Một số phương pháp giải bài toán biên của phương trình vi phân thường

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Đ ỘT S TH N HƯ NG PHƯ NG PH P GIẢI ÀI TO N I N CỦ PHƯ NG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TO N HỌC HÀ NỘI, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Đ ỘT S TH N HƯ NG PHƯ NG PH P GIẢI ÀI TO N I N CỦ PHƯ NG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TO N HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hùng HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢ N Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hùng thầy tận tình hướng dẫn giải đáp thắc mắc cho tôi, giúp đỡ hồn thành luận văn Qua đây, tơi xin chân thành cảm ơn tới thầy giáo phòng Sau đại học, thầy giáo khoa tốn, thầy cô giáo giảng dạy lớp thạc sĩ K19 đợt chun ngành Tốn giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt q trình học tập Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp quan tâm, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập hoàn thiện luận văn Hà Nội, tháng 10 năm 2017 Tác giả Đỗ Thị an Hương LỜI C ĐO N Tôi xin cam đoan hướng dẫn tận tình thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng, luận văn thạc sĩ chun nghành Tốn giải tích với đề tài “ phương pháp giải toán i n phương nh i ph n hư ng hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong suốt trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 10 năm 2017 Tác giả Đỗ Thị an Hương MỤC LỤC N LỜI CẢ LỜI C ĐO N MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu .1 i n đ ng g p CHƯ NG ỘT S KIẾN THỨC CHUẨN B .2 1.1 Sai số 1.1.1 Làm tròn s sai s c a phép làm tròn s 1.1.2 Chữ s có nghĩ , hữ s 1.1.3 Sai s tính tốn .4 1.1.4 Bài oán ngược c a sai s 1.2 Số gần .6 1.3 Sai phân tính chất 1.3.1 Các khái niệm ản 1.3.2 Tính chất c a sai phân 1.4 Một số ki n thức phương trình vi phân 11 1.4.1 Phương nh i ph n uyến tính cấp m t 11 1.4.2 Phương nh i ph n uyến tính cấp cao 12 1.4.3 Định lí Pica – Lindolo ( Định lí tồn nghiệm) .13 CHƯ NG ỘT S PHƯ NG PH P GIẢI BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯ NG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 15 2.1 Bài toán biên phương trình vi phân thường .16 2.2 Phương pháp sai phân hữu hạn 16 2.3 Phương pháp bắn 23 CHƯ NG ỨNG DỤNG PHẦN MỀ P E ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN BIÊN Đ I VỚI PHƯ NG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 30 3.1 Ví dụ phương pháp sai phân hữu hạn 30 3.2 Ví dụ phương pháp bắn 35 KẾT LUẬN 39 DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong thực tiễn, phương trình vi phân đ ng vai tr quan trọng nhiều lĩnh vực kĩ thuật, vật l , kinh tế C nhiều phương pháp giải phương trình vi phân thường đ việc tìm nghiệm phương trình vi phân r t kh khăn Người ta ch tìm nghiệm vài phương trình vi phân đ c biệt c n đa số tìm nghiệm x p x C th số tốn, ngồi việc cho dạng phương trình vi phân n c n k m theo số điều kiện gọi điều kiện biên, toán gọi tốn biên phương trình vi phân, với đ nh hướng tận tình ch bảo thầ giá – TS Ngu ễn Văn Hùng chọn đề tài “ phương pháp giải ài oán i n phương nh i ph n hư ng Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp giải tốn biên phương trình vi phân thường Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số phương pháp giải tốn biên phương trình vi phân thường Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Một số phương pháp giải toán biên phương trình vi phân thường Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp bắn giải tốn biên phương trình vi phân thường Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu giải tích giải tích số i n đ ng g p Cố gắng xây dựng luận văn thành tài liệu tổng quan tốt đề tài giải tốn biên phương trình vi phân thường CHƯ NG MỘT S KIẾN THỨC CHUẨN B 1.1 Sai số 1.1.1 Làm tròn s sai s c a phép làm tròn s Xét số thập phân dạng tổng quát a    p 10p   i 10i    ps 10ps  (1.1) đ  j  , j, a p  0,  a j  Nếu p  s  a số nguyên Nếu p  s  k  k  0 a số thập phân có phần lẻ gồm k chữ số Nếu s   a số thập phân vơ hạn Ví dụ 1: 3148  3.103  1.102  4.101  8.100 Ta có p  s  nên a  3148 số nguyên Ví dụ 2: 31,48  3.101  1.100  4.101  8.102 Ta có p  s  2 nên a  31,48 số thập phân có phần lẻ gồm chữ số Làm tròn số a bỏ số chữ số bên phải số a đ số a gọn gần với số a Quy tắc làm tròn (thu gọn): Xét a dạng (1.1) ta giữ lại đến bậc thứ i ,  phần bỏ  thì: a   p 10p   i1.10i1  i 10i  Trong đ + i   i    10i + i  i1   10i + Nếu   10i i   i với  i chẵn i  i1 với  i lẻ tính tốn với số chẵn tiện Ví dụ 3: 2,718281828  2,71828183  2,7182818  2,7182818  2,718282  2,71828  2,7183  2,718  2,72  2,7 Ta kí hiệu sai số phép làm tròn  a , a  a  a rõ ràng a  10i Vì a*  a  a*  a  a  a  a  a , đ làm tr n sai số tuyệt đối tăng thêm  a 1.1.2 Chữ s có nghĩ , hữ s 1.1.2.1 Chữ số có nghĩa Xét số a dạng (1.1) nghĩa viết dạng thập phân, đ chữ số có nghĩa chữ số khác “0” chữ số “0” b kẹp hai số khác ho c chữ số hàng giữ lại * Ví dụ 4: a  0,0006408530 Giải chữ số v trí chữ số khơng c nghĩa Tồn chữ số lại chữ số c nghĩa 1.1.2.2 Chữ số Xét số a dạng (1.1) a    p 10p   i 10i    ps 10ps  Chữ số  j dạng (1.1) số a số nếu: a  .10 j ,  tham số cho trước Tham số  chọn đ cho chữ số vốn sau làm tròn chắc, rõ ràng a i chữ số a i1 chữ số * Ví dụ 5: a  8,60432 , a  0,001  103 Khi đ a  8.100  6.101  0.102  4.10 3  3.10 4  2.10 5 Chọn   a có bốn chữ số là: 8,6,0,4 lại hai chữ số không là: 3,2 Chọn   a có ba chữ số là: 8,6,0 lại ba chữ số khơng là: 4,3,2 Ta ch việc xét chọn  giả sử số a biết: a    p 10p   i 10i    ps 10ps   i Vậy i1 vốn Ta chọn  đ cho thu gọn đến bậc  i  1 có i1 Muốn ta phải có:  a   a  .10i1 .10i  0,5.10i1  10i1    10  Trong thực tế người ta thường chọn   ho c   Nếu   người ta nói chữ số theo nghĩa rộng,   người ta nói chữ số theo nghĩa hẹp 1.1.3 Sai s tính tốn Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức y  f  x1 , x , , x n  Gọi x*   x1* , x*2 , , x*n  , y*  f  x*  giá tr c n x   x1 , x , , x n  ; y  f  x  giá tr gần y* , x i  x*i  x i Giả sử f  x1 , x , , x n  hàm khả vi liên t c y  y  y*  f  x1 , x , , x n   f  x1* , x *2 , , x *n    f xi x i  x *i n i 1 Với f xi đạo hàm tính m trung gian Vì f khả vi liên t c, x i bé nên: n y   f xi (x1 , x , , x n ) x i (1.2) i 1 Vậy y  y n   ln f x i y i 1 x i (1.3) 26 Dù sai số phương pháp y(1)   104 ta không nh t thiết phải theo điều kiện Bởi giá tr trung gian b ch n 4 10 nên có y(1)   104 Phương pháp ch xác giá tr ban đầu sử d ng Chú ý: Nghiệm toán (2.16) khơng ch ph thuộc vào x mà ph thuộc vào  Vậy y hàm x  , nghĩa y  y  x,   Vế phải điều kiện biên thoả mãn khi: F(x)  y(b, )    (2.17) Nhìn chung, phương trình (2.17) phương trình đại số phi tuyến  có th giải b t kì phương pháp Ví d 2.3 trường hợp đ c biệt phương pháp chia đôi Một cách hiệu đ giải phương trình phi tuyến phương pháp Newton Phương pháp Newton xác đ nh  n 1   n  F( n ) F'   n   y  b,  n      n   z  b,  n  với z  (2.18) y Đ sử d ng cơng thức ta cần tính z  b,z n  Nhưng bi u  diễn z  b,z n  khơng tồn Vì thế, ta có th xây dựng tốn giá tr ban đầu chứa z cách vi phân phần hai vế phương trình: y''  f  x, y, y' với  Ta có  f f y f y' (y'')      y  y'  Giả sử c p vi phân tương ứng với x  có th đảo v trí cho Ta 27 y'   y    y  z       z'    x  x    x Tương tự ta có f f   y''  z '' z''  z  z' y y' x Nếu điều kiện ban đầu (2.16) l y vi phân với  z(0)  0, z'(0)  Vậy z thoả mãn toán giá tr ban đầu: z''  z f f  z' , z    , z'    y y' (2.19) Bài tốn (2.19) khơng th giải độc lập với tốn (2.16) f hàm x, y y ' Nếu viết y1  y; y2  y'; y3  z y4  z' hệ gồm (2.19) (2.16) dẫn đến hệ gồm bốn phương trình bậc nh t Giá tr y(b,  n ) z(b,z n ) tìm tương tự có th thay vào (2.18) đ tính  n 1 Phương pháp Newton hội t nhanh  đủ gần với giá tr xác Trong trường hợp khơng có b t kì kiện nghiệm tốn giá tr biên  gọi độ dốc đường thẳng nội suy điều kiện biên Ví dụ 2.4 Với tốn cho ví d 2.3, ta có: y''  2y y', y(0)  0, y'(0)   z''  2zy' 2yz', z(0)  0, z'(0)  L y y1  y, y2  y', y3  z, y  z' Ta y'1  y ; y1 (0)  y'2  2y1 y ; y (0)   y'3  y ; y3 (0)  y'2  2y3 y  2y1 y ; y (0)  28 Đường thẳng qua m  0,0  1,1 có dạng y  x với độ dốc 0  Dùng phương pháp Runge – Kutta với bốn bước đ giải điều kiện ban đầu với h  0,1 y 1,    0,7615932 z 1,    0,5907821 Từ (2.18),  y 1,    1 0,7615932  1 1     1 z 1,   0,5907821  1,4035444 Bước bước trình bày bảng sau:  y(1, ) z(1, ) 0,7615932 0,5907821 1,4035444 0,9820441 0,5062773 1,4390109 0,9998888 0,5000340 1,4392333 1,0000000 0,4999954 M c dù ta phải giải toán giá tr ban đầu bước hội t phương pháp nhanh với phương pháp chia đơi ví d 2.3 Một b t lợi phương pháp bắn so với phương pháp sai phân hữu hạn bước nhạy cảm với lỗi làm tròn Bài tập vận dụng Bài Sử d ng phương pháp bắn giải toán sau: y''  y3  y y'; y(0)  1; y(2)  1 với   3 Dùng phương pháp Runge – Kutta với bốn bước đ giải toán giá tr ban đầu với h  0,1 29 Bài Sử d ng phương pháp bắn giải toán sau: y'' 3y' y  0; y(0)  0; y(1)  Dùng phương pháp Runge – Kutta với bốn bước đ giải toán giá tr ban đầu với h  0,1 Bài Sử d ng phương pháp bắn giải toán sau: y'' 26 y' 25y  0; y(0)  0; y(1)  Dùng phương pháp Runge – Kutta với bốn bước đ giải toán giá tr ban đầu với h  0,1 30 CHƯ NG ỨNG DỤNG PHẦN MỀ P E ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN I N Đ I VỚI PHƯ NG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 3.1 Ví dụ phương pháp sai phân hữu hạn Ví dụ Giải tốn biên sau phương pháp sai phân hữu hạn: y''  ex y' xy, y(0)  1, y(1)  với h  0.2 #=====Function phương pháp sai phân hữu hạn======= # a: V trí đầu đoạn [a,b] # b: V trí cuối đoạn [a,b] # h Độ dài đoạn có giá tr (b-a)/N # ya: Nghiệm thu a # yb: Nghiệm thu b # BT Phương trình vi phân tuyến tính c p # 31 32 Ví dụ Giải tốn biên sau phương pháp sai phân hữu hạn y''  3y' 2y  2x  3, y(0)  2, y(1)  với h  0.2 #=====Function phương pháp sai phân hữu hạn======= # a: V trí đầu đoạn [a,b] # b: V trí cuối đoạn [a,b] # h Độ dài đoạn có giá tr (b-a)/N # ya: Nghiệm thu a # yb: Nghiệm thu b # BT Phương trình vi phân tuyến tính c p # 33 34 35 3.2 Ví dụ phương pháp bắn Ví dụ Giải toán biên sau phương pháp bắn y''  2yy'; y(0)  0; y(1)  36 37 Ví dụ Giải toán biên sau phương pháp bắn y''  3y' 2y; y(0)  0; y(1)  38 39 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số v n đề sau:  Một số kiến thức sai phân phương trình vi phân  Bài tốn biên phương trình vi phân thường  Phương pháp sai phân hữu hạn phương pháp bắn đ giải tốn biên phương trình vi phân thường  Ứng d ng phần mềm Maple đ giải tốn biên phương trình vi phân thường Với lực hạn chế thời gian có hạn, chắn luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót R t mong đ ng g p kiến thầy cô giáo bạn đồng nghiệp đ luận văn tơi hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn 40 DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tài liệu ti ng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, Nhà xu t ĐHQG Hà Nội [2] Phan Đức Chính (1978), Giải tích hàm, Nhà xu t Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội [3] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khu t Văn Ninh, Nguyễn Văn Tu n, Nguyễn Tường (2 ), Giải t ch ố, Nhà xu t Giáo d c [4] Nguyễn Thế Hoàn – Phạm Phu (2007), Cơ phương trình vi phân l thuyết ổn định, Nhà xu t Giáo d c [5] Lê Đình Th nh (1995), Phương pháp t nh, Nhà xu t khoa học kĩ thuật Hà Nội [6] Lê Đình Th nh, Đ ng Đình Châu, Phan Văn Hạp (2001), Phương trình phân ố ứng ụng, Nhà xu t Giáo d c B Tài liệu ti ng Anh [7] Ian Jacques and Colin Judd (1987), Numerical Analysis, Department of Mathematics, Coventry Lanchester Polytechnic, London New York chapman and hall [8] Lambert, J.D (1973), Computational Methods in Ordinary Differential Equations, Wiley, New York ... tốn biên phương trình vi phân thường Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp bắn giải toán biên phương trình vi phân thường Phương pháp nghiên cứu Phương pháp. .. PHƯ NG PH P GIẢI BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯ NG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 15 2.1 Bài toán biên phương trình vi phân thường .16 2.2 Phương pháp sai phân hữu hạn 16 2.3 Phương pháp bắn... biên phương trình vi phân thường Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số phương pháp giải tốn biên phương trình vi phân thường Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Một số phương pháp giải