Luận văn sư phạm Một số ứng dụng của phương trình vi phân

ầ IC M N hoàn thành t t đ tài này, tr c tiên em xin bày t lòng c m n sâu s c t i th y khoa Tốn – tr ng i H c S Ph m Hà N i đ ng viên giúp đ em su t trình th c hi n đ tài c bi t, em xin chân thành c m n th y Tr n V n B ng t o u ki n t t nh t ch b o t n tình đ em có th hồn thành đ tài lu n v n Do th i gian ki n th c có h n nên nh ng v n đ trình bày đ tài khơng tránh kh i nh ng thi u sót Vì v y, em r t mong nh n đ ki n đóng góp c a th y cô b n khoa Em xin chân thành c m n! Sinh viên Cao Th Thanh ảu c nh ng ý ầ I CAM OAN Khóa lu n c a em đ c hoàn thành d is h ng d n c a th y Tr n V n B ng v i s c g ng c a b n thân em Trong trình nghiên c u th c hi n khóa lu n em có tham kh o tài li u c a m t s tác gi ( nêu m c tài li u tham kh o ) Em xin cam đoan nh ng k t qu khóa lu n k t qu nghiên c u c a b n thân em không trùng v i k t qu c a tác gi khác.N u em sai em xin hoàn toàn ch u trách nhi m Sinh viên Cao Th Thanh ảu M Cầ C Trang L IC M N L I CAM OAN U M Ch ng KI N TH C CHU N B A M t s khái ni m C p c a ph Ph ng trình vi phân ng trình vi phân th B M t s d ng ph ng ng trình vi phơn Ph ng trình n tính Ph ng trình vi phân c p m t 3 Ph ng trình thu n nh t c p m t Ph ng trình vi phân tồn ph n 5 Ph ng trình n tính c p m t 6 Ph ng trình n tính thu n nh t v i h s h ng Ph ng trình khơng thu n nh t Ph Ch ng A M t s ng pháp h s b t đ nh NG D NG ng d ng v t lý V n t c thoát kh i Trái t V t th r i 11 Dao đ ng lò xo 11 Dao đ ng không t t d n 13 S c ng h 15 ng Dao đ ng t t d n 16 Con l c đ n 18 nh lu t Newton chuy n đ ng c a hành tinh L c xuyên tâm đ nh lu t II Kepler 19 21 10 nh lu t I Kepler 22 11 nh lu t III Kepler 24 12 Bài toán qu đ o B M t s 26 ng d ng hóa h c vƠ kinh t nh lu t làm l nh Newton 33 33 S chuy n đ i hóa ch t đ n gi n 35 T ng tr 36 ng logictic giá c hàng hóa K T LU N 41 TẨI LI U THAM KH O 42 L I NĨI U S phát tri n c a tốn h c có nh ng b m l ch s , song nh ng k t qu mà đ t đ c th ng tr m t ng th i c r r nh t vào th k XX, s phát tri n c a ngành Gi i tích tốn h c V i s đ i c a ngành Gi i tích tốn h c, đ c bi t gi i tích hàm nh ng tốn th c t cu c s ng, v t lý, khoa h c, k thu t, … đ c gi i quy t nhanh g n xác Ngành Gi i tích toán h c nghiên c u nhi u k nh v c nh : l p hàm liên t c, kh vi, kh tích, ph ng trình vi phân, … M i l nh v c đ u có t m quan tr ng riêng vi c nghiên c u ng d ng Trong ph ng trình vi phân m t ph n c b n c a Gi i tích Có th nghiên c u t ng ph n đ th y đ c hay c a môn h c th c t c ng nh môn khoa h c khác ph ng trình vi phân có nhi u ng d ng nh : gi i toán dao đ ng lò xo, l c đ n, đ nh lu t Newton… Xu t phát t nh n th c long ham mê môn h c, em m nh d n ch n đ tài: “ M T S NẢ D NẢ C A Pả NG TRÌNH VI PHÂN” đ th c hi n khố lu n t t nghi p c a Khố lu n bao g m n i dung: Ch ng 1: Ki n th c chu n b Ch ng 2: ng d ng CH A M T S KHÁI NI M C p c a ph ng trình vi phơn C p c a ph ph NG 1: KI N TH C CHU N B ng trình vi phân c p cao nh t c a đ o hàm xu t hi n ng trình Ví d d2y  dy   2   y  dx  dx  ph ng trình c p 2 Ph ng trình vi phơn th Ph ng ng trình F  x, y, y ', y n    đ c g i ph B M T S Ph D NG PH ng c p n NG TRỊNH VI PHÂN ng trình n tính M t ph có th đ ng trình vi phân th c vi t d b0  x Ph 2.1 Ph ng c p n đ ng trình vi phân th c g i n tính n u i d ng dny d n1 y dy    bn1  x  bn  x y  R  x  b x 1  n n 1 dx dx dx ng trình vi phơn c p m t nh ngh a ng trình vi phân c p m t có d ng t ng quát F  x, y, y '  hàm F xác đ nh mi n D  R3 Ho c t (2.1) ta gi i đ c (2.1) y '  f  x, y ta đ c ph ng trình vi phân c p m t gi i đ o hàm Ta c ng có th vi t ph ng trình vi phân gi i đ o hàm d i d ng đ i x ng M  x, y dx  N  x, y  dy  2.2 Cách gi i Ta s dùng ph - a ph ng pháp tách bi n ng trình vi phân c p m t v d ng A x dx  B  x dy  A x B  y  hàm l n l - Tích phân hai v ph (2.2) t ch ph thu c x y ng trình (2.2) ta đ c tích phân t ng quát c a (2.2)  A x dx   B  y  dy  C 2.3 Ví d Gi i ph ng trình 2x 2y dx  dy  1 x  y2 Ta có tích phân t ng qt 2x 2y  1 x2 dx  1 y2 dyC hay ln 1  x2   ln 1  y2   C , C 0 Do 1  x 1  y   C '; tích phân t ng quát c a ph ng trình C '  eC Ph 3.1 ng trình thu n nh t c p m t nh ngh a Ph ng trình M  x, y  dx  N  x, y  dy  đ c g i ph (3.1) ng trình thu n nh t n u M  x, y  N  x, y  nh ng hàm thu n nh t b c Cách gi i a (3.1) v d ng - dy y  g    dx  x - t y  vx , ph ng trình (3.2) tr thành x - Gi i (3.3) b ng ph Ph 4.1 Ph dv  v  g  v  dx (3.3) ng pháp tách bi n ng trình vi phơn toƠn ph n nh ngh a ng trình M  x, y  dx  N  x, y  dy  đ (3.2) c g i ph (4.1) ng trình vi phân tồn ph n n u t n t i hàm F  x, y  kh vi cho dF  x, y  M  x, y dx  N  x, y  4.2 Cách gi i Xác đ nh F F  M N x y T m t hai ph cịn l i ta tìm đ ng trình ta tìm F r i cho F tho mãn ph c nghi m t ng quát c a (4.1)   F x, y C ng trình Ph 5.1 Ph ng trình n tính c p m t nh ngh a ng trình n tính c p m t có d ng dy  P  x y  Q  x dx (5.1) 5.2 Cách gi i a ph - ng trình v d ng (5.1) - Tìm th a s tích phân exp   Pdx - Nhân c hai v c a (5.1) v i th a s tích phân - Gi i ph ng trình vi phân tồn ph n 5.3 Nghi m t ng quát Gi s v th a s tích phân c a ph t ng qt c a ph ng trình Khi nghi m ng trình y  v1  vQdx  Cv1 Ph ng trình n tính thu n nh t v i h s h ng D ng t ng quát a y   a1 y n n 1   a n1 y ' a n y  (6.1) a0 , a1, , a n s th c Gi s y1, y2 , , yn h nghi m c b n c a ph ng trình (6.1) y  c1 y1  c2 y2   cn yn nghi m t ng quát c a ph Ph ng trình (6.1) ng trình khơng thu n nh t Ph 7.1 Ph ng pháp h s b t đ nh ng trình khơng thu n nh t D ng t ng quát a0 y   a1 y n Gi s n1   a n1 y ' a n y  R x y p nghi m riêng c a (7.1) yc nghiêm c a ph 10 (7.1) ng trình thu n nh t t ng ng Khi y  yp  yc nghi m t ng quát c a ph ng trình (7.1) 7.2 Ph  Tr ng pháp h s b t đ nh ng h p Hàm R  x có d ng m t đa th c c p m nhân v i hàm m R x   b0 xm  b1xm1   bm1x  bm  e x b0 , b1 , , bm ,  h ng s Ta kí hi u Pm  x  b0 xm  b1 xm1   bm1x  bm -  không ph i nghi m c a ph (7.3) ng trình đ c tr ng F     a 0 n  a1 n1   a n1  a n  t c F    Khi ta tìm nghi m riêng c a (7.1) d i d ng y*  x  Qm  x e x (7.4) Qm  x m t đa th c c p m v i h s ta c n xác đ nh Qm  x  d xm  d1 xm1   d m xác đ nh h s d0 , d1, dm ta thay (7.4) vào (7.3) sau gi n c th a s e x ta đ ng nh t h s c a l y th a b c c a x hai v -  nghi m b i k  k  1 c a ph F    F '     F  Trong tr ng trình đ c tr ng Khi    0; F k    (7.5) ng h p ta khơng th tìm nghi m riêng y*  x d i d ng (7.4) k 1 F    không cho phép ta xác đ nh h s d0 , d1, , dm Ta tìm nghi m riêng y*  x d i d ng y*  x  xkQm  x e x xác đ nh h s d0 , d1, , dm ta làm nh ph n tr 11 (7.6) c Khi hai đ ng cong l L vng góc v i nên dy  dY dx dX Do qu đ o đ ng giác nghi m ph ng trình       X, Y,  dY    dX   i kí hi u X,Y b ng x, y ta có quy t c tìm qu đ o đ ng giác c a h đ ng cong (12.1) nh sau - Tìm ph ng trình vi phân c a h đ - Trong ph (t c tr (t c tr ng cong (12.1) dy k dy  dx b ng n u c thay dy dx 1 k dx ng trình vi phân tìm đ ng h p tìm qu đ o đ ng giác) thay ng h p tìm qu đ o tr c giao) Gi i ph qu đ o đ ng giác ho c tr c giao t Ví d Cho h đ d ng cong y   x  Tìm qu đ o c t h đ Gi i L p ph ng trình vi phân thu đ ng h p    ng trình vi phân c a h đ ng th ng   yx     y '   32 c ng ng i m t góc  khơng đ i  Xét tr  dy b ng  n u  dy dx dx ng th ng Kh  ta đ c y'  V y ph y x ng trình vi phân c a qu đ o ph i tìm dy k y dx  dy x 1 k dx  k  tan   hay dy kx  y  dx x  ky Nhân hai v c a ph ng trình v i ta đ k  x  y2  c xdy  ydx xdx  ydy  k x2  y2 x  y2 hay   y 1  d  arctan   d ln  x2  y2  k  x Do y 1 arctan  ln  x2  y2   ln C1 k x hay x  y  Ce 2 y arctan k x Chuy n sang to đ c c   x  r cos    y  r sin  ta đ c r  Ce 33  k ây đ ng xo n c logarit ng h p    Xét tr ta có ph  t c tr ng h p tìm qu đ o tr c giao Khi ng trình vi phân qu đ o ph i tìm 1 y  dy x dx Hay xdx  ydy  Tích phân ta đ c C  x2  y2  C ây h đ ng cong tâm t i g c t a y o x =  Hình c Tr ng h p t a đ c c Có nh ng tr ng h p toán qu đ o đ đ n gi n n u dùng t a đ c c   x  r cos    y  r sin  0 2 34 c gi i y T T1 R  L   l o x Hình3 Gi s h đ ng cong (12.1) đ c cho b i ph ng trình t a đ c c   r , ,    (12.5) G i L qu đ o đ ng giác M  r1 ,1  m b t k Ký hi u ฀ ( góc gi a ti p n MT1 c a L t i M bán kính vecto OM ),   TMR ฀   TMR ( góc gi a ti p n MT c a l t i M OM ) Theo hình v ta có 1     Nh ng r r tan 1  ; tan   r1 r dr dr r1  r  d d  Tr ng h p    tan   hay theo t tan   k ta có tan 1  tan  tan 1  k   tan  tan 1  k tan 1 35 r1 k r r1  r r  k r1 L p ph ng trình vi phân c a h đ ng cong (12.1) theo ph n tr F  r , , r    c ta đ c  hay   r F  r , , r    r    r Thay r , , t r r  k r1 ng ng b i r1 ,1 , ta suy ph r1 k r1 ng trình vi phân c a qu đ o đ ng giác r1   k  r F  r1 ,1 ,  r1  k  r1   Tr   0     r r1 ng h p   Khi tan   nên  ph tan 1 r r1  ng trình vi phân c a qu đ o tr c giao  r12   F r1 ,1 ,    r1   Ví d Tìm qu đ o tr c giao c a h Cardioid cho b i ph r   1  cos  36 ng trình (12.6) Gi i Ta có r   sin  Do ph Theo cơng th c ph ng trình vi phân c a h (12.6) r sin  r  cos ng trình vi phân qu đ o tr c giao r2 r sin     cos r hay r  cos sin    r r sin   cos Gi i ph ng trình ta đ c h qu đ o tr c giao r  C 1  cos  1.2 BÀI T P Tìm qu đ o đ ng giác c a h đ a x2  y2   (d ng cong i góc  ) b x2  ny2  a ( n h ng s ) Tìm qu đ o tr c giao c a h đ ng cong sau a H parabol y  ax ng cong b c hai đ ng d ng x2  ny2  a b H đ c H lemiscas  x2  y2   2a  x2  y2  Tìm nh ng đ ng cong c t h đ ng cong   a 1  cos  d i m t góc khơng đ i  B M t s ng d ng hoá h c vƠ kinh t nh lu t lƠm l nh Newton Nh ng thí nghi m đ c ti n hành d ch nhi t đ x p x c a v t có th tìm đ 37 i nh ng u ki n xác c nh đ nh lu t làm l nh Newton Nhi t đ c a v t thay đ i v i m t t c đ mà t l v i đ chênh nhi t đ gi a môi tr ng bên ngồi nhi t đ c a v t Gi s h ng s t l nh dù nhi t đ t ng hay gi m Ví d M t nhi t k ch 700F nhà, đ cđ t bên n i có nhi t đ khơng khí 100F Ba phút sau nhi t k ch 250F Chúng ta s d đoán nhi t đ nh ng th i m khác Gi s u (F) nhi t đ c a nhi t k đ c đo t lúc nhi t k đ c đ t th i m t (phút) Th i gian bên Ta có t  u  70 t  u  25 Theo đ nh lu t Newton s bi n thiên c a nhi t đ theo th i gian, du , t l v i đ chênh l ch nhi t đ dt  u 10  Vì nhi t đ c a nhi t k gi m nên ch n  k  h ng s t l Khi ta có ph ng trình vi phân du  k  u  10  dt Ta có nghi m u  10  Ce kt T i t  u  10  C  70 Do C  60 Vì th ta có u  10  60e kt T i t  u  10  60e3k  25 T suy e3k  Vì v y k  ln 38 (1.1) V y nhi t đ đ c xác đ nh b i ph ng trình  1 u  10  60exp    t ln   BẨI T P Bài M t nhi t k ch 180F đ c mang vào phòng n i có nhi t đ 700F, m t phút sau nhi t k ch 310F Hãy xác đ nh nhi t đ nh m t hàm c a th i gian tìm nhi t đ sau n m phút nhi t k đ Bài M t nhi t k ch 750F đ c mang vào phòng c mang ngồi n i có nhi t đ 200F B n phút sau nhi t k ch 300F Tìm nhi t đ sau b y phút nhi t k đ c mang S chuy n đ i hoá ch t đ n gi n K t qu c a cu c thí nghi m ch ra, ph n ng hoá h c ch t A chuy n thành m t ch t khác t c đ chuy n hố t l v i l ng ch t khơng b chuy n hoá x Gi s l l ng x ng ch t không b bi n đ i b t kì th i m t  đ th i m t  x0 Khi c xác đ nh b i ph ng trình vi phân dx  kx dt (2.1) u ki n x  x0 t  Vì l ng x gi m th i gian t ng lên nên h ng s t l (2.1) đ c xác đ nh  k  T (2.1) ta có nghi m x  Ce kt T x  x0 t  ta suy C  x0 Vì th ta có x  x0ekt Ta gi s t i t  30s xác đ nh l l (2.2) ng ch t ban đ u x0 v a b bi n đ i Ta s ng ch t không b bi n đ i l i 39 t  60s Khi l ng ch t b bi n đ i l ng ch t cịn l i không b bi n đ i Do x  x0 t  30 T (2.2) ta có x0  x0e 30t T ta có k  b bi n đ i đ ln Khi v i t đ 30 c xác đ nh b i ph c đo b ng giây l ng ch t khơng ng trình   x  x0 exp  t ln   30  (2.3) T i t  60  1  x  x0 exp  60ln   x0 exp  2ln 3  30  T ng tr ng logictic vƠ giá c hƠng hoá Nhi u n l c đ c th c hi n đ phát tri n mơ hình nghiên c u s phát tri n c a dân s M t nh ng mơ hình đ n gi n cho vi c nghiên c u là: gi s t l sinh đ trung bình h ng s d ng t l t vong trung bình t l v i dân s N u x  t  dân s th i m t gi s d n đ n ph ng trình vi phân dx  b  ax x dt Trong b a h ng s d ng Ph trình logictic s phát tri n c a dân s đ đ c g i t ng tr ng logictic T (3.1) ta có 40 (3.1) ng trình đ c xác đ nh b i ph c g i ph ng ng trình (3.1) dx  dt x  b  ax  ho c a  1  x  b  ax  dx  bdt   T ta có ln x  bt  C b  ax ho c x  eC ebt b  ax (3.2) Gi s t i t  dân s s x0 Khi ta có x x0  ebt b  ax b  ax T ta có bx0ebt x t   b  ax0  ax 0ebt (3.3) Ta th y bx0ebt b x0ebt a  lim  lim x t   lim t  t  b  ax  ax ebt t  abx ebt b 0 Ph ng trình logictic (3.1) cho bi t s t ng tr ng hay suy gi m c a dân s ph thu c vào dân s ban đ u h n hay l n h n Xét m t ví d n a v ng d ng c a ph mô hình kinh t c a m t th tr a b ng trình vi phân c p m t Xét ng hàng hoá nh t đ nh Gi s giá c P, ngu n cung S nhu c u D c a hàng hoá nh ng hàm th i gian s bi n thiên c a giá c t l v i đ chênh gi a nhu c u ngu n cung Ngh a 41 dP  k D  S dt Gi s h ng s k d (3.4) ng th giá c t ng n u nhu c u v t q ngu n cung Nhi u mơ hình khác c a th tr ng hàng hoá s đ c k t qu ph thu c vào tính ch t c a hàm cung hàm c u Ví d , gi s D  c  dP S  a  bP a , b, c d s d ng Ta có ph (3.5) ng trình vi phân n tính đ iv i P dP  k  c  a    d  b  P  dt (3.6) (3.5) ph n ánh xu h ng nhu c u gi m giá c t ng ngu n cung t ng giá c t ng Gi s  P  c đ D không âm d T (3.6) ta có dP  k  d  b P  k c  a  dt Nghi m t ng quát c a (3.7) P  t   C1e  k d b t  ca d b Gi s t i t  P  P0 Khi ta có P0  C1  c a d b C1  P0  ca d b Do 42 (3.7) Vì v y c  a  k d b t c  a  P  t    P0   e d b d b  Ph n đ nh (3.8) ng trình (3.8) ch r ng v i s gi đ nh (3.4) (3.5) giá c s giá tr ca t l n d b BẨI T P M t qu n th vi khu n đ c bi t có m t m u t ng tr ng h p lý v i qu n th ban đ u 1000 m t tr ng thái cân b ng c a qu n th 10.000 Ki m tra cho th y cu i m t gi có 2000 vi khu n hi n di n Hãy xác đ nh qu n th nh m t hàm c a th i gian Vi c cung c p th c ph m cho m t dân s nh t đ nh s tu thu c vào s thay đ i theo mùa nh h phân ng đ n t c đ t ng tr ng dân s Ph ng trình vi dx dx = Cx(t)cost  Cx  t  cos t , C h ng s d ong, quy đ nh dt dt mơ hình đ n gi n cho s t ng tr ng dân s theo mùa Gi i ph ng trình vi phân gi i h n c a dân s ban đ u x0 h ng s C Hãy xác đ nh dân s l n nh t nh nh t kho ng th i gian gi a nh ng giá tr l n nh t Gi s c th ng i tiêu hao m t lo i thu c v i s ti n thu c y xu t hi n máu m t m c t l thu n th i m t th i m t  , m t m i tiêm đ u tiên c a y0  g  thu c vào c th mà tr c c th khơng có thu c a Tìm l b N u tìm l c N u đ ng thu c l i máu cu i T gi th i m T m i tiêm th hai c a y0  g  đ ng thu c l i c đ a vào c th cu i 2T gi cu i m i khoang th i gian có đ dài T m t li u thu c y0  g  c đua vào c th tìm l ng thu c cịn l i 43 cu i nT gi d Tìm giá tr gi i h n c a k t qu ph n c n ti n vô N u hàm c u cung cho m t th tr ng hàng hoá D  c  dP S  asin  t xác đ nh P  t  phân tích dáng u c a t t ng Nghiên c u m t th tr ng hàng hoá nh t đ nh cho th y hàm c u cung đ c xác đ nh b i D  c  dP S  a  bP  q sin  t , h ng s d a , b, c, d , q  ng Hãy xác đ nh P  t  phân tích dáng u c a t t ng M t kí túc xá đ i h c cho 100 sinh viên,m i ng s d b nhi m m t virut nh t đ nh M t mơ hình đ n gi n c a d ch b nh, gi s su t trình c a m t b nh d ch t c đ bi n thiên theo th i gian c a s sinh viên m c b nh I t l v i s sinh viên m c b nh c ng t l v i s sinh viên không m c b nh, 100  I N u th i m t  m t sinh viên b m c b nh ch r ng s sinh viên m c b nh ph ng trình 100e100 kt I 99  e100 kt 44 th i m t đ c cho b i K T LU N Trên em trình bày xong tồn b khóa lu n c a là: “ M TS NẢ D NẢ C A Pả NẢ TRÌNả VI PảÂN” Trong khóa lu n nàyem trình bày m t s tốn c h c, v t lý, hóa h c,… d n đ n vi c nghiên c u ph ng trình vi phân Tuy nhiên, trình nghiên c u, th i gian ki n th c cịn h n ch nên em khơng th tránh kh i nh ng thi u sót Em r t mong nh n đ c s đóng góp ý ki n c a quý th y cô b n khoa đ khóa lu n c a em đ c hoàn thi n h n Qua em xin chân thành c m th y Tr n V n B ng – gi ng viên tr ng i h c S Ph m Hà N i t n tình giúp đ h hồn thành t t khóa lu n Em xin chân thành c m n! 45 ng d n đ em TẨI LI U THAM KH O Nguy n Th Hoàn – Ph m Thu C s ph ng trình vi phân lí thuy t n đ nh, NXB Giáo d c, 2007 Earl D Rainville – Phillip E Bedient – Richard E Bedient Elementary Differential Equation, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458 46 ... Ph ng trình n tính Ph ng trình vi phân c p m t 3 Ph ng trình thu n nh t c p m t Ph ng trình vi phân tồn ph n 5 Ph ng trình n tính c p m t 6 Ph ng trình n tính thu n nh t v i h s h ng Ph ng trình. .. i ph B M T S Ph D NG PH ng c p n NG TRỊNH VI PHÂN ng trình n tính M t ph có th đ ng trình vi phân th c vi t d b0  x Ph 2.1 Ph ng c p n đ ng trình vi phân th c g i n tính n u i d ng dny d n1... Sinh vi? ?n Cao Th Thanh ảu M Cầ C Trang L IC M N L I CAM OAN U M Ch ng KI N TH C CHU N B A M t s khái ni m C p c a ph Ph ng trình vi phân ng trình vi phân th B M t s d ng ph ng ng trình vi phơn