Một số ứng dụng của phương trình vi phân

Có thể nghiên cứu từng phần để thấy được cái hay của môn học này và trong thực tế cũng như trong các môn khoa học khác phương trình vi phân có nhiều ứng dụng như: giải bài toán dao động

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành tốt đề tài này, trước tiên em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô trong khoa Toán – trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện đề tài Đặc biệt, em xin

chân thành cảm ơn thầy Trần Văn Bằng đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo

tận tình để em có thể hoàn thành đề tài luận văn này

Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong đề tài không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn trong khoa

Em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên

Cao Thị Thanh Huệ

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy Trần Văn Bằng cùng với sự cố gắng của bản thân em Trong quá trình nghiên cứu

và thực hiện khóa luận em có tham khảo tài liệu của một số tác giả ( đã nêu trong mục tài liệu tham khảo )

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân em không trùng với kết quả của các tác giả khác.Nếu em sai

em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

1 Cấp của phương trình vi phân

2 Phương trình vi phân thường

6 Phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng

7 Phương trình không thuần nhất Phương pháp hệ số bất định

7 Con lắc đơn

8 Định luật Newton và chuyển động của hành tinh

9 Lực xuyên tâm và định luật II Kepler

10 Định luật I Kepler

11 Định luật III Kepler

12 Bài toán quỹ đạo

B Một số ứng dụng trong hóa học và kinh tế

1 Định luật làm lạnh Newton

2 Sự chuyển đổi các hóa chất đơn giản

3 Tăng trưởng logictic và giá cả hàng hóa

LỜI NÓI ĐẦU

Sự phát triển của toán học tuy có những bước thăng trầm ở từng thời điểm lịch sử, song những kết quả mà nó đạt được rự rỡ nhất là vào thế kỷ XX,

do sự phát triển của ngành Giải tích toán học

Với sự ra đời của ngành Giải tích toán học, đặc biệt là giải tích hàm thì những bài toán trong thực tế cuộc sống, vật lý, khoa học, kĩ thuật, … được giải quyết nhanh gọn và chính xác

Ngành Giải tích toán học nghiên cứu nhiều kĩnh vực như: các lớp hàm liên tục, khả vi, khả tích, phương trình vi phân, … Mỗi lĩnh vực đều có tầm quan trọng riêng trong việc nghiên cứu và ứng dụng Trong đó phương trình

vi phân là một phần cơ bản của Giải tích Có thể nghiên cứu từng phần để thấy được cái hay của môn học này và trong thực tế cũng như trong các môn khoa học khác phương trình vi phân có nhiều ứng dụng như: giải bài toán dao động lò xo, con lắc đơn, định luật Newton…

Xuất phát từ nhận thức trên và long ham mê môn học, em mạnh dạn

chọn đề tài: “ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN” để

thực hiện khoá luận tốt nghiệp của mình Khoá luận bao gồm các nội dung: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Ứng dụng

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

A MỘT SỐ KHÁI NIỆM

1 Cấp của phương trình vi phân

Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm xuất hiện trong phương trình

Ví dụ

3 2

Một phương trình vi phân thường cấp n được gọi là tuyến tính nếu nó

có thể được viết dưới dạng

Hoặc từ (2.1) ta giải ra được

 

y  f x y

ta được phương trình vi phân cấp một đã giải ra đạo hàm

Ta cũng có thể viết phương trình vi phân đã giải ra đạo hàm dưới dạng đối xứng

- Tích phân hai vế phương trình (2.2) ta được tích phân tổng quát của (2.2)

3 Phương trình thuần nhất cấp một

3.1 Định nghĩa

Phương trình

M x y dx N x y dy ,    ,  0 (3.1) được gọi là phương trình thuần nhất nếu M x y , và N x y ,  là những hàm thuần nhất cùng bậc

- Giải (3.3) bằng phương pháp tách biến

4 Phương trình vi phân toàn phần

4.1 Định nghĩa

Phương trình

M x y dx N x y dy ,    ,  0 (4.1) được gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu tồn tại hàm F x y ,  khả vi sao cho

- Tìm thừa số tích phân expPdx

- Nhân cả hai vế của (5.1) với thừa số tích phân

- Giải phương trình vi phân toàn phần

Giả sử y y1, 2, ,y là hệ nghiệm cơ bản của phương trình (6.1) khi đó n

yc y c y  c y

là nghiệm tổng quát của phương trình (6.1)

7 Phương trình không thuần nhất Phương pháp hệ số bất định

7.1 Phương trình không thuần nhất

Dạng tổng quát

a y a y   a  ya yR x (7.1) Giả sử y là nghiệm riêng của ( p 7.1 và ) y c là nghiêm của phương trình thuần

nhất tương ứng Khi đó y y p y c là nghiệm tổng quát của phương trình (7.1)

e ta đồng nhất các hệ số của các lũy thừa cùng bậc của xở hai vế

-  là nghiệm bội k k 1của phương trình đặc trưng Khi đó

      1     

F  F   F    F   (7.5) Trong trường hợp này ta không thể tìm nghiệm riêng y* x dưới dạng (7.4)

vì F  0không cho phép ta xác định các hệ số d d0, , ,1 d Ta tìm nghiệm m

P x P x là các đa thức của xbậc không quá m và ít nhất một trong hai đa thức trên có bậc bằng m Có thể một trong hai là hằng số hoặc đồng nhất bằng 0

Ta viết lại R x dưới dạng

CHƯƠNG 2 : ỨNG DỤNG

Nhiều bài toán trong thực tế cuộc sống, vật lý, hóa hoc, sau khi được toán học hóa đã dẫn đến phương trình vi phân Sau đây chúng ta sẽ xét một số bài toán như vậy

A Một số ứng dụng trong vật lý

1 Vận tốc thoát khỏi trái đất

Nhiều bài toán vật lý dẫn đến phương trình vi phân cấp một Xét bài toán xác định vận tốc của hạt chuyển động theo hướng xuyên tâm đi ra xa trái đất

và bị tác động chỉ bởi lực hấp dẫn của trái đất Giả sử vận tốc ban đầu theo hướng xuyên tâm sao cho chuyển động của hạt diễn ra trên toàn bộ đường đi qua tâm của trái đất

Theo định luật hấp dẫn của Newton thì gia tốc của hạt tỷ lệ nghịch với

bình phương khoảng cách từ hạt tới tâm trái đất Giả sử r là biến khoảng cách

và R là bán kính trái đất Nếu t biểu diễn thời gian, v là vận tốc của hạt, a là

gia tốc và k là hằng số tỷ lệ trong định luật Newton thì ta có

2

dv k a

dt r

Gia tốc là âm vì vận tốc giảm.Vì thế hằng số k là dương Khi r R thì

a g, gia tốc của trọng lực ở bề mặt trái đất Như vậy

2

k g

R

  

từ đó

2 2

gR a

r

  (1.1) Chúng ta sẽ biểu diễn gia tốc qua vận tốc và khoảng cách Ta có

dv gR v

dr   r (1.3) Tập hợp nghiệm của (1.3) là

Ở bề mặt trái đất, rR, vận tốc là dương, vv0 Từ (1.4) ta thấy vận tốc của hạt sẽ dương nếu và chỉ nếu

2

v  gR Mặt khác, nếu v02 2gR0 thì sẽ có một giá trị tới hạn của r làm cho vế phải của (1.4) bằng 0 Nghĩa là, hạt sẽ dừng lại, vận tốc sẽ thay đổi từ dương sang âm và hạt sẽ quay trở lại trái đất

Một hạt chuyển động từ trái đất với vận tốc ban đầu v0 mà v0  2gR

sẽ thoát khỏi trái đất Do đó mức tối thiểu của vận tốc chiếu là

2

v e gR

được gọi là vận tốc thoát

Như vậy, bằng việc tìm tập hợp nghiệm của phương trình vi phân (1.3)

ta xác định được phương trình vận tốc của hạt chuyển động theo hướng xuyên tâm đi ra xa trái đất, từ đó xác định được vận tốc thoát của hạt

2 Vật thể rơi

Một vật thể rơi từ một độ cao ở thời điểm t0 Nếu h t  là độ cao

của vật ở thời điểm t , gia tốc a t  và vận tốc v t thì ta có mối liên hệ giữa  

Đối với một vật thể rơi thì a t là hằng số và bằng với   g 9,8(m/s)

Kết hợp các phương trình vi phân trên ta được

2 2

h t  gt v th Phương trình trên biểu diễn độ cao của một vật rơi từ độ cao ban đầu h với 0

vận tốc ban đầu v 0

3 Dao động lò xo

Xét một lò xo bằng thép gắn với một vật đỡ và được treo xuống Trong giới hạn đàn hồi lò xo sẽ tuân theo định luật Hooke Nếu lò xo bị kéo dãn hoặc bị nén thì độ biến dạng của lò xo sẽ tỷ lệ với lực tác dụng lên nó và khi

lực thôi tác dụng thì lò xo sẽ trở về vị trí ban đầu Nếu lực có độ lớn Q lb ,  

Giả sử t là thời gian đo bằng giây được tính ngay khi chuyển động

bắt đầu Giả sử x đo bằng feet là khoảng cách đo theo hướng dương từ điểm cân bằng (hình 1) Giả sử chuyển động của B diễn ra hoàn toàn trên đường thẳng đứng, do đó vận tốc và gia tốc được xác định bởi đạo hàm cấp 1 và cấp

2 của x đối với t

Thêm nữa, do lực cản của môi trường trong đó chuyển động diễn ra hoặc do ma sát thì sẽ có một lực cản tác dụng lên B là bx t' , trong đó b là

hằng số

Hình 1

Trọng lượng của lò xo không đáng kể so với trọng lượng của B, vì thế

ta lấy khối lượng của B chia cho g , hằng số gia tốc trọng trường Nếu ngoài

các lực trên không có lực nào tác dụng lên vật thì độ dịch chuyển x phải thoả mãn phương trình

w x t''  bx t  kx t  0

g    (3.2) Giả sử thêm rằng, lực theo phương thẳng đứng, do chuyển động của giá hoặc sự xuất hiện của từ trường tác động mạnh trên hệ thống Lực cưỡng bức

sẽ phụ thuộc vào thời gian và chúng ta sử dụng F t  để biểu thị gia tốc mà nó truyền tới trọng lượng của vật Khi đó lực cưỡng bức là w  

Tại thời điểm t0, giả sử vật rời được một khoảng x0từ vị trí cân bằng

và vận tốc ban đầu v0 Bài toán xác định vị trí của vật B ở thời điểm t bất kỳ

trở thành việc giải phương trình vi phân với các giá trị ban đầu

w       w  

x t bx t kx t F t t

g    g  (3.3) điều kiện ban đầu x 0 v0 và x' 0 v0

Nếu  0 thì phương trình vi phân trở thành

Giả sử điều kiện ban đầu: x 0 x0và x' 0 v0

Nghiệm riêng của (4.3) có dạng

x t  v0sint x c0 ost  A2 2sint 2A 2sint

Ta tìm nghiệm riêng dạng

x p PtsintQtcost (5.2) trong đó P và Q là các hằng số cần xác định Thay x vào phương trình (5.1) p

ta được

2P c ost2QsintAsint

đồng nhất hai vế ta được P0 và

2

A Q



  Khi đó

os2

m  m 

 Nếu   thì m1m2   Do đó nghiệm tổng quát của (6.1) là

  t 1 2  2 

x t e c c t  t (6.3) trong đó 2 t là nghiệm riêng của (6.1)

 Nếu   và 2 2 0 thì đặt 2 2 2 Khi đó nghiệm tổng quát của (6.1) là

  1   2   3 

x t c e   c e    t (6.4) trong đó 3 t là nghiệm riêng của (6.1)

Giả sử ở một thời điểm ta có F t 0 khi đó nếu   thì phương trình (6.2) đúng và chuyển động được gọi là dao động tắt dần Nếu   thì phương trình (6.3) có đúng và chuyển động được gọi là chuyển động tắt dần tới hạn Nếu   thì phương trình (6.4) đúng và chuyển động được gọi là quá ngưỡng tắt dần

Bài 2 Một lò xo bị giãn 0,64 ft bởi một vật nặng 4 lb Vật nặng bị đẩy lên  

 

1

3 ft bên trên điểm cân bằng và sau đó bắt đầu đi xuống với vận tốc 5 ft s/  Chuyển động diễn ra trong môi trường cái mà cung cấp một lực tắt dần có độ lớn1

4 v Hãy tìm phương trình mô tả vị trí của vật ở thời điểm t

Bài 3 Một lò xo bị một vật nặng 4 lb  kéo giãn 0,32 ft  Vật nặng được gắn vào lò xo và di chuyển trong môi trường nơi cung cấp một lực tắt dần có độ lớn3

2 v Vật được kéo xuống 1 

2 ft bên dưới điểm cân bằng và giả sử vận tốc ban đầu trở lên là 4 ft s/  Tìm vị trí của vật sau đó

7 Con lắc đơn

Một sợi dây dài C ft  được treo một đầu để nó có thể chuyển động trong một mặt phẳng thẳng đứng Cho một con lắc B nặng w lb  được gắn vào cuối sợi dây và khối lượng của sợi dây không đáng kể so với khối lượng của con lắc

Cho radians là góc lệch so với phương thẳng đứng của sợi dây ở thời điểm t s (hình 4) Thành phần tiếp tuyến của lực là wsinvà nó có xu hướng giảm tới  Do khối lượng không đáng kể của sợi dây và sử dụng

SC làm thước đo độ dài cung từ vị trí thẳng đứng nên ta có

2 2

w

w sin

d S

g dt    (7.1) hay

8 Định luật Newton và chuyển động của hành tinh

Định luật II Newton về chuyển động khẳng định rằng: với một vật thể có khối lượng m thì mối liên hệ giữa lực F tác động lên vật và gia tốc được cho bởi phương trình

Fma (8.1) Định luật hấp dẫn của Newton khẳng định rằng: hai vật bất kì hút nhau với một lực mà độ lớn của nó tỷ lệ thuận với tích khối lượng của các vật và tỷ

lệ với bình phương khoảng cách giữa tâm của các vật Do đó nếu các vật có khối lượng là M và m thì chúng ta có

F Mm2

r



 (8.2)

trong đó  là hằng số hấp dẫn Newton và r là khoảng cách giữa các tâm của

các vật

Chúng ta xét bài toán về chuyển động của mặt trời và một hành tinh đơn, chúng lần lượt có khối lượng là M và m Giả sử M lớn hơn nhiều so với m và cũng có những chuyển động của mặt trời gây ra bởi lực hấp dẫn gây

ra trên mặt trời vì khối lượng của hành tinh không đáng kể

Giả sử tâm của mặt trời là cực của hệ toạ độ cực và xác định vị trí tâm của chuyển động hành tinh ở điểm  r, Chúng ta sẽ sử dụng các vecto trực giao thông thường

e c i  j

e   ic j Khi đó thành phần vecto cho hành tinh được xác định bởi

1

Rre

Ta thấy

1 2

de e

9 Lực xuyên tâm và định luật II Kepler

Giả sử lực đưa ra trong phương trình (8.3) là lực xuyên tâm thì thành phần lực theo phương e2 phải bằng 0, do đó

t

 (9.3)

Ta thấy tích phân phương trình (9.3) là diện tích của một miền được giớ hạn bởi quỹ đạo của hành tinh và hai thành phần vecto thời gian t1và t2 Do đó diện tích này chỉ phụ thuộc vào độ dài của khoảng thời gian

Kết quả trên được biết là định luật II Kepler

Thành phần vecto từ mặt trời tới hành tinh quét được những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau

10 Định luật I Kepler

Xét lực F được xác định trong phương trình (8.3) và giả sử lực không chỉ

là lực xuyên tâm mà độ lớn của lực thoả mãn định luật hấp dẫn Newton xác định trong phương trình(8.2) Nghĩa là

Để đơn giản hoá phương trình cực cuối cùng của quỹ đạo ta chọn hướng của

trục cực sao cho r là nhỏ nhất khi  0 Vì u là nghịch đảo của r nên u

lớnnhất khi  0 Điều kiện là du 0

d u

b

d  

Do đó b2 0 và b1 0

C M r

2 1

b C e M



 và 1

1

B b

 Khi đó

Be r

e 



 (10.7 )trong đó B và elà các hằng số dương

Phương trình (10.7 là phương trình trong toạ độ cực của quỹ đạo hành )tinh trong đó mặt trời là cực Đó cũng là phương trình chuẩn trong toạ độ cực của một hình nón với tiêu điểm là cực và đường chuẩn vuông góc với trục cực Số e được gọi là độ lệch tâm của nón Nếu quỹ đạo của hành tinh bị giới hạn thì hình nón phải là một elip và 0 e 1

Như vậy: quỹ đạo của một hành tinh là một elip với tiêu điểm là tâm của mặt trời Đó là nội dung định luật I Kepler

11 Định luật III Kepler

Biến đổi phương trình cực

Be r

2 2

1

Be A

2 1

b C e M



 và 1

1

B b



l

L M(x,y)

12 Bài toán quỹ đạo

Giả sử ta có họ đường cong phụ thuộc tham số 

F x y   (12.1)

Định nghĩa Đường cong Lmà tại mỗi điểm của mình nó cắt họ đường cong (12.1) dưới cùng 1 góc không đổi  được gọi là quỹ đạo đẳng giác của họ (12.1)

Nếu

2



  thì quỹ đạo đẳng giác được gọi là quỹ đạo trực giao

Bài toán đặt ra là: Với họ đường cong (12.1) đã cho hãy tìm quỹ đạo đẳng

giác của chúng Ta ký hiệu đường cong của họ (12.1) là l

là góc của tiếp tuyến với đường cong l và Ltương ứng kẻ từ M Ta gọi tọa