Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng

Em xin khẳng định kết quả của đề tài "Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng vào giải toán hình học phẳng" là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân, không có sự trù

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Đoàn Thị Thúy

PHÉP VỊ TỰ, PHÉP TỊNH TIẾN VÀ ỨNG TRONG TRONG GIẢI TOÁN

HÌNH HỌC PHĂNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Đoàn Thị Thúy

PHÉP VỊ TỰ, PHÉP TỊNH TIẾN VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN

HÌNH HỌC PHẲNG

Chuyên ngành: Hình Học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội – Năm 2016

Lời cảm ơn

Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo em trong suốt thời gian theo học tại khoa và trong thời gian làm khóa luận.

Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Nguyễn Năng Tâm - Giảng viên Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, người trực tiếp hướng dẫn em, luôn tận tâm chỉ bảo và định hướng cho em trong suốt quá trình làm khóa luận để em có được kết quả như ngày hôm nay.

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót rất mong được

sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và bạn đọc.

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016

Sinh viên Đoàn Thị Thúy

Lời cam đoan

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Năng Tâm.

Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này em đã tham khảo một

số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.

Em xin khẳng định kết quả của đề tài "Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng vào giải toán hình học phẳng" là kết quả của việc nghiên cứu, học tập

và nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016

Sinh viên Đoàn Thị Thúy

Mục lục

1.1 Phép biến hình trong mặt phẳng 1

1.1.1 Định nghĩa phép biến hình (xem [1]) 1

1.1.2 Sự xác định phép biến hình (xem [1]) 1

1.1.3 Tích của hai phép biến hình (xem [1]) 2

1.2 Phép dời hình trong mặt phẳng 2

1.2.1 Định nghĩa phép dời hình (xem [1]) 2

1.2.2 Tính chất của phép dời hình (xem [1]) 2

1.3 Phép tịnh tiến trong mặt phẳng 3

1.3.1 định nghĩa phép tịnh tiến (xem [1]) 3

1.3.2 Các tính chất của phép tịnh tiến (xem [1]) 4

1.3.3 Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến (xem [1]) 5 1.4 Phép vị tự 5

1.4.1 Định nghĩa phép vị tự (xem [1]) 5

1.4.2 Các trường hợp đặc biệt (xem [1]) 6

1.4.3 Tính chất của phép vị tự (xem [1]) 6

1.4.4 tích của hai phép vị tự (xem [1]) 7

2 Ứng dụng phép tịnh tiến và phép vị tự vào giải toán

2.1 Bài toán chứng minh 82.1.1 Bài toán chứng minh 82.1.2 Giải bài toán chứng minh nhờ sử dụng phép biến

hình 92.1.3 Khai thác bài toán chứng minh nhờ sử dụng

phép biến hình 92.2 Bài toán tính toán 202.2.1 Bài toán tính toán 202.2.2 Ứng dụng phép biến hình vào giải toán tính toán 202.2.3 Khai thác bài toán tính toán nhờ phép biến hình 212.3 Bài toán quỹ tích 302.3.1 Bài toán quỹ tích 302.3.2 Giải bài toán quỹ tích nhờ phép biến hình 302.3.3 Khai thác bài toán quỹ tích nhờ phép biến hình 312.4 Bài toán dựng hình 402.4.1 Bài toán dựng hình 402.4.2 Giải bài toán dựng hình nhờ phép biến hình 402.4.3 Khai thác bài toán dựng hình nhờ phép biến hình 41Tài liệu tham khảo 51

Lời mở đầu

Việc đưa nội dung các phép biến hình vào chương trình toán ở bậctrung học cơ sở và THPT không chỉ nhằm cung cấp cho học sinhnhững công cụ mới để giải toán mà còn tập trung cho học sinh làmquen với các phương pháp tư duy và suy luận mới, biết nhìn nhận sựviệc và các hiện tượng xung quanh trong cuộc sống với sự vận động vàbiến đổi của chúng để nghiên cứu, tìm tòi, khám phá, tạo cơ sở cho sự

ra đời của những phát minh và sáng tạo trong tương lai Thí dụ nhưtrước đây khi cần chứng minh hai tam giác nào đó bằng nhau, họcsinh thường phải chứng minh cạnh và góc của hai tam giác đó thỏamãn các điều kiện được nêu ra trong các định lý nói về hai tam giácbằng nhau

Sau khi học các phép biến hình trong mặt phẳng người ta có thểđịnh nghĩa sự bằng nhau của hai tam giác và tổng quát hơn đối vớihai hình phẳng bất kì như sau: " Hình H được gọi là bằng hình H’ nếu

có một phép dời hình trong mặt phẳng biến hình H thành hình H’.Như vậy, khái niệm "bằng nhau" của hai hình phẳng được xây dựngdựa trên khái niệm về phép dời hình là một phép biến hình

Dựa trên các mối quan hệ và các bất biến của các thứ hình họckhác nhau đó, người ta có thể tìm ra các phương pháp và công cụkhác nhau để giải một bài toán Ngoài ra có thể dựa vào một bài toán

cụ thể nào đó với phép biến hình chúng ta còn có khả năng tạo ra các

bài toán mới khác nhau và đây là một việc làm mang lại nhiều hứngthú trong việc tìm tòi nghiên cứu hình học học Hơn nữa việc lựa chọncác công cụ thích hợp trong mỗi loại toán hình học khác nhau là mộtviệc làm cần thiết giúp chúng ta tiết kiệm được thời gian và công sứcgiải toán.

Xuất phát từ nhận thức trên và lòng ham mê môn học với sự hướngdẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS.Nguyễn Năng Tâm , em mạnhdạn chọn đề tài: “Phép tịnh tiến, phép vị tự và ứng dụng vàogiải toán hình học phẳng” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp củamình

Khóa luận được trình bày trong hai chương:

• Chương 1: Kiến thức chuẩn bịTrong chương này trình bày một số kiến thức về phép tịnh tiến

và phép vị tự bao gồm định nghĩa, tính chất và một số chú ýquan trọng

• Chương 2: ứng dụng của phép vị tự, phép tịnh tiến vào giải toánhình học phẳng

Trong chương này trình bày một số kiến thức về ứng dụng củaphép vị tự và phép tịnh tiến vào giải bài toàn chứng minh, bàitoán tính toán, bài toán dựng hình và bài toán quỹ tích

Do là lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn và năng lựcbản thân còn hạn chế nên chắc chắn bài nghiên cứu này khó tránhkhỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được những đóng góp, ý kiến

của các thầy cô và bạn đọc để đề tài này được hoàn chỉnh và đạt kếtquả cao hơn.

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016

Sinh viênĐoàn Thị Thúy

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về phép tịnh tiến vàphép vị tự bao gồm định nghĩa, tính chất, một số chú ý quan trọngnhằm thuận tiện cho việc trình bày ở các mục sau

1.1.1 Định nghĩa phép biến hình (xem [1])

Một song ánh f : P → P từ tập điểm của P lên chính nó được gọi làphép biến hình của mặt phẳng

- Quy tắc f còn được xác định bởi biểu thức liên hệ giữa tọa độ(x; y) của điểm M với tạo độ (x0; y0) của điểm M0 = f (M ) đối với hệtọa độ Oxy cho trước nào đó.

1.1.3 Tích của hai phép biến hình (xem [1])

Nếu ta dùng một phép biến hình f : P → P để biến một điểm Mbất kì của P thành một điểm M’ rồi lại dùng phép biến hình thứ hai

1.2.1 Định nghĩa phép dời hình (xem [1])

Một phép biến hình f : P → P được gọi là một phép dời hình nếutrong mặt phẳng P với hai điểm M, N bất kì và hai ảnh của chúng lầnlượt là M’ = f (M); N’ = f (N) ta luôn có M’N’ = MN

1.2.2 Tính chất của phép dời hình (xem [1])

Tính chất 1

Phép dời hình biến ba điểm A,B,C thẳng hàng với B nằm giữa A và

C thành ba điểm A’,B’,C’ thẳng hàng với B’ nằm giữa A’ và C’

Hệ quả 1.1 Phép dời hình biến một đường thẳng thành một đườngthẳng, biến tia thành tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng

bằng nó.

Hệ quả 1.2 Phép dời hình biến một tam giác thành một tam giácbằng nó, biến một góc thành một góc bằng nó, biến một đường trònthành một đường tròn bằng nó với tâm đường tròn này thành tâmđường tròn kia

Tính chất 5

Nếu ABC và A0B0C0 là hai tam giác bằng nhau thì phép dời hình biếntam giác ABC thành tam giác A0B0C0

1.3.1 định nghĩa phép tịnh tiến (xem [1])

Trong mặt phẳng P cho vectơ −→v , phép biến hình biến mỗi điểm Mthành điểm M’ sao cho vectơ −−→

MM0 = −→v gọi là phép tịnh tiến theovectơ −→v và được kí hiệu T−→.

Vectơ −→v gọi là vectơ tịnh tiến Ta có T−→

v(M) = M0Định lý 1.3.1 Phép tịnh tiến là một phép dời hình

1.3.2 Các tính chất của phép tịnh tiến (xem [1])

Định lý 1.3.2 Phép tịnh tiến là một phép dời hình nên nó có đầy đủcác tính chất của phép dời hình

Định lý 1.3.3 Nếu phép tịnh tiến theo vectơ −→v 6= −→0 biến điểm Mthành điểm M’ thì ta cũng có phép tịnh tiến biến điểm M’ thành điểm

M với vectơ tịnh tiến là −−→v Như vậy ta có T−1

−

→v = T−−→v Ta suy ra

T−−→v.T− →v = e (phép đồng nhất)

Định lý 1.3.4 Qua phép tịnh tiến vectơ −→v 6= −→0 thì các đường thẳngnhận vectơ −→v làm vectơ chỉ phương đều biến thành chính nó.

Định lý 1.3.5 Tích của hai phép tịnh tiến T− →v và T− →

v0 là một phéptịnh tiến với vectơ tịnh tiến bằng −→v +−→v0

Định lý 1.3.6 Phép tịnh tiến hoàn toàn được xác định nếu ta biếtđược vectơ tịnh tiến −→v của nó.

1.3.3 Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến (xem [1])

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép tịnh tiến theo vectơ

−

→v Biết tọa độ của vectơ −→v là (a;b).

Giả sử điểm M(x;y) biến thành điểm M’(x’;y’)Khi đó ta có:

OM được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k Phép biến hình này được

kí hiệu là VOk Điểm O gọi là tâm vị tự, số k gọi là tỉ số vị tự

Như vậy, phép vị tự sẽ được xác định khi biết tâm vị tự và tỉ số vị

- Nếu tỉ số vị tự k = -1, khi đó −−→

OM0 = - −−→

OM tức là đoạn thẳngMM’ nhận O làm trung điểm, lúc đó phép vị tự là phép đối xứng tâm

Tính chất 2

Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng

Tính chất 3

Phép vị tự biến một đường tròn thành một đường tròn

1.4.4 tích của hai phép vị tự (xem [1])

- Tích của hai phép vị tự cùng nhận O làm tâm và có tỉ số vị tự lầnlượt là k1 , k2 là một phép vị tự tâm O có tỉ số vị tự k = k2 ◦ k1

OM00 = k −−→

OM với k = k2 ◦ k1

Chương 2

Ứng dụng phép tịnh tiến và phép

vị tự vào giải toán hình học phẳng

Chương này chúng ta trình bày ứng dụng của phép vị tự và phép tịnhtiến vào giải bài toán chứng minh, bài toán tính toán, bài toán tìmquỹ tích và bài toán dựng hình trong hình học phẳng

2.1.1 Bài toán chứng minh

Bài toán chứng minh được chứa đựng trong hầu hết bài toán hình họcnhư: bài toán tính toán, bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình

Đó là các bài toán cần chỉ ra mệnh đề "A ⇒ B" là đúng, trong đó

A là giả thiết, B là kết luận

Ta xuất phát từ giả thiết A và những mệnh đề đúng đã biết bằngnhững lí luận chặt chẽ và suy luận logic, dựa vào các định nghĩa, cáctính chất, các định lý của đối tượng toán học để đi đến kết luận B

2.1.2 Giải bài toán chứng minh nhờ sử dụng phép biến hìnhGiải một bài toán hình học phẳng nhờ sử dụng phép biến hình nóichung gồm ba thao tác chính:

- Lựa chọn phép biến hình

- Thực hiện phép biến hình

- Rút ra kết luận của bài toán

Nhờ phép biến hình, thông qua việc dựng các hình phụ ta có thểmang những điều kiện đã cho của bài toán và những hình liên quanđến việc chứng minh vốn rời rạc nhau thành một hình mới làm chochúng có quan hệ với nhau giúp việc chứng minh được tiến hành thuậnlợi Cũng có thể từ các tính chất của phép biến hình ta có thể chứngminh được các kết quả về tính đồng quy, thẳng hàng, sự bằng nhaucủa các góc, của các tam giác, các đường tròn

2.1.3 Khai thác bài toán chứng minh nhờ sử dụng phép biến

hình

Ta có thể nêu ra một số phương hướng đề xuất một bài toán từ bàitoán đã cho như sau: - Từ bài toán ban đầu có thể biểu diễn dưới dạngmệnh đề "A ⇒ B" Qua một phép biến hình f mệnh đề trên tươngứng thành "A0 ⇒ B0"

Lợi dụng tính 1 − 1 của phép biến hình và cách suy luận khi chứngminh, ta có thể xem mệnh đề đảo "B ⇒ A" có đúng không, nếu đúng

ta có thể ra cả bài toán điều kiện cần và đủ

- Thay đổi một vài điều kiện giả thiết, đặc biệt hóa, tương tự hóa,khái quát hóa của bài toán để ra bài toán mới

Xin minh họa sau đây bằng một vài bài toán sử dụng phép tịnhtiến và phép vị tự để giải bài toán chứng minh.

Bài tập 2.1 Chứng minh rằng một tứ giác có đường nối trung điểmhai cạnh đối diện bằng nửa tổng hai cạnh còn lại là hình thang Từkết quả vừa có suy ra điều kiện tương đương để một tứ giác là mộthình bình hành

Giải:

Hình 2.1:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC

Theo giả thiết, đường nối trung điểm của hai cạnh đối diện bằngnửa tổng hai cạnh còn lại

Tức là MN = 1

Giả sử E là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ −→

AB Tức là

CE = −→

AB

Suy ra ABEC là hình bình hành có hai đường chéo là BC và AE

Mà N là trung điểm của BC ⇒ N cũng là trung điểm của AE.Trong tam giác AED có MN là đường trung bình

⇒ điều kiện tương đương để một tứ giác là hình bình hành là:

Tứ giác có hai đường nối trung điểm của hai cặp cạnh đối diệnbằng nửa tổng hai cạnh còn lại

Tức là P, N, Q, M lần lượt là trung điểm của AB, AD, DC, BCthỏa mãn:

Bài tập 2.2 Chứng minh tam giác có hai phân giác trong bằng nhau

là một tam giác cân

Giải:

Hình 2.2:

Cho tam giác ABC

• Xét trường hợp 1: cC2 > cA1.Xét hai tam giác ACF và tam giác AEC có:

• Trường hợp 2: cC2 < cA1.Tương tự như trên ta cũng có mâu thuẫn với giả thiết nên khôngthể có cC2 < cA1.

Vậy cC2 = cA1 ⇔ bC = bA

⇒ Tam giác ABC cân đỉnh B

Nhận xét: Trên đây là một cách giả nhờ vào phép biến hình cụthể là phép tịnh tiến giúp bài toán đơn giản hơn rất nhiều

Bài tập 2.3 Cho tam giác ABC và A’,B’,C’ lần lượt là trung điểmcủa các cạnh BC, CA, AB Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, O

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là trực tâm của tamgiác ABC Chứng minh ba điểm G, O, H thẳng hàng

Bài tập 2.4 Chứng minh rằng trong một tam giác ba điểm: trựctâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp thẳng hàng.

G : A → A0

AH → d

Với đường thẳng d đi qua A và vuông góc với BC

Suy ra d là trung trực của BC

V−

1 2

G : B → B0

BH → d0Với đường thẳng d’ đi qua B’ và vuông góc với AC

G (H) = O ⇒ −→

GO = −1

2

−−→GH

Bài tập 2.5 Cho ba vòng tròn bằng nhau cùng đi qua một điểm A.

Ba giao điểm còn lại của các vòng tròn là P, Q, R Chứng minh rằngđường tròn (PQR) bằng các vòng tròn đã cho

Giải:

Hình 2.5:

Gọi O1, O2, O3 lần lượt là tâm của ba đường tròn có bán kính là r.Các tứ giác AO1P O2, AO2QO3, AO3RO1 là hình thoi

⇒ AP và O1O2 cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường

AQ và O2O3 cắt nhau tại trung điểm J của mỗi đường

AR và O1O3 cắt nhau tại trung điểm K của mỗi đường

2 = r.

⇒ Đường tròn (PQR) bằng các đường tròn đã cho (đpcm)

2.2 Bài toán tính toán

2.2.1 Bài toán tính toán

Bài toán tính toán thường gặp: Trong hình học phẳng là bài toán tính

số đo góc, độ dài đoạn thẳng, diện tích hình phẳng, thiết lập các hệthức liên hệ

Gồm ba bước:

Bước 1: Xác định các yếu tố cần tính toán

Bước 2: Tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho trong giả thiết bàitoán với các yếu tố cần tính toán

Bước 3: Tiến hình tính toán theo các dữ kiện đã xác lập

2.2.2 Ứng dụng phép biến hình vào giải toán tính toánViệc tính toán các đại lượng hình học thường được tiến hình nhờcác hệ thức lượng trong các hình, đặc biệt là hệ thức lượng trong tamgiác và trong đường tròn Do đó ta cần quy các yếu tố đã cho và cácyếu tố cần tính toán thành các mối liên hệ giữa các yếu tố của cùngmột hình học nào đấy, chẳng hạn của cùng tam giác hay đường tròn

Có lẽ việc xác lập các mối liên hệ này là khâu then chốt để tìm ra đáp

số của bài toán và thường cũng là khâu khó khăn nhất

Đối với nhiều bài toán, việc khắc phục những khó khăn này đượcthực hiện nhờ dựng thêm các hình phụ thực chất là dựng ảnh của cácyếu tố đã cho của bài toán qua một phép biến hình nào đó thích hợpcủa bài toán trong số các phép biến hình của mặt phẳng đã học

2.2.3 Khai thác bài toán tính toán nhờ phép biến hình

Có thể nêu ra phương hướng đề xuất một bài toán mới từ một bàitoán đã cho: từ một vài điều kiện ban đầu ta có thể tính một vài yếu

tố còn lại, dùng một phép biến hình nào đó (vẽ thêm hình phụ) đểtạo ra hình mới Với hình mới có thể thêm một vài dữ kiện nào đó và

ra bài toán tính toán với hình mới này ta nhận được bài toán mới.Ngoài ra có thể thay đổi các điều kiện đã cho, hoặc xem xét cáctrường hợp tương tự, đặc biệt, tổng quát

Sau đây xin minh họa bằng một vài bài toán sử dụng phép tịnh tiến

và phép vị tự vào giải bài toán tính toán