1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Các tiên đề tách và một số ứng dụng

59 636 2

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 59
Dung lượng 543,42 KB

Nội dung

Một số ứng dụng của tiên đề tách trong không gian compact ..... Mục đích nghiên cứu của đề tài Bước đầu liên quan với việc nghiên tài cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về hình học đặc biệ

Trang 1

MỞ ĐẦU   2 

1. Lý do chọn đề tài   2 

2. Mục đích nghiên cứu của đề tài   2 

3. Đối tượng nghiên cứu của đề tài   3 

4. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu của đề tài   3 

5. Giả thuyết khoa học   3 

6. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài   3 

7. Phương pháp nghiên cứu   3 

8. Nội dung công trình nghiên cứu   4 

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ   5 

1.1  Không gian metric   5 

1.2  Tập mở và tập đóng   9 

1.3  Không gian topo   15 

1.4  Không gian con. Tích Descartes. Không gian thương   18 

1.5  Ánh xạ liên tục. Phép đồng phôi   21 

CHƯƠNG 2: CÁC TIÊN ĐỀ  TÁCH  VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG    23 

2.1  Các tiên đề tách T i   23 

2.2. Một số định lý và hệ quả   27 

2.3.    Một  số  ứng  dụng  của  tiên  đề  tách  trong  không  gian  compact   36 

2.4. Các phản ví dụ   40 

KẾT LUẬN   58 

TÀI LIỆU THAM KHẢO   59   

Trang 2

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài 

Trong  giải  tích  hiện  đại  một  nội  dung  có  vai  trò  quan trọng  và  cũng  khá  hấp  dẫn  với  chúng  ta  là  nghiên  cứu  về không  gian  topo.  Nhưng  bản  thân  không  gian  topo  lại  quá rộng  làm  ta  không  thể  tìm  hiểu  sâu  về  nhiều  vấn  đề  hay  cùng một  lúc.  Không  gian  topo  cụ  thể  thì  càng  có  nhiều  vấn  đề  để bàn.  Với  mong  muốn  được tìm hiểu  và  nắm  vứng  kiến thức  cơ bản  của  môn  học  đồng  thời  là  bước  đầu  tiếp  cận  với  việc nghiên  cứu  khoa  học  cùng  với  sự  giúp  đỡ  của  thầy  giáo Ngu yễn  Năng  Tâm  e m  chọn  đề  tài  “Các  tiên  đề  tách  và  ứng dụng” để làm khóa luận tốt nghiệp.  

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài

Bước  đầu  liên  quan  với  việc  nghiên  tài  cứu  khoa  học  và tìm  hiểu  sâu  hơn  về  hình  học  đặc  biệt  là  các  tiên  đề  tách  và một  số  ứng  dụng  của  nó.  Các  tiên  đề  tách  đề  cập  tới  việc  tách điểm,  tách  điểm  và  tập  hợp  đóng  hoặc  tách  các  tập  hợp  đóng thông  qua  khái  niệm T -  không  gian, 0 T -  không  gian, 1 T -  không 2

gian, T - không  gian, 3 1

2

T -  không gian,  T - không  gian;  các định 4

lý  đặc  trưng,  hệ  quả  và  các  nhận  xét;  các  phản  ví  dụ  chứng  tỏ tồn  tại  những  không  gian  tách  “nhỏ  hơn”  nhưng  không  là không  gian  tách  “lớn  hơn”  và  một  số  ứng  dụng  của  các  tiên  đề tách. 

Trang 3

3 Đối tượng nghiên cứu của đề tài

Nghiên  cứu  về  các  tiên  đề  tách  và  một  số  vấn  đề  có  liên quan đến các tiên đề tách và một số ứng dụng. 

4 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu của đề tài

Giới  hạn  nội  dung:  nghiên  cứu  các  tiên  đề  tách  và  một  số vấn đề liên quan. 

Giới hạn đối tượng: các tiên đề tách. 

Giới hạn thời gian: 5 tháng. 

5 Giả thuyết khoa học

Hệ  thống  lý  thuyết  về  các  tiên  đề  tách  làm  thành  tài  liệu chu yên  sâu  giúp  các  bản  thân  em  có  thể  tìm  hiểu  sâu  hơn  về vấn đề này. 

6 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

Nghiên  cứu  một  số  phần  kiến  thức  nhỏ  là  chuẩn  bị  cơ  bản liên quan đến toán học. 

7 Phương pháp nghiên cứu

Để  thực  hiện  bài  này  tác  giả  khóa  luận  đã  sử  dụng  các phương pháp nghiên cứu sau đây: 

Trang 4

8 Nội dung công trình nghiên cứu

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm hai chương: 

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

1.1. Không gian metric 

1.2  Tập hợp mở và tập hợp đóng 

1.3  Không gian topo 

1.4  Không gian con. Tích Descartes. Không gian thương 1.5  Ánh xạ liên tục. Phép đồng phôi 

Trang 5

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này đề cập  đến  một  số kiến thức  cơ bản  về không gian  metric,  không  gian  topo,  tập  đóng  tập  mở,  không  gian con,  tích  Descartes,  không  gian  thương,  ánh  xạ  liên  tục  và phép đồng phôi. 

1.1 Không gian metric

Định  nghĩa  1.1.1.  Không  gian  metric  là  một  cặp  X d,   , 

trong  đó  X   là  một  tập  hợp,  d :    X     X    là  một  hàm  xác định trên X  X  thỏa mãn các tiên đề sau: 

d   gọi  là  metric  trong  X   và  d x y   là  khoảng  cách  giữa  ,   

hai  điểm  ,  x yX.  Mỗi  phần  tử  trong  X   được  gọi  là  một  điểm  của  X  

Ví dụ 1.1.1. Tập hợp các số thực ℝ và tập hợp các số  

phức  ℂ  là  những  không  gian  metric,  với  metric 

 ,       |   |, ,  

Trang 6

Ví  dụ  1.1.2.  Không  gian  ơclit  (Euclide) ℝk

  là  không  gian metric với metric d  xác định như sau: 

Nếu  x  1, ,k  và  y  1, ,k    là  hai  phần  tử  của ℝk

 

thì         

1 2 2

Hiển  nhiên d   thỏa  mãn  hai  tiên  đề  đồng  nhất  và  đối  xứng. 

Ta  kiểm  tra  tiên  đề  tam  giác.  Trước  hết,  để  ý  rằng  nếu 

Trang 7

Giả  sử  M   là  một  tập  hợp  con  của  không  gian  metric 

X d   Dễ  thấy  rằng  hàm  số ,  d Md MM   là  một  metric  trên  tập 

hợp  M   Không  gian  metric M d, M   gọi  là  không  gian  con  của không  gian  metric  X d,   ;    d M  gọi  là  metric  cảm  sinh  bởi metric d  trên  M   

Định  nghĩa  1.1.2.  Dã y  { }x n   những  phần  tử  của  không  gian metric X d   được  gọi  là  hội  tụ  đến  phần  tử  a,     X ,  với  mọi  0,

Trang 8

   

   

1 2 2

Trang 9

Định  nghĩa 1.1.3 Dã y  x n   trong  không  gian  metric X d  ,   

Trang 10

Điể m  xX   được  gọi  là  điểm  trong  của  A   nếu  tồn  tại  một 

hình cầu S x( ,) tâm x chứa trong  A  (hay   0 :S x ,  A).  

A   được  gọi  là  tập  hợp  mở  nếu  mọi  điểm  thuộc  A   đều  là 

Trang 11

Do  đó  x   là  điểm  trong  của  S a r , .  Su y  ra  S a r   là  tập  , 

Trang 12

(iii)  Giả  sử  G i i 1, ,n  là  các  tập  hợp  mở,  với 

1

n i i

  thì      xG i  i 1, ,n. 

Vì  G   là  tập  hợp  mở  nên  x   là  điểm  trong  của  i G   Su y  ra  i

G

   là  một  tập hợp mở.□ 

Trang 13

1

n

i i

F

  là một tập hợp đóng. □ 

Định nghĩa 1.2.3. Cho  X  là không gian metric, với  xX   Tập hợp mở U  chứa  x  được gọi là một lân cận mở chứa  x   

Lân  cận  của  x   là  một  tập  hợp   V   chứa  một  lân  cận  mở 

của  x   

Hình cầu mở S x ,   còn được gọi là một lân cận của  x    

Ký hiệu:      V x   S x ,. 

Họ  x  tập hợp các lân cận của  x  được gọi là một cơ sở lân  cận  của  x   nếu  với  mọi  lân  cận  V   của  x   thì  tồn  tại  U   x  sao 

Trang 14

1, , 1, 2,

 hoặc IntA   .Phần  trong  của  một  tập  hợp  có  thể  là  tập  hợp  rỗng.  Hiển nhiên ta có: 

 Phần  trong  của  một  tập  hợp  là  một  tập  hợp  mở,  và  đó  là tập hợp mở lớn nhất chứa trong  A   

Tập hợp  A  là tập hợp mở khi và chỉ khi  IntA    A

Nếu  AB thì IntAIntB

Định  nghĩa  1.2.5 Cho  không  gian  metric  X   tập  hợp  A   là ,tập  hợp  con  của  X   Điểm  xX   được  gọi  là  điểm  dính  của  A  

nếu mọi lân cận V  của  x  thì  VA  

Tập  hợp  tất  cả  các  điểm  dính  của  A   được  gọi  là  bao  đóng 

của A  Ký hiệu:  A  hoặc  clA   

Chú  ý:  Vì  X   là  một  tập  hợp  đóng  chứa  A   nên  bao  đóng  của tập hợp  A  luôn tồn tại. 

Hiển nhiên ta có: 

(i)  Nếu xA  thì  xA  nên suy ra  AA

(ii)  A   là  một  tập  hợp  đóng  và  đó  là  một  tập  hợp  đóng  nhỏ  nhất chứa  A  

(iii) Tập hợp  A  là tập hợp đóng khi và chỉ khi  AA

(iv)  Nếu  AB thì      

Trang 15

Định lý 1.2.5. Giả sử  A  là  một tập hợp con của không gian  metric  X   và  xX  Khi  đó  xA   khi  và  chỉ khi mỗi  lân cận  V   của  x  đều có điểm chung với  A  

Chứng minh

Nếu  x     thì  VX \    là  một  lân  cận  của  x   không  chứa 

điểm  chung  với  A   Đảo  lại,  nếu  tồn  tại  một  lân  cận  V   của  x  .sao cho VA   thì X \V  là một tập hợp đóng chứa  A  

1.3 Không gian topo

Định  nghĩa 1.3.1. Không gian  topo  là  một  cặp X ,   trong 

Trang 16

Tập  hợp  X   gọi  là  không  gian,  các  phần  tử  của  X   gọi  là 

các điểm của không gian, mỗi phần tử của    gọi là một tập hợp 

mở của không gian  X  Họ    gọi là một topo trên tập hợp  X    .Định  nghĩa 1.3.4. Cho X   là  một không  gian topo.    Tập , 

Ví  dụ  1.3.1.  Cặp  X ,   trong  đó  X   là  một  không  gian  metric  và     là  họ  tất  cả  các  tập  hợp  mở  trong  X   là  một  không 

gian  topo.  Vì  họ  các  tập  hợp  mở  trong  một  không  gian  metric thỏa mãn các điều kiện của một topo. 

Ví  dụ  1.3.2.  Nếu     là  họ  các  tập  hợp  con  của  tập  hợp  số thực  mở rộng   sao cho với  mọi  A  ,A  khi và chỉ khi  A  

là  hợp  của  một  họ  nào  đó  những  tập  hợp  có  dạng 

a b, ,,c , d,, , , ,a b c d  ,ab  thì  cặp   ,    là  một 

không gian topo.  

 

Trang 17

Định  nghĩa  1.3.3.  Cho  AX   và VX.  V   được  gọi  là  một lân cận của tập hợp  A  nếu tồn tại  G    sao cho 

AGV  

Nếu  A  x   thì V   được  gọi  là  một  lân  cận  của  điểm  x  

Nếu  V  là tập mở thì  V  là lân cận mở của  A      

Định nghĩa 1.3.4. Cho họ BxV x là một cơ sở lân cận của 

điểm  x   (ha y  cơ  sở  địa  phương  của  không  gian  X   tại  điểm  x ) 

nếu với mọi VV x, tồn tại B  B  sao cho  x xBV.    

Định  nghĩa  1.3.5.  Cho   1, 2  là  hai  không  gian  topo  trên 

X   Ta nói    mạnh hơn 1    (2    yếu hơn 2  )  nếu 1      tức  là 1 2mỗi  tập  hợp  mở  đối  với  topo 2  cũng  là  một  tập  hợp  mở  đối với topo 1. Ký hiệu:   1 2. 

 Hiển  nhiên,  topo  rời  rạc  trên  một  tập  hợp  X   là  mạnh  nhất  và  topo  phản  rời  rạc  trên  X   là  yếu  nhất  trong  tất  cả  các 

Trang 18

bị  hai  topo   AX,, A; BX,, B.  Dễ  thấy     và A   B

là  không  so  sánh  được:     không  mạnh  hơn A  , B    không Bmạnh hơn    A

Định  nghĩa  1.3.6.  Giả  sử  X    là  một  không  gian  topo, , 

AX   Điểm  x   được  gọi  là  điểm  biên  của  tập  hợp  A   khi  và 

chỉ  khi  xAA c   Tập  hợp  tất  cả  các  điểm  biên  của  A   được  gọi là biên của tập hợp  A , ký hiệu: A

Định  nghĩa  1.3.7.  Giả  sử  A   là  một  tập  hợp  con  của  không 

gian  topo  X.  Điểm  xX   gọi  là  một  điểm  tụ  của  tập  hợp  A  

nếu  xA\  x   Tập  hợp  tất  cả  các  điểm  tụ  của  A   gọi  là  tập  hợp dẫn xuất của  A , ký hiệu:  A   d

Các điểm của tập hợp A \ A  gọi là các điểm cô lập của tập   d

hợp  A   Điểm  x   của  không  gian  topo  X   là  một  điểm  cô  lập  của 

X   khi  và  chỉ  khi  x   là  một  tập  hợp  mở.  Thật  vậy,  x   là  một 

điểm  cô  lập  của  X   khi  và  chỉ  khi  xX \ x ,  điều  này  tương đương  với  X \ xX \ x ,  tức  là  X \ x   là  một  tập  hợp 

Trang 19

(ii)  Bao  đóng cl A   của  tập  hợp  A   trong  không  gian  M   và  M

bao  đóng  A   của  tập  hợp  A   trong  không  gian  X   liên  hệ  với 

(ii)  Theo  định  nghĩa  của  bao  đóng, cl A   là  giao  của  tất  cả  M

các  tập  hợp  đóng  trong  M   chứa  A   tức  là  giao  của  tất  cả  các ,tập  hợp  có  dạng MF,  trong  đó  F   là  tập  hợp  đóng  trong  X  

và FA.  

  Từ đó su y ra 

       cl A MMA.  □       

Trang 20

Ví  dụ  1.4.1.  Không  gian  I     0,  1     với  topo  tự  nhiên  là không  gian  con  đóng  của  không  gian  các  số  thực  với  tôpô  tự 

nhiên.  Nếu  A   là  một  tập  hợp  con  của  ℝ  thì  tôpô  tự  nhiên  trong 

A   được  hiểu  là  tôpô  cảm  sinh  vào  A   bởi  tôpô  tự  nhiên  trên ℝ. Khi  nói  tới  các  khoảng  hoặc  các  tập  hợp  những  số  thực  mà không  có  giải  thích  gì  thêm  thì  ta  hiểu  các  tập  hợp  đó  được trang  bị  topo  tự  nhiên.  Dễ  dàng  chứng  minh  được  rằng  hai khoảng mở bất kì, hai khoảng đóng bất kì không su y biến thành một  điểm,  hai  khoảng  nửa  đóng    bất  kì  là  đồng  phôi  với  nhau. Đường  thẳng  ℝ  được  nhúng  đồng  phôi  vào  khoảng  đóng 

Định  nghĩa  1.4.2.  Cho  X   là  một  không  gian  topo,  R   là 

một  quan  hệ  tương  đương  trong  X   Gọi  X / R   là  tập  hợp  các 

lớp  tương  đương  và i: XX / R x,  i x   x   ( x   là  lớp  tương  đương chứa  x ) là ánh xạ thương. 

Trang 21

Đó  là  topo  mạnh  nhất  trong  các  topo  trang  bị  trên  X / R  

sao  cho  ánh  xạ  i   liên  tục.  Tập  hợp  X / R   với  topo  thương  gọi 

là không gian thương. 

1.5 Ánh xạ liên tục Phép đồng phôi

Định  nghĩa  1.5.1.  Cho  hai  không  gian  topo  X , X   và 

Y , Y .  Ánh  xạ  f : XY  gọi  là  liên  tục  tại  điểm  x oX   nếu 

mỗi lân cận  V  của điểm  f x oY  tồn tại lân cận  U  của  x  sao  o

Trang 22

Giả  sử  f : XY   là  một  song  ánh  từ  không  gian  topo  X  

Trang 23

CHƯƠNG 2: CÁC TIÊN ĐỀ TÁCH VÀ MỘT

SỐ ỨNG DỤNG

Chương này đề cập tới  nội  dung  các tiên đề tách và  một số ứng  dụng  tách  điểm,  tách  tập  thông  qua  các  định  lý,  hệ  quả  và một số phản ví dụ. 

Nhận  xét:  Không  gian  topo  phản  rời  rạc 

X,,   , X, nếu  X  2 không là T - không gian. 0

Trang 24

Do  x y   thuộc 1, 1 T -  không  gian 1 X    nên  tồn  tại  lân  cận 1, 1

mở U   của  x , 1 V   của  y   sao  cho 1 x1V y, 1U   Thế  thì  ta  có  lân cận 

T :  với  mọi  , x yX x,  y ,  tồn  tại  một  lân  cận  U   của  x   và 

lân cận V  của  y  sao cho  UV  

2

T  còn được gọi là không gian tách. 

Ví  dụ  2.1.3.  Cho  X   là  một  tập  hợp  vô  hạn.  Họ  D   những  tập  hợp  con  của  X   bao  gồm  X   và  tất  cả  những  tập  hợp  con  hữu  hạn  của  X   Không  gian  topo     xác  định  bởi  họ  tập  hợp  đóng  D   bao  gồm  tập  hợp  rỗng  và  phần  bù  của  các  tập  hợp  con  hữu  hạn  của  X   là  một  T -  không  gian  nhưng  không  phải  là   1

2

T - không gian. 

Ví dụ 2.1.4. Mọi không gian metric đều là T - không gian. 2

Định nghĩa 2.1.4. Không gian topo X  được gọi là , 

Trang 26

Không  gian  hoàn  toàn  chính  qu y  được  gọi  là  không  gian Tykhonoff 

xU FV   và  UV    nên  không  gian  topo  là  T -không 3

gian. 

Định  nghĩa 2.1.6.  Không  gian topo X    gọi  là ,  T -  không 4

gian  hay  không  gian  chuẩn  tắc  nếu  X   là  T -không  gian  thỏa 4

mãn tiên đề tách T : 4

4

T :  Với  mọi  tập  hợp  đóng  E F,  X E,  F  ,  tồn  tại  một 

lân cận  U  của  E  và một lân cận  V  của  F  sao cho  UV  .  

Ví  dụ  2.1.7.  Gọi  P   là  nửa  mặt  phẳng  trên,  tức  là 

z   Đặt U i z U z,1   z , i 1, 2, 

i

    Với  mỗi  zP2  và  mỗi 

số  thực  dương  ,r   gọi U z r là  tập  hợp  các  điểm  của  P   nằm  , 

trong hình tròn tâm  z  bán kính  r   

Trang 27

 x  là tập hợp đóng. 

Ngược  lại,  giả  sử  mọi  tập  hợp  một  điểm  trong  không  gian 

topo  X   đều  đóng  thì  với  mọi  x y,  X x,  y.  Tập  hợp 

Trang 28

Vậy  mọi lân cận của  x  chứa vô số điểm của  A  □ 

Định  lý  2.2.2.  T -  không  gian 1 X    là  một  không  gian , 

chính  quy  khi  và  chỉ  khi  với  mọi  xX   và  mọi  tập  hợp  mở G  

chứa  x , tồn tại tập hợp mở  U  chứa  x  sao cho 

xUclUG

Chứng minh

Giả  sử  X   là  không  gian  chính  qu y,  xX   và G   là  tập  hợp 

mở chứa  x  Thế thì  FX \G  là một tập hợp đóng và  xF

Vì  X  là chính qu y nên tồn tại các tập hợp mở  U  chứa  , x V 

chứa  F   sao  cho  U  W  .  Khi  đó  X \ W  là  tập  hợp  đóng  và 

\ W

UX , do đó UclUX \ W  X \ FG

Ngược  lại,  giả  sử  X   là  T -  không  gian  và 1 xX F,   là  tập 

hợp  đóng  với  xF.  Thế  thì  GX \ F   là  tập  hợp  mở,  xG. Theo  giả  thiết,  tồn  tại  tập  hợp U   mở  sao  cho  xUclUG

Do đó FX \GX \clUV với V  là tập hợp mở và 

UV  

 Vậ y  X  là không gian chính qu y. □ 

Trang 29

Định  lý  2.2.3. T -  không  gian  X   là  không  gian  Tykhonoff 1

nếu và chỉ  nếu  mọi  xX   và  mọi  lân cận  mở  V  của  x   trong  cơ 

sở  con  P   nào  đó,  tồn  tại  hàm  số  f : XI  sao  cho  f x   0 

Ngược  lại,  lấy  xX   và  F   đóng  xF.  Từ  định  nghĩa  cơ 

sở  con  tồn  tại  V V1, 2, ,V kP  thỏa  mãn 

1

\

k i i

Ngày đăng: 31/10/2015, 21:58

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w