỀ TÁCH VÀ MỘT
SỐ ỨNG DỤNG
Chương này đề cập tới nội dung các tiên đề tách và một số ứng dụng tách điểm, tách tập thông qua các định lý, hệ quả và một số phản ví dụ.
Nhận xét: Không gian topo phản rời rạc
X,, , X, nếu X 2 không là T - không gian. 0
Trang 24Do x y thuộc 1, 1 T - không gian 1 X nên tồn tại lân cận 1, 1
mở U của x , 1 V của y sao cho 1 x1V y, 1U Thế thì ta có lân cận
T : với mọi , x y X x, y , tồn tại một lân cận U của x và
lân cận V của y sao cho U V .
2
T còn được gọi là không gian tách.
Ví dụ 2.1.3. Cho X là một tập hợp vô hạn. Họ D những tập hợp con của X bao gồm X và tất cả những tập hợp con hữu hạn của X Không gian topo xác định bởi họ tập hợp đóng D bao gồm tập hợp rỗng và phần bù của các tập hợp con hữu hạn của X là một T - không gian nhưng không phải là 1
2
T - không gian.
Ví dụ 2.1.4. Mọi không gian metric đều là T - không gian. 2
Định nghĩa 2.1.4. Không gian topo X được gọi là ,
Trang 26Không gian hoàn toàn chính qu y được gọi là không gian Tykhonoff
xU F V và U V nên không gian topo là T -không 3
gian.
Định nghĩa 2.1.6. Không gian topo X gọi là , T - không 4
gian hay không gian chuẩn tắc nếu X là T -không gian thỏa 4
mãn tiên đề tách T : 4
4
T : Với mọi tập hợp đóng E F, X E, F , tồn tại một
lân cận U của E và một lân cận V của F sao cho U V .
Ví dụ 2.1.7. Gọi P là nửa mặt phẳng trên, tức là
z Đặt U i z U z,1 z , i 1, 2,
i
Với mỗi z P2 và mỗi
số thực dương ,r gọi U z r là tập hợp các điểm của P nằm ,
trong hình tròn tâm z bán kính r
Trang 27 x là tập hợp đóng.
Ngược lại, giả sử mọi tập hợp một điểm trong không gian
topo X đều đóng thì với mọi x y, X x, y. Tập hợp
Trang 28Vậy mọi lân cận của x chứa vô số điểm của A □
Định lý 2.2.2. T - không gian 1 X là một không gian ,
chính quy khi và chỉ khi với mọi x X và mọi tập hợp mở G
chứa x , tồn tại tập hợp mở U chứa x sao cho
xU clU G.
Chứng minh
Giả sử X là không gian chính qu y, x X và G là tập hợp
mở chứa x Thế thì F X \G là một tập hợp đóng và x F.
Vì X là chính qu y nên tồn tại các tập hợp mở U chứa , x V
chứa F sao cho U W . Khi đó X \ W là tập hợp đóng và
\ W
U X , do đó U clU X \ W X \ F G.
Ngược lại, giả sử X là T - không gian và 1 x X F, là tập
hợp đóng với x F. Thế thì G X \ F là tập hợp mở, xG. Theo giả thiết, tồn tại tập hợp U mở sao cho xU clU G.
Do đó F X \G X \clU V với V là tập hợp mở và
U V .
Vậ y X là không gian chính qu y. □
Trang 29Định lý 2.2.3. T - không gian X là không gian Tykhonoff 1
nếu và chỉ nếu mọi x X và mọi lân cận mở V của x trong cơ
sở con P nào đó, tồn tại hàm số f : X I sao cho f x 0
Ngược lại, lấy x X và F đóng xF. Từ định nghĩa cơ
sở con tồn tại V V1, 2, ,V k P thỏa mãn
1
\
k i i