Một số ứng dụng của phương trình loại hyperbol trong vật lý

Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học gắn liền với thực tiễn Sự phát triển toán học đánh dấu ứng dụng toán học vào việc giải toán thực tiễn Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp nhiều toán liên quan đến phương trình vi phân đạo hàm riêng Ra đời từ năm 60, phương trình đạo hàm riêng nhanh chóng khẳng định vị trí tầm quan trọng khoa học nói chung toán học nói riêng Đặc biệt phương trình đạo hàm riêng loại hyperbol có ứng dụng lớn khoa học thực tiễn Phương trình sóng gọi phương trình loại hyperbol, đóng vai trò quan trọng vật lý ngành kỹ thuật, thiết lập sở nghiên cứu dao động của: dây, sóng âm, sóng đàn hồi, sóng điện từ trường Với khả ứng dụng rộng rãi phương trình loại hyperbol khoa học thực tiễn, mà nhà toán học tập trung nghiên cứu tìm nhiều ứng dụng phương trình loại hyperbol vật lý Trên sở hướng dẫn tận tình thầy Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, lựa chọn đề tài: “Một số ứng dụng phương trình loại hyperbol vật lý” nhằm nghiên cứu sâu phương trình loại hyperbol số ứng dụng vật lý Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học thực khóa luận tốt nghiệp Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu số toán tử gradien, Div, Rota, Laplace Phạm Thị Thủy K33D – Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Tìm hiểu toán vật lý dẫn tới phương trình truyền sóng Tìm hiểu số ứng dụng phương trình loại hyperbol vật lý Đối tượng nghiên cứu Phương trình loại hyperbol số ứng dụng vật lý Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lí luận Phương pháp phân tích, tổng hợp đánh giá Đọc tài liệu tra cứu Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm chương: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương Một số ứng dụng phương trình loại hyperbol vật lý Phạm Thị Thủy K33D – Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp CHƢƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số kiến thức về: toán tử Gradien, Div, Rota, Laplace hệ tọa độ cong trực giao; toán vật lý dẫn tới phương trình truyền sóng; phương pháp tách biến giải phương trình dao động dây; phương trình không nhất, để chuẩn bị cho nội dung chương sau 1.1 Một số toán tử Gradien, Div, Rota, Laplace 1.1.1 Hệ tọa độ cong Vị trí điểm M không gian xác định bán kính r r r r r vectơ r Trong hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz: r xi y j zk Trong nhiều toán để xác định vị trí điểm M thay cho ba số x, y, z người ta dùng ba số khác q1, q2, q3 phù hợp thuận tiện với toán xét Ngược lại, ta giả thiết ba số q1, q2, q3 ứng với bán r kính vectơ r , ứng với điểm M không gian Các đại lượng q1, q2, q3 gọi toạ độ cong điểm M Vì điểm M ứng với hệ toạ độ q1, q2, q3 toạ độ r hàm bán kính vectơ r r q1 (r ) q1 ( x, y, z ) r q2 (r ) q2 ( x, y, z ) r q3 (r ) q3 ( x, y, z ) Mặt q2 Mặt q1 Đường q3 Đường q2 r Ngược lại bán kính vectơ r Mặt q3 điểm không gian H.1.1 xác định hoàn toàn cho ba số q1, q2, r q3 Nghĩa ba thành phần x, y, z r hàm số q1, q2, q3 Phạm Thị Thủy Đường q1 K33D – Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội x x(q1 , q2 , q3 ) y y (q1 , q2 , q3 ) z z (q1 , q2 , q3 ) Khóa luận tốt nghiệp Tập hợp tất điểm không gian cho tập q1 không đổi gọi mặt tọa độ q1 Tương tự ta có mặt tọa độ q2, q3 Tập hợp tất điểm cho tập có tọa độ q1thay đổi (còn tọa độ q2, q3 không thay đổi) gọi đường tọa độ Hiển nhiên giao tuyến hai mặt q2 q1 cho ta đường tọa độ q3 1.1.2 Hệ tọa độ cong trực giao Hệ tọa độ cong mà đường tọa độ vuông góc với theo đôi điểm gọi hệ tọa độ cong trực giao Hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu hệ tọa độ cong trực giao Trong không gian cho điểm M đó, r li ur li qi r gọi l i (i=1, 2, 3) vectơ đơn vị tiếp xúc điểm với đường tọa độ qi hướng theo chiều tăng đường tọa độ qi H.1.2 r Ta nhận thấy hệ tọa độ Descartes hướng véc tơ l i không phụ thuộc vào vị trí M, hệ tọa độ cong, ba véctơ đơn vị r r r trực giao e1 , e2 , e3 phụ thuộc vào vị trí M Gọi vectơ đơn vị có phương pháp tuyến với mặt tọa độ qi Ci ur i hướng theo chiều tăng qi e Trong hệ tọa độ cong trực giao r uri l i l (H.1.2) 1.1.3 Hệ số Lame Phạm Thị Thủy K33D – Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Xét đường tọa độ, đường ta đưa vào vectơ đơn vị r l i (i=1, 2, 3) có phương tiếp tuyến với đường tọa độ có chiều theo ur e1 ur chiều tăng tọa độ qi lấy số gia bán kính vectơ Vr1 có đầu mút điểm M , có tọa độ (q1 Vq1, q2 , q3 ) Lập tỉ số r r q1 ur r (q1 r q1 , q2 , q3 ) r (q1 , q2 , q3 ) q1 M r r ur Vr1 M1 Lấy giới hạn tỉ số M1 tiến đến M, ta có ur r vectơ tiến đến vectơ phương, chiều với q1 uur vectơ đơn vị l M Đó vectơ đạo hàm r l1 H.1.3 ur ur r r , q1 q1 r h1 l Đại lượng xác định vận tốc biến thiên bán kính vectơ dọc theo ur r đường tọa độ q1 Hệ số h1 độ lớn vectơ q1 Ta có: ur r q1 xr i q1 yr j q1 x ) q1 ( z r k q1 h12 ( ur r Tương tự, ta có: q2 y z ) ( )2 q1 q1 ur uur uur r h2 l ; h3 l q3 đó: Phạm Thị Thủy K33D – Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội hi ( Khóa luận tốt nghiệp x ) qi y ) qi ( ( z ) qi gọi hệ số lame hệ tọa độ cong xét Hệ số lame hệ tọa độ đề hx Tương tự hy ( x ) x ( y ) x ( z ) x hx hz Hệ số lame hệ tọa độ cầu h r sin ; hr 1; h r Hệ số lame hệ tọa độ trụ h ; h 1; hz 1.1.4 Gradien trƣờng vô hƣớng hệ tọa độ cong Trong không gian cho hệ tọa độ q1, q2, q3 trường vô hướng u = f (q1, q2, q3) Hãy tính gradien trường điểm M (q 1, q2, q3) Trước hết, xét hình chiếu gradien hàm f lên hướng đạo hàm hàm f theo hướng hceur gradf f ur e1 ur Mặt khác đạo hàm theo hướng e1 đạo hàm theo cung l đường tọa độ q1 (H.1.4) hceur gradf M q1 f ur e1 f l Đường q1 M q1 , q2 , q3 Nhưng đạo hàm theo cung theo định nghĩa bằng: Phạm Thị Thủy q1 , q2 , q3 H.1.4 K33D – Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội f l f (M1 ) lim M1 Khóa luận tốt nghiệp f (M ) S1 M Từ đây: f l lim q1 q1 , q2 , q3 S1 f (q1 , q2 , q3 ) f q1 q1 , q2 , q3 q1 f (q1 , q2 , q3 ) q1 S1 lim q1 f q1 f q1 h1 Tương tự: hceuur gradf f q2 h2 hceuur gradf f q3 h3 Nếu trường cho hệ tọa độ Descartes u = f(x, y, z) fr f r f r gradu i j k x y z Nếu trường cho hệ tọa độ trụ f gradu f uur e f uur e , , z f ur ez z Nếu trường cho hệ tọa độ cầu f r, , gradu f ur er r f uur e r r sin f uur e Cuối muốn tính đạo hàm trường vô hướng u = (q1, q2, q3) r ur ur ur điểm M theo hướng véctơ a a1 e1 a2 e2 a3 e3 ta cần lấy hình r chiếu gradien lên véctơ a Phạm Thị Thủy K33D – Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội r gradu, a r a u r a Khóa luận tốt nghiệp a1 u h1 q1 a2 u h2 q2 a12 a2 a3 u h3 q3 a32 1.1.5 Div hệ tọa độ cong Xét trường véctơ ur ur A A1 q1, q2 , q3 e1 ur A2 q1 , q2 , q3 e2 ur A3 q1 , q2 , q3 e3 ur theo định nghĩa dive trường A điểm M ur div A M ur r A, n dS lim V s V M V X miền giới hạn bề mặt S Xét hình hộp chữ nhật cong có đỉnh M xét, mặt bên trùng với mặt tọa độ, mặt đối diện với mặt tọa độ qua điểm N Trong hệ tọa độ cong trực giao M3 V= h1h2h3dq1dq2dq3 mặt MM2N1M3 có diện ur tích h2h3dq2dq3 Thành phần véctơ A pháp tuyến mặt -A1, N1 q3 N2 N ur thông lượng tương ứng A qua mặt M -A1h2h3dq2dq3 q1 Xét mặt M1N3NN2 mặt q1 có giá M1 trị q1 + dq1do thông lượng qua mặt là: [A1h2h3+ q2 A1h2 h3 dq1 ] dq2dq3 q1 N3 H.1.5 Do thông lượng qua hai mặt MM2N1N3 M1N3NN2 bằng: A1h2h3 dq1dq2dq3 q1 Tương tự thông lượng qua hai mặt MM1N2M3 M2N3NN1bằng: Phạm Thị Thủy K33D – Khoa Toán M2 Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp A2 h1h3 dq2 dq1dq3 q2 Tương tự thông lượng qua hai mặt NN1M3N2 MM1N3 M2 bằng: A3h1h2 dq3dq1dq2 q3 Cộng ba biểu thức ta thông lượng toàn phần qua mặt S: ur r ( A, n)ds S Chia cho thể tích hình hộp qua giới hạn ta được: ur div A A1h2h3 q1 h1h2 h3 A2 h1h3 q2 A3h1h2 q3 Nói riêng, trường cho hệ tọa độ Descartes: ur r r r A Ax x, y, z i Ay x, y , z j Az x, y , z k thì: ur div A Ax x Ay Az z y Nếu trường cho hệ tọa độ trụ ur A ur A ( , , z )es ta nhận được: ur div A (vì h =1; h ( uur A ( , , z)e A A uur Az ( , , z) e Az ) z ; h =1) Nếu trường cho hệ tọa độ cầu ur ur uur A Ar r , , er A r , , e A r , , (vì hr =1; h thì: ur div A Phạm Thị Thủy r sin uur e r ; h = rsin ) Ar r sin r A sin r A r K33D – Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp 1.1.6 Rota hệ tọa độ cong Xét trường véctơ ur uur ur A A1 (q1 , q2 , q3 )e1 uur ur A2 (q1 , q2 , q3 )e2 uur ur A3 (q1 , q2 , q3 )e3 Để tìm Rota trường ta tính hình chiếu rota theo hướng ur mật độ lưu thông trung bình trường A theo hướng Mật ur độ lưu thông trung bình theo hướng e1 tỷ số lưu thông theo chu tuyến bao quanh M diện tích S giới hạn chu tuyến này, đồng thời miền S phải phân bố bề mặt mà pháp tuyến ur e điểm hướng dọc theo véctơ Ta định nghĩa: ur r ur Adl rote1 A lim Ñ s M S Để thuận tiện ta chọn tọa độ q1 = const qua M miền S miền MM2N1M giới hạn đường tọa độ (H.1.5) Diện tích yếu tố vi phân mặt giới hạn chu tuyến là: dS = h2h3dq2dq3 Trên cung MM2 ta có: ur r Adl A2 dS A2 h2 dq2 MM Trên cung M3N1 giá trị tọa độ thứ ba q3 + dq3 Do đó: ur r Adl ( A2h2 M N1 ( A2h2 ) dq3 )dq2 q3 Tương tự ta có: ur r Adl A3h3dq3 MM ur r Adl ( A3h3 M N1 Phạm Thị Thủy ( A3h3 ) dq2 )dq3 q2 10 K33D – Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp độ dịch chuyển lúc ban đầu u( x,0) ( x), x L (2.39) Một thiết diện tùy ý lúc ban đầu trạng thái nghỉ, vận tốc ban đầu viết u ( x,0) t 0, x L (2.40) Nghiệm tổng quát phương trình (2.38) tìm phương pháp tách biến Fourier Đặt nghiệm dạng u ( x, t ) X ( x)T (t ) Thay vào phương trình, ta có T "(t ) a 2T (t ) X "( x) X ( x) Chú ý rằng, mục 1.3 chương nêu điều kiện cho trị riêng để toán có nghiệm không tầm thường, chọn đẳng thức số Từ ta đưa hai phương trình vi phân X "( x) X ( x) (2.41) T "(t ) a 2T ( x) (2.42) Điều kiện biên đầu gắn chặt, đầu tự viết: (2.43) X (0) 0, X '( L) Tích phân phương trình (2.41) ta thu X ( x) C1 cos x C2 sin x Từ điều kiện biên (2.121) ta tìm C1 0; C2 cos L Giả sử C2 ( thế, toán có nghiệm tầm thường) cos x Phạm Thị Thủy k (2k 1) ; k 2L 41 0,1,2 K33D – Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Gọi k Khóa luận tốt nghiệp trị riêng có tương ứng hàm riêng là: X k ( x) sin Với k Tk (t ) (2k 1) x ; k 2L 0,1,2 (2.44) , nghiệm phương trình (2.42) có dạng Ak cos (2k 1) at 2L Bk sin (2k 1) at 2L (2.45) Ak Bk số tùy ý Như vậy, nghiệm riêng phương trình (2.38) có dạng uk ( x, t ) Tk ( x) X k (t ) Ak cos (2k 1) at 2L Bk sin (2k 1) at (2k 1) x sin Ak cos 2L 2L (2.46) Nghiệm tổng quát phương trình (2.38) tổ hợp tuyến tính vô hạn nghiệm riêng biểu diễn chuỗi u(x,t)= u ( x, t ) Ak cos k (2k 1) at 2L Bk sin (2k 1) at (2k 1) x sin 2L 2L (2.47) Dựa vào điều kiện ban đầu tính trực giao hàm riêng, thu hệ số L (2k 1) x f ( x)sin dx L 2L L (2k 1) x F ( x)sin dx (2k 1) a 2L Ak Bk (2.48) Một lần nhận thấy rằng, nghiệm phương trình dao động dọc chồng chất dao động điều hòa có dạng M k sin Mk (2k 1) x (2k 1) at sin 2L 2L Ak Ak2 Bk2 ; tg k Bk Dao động có biên độ M k sin Phạm Thị Thủy k (2k 1) x tần số 2L 42 K33D – Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội k (2k 1) a 2L Khóa luận tốt nghiệp (2k 1) 2L E chọn thiết diện đơn vị Âm dao động phát T 4L E Áp dụng điều kiện ban đầu (2.39), (2.40): u ( x, 0) u ( x, 0) t x; ta thu hệ số khai triển chuỗi ( 1)k 8L (2k 1) Ak , Bk Như vậy, nghiệm phương trình dao động dọc đầu gắn chặt, đầu tự với điều kiện ban đầu kéo căng đầu đến độ dài xác định thả tự có dạng chuỗi Fourier sau u ( x, t ) L k ( 1)k at (2k 1) at (2k 1) x cos sin 2L 2L 2L (2.49) 2.4 Một số ví dụ phƣơng trình truyền sóng Ví dụ Giải toán hỗn hợp: utt a 2u xx , x L, t u (0, t ) u ( L, t ) 0; u ( x, 0) 0, ut ( x, 0) sin 0: x L Giải Biểu diễn nghiệm dạng u(x,t) = X(x)T(t), suy Phạm Thị Thủy 43 K33D – Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội T ''(t ) a T (t ) Khóa luận tốt nghiệp X "( x) X ( x) Vế trái không phụ thuộc t, vế phải không phụ thuộc x, hai vế chúng số, chẳng hạn T ''(t ) a T (t ) X "( x) = X ( x) Vậy Ta nhận hai phương trình vi phân sau : X’’(x) + T’’(t) + 2 X(x) = (2.50) a2 T(t) = (2.51) Các nghiệm riêng mà ta tìm phải thỏa mãn điều kiện biên nên ta có u(0,t) = X(0) T(t) = u(L,t) = X(L) T(0) = Để tìm nghiệm không đồng không, ta phải có X(0) = , X(L) = (2.52) Vậy ta đến toán sau : tìm nghiệm không đồng không phương trình vi phân tuyến tính cấp hai (2.50), thỏa mãn điều kiện biên (2.52) Sau biện luận giá trị tầm thường , ta thấy (2.50) có nghiệm không > Khi nghiệm tổng quát (2.50) : X ( x) C1cos x C2 sin x Từ điều kiện (2.52) cho ta : X (0) C1 X ( L) C2 sin L Rõ ràng C2 ≠ C2 = X(x) = ta lại nghiệm tầm thường Vì C2 ≠ phương trình tìm trị riêng sin L Phạm Thị Thủy k L 44 K33D – Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Do toán (2.50) có nghiệm không tầm thường trị riêng 2 k L k ; k 1,2,3 tương ứng ta có hàm riêng X k ( x) sin k x L Với trị riêng cho ta có nghiệm phương trình (2.51) Tk t Ak cos k k at Bk sin at L L Trong Ak, Bk số tùy ý Nghiệm riêng phương trình cho có dạng: uk ( x, t ) X k ( x)Tk (t ) ( Ak cos k k k at Bk sin at )sin x L L L Điều kiện ban đầu cho ta xác định hệ số tùy ý Ak, Bk Theo lý thuyết chuỗi Fourier, tìm hệ số Ak, Bk theo công thức sau: L Ak Bk k f ( x)sin xdx L0 L L k g ( x)sin xdx k a0 L L k 0.sin xdx L0 L k a L sin k x sin xdx L L L a Vậy nghiệm toán cho u ( x, t ) L a sin 2 at sin x L L Ví dụ Giải toán hỗn hợp: Phạm Thị Thủy 45 K33D – Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp utt a 2uxx , x L, t : ux (0, t ) 0, ux ( L, t ) hu ( L, t ) u ( x, 0) 0, ut ( x, 0) 1, h Giải Biểu diễn nghiệm dạng u(x,t) = X(x)T(t), suy T ''(t ) a T (t ) X "( x) X ( x) Vế trái không phụ thuộc t, vế phải không phụ thuộc x, hai vế chúng số, chẳng hạn T ''(t ) a T (t ) X "( x) = X ( x) Vậy Ta nhận hai phương trình vi phân sau : X’’(x) + T’’(t) + 2 X(x) = (2.53) a2 T(t) = (2.54) Phương trình X thỏa mãn điều kiện X’(0) = 0, X’(L) + hX’(L) = (2.55) Tìm nghiệm không tầm thường phương trình vi phân cấp (2.53) thỏa mãn điều kiện biên (2.55) Nghiệm tổng quát (2.53) X ( x) Acos x B sin x Từ điều kiện (2.55) cho ta : A( Với A ≠ B sin L hcos L) sin L hcos L Điều xảy tg L h Phương trình siêu việt tg L h xác định trị riêng k , k=1, 2, 3,… Các hàm riêng có dạng Xk Phạm Thị Thủy cos k x 46 K33D – Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Với trị riêng cho, ta có nghiệm phương trình (2.54) Tk (t ) Ck cos k at Dk sin k at , đó: Ck, Dk số tùy ý Nghiệm toán dạng tổng quát u ( x, t ) Ak cos k at Bk sin k at cos k x , k Trong hệ số Ak, Bk xác định sau: L Ak cos k x f ( x)cos k xdx, Bk L a k g ( x)cos k xdx cos k x Từ điều kiện ban đầu u ( x,0) Ak 0; ut ( x,0) L Bk a cos k x k cos k xdx Ta có L cos k xdx sin x L x kx k L k k k h L k h2 k k h 2 k k a sin h cos k xdx Bk h cos k x k h2 k 2h a h2 k L( h 2 k k ) h Nghiệm tổng quát toán cho có dạng u ( x, t ) 2h a k Phạm Thị Thủy h2 k L(h k 2 k 47 ) h sin k atcos k x K33D – Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Ví dụ Cho sợi dây dài L, có hai đầu gắn chặt, giả sử có ngoại lực tác dụng p(x, t) tính đơn vị độ dài Giải phương trình dao động dây tác dụng ngoại lực là: utt a 2uxx h( x, t ), h( x, t ) p( x, t ) Các điều kiện biên điều kiện ban đầu có dạng: u (0, t ) 0, u ( L, t ) u ( x, 0) f ( x), ut ( x, 0) g ( x) Giải Nghiệm tìm dạng: u(x, t) = v(x, t) + w(x, t), thay vào phương trình ta có: vtt ( x, t ) w tt ( x, t ) a vxx ( x, t ) w xx ( x, t ) vtt ( x, t ) a 2vxx ( x, t ) h( x, t ) Hay h( x, t ), w tt ( x, t ) a 2w xx ( x, t ) Hàm v không chứa điều kiện ban đầu, hàm w chứa điều kiện ban đầu, chọn w cho: w tt ( x, t ) a w xx ( x, t ) : w(0, t ) 0, w( L, t ) 0; w( x, 0) f ( x), w t ( x, 0) g ( x) Bài toán tìm w toán (1.9) giải chương 1, có nghiệm là: w( x, t ) ( Ak cos k k k k at Bk sin at ) sin x L L L Hàm v không chứa điều kiện ban đầu, phương trình điều kiện biên cho hàm v(x,t) là: Phạm Thị Thủy 48 K33D – Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp vtt ( x, t ) a 2vxx ( x, t ) h( x, t ) : v(0, t ) 0, v( L, t ) 0; v( x, 0) 0, vt ( x, 0) Có thể nói toán tìm v toán tìm dao động cưỡng dây điều kiện ban đầu, tức toán nhiễu loạn Bài toán tìm v toán (1.31) giải chương 1, có nghiệm là: t v ( x, t ) k k a0 sin( L t L k a)d h( x, )sin k k xdx sin x L L Nghiệm phương trình u(x,t) có hai phần: nghiệm phương trình không nghiệm phương trình nhất: u ( x, t ) k t k a0 ( Ak cos k sin( L t L k at L k a)d h( x, )sin Bk sin k k xdx sin x L L k k at )sin x L L Trong L Ak Bk k f ( x)sin xdx L0 L k a L g ( x)sin k xdx L Ví dụ Cho đàn hồi (0 ≤ x ≤ L) treo thẳng đứng với đầu x = gắn chặt, đầu thả tự cho t = vận tốc dịch chuyển v0 , hình dạng ban đầu không Tìm dao động dọc Giải Phương trình dao động có dạng: Phạm Thị Thủy 49 K33D – Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội a2uxx utt g, g Khóa luận tốt nghiệp const ,0 x L Thỏa mãn điều kiện: u (0, t ) 0, u ( L, t ) 0; u ( x, 0) 0, ut ( x, 0) v0 Nghiệm tìm có dạng: u ( x, t ) v( x, t ) w( x, t ); a vxx vtt Chọn wtt g a w xx w tt a2 w xx với điều kiện: w(0, t ) 0, w x (0, t ) 0; w( x, 0) 0, w t ( x, 0) v0 Nghiệm w có dạng: w( x, t ) k 2k 2L cos k a t k sin 2k 2L a t sin 2k 2L x Theo điều kiện biên ta có: w( x,0) w t ( x,0) v0 0; k k 4v0 2k L a0 sin 2k 2L xdx 8Lv0 2k 2 a Suy w( x, t ) 8Lv0 a k 2k sin (2k 1) a (2k 1) t sin x 2L 2L Hàm v thỏa mãn phương trình điều kiện: vtt a 2vxx g 0; v(0, t ) 0, vx ( L, t ) 0; v( x,0) 0, vt ( x,0) Phạm Thị Thủy 50 (2.56) K33D – Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Hàm v khai triển theo hàm riêng sin v ( x, t ) Tk (t )sin k vtt ( x, t ) 2k 2L k 2k L2 vxx ( x, t ) k x; 2k 2L Tk "(t )sin (2k 1) x có dạng: 2L x; Tk (t )sin 2k 2L x thay vào phương trình (2.56) để ý điều kiện v( x,0) Tk (0) 0; vt ( x,0) Tk '(0) 0; g k 2k K sin 2L x L 2k 2g sin L 2L K xdx 4g 2k ta được: Tk "(t ) k 2k 2L a 2k 2L Tk (t ) sin x k 4g 2k sin 2k 2L x suy 2k 2L Tk "(t ) a 4g 2k Tk (t ) (2.57) Do Tk (t ) P Qcos 2k 2L a t R sin 2k 2L a t, Trong P, Q R hệ số xác định từ điều kiện ban đầu : Tk (0) P Q Tk '(0) R Phạm Thị Thủy 2k 2L Q a 51 P R K33D – Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Vậy Tk (t ) 2k 2L P Pcos 2k 2L Tk "(0) 2k 2L a a t a 2k 2L Pcos 2k 2L Tk (t ) 2k 2L P cos a a a t t; 2k 2L P cos a t Chú ý tới (2.57) suy ra: 2k a 2L 4g 2k P 16 gL2 P 2k 3 a Hàm T có dạng Tk (t ) 16 gL2 2k 3 cos a 2k 2L a t Nghiệm v có dạng: v ( x, t ) 16 gL2 3 a 16 gL2 3 a k 2k 1 k sin cos 2k 2k 2L 2k 2L x t sin 2k 2L x Kết cuối ta thu được: u ( x, t ) 16 gL2 3 a 16 gL2 3 a Lv0 a Phạm Thị Thủy 2k k k 2k 1 k 2k sin cos sin 52 2k 2L 2k 2L x t sin 2k 2L x (2k 1) a (2k 1) t sin x 2L 2L K33D – Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Một số ví dụ tương tự Ví dụ Giải toán: utt a 2uxx , x L, t 0: u (0, t ) u ( L, t ) 0; u ( x, 0) ( x), ut ( x, 0) ( x) Ví dụ Giải toán: x , L u (0, t ) 0, u ( L, t ) 0; u ( x, 0) 0, ut ( x, 0) utt a 2u xx Ae t sin x L Ví dụ Cho sợi dây dài L với hai đầu gắn chặt, tìm nghiệm phương trình dao động hình dạng ban đầu sợi dây tam giác có độ cao h, chân đường cao x0 , vận tốc ban đầu không Ví dụ Một đồng chất với mật độ ρ độ dài L, có đầu x = gắn chặt, đầu x = L bị lực có sức căng P tác dụng, thời điểm t = lực tác dụng bị biến Tìm dao động dọc Ví dụ Tìm dao động thanh, đầu x = gắn chặt, đầu x = L để tự với điều kiện ban đầu: u ( x, 0) Phạm Thị Thủy k , ut ( x, 0) ≤ x ≤L 53 K33D – Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Trên toàn nội dung khóa luận: “Một số ứng dụng phương trình loại hyperbol vật lý” Nội dung khóa luận đề cập đến là: Một số kiến thức chuẩn bị toán tử Gradien, Div, Rota, Laplace; toán vật lý dẫn tới phương trình truyền sóng; phương pháp tách biến giải phương trình dao động dây; phương trình không Một số ứng dụng phương trình loại hyperbol vật lý: phương trình biểu diễn sóng âm chất khí chất lỏng, phương trình biểu diễn sóng điện điện từ, phương trình biểu diễn chuyển động sóng chất rắn Một số ví dụ phương trình truyền sóng Qua việc thực nghiên cứu đề tài này, em mở rộng tầm hiểu biết phương trình vi phân đạo hàm riêng số phép biến đổi tích phân làm quen với việc nghiên cứu khoa học Mặc dù có nhiều cố gắng song thời gian có hạn vấn đề thân em, nên trình viết trình in ấn, khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy cô giáo bạn sinh viên đóng góp ý kiến giúp em hoàn thành khóa luận Em xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo Khoa Toán, trường ĐH Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tạo điều kiện giúp em hoàn thành khóa luận Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2011 Sinh viên Phạm Thị Thủy Phạm Thị Thủy 54 K33D – Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Mạnh Hùng (2002), Phương trình đạo hàm riêng, NXB Giáo dục Nguyễn Văn Hùng, Lê Văn Trực (2004), Phương pháp toán cho vật lý, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội Đỗ Đình Thanh (2002), Phương pháp toán lý, NXB Giáo dục, Hà Nội Phan Huy Thiện (2006), Phương trình toán lý, NXB Giáo dục Nguyễn Đình Trí, Nguyễn Trọng Thái (1971), Phương trình vật lý toán, NXB Đại Học trung học chuyên nghiệp, Hà Nội Phạm Thị Thủy 55 K33D – Khoa Toán [...]... CHƢƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH LOẠI HYPERBOL TRONG VẬT LÝ Trong chương này tôi làm sáng tỏ phương trình biểu diễn của sóng âm trong chất khí hoặc chất lỏng; phương trình biểu diễn của sóng điện và điện trường; phương trình biểu diễn chuyển động sóng của chất rắn thể hiện bằng phương trình truyền sóng trong hệ tọa độ trực giao đặc biệt hệ tọa độ Descartes và trình bày một số ví dụ về phương trình. .. đổi của dây, ρ khối lượng không đổi trên một đơn vị dài của dây) 1.3.Phƣơng pháp tách biến giải phƣơng trình dao động của dây 1.3.1 Phương pháp tách biến giải phương trình dao động của dây Phương pháp tách biến là một trong những phương pháp quan trọng để giải các bài toán đối với các phương trình vật lý toán Tìm nghiệm phương trình dao động của dây : Phạm Thị Thủy 14 K33D – Khoa Toán Trường ĐH Sư... H 2 j H 3 k (2.29) ur trong đó mỗi thành phần {E1 , E2 , E3} của điện trường E và mỗi thành phần uur {H1 , H 2 , H 3} của từ trường H đều phải thỏa mãn phương trình sóng Nghiệm ur uur của phương trình sóng cho E và H không phải là sóng tùy ý khi các phương trình Maxwell đặt một vài điều kiện lên dạng sóng Ví dụ: Xét một sóng phân cực trong mặt phẳng (x,y) chuyển động theo hướng của trục x Phạm Thị Thủy... 2 U U t2 a 2 2U (2.25) cũng là phương trình sóng Như vậy: Phương trình truyền sóng đã mô tả được sự dao động của sóng âm trong chất lỏng và chất khí 2.2 Phƣơng trình biểu diễn của sóng điện và điện từ Hệ phương trình Maxwell có dạng: ur D ur B 0 ur ur B E t ur uur D H J t trong đó: ur D ( coulomb/ m 2 ) là vector cảm ứng điện trường; ur B ( weber/ m 2 ) là vector cảm ứng từ trường; ur E ( volt/m) là... tác dụng F 0 Với các giả thiết trên, rút gọn phương trình ( 2.8) về dạng ur ur ur V ur ur V 1 V V F P P t t u t v t w t Hay 1 P x 1 P y 1 P z (2.12) Phương trình (2.11) rút gọn thành 0 (2.13) (1 s) Vì thế phương trình ( 2.10) có thể biểu diễn dưới dạng chuỗi của s như sau P P0 (1 s) P0 1 s ( s2 1) 2! Dạng tuyến tính của phương trình trên thu được khi cắt chuỗi đến số hạng cấp 2 và bỏ qua các số hạng... Nội 2 Trong đó: P0 , 0 Khóa luận tốt nghiệp là áp suất và mật độ lúc ban đầu ( khi hệ chưa bị tác động); C p , Cv là nhiệt dung của chất lỏng hay chất khí khi áp suất và thể tích không đổi; là tỷ số nhiệt dung Hệ ba phương trình (2.3), cùng với hai phương trình (2.6) và ( 2.7) là 5 phương trình xác định 5 đại lượng u, v, w, , P Tóm lại, sự chuyển động của sóng âm được mô tả bằng hệ các phương trình. .. (2.14) Thay phương trình (2.13) và (2.14) vào phương trình (2.9) thu được ur ur s V s V 0 0 0 t ur ur V ta thu được phương trình liên tục Bỏ qua các hạng thức ps V , cho nồng độ s Phạm Thị Thủy 30 K33D – Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội 2 ur V s t Khóa luận tốt nghiệp 0 (2.15) Thay phương trình (2.13) và (2.14) vào phương trình (2.12) thu được P0 0 (1 s ) P0 a2 const 0 Như vậy, phương trình Euler... nghiệm của phương trình sóng ur 3 chiều Tương tự, có thể chỉ ra tốc độ V cũng thỏa mãn là nghiệm của phương trình sóng 3 chiều ur V t2 2 a 2 s t a 2 ur V a 2 2 ur V ur Nếu tốc độc V nhận được từ một hàm thế U= U(x, y, z, t) có dạng ur ur V V ( x, y , z , t ) gradU ( x, y, z , t ) U (2.21) thì từ phương trình (2.16) ta có ur V ur a 2 gradsdt C a 2 grad 0 sdt ur C (2.22) 0 ur trong đó C là hằng số tích... vậy ta có uur div( V ) d t v 0 Phương trình trên thể hiện định luật bảo toàn khối lượng cho một thể tích chất lỏng hay chất khí V tùy ý Từ đó ta đưa ra phương trình liên tục cho chất lỏng hay chất khí được xét ur div( V ) 0 hay t t ur ( V) 0 (2.6) Ngoài ra, có một phương trình liên hệ giữa áp suất và mật độ là kết quả của lý thuyết nhiệt động học với giả thiết rằng Entropi của hệ thống không đổi P P0... E2 , E3 ) của E và mỗi thành phần ( H1, H 2 , H3 ) của H phải thỏa mãn phương trình sóng Bây giờ, xét sự chuyển động dao động của sóng dọc theo một đường bán vô hạn Chú ý, sóng được gọi là sóng ngang khi độ dịch chuyển của sóng vuông góc với hướng truyền năng lượng Trong trường hợp đặc biệt, với bài toán dao động của dây, hạn chế chỉ xét trong mặt phẳng (x,y) ta nói chuyển động sóng chỉ trong miền ... toán vật lý dẫn tới phương trình truyền sóng Tìm hiểu số ứng dụng phương trình loại hyperbol vật lý Đối tượng nghiên cứu Phương trình loại hyperbol số ứng dụng vật lý Phương pháp nghiên cứu Phương. .. CHƢƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH LOẠI HYPERBOL TRONG VẬT LÝ Trong chương làm sáng tỏ phương trình biểu diễn sóng âm chất khí chất lỏng; phương trình biểu diễn sóng điện điện trường; phương trình. .. Chương Một số ứng dụng phương trình loại hyperbol vật lý Phạm Thị Thủy K33D – Khoa Toán Trường ĐH Sư Phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp CHƢƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số kiến