Một số ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co

Giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính.. Ra đời vào cuối thế kỉ XVII, giải tích toán học có một vị trí quan trọng trong chương trình toán cao cấp của các khoa Khoa học tự nhiên

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1

3 Phương pháp nghiên cứu 1

4 Cấu trúc 2

CHƯƠNG 1 NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO CỦA BANACH 3

1.1 Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm 3

1.1.1 Không gian metric 3

1.1.2 Không gian định chuẩn 6

1.1.3 Không gian Hilbert 11

1.2 Nguyên lý ánh xạ co 12

1.2.1 Ánh xạ Lipschitz 12

1.2.2 Ánh xạ co 12

1.2.3 Nguyên lý ánh xạ co của Banach 13

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO 18

2.1 Giải phương trình đại số và siêu việt 18

2.1.1 Bài toán 18

2.1.2 Cơ sở lý thuyết 19

1.3 Ví dụ 23

2.2 Giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính 24

2.2.1 Bài toán 24

2.2.2 Cơ sở lý thuyết 26

2.2.3 Ví dụ 29

2.3 Giải gần đúng phương trình vi phân thường 30

2.3.1 Bài toán 30

2.3.2 Cơ sở lý thuyết 33

2.3.3 Ví dụ 35

2.4 Giải gần đúng phương trình tích phân loại II 37

2.4.1 Bài toán 37

2.4.2 Cơ sở lý thuyết 38

2.4.3 Ví dụ 42

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG 44

KẾT LUẬN 56

TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Ra đời vào cuối thế kỉ XVII, giải tích toán học có một vị trí quan trọng trong chương trình toán cao cấp của các khoa Khoa học tự nhiên của các trường Đại học sư phạm và các trường kĩ thuật Đây là môn học khó với hầu hết sinh viên, khi giải quyết các bài toán người học gặp phải những tình huống, những giả thiết phức tạp Điều này đòi hỏi phải có sự trợ giúp của nhiều kiến thức về toán học liên quan

Điểm bất động là một khái niệm xuất hiện rất sớm trong Toán học giải tích Lý thuyết điểm bất động là một phần quan trọng của giải tích hàm – một môn học cơ bản vừa mang tính bài tập vừa mang tính ứng dụng rộng rãi Nói đến lý thuyết điểm bất động thì không thể không nhắc đến kết quả kinh điển của nó, đó là: Nguyên lý ánh xạ co của Banach

Nguyên lý ánh xạ co có rất nhiều ứng dụng trong toán học Nó dùng để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của: hệ phương trình tuyến tính, phương trình tích phân, phương trình vi phân,…

Chính vì lẽ đó, em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu “ Một số ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co” nhằm có điều kiện tiếp cận sâu hơn, làm phong phú thêm kiến thức của mình

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Sự phát triển của giải tích toán học nói riêng và của toán học nói chung được quy định bởi sự phát triển những nhu cầu có tình thực tiễn nhất định Nghiên cứu những ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co vào giải quyết một số bài toán của giải tích là mục đích chính của khóa luận này

3 Phương pháp nghiên cứu

+ Phương pháp nghiên cứu lý luận

+ Phương pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu

4 Cấu trúc

Khóa luận bao gồm 3 chương

Chương 1: Nguyên lý ánh xạ co của Banach

Chương 2: Một số ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co

Chương 3: Một số ví dụ áp dụng

CHƯƠNG 1 NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO CỦA BANACH

1.1 Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm

1.1.1 Không gian metric

+ Không gian metric

Định nghĩa 1.1: Ta gọi là không gian metric một tập hợp X   cùng

với một ánh xạ d từ tích Descartes XX vào tập hợp số thực thỏa mãn các tiên đề dau đây:

(i) x y, X d x y, 0,d x y ,  0 x y;

(ii) x y, X d x y, d y x , ;

(iii) x y z, , X d x z, d x y , d y z , ;

Ánh xạ d được gọi là metric trên X ; Số d x y gọi là khoảng  , 

cách giữa hai phần tử x và y; Các phần tử của X gọi là các điểm; Các

tiên đề (i), (ii), (iii) gọi là hệ tiên đề metric

Không gian metric kí hiệu là: M X d, 

Ví dụ 1.1: Với 2 vector bất kì xx x1, 2, ,x k,yy y1, 2, ,y k thuộc không gian k *

k  ta đặt:

   

1,

Ví dụ 1.2: Với hai phần tử bất kì x y , , ta đặt:

d x y ,  xy (1.2) Khi đó hệ thức (1.2) gọi là metric tự nhiên trên

+ Sự hội tụ trong không gian metric

Định nghĩa 1.2: Cho không gian metric M X d, , dãy điểm

 x n  X , điểm x0X Dãy điểm  x gọi là hội tụ đến điểm n x0trong không gian M khi n   , nếu:

  0n0 * n n0, d x x( ,n 0)

Kí hiệu: lim n 0

  hay x n x n0   

Điểm x còn gọi là giới hạn của dãy 0  x trong không gian metric n M

Ví dụ 1.3: Sự hội tụ của một dãy điểm  x trong không gian n 1

là sự hội tụ của dãy số thực đã biết trong giải tích toán học

+ Ánh xạ liên tục

Cho hai không gian metric M1 X d, 1,M2 Y d, 2 Ánh xạ f từ

không gian M1 lên không gian M2

Định nghĩa 1.3: Ánh xạ f gọi là liên tục tại x0X , nếu  >0,   >0 

+ Không gian metric đầy đủ

Định nghĩa 1.6: Cho không gian metric M X d,  Dãy điểm

 x n  X gọi là dãy cơ bản trong M nếu:

Định nghĩa 1.7: Không gian metric M X d,  gọi là không gian đầy

đủ nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ

Ví dụ 1.4: Không gian metric 1 là không gian đầy Điều đó được suy

ra từ tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số thực đã biết trong giải tích toán học

Ví dụ 1.5: Không gian k

là không gian đầy Thật vậy, Giả sử x n x1 n,x2 n , ,x k n  n1, 2,  là dãy cơ bản tùy ý trong không gian Euclid k

x  đã cho hội tụ theo tọa độ tới x Nhưng sự hội tụ trong không gian Euclid k

tương đương với sự hội tụ theo tọa độ, nếu dãy cơ bản   n

x đã cho hội tụ tới

x trong không gian k

Vậy không gian Euclid k

là không gian đầy

Ví dụ 1.6: Không gian a b,  là không gian đầy Thật vậy,

Giả sử x t n   là dãy cơ bản tùy ý trong không gian a b, Theo định nghĩa 1.6:

 x t n x t m   ,  m n, n0; t a b,  (1.4)

Các bất đẳng thức (1.4) chứng tỏ với mỗi t cố định tùy ý thuộc

đoạn a b dãy ,  x t n   là dãy số thực cơ bản nên phải tồn tại giới hạn:

gian a b,  Vậy a b,  là không gian đầy

1.1.2 Không gian định chuẩn

+ Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.8: Ta gọi là không gian định chuẩn ( không gian tuyến tính

định chuẩn ) là không gian tuyến tính X trên trường K ( K là trường số

thực hoặc trường số phức ) cùng với một ánh xạ từ tập X vào tập

số thực kí hiệu là và đọc là chuẩn, thỏa mãn các điều kiện sau đây: 1)  x X, x 0, x  0 x ( kí hiệu phần tử không là ); 2)  x X  K, x   x ;

3) x y, X, x y  x  y ;

Số x gọi là chuẩn của vector x

Kí hiệu không gian định chuẩn là X

Các tiên đề 1), 2), 3) là hệ tiên đề chuẩn

Định lý 1.1: Cho không gian định chuẩn X Đối với hai vector bất kì

,

x yX ta đặt:

d x y ,  x y (1.6) Khi đó d là một metric trên X

Vậy định lý được chứng minh

Nhờ định lý 1.1 mà mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành không gian metric với metric (1.6) Do đó mọi khái niệm, mệnh đề đã đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn

+ Sự hội tụ trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.9: Dãy điểm  x n của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm xX nếu lim n 0

Định nghĩa 1.10: Dãy điểm  x n trong không gian định chuẩn X gọi là

dãy cơ bản nếu:

,

+ Không gian Banach

Định nghĩa 1.11: Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach

nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ

Ví dụ 1.6: Đối với mỗi số thực bất kì x  ta đặt:

x  x (1.7) Nhờ các tính chất về giá trị tuyệt đối của số thực, công thức (1.7) cho chuẩn trên Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là 1

là không gian Banach

Ví dụ 1.7: Cho không gian vector k chiều  , trong đó: k

1 2{ ( , , , ) :

 là không gian Banach

Ví dụ 1.8: Cho không gian vector l2 Đối với vector bất kì x x n l2

ta đặt:

2

1

n n

Ví dụ 1.9: Cho không gian vector Ca b,  Đối với hàm số bất kì

Dễ thấy Ca b,  là không gian Banach

Ví dụ 1.10: Cho không gian vector La b,  Đối với hàm số bất kì

  a b, 

x t L ta đặt:

 

b a

Định nghĩa 1.12: Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường K

( K  hoặc K  ) Ánh xạ A đi từ không gian X vào không gian Y

là tuyến tính nếu A thỏa mãn các điều kiện sau:

1   x y ,  X  A x   y   Ax  Ay;

2    x X     K  A x    Ax;

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính Khi toán tử

A chỉ thỏa mãn điều kiện 1 thì A gọi là toán tử cộng tính, còn nếu chỉ

thỏa mãn điều kiện 2 thì A gọi là toán tử thuần nhất Khi Y  K thì toán

tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm tuyến tính

Ví dụ 1.11: Cho : n m

A  xác định,A x x 1, 2, ,x n  y y1, 2, ,y m

 gọi là ma trận của toán

tử A Dễ thấy công thức (1.12) là dạng tổng quát của mọi toán tử tuyến

Ax t K t s x s ds Trong đó K t s là hàm số liên tục theo hai biến  ,  t s , trong hình vuông ,

at s là toán tử tuyến tính b A gọi là toán tử tích phân

Định nghĩa 1.13: Cho không gian định chuẩn X và Y Toán tử tuyến

tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại

hằng số c  sao cho: 0

Ax c x ; x X Định nghĩa 1.14: Cho không gian định chuẩn X và Y Kí hiệu

L X Y là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian

X vào không gian Y Ta đưa vào L X Y ,  hai phép toán:

 Tổng của hai toán tử A B, L X Y ,  là toán tử, kí hiệu AB, xác định bởi biểu thức:

AB x  AxBx, x X

 Tích vô hướng của K với toán tử AL X Y ,  là toán tử, kí

hiệu là A , xác định bởi biểu thức:

A x Ax

Dễ dàng kiểm tra được rằng ABL X Y , ,AL X Y ,  và hai phép toán trên thỏa mãn tiên đề tuyến tính

Tập L X Y ,  trở thành một không gian tuyến tính trên trường K

Định lý 1.2: Nếu Y là một không gian Banach thì L X Y là không  , 

gian Banach

1.1.3 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.15: Cho không gian tuyến tính X trên trường K ( K 

hoặc K  ) ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descarter XX vào trường K , kí hiệu , , thỏa mãn:

Các phần tử , , , x y z gọi là các nhân tử của tích vô hướng Số x y gọi ,

là tích vô hướng của hai nhân tử x và y ; các tiên đề 1), 2), 3), 4) là hệ

tiên đề tích vô hướng

, , ,

x y z nào đấy là không gian Hilbert, nếu H thỏa mãn:

1) H là không gian tuyến tính trên trường K ;

2) H được trang bị một tích vô hướng , ;

3) H là không gian Banach với chuẩn x  x x x, , H

Ta gọi mỗi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian Hilbert H

Ví dụ 1.14: Trường K với tích vô hướng x y, xy là không gian Hilbert

Ví dụ 1.15: Không gian n

K với tích vô hướng

1,

n

i i i



 là không gian Hilbert

Ví dụ 1.16: Không gian  trong đó 2

Định nghĩa 1.17: Cho X d, 1 và Y d, 2 là các không gian metric trên

trường K Ánh xạ f :X d, 1Y d, 2 được gọi là ánh xạ Lipschitz nếu có một số L  sao cho: 0

d fx fy Ld x y x yX

Số L nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên gọi là hằng số

Lipschitz Ánh xạ Lipschitz là ánh xạ liên tục

1.2.2 Ánh xạ co

Định nghĩa 1.18: Ánh xạ f từ không gian metric X d, X vào không

gian metric Y d, Y đươc gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số 0,1

1.2.3 Nguyên lý ánh xạ co của Banach

Định lý 1.4: Giả sử X là một không gian metric đầy đủ và f X: X

là một ánh xạ co của X vào chính nó Khi đó tồn tại một và chỉ một điểm xX sao cho f x x

p n

Điều đó chứng tỏ rằng  x là một dãy cơ bản trong không gian n

metric đầy đủ X , vậy tồn tại giới hạn hữu hạn:

lim n

  Khi đó :   ,  n   0 , 0

Ví dụ 1.17: Cho  a   , hàm số b x t  khả vi trên đoạn a b, 

thỏa mãn các điều kiện:

 Với metric xác định trong định lý 1.1 ta có cách phát biểu khác của nguyên lý ánh xạ co cua Banach trong không gian định chuẩn như sau:

Khi đó các kết quả sau là đúng:

(i) Tồn tại và duy nhất nghiệm u của phương trình u Au

(ii) Với mỗi u0M đã cho, dãy  u n tạo bởi

u n1 Au n n, 0,1, 2 (2.1)

Hội tụ đến nghiệm duy nhất u của phương trình (2.1)

Ta chứng minh (ii):

Trước hết ta chỉ ra rằng  u là một dãy Cauchy n

Thật vậy, với mỗi n 0,1, 2, sử dụng (b) ta có:

 1 1

1 0

n

Vì k 0,1 nên n 0

k  khi n   Vậy dãy  x n là một dãy

Cauchy, do X là không gian Banach nên dãy  x hội tụ tới một phần tử n

Vì M đóng, ta có uM , suy ra AuM

Theo (b) ta có:

Au Au k u u   khi n   Cho n   từ u n1 Au n ta có uAu

Điều phải chứng minh

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO

2.1 Giải phương trình đại số và siêu việt

2.1.1 Bài toán

Xét phương trình:

f x  (1.1)   0 Trong đó f x  là hàm đại số hay siêu việt

Nghiệm của phương trình (1.1) là số thực  thỏa mãn (1.1) Tức là khi thay  vào x ở vế trái ta được:

f  0 (1.2) Phương trình (1.1) trừ một số trường hợp đặc biệt có công thức giải đúng, nói chung rất phức tạp Do đó ta phải tìm cách giải gần đúng Thông thường quá trình giải phương trình (1.1) bao gồm hai bước:

 Bước giải sơ bộ: Ở giai đoạn này, ta tìm một khoảng dủ bé chứa nghiệm của f x  

 Bước giải kiện toàn: Tìm nghiệm với độ chính xác cần thiết

+ Sự tồn tại nghiệm

Trước khi tìm cách tính gần đúng nghiệm thực của phương trình (1.1) ta phải tự hỏi xem nghiệm thực ấy có tồn tại hay không Để trả lời câu hỏi đó, ta có định lý sau:

Định lý 2.1: Nếu có hai số thực a và b ab sao cho f a và   f b  

Khoảng a b,  được gọi là khoảng phân ly nghiệm của phương trình (1.1) nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đó Nghĩa là trong khoảng a b hàm ,  f x liên tục, đạo hàm   f ' x không

đổi dấu và f a ,f b trái dấu thì   a b là khoảng phân ly nghiệm của , 

phương trình f x    0

2.1.2 Cơ sở lý thuyết

Để giải gần đúng phương trình (1.1) ta sử dụng phương pháp lặp đơn mà bản chất của phương pháp này là vận dụng nguyên lý ánh xạ co của Banach

dần dãy số  x n theo quy tắc:

x n x n1; n  1, 2, (1.4) Quá trình này có tính lặp đi lặp lại nên phương pháp ở đây gọi là phương pháp lặp, hàm  ở đây gọi là hàm lặp

(i) Phương trình (1.1) có nghiệm  duy nhất trên a b, 

(ii) Phép lặp (1.4) hội tụ, hơn nữa ta có ước lượng:

11

(i) Đặt: X a b d x y, ,  ,  xy

Do    là không gian metric đầy,  ;  a b là tập đóng trong , 

nên a b,  là một không gian metric đầy

Xét hàm  xác định trên đoạn a b Theo điều kiện a , 

(ii) Ta có:

   (1.5)

x n x n1; n  1, 2, (1.4) Trừ từng vế của (1.5) cho (1.4) ta được:

 x n   x n1 (1.6)

Áp dụng công thức Lagrange ta có:

 x n ' c  x n1 (1.7) Với ca  x n1a b, 

Theo giả thiết b, ta có: ' c q 1

+ Sơ đồ khối của phép lặp đơn như sau:

Print x1

End yes

1.3 Ví dụ

Giải phương trình: 3

x  x  (1.12) Bài giải

3'

2

x x

b  là vector cho trước

+ Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Gọi detA i là định thức suy ra từ định thức det A bằng cách thay đổi cột i bởi vế phải

Nếu detA  ta nói ma trận A suy biến và hệ (2.1) suy biến Khi 0

đó hệ phương trình vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm

Định lý 2.3( Định lý Cramer )

Nếu detA  tức là nếu hệ không suy biến thì hệ (2.1) có nghiệm 0duy nhất cho bởi công thức:

det

det

i i

A x



 được gọi là số điều kiện của ma trận A và

đại lượng đó kí hiệu là cond A  

Ma trận A được gọi là ma trận điều kiện xấu nếu cond A  là khá lớn cond A  1

+ Tính chất của số điều kiện

d cond D

Ước lượng (2.2) chứng tỏ rằng sai số tương đối của nghiệm có thể

bằng tích của số điều kiện xấu của ma trận A với sai số của vế phải

Từ đó suy ra rằng với ma trận A điều kiện xấu thì nghiệm của nó

thay đổi nhiều so với những thay đổi nhỏ ở hệ số và số hạng tự do Như vậy, vấn đề giải hệ phương trình đại số tuyến tính bằng số với ma trận điều kiện xấu và vế phải cho gần đúng là một bài toán khó của toán học tính toán

2.2.2 Cơ sở lý thuyết

Để giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính (2.1) ta áp dụng phương pháp lặp đơn được xây dựng dựa trên nguyên lý ánh xạ co của Banach

Xét hệ phương trình:

Axb (2.1) Như đã biết, chuẩn của ma trận n n

Trong không gian n

ta định nghĩa 3 loại chuẩn sau:

1

1

n i i

1

n i i

1

1 1max

n ij

x  bất kì cho trước, đều hội tụ đến nghiệm duy nhất xcủa hệ phương trình (2.3) Hơn nữa ta có các đánh giá sai số: