Phép biến đổi tích phân dạng fourier và ứng dụng giải một số phương trình vi phân và tích phân

− − − PHAN ĐỨC TUẤN PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER VÀ ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội-2012... − − − PHAN ĐỨC TUẤN PHÉP BIẾN Đ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

− − − ? − − −

PHAN ĐỨC TUẤN

PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER VÀ ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội-2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

− − − ? − − −

PHAN ĐỨC TUẤN

PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG

FOURIER VÀ ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 62 46 01 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS NGUYỄN MINH TUẤN

Hà Nội-2012

MỤC LỤC

Lời cam đoan 2

Lời cảm ơn 3

Danh mục các ký hiệu 5

Mở đầu 7

Chương 1 Phép biến đổi Hartley 13 1.1 Phép biến đổi Fourier 13

1.1.1 Phép biến đổi Fourier trên Rd 13

1.1.2 Phép biến đổi Fourier trên đoạn hữu hạn 16

1.2 Phép biến đổi Hartley 20

1.2.1 Phép biến đổi Hartley trên Rd 20

1.2.2 Phép biến đổi Hartley trên đoạn hữu hạn 38

Chương 2 Phép biến đổi tích phân dạng Fourier đối xứng 49 2.1 Định nghĩa và tính chất 49

2.2 Nguyên lý bất định Heisenberg 66

Chương 3 Ứng dụng giải một số phương trình vi phân và tích phân 74 3.1 Giải phương trình vi phân 74

3.1.1 Giải phương trình vi phân thường 74

3.1.2 Giải phương trình đạo hàm riêng 79

3.2 Giải phương trình tích phân 86

3.2.1 Phương trình tích phân dạng chập với nhân Hermite 86 3.2.2 Phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel 92 Kết luận 103

Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 104

Tài liệu tham khảo 105

Phụ lục 110

C0(Rd) : không gian các hàm f liên tục trên Rd và triệt tiêu tại vô cùng

với chuẩn kf k∞ = sup

Hα(x) : đa thức Hermite xác định bởi

Hα(x) = (−1)|α|e|x|2Dxαe−|x|2

Φα(x) : hàm Hermite được xác định bởi

Φα(x) = (−1)|α|e12 |x|2Dαxe−|x|2.cas(x) : hàm Hartley xác định bởi

cas x = cos x + sin x[x] : hàm phần nguyên của x

MỞ ĐẦU

1 Lịch sử vấn đề và lí do lựa chọn đề tài

Nhiều vấn đề trong khoa học và công nghệ đưa đến việc giải mộtphương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, hoặc phươngtrình tích phân Chẳng hạn, trong bài toán tính độ lệch đứng của mộtdầm vô hạn dẫn đến giải một phương trình vi phân thường sau (xem [15])

EId

4u

dx4 + kdu

dx = W (x), −∞ < x < ∞. (0.1)Khi nghiên cứu các dao động của dây, màng mỏng, sóng âm, sóng tạo

ra do thủy triều, sóng đàn hồi, sóng điện trường, dẫn đến giải phươngtrình truyền sóng sau (xem [10, 15, 47])

sự ổn định nghiệm; giải tìm nghiệm đúng, nghiệm gần đúng, nghiệm suyrộng, v.v Trong số đó, việc sử dụng các biến đổi tích phân để giải cácphương trình kể trên ra đời rất sớm và liên tục phát triển cho đến tậnngày nay Có vai trò đặc biệt quan trọng trong lý thuyết này phải kể đếntrước hết là biến đổi Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, Hartley, tiếptheo là biến đổi Laplace, biến đổi Mellin, sau đó là các biến đổi Hankel,Kontorovich-Lebedev, Stieltjes, Cùng với lý thuyết phép biến đổi tíchphân, lý thuyết chập liên kết với các biến đổi tích phân cũng xuất hiệnvào khoảng đầu thế kỉ XX Tuy nhiên, cho đến trước những năm 50 của

thế kỉ trước, không có nhiều chập liên kết với các biến đổi tích phânđược xây dựng Cho đến khi những kết quả của Kakichev V.A (1967)

và Kakichev V.A., Thao N X (1998) công bố (xem [31, 33]) về phươngpháp kiến thiết xây dựng chập suy rộng thì một loạt các chập suy rộngmới liên kết với các biến đổi tích phân khác nhau ra đời Những nămgần đây, có khá nhiều bài báo và sách về các ứng dụng của các biến đổitích phân, chập liên kết với các biến đổi tích phân được công bố (xem[9, 11, 19, 21, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 32, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 42,

44, 45, 46, 47, 50, 51, 53, 54])

Đáng chú ý là biến đổi Fourier rất hữu dụng trong việc giải phươngtrình đạo hàm riêng, phương trình tích phân vì những lý do sau (xem[15]): trước tiên, các phương trình đó được thay thế bởi các phương trìnhđại số đơn giản, cho phép chúng ta tìm nghiệm là các biến đổi Fouriercủa hàm Nghiệm của phương trình ban đầu sẽ thu được thông qua biếnđổi Fourier ngược Thứ hai, biến đổi Fourier là nguồn gốc ban đầu để xácđịnh nghiệm cơ bản, minh họa cho ý tưởng xây dựng hàm Green sau này.Thứ ba, biến đổi Fourier của nghiệm kết hợp với định lý chập cung cấpmột cách biểu diễn nghiệm tường minh cho bài toán biên ban đầu.Các biến đổi Fourier cosine, Fourier sine trên Rd, Fourier, Fourierngược và các biến đổi Hartley lần lượt được định nghĩa trong khônggian L1(Rd) như sau (xem [6, 7, 39, 41, 47]):

đổi Fourier cosine và Fourier sine trên Rd là

F = Tc− iTs, F−1 = Tc+ iTs,

H1 = Tc+ Ts, H2 = Tc− Ts.Điều này đã đưa đến cho chúng tôi ý tưởng xét các biến đổi tích phân

Ta,b = aTc+ bTs, a, b ∈ C,gọi là các biến đổi tích phân dạng Fourier Trong số này, các biến đổiHartley có một số ưu điểm nhất định như: Chúng đóng vai trò quan trọngtrong xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, xử lý âm thanh (xem [6, 7, 8, 28, 37, 52]).Khi tính toán số với hàm nhận giá trị thực thì các biến đổi Hartley nhanhhơn biến đổi Fourier vì biến đổi Hartley của một hàm nhận giá trị thực

là một hàm nhận giá trị thực, trong khi biến đổi Fourier của một hàmnhận giá trị thực có thể là một hàm nhận giá trị phức Theo Ví dụ 1.2,thì với hàm nhận giá trị thực

kỷ qua bởi hai nhà toán học Wang và Bracewell - những người đã tạo ra

lý thuyết hấp dẫn về đề tài này"

Với những lí do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài "Phép biến đổi tíchphân dạng Fourier và ứng dụng giải một số phương trình vi phân và tíchphân".

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Mục đích của luận án là đi nghiên cứu những tính chất toán tử, xâydựng chập suy rộng liên kết với các biến đổi Hartley cùng với hàm trọngHermite và không có hàm trọng Sử dụng chúng để giải một số phươngtrình vi phân và tích phân trên miền vô hạn Song song với các phươngtrình xác định trên miền vô hạn là các phương trình xác định trên miềnhữu hạn Do đó, luận án đưa ra hai biến đổi Hartley hữu hạn và xây dựngchập liên kết với các biến đổi này để giải các phương trình trên miền hữuhạn Ngoài ra, luận án còn xét một biến đổi tích phân dạng Fourier mới

(T f )(x) = √1

2πZ

R

f (y)[2 cos(xy) + sin(xy)]dy,

nghiên cứu các đặc trưng đại số, xây dựng chập liên kết với biến đổi này

và nguyên lý bất định Heisenberg

3 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các đặc trưng đại số của các biến đổi tích phân Từ đó,tìm ra biến đổi ngược và đi ngược từ đẳng thức nhân tử hóa để xây dựngchập, chập suy rộng liên kết với các biến đổi tích phân Đối với mỗi biếnđổi tích phân chúng tôi xây dựng bộ bốn chập mà nhân của chúng códạng

4 Cấu trúc luận án và các kết quả

Luận án gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và phụ lục:

Chương 1 trình bày một số tích chất cơ bản của biến đổi Fourier trên Rd

và biến đổi Fourier trên đoạn hữu hạn Xây dựng chập, chập suy rộngliên kết với các biến đổi Hartley cùng với hàm trọng Hermite và không

có hàm trọng Định nghĩa các biến đổi Hartley trên đoạn hữu hạn và xâydựng chập, chập suy rộng liên kết với các biến đổi tích phân này

Chương 2 đưa ra một biến đổi tích phân dạng Fourier mới T Chứng minhmột số đặc trưng đại số của nó như:

+ T là biến đổi đối xứng và không unita

+ T có đa thức đặc trưng là PT(t) = t4− 5t2+ 4

+ T không thỏa mãn đẳng thức Parseval

+ T thỏa mãn hệ thức bất định Heisenberg

+ T biến một hàm nhận giá trị thực thành một hàm nhận giá trị thực

+ T là toán tử khả nghịch với toán tử ngược

(T−1g)(y) = √1

2πZ

để giải nghiệm tường minh cho một số phương trình đã xét Đặc biệt, vớicông cụ là chập suy rộng liên kết với các biến đổi Hartley hữu hạn màmột lớp phương trình tích phân Toeplitz-Hankel sau (xem [48])

λϕ(x) + 1

π

Z b a

[p(x − y) + q(x + y)]ϕ(y)dy = f (x), (0.5)

có thể giải và thu được nghiệm ở dạng chuỗi Phương trình này có rấtnhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như lý thuyết tán xạ, lý

thuyết động lực học chất lỏng, lý thuyết lọc tuyến tính, trong nghiên cứucác va chạm đàn hồi, tán xạ khí quyển, động lực học khí loãng, (xem[1, 2, 5, 12, 17, 18, 30, 39, 47, 48]) Ngoại trừ một số trường hợp đặc biệtđối với nhân Toeplitz p và nhân Hankel q, bài toán tìm nghiệm đóng chophương trình (0.5) tổng quát cho đến nay vẫn là bài toán mở.

5 Ý nghĩa của các kết quả

Luận án đưa ra một cách tiếp cận khác trong việc nghiên cứu các biếnđổi tích phân Đó là dựa vào các đặc trưng đại số của các biến đổi tíchphân Theo cách tiếp cận này thì các biến đổi tích phân được phân loạidựa theo đặc trưng đại số của nó Nhờ đó, luận án đã đưa ra một biếnđổi tích phân mới T có một số đặc trưng đại số khác với các biến đổi tíchphân đã biết Hy vọng, chúng ta sẽ tìm được các ứng dụng mới cho biếnđổi này Với chập liên kết với các biến đổi Hartley hữu hạn, luận án đãtrả lời được một phần của bài toán mở (0.5) Các kết quả của luận ángóp phần làm phong phú thêm lí thuyết về phép biến đổi tích phân vàphương trình tích phân

Nội dung chính của luận án dựa trên các công trình khoa học đã công

bố, liệt kê ở mục "Danh mục công trình khoa học của tác giả liênquan đến luận án", các kết quả này đã được báo cáo tại:

+ Seminar Giải tích-Đại số, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đạihọc Quốc Gia Hà Nội

+ Seminar bộ môn Giải tích, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đạihọc Quốc Gia Hà Nội

+ Seminar bộ môn Toán học tính toán, Trường Đại học Khoa học Tựnhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội

Chương 1PHÉP BIẾN ĐỔI HARTLEY

1.1 Phép biến đổi Fourier

Trong mục này, luận án trình bày lại một số kết quả liên quan củabiến đổi Fourier Các kết quả này đã được chứng minh chi tiết trong cáctài liệu trích dẫn Bởi vậy, luận án chỉ nêu kết quả mà không trình bàychứng minh

Định nghĩa 1.1 ([41, 47]) Biến đổi Fourier của hàm f được ký hiệu(F f ) và được xác định như sau:

Điều kiện đủ để tích phân (1.1) tồn tại là hàm f thuộc L1(Rd) và khi

đó ảnh Fourier của hàm f được miêu tả thông qua định lý sau

rõ ràng f thuộc L1(R), nhưng ảnh Fourier của hàm f

(F f )(x) =√1

2πZ

R

f (x)e−ixydy

=√12π

Z 1

−1

e−ixydy =

r2π

(ii) Biến đổi Fourier là ánh xạ tuyến tính, liên tục, 1 − 1 từ S lên S,

F4 = I và ánh xạ ngược của nó cũng liên tục

Trong không gian L1(Rd), không phải biến đổi Fourier của hàm f nàocũng tồn tại biến đổi ngược Định lý 1.3 dưới đây sẽ đưa ra điều kiện tồntại biến đổi ngược đối với biến đổi Fourier của một hàm trong L1(Rd).Định lý 1.3 ([41, 47]) Nếu f ∈ L1(Rd), (F f ) ∈ L1(Rd) và

Z

Rd

g(y)eixydy := (F−1g)(x),gọi là biến đổi Fourier ngược của hàm g

Định lý 1.4 ([41, 47]) Nếu f, g ∈ L1(Rd) thì biến đổi tích phân (1.2)xác định chập liên kết với biến đổi Fourier và thỏa mãn đẳng thức nhân

Nhận xét 1.1 Ta biết tập các hàm Hermite {Φα} là cơ sở trực giao của

L2(Rd), và S trù mật trong L2(Rd) Những điều này và Định lý 1.2 gợi ýcho việc mở rộng biến đổi Fourier lên L2(Rd), và vấn đề được thực hiện

ở Định lý 1.5 sau đây

Định lý 1.5 ([41, 47]) Tồn tại duy nhất một đẳng cự tuyến tính F :

L2(Rd) → L2(Rd) thỏa mãn (F f ) = (F f ) với mọi f ∈ S

Phép mở rộng F được gọi là biến đổi Fourier của f ∈ L2(Rd) và kýhiệu (F f ) vẫn được dùng để thay thế cho (F f ) Nhờ tính duy nhất củatoán tử mở rộng F nên ta có thể phát biểu lại định lý Plancherel mộtcách rõ ràng hơn như sau:

Hệ quả 1.1 ([47]) Giả sử f là hàm thực hoặc phức thuộc không gian

f (y)e−ixydy

Khi đó, khi k → +∞, F (x, k) hội tụ theo chuẩn tới hàm (F f )(x) của

Sau đây là một số tính chất cơ bản của biến đổi Fourier

Tính chất 1.1 ([41, 47]) Biến đổi Fourier của các hàm Hermite Φα(x)

1.1.2 Phép biến đổi Fourier trên đoạn hữu hạn

Mục này sẽ trình bày khái niệm và một số tính chất liên quan của biếnđổi Fourier trên đoạn hữu hạn Đây là một công cụ để tìm nghiệm củacác bài toán biên ban đầu xác định trên miền hữu hạn Biến đổi Fouriersine hữu hạn được đưa ra bởi Doetsch (1935) Sau đó, một số tác giả

đã quan tâm và trình bày một cách tổng quát hơn như Kneitz (1938),Koschmieder (1941), Brown (1944) và Roettinger (1947) (xem [15])

Định nghĩa 1.2 (biến đổi Fourier hữu hạn, [3, 15, 43]) Biến đổi Fourierhữu hạn của hàm f (x) được ký hiệu F{f(x)} và xác định bởi

Z π

−π

f (x) cos(nx)dx, n = 0, 1, 2, ,

bn = 1π

Điều kiện đủ để tích phân (1.4) tồn tại là f ∈ L1[−π, π] Theo bổ

đề Lebesgue - Riemann thì ảnh Fourier hữu hạn của hàm f được mô tảthông qua định lý sau đây

Định lý 1.6 (bổ đề Lebesgue - Riemann, [3, 15, 43]) Nếu f ∈ L1[−π, π]thì ˆf (n) ∈ c0(Z)

Ta biết các hàm

n 1

√2πe

−inx

: n ∈ Z

o,

là cơ sở trực chuẩn của L2[−π, π] nên nếu f ∈ L2[−π, π] thì chuỗi Fouriercủa hàm f hội tụ về hàm f trong L2[−π.π] ([3, 15, 43]) Nhưng khi

f ∈ L1[−π, π] thì không phải lúc nào chuỗi Fourier của hàm f cũng hội

tụ và khi hội tụ cũng chưa hẳn hội tụ về hàm f

Định lý 1.7 ([3, trang 88]) Cho f ∈ L1[−π, π] và σn(f ) là tổng Cesàrocủa chuỗi Fourier của hàm f Khi đó

lim

n→∞kf − σn(f )k1 = 0,trong đó

Hệ quả sau suy trực tiếp từ Định lý 1.7

Hệ quả 1.2 (tính duy nhất) Nếu f ∈ L1[−π, π] và ˆf (n) = 0 với mọi

n ∈ Z thì f = 0 trong L1[−π, π]

Khi f là hàm trơn từng khúc thì định lý Dirichlet dưới đây cho ta mốiliên hệ giữa hàm f và chuỗi Fourier của nó

Định lý 1.8 ([3, định lý Dirichlet]) Giả sử f là hàm tuần hoàn với chu

kỳ 2π và trơn từng khúc trên đoạn [−π, π] thì chuỗi Fourier của hàm fhội tụ đến

1

2[f (x+) + f (x−)].

Định lý 1.9 (chập Fourier hữu hạn, [3]) Giả sử hàm f, g xác định trên

R và tuần hoàn với chu kỳ 2π Nếu f, g khả tích Lebesgue trên [−π, π]thì biến đổi tích phân (1.5) là chập liên kết với biến đổi Fourier hữu hạncùng với bất đẳng thức chuẩn và đẳng thức nhân tử hóa

(f ∗

Fg)(x) =

12π

f (x) cos(nx)dx := ˆfc(n), n = 0, 1, 2,

(ii) Tổng vô hạn

12

Định nghĩa 1.4 ([15, trang 408]) Cho f là hàm khả tích Lebesgue trên[0, π] Khi đó

(i) Biến đổi Fourier sine hữu hạn của hàm f được ký hiệu Fs{f (x)} vàxác định bởi

Fs{f (x)}(n) = 2

π

Z π 0

f (x) sin(nx)dx := ˆfs(n), n = 1, 2, 3

Mệnh đề 1.1 ([15, trang 410]) Cho hàm f có đạo hàm đến cấp hai khảtích Lebesgue trên đoạn [0, π] Khi đó

Chập trong Định lý 1.9 xác định với f, g là hai hàm tuần hoàn với chu

kỳ 2π Do đó, ta đưa ra hai mở rộng tuần hoàn với chu kỳ 2π cho mộthàm xác định trên 0 < x < π như sau:

Định nghĩa 1.5 ([15, trang 411]) Hàm f1(x) gọi là mở rộng tuần hoàn

lẻ của hàm f (x) với chu kỳ 2π nếu

f1(x) = f (x), 0 < x < π; f1(−x) = −f1(x),và

f1(x + 2π) = f1(x), với mọi x ∈ R

Tương tự, hàm mở rộng tuần hoàn chẵn f2(x) của hàm f (x) xác định bởi

f2(x) = f (x), 0 < x < π; f2(−x) = f2(x),và

f2(x + 2π) = f2(x), với mọi x ∈ R

Định lý 1.10 ([15, trang 413]) Nếu f1, g1 là hai mở rộng tuần hoàn lẻ

và f2, g2 là mở rộng tuần hoàn chẵn của f, g trên 0 < x < π thì

Fc{f1∗

Fg1)(x)}(n) = −

12

Fg2)(x)}(n) =

12

ˆs(n)ˆgc(n),

Fs{f2∗

Fg1)(x)}(n) =

12

ˆc(n)ˆgs(n).

Nhận xét 1.3 Hệ số Fourier của một hàm nhận giá trị thực có thể làdãy số phức trong khi hệ số Fourier cosine, Fourier sine của một hàmnhận giá trị thực là một dãy số thực Do đó, khi cần tính toán số thì ta

sử dụng chuỗi Fourier cosine, Fourier sine sẽ thuận lợi hơn Tuy nhiên,khi sử dụng chập hữu hạn thì các biến đổi Fourier cosine, Fourier sinephải dựa trên các hàm mở rộng tuần hoàn Nên việc sử dụng biến đổiFourier hữu hạn hoặc các biến đổi Fourier cosine, Fourier sine hữu hạn làtùy vào từng bài toán

1.2 Phép biến đổi Hartley

Định nghĩa 1.6 ([6, 28]) Các biến đổi Hartley của hàm f được ký hiệu(H1f ), (H2f ) và được xác định tương ứng bởi

5 4 3 2 1 0

x

-0.2

10 0

-10 0.4

15 5

-5 0

-15

(H1f)(x) (H2f)(x)

Hình 1.2: (H1f )(x), (H2f )(x)

Nhận xét 1.4 Khi f là hàm nhận giá trị thực thì ảnh Hartley của nó làhàm nhận giá trị thực Trong khi, ảnh Fourier của f có thể là hàm nhậngiá trị phức

Cũng như biến đổi Fourier, điều kiện đủ để các tích phân (1.6), (1.7)tồn tại là hàm f thuộc L1(Rd) và ta có kết quả tương tự với Định lý 1.1như sau:

Định lý 1.11 Nếu f ∈ L1(Rd) thì (Hif ) ∈ C0(Rd), (i = 1, 2) và

k(Hif )k∞ ≤ kf k1.Chứng minh Từ | cas(xy)| ≤ √

2, suy ra với mọi f ∈ L1(Rd)

|(Hif )(x)| ≤ kf k1, ( với mọi x ∈ Rd) (1.9)Mặt khác, do S trù mật trong L1(Rd) nên với mỗi f ∈ L1(Rd) tồn tại dãy

fn ∈ S sao cho kfn − f k1 → 0 Từ (Hifn) ∈ S ⊂ C0(Rd) và (1.9) suy ra(Hifn) hội tụ đều đến (Hif ) trên Rd Định lý đã được chứng minh.Trong không gian S các biến đổi Hartley cũng nhận kết quả tương tựtrong Định lý 1.2 của biến đổi Fourier

Định lý 1.12 (định lý ngược) Các biến đổi Hartley là ánh xạ tuyến tính,liên tục, 1 − 1 từ S lên S và biến đổi ngược của nó là chính nó, nghĩa là

H12 = I, H22 = I

Chứng minh Khi các biến đổi F, F−1, H1 và H2 cùng xét trên không gian

Từ Định lý 1.2 và (1.10) suy ra H1, H2 là các ánh xạ tuyến tính, liên tục,

1 − 1 từ S vào S Cuối cùng, ta đi chứng minh

H12 = I, H22 = I (1.11)

Sử dụng F4 = I, F−1 = F3 và (1.10), ta thu được (1.11)

Định lý 1.13 (định lý ngược, [7, 49]) Nếu f ∈ L1(Rd), (Hif ) ∈ L1(Rd),(i = 1, 2) và

Chứng minh Cho g ∈ S, với giả thiết f, (H1f ) ∈ L1(Rd) nên áp dụngđịnh lý Fubini cho tích phân sau

Rd

f1(x)(H1g)(x)dx

Chứng minh Trước tiên, ta đi chứng minh chập (1.13) Ta chỉ ra

+ cas x(−u + v) − cas x(−u − v)if (u)g(v)dudv

Chứng minh chập (1.14) Ta có

(H2f )(x)(H2g)(x)

= 1(2π)d

+ cas x(−u + v) + cas x(−u − v)if (u)g(v)dudv

ig(v)dvdt

− cas x(−u + v) + cas x(−u − v)if (u)g(v)dudv

= 12(2π)d

-4

x 2

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa tương ứng

ig(y)dy, (1.19)

Bổ đề 1.1 (xem [49]) Cho |α| = r (mod 4), khi đó

f (u)g(v) cas x(u + v) + cas x(u − v)

+ cas x(−u + v) − cas x(−u − v)dudv

= (−1)

r 2

f (u)g(v) − cas x(u + v) + cas x(u − v)

+ cas x(−u + v) + cas x(−u − v)dudv

= (−1)

r 2

=H1(f Φ∗α

H 1 ,H 2 ,H 2

g)(x)

f (u)g(v) cas x(u + v) − cas x(u − v)

+ cas x(−u + v) + cas x(−u − v)dudv

= (−1)

r 2

f (u)g(v) cas x(u + v) + cas x(u − v)

− cas x(−u + v) + cas x(−u − v)dudv

= (−1)

r 2

Ví dụ 1.4 Xét các hàm

f (x) = Φ1(x) = 2xe−12 x2, g(x) = Φ2(x) = (4x2− 2)e−12 x2

0 -4

0 -4 -8

-0.2 0.2

H2(f Φ∗α

H 2 ,H 1 ,H 1

g)(x) = Φα(x)(H1f )(x)(H1g)(x)

Xét hàm Φ là tổ hợp tuyến tính của các hàm Φα mà các |α| đồng dưvới nhau theo modun 4, nghĩa là

10

-30

20 0 -20 -8

Chứng minh Ta chỉ chứng minh cho H1 còn H2 được chứng minh tương

tự Nếu f, g ∈ S thì theo định lý ngược ta có

gian con trù mật S của L2(Rd) lên S Do vậy, ánh xạ f 7→ (H1f ) có duynhất một thác triển liên tục H1 : L2(Rd) → L2(Rd) là một đẳng cự tuyếntính Định lý đã được chứng minh.

Nhờ tính duy nhất của toán tử mở rộng nên định lý Plancherel cho

H1, H2 có thể phát biểu một cách rõ hơn như sau:

Hệ quả 1.6 (định lý Plancherel cho H1) Giả sử f là hàm thực hoặc phứcthuộc không gian L2(Rd) và

Hệ quả 1.7 (định lý Plancherel cho H2) Giả sử f là hàm thực hoặc phứcthuộc không gian L2(Rd) và

Mệnh đề 1.2 Giả sử |α| = r (mod 4) Nếu f ∈ L1(Rd) và Dαxf ∈

L1(Rd) thì

• Trường hợp r ∈ {0, 2}

(H1Dαxf )(x) =(−1)rxα(H1f )(x),(H2Dαxf )(x) =(−1)2rxα(H2f )(x) (1.39)

• Trường hợp r ∈ {1, 3}

(H1Dxαf )(x) =(−1)r+12 xα(H2f )(x),(H2Dxαf )(x) =(−1)r−12 xα(H1f )(x) (1.40)

Chứng minh Khi xét trên cùng không gian thì

Nhận xét 1.6 Từ đẳng thức Parseval của biến đổi Hartley, suy ra H1, H2

là các toán tử unita trong không gian Hilbert L2(Rd) Mặt khác, H1, H2

là các toán tử đối xứng Thật vậy

√2π,

√2π,

1

√2π cas(nx),

1

√2π cas(−nx) : n ≥ 1

,

là cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbert L2[0, 2π]

√2πcas(−nx)



Điều này dẫn đến ý tưởng đưa ra biến đổi Hartley hữu hạn sau đây

Định nghĩa 1.7 Cho f là hàm khả tích Lebesgue trên [0, 2π] Khi đó

(i) Các biến đổi Hartley hữu hạn của hàm f được ký hiệu H1{f (x)},

H2{f (x)} và xác định như sau:

H1{f (x)}(n) = 1

2π

Z 2π 0

f (x) cas(nx)dx := ˜f1(n), n ∈ Z, (1.45)

H2{f (x)}(n) = 1

2π

Z 2π 0

gọi là chuỗi Hartley của hàm f trên [0, 2π] và ˜f1(n), ˜f2(n) gọi là các

,

là tổng riêng thứ N của chuỗi Hartley của hàm f Ta có đồ thị minh họa

sự hội tụ của chuỗi Hartley sau (xem Hình 1.10, 1.11):

-0.5

5 -1

-1.5

4 3 2

1

0

Hình 1.10: f (x)

3 1

1.5

x 1

4 6 0

-0.5

2 0 0.5

-1.5

5 -1

S_2 S_2000

Định lý 1.18 (bổ đề Riemann-Lebesgue) Nếu f là hàm khả tích Lebesguetrên đoạn [0, 2π] thì

f (x) cas(nx)dx = 0

Định lý 1.19 (định lý duy nhất) Giả sử f là hàm khả tích Lebesguetrên [0, 2π] Nếu

˜1(n) = ˜f2(n) = 0, ∀n ∈ N,thì f = 0 trong L1[0, 2π]

Mệnh đề 1.4 Giả sử f có đạo hàm đến cấp hai khả tích Lebesgue trênđoạn [0, 2π] Khi đó

H1{f0(x)} = 1

2π

Z 2π 0

f0(x) cas(nx)dx

= 12π[f (x) cas(nx)]

2π

0 − n2π

Z 2π 0

f (x) cas(−nx)dx

= 12π[f (2π) − f (0)] − nH2{f (x)}

Như vậy, đẳng thức đầu tiên đã được chứng minh Tương tự

H2{f0(x)} = 1

2π

Z 2π 0

f0(x) cas(−nx)dx

= 12π [f (x) cas(−nx)]

2π

0 + n2π

Z 2π 0

f (x) cas(nx)dx

= 12π[f (2π) − f (0)] + nH1{f (x)}

Các đẳng thức còn lại chứng minh tương tự Mệnh đề đã được chứngminh

... 12π[f (2π) − f (0)] + nH1{f (x)}

Các đẳng thức lại chứng minh tương tự Mệnh đề chứngminh

 ... 12π[f (2π) − f (0)] − nH2{f (x)}

Như vậy, đẳng thức chứng minh Tương tự

H2{f0(x)} = 1

2π

Z 2π