Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN Đồn Thị Thúy PHÉP VỊ TỰ, PHÉP TỊNH TIẾN VÀ ỨNG TRONG TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHĂNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN Đồn Thị Thúy PHÉP VỊ TỰ, PHÉP TỊNH TIẾN VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG Chun ngành: Hình Học KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Hà Nội – Năm 2016 Lời cảm ơn Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy cô giáo Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tận tình giúp đỡ bảo em suốt thời gian theo học khoa thời gian làm khóa luận Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Nguyễn Năng Tâm - Giảng viên Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, người trực tiếp hướng dẫn em, tận tâm bảo định hướng cho em suốt q trình làm khóa luận để em có kết ngày hơm Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo, bạn sinh viên bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Đồn Thị Thúy Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐOÀN THỊ THÚY Lời cam đoan Khóa luận kết nghiên cứu thân em hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Trong nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài "Phép vị tự, phép tịnh tiến ứng dụng vào giải tốn hình học phẳng" kết việc nghiên cứu, học tập nỗ lực thân, khơng có trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Đoàn Thị Thúy i Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 1.4 Phép biến hình mặt phẳng 1.1.1 Định nghĩa phép biến hình (xem [1]) 1.1.2 Sự xác định phép biến hình (xem [1]) 1.1.3 Tích hai phép biến hình (xem [1]) Phép dời hình mặt phẳng 1.2.1 Định nghĩa phép dời hình (xem [1]) 1.2.2 Tính chất phép dời hình (xem [1]) Phép tịnh tiến mặt phẳng 1.3.1 định nghĩa phép tịnh tiến (xem [1]) 1.3.2 Các tính chất phép tịnh tiến (xem [1]) 1.3.3 Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến (xem [1]) Phép vị tự 1.4.1 Định nghĩa phép vị tự (xem [1]) 1.4.2 Các trường hợp đặc biệt (xem [1]) 1.4.3 Tính chất phép vị tự (xem [1]) 1.4.4 tích hai phép vị tự (xem [1]) ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỒN THỊ THÚY Ứng dụng phép tịnh tiến phép vị tự vào giải tốn hình học phẳng 2.1 Bài toán chứng minh 2.1.1 Bài toán chứng minh 2.1.2 Giải toán chứng minh nhờ sử dụng phép biến hình 2.1.3 2.2 2.3 2.4 Khai thác toán chứng minh nhờ sử dụng phép biến hình Bài tốn tính tốn 20 2.2.1 Bài tốn tính tốn 20 2.2.2 Ứng dụng phép biến hình vào giải tốn tính tốn 20 2.2.3 Khai thác tốn tính tốn nhờ phép biến hình 21 Bài tốn quỹ tích 30 2.3.1 Bài tốn quỹ tích 30 2.3.2 Giải toán quỹ tích nhờ phép biến hình 30 2.3.3 Khai thác tốn quỹ tích nhờ phép biến hình 31 Bài tốn dựng hình 40 2.4.1 Bài toán dựng hình 40 2.4.2 Giải tốn dựng hình nhờ phép biến hình 40 2.4.3 Khai thác tốn dựng hình nhờ phép biến hình 41 Tài liệu tham khảo iii 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỒN THỊ THÚY Lời mở đầu Việc đưa nội dung phép biến hình vào chương trình tốn bậc trung học sở THPT không nhằm cung cấp cho học sinh cơng cụ để giải tốn mà tập trung cho học sinh làm quen với phương pháp tư suy luận mới, biết nhìn nhận việc tượng xung quanh sống với vận động biến đổi chúng để nghiên cứu, tìm tịi, khám phá, tạo sở cho đời phát minh sáng tạo tương lai Thí dụ trước cần chứng minh hai tam giác nhau, học sinh thường phải chứng minh cạnh góc hai tam giác thỏa mãn điều kiện nêu định lý nói hai tam giác Sau học phép biến hình mặt phẳng người ta định nghĩa hai tam giác tổng quát hai hình phẳng sau: " Hình H gọi hình H’ có phép dời hình mặt phẳng biến hình H thành hình H’ Như vậy, khái niệm "bằng nhau" hai hình phẳng xây dựng dựa khái niệm phép dời hình phép biến hình Dựa mối quan hệ bất biến thứ hình học khác đó, người ta tìm phương pháp cơng cụ khác để giải tốn Ngồi dựa vào tốn cụ thể với phép biến hình cịn có khả tạo Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐỒN THỊ THÚY tốn khác việc làm mang lại nhiều hứng thú việc tìm tịi nghiên cứu hình học học Hơn việc lựa chọn cơng cụ thích hợp loại tốn hình học khác việc làm cần thiết giúp tiết kiệm thời gian cơng sức giải tốn Xuất phát từ nhận thức lịng ham mê mơn học với hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS.Nguyễn Năng Tâm , em mạnh dạn chọn đề tài: “Phép tịnh tiến, phép vị tự ứng dụng vào giải tốn hình học phẳng” để thực khóa luận tốt nghiệp Khóa luận trình bày hai chương: • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số kiến thức phép tịnh tiến phép vị tự bao gồm định nghĩa, tính chất số ý quan trọng • Chương 2: ứng dụng phép vị tự, phép tịnh tiến vào giải toán hình học phẳng Trong chương trình bày số kiến thức ứng dụng phép vị tự phép tịnh tiến vào giải toàn chứng minh, tốn tính tốn, tốn dựng hình tốn quỹ tích Do lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn lực thân cịn hạn chế nên chắn nghiên cứu khó tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp, ý kiến thầy bạn đọc để đề tài hoàn chỉnh đạt kết cao Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Đoàn Thị Thúy Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức phép tịnh tiến phép vị tự bao gồm định nghĩa, tính chất, số ý quan trọng nhằm thuận tiện cho việc trình bày mục sau 1.1 1.1.1 Phép biến hình mặt phẳng Định nghĩa phép biến hình (xem [1]) Một song ánh f : P → P từ tập điểm P lên gọi phép biến hình mặt phẳng 1.1.2 Sự xác định phép biến hình (xem [1]) Muốn xác định phép biến hình f : P → P ta cần nêu rõ quy tắc f cách xác định sau đây: - Quy tắc f xác định phép dựng hình mặt phẳng như: tìm giao điểm hai đường thẳng xác định đó, dựng đường thẳng qua điểm vng góc với đường thẳng cho trước Phép vị tự V2 = V (O; 2) : A → M B →B C →P Ta có k1 k2 = −1 = nên V1 ◦ V2 phép đối xứng tâm O V ◦ V1 : A → M B→N C→P Suy AM, BN, CP đồng quy trung điểm I đường I xác định hệ thức: − → − k2 −→ GI = GO − k1 k2 − −→ = GO 1 − (− 2) −→ = − GO −1 Suy I = VG (O) AB Mà O di động đường tròn (C; ) AB −1 ⇒ I di động VG (C; ) 37 (2.2) Bài tập 2.13 Cho hai đường thẳng a, b điểm C cố định Đường thẳng d có phương khơng đổi cắt a A, cắt b B a)Tìm tập hợp điểm trọng tâm tam giác ABC d thay đổi b) Tìm tập hợp điểm đỉnh thứ tư hình bình hành có hai cạnh liên tiếp CA CB Giải: Hình 2.8: Gọi G trọng tâm tam giác ABC M trung điểm cạnh AB Khi d thay đổi trung điểm M AB chạy đường thẳng m xác định sau: - Nếu đường thẳng a // b m // a, m // b Lấy vị trí d cắt a, b theo thứ tự A0 , B0 Trung điểm A0 B0 M0 đường thẳng m qua M0 - Nếu a ∩ b = {O}: + Nếu d qua O ⇒ M ≡ O 38 + Nếu d không qua O m qua O Suy đường thẳng m qua O −→ −−→ a) Ta có: CG = CM Suy VC3 : G → M Vậy tập hợp trọng tâm G đường thẳng m’ = VC3 (m) b) Gọi D đỉnh thứ tư hình bình hành M trung điểm CD −→ −−→ Ta có: CD = 2CM ⇒ D ảnh M qua phép vị tự V = VC2 Vậy tập hợp điểm D đường thẳng m” = VC2 (m) 39 2.4 2.4.1 Bài tốn dựng hình Bài tốn dựng hình Thơng thường tốn dựng hình thường giải theo bước: Bước (phân tích): Giả sử có hình cần dựng, từ thiết lập mối liên hệ yếu tố phải tìm yếu tố cho để suy cách dựng Bước (cách dựng): Chỉ hữu hạn có thứ tự phép dựng toán dựng cần phải thực để có hình cần dựng Bước (chứng minh): Là hình dựng bước thỏa mãn yêu cầu toán Bước (biện luận): Khẳng định toán có nghiệm, tốn vơ nghiệm, có nghiệm có nghiệm 2.4.2 Giải tốn dựng hình nhờ phép biến hình Phép biến hình tham gia tốn dựng hình chủ yếu bước phân tích Bước phân tích tốn dựng hình tóm tắt theo sơ đồ: H ⇐ H1 ⇐ H2 ⇐ ⇐ Hn−1 ⇐ Hn Có nghĩa là: Để dựng hình H ta dựng hình H1 Để dựng hình H1 ta dựng hình H2 Để dựng hình Hn−1 ta dựng hình Hn Trong hình Hn phải hình dễ dàng dựng nhờ phép dựng toán dựng hình biết giả thiết Vấn đề ta phải xác định phép biến hình f nói lên mối liên hệ hình H cần dựng hình Hi đó, sau 40 vào định nghĩa tính chất phép biến hình mà ta vẽ đường phụ, để đưa giả thiết đến hình cần dựng Sau số trường hợp thường áp dụng: Có thể di chuyển hình muốn dựng (hoặc phận hình muốn dựng) đến hình (hoặc phận hình) đơn giản nhờ phép biến hình để từ dẫn đến cách giải Hình cần dựng quy dựng điểm M Có thể xem điểm M giao điểm chung hình A hình B’ thu từ hình B nhờ phép biến hình 2.4.3 Khai thác tốn dựng hình nhờ phép biến hình Ta nêu số phương hướng đề xuất toán từ toán dựng hình cho sau: Cho (G) hình dựng dễ dàng dựng Qua phép biến hình f đó, (G) biến thành (H) Đề tốn dựng hình (H) Với tốn hình (H) dựng nhờ quy dựng số hữu hạn điểm Mi mà điểm giao hình cho (A) với hình (B’) ảnh hình (B) cho qua phép biến hình f đó, ta có tốn nhờ việc thay đổi hình (A) hình (B) Từ tốn cụ thể, xem xét số trường hợp đặc biệt, khái quát, tương tự Xin đưa số toán dựng hình sử dụng phép tịnh tiến phép vị tự 41 Bài tập 2.14 Trong mặt phẳng cho bốn đường thẳng: a, b, c, m đề cắt a, b Hãy dựng tam giác ABC có A, B, C thuộc đường thẳng a, b, c AB // m Giải: 1) Phân tích: Giả sử ta dựng tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: A ∈ a, B ∈ b, C ∈ c AB // m Gọi A’, B’ giao điểm m với a b Do AB // m nên ⇒ AB // A’B’ Mà a // b nên AA’ // BB’ −−→ −−→ Suy ABB’A’ hình bình hành ⇒ AA = BB 42 −−→ • Xét phép tịnh tiến theo vectơ AA , ta có: −→ : A → A T− AA B→B C→C Vì ABC ⇒ Vì A’B’ cố định nên ABC → ABC A’B’C’ A’B’C’ hồn tốn xác định 2) Cách dựng: - Dựng tam giác A’B’C’ thỏa mãn A’ ∈ d1 , B’ ∈ d2 - Qua C’ kẻ đường thẳng // d1 cắt d3 C - Xét phép tịnh tiến −→ : A → A T− CC B → B ⇒ ABC tam giác cần dựng 3) Chứng minh:  → −−→  − AC = A C AC = A C −−→ −−→ −−→ - Theo cách dựng ta có: AA = CC = BB ⇒ → −−→  − BC = B C BC = B C −→ −−→ AB = A’B’; AB = A B Mà ⇒ A’B’C’ ⇒ A’C’ = B’C’= A’B’ ⇒ AC = BC = AB ABC A ∈ d1 , B ∈ d2 ; C ∈ d3 AB //d4 43 ; 4) Biện luận: Bài tốn có nghiệm hình: ta dựng điểm C’ phía mặt phẳng bờ A’B’ thỏa mãn: 44 A’B’C’ Bài tập 2.15 Dựng tam giác cân biết góc đỉnh biết góc đỉnh α (α < 180◦ ) tổng đáy với đường cao thuộc đáy a cho trước Giải: 1) Phân Tích: Giả sử dựng tam giác ABC cân A thỏa mãn yêu cầu toán Trên AB lấy B’ = A, B Từ B’ kẻ B’C’ // BC ⇒ AB’C’ cân A Gọi AH’ đường cao tam giác AB’C’, AH đường cao tam giác ABC Theo Talet ta có: 45 AB AH AC BC = = = = k AB AH AC BC AH + B C = k ⇒ AH + BC ⇒ AH + BC = (AH + BC ) k Đặt AH’ + B’C’ = b ⇒ a = b k b ⇔k= a b AB = ⇒ AB a a ⇔ AB = AB’ b 2) Cách dựng: - Dựng góc xAy = α (α < 180◦ ) - Dựng AB’C’ cân A Bằng cách: + Dựng (A, r) với r > + (A, r) ∩ Ax = {B }, (A, r ) ∩ Ay = {C } Khi ta tính AH’ + B’C’ = b a - Dựng B = VAb (B’) a b C= VA (C’) ⇒ ABC tam giác cần dựng 3) Chứng minh: Vì AB’C’ cân nên suy ABC cân Ta có H’ trung điểm B’C’, AH’ đường cao tam giác AB’C’, AH đường cao ABC 46 a ⇒ H = VAb (H’), BC = a B’C’ b a ⇒ AH + BC = (AH + BC ) b a = b b = a 4) Biện luận: Bài tốn có nghiệm hình 47 (2.3) Bài tập 2.16 Trong mặt phẳng cho góc xOy đường trịn (C) Hãy dựng đường trịn (t) tiếp xúc với cạnh Ox, Oy (C) Giải: Hình 2.16 1) Phân Tích: Giả sử dựng đường tròn (t) tiếp xúc với hai cạnh Ox, Oy (C) cho trước (t) = (B) Gọi A tâm vị tự (B) (C) Qua phép vị tự V tâm A : V : (B) → (C) Ox→Ox O y → O y 48 Trong đó, O’x’, O’y’ tiếp tuyến (C) Do phép vị tự bảo tồn phương đường thẳng nên : O’x’// Ox, O’y’ // Oy Ngoài ra, V(O) = O’ nên OO’ qua A hay A giao điểm đường thẳng OO’ với (C) ( Do phép vị tự bảo tồn góc nên x O y = xOy ) 2) Cách dựng: Ta dựng tiếp tuyến O’x’, O’y’ (C) thứ tự song song với Ox, Oy cho x O y = xOy dựng A = OO’ ∩ (C) Xét phép vị tự tâm a, biến O’x’, O’y’ theo thứ tự thành Ox, oy Dựng ảnh (C) qua phép vị tự goị anhr (B) ⇒ (B) đường tròn cần dựng 3) Chứng minh: Dễ có (B) tiếp xúc với Ox, Oy Ngoài A tâm vị tự biến (C) → (B) Mà A lại thuộc (C) nên A thuộc (B) (B), (C) tiếp xúc A 4) Biện luận: Bài tốn có nghiệm hình (Do (B), (C) xác định ) 49 Kết luận Trên toàn nội dung đề tài "Phép vị tự, phép tịnh tiến ứng dụng vào giải tốn hình học phẳng " Trong khóa luận tốt nghiệp em trình bày hiểu biết cách hệ thống, rõ ràng số định nghĩa, tính chất ứng dụng phép vị tự, phép tịnh tiến vào giải tốn hình học phẳng Khóa luận đạt mục đích nhiệm vụ đề Tuy nhiên nội dung mẻ thời gian nghiên cứu hạn chế, phần lần thực khóa luận nên khơng tránh khỏi thiếu xót Em mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô giáo bạn sinh viên để khóa luận đầy đủ hồn thiện Trước kết thúc khóa luận này, lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy giáo Khoa Tốn, đặc biệt thầy giáo PGS.TS Nguyễn Năng Tâm tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! 50 Tài liệu tham khảo [1 ] Nguyễn Mộng Hy (1996), Các phép biến hình mặt phẳng NXB Giáo Dục [2 ] Hình học 11 nâng cao, NXB Giáo Dục [3 ] Bài tập hình học 11 nâng cao, NXB Giáo Dục [4 ] Đỗ Thanh Sơn, Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi tốn THPT PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG, NXB Giáo Dục 51 ... Chương Ứng dụng phép tịnh tiến phép vị tự vào giải tốn hình học phẳng Chương trình bày ứng dụng phép vị tự phép tịnh tiến vào giải toán chứng minh, tốn tính tốn, tốn tìm quỹ tích tốn dựng hình hình... bị Trong chương trình bày số kiến thức phép tịnh tiến phép vị tự bao gồm định nghĩa, tính chất số ý quan trọng • Chương 2: ứng dụng phép vị tự, phép tịnh tiến vào giải tốn hình học phẳng Trong. .. GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN Đồn Thị Thúy PHÉP VỊ TỰ, PHÉP TỊNH TIẾN VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG Chun ngành: Hình Học KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI