Phép biến đổi tích phân dạng fourier và ứng dụng giải một số phương trình vi phân và tích phân

TRìNG I HC QUăC GIA H NáI I HC KHOA H¯C TÜ NHI N ? PHAN ÙC TU N PH PBI N ˚ITCHPH ND NG FOURIER V ÙNG DÖNG GI I MáT Să PHìèNG TR NH VI PH N V LU N NTI NS TO NH¯C H Nºi-2012 T CH PH N TRìNG I HC QUăC GIA H NáI I H¯C KHOA H¯C TÜ NHI N ? PHAN ÙC TU N PH PBI N ˚ITCHPH ND NG FOURIER V ÙNG DệNG GI I MáT Să PHìèNG TR NH VI PH N V T CH PH N Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i t‰ch M¢ sŁ: 62 46 01 01 LU N NTI NS TO NH¯C NG×˝I HײNG D N KHOA H¯C PGS TS NGUY N MINH TU N H Nºi-2012 MÖC LƯC Líi cam oan Líi c£m ìn Danh mửc cĂc kỵ hiằu Mð ƒu Ch÷ìng Ph†p bi‚n Œi Hartley 1.1 Ph†p bi‚n Œi Fourier 1.1.1 1.1.2 Ph†p bi‚n Œi Hartley 1.2 1.2.1 Ph†p bi‚n Œi H 1.2.2 Chữỡng Php bin i tch phƠn dng Fourier i xứng 2.1 nh nghắa v tnh ch 2.2 Nguyản lỵ bĐt nh He Chữỡng ng dửng giÊi mt s phữỡng trnh vi phƠn v tch phƠn 3.1 3.2 GiÊi ph÷ìng tr…nh vi p 3.1.1 3.1.2 Gi£i ph÷ìng tr…nh t‰ 3.2.1 Ph÷ìng tr…nh t‰ 3.2.2 Ph÷ìng tr…nh t K‚t lu“n Danh mưc cỉng tr…nh khoa håc cıa t¡c gi£ li¶n quan ‚n lu“n ¡n T i li»u tham kh£o 105 Phö löc 110 DANH MệC C C Kị HI U d : S nguyản dữỡng cho trữợc N : hổp cĂc s tỹ nhi¶n Z : t“p hỉp c¡c sŁ nguy¶n Z : t“p hæp Z n f0g: : a ch¿ sŁ x¡c ành bði d = ( 1; : : : ; d) N ; v @j j j j= + + d; D := x @x1 : : : @xd d xy : tch vổ hữợng ca x v y; x¡c ành bði d xy = x1y1 + + xdyd; x; y R ; v : jxj = x + + x2d; x = x1 : : : xd d d S : khæng gian c¡c h m f kh£ vi væ h⁄n trản R thọa mÂn m sup sup (1 + jxj ) j(Dx f)(x)j < 1; (m = 0; 1; 2; : : : ): j j m x2R d L1(E) : khæng gian c¡c h m f kh£ t‰ch Lebesgue trản E, Z vợi chu'n kfk1 = jf(x)jdx: E L2(E) : khỉng gian c¡c h m f b…nh ph÷ìng khÊ tch Lebesgue trản E, vợi chu'n kfk = d Z Z jf(x)j dx; v hf; gi = E f(x)g(x)dx: E d C0(R ) : khæng gian c¡c h m f li¶n tưc tr¶n R v tri»t tiảu ti vổ vợi chu'n kfk1 = sup jf(x)j: d x2R l2(Z) : khỉng gian c¡c d¢y sŁ a = fangn2Z thäa m¢n X X 2 janj < +1 vỵi chu'n kak = janj : n2Z n2Z c0(Z) : khỉng gian c¡c d¢y sŁ bà ch°n a = fangn2Z thọa m Ân lim an = vợi chu'n kak = sup janj: jnj!1 n2Z H (x) : a thøc Hermite x¡c ành bði j j jxj xj H (x) = ( 1) e D e : x (x) : h m Hermite (x) = ( ÷æc x¡c ành bði jj 1) e cas(x) : h m Hartley x¡c jxj2 Dx e ành bði cas x = cos x + sin x [x] : h m phƒn nguy¶n cıa x: xj2 : M— U Lch sò vĐn ã v l lỹa chồn ãti Nhiãu vĐn ã khoa hồc v cổng nghằ ữa n viằc giÊi mt phữỡng trnh vi phƠn thữớng, phữỡng trnh o h m riảng, hoc phữỡng trnh t ‰ch ph¥n Chflng h⁄n, b i to¡n t‰nh lằch ứng ca mt dm vổ hn dÔn n giÊi mt phữỡng trnh vi phƠn thữớng sau (xem [15]) du dx EI + Khi nghi¶n cøu c¡c dao ºng cıa d¥y, m ng mäng, sâng ¥m, sâng to thy triãu, sõng n hỗi, sõng iằn trữớng, dÔn n giÊi phữỡng trnh truyãn sõng sau (xem [10, 15, 47]) @u @t a Trong cỡ hồc lữổng tò, xung lữổng ca cĂc ht cỡ bÊn ữổc biu din qua phữỡng trnh tch phƠn Fredholm sau (xem [1, 12]) Z ’(x) = K(x; y)’(y)dy: (0.3) Mt vĐn ã t l i tm lới giÊi cho cĂc phữỡng trnh vi phƠn, tch phƠn cĂc vĐn ã ca khoa hồc v cổng nghằ ữa n Cõ rĐt nhiãu hữợng tip cn dỹa trản nhiãu lỵ thuy‚t to¡n håc kh¡c vi»c gi£i quy‚t v§n ã trản nhữ: ch iãu kiằn tỗn ti v nh§t nghi»m, sü Œn ành nghi»m; gi£i t…m nghi»m óng, nghi»m gƒn óng, nghi»m suy rºng, v.v Trong sŁ õ, viằc sò dửng cĂc bin i tch phƠn giÊi cĂc phữỡng tr nh k trản ới rĐt sợm v liản tửc phĂt trin cho n tn ng y Câ vai trỈ °c bi»t quan trång lỵ thuyt n y phÊi k n trữợc ht l bi‚n Œi Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, Hartley, ti‚p theo l bi‚n Œi Laplace, bi‚n Œi Mellin, sau â l cĂc bin i Hankel, KontorovichLebedev, Stieltjes, Cũng vợi lỵ thuyt php bin i tch phƠn, lỵ thuyt chp liản kt vợi cĂc bin i tch phƠn cụng xuĐt hiằn v o kho£ng ƒu th‚ k¿ XX Tuy nhi¶n, cho ‚n trữợc nhng nôm 50 ca th k trữợc, khổng cõ nhiãu chp liản kt vợi cĂc bin i tch phƠn ữổc xƠy dỹng Cho n nhng kt qu£ cıa Kakichev V.A (1967) v Kakichev V.A., Thao N X (1998) cổng b (xem [31, 33]) vã phữỡng phĂp ki‚n thi‚t x¥y düng ch“p suy rºng th… mºt lo⁄t cĂc chp suy rng mợi liản kt vợi cĂc bin i tch phƠn khĂc ới Nhng nôm gn ¥y, câ kh¡ nhi•u b i b¡o v s¡ch v• c¡c øng dưng cıa c¡c bi‚n Œi t ‰ch ph¥n, chp liản kt vợi cĂc bin i tch phƠn ữổc cæng bŁ (xem [9, 11, 19, 21, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 32, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 42, 44, 45, 46, 47, 50, 51, 53, 54]) Ăng ỵ l bin i Fourier rĐt hu dưng vi»c gi£i ph÷ìng tr… nh ⁄o h m riảng, phữỡng trnh tch phƠn v nhng lỵ sau (xem [15]): trữợc tiản, cĂc phữỡng trnh õ ữổc thay th‚ bði c¡c ph÷ìng tr…nh ⁄i sŁ ìn gi£n, cho ph†p chóng ta t…m nghi»m l c¡c bi‚n Œi Fourier cıa h m Nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh ban ƒu s‡ thu ÷ỉc thỉng qua bi‚n Œi Fourier ng÷ỉc Thø hai, bin i Fourier l nguỗn gc ban u xĂc nh nghiằm cỡ bÊn, minh hồa cho ỵ tững xƠy düng h m Green sau n y Thø ba, bi‚n i Fourier ca nghiằm kt hổp vợi nh lỵ chp cung cĐp mt cĂch biu din nghiằm tữớng minh cho b i to¡n bi¶n ban ƒu d C¡c bi‚n Œi Fourier cosine, Fourier sine trản R , Fourier, Fourier ngữổc v cĂc bin i Hartley ln lữổt ữổc nh nghắa khỉng d gian L1(R ) nh÷ sau (xem [6, 7, 39, 41, 47]): â, cas u := cos u + sin u Theo cæng thøc Euler th… c¡c bi‚n Œi Fourier, Fourier ng÷ỉc v Hartley ÷ỉc bi”u di„n tuy‚n t‰nh qua hai bi‚n d Œi Fourier cosine v Fourier sine tr¶n R l F = Tc iTs; F H1 = Tc + Ts; = Tc + iTs; H2 = Tc Ts: iãu n y  ữa n cho chúng tổi ỵ tững xt cĂc bin i t‰ch ph¥n Ta;b = aTc + bTs; a; b C; gåi l c¡c bi‚n Œi t‰ch ph¥n d⁄ng Fourier Trong sŁ n y, c¡c bi‚n Œi Hartley câ mºt s ữu im nhĐt nh nhữ: Chúng õng vai trặ quan trồng xò lỵ t n hiằu, xò lỵ Ênh, xò lỵ Ơm (xem [6, 7, 8, 28, 37, 52]) Khi t‰nh to¡n sŁ vỵi h m nh“n gi¡ trà thüc th… c¡c bi‚n Œi Hartley nhanh hìn bi‚n Œi Fourier v… bi‚n Œi Hartley cıa mºt h m nh“n gi¡ trà thüc l mºt h m nh“n gi¡ trà thüc, bi‚n Œi Fourier cıa mºt h m nh“n gi¡ trà thüc câ th” l mºt h m nh“n gi¡ trà phøc Theo V‰ dö 1.2, th… vỵi h m nh“n gi¡ trà thüc 8p f(x) = 0; : 0n‚u x < 0; nh÷ng £nh Fourier cıa f l mºt h m nh“n gi¡ trà phøc (F f)(x) = c¡c £nh Hartley cıa f l (H1f)(x) = So vỵi c¡c bi‚n Œi Fourier cosine, Fourier sine th… c¡c bi‚n Œi Hartley l kh£ nghàch c¡c bi‚n Œi Fourier cosine, Fourier sine l⁄i khæng kh£ nghàch Trong cun sĂch vã php bin i tch phƠn ca mnh (xem [39]), Olejniczak K J ¢ vi‚t: "câ l‡ mºt nhœng âng gâp gi¡ trà nh§t cıa Hartley l mt bin i tch phƠn i xứng ữổc phĂt trin u t nhng vĐn ã truyãn tÊi sõng iằn tho⁄i M°c dị bi‚n Œi n y bà l ¢ng quản gn 40 nôm, nõ  ữổc nghiản cøu l⁄i th“p k qua bði hai nh to¡n hồc Wang v Bracewell - nhng ngữới  to lỵ thuyt hĐp dÔn vã ã t i n y" Vợi nhng l trản, chúng tổi lỹa chồn • t i "Ph†p bi‚n Œi t‰ch ph¥n d⁄ng Fourier v ứng dửng giÊi mt s phữỡng trnh vi phƠn v t ch phƠn" Mửc ch, i tữổng v ph⁄m vi nghi¶n cøu Mưc ‰ch cıa lu“n ¡n l i nghiản cứu nhng tnh chĐt toĂn tò, xƠy dỹng chp suy rng liản kt vợi cĂc bin i Hartley cịng vỵi h m trång Hermite v khỉng câ h m trồng Sò dửng chúng giÊi mt s phữỡng tr nh vi phƠn v tch phƠn trản miãn vổ hn Song song vợi cĂc phữỡng tr nh xĂc nh trản miãn vổ hn l cĂc phữỡng trnh xĂc nh trản miãn hu hn Do õ, lun Ăn ữa hai bi‚n Œi Hartley hœu h⁄n v x¥y düng ch“p liản kt vợi cĂc bin i n y giÊi cĂc phữỡng trnh trản miãn hu hn Ngo i ra, lun Ăn cặn xt mt bin i tch phƠn dng Fourier mỵi Z (T f)(x) = p f(y)[2 cos(xy) + sin(xy)]dy; R nghiản cứu cĂc c trững i s, xƠy dỹng chp liản kt vợi bin i n y v nguyản lỵ bĐt nh Heisenberg Phữỡng phĂp nghiản cứu Nghiản cứu cĂc c trững i s ca c¡c bi‚n Œi t‰ch ph¥n Tł â, t…m bi‚n i ngữổc v i ngữổc t flng thức nhƠn tò hõa xƠy dỹng chp, chp suy rng liản kt vợi cĂc bin i tch phƠn i vợi mỉi bin Œi t ‰ch ph¥n chóng tỉi x¥y düng bº bŁn ch“p m nh¥n cıa chóng câ d⁄ng [f(x + y) + f(x y) + f( x + y) [f(x + y) + f(x y) [f(x + y) f(x [ f(x + y) + f(x Do â, c¡c t‰ch ph¥n câ d⁄ng Z f( x f( x + y) + f( x y) + f( x + y) + f( x y) + f( x + y) + f( x f( x y)]g(y); y)]g(y); y)]g(y); y)]g(y): y)g(y)dy; ãu biu din ữổc qua cĂc chp trản Nhớ vy, chúng tổi  ữa phữỡng trnh tch phƠn vợi nhƠn Toeplitz-Hankel vã hằ phữỡng tr…nh tuy‚n t ‰nh Tł k‚t qu£ cıa ⁄i sŁ tuy‚n t‰nh v bi‚n Œi ng÷ỉc, chóng tỉi ÷a iãu kiằn cn v phữỡng trnh cõ nghiằm v cỉng thøc nghi»m t÷íng minh 10 [22] Giang B T., and Tuan N M (2010), Generalized convolutions and the integral equations of the convolution type , Complex Var Elliptic Equ., 55(4), pp 331 345 106 [23] Glaeske H J (2000), On the convolution structure of Hermite transforms a survey Geometry, analysis and applications, World Sci Publ., River Edge [24] Glaeske H J (2002), On a Hermite transform in spaces n of gener-alized functions on R , Integral Transforms Spec Funct, 13, pp 309 319 [25] Glaeske H J., Kilbas A A., Saigo M., and Shlapakov S A (2001), Integral transforms with H-function kernels on L ;rspaces , Appl Anal., 79, pp 433 474 [26] Glaeske H J., Prudnikov A P., and SkỈrnik K A (2006), Operational calculus and related topics Analytical Methods and Special Functions, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton [27] Glaeske H J., and Tuan V K (1991), Mapping properties and composition structure of multidimensional integral transform , Math Nachr., 152, pp 179 190 [28] Hartley R V L (1942), A more symmetrical Fourier analysis ap-plied to transmission problems , Proc I R E., 30, pp 144 150 [29] Hochstadt H (1973), Integral equations, John Wiley & Sons, N Y [30] Kailath T., Ljung L., and Morf M (1978), Generalized KreinLevinson equations for efficient calculation of Fredholm resolvents of nondisplacement kernels , Topics in functional analysis, Adv in Math Suppl Stud., 3, Academic Press, New York-London [31] Kakichev V A (1967), On the convolution for integral transforms , Izv ANBSSR, Ser Fiz Mat., (2), pp 48 57, (in Russian) [32] Kakichev V A., and Thao N X (1994), On the convolution for generalized H-transforms , Izv Vuzov Mat., (8), pp 21 28, (in Rus-sian) [33] Kakichev V A., and Thao N X (1998), On the design method of generalized convolution for the integral transforms , Izv Vuzov Mat., (1), pp 31 40, (in Russian) 107 [34] Kakichev V A., and Thao N X (2000), Generalized convolutions of H-transform , Izv Vyssh Uchebn Zaved Mat., (10), pp 79 84, (in Russian) [35] Kakichev V A., Thao N X., and Tuan V K (1998), On the general-ized convolutions for Fourier cosine and sine transforms , East-West Jour Math., 1(1), pp 85 90 [36] Kiryakova V (2005), Obrechkoff integral transform and hyper-Bessel operators via G-function and fractional calculus approach , Glob J Pure Appl Math., 1(3), pp 321 341 [37] Millane R P (1994), Analytic properties of the Hartley transform , Proc IEEE, 82(3), pp 413 428 [38] Nhan N D V., Duc D T., and Tuan V K (2009), Reverse weighted lp-norm inequalities for convolution type integrals , Armen J Math., 2(3), pp 77 93 [39] Olejniczak K J (2000), The Hartley transform , The Transforms and Applications Handbook (Poularikas A D., ed.), The Electrical Engineering Handbook Series, CRC Press with IEEE Press, Florida, second ed., pp 341 401 [40] Prudnikov A P., Brychkov Y A., and Marichev O I (2003), Integrals and series Vol 1-2-3, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, Moscow, (Second revised edition) [41] Rudin W (1991), Functional Analysis, McGraw-Hill, N Y [42] Saitoh S (1995), One approach to some general integral transforms and its applications , Integral Transform Spec Funct., 3(1), pp 49 84 [43] Stein E M., and Shakarchi R (2007), Fourier analysis An introduc-tion Princeton Lectures in Analysis, I, Princeton University Press, Princeton and Oxford [44] Thao N X., and Khoa N M (2005), On the generalized convo-lution with a weight-function for Fourier, Fourier cosine and sine transforms , Vietnam J Math., 33(4), pp 421 436 108 [45] Thao N X., and Tuan T (2003), On the generalized convolution for I- transform , Act Math Vietnam, 28(2), pp 159 174 [46] Thao N X., Tuan V K., and Hong N T (2008), Generalized convo-lution transforms and Toeplitz plus Hankel integral equation , Frac Calc App Anal., 11(2), pp 153 174 [47] Titchmarsh E C (1986), Introduction to the theory of Fourier inte-grals, Chelsea, New York [48] Tsitsiklis J N., and Levy B C (1981), Integral Equations and Re-solvents of Toeplitz plus Hankel Kernels , Technical Report LIDS-P-1170, Laboratory for Information and Decision Systems, M.I.T., silver ed [49] Tuan N M., and Giang B T., Inversion theorems and the unitary of the integral transforms of Fourier type , Integ Transform and Spec Func., (accepted) [50] Tuan N M., and Huyen N T T., The Hermite Functions Related to Infinite Series of Generalized Convolutions and Applications , Com-plex Anal Oper Theory, (DOI 10.1007/s11785010-0053-x) [51] Tuan N M., and Huyen N T T (2010), The solvability and explicit solutions of two integral equations via generalized convolutions , J Math Anal Appl., 369, pp 712 718 [52] Villasenor J D (1994), Optical Hartley transform , Proc IEEE, 82 (3), pp 391 399 [53] Yakubovich S B (1996), Index transforms, World Scientific Publ, Singapore-New Jersey-London-Hong Kong [54] Yakubovich S B., and Luchko Y (1994), The Hypergeometric Ap-proach to Integral Transforms and Convolutions, Mathematics and its applications, Kluwer Acad Publ, Dordrecht/ Boston/London, Vol 287 109 PHƯ LƯC M¢ l»nh Maple cho c¡c v dử Lun Ăn  sò dửng phn mãm Maple giÊi cĂc phữỡng trnh Sau Ơy l cĂc on m lằnh cho tng v dử tữỡng ứng V dử 3.10 > restart; with(student); cas:=x>cos(x)+sin(x): q0:=x>exp(-(1/2)*x^2): q1:=x->2*x*exp(-(1/2)*x^2): k1:=sqrt(5)*q1: k2:=sqrt(5)*q0: p:=x->(x+1)*exp(-x^2); a:=int(k1(u)*cas(x*u),u=infinity infinity)/sqrt(2*Pi): b:=int(k2(u)*cas(x*u),u=infinity infinity)/sqrt(2*Pi): c:=int(p(u)*cas(x*u),u=infinity infinity)/sqrt(2*Pi): hk1:=unapply(a, x): hk2:=unapply(b, x): hp:=unapply(c, x): A:=x->q0(x)*(hk1(-x)-hk1(x))+q1(x)*(hk2(-x)-hk2(x)): B:=x>q0(x)*(hk1(-x)+hk1(x))+q1(x)*(hk2(-x)+hk2(x)): DD:=x>1+A(x)+A(-x)+A(x)*A(-x)-B(x)*B(-x): D1:=x->(1+A(-x))*hp(x)-B(x)*hp(-x): e:=int(D1(u)*cas(x*u)/DD(u),u =-infinity infinity)/sqrt(2*Pi): phi:=unapply(e,x): D1D:=simplify(D1(x)/DD(x)); HD1D:=simplify(phi(x)); Dd:=simplify(DD(x)); nghiem:=HD1D; 110 #Thß l⁄i Doubleint((k1(u)*q0(x+u+v)+k2(u)*q1(x-u-v))*phi(v), u =-infinity infinity,v =-infinity infinity)/Pi: K:=value(%); KK:=unapply(K,x): VTrai:=simplify(phi(x)+KK(x)); Ch⁄y ch÷ìng tr…nh ta nh“n ÷ỉc k‚t qu£ p x D1D := x HD1D := nghiem := (x + 1)e V T rai := (x + 1)e V‰ dö 3.11 >restart: cas:=x->cos(x)+sin(x): p:=x->2*x*exp(-x^2): q:=x->-2*x*exp(-x^2): f:=x->9*sqrt(3)*x*exp(-x^2/2): a:=int(p(u)*cas(x*u),u=-infinity infinity)/sqrt(2*Pi): b:=int(q(u)*cas(x*u),u=-infinity infinity)/sqrt(2*Pi): c:=int(f(u)*cas(x*u),u=-infinity infinity)/sqrt(2*Pi): hp:=unapply(a,x): hq:=unapply(b,x): hf:=unapply(c,x): A:=x->1+hp(x)+hp(-x)+hq(x)-hq(-x): B:=x->hp(x)-hp(-x)+hq(x)+hq(-x): DD:=x->A(x)*A(-x)-B(x)*B(-x): D1:=x->A(-x)*hf(x)-B(x)*hf(-x): 5x2) + 5e x e:=int((D1(u)*cas(x*u))/DD(u), u=-infinity infinity)/sqrt(2*Pi): 111 phi:=unapply(e,x): Dd:=simplify(DD(x)); D1D:=simplify(D1(x)/DD(x)); HD1D:=simplify{phi(x)}; nghiem:=HD1D; # Thß l⁄i k:=int((p(x-u)+q(x+u))*phi(u), u=-infinity infinity)*sqrt(2/Pi): K:=unapply(k,x): VTrai:=simplify(phi(x)+K(x)); Ch⁄y ch÷ìng tr…nh ta nh“n ÷ỉc k‚t qu£ Dd := D1D := 3xe HD1D := nghiem := V dử 3.12 GiÊi bng phữỡng phĂp nhƠn suy bin >restart; p:=x->sin(3*x): q:=x->2*cos(x): f:=x->8*(cos(x))^3: cas:=x->cos(x)+sin(x): k[1]:=x->sin(3*x)/Pi: k[2]:=x->-cos(3*x)/Pi: k[3]:=x->2*cos(x)/Pi: k[4]:=x->-2*sin(x)/Pi: h[1]:=x->cos(3*x): h[2]:=x->sin(3*x): h[3]:=x->cos(x): h[4]:=x->sin(x): for i from to for j from to x x 2 112 a[i,j]:=int(h[i](x)*k[j](x),x=0 2*Pi): end do: b[i]:=int(h[i](x)*f(x),x=0 2*Pi): end do: for i from to equ[i]:=x[i]-b[i]: for j from to equ[i]:=equ[i]+a[i,j]*x[j]: end do: end do: equ:={equ[1],equ[2],equ[3],equ[4]}: sol:=solve(equ,{x[1],x[2],x[3],x[4]}): for i from to a[i]:=eval(x[i],sol): end do: u:=x->f(x)-k[1](x)*a[1]-k[2](x)*a[2] -k[3](x)*a[3]-k[4](x)*a[4]: nghiem:=u(x); Ch⁄y ch÷ìng tr…nh ta nh“n ÷ỉc k‚t qu£ nghiem := cos x sin(3x) cos(3x) GiÊi bng phữỡng phĂp sò dửng chp Hartley >restart; N:=1000: p:=x->sin(3*x): q:=x->2*cos(x): f:=x->8*(cos(x))^3: cas:=x->cos(x)+sin(x): pp:=n->int(p(x)*cas(n*x),x=0 2*Pi)/(2*Pi): qq:=n->int(q(x)*cas(n*x),x=0 2*Pi)/(2*Pi): ff:=n->int(f(x)*cas(n*x),x=0 2*Pi)/(2*Pi): A:=unapply(1+pp(n)+pp(-n)+qq(n)-qq(-n),n): B:=unapply(pp(n)-pp(-n)+qq(n)+qq(-n),n): DD:=unapply(A(n)*A(-n)-B(n)*B(-n),n): D1:=unapply(A(-n)*ff(n)-B(n)*ff(-n),n): 113 cos x: ngh:=0: for n from -N to N if (abs(n)-3)*(abs(n)-1)*(abs(n)-2)*n0 then ngh:=ngh+D1(n)*cas(n*x)/DD(n): else ngh:=ngh+limit(D1(m)*cas(n*x)/DD(m),m=n): end if: end do: phi:=unapply(ngh,x): nghiem:=phi(x); # So sĂnh vợi nghiằm giÊi bng phữỡng phĂp nhƠn suy bin err:=simplify(8*(cos(x))^3-sin(3*x) -cos(3*x)-4*cos(x)-phi(x)); Chy chữỡng trnh ta thu ÷æc k‚t qu£ nghiem = cos (x) cos x sin x cos2 x + sin x; err := 0: V dử 3.13 GiÊi bng phữỡng phĂp nhƠn suy bi‚n >restart; p:=x->cos(x): q:=x->2*sin(2*x): f:=x->3*x: cas:=x->cos(x)+sin(x): k[1]:=x->cos(x)/Pi: k[2]:=x->sin(x)/Pi: k[3]:=x->2*sin(2*x)/Pi: k[4]:=x->2*cos(2*x)/Pi: h[1]:=x->cos(x): h[2]:=x->sin(x): h[3]:=x->cos(2*x): h[4]:=x->sin(2*x): for i from to for j from to a[i,j]:=int(h[i](x)*k[j](x),x=0 2*Pi): end do: 114 b[i]:=int(h[i](x)*f(x),x=0 2*Pi): end do: for i from to equ[i]:=x[i]-b[i]: for j from to equ[i]:=equ[i]+a[i,j]*x[j]: end do: end do: equ:={equ[1],equ[2],equ[3],equ[4]}: sol:=solve(equ,{x[1],x[2],x[3],x[4]}): for i from to a[i]:=eval(x[i],sol): end do: u:=x->f(x)-k[1](x)*a[1]-k[2](x)*a[2] -k[3](x)*a[3]-k[4](x)*a[4]: nghiem:=u(x); Ch⁄y ch÷ìng tr…nh ta ÷ỉc k‚t qu£ nghiem := 3x + sin x + sin(2x) cos(2x): M lằnh giÊi bng phữỡng phĂp sò dửng chp Hartley ho n to n tữỡng tỹ m lằnh cıa V‰ dư 3.12 V‰ dư 3.14 M¢ l»nh gi£i phữỡng trnh tữỡng tỹ m lằnh ca V dử 3.12 Dữợi Ơy l m lằnh thò li nghiằm >restart; VTrai:=1+int((sqrt(2)/(sin(x-u)-3)+sqrt(3)/(cos(x+u)+2)), u=0 2*Pi)/Pi; Ch⁄y ch÷ìng tr…nh ta ÷ỉc k‚t qu£ V T rai := 2: V‰ dư 3.15 M¢ l»nh gi£i phữỡng trnh tữỡng tỹ m lằnh ca V dử 3.12 Dữợi Ơy l m lằnh thò li nghiằm >restart; tg:=sin(x)+(1/Pi)*(int(sin(x-u)*sin(u),u=0 2*Pi) +sqrt(3)*cos(x)*int(sin(t)/(cos(t)+2),t=x (x+2*Pi)) -sqrt(3)*sin(x)*int(cos(t)/(cos(t)+2),t=x (2*Pi+x))): VTrai:=simplify(tg); 115 Ch⁄y ch÷ìng tr…nh ta ÷ỉc k‚t qu£ V T rai := (5 p 3) sin x cos x: 116 ... ba, bi‚n Œi Fourier ca nghiằm kt hổp vợi nh lỵ chp cung cĐp mºt c¡ch bi”u di„n nghi»m t÷íng minh cho b i to¡n bi¶n ban ƒu d C¡c bi‚n Œi Fourier cosine, Fourier sine trản R , Fourier, Fourier ngữổc... Fourier cosine, Fourier sine s thun lổi hỡn Tuy nhiản, sò döng ch“p hœu h⁄n th… c¡c bi‚n Œi Fourier cosine, Fourier sine ph£i düa tr¶n c¡c h m mð rºng tun ho n Nản vi? ??c sò dửng bin i Fourier hœu... cos u + sin u Theo cæng thøc Euler th… c¡c bi‚n Œi Fourier, Fourier ng÷ỉc v Hartley ÷ỉc bi”u di„n tuy‚n t‰nh qua hai bi‚n d Œi Fourier cosine v Fourier sine tr¶n R l F = Tc iTs; F H1 = Tc + Ts;