Tích phân và ứng dụng trong giải toán trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐẶNG THỊ THÚY VÂN TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60.46.40 TĨM TÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2015 Công trình hồn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HỒNG TRÍ Phản biện 1: TS Phan Đức Tuấn Phản biện 2: TS Hoàng Quang Tuyến Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 11 tháng 01 năm 2015 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Tích phân khái niệm tốn học, với phép tốn ngược vi phân, đóng vai trò chủ chốt lĩnh vực giải tích Giả sử, cần tính diện tích hình phẳng bao đoạn thẳng, ta việc chia hình thành hình nhỏ đơn giản như: tam giác, hình vng … Nếu hình phức tạp hơn, bao đoạn thẳng lẫn đường cong Tích phân giúp ta tính diện tích hình thang cong đó, nhiều ứng dụng khác thiện Các nhà toán học kỉ XVII XVIII khơng dùng đến khái niệm giới hạn Thay vào đó, họ nói “ tổng số vơ lớn số hạn vơ nhỏ” Chẳng hạn, diện tích hình cong tổng số vơ lớn diện tích hình chữ nhật vô nhỏ Hiện nay, số phần mềm máy tính thương mại có khả tính tích phân Mathematica, Maple Chuyên đề thiếu chương trình tốn THPT, đại học Vì xuất phát từ nhu cầu này.Tơi chọn đề tài với tên:”Tích phân ứng dụng giải tốn Trung học phổ thơng” để tiến hành nghiên cứu, nhằm làm tài liệu tham khảo huy vọng tìm ví dụ đặc sắc nhằm làm phong phú thêm kết lĩnh vực Mục tiêu nghiên cứu Nhằm nghiên cứu, tìm hiểu định nghĩa, tính chất, phân loại dạng tích phân, tích phân suy rộng số ứng dụng giải toán THPT Đối tượng phạm vi nghiêm cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu tích phân, phương pháp tính tích phân hàm đặc biệt ứng dụng giải toán THPT 3.2 Phạm vi nghiên cứu Thực nghiên cứu từ tài liệu, giáo trình Thầy Lê Hồng Trí, chun đề tích phân, tích phân suy rộng, ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Thu thập, phân tích tài liệu thơng tin liên quan đến tích phân ứng dụng Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn để thực đề tài Bố cục luận văn Luận văn gồm chương với cấu trúc sau: · Mở đầu · Chương : Nguyên hàm tích phân · Chương 2: Tích phân dạng hàm số đặc biệt · Chương 3: Các ứng dụng tích phân · Kết luận CHƯƠNG NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 1.1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm số f ( x ) xác định ( a, b ) Hàm số F ( x ) gọi nguyên hàm f ( x ) F ( x ) xác định khả vi khoảng ( a, b ) F ¢( x) = f ( x) với "x Ỵ ( a, b ) Định nghĩa 1.1.2 Nếu hàm số f ( x ) xác định đoạn [ a, b ] , F ( x ) gọi nguyên hàm F ( x ) F ( x ) xác định [ a, b] , khả vi ( a, b ) F ¢( x) = f ( x) với "x ẻ ( a, b ) , F+Â(a) = f (a ) F-¢ (b) = f (b) Định lý 1.1.1 Nếu hàm số f ( x ) có nguyên hàm F ( x ) tập hợp d = { F + C ; C Ỵ R} họ tất nguyên hàm f ( x ) hay gọi tích phân bất định f ( x ) Kí hiệu: ò f ( x)dx Trong đó: f ( x)dx biểu thức dấu tích phân 1.2 BÀI TỐN TÌM DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG Cho hàm số y = f ( x ) liên tục không âm đoạn [ a, b ] Xét hình thang cong AabB, giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành, hai đường thẳng x = a, x = b Vấn đề cần đặt tính diện tích hình thang cong AabB (Hình 1.1) Chia đoạn [ a, b ] đáy hình thang, thành số hữu hạn đoạn nhỏ điểm: a = x0 x1 x2 á xn = b (1.1) Ta gọi phép chia phép phân hoạch, kí hiệu p Trên ( ) đoạn nhỏ D k = [ xk -1 , xk ] k = 1, n , ta lấy điểm x k Khi hàm số y = f ( x ) khơng đổi đoạn D k suốt đoạn giá trị hàm số f (x k ) lúc diện tích hình thang cong bằng: f (x k ) ( xk - xk -1 ) Trong trường hợp tổng quát, đoạn D k nhỏ, ta thấy f (x k ) ( xk - xk -1 ) gí trị gần diện tích hình thang cong tức là: Sk » f (x k ) ( xk - xk -1 ) Khi đó, kí hiệu S diện tích hình thang cong AabB thì: n n k =1 k =1 S = å S k » å f (x k ) ( xk - xk -1 ) (1.2) Rõ ràng ta chọn phép phân hoạch p cho d ( p ) = max ( xk - xk -1 ) nhỏ hình thang gần trùng với hình chữ nhật có đáy D k có chiều cao f (x k ) Vậy, diện tích hình thang cong AabB là: S = lim d (p )® n å f (x ) ( x k k =1 k - xk -1 ) (1.3) Theo (1.3) ứng với số e ñ nhỏ tùy ý,tồn d ñ , cho với phân hoạch p mà d ( p ) ád với cách lấy điểm x k ta có: n å f (x )( x k =1 k k - xk -1 ) - S áe (1.4) Định nghĩa 1.2.1 Cho hai số thực a, b với a £ b p = { x0 , x1 , , xk -1 , xk , , xn } phân hoạch đoạn [ a, b ] , a = x0 x1 xk -1 xk á xn = b , với x0 , x1 , , xk -1 xk , xn điểm chia phân hoạch p P tập tất phân hoạch đoạn [ a, b ] d ( p ) = max ( xk - xk -1 ) đường kính phép phân hoạch p kỴ{1, ,n} Cho hàm f : [ a, b ] ® R f khả tích [ a, b ] , tồn I Ỵ R "e đ 0, $d ñ , "p = { x0 , x1 , , xk -1 , xk , , xn } Ỵ P mà d ( p ) ád , "x k ( ) Ỵ [ xk -1 , xk ] k = 1, n ta có : n å f (x )( x k k =1 k - xk -1 ) - I áe I gọi tích phân xác định hàm số y = f( x) đoạn [ a, b ] kí hiệu là: b I = ò f ( x )dx (1.5) a 1.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Định lý 1.3.1 Cho hai số thực a, b với a áb Cho hàm f : [ a, b ] ® R f khả tích [ a, b ] Khi f bị chặn đoạn [ a, b ] Định lý 1.3.2 Cho f , g hai hàm khả tích đoạn [ a, b ] f + g khả tích đoạn [ a, b ] , b ò [ f ( x) + g ( x)]dx = a b b a a ò f ( x)dx + ò g ( x)dx Định lý 1.3.3 Cho f khả tích đoạn [ a, b ] , a Ỵ R a f khả b b a a tích đoạn [ a, b ] ò a f ( x)dx = a ò f ( x)dx Định nghĩa 1.3.1.[5] Cho f : [ a, b ] ® R bị chặn, a áb Với phân hoạch p = { x0 , x1 , xn } Ỵ P Ta có : n I ( f , p ) = å M k ( xk - xk -1 ) với M k = sup { f ( x ) / x Ỵ [ xk -1 , xk ]} k =1 n I ( f , p ) = å mk ( xk - xk -1 ) với mk = inf { f ( x ) / x Ỵ [ xk -1 , xk ]} k =1 Lần lượt tổng Darboux tổng Darboux với phép phân hoạch p Trên [ a, b ] với a áb p = { x0 , x1 , , xn } Ỵ P p ¢ = { x0¢ , x1¢, , xn¢ } Ỵ P Phân hoạch p gọi mịn p ¢ tập tất điểm chia p ¢ chứa tập điểm chia p Bổ đề 1.3.1 Cho f : [ a, b ] ® ¡ bị chặn, a áb Cho p , p  ẻ P , nu p hn p ¢ thì: I ( f ,p ) £ I ( f ,p ¢) I ( f ,p ) ³ I ( f ,p ¢) Trong đó, p mịn p ¢ tất điểm chia p ¢ chứa tập điểm chia p n I ( f , p ) = å M k ( xk - xk -1 ) với M k = sup { f ( x ) / x Ỵ [ xk -1 , xk ]} k =1 n I ( f , p ) = å mk ( xk - xk -1 ) với mk = inf { f ( x ) / x Î [ xk -1 , xk ]} k =1 Bổ đề 1.3.2 Cho f : [ a, b ] ® ¡ bị chặn, a áb Với p , p  ẻ P Khi ú : I ( f , p ) £ I ( f , p ¢ ) Định nghĩa 1.3.2 Cho f : [ a, b ] ® ¡ bị chặn, a áb inf I ( f , p ) p ỴP b* ò f ( x )dx = a b ò f ( x )dx = sup I ( f ,p ) , gọi tích a* p ỴP phân tích phân Định lý 1.3.4 Cho f : [ a, b ] ® ¡ bị chặn, a áb Khi điều kiện sau tương đương f khả tích [ a, b ] b ò a* b* f ( x )dx = ò f ( x )dx a "e đ 0, $p Ỵ P : I ( f , p ) - I ( f , p ) áe "e ñ 0, $p , p  ẻ P : I ( f , p ) - I ( f , p ¢ ) áe b Khi ò a b b* a* a f ( x )dx = ò f ( x )dx = ò f ( x )dx Định lý 1.3.5 Cho f khả tích đoạn [ a, b ] , mà f ( x ) £ g ( x ) "x Ỵ [ a, b ] Khi b b a a ò f ( x ) dx £ ò g ( x ) dx Định lý 1.3.6 Nếu f ( x ) = c, "x Ỵ [ a, b ] b ò f ( x ) dx = c ( b - a ) a Định lý 1.3.7 Cho f khả tích đoạn [ a,c] ( a ábác ) f khả tích đoạn [ a, b ] [b, c ] Ngược lại cho f khả tích đoạn [ a, b] [b, c ] f khả tích đoạn [ a,c] Khi c ò a b c a b f ( x)dx = ò f ( x)dx + ò f ( x)dx Định lý 1.3.8 (Định lý giá trị trung bình) Cho f liên tục đoạn [ a, b ] Khi tồn c Ỵ [ a, b ] cho b ò f ( x ) dx = f ( c )( b - a ) a 1.4 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Định nghĩa 1.4.1 Cho hàm f ( x ) khả tích [ a, b ] Khi với "x Ỵ [ a, b ] , hàm f ( x ) khả tích [ a, x ] Xét hàm F :[a, b] ® R cho bởi: x F ( x) = ò f (t )dt a (1.27) hàm F ( x) xác định gọi tích phân xác định hàm cận Định lý 1.4.1 Nếu f ( x ) liên tục [ a, b ] F ( x) nguyên hàm f ( x ) , tức là: FÂ( x) = f ( x)"x ẻ [ a, b ] (1.28) Định lý 1.4.2 Nếu f ( x ) khả tích [ a, b ] F (x) liên tục đoạn [ a, b ] Định lý 1.4.3 Giả sử f ( x ) liên tục [ a, b ] F (x) nguyên hàm f ( x ) Khi đó: b ò f ( x)dx =F(b) - F(a) = F( x) b a (1.29) a Công thức gọi công thức Newton-Leibnitz 1.5 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1.5.1 Sử dụng nguyên hàm b 1.5.2 Phương pháp phân tích Tính tích phân ò f( x)dx a n f ( x) = å a i fi ( x) với f i ( x) , i = 1, n có Biến đổi f ( x ) dạng: i =1 nguyên hàm bảng công thức a i , i = 1, n số b Khi đó: ò f( x)dx = a b n ò åai fi ( x)dx = a i =1 n b i =1 a åa i ò fi ( x)dx (1.32) 1.5.3 Phương pháp đổi biến số Dạng 1: Đổi biến x = j (t ) b Xét tích phân ò f( x)dx Trong f ( x ) liên tục [ a, b ] Giả sử a thực phép đổi biến x = j (t ) thỏa mãn điều kiện: a j (t ) liên tục đoạn [a , b ] b j (a ) = a,j ( b ) = b 10 1.6 CÔNG THỨC TÍCH PHÂN TRUY HỒI, ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN 1.6.1 Cơng thức tích phân truy hồi b I n = ò f ( x, n)dx Cho tích phân : a + Thiết lập hệ thức liên hệ I n I k với nđ k , k Ỵ N 1.6.2 Đẳng thức, bất đẳng thức tích phân Dạng 1: Chứng minh đẳng thức tích phân Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức tích phân 1.6.3 Giải phương trình, bất phương trình tích phân Dạng 1: Giải phương trình tích phân Dạng 2: Bất phương trình tích phân 1.7 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 1.7.1 Tích phân suy rộng loại (Trường hợp cận lấy tích phân vô hạn) Hàm số f ( x ) xác định [ a, +¥ ) ( a hữu hạn), nghĩa hàm số f ( x ) xác định với x ³ a khả tích đoạn [ a, A] A ( Añ a ) Nếu lim ò f ( x) dx tồn hữu hn thỡ AđƠ +Ơ ũ +Ơ f ( x)dx hi tụ a ò a a A A f ( x)dx = lim ò f ( x)dx Nếu lim ũ f ( x) dx AđƠ AđƠ a a +Ơ khơng tồn vơ hạn ò f ( x)dx phân kì a ( -¥, a ] ( a hữu hạn), nghĩa hàm số x £ a khả tích đoạn [ B, b ] Hàm số f ( x ) xác định f ( x ) xác định với ( Báb ) Nu a lim B đ-Ơ ũ B a f ( x)dx tồn hữu hạn ò -¥ f ( x)dx hội tụ 11 a ò a f ( x)dx = lim B đ-Ơ -Ơ ũ a f ( x)dx Nu lim B đ-Ơ B ũ f ( x)dx khơng tồn vơ B a ò hạn f ( x)dx phân kì -¥ Hàm số f ( x ) xác định ( -¥, +¥ ) , khả tích đoạn [ A, B ] ( B ) Chọn a Ỵ ( -¥, +¥ ) Nếu +¥ a ò f ( x)dx hội tụ -¥ +¥ ò tụ -¥ ò +¥ a ò f ( x)dx = -¥ f ( x)dx + -¥ f ( x)dx -¥ ò ò f ( x)dx a +¥ a Nếu ò f ( x)dx hội a +¥ f ( x)dx hội tụ ò +¥ ò f ( x)dx phân kì f ( x)dx phân kì -¥ a 1.7.2 Tích phân suy rộng loại (Trường hợp hàm số lấy tích phân khơng bị chặn) Cho hàm số f ( x ) không bị chặn [ a, b ) , khả tích b -e đoạn [ a, b - e ] ( e ñ 0, a áb - e ) Nếu lim+ ò e ®0 f ( x)dx tồn hữu hạn a b ò b -e b f ( x)dx hội tụ ò a f ( x)dx = lim+ b -e Nếu lim+ e ®0 e ®0 a ò ò f ( x)dx a b f ( x)dx không tồn vơ hạn a ò f ( x)dx phân kì a Cho hàm số f ( x ) không bị chặn ( a, b ] , khả tích b đoạn [ a + e , b ] ( e ñ 0, a + e áb ) Nếu lim+ e ®0 b ò a b f ( x)dx hội tụ ò ò f ( x)dx tồn hữu hạn a +e b f ( x)dx = lim+ e ®0 a b khơng tồn vơ hạn ò b f ( x)dx Nếu lim+ a +e ò f ( x)dx phân kì a e ®0 ò a +e f ( x)dx 12 CHƯƠNG TÍCH PHÂN CỦA CÁC DẠNG HÀM SỐ ĐẶC BIỆT 2.1 HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Sử dụng phương pháp chia khoảng b Để tính tích phân: I = ò f ( x, m ) m tham số a Xét dấu biểu thức f ( x, m ) [a, b] , từ ta chia đoạn [a, b] thành đoạn nhỏ [a, b] = [a,c1 ] È [c1 ,c2 ] È È [ck , b] , mà đoạn f ( x, m ) dấu b I = ò f ( x, m ) a = c1 c2 b a c1 ck ò f ( x, m ) dx + ò f ( x, m ) dx + + ò f ( x, m) dx 2.2 HÀM HỮU TỈ Dạng 1: Sử dụng nguyên hàm Dạng 2: Sử dụng phương pháp đổi biến Dạng 3: Sử dụng tích phân phần Dạng 4: Sử dụng phương pháp phân tích x2 Bài tốn Tính ngun hàm I = ò dx, a ¹ (ax+b)a Bài tốn Tính ngun hàm I n = ò Bài tốn Tính ngun hàm I n = ò Bài tốn 4.Tính ngun hàm I = ò dx ( ax + bx + c ) n , a ¹ n Ỵ Z + n , a v n ẻ Z + (a x + b ) dx ( ax + bx + c ) a1 x + b1 x + c1 dx với a ¹ ( x - a ) ( ax + bx + c ) 13 2.3 HÀM LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Sử dụng phép biến đổi lượng giác Dạng 2: Sử dụng phương pháp phân tích Dạng 3: Sử dụng phương pháp đổi biến ( ) Bài tốn 1: Tính tích phân I = ò R s inx, cosx dx , R hàm hữu tỉ ( ) ( ) đặt t = cos x Nếu R ( s inx, - cosx ) = - R ( s inx, cosx ) đặt t = s inx Nếu R ( - s inx, - cosx ) = R ( s inx, cosx ) đặt t = tanx Nếu R - s inx, cosx = - R s inx, cosx ( t = cot x ) Các tích phân dạng: I = ò tan xdx, n ỴZ đặt t = tanx n I = ò cot xdx , n ỴZ đặt t = cot x n p Bài tốn 2: Tính tích phân I = ò R ( x,sinx,cosx)dx , R hàm hữu tỉ Đặt t = p -x p Bài toán 3: Tính tích phân I = ò R ( x,s inx,cosx)dx , R hàm hữu tỉ Đặt t =p - x 2p Bài tốn 4: Tính tích phân I = ò R ( x,sinx,cosx)dx , R hàm hữu tỉ Đặt t = 2p - x 2.4 HÀM VÔ TỈ Dạng 1: Sử dụng nguyên hàm Dạng 2: Sử dụng phép biến bổi vơ tỉ Dạng 3: Sử dụng tích phương pháp đổi biến Bài tốn 1: I = ò R ( x, a - x )dx, añ 14 p p x = a cos t , £ t £ p 2 Bài toán 2: I = ò R ( x, a + x )dx, añ Đặt ẩn phụ: x = a sin t , - p x = a cot t , 0át áp 2 I = ò R ( x, x - a )dx, añ Đặt ẩn phụ: x = a tan t , Bài toán 3: p £t£ át Đặt ẩn phụ: a a p é p pù x= , t Ỵ ê- ; ú \ {0} x = , t Ỵ [0;p ] \ sin t cos t ë 2û {} 2.5 HÀM SIÊU VIỆT Dạng 1: Sử dụng nguyên hàm Dạng 2: Sử dụng phương pháp phân tích Dạng 3: Sử dụng phương pháp đổi biến Dạng 4: Sử dụng tích phân phần 2.6 CÁC HÀM CĨ DẠNG ĐẶC BIỆT KHÁC Tính chất Nếu f ( x ) liên tục hàm lẻ [ -a, a ] a ò f ( x)dx = -a Tính chất Nếu f ( x ) liên tục hàm chẵn [ -a, a ] a ò -a a f ( x)dx = ò f ( x)dx é pù Tính chất Nếu ¡ liên tục ê0, ú ë 2û p p 0 ò f (s inx)dx = ò f (cos x)dx Tính chất Nếu f ( x ) liên tục chẵn ¡ 15 a a f ( x) + ò-a a x + dx =ò0 f (x)dx, "x Ỵ R , Tính chất Nếu f ( x ) liên tục f ( a + b - x ) = f ( x ) b b a+b xf ( x ) dx = f (x)dx òa òa Hệ Nếu f ( x ) liên tục đoạn [ 0,1] p -a p p -a xf (sinx) dx = f (sinx)dx ò aò a Hệ Nếu f ( x ) liên tục đoạn [ 0,1] 2p -a ò xf (cos x)dx =p a 2p -a ò f (cosx)dx a Tính chất Nếu f ( x ) liên tục f ( a + b - x ) = - f ( x ) b ò f ( x)dx = a Tính chất Nếu f ( x ) liên tục đoạn [ 0, 2a ] với 2a a 0 ò f ( x)dx = ò [ f ( x) + f (2a - x)]dx Tính chất Nếu f ( x ) liên tục ¡ tuần hoàn với chu kì T a +T ò a T f ( x )dx = ò f ( x )dx 16 CHƯƠNG CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 3.1 TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 3.1.1 Diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục OX , hai đường thẳng x = a, x = b là: Nếu y = f(x) ³ (Hình 3.1) đoạn [ a, b ] b S = ò f ( x)dx (3.1) a Nếu y = f(x) £ đoạn [ a, b ] b S = - ò f ( x)dx (3.2) a mà trị tuyệt đối số kết diện tích cần t́ìm b Nếu hàm số y = f ( x ) đổi dấu đoạn [ a, b ] , S = ò f ( x)dx a tổng đại số diện tích giới hạn đường cong, trục hoành, hai đường thẳng x = a, x = b Vậy cơng thức tính diện tích dùng cho trường hợp là: b S = ò f ( x) dx a (3.3) 3.1.2 Nếu hình phẳng giới hạn hai đường cong có hàm số f1 ( x ) , f ( x ) liên tục đoạn [ a, b ] , hai đường thẳng x = a, x = b thì: b S = ò f1 ( x ) - f ( x ) dx a (3.4) Nếu đường cong có dạng x = j ( y ) , j ( y ) liên tục đoạn [c, d ] , diện tích giới hạn đường x = tính theo cơng thức: x = j ( y ) , y = c, y = d 17 d S = ò j ( y ) dy c ì x = j (t ) với 3.1.3 Nếu đường cong cho dạng tham số í ỵ y = y (t ) t Ỵ [a , b ] ,trong j (t ),y (t ), j ¢(t ) hàm liên tục đoạn [a , b ] b S = ò y (t ).j ¢(t ) dt (3.5) a 3.1.4 Giả sử đường cong giới hạn hình phẳng cho hệ tọa độ cực, người ta gọi hình quạt cong hình giới hạn hai tia qua cực đường cong, mà tia qua cực cắt đường cong không điểm Diện tích hình quạt cong giới hạn hai tia j = a ;j = b (a b ) cung » AB đường cong r = r (j ) , r (j ) hàm liên tục đoạn [a , b ] là: b S = ò r dj 2a 3.2 TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG CONG PHẲNG Định nghĩa 3.2.1 Đường cong AB gọi cầu trường (nắn thẳng) tồn giới hạn hữu hạn đường gấp khúc mô tả đường cong AB l ® Giới hạn gọi độ dài cung AB đường cong kí hiệu LAB Như vậy: LAB = lim Ln l ®0 (3.6) Định lý 3.2.1 Nếu đường cong AB cho đồ thị hàm số y = f ( x ) , tromg f ( x ) f ¢( x) liên tục [ a, b ] , AB cầu trường và: b LAB = ò + [ f ¢( x) ] dx a Hệ 3.2.1 Nếu AB cho dạng tham số: (3.7) 18 ìï x = x ( t ) í ïỵ y = y ( t ) a £ t £ b ; A ( x (a ) , y (a ) ) ; B ( x ( b ) , y ( b ) ) Giả sử x = x ( t ) ; y = y ( t ) hàm khả vi liên tục [a , b ] Thì b LAB = ò ( x¢ ( t ) ) + ( y ¢ ( t ) ) 2 dt (3.11) a Hệ 3.2.2 Nếu AB cho tọa độ cực r = r (j ) , j Ỵ [a , b ] Khi b LAB = ò ( r (j ) ) + ( r ¢ (j ) ) 2 dj (3.12) a 3.3 TÍNH THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ 3.3.1 Tính thể tích vật thể biết diện tích thiết diện ngang Cho vật thể giới hạn mặt cong hai mặt phẳng vng góc với trục OX điểm x = a, x = b, a áb Giả sử biết diện tích S thiết diện vật thể mặt phẳng () vng góc với trục OX S = S x , x hoành độ giao () điểm mặt phẳng cắt trục OX , giả sử S x hàm liên tục đoạn [a, b] Thì thể tích hình nói tính theo cơng thức: b V = ò S ( x) dx (3.13) a 3.3.2 Thể tích vật thể tròn xoay Tìm thể tích vật thể giới hạn hình thang cong AabB giới hạn đường y = f ( x), x Î [ a, b ] , trục OX , đường thẳng x = a, x = b , quay quanh trục OX Thiết diện khối tròn xoay tạo mặt phẳng vng góc với trục OX x Ỵ [a, b] hình tròn có bán kính ( ) f x 19 Ta có: b V = p ò f ( x)dx a (3.14) Quay quanh trục OY b V = 2p ò xf ( x ) dx (3.16) a Nếu hình thang cong CcdD giới hạn đường cong x = j ( y ) , y Ỵ [ c, d ] ,j ( y ) liên tục đoạn [ c, d ] , trục OY Thể tích vật thể tròn xoay, tạo hình thang quay quanh trục OY tính theo cơng thức: d V = p ò j ( y ) dy (3.17) c 3.3.3 Diện tích mặt tròn xoay Cơng thức tính diện tích bề mặt vật thể tròn xoay b P = 2p ò f ( x ) + ( f ¢ ( x ) ) dx (3.18) a Nếu mặt tròn xoay nhận quay quanh trục OX đường cong AB cho dạng tham số: ìï x = j ( t ) í ïỵ y = y ( t ) Trong đó: a £ t £ b ,y ( t ) ³ 0, a £ j ( t ) £ b Khi: Thì: a £ t £ b , j (a ) = a, j ( b ) = b b P = 2p ò y ( t ) a (j ¢ ( t ) ) + (y ¢ ( t ) ) 2 dt (3.19) Nếu đường cong AB cho tọa độ cực r = r (j ) ,j Ỵ [a , b ] Khi đó: b P = 2p ò r (j ) sin j a ( r ¢ (j ) ) + ( r (j ) ) 2 dj (3.20) 20 3.4 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ 3.4.1 Chứng minh với xđ y đ thì: 1+ x ( x - y ) ëé2 - ( x + y )ûù 2ln 1+ y ( x - y ) ëé2 - ( x + y )ûù ln Ta có: 1+ x 1+ y Û ( x - y ) - ( x - y ) ëéln (1 + x ) - ln(1 + y )ûù Ta thấy "t đ thì: 1+ t ñ1 - t Với 0á y £ t £ x ta có: x ỉ t2 đ ò (1 - t ) dt Û ln + t y ủ ỗ t - ữ ũ y1+ t y è øy x dt x Û ln x 1+ x 1+ y ñ ( x - y) - x2 - y2 Û ( x - y ) éë - ( x + y ) ùû ln 1+ x 1+ y 3.5 TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Ví dụ 3.5.3 Tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = ( + 2ln 2) x - x +1 - ln 2.x ; x Ỵ [0; 2] Xét hàm số: g ( t ) = -2t - t ( ) hàm số liên tục nghịch biến đoạn [0, 2] g t Nên "t Ỵ [0;2] ta có: x x 0 0 -2 ò ( 2t + t ) dt ³ - x ò ( 2t + t ) dt Û 2ò ( 2t + t ) dt £ x ò ( 2t + t ) dt 21 x æ 2t t ö æ 2t t2 ö Û ỗỗ + ữữ Ê x ỗ + ữ ố ln 2 ø è ln 2 ø x +1 4x x + x2 £ + 2x ln ln ln ln Û x +1 + x ln - £ x + x ln - x Û Û ( + 2ln 2) x - x +1 - ln x ³ -2 () Vậy, giá trị nhỏ f x -2 x = 0; x = 3.6 GIẢI PHUƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Các định lý tồn nghiệm phương trình tích phân () Định lý 3.6.1 Cho hai số thực a , b trái dấu f x hàm liên tục, khơng âm (có thể khơng số hữu hạn điểm) x đoạn [a, b] Khi đó, [a, b] , phương trình F ( x) = ò f (t )dt = 0 có nghiệm x = Định lý 3.6.2 Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định liên tục đoạn [a, b] giả sử F ( x ) nguyên hàm Khi đó, tồn số thực x1 , x2 Ỵ [ a, b] với x1 x2 , cho F ( x1 ) = F ( x2 ) ( ) phương trình f x = có nghiệm [ x1 , x2 ] ( ) Ví dụ 3.6.1 Giải phương trình: x x + = ln x + x + Ta có: ( ) ( ) x x + = ln x + x + Û x x + - ln x + x + = Xét: ( ) F ( x) = x x + - ln x + x + x ¢ Ta có F = F ( x ) = ò ét t + - ln t + t + ù dt ë û ( () x =ò 2t t2 +1 dt ) 22 2t Ta thấy, hàm số f (t ) = t2 +1 liên tục không âm với t, theo () định lý 3.6.1, phương trình F x = có nghiệm x = 3.7 TÍNH GIỚI HẠN DÃY Dùng định nghĩa tích phân để tính giới hạn dãy é n n n ù ú Ví dụ 3.7.2 Tính lim + + + n đ Ơ ờở ( n + 1) ( n + 2)2 ( n + n )2 úû Ta có: é ù ê ú n 1 1 1 ú= å + + + S = ê 2 2 n nê iư n ỉ 2ư ỉ n úú i = ổ ổỗ1 + ửữ ỗ1 + ữ ỗ1 + ữ ỗ1 + ữ ố nứ ố nø û è nø ëè n ø Xét hàm số f ( x) = đoạn [0,1] Ta phân hoạch đoạn (1 + x )2 [0,1] thành n đoạn , điểm chia: i x0 = 0, x1 = , , xi = , , xn = Với Dxi = xi - xi -1 = Chọn n n n i xi = xi = n Nên : lim S n = ũ n đƠ (1 + x ) dx = 1 = 1+ x 3.8 GIẢI TOÁN TỔ HỢP n +1 ( -1) 1 Ví dụ 3.8.2 Tính: S = Cn1 - Cn2 + + Cnn £ n Ỵ Z n +1 Xét hàm : n ( n f ( x ) = (1 - x ) = - Cn1 x + Cn2 x + + ( -1) Cnn x n Lấy tích phân hai vế ta được: ) 23 1 n ò (1 - x ) dx = ò 0 (1 - C x + C x n n n ) + + ( -1) Cnn x n dx 1 é (1 - x )n+1 ù ỉ x2 x3 x n +1 n ú = ỗ x - Cn1 ờ+ Cn2 + + ( -1) Cnn n +1 ú n + ÷ø ëê û0 è 1 1 n = - Cn1 + Cn2 + + ( -1) Cnn n +1 n +1 1 n n Û C1n - Cn2 + + ( -1) Cnn = n +1 n +1 Û 24 KẾT LUẬN Luận văn “Tích phân ứng dụng giải tốn THPT” thực số vấn đề sau đây: -Trình bày kiến thức tích phân : định nghĩa, tính chất định lý tích phân - Một số phương pháp tính tích phân - Tích phân hàm đặc biệt - Xác định diện tích hình phẳng hệ tọa độ Đề- hệ tọa độ cực - Thể tích vật thể - Độ dài đường cong phẳng - Chứng minh bất đẳng thức - Tìm cực trị hàm số - Giải phương trình đại số - Tính giới hạn dãy - Giải toán tổ hợp Trong qua trình thực đề tài cố gắng hạn chế chuyên môn bước khởi đầu để tác giả làm quen với công việc nghiêm cứu khoa học mặt hạn chế thời gian nên luận thể tránh khỏi thiếu sót Vì thế, mong nhận ý kiến đóng góp q thầy cơ, bạn bè đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện ... chất, phân loại dạng tích phân, tích phân suy rộng số ứng dụng giải toán THPT Đối tượng phạm vi nghiêm cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu tích phân, phương pháp tính tích phân hàm đặc biệt ứng. .. Giải phương trình, bất phương trình tích phân Dạng 1: Giải phương trình tích phân Dạng 2: Bất phương trình tích phân 1.7 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 1.7.1 Tích phân suy rộng loại (Trường hợp cận lấy tích. .. Luận văn Tích phân ứng dụng giải tốn THPT” thực số vấn đề sau đây: -Trình bày kiến thức tích phân : định nghĩa, tính chất định lý tích phân - Một số phương pháp tính tích phân - Tích phân hàm