Một số ứng dụng của phương trình loại hyperbol trong vật lý

Phương trình sóng còn được gọi là phương trình loại hyperbol, nó đóng một vai trò quan trọng trong vật lý cũng như các ngành kỹ thuật, được thiết lập trên cơ sở nghiên cứu các dao động c

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn Sự phát triển của toán học đánh dấu bởi những ứng dụng của toán học vào việc giải quyết các bài toán thực tiễn Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán liên quan đến phương trình vi phân đạo hàm riêng

Ra đời từ những năm 60, phương trình đạo hàm riêng đã nhanh chóng khẳng định được vị trí và tầm quan trọng của mình trong khoa học nói chung

và toán học nói riêng Đặc biệt phương trình đạo hàm riêng loại hyperbol có ứng dụng rất lớn trong khoa học và trong thực tiễn

Phương trình sóng còn được gọi là phương trình loại hyperbol, nó đóng một vai trò quan trọng trong vật lý cũng như các ngành kỹ thuật, được thiết lập trên cơ sở nghiên cứu các dao động của: dây, sóng âm, sóng đàn hồi, sóng điện từ trường Với khả năng ứng dụng rộng rãi của phương trình loại hyperbol trong khoa học và trong thực tiễn, mà các nhà toán học đã tập trung nghiên cứu và tìm được nhiều ứng dụng của phương trình loại hyperbol trong vật lý

Trên cơ sở đó và dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, tôi đã lựa chọn đề tài: “Một số ứng dụng của phương trình loại hyperbol trong vật lý” nhằm nghiên cứu sâu hơn về phương trình loại

hyperbol cũng như một số ứng dụng của nó trong vật lý

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu một số toán tử gradien, Div, Rota, Laplace

Tìm hiểu bài toán vật lý dẫn tới phương trình truyền sóng

Tìm hiểu một số ứng dụng của phương trình loại hyperbol trong vật lý

4 Đối tượng nghiên cứu

Phương trình loại hyperbol và một số ứng dụng của nó trong vật lý

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lí luận

Phương pháp phân tích, tổng hợp và đánh giá

Đọc tài liệu và tra cứu

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Một số ứng dụng của phương trình loại hyperbol trong vật lý

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về: toán tử Gradien, Div, Rota, Laplace trong hệ tọa độ cong trực giao; bài toán vật lý dẫn tới phương trình truyền sóng; phương pháp tách biến giải phương trình dao động của dây; phương trình không thuần nhất, để chuẩn bị cho nội dung chương sau

1.1 Một số toán tử Gradien, Div, Rota, Laplace

1.1.1 Hệ tọa độ cong

Vị trí của một điểm M trong không gian được xác định bằng bán kính vectơ rr Trong hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz: rr xir y jr zkr

Trong nhiều bài toán để xác định vị trí của điểm M thay cho bộ ba số x,

y, z người ta dùng bộ ba số khác q1, q2, q3 phù hợp và thuận tiện hơn với bài toán đang xét Ngược lại, ta giả thiết một bộ ba số q1, q2, q3 ứng với một bán kính vectơ rr, do đó ứng với một điểm M nào đó của không gian Các đại lượng q1, q2, q3 được gọi là toạ độ cong của điểm M

Vì mỗi điểm M ứng với hệ toạ độ q1, q2, q3 do đó mỗi một toạ độ này là một hàm của bán kính vectơ rr

r r

Ngược lại vì bán kính vectơ rr

của mỗi điểm trong không gian được

xác định hoàn toàn khi cho ba số q1, q2,

q3 Nghĩa là ba thành phần x, y, z của rr là hàm số của q1, q2, q3

Tập hợp tất cả các điểm sao cho trên tập này chỉ có tọa độ q1thay đổi (còn tọa

độ q2, q3 không thay đổi) được gọi là các đường tọa độ Hiển nhiên giao tuyến của hai mặt q2 và q1 cho ta đường tọa độ q3

1.1.2 Hệ tọa độ cong trực giao

Hệ tọa độ cong mà các đường tọa độ vuông góc với nhau theo từng đôi một tại mỗi điểm được gọi là hệ tọa độ cong trực giao Hệ tọa độ trụ, hệ tọa

độ cầu đều là các hệ tọa độ cong trực giao

Trong không gian cho điểm M nào đó,

gọi r l i (i=1, 2, 3) là các vectơ đơn vị tiếp

xúc tại điểm này với các đường tọa độ qi

và hướng theo chiều tăng của các đường tọa độ qi

Ta nhận thấy rằng trong hệ tọa độ Descartes hướng của các véc tơ il rkhông phụ thuộc vào vị trí của M, còn trong hệ tọa độ cong, ba véctơ đơn vị trực giao e e e r r r1, 2, 3 phụ thuộc vào các vị trí của M

Gọi vectơ đơn vị có phương pháp tuyến với mặt tọa độ qi Ci và hướng theo chiều tăng của qi là ei

ur r

H.1.2

Xét các đường tọa độ, trên các đường này ta đưa vào các vectơ đơn vị

tiến đến vectơ cùng phương, cùng chiều với

vectơ đơn vị uurl1 tại M Đó là vectơ đạo hàm

1

r q

ur

1

r h q

ur

r

l

Đại lượng này xác định vận tốc biến thiên của bán kính vectơ dọc theo

đường tọa độ q1 Hệ số h chỉ độ lớn của vectơ 1

1

r q

1

r

urV

r

r

H.1.3

được gọi là hệ số lame của hệ tọa độ cong đang xét

Hệ số lame trong hệ tọa độ đề các

1.1.4 Gradien của trường vô hướng trong hệ tọa độ cong

Trong không gian cho hệ tọa độ q1, q2, q3 và trường vô hướng

u = f (q1, q2, q3)

Hãy tính gradien của trường này tại điểm bất kỳ M (q1, q2, q3) Trước

hết, xét hình chiếu gradien của hàm f lên hướng nào đó bằng đạo hàm của

hàm f theo hướng này

1

1 1

, , ( , , )lim

Cuối cùng muốn tính đạo hàm của trường vô hướng u = (q1, q2, q3) tại

điểm M theo hướng véctơ nào đó ar a e1 1ur a e2ur2 a e3 3ur ta chỉ cần lấy hình

chiếu của gradien lên véctơ ar

A n dS div A

V

ur rur

trong đó M V và X là miền được giới hạn bởi bề mặt S

Xét một hình hộp chữ nhật cong có đỉnh tại M đang xét, các mặt bên

trùng với các mặt tọa độ, các mặt đối diện với các mặt tọa độ đi qua điểm N

Trong hệ tọa độ cong trực giao V= h1h2h3dq1dq2dq3 mặt MM2N1M3 có diện

tích h2h3dq2dq3 Thành phần của véctơ urA

trên pháp tuyến của mặt này là -A1, do đó

thông lượng tương ứng của urA đi qua mặt này

là -A1h2h3dq2dq3

Xét mặt M1N3NN2 trên mặt này q1 có giá

trị q1 + dq1do đó thông lượng qua mặt này là:

Tương tự thông lượng qua hai mặt MM1N2M3 và M2N3NN1bằng:

2 1 3 2 1 3

2

A h h

dq dq dq q

Tương tự thông lượng qua hai mặt NN1M3N2 và MM1N3 M2 bằng:

3 1 2 3 1 2

3

A h h

dq dq dq q

Cộng cả ba biểu thức trên ta được thông lượng toàn phần qua mặt S:

Nếu trường được cho trong hệ tọa độ cầu

urA A r r , , eurr A r, , euur A r, , euur

(vì h r=1; h r;h = rsin )

thì:

2 2

sin1

sinsin

1.1.6 Rota trong hệ tọa độ cong

Xét trường véctơ

urA uurA q q q e1( ,1 2, 3)ur1 uurA q q q e2( ,1 2, 3)ur2 uurA q q q e3( ,1 2, 3)ur3

Để tìm Rota của trường này ta tính hình chiếu của rota theo một hướng nào đó bằng mật độ lưu thông trung bình của trường urA theo hướng này Mật

độ lưu thông trung bình theo hướng eur1 bằng tỷ số lưu thông theo một chu tuyến bất kỳ bao quanh M và diện tích S được giới hạn bởi chu tuyến này, đồng thời miền S phải được phân bố trên bề mặt mà pháp tuyến của nó tại điểm này hướng dọc theo véctơ eur1 Ta định nghĩa:

S

ur r

Để thuận tiện ta chọn một tọa độ q1 = const đi qua M và miền S là miền

MM2N1Mđược giới hạn bởi các đường tọa độ (H.1.5)

Diện tích của yếu tố vi phân mặt được giới hạn bởi chu tuyến đó là:

Dùng ký hiệu toán tử “Nabla” ta có:

grad , div A A rot A, A

c/rotrot Aur ur ur) ( )urA graddiv Aur urA (1.4)

Trong vật lý toán người ta gọi toán tử cấp hai divgradu là toán tử

“Laplace” ký hiệu bởi toán tử Δ Từ hệ thức divgrad ta có

1.2 Bài toán vật lý dẫn tới phương trình truyền sóng

Giả thiết dây đàn hồi có chiều dài L buộc chặt ở hai gối có cùng mức

nằm ngang do đó có thể lấy trục x dọc theo dây Dây đàn hồi có thể là dây đàn

dây truyền tin

Cho dây chuyển động, nó dao động trong mặt phẳng thẳng đứng và kí

hiệu u(x, t) là chuyển dịch của dây tại điểm x và thời điểm t

Gọi ∆s là phần tác dụng cung của dây Vì sức căng T giả thiết là hằng

số, lực hướng thẳng đứng tác dụng lên ∆s cho bởi Tsin 2 Tsin 1

Vì sin tg do góc θ nhỏ nên lực này có dạng

2 2

a (T là sức căng không đổi của dây, ρ khối lượng không đổi

trên một đơn vị dài của dây)

1.3.Phương pháp tách biến giải phương trình dao động của dây

1.3.1 Phương pháp tách biến giải phương trình dao động của dây

Phương pháp tách biến là một trong những phương pháp quan trọng để

giải các bài toán đối với các phương trình vật lý toán

Tìm nghiệm phương trình dao động của dây :

U(0,t) = X(0) T(t) = 0 U(L,t) = X(L) T(0) = 0

Để tìm nghiệm không đồng nhất bằng không, ta phải có

Vậy ta đi đến bài toán sau : tìm những nghiệm không đồng nhất bằng không của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai (1.15), thảo mãn các điều kiện biên (1.17)

Từ điều kiện (1.17) cho ta :

1 2

L k

thì chuỗi hàm (1.25), trong đó Ak, Bk được tính bởi các công thức (1.28), (1.29) là nghiệm của bài toán hỗn hợp (1.9), (1.10), (1.11), (1.12), (1.13) Thật vậy, bằng cách tích phân từng phần và để ý đến các điều kiện vừa nêu đối với các hàm f , g ta được

chuỗi hàm (1.25) viết lại thành

1 ( , )

k k hội tụ Vậy chuỗi hàm (1.25) hội tụ đều,

do đó u(x,t) là hàm liên tục với 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0 Nó thỏa mãn các điều kiện (1.9), (1.10), (1.11) Cũng bằng cách đánh giá như trên, ta dễ dàng thấy rằng các chuỗi hàm mà ta được bằng cách lấy đạo hàm từng số hạng chuỗi hàm

(1.25) hai lần theo x, hai lần theo t cũng hội tụ đều với 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0 do đó

có thể lấy đạo hàm từng số hạng chuỗi hàm (1.25) ) hai lần theo x, hai lần theo t Vậy chuỗi hàm (1.25) thỏa mãn phương trình (1.9) Đó là điều phải chứng minh Phương pháp giải trên còn được gọi là phương pháp Fourier

1.3.2 Ý nghĩa vật lý của nghiệm

Bây giờ ta tìm ý nghĩa vật lý của các hàm uk(x,t), xác định bởi (1.24)

Dạng của sợi dây tại các thời điểm khác nhau trong trường hợp :

Nếu k = 1, các mút của dây bất động, chỉ có điểm

Một cách tổng quát, phương trình sink x 0

L có (k + 1) nghiệm trong

0, L , đó là các điểm x = 0, x L, x 2L, , x (k 1)L, x L

với chúng là các điểm bất động của dao động uk(x,t) còn điểm giữa của đoạn

nối hai điểm bất động liên tiếp là điểm đạt độ lệch lớn nhất Fk Người ta gọi

điểm bất động là điểm nút, gọi điểm đạt độ lệch lớn nhất là điểm bụng của

sóng đứng

1.4 Phương trình không thuần nhất

Bài toán 1 Ta giải phương trình không thuần nhất

utt = a2 uxx + h(x,t), 0 < x < L, t > 0 (1.31) Với điều kiện biên :

(0, ) 0, ( , ) 0; 0

Và điều kiện ban đầu :

u(x,0) = 0, ut(x,0) = 0 (1.33) phương trình được viết dưới dạng:

Đây là loại phương trình không thuần nhất, nhưng điều kiện biên và

điều kiện ban đầu thuần nhất, tức là có một ngoại lực tác dụng vào sợi dây

Dùng kết quả bài toán (1.9) và có tính đến các hàm riêng với điều kiện

Trong đó Ak(t) là hệ số khai triển phụ thuộc thời gian và thoả mãn các điều

kiện biên ban đầu:

Thay (1.35) vào (1.31) ta có:

2 1

Nhân cả hai vế phương trình (1.37) với Fm(x) và tích phân hai vế từ 0

đến L, đồng thời sử dụng tính trực giao của { Fk(x) } trong khoảng 0 < x < L

(1.38)

Tính trực giao của tập hợp các hàm riêng { Fk(x) } trong khoảng 0 < x

< L làm cho tích trong ( Fk, Fm ) bằng không, trừ giá trị khi k bằng m: ( Fm, Fm ) = ||Fm||2, do đó phương trình (1.38) khi k bằng m trở tthành

2 2

0''( ) ( ) ( , ) ( )

Nghiệm phương trình (1.40) với điều kiện biên (1.36) tìm được bằng phương pháp biến thiên hằng số

Giải phương trình thuần nhất 2

với là biến lấy tích phân

Thay thế các giá trị α(t), β(t) vào phương trình (1.42) ta được

t x là toán tử tuyến tính, nên có thể

viết nghiệm của (1.46) dưới dạng u(x,t) = v(x,t) + w(x,t), trong đó chọn v(x,t) thỏa mãn phương trình

( ) sin

L k

L k

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH

LOẠI HYPERBOL TRONG VẬT LÝ

Trong chương này tôi làm sáng tỏ phương trình biểu diễn của sóng âm trong chất khí hoặc chất lỏng; phương trình biểu diễn của sóng điện và điện trường; phương trình biểu diễn chuyển động sóng của chất rắn thể hiện bằng phương trình truyền sóng trong hệ tọa độ trực giao đặc biệt hệ tọa độ Descartes và trình bày một số ví dụ về phương trình truyền sóng

2.1 Phương trình biểu diễn của sóng âm trong chất khí hoặc chất lỏng

Sóng âm là sóng đàn hồi theo chiều dọc, được sinh ra do các dao động của dây, của cột khí hay của bề mặt nào đó Từ “âm” theo đa số mọi người hiểu có nghĩa là sóng dao động di chuyển sinh ra âm thanh để người ta có thể nghe thấy được

Chúng ta sẽ nghiên cứu sóng âm từ việc nén chất lỏng hoặc chất khí có mật độ khối lượng Giả sử có bề mặt S bao quanh thể tích V của một chất lỏng nào đó, xét một yếu tố thể tích d = dxdydz bao quanh điểm ( x, y, z) bên trong thể tích đó Xét các lực tác dụng lên yếu tổ thể tích này, gọi P= P(x, y,z)

là áp suất ( lực tính trên một đơn vị diện tích) hướng theo pháp tuyến tại mỗi điểm của bề mặt Lấy tổng tất cả các áp lực áp suất qua bề mặt của thể tích và thu được

Áp dụng định luật II - Newton cho yếu tố thể

tích, trong đó lực tác dụng lên chúng bao gồm gradien của lực áp suất và ngoại lực Vector vận tốc tại điểm (x,y,z) là

Lượng chất lỏng, hay chất khí đi vào khối thể tích V bằng lượng chất lỏng hay chất khí đi ra khỏi chúng Khối lượng chất lỏng hay chất khí thay đổi bên trong thể tích V bằng:

v

m

d

Thông lượng chất lỏng,hay chất khí đi qua bề mặt thể tích V theo định

lý Gauss cho phép chuyển tích phân mặt thành tích phân ba lớp theo thể tích

Với là toán tử Nabla

Cũng cần nhắc lại là toán tử Nabla tác động lên một vô hướng là toán tử grad, tác động lên vector là toàn tử div Toàn tử grad là một vector, toán tử div là một vô hướng:

uur

Phương trình trên thể hiện định luật bảo toàn khối lượng cho một thể tích chất lỏng hay chất khí V tùy ý Từ đó ta đưa ra phương trình liên tục cho chất lỏng hay chất khí được xét

0 0

Trong đó: P0, 0 là áp suất và mật độ lúc ban đầu ( khi hệ chưa bị tác động); ,

C C là nhiệt dung của chất lỏng hay chất khí khi áp suất và thể tích không

đổi; là tỷ số nhiệt dung

Hệ ba phương trình (2.3), cùng với hai phương trình (2.6) và ( 2.7) là 5 phương trình xác định 5 đại lượng u, v, w, , P

Tóm lại, sự chuyển động của sóng âm được mô tả bằng hệ các phương trình đặc trưng cho qua trình nén chất lỏng hoặc chất khí

Các hệ 5 phương trình ( 2.8), (2.9) và (2.10) biểu diễn 5 đại lượng chưa biết u, v, w, , P Các hệ phương trình đó là phi tuyến nên khó giải được, vì vậy cần phải tuyến tính hóa chúng để đưa về dạng dễ giải Để làm điều đó, chúng ta sẽ đưa ra một vài định nghĩa và giả thiết sau:

1 Nồng độ chất khí hoặc chất lỏng đặc trưng cho độ loảng hay đậm đặc của chúng được định nghĩa

0 0

( , , , )

s V t

ur

(2.15) Thay phương trình (2.13) và (2.14) vào phương trình (2.12) thu được

Như vậy, phương trình Euler được rút gọn thành phương trình tuyến tính

s là nồng độ chất khí hoặc chất lỏng

Các hệ 5 phương trình (2.17), (2.18) và (2.19) biểu diễn 5 đại lượng chưa biết u, v, w, , P

Bây giờ vi phân phương trình (2.18) theo biến t và chú ý đến phương trình (2.17) t, ta có phương trình vi phân đạo hàm riêng xác định nồng độ ( chú ý: 2

):

có thể vi phân phương trình (2.19) để thu được

Áp suất P=P(x, y, z, t) cũng thỏa mãn là nghiệm của phương trình sóng

3 chiều Tương tự, có thể chỉ ra tốc độ Vur cũng thỏa mãn là nghiệm của phương trình sóng 3 chiều

Vur V x y z tur gradU x y z t U (2.21) thì từ phương trình (2.16) ta có

Vur grad U x y z a sdt gradU x y z t U (2.23)

hoặc