KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Giới thiệu phép biến hình
Ta gọi một tập hợp điểm khác rỗng là một hình
Muốn chỉ rằng một điểm 𝐴 thuộc về một hình 𝐹, người ta dùng ký hiệu 𝐴 ∈ 𝐹 hoặc
Giao của hai hình 𝐴 và 𝐵 là 𝐴 ∩ 𝐵
Hợp của hai hình 𝐴 và 𝐵 là 𝐴 ∪ 𝐵
Nếu mọi điểm của hình 𝐴 cũng thuộc hình 𝐵, thì hình 𝐴 được gọi là tập hợp con của hình 𝐵, ký hiệu là 𝐴 ⊂ 𝐵 hoặc 𝐵 ⊃ 𝐴.
2 Khái niệm phép biến hình
Tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng được ký hiệu là 𝑃 Mỗi hình 𝐻 trong mặt phẳng là một tập con của 𝑃, ký hiệu là 𝐻 ⊂ 𝑃 Định nghĩa 1.1 cho biết rằng một tập hợp 𝑃 không rỗng có thể có một phép biến hình, được định nghĩa là một song ánh từ 𝑃 vào chính nó.
Như vậy cho một phép biến hình 𝑓: 𝑃 ⟶ 𝑃 là cho một quy tắc để bất kỳ điểm
𝑀 thuộc 𝑃, ta tìm được một điểm 𝑀 ′ = 𝑓(𝑀) hoàn toàn xác định thỏa mãn hai điều kiện sau đây:
Nếu 𝑀, 𝑁 là hai điểm bất kỳ phân biệt của 𝑃 thì 𝑓(𝑀), 𝑓(𝑁) là hai điểm phân biệt của 𝑃
Trong phép biến hình 𝑓, mỗi điểm 𝑀′ thuộc tập 𝑃 luôn có một điểm tương ứng 𝑀 thuộc 𝑃 sao cho 𝑓(𝑀) = 𝑀′ Điểm 𝑀′ được gọi là ảnh của điểm 𝑀 qua phép biến hình 𝑓, trong khi điểm 𝑀 được xem là tạo ảnh của điểm 𝑀′ Nói cách khác, phép biến hình 𝑓 biến đổi điểm 𝑀 thành điểm 𝑀′, thể hiện qua mối quan hệ 𝑓(𝑀) = 𝑀′.
3 Tích của hai phép biến hình
𝑃 thành một điểm 𝑀′ rồi lại dùng tiếp một phép biến hình thứ hai 𝑔: 𝑃 ⟶ 𝑃 để biến 𝑀′ thành 𝑀 ′′ Ta có:
Khi đó phép biến hình ℎ biến 𝑀 thành 𝑀 ′′ gọi là tích của hai phép biến hình 𝑓 và 𝑔 được ký hiệu ℎ = 𝑔 𝑓 Ta có:
Nói chung tích 𝑔 𝑓 và tích 𝑓 𝑔 là hai phép biến hình khác nhau
4 Phép biến hình đảo ngược Định nghĩa 1.3 Trong mặt phẳng cho phép biến hình 𝑓 biến điểm 𝑀 thành điểm 𝑀 ′ Khi đó phép biến hình biến điểm 𝑀 ′ thành điểm 𝑀 gọi là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình 𝑓 đã cho
Ký hiệu 𝑓 −1 là phép biến hình đảo ngược của 𝑓 và 𝑓 −1 (𝑀 ′ ) = 𝑀 Mỗi phép biến hình 𝑓 có duy nhất một phép biến hình đảo ngược 𝑓 −1 và ta có: 𝑓 𝑓 −1 = 𝑓 −1 𝑓 =
𝐼𝑑 (với 𝐼𝑑 là phép biến hình đồng nhất)
5 Phép biến hình có tính chất đối hợp Định nghĩa 1.4 Cho phép biến hình 𝑓 biến điểm 𝑀 thành điểm 𝑀 ′ , sau đó thực hiện tiếp phép biến hình 𝑓 biến điểm 𝑀′ thành điểm 𝑀 ′′ Nếu 𝑀 ′′ trùng với 𝑀 thì ta nói phép biến hình 𝑓 có tính chất đối hợp
Các phần tử bất biến trong một phép biến hình
Điểm kép, hay còn gọi là điểm bất động, là điểm mà qua phép biến hình nào đó, ảnh hưởng của nó vẫn giữ nguyên là chính nó Hình 𝐻 được xem là hình kép nếu ảnh của mọi điểm trên 𝐻 cũng nằm trong chính 𝐻.
Trong phép đối xứng 𝒟(𝑂), tâm đối xứng 𝑂 là điểm duy nhất không thay đổi, và tất cả các đường thẳng đi qua 𝑂 đều giữ nguyên Ngược lại, trong phép đối xứng 𝒟(Δ), trục đối xứng Δ là hình cố định, trong khi mọi đường thẳng vuông góc với Δ vẫn không thay đổi.
Trong phép tịnh tiến 𝒯(𝑣⃗) theo vectơ 𝑣⃗ ≠ 0 ⃗⃗ thì không có điểm bất động nào, nhưng mọi đường thẳng có phương của 𝑣⃗ (tức song song với 𝑣⃗) đều là bất biến.
Định hướng
Trong toán học, các góc thường được định nghĩa với số đo không vượt quá 360 °, như góc nhọn, góc vuông và góc bẹt Tuy nhiên, trong thực tế, chúng ta cần mở rộng khái niệm này; ví dụ, khi bánh xe quay một vòng rưỡi, ta nói rằng nó quay một góc 540 °, và có thể thực hiện theo hai chiều khác nhau Việc định hướng cho góc trong mặt phẳng và không gian không chỉ giúp nghiên cứu hình học mà còn mang lại lợi ích cho nhiều lĩnh vực khác.
1 Định hướng trong mặt phẳng
Trong mặt phẳng ℝ 2 cho điểm 𝑂 cố định Khi đó xung quanh 𝑂 có hai chiều quay
Chiều quay ngược chiều kim đồng hồ được coi là chiều dương, trong khi chiều cùng chiều kim đồng hồ được xem là chiều âm Định nghĩa góc định hướng giữa hai tia 𝑂𝑥 và 𝑂𝑦 được đưa ra như sau: khi chọn tia đầu là 𝑂𝑥 và tia cuối là 𝑂𝑦, góc định hướng là hình được tạo ra khi tia 𝑂𝑥 quay quanh điểm 𝑂 cho đến khi trùng với tia 𝑂𝑦.
Khi chọn 𝛼 làm góc định hướng để quay tia 𝑂𝑥 trùng với tia 𝑂𝑦, ta có thể tiếp tục quay thêm nhiều vòng để đạt được sự trùng khớp này Tất cả các giá trị của các góc này được gọi là các giá trị của góc định hướng suy rộng (𝑂𝑥 ̅̅̅̅, 𝑂𝑦 ̅̅̅̅) Do đó, góc định hướng suy rộng có vô số giá trị và được ký hiệu tương ứng.
(𝑂𝑥 ̅̅̅̅, 𝑂𝑦 ̅̅̅̅) = 𝛼 + 𝑘2𝜋 (𝑘 ∈ ℤ) b Góc định hướng giữa hai đường thẳng Định nghĩa 1.8 Trong mặt phẳng 𝑃, cho hai đường thẳng 𝑎 và 𝑏 cắt nhau tại điểm 𝑂
Góc định hướng giữa hai đường thẳng 𝑎, 𝑏 là góc quay đường thẳng 𝑎 xung quanh điểm 𝑂 đến trùng đường thẳng 𝑏 Ký hiệu là (𝑎, 𝑏)
Khác với góc định hướng giữa hai tia, khi quay đường thẳng 𝑎 xung quanh điểm 𝑂 để trùng với đường thẳng 𝑏, ta nhận thấy rằng việc quay nửa vòng sẽ đưa đường thẳng 𝑎 trùng với đường thẳng 𝑏 một lần nữa Do đó, góc định hướng của hai đường thẳng 𝑎 và 𝑏 sẽ xác định sai khác một góc 𝑘𝜋 và được ký hiệu tương ứng.
2 Định hướng trong không gian Định nghĩa 1.9 Trong không gian cho đường thẳng Δ đã được định hướng Xung quanh Δ sẽ có hai chiều quay Nếu ta chọn một chiều là dương, một chiều là âm thì ta nói rằng ta đã định hướng được không gian.
Một số định nghĩa về góc giữa hai đối tượng
Trước khi khám phá tính bảo toàn của phép nghịch đảo, chúng ta cần hiểu một số định nghĩa cơ bản Định nghĩa 1.10 về góc giữa hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng 𝑑1 và 𝑑2, góc giữa chúng được ký hiệu là ∠(𝑑1, 𝑑2).
Nếu hai đường thẳng 𝑑1 và 𝑑2 cắt nhau, thì góc giữa chúng, ký hiệu là ∠(𝑑1, 𝑑2), sẽ là góc nhỏ nhất trong bốn góc tạo thành Định nghĩa 1.11 mô tả góc giữa đường thẳng và đường tròn: cho đường tròn (O) và đường thẳng d cắt (O) tại điểm M, góc giữa đường thẳng d và đường tròn (O) được xác định là góc giữa đường thẳng d và tiếp tuyến tại điểm M.
Góc giữa hai đường tròn (𝑂 1) và (𝑂 2) được xác định khi chúng cắt nhau tại điểm A Định nghĩa này chỉ rõ rằng góc giữa hai đường tròn là góc tạo thành bởi hai tiếp tuyến tại điểm A của (𝑂 1) và (𝑂 2).
Nếu (𝑂 1 ) và (𝑂 2 ) tiếp xúc nhau, góc giữa 2 đường tròn này bằng 0°
Nếu hai đường tròn có góc giao nhau bằng 90°, chúng được gọi là trực giao Định nghĩa góc giữa hai đường cong: cho hai đường cong 𝐶 1 và 𝐶 2 cắt nhau tại điểm A, nơi có tiếp tuyến, góc giữa hai tiếp tuyến này được xác định là góc giữa hai đường cong 𝐶 1 và 𝐶 2 tại điểm A.
Một số vấn đề liên quan đến đường tròn, mặt cầu
1 Phương tích của một điểm đối với một đường tròn Định nghĩa 1.14 Cho đường tròn (𝑂; 𝑅) và điểm 𝑀 cố định Đường thẳng Δ thay đổi qua
𝑀 cắt (𝑂) tại hai điểm 𝐴 và 𝐵
Tích 𝑀𝐴 ̅̅̅̅̅ 𝑀𝐵 ̅̅̅̅̅ gọi là phương tích của điểm 𝑀 đối với đường tròn (𝑂), ký hiệu: 𝒫 𝑀/(𝑂)
2 Trục đẳng phương của hai đường tròn Định lý 1.15 Cho hai đường tròn (𝑂, 𝑅) và (𝑂 ′ , 𝑅 ′ ) với 𝑂 không trùng 𝑂 ′ Quỹ tích những điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn đó là một đường thẳng Đường thẳng đó được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn đó
Chứng minh Gọi 𝑀 là điểm bất kỳ, 𝐻 là hình chiếu của 𝑀 trên 𝑂𝑂 ′ , gọi 𝐼 là trung điểm của 𝑂𝑂 ′ Ta có:
⇔ 2𝑀𝐼 ̅̅̅̅ 𝑂𝑂 ̅̅̅̅̅ = 𝑅 ′ 2 − 𝑅 ′2 ⇔ 2(𝑀𝐻 ̅̅̅̅̅ + 𝐻𝐼 ̅̅̅̅) 𝑂𝑂 ̅̅̅̅̅ = 𝑅 ′ 2 − 𝑅 ′2 Suy ra 𝐻 là một điểm cố định Vậy quỹ tích điểm 𝑀 chính là đường thẳng vuông góc với
Để dựng trục đẳng phương của hai đường tròn, chỉ cần xác định hai điểm của chúng hoặc một điểm duy nhất, với lưu ý rằng trục đẳng phương luôn vuông góc với đường nối tâm của hai đường tròn.
Nếu (𝑂) và (𝑂 ′ ) cắt nhau tại hai điểm 𝐴, 𝐵 thì trục đẳng phương của chúng là đường thẳng 𝐴𝐵
Nếu (𝑂) và (𝑂 ′ ) tiếp xúc với nhau tại 𝐴 thì trục đẳng phương của chúng là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó tại 𝐴
3 Hai đường tròn trực giao Định nghĩa 1.16 Hai đường tròn được gọi là trực giao với nhau tại một điểm chung 𝑀 của chúng nếu hai tiếp tuyến ở 𝑀 của hai đường tròn đó vuông góc với nhau Định lý 1.2 Cho hai đường tròn (𝑂, 𝑅)và (𝑂 ′ , 𝑅 ′ ) Khi đó các điều sau tương đương
Hai đường tròn (𝑂, 𝑅)và (𝑂 ′ , 𝑅 ′ ) trực giao với nhau tại 𝑀
Tiếp tuyến tại 𝑀 của đường tròn này đi qua tâm của đường tròn kia
Một đường thẳng qua tâm của một đường tròn cắt cả hai đường tròn theo hai cặp điểm liên hợp điều hòa
4 Phương tích của một điểm đối với mặt cầu Định nghĩa 1.17 Nếu từ một điểm 𝑀 cố định ta vẽ một cát tuyến thay đổi cắt mặt cầu
(𝑆) bán kính 𝑅 cho trước ở 𝐴 và 𝐵 thì tích 𝑀𝐴 ̅̅̅̅̅ 𝑀𝐵 ̅̅̅̅̅ là một số không đổi
Tích số 𝑀𝐴 ̅̅̅̅̅ 𝑀𝐵 ̅̅̅̅̅ được gọi là phương tích của điểm 𝑀 đối với mặt cầu (𝑆) và được ký hiệu là 𝒫 𝑀/(𝑆)
5 Chùm đường tròn a Định nghĩa Đường thẳng Δ gọi là trục đẳng phương của chùm đường tròn Vì Δ vuông góc với đường nối tâm của các cặp đường tròn của chùm nên tâm của tất cả các đường tròn đó phải nằm trên một đường thẳng Đường thẳng đó gọi là đường nối tâm của chùm b Các loại chùm đường tròn
Lấy một cặp đường tròn bất kỳ của một chùm đường tròn Ba trường hợp có thể xảy ra: chúng cắt nhau, tiếp xúc nhau hoặc không cắt nhau
Trường hợp 1: Giả sử hai đường tròn (𝑂, 𝑅) và (𝑂 ′ , 𝑅 ′ ) của chùm đường tròn cắt nhau tại 𝐴 và 𝐵
Trục đẳng phương của chùm là đường thẳng 𝐴𝐵, vì vậy mọi đường tròn trong chùm đều đi qua hai điểm 𝐴 và 𝐵 Đường nối tâm của chùm là trung trực của đoạn thẳng 𝐴𝐵, với 𝐴 và 𝐵 được gọi là hai điểm cơ sở của chùm.
Một chùm đường tròn như thế được gọi là chùm eliptic
Trường hợp 2: Giả sử hai đường tròn (𝑂, 𝑅) và (𝑂 ′ , 𝑅 ′ ) của chùm đường tròn tiếp xúc với nhau tại điểm 𝐴
Khi đó trục đẳng phương của chùm là đường thẳng Δ, tiếp xúc với hai đường tròn đó tại
𝐴 Suy ra mọi đường tròn của chùm đều tiếp xúc với Δ tại điểm 𝐴
Trường hợp 3: Giả sử hai đường tròn (𝑂, 𝑅) và (𝑂 ′ , 𝑅 ′ ) của chùm đường tròn không cắt nhau
Khi trục đẳng phương Δ không cắt hai đường tròn, nó cũng không cắt bất kỳ đường tròn nào trong chùm Gọi 𝐻 là giao điểm của Δ và đường tròn nối tâm 𝑂𝑂′, thì các tiếp tuyến 𝐻𝑇 từ 𝐻 tới bất kỳ đường tròn nào đều có độ dài bằng nhau Thêm vào đó, nếu xét đường tròn (𝐻, 𝑟) với 𝑟 = 𝐻𝑇, thì mọi đường tròn trong chùm đều trực giao với (𝐻, 𝑟).
Một chùm như vậy gọi là chùm hyperbolic
Hai giao điểm P, Q của đường tròn (H, r) với đường nối tâm của chùm hyperbolic được gọi là hai điểm tới hạn của chùm Lý do chúng có tên gọi này là vì tâm của mọi đường tròn thuộc chùm hyperbolic đều nằm trên đường nối tâm nhưng nằm ngoài đoạn thẳng PQ, tạo thành một đặc điểm quan trọng của chùm hyperbolic.
Chùm hyperbolic được xác định hoàn toàn khi biết hai điểm tới hạn 𝑃 và 𝑄 Mọi đường tròn trong chùm đều có tâm nằm trên đường thẳng 𝑃𝑄 và phải trực giao với đường tròn có đường kính 𝑃𝑄.
PHÉP NGHỊCH ĐẢO
Định nghĩa và các tính chất của phép nghịch đảo
1 Định nghĩa Đôi nét về định nghĩa:
Khi học ở trung học cơ sở, chúng ta đã gặp bài toán liên quan đến đường tròn (𝑂) và một điểm 𝐴 nằm ngoài đường tròn Trong bài toán này, ta vẽ tiếp tuyến 𝐴𝐾 từ điểm 𝐴 đến đường tròn (𝑂), trong đó 𝐾 là điểm tiếp xúc thuộc đường tròn Bên cạnh đó, một cát tuyến bất kỳ từ 𝐴 cắt đường tròn (𝑂) tại hai điểm 𝑀 và 𝑁 Từ đó, ta có mối quan hệ giữa độ dài của tiếp tuyến và cát tuyến, cụ thể là 𝐴𝐾² = 𝑀𝑁 × 𝑀𝐴.
Trong mặt phẳng Euclide, với một điểm cố định 𝑂 và một số thực 𝑘 khác không, bất kỳ điểm 𝑀 𝑂 nào nằm trên đường tròn (𝑂) đều có một điểm 𝑁 𝑂 khác cũng nằm trên đường tròn này và đồng thời nằm trên đoạn thẳng 𝐴𝑀 𝑂 Điều này dẫn đến mối quan hệ 𝐴𝑁 𝑂 = 𝐴𝐾².
Cho tương ứng mỗi điểm 𝑀 khác 𝑂 với một điểm 𝑀 ′ thuộc đường thẳng 𝑂𝑀 sao cho
𝑂𝑀 ̅̅̅̅̅ 𝑂𝑀′ ̅̅̅̅̅̅ = 𝑘 Phép tương ứng đó được gọi là phép nghịch đảo cực 𝑂, phương tích 𝑘 ( hay tỉ số 𝑘)
Ký hiệu của phép nghịch đảo cực 𝑂 phương tích 𝑘 được thể hiện qua 𝐼(𝑂, 𝑘) hoặc 𝐼 𝑂 𝑘, trong đó 𝐼(𝑀) = 𝑀′ hoặc 𝐼: 𝑀 ↦ 𝑀′ Một số tài liệu cũng sử dụng ký hiệu 𝑓(𝑂, 𝑘) Ký hiệu này chỉ ra rằng 𝑀′ là ảnh của 𝑀 qua phép nghịch đảo cực 𝑂 với phương tích 𝑘.
Tính chất 1: Cực nghịch đảo 𝑂 không có điểm tương ứng qua phép nghịch đảo
Vì thế phép nghịch đảo không phải là một phép biến hình của mặt phẳng Euclide
Khi bổ sung vào mặt phẳng Euclide một điểm gọi là “điểm vô tận”, ta tạo ra mặt phẳng mở rộng Điểm vô tận này được xem như là ảnh của điểm 𝑂 qua phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑘) Phép nghịch đảo trên mặt phẳng mở rộng là một song ánh, tức là một phép biến hình Khi điểm 𝑀 tiến gần đến 𝑂, ảnh của 𝐼(𝑀) sẽ dần xa 𝑂, cụ thể là nếu 𝑀 → 𝑂 thì 𝐼(𝑀) sẽ tiến tới vô cùng.
Gọi đường thẳng hợp với điểm vô tận là đường thẳng bổ xung và các đường tròn trong mặt phẳng được gọi là tập hợp đường tròn nghĩa rộng
Trong hình học, hai điểm \(M_1\) và \(M_2\) được gọi là đối xứng qua đường thẳng bổ sung \(d\) nếu chúng là hình ảnh của nhau qua phép đối xứng trục \(d\) Đặc biệt, điểm vô tận cũng được coi là đối xứng với điểm vô tận trong trường hợp này.
Trong hình học, hai điểm \(M_1\) và \(M_2\) được coi là đối xứng qua đường tròn \((O, R)\) nếu chúng là hình ảnh của nhau qua phép nghịch đảo với tâm \(O\) và phương tích \(k = R^2\) Qua phép nghịch đảo này, điểm \(O\) trở thành điểm vô tận, trong khi điểm vô tận lại trở thành cực.
𝑂, nên 𝑂 và điểm vô tận là đối xứng nhau qua (𝑂, 𝑅)
Tính chất 2: Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp
Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp vì 𝑂𝑃 ̅̅̅̅ 𝑂𝑃′ ̅̅̅̅̅ = 𝑘 = 𝑂𝑃′ ̅̅̅̅̅ 𝑂𝑃 ̅̅̅̅ Do đó 𝑃 = 𝐼(𝑃 ′ ) và ngược lại 𝑃 ′ = 𝐼(𝑃) Như vậy 𝐼 ∘ 𝐼(𝑃) = 𝑃 hay 𝐼 2 là một phép đồng nhất
Tính chất 3: Nếu hai điểm 𝑀 và 𝑀′ là tương ứng với nhau qua phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑘) thì 𝑀, 𝑀 ′ , 𝑂 thẳng hàng Điều này hiển nhiên đúng theo định nghĩa
Nếu \( k > 0 \), hai điểm \( M \) và \( M' = I(M) \) sẽ nằm cùng một phía so với điểm \( O \) Tập hợp các điểm kép của phép nghịch đảo \( I(O, k) \) tạo thành một đường tròn có tâm tại \( O \) và bán kính \( \sqrt{k} \) Đường tròn này được gọi là đường tròn nghịch đảo của phép nghịch đảo \( I(O, k) \).
Nếu điểm 𝑀 nằm ở miền trong của đường tròn nghịch đảo thì điểm 𝑀 ′ = 𝐼(𝑀) sẽ nằm ngoài đường tròn nghịch đảo và ngược lại
Giả sử điểm 𝑀 là điểm kép
Tập hợp điểm 𝑀 là điểm kép của phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑘), với 𝑘 > 0, tạo thành một đường tròn có tâm 𝑂 và bán kính √𝑘 Đường tròn này được gọi là đường tròn nghịch đảo của phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑘).
Với 𝑘 > 0 thì hai điểm 𝑀 và 𝑀′ là ảnh của 𝑀 qua phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑘) sẽ cùng nằm về một phía đối với điểm 𝑂
Với 𝑘 < 0 thì hai điểm 𝑀 và 𝑀′ là ảnh của 𝑀 quá phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑘) sẽ nằm khác phía đối với điểm 𝑂
Nếu 𝑘 < 0, hai điểm 𝑀 và 𝑀 ′ = 𝐼(𝑀) sẽ nằm ở hai phía khác nhau so với điểm 𝑂 Điều này dẫn đến việc không tồn tại điểm kép, và do đó không có đường tròn nghịch đảo khi 𝑘 < 0.
Đường tròn nghịch đảo của 𝐼(𝑂, 𝑘) khi 𝑘 < 0 được gọi là đường tròn thực, với tâm là một số thực và bán kính là một số ảo.
3 Các định lý Định lý 2.1 Nếu phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑘) có phương tích 𝑘 > 0 thì mọi đường tròn đi qua hai điểm tương ứng 𝑀 và 𝑀′ = 𝐼(𝑀) đều trực giao với đường tròn nghịch đảo của phép nghịch đảo đó
Theo giả thiết ta có 𝑂𝑀 ̅̅̅̅̅ 𝑂𝑀′ ̅̅̅̅̅̅ = 𝑘
Giả sử (C) là một đường tròn bất kì đi qua M và M'=I(M)
Nếu đường tròn nghịch đảo tâm O có bán kính 𝑅 = √𝑘, thì theo hệ thức (1), đường tròn (C) sẽ trực giao với đường tròn (O) Điều này dẫn đến kết luận rằng mọi đường tròn đi qua hai điểm M và M' (tạo thành một chùm đường tròn) đều trực giao với đường tròn nghịch đảo tâm O có bán kính 𝑅 = √𝑘.
Hệ quả của phép nghịch đảo với phương tích k>0 là mọi đường tròn trực giao với đường tròn nghịch đảo đều trở thành chính nó Định lý 2.2 nêu rõ điều kiện cần và đủ để hai điểm bất kỳ là ảnh của nhau trong phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑘) là tồn tại hai đường tròn đi qua hai điểm đó và cùng trực giao với đường tròn nghịch đảo của phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑘).
Chứng minh Điều kiện cần:
Gọi (𝑂 1 ), (𝑂 2 ) là hai đường tròn đi qua hai điểm A và A’
Theo tính chất ảnh của một điểm qua phép nghịch đảo, ta có ba điểm O, A, A' thẳng hàng và 𝑂𝐴 ̅̅̅̅ 𝑂𝐴′ ̅̅̅̅̅ = 𝑘
Do đó (𝑂 1 ) trực giao với đường tròn nghịch đảo tâm 𝑂
Tương tự (𝑂 2 ) cũng trực giao với đường tròn nghịch đảo tâm 𝑂
Chúng ta không chỉ có hai đường tròn đi qua hai điểm 𝐴 và 𝐴′ mà còn có một chùm đường tròn trực giao với đường tròn nghịch đảo Điều này cho thấy sự phong phú trong cấu trúc hình học của các đường tròn này, với điều kiện đủ để xác lập mối quan hệ giữa chúng.
Hai đường tròn (𝑂₁) và (𝑂₂) trực giao với đường tròn nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑘) (𝑘 > 0) và đi qua hai điểm 𝐴, 𝐴′ Do đường tròn nghịch đảo trực giao với (𝑂₁) và (𝑂₂), nên tâm 𝑂 của nó nằm trên trục đẳng phương 𝐴𝐴′ của (𝑂₁) và (𝑂₂), tức là ba điểm 𝑂, 𝐴, 𝐴′ thẳng hàng.
Ảnh của đường thẳng và đường tròn qua phép nghịch đảo
Để áp dụng phép nghịch đảo trong giải Toán, cần hiểu ảnh của các hình như đường thẳng và đường tròn Điểm đặc biệt trong phép nghịch đảo là cực nghịch đảo, vì vậy việc khảo sát vị trí của cực nghịch đảo so với các hình này là quan trọng Định lý 2.7 chỉ ra rằng, qua một phép nghịch đảo, ảnh của đường thẳng đi qua cực nghịch đảo sẽ là chính nó.
Cho 𝑂 là cực nghịch đảo và 𝑙 là một đường thẳng đi qua 𝑂 Trên đường thẳng 𝑙, lấy điểm 𝑀 và gọi 𝑀 ′ là ảnh của 𝑀 qua phép nghịch đảo
Khi 𝑀 ′ nằm trên tia 𝑂𝑀, điều này cho thấy 𝑀 ′ cũng thuộc đường thẳng 𝑙 Do đó, mọi điểm trên đường thẳng 𝑙 đều tương ứng với một điểm trên chính đường thẳng đó Thêm vào đó, 𝑀 ′ được coi là ảnh của
𝑀 qua phép nghịch đảo, từ đó ta được kết quả là, mọi điểm trên 𝑙 đều có ảnh trên 𝑙, qua phép nghịch đảo có cực 𝑂
Như vậy, qua một phép nghịch đảo, ảnh của một đường thẳng đi qua cực nghịch đảo là chính nó
Hoặc có thể viết như sau, Cho phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑘)
Từ định nghĩa, ta thấy ảnh của mọi điểm 𝑀thuộc đường thẳng 𝑙 đi qua cực nghịch đảo
Điểm 𝑀 ′ nằm trên đường thẳng 𝑙, dẫn đến việc 𝐼(𝑙) = 𝑙, và chúng ta gọi 𝑙 là đường thẳng kép của 𝐼 Theo Định lý 2.8, khi thực hiện phép nghịch đảo, ảnh của một đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo sẽ trở thành một đường tròn đi qua cực nghịch đảo.
Trước khi chứng minh định lý này, ta phát biểu và chứng minh một bổ đề hữu ích sau:
Bổ đề 1: Qua một phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑟 2 ), giả sử 𝑃 và 𝑄 có hai ảnh tương ứng là 𝑃′ và 𝑄′ Khi đó, 𝛥𝑂𝑃𝑄 ∼ 𝛥𝑂𝑄′𝑃′
Từ đó, ta viết lại thành:
Chú ý rằng, nếu ta muốn đề cập về dấu của các góc khi hai tam giác trên đồng dạng, thì hướng của chúng là ngược nhau Cụ thể là:
𝑚(𝑂𝑃′𝑄′ ̂ ) = −𝑚(𝑂𝑄𝑃 ̂ ); 𝑚(𝑂𝑄′𝑃′ ̂ ) = −𝑚(𝑂𝑃𝑄 ̂ ) với 𝑚 = 𝑚𝑒𝑎𝑠𝑢𝑟𝑒: số đo của góc
Trở lại với phần chứng minh Định lý 2.8
Xét phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑟 2 ) và đường thẳng 𝑙 không đi qua cực nghịch đảo 𝑂, như hình vẽ l
Từ 𝑂, hạ hình chiếu xuống đường thẳng 𝑙, ta gọi giao điểm giữa hai đường này là 𝑄 Lấy 𝑄′ là ảnh của 𝑄 qua phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑟 2 )
Trên đường thẳng 𝑙, ta chọn một điểm 𝑃 bất kỳ và không trùng với 𝑄 Lấy 𝑃′ tương ứng cũng là ảnh của 𝑃 qua phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑟 2 )
Khi quan sát hình vẽ, ta nhận thấy rằng khi các điểm trên đường thẳng 𝑙 di chuyển lên hoặc xuống xa điểm 𝑂, thì hình ảnh của chúng lại gần điểm 𝑂 hơn, và ngược lại Điều này dẫn đến dự đoán rằng hình ảnh của đường thẳng 𝑙 qua phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑟 2 ) sẽ không phải là một đường thẳng Bên cạnh đó, áp dụng Bổ đề 1, ta có mối quan hệ tỉ lệ giữa hai tam giác: 𝛥𝑂𝑃𝑄 ∼ 𝛥𝑂𝑄′𝑃′.
Suy ra, 𝑂𝑃̂ = 𝑂𝑄𝑃′𝑄′̂ = 90° Khi đó, điểm 𝑃′ nằm trên đường tròn 𝜔 với đường kính 𝑂𝑄′ Tổng quát, mọi điểm 𝑋′ trên đường tròn 𝜔 là nghịch đảo của một số điểm 𝑋 trên đường thẳng 𝑙.
Qua phép nghịch đảo, ảnh của một đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo trở thành đường tròn đi qua cực nghịch đảo Ngược lại, ảnh của một đường tròn đi qua cực nghịch đảo sẽ là một đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo.
Chúng ta sẽ chứng minh rằng, trái ngược với Định lý 2, nếu một đường tròn đi qua cực là hình ảnh của một đường thẳng không đi qua cực, thì một đường thẳng không đi qua cực cũng sẽ trở thành hình ảnh của một đường tròn đi qua cực.
Giả sử 𝑂 là cực của phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑟 2 ) Giả sử đường tròn (𝐶) đi qua cực 𝑂 và gọi 𝐴 là điểm đối xứng của 𝑂 qua tâm đường tròn (𝐶)
Gọi 𝐵 = 𝐼(𝐴) Ta lấy bất kỳ một điểm 𝑀 ∈ (𝐶), 𝑀 ≠ 𝐴 Khi đó, ta gọi 𝑁 = 𝐼(𝑀)
Ta có: 𝑂𝑀 𝑂𝑁 = 𝑟 2 = 𝑂𝐴 𝑂𝐵 nên suy ra bốn điểm 𝐴, 𝑀, 𝑁, 𝐵 cùng thuộc một đường tròn Vì bốn điểm 𝐴, 𝑀, 𝑁, 𝐵 cùng thuộc một đường tròn nên (𝐴𝐵, 𝐵𝑁) ̂ = (𝐴𝑀, 𝑀𝑁) ̂ hay 𝐴𝐵𝑁 ̂ = 𝐴𝑀𝑁 ̂
Mà, 𝐴𝑀𝑁 ̂ = 90 𝑜 nên 𝐴𝐵𝑁 ̂ = 90 𝑜 Do đó, quỹ tích của điểm 𝑁 là đường thẳng 𝑙 đi qua 𝐵 và vuông góc với 𝑂𝐴
Ảnh của một đường tròn (𝐶) đi qua cực 𝑂 là một đường thẳng 𝑙, không đi qua cực 𝑂 và vuông góc với đường kính xuất phát từ cực 𝑂 Theo định lý 2.10, qua phép nghịch đảo, ảnh của một đường tròn không đi qua cực nghịch đảo sẽ là một đường tròn không đi qua cực nghịch đảo.
Cho phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑟 2 ) và một đường tròn tâm 𝐾 không đi qua 𝑂, ta cần tìm ảnh của đường tròn (𝐾) qua phép nghịch đảo đã cho
Lấy một điểm 𝑀 trên đường tròn tâm 𝐾 và giả sử 𝑀′ = 𝐼(𝑀)
Ta có: 𝑂𝑀 𝑂𝑀′ = 𝑟 2 (1) Gọi 𝑝 là phương tích của điểm 𝑂 đối với đường tròn tâm 𝐾, ta có: 𝑂𝑀 𝑂𝑁 = 𝑝 (2)
Hệ thức trên chứng tỏ rằng 𝑀′ là ảnh của 𝑁 qua phép vị tự tâm 𝑂, tỉ số vị tự 𝜆 = 𝑘
𝑝 Khi điểm 𝑀 vạch nên đường tròn (𝐾) thì điểm (𝑁) cũng vạch nên đường tròn đó, còn điểm 𝑀′ là ảnh của 𝑀 trong phép vị tự 𝑉 𝑂 𝜆 vạch nên đường tròn (𝐾′)
Đường tròn (𝐾′) là hình ảnh của đường tròn (𝐾) qua phép vị tự 𝑉 𝑂 𝜆 Ảnh của đường tròn (𝐾) qua phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑟 2 ) cũng là đường tròn (𝐾′) Do điểm 𝑂 không nằm trên đường tròn (𝐾), nên điểm 𝑂 cũng không thuộc về đường tròn (𝐾′).
Ảnh của đường tròn (𝐾) trong phép vị tự 𝑉 𝑂 𝜆 trùng với ảnh của nó trong phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑟 2 ) Tuy nhiên, khi xem xét từng điểm, ảnh của một điểm 𝑀 qua phép vị tự 𝑉 𝑂 𝜆 và phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑟 2 ) không hoàn toàn giống nhau Ví dụ, như hình minh họa cho thấy.
Ảnh của mặt phẳng và mặt cầu qua phép nghịch đảo
Theo định lý 2.11, qua một phép nghịch đảo, ảnh của mặt phẳng đi qua cực chính là chính mặt phẳng đó Điều này được thể hiện rõ ràng trong định nghĩa Định lý 2.12 chỉ ra rằng, nếu mặt phẳng không đi qua cực, thì ảnh của nó qua phép nghịch đảo sẽ trở thành một mặt cầu đi qua cực Ngược lại, ảnh của một mặt cầu qua cực sẽ là một mặt phẳng không đi qua cực.
Giả sử chúng ta thực hiện nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑟 2 ) với mặt phẳng (𝑃) không đi qua điểm 𝑂 Gọi 𝐻 là hình chiếu vuông góc của 𝑂 lên mặt phẳng (𝑃) và 𝐻′ là ảnh của 𝐻 qua 𝐼(𝑂, 𝑟 2 ) Từ đó, ta có 𝑂𝐻 ⊥ (𝑃) Trên mặt phẳng (𝑃), chọn một điểm 𝐴 bất kỳ và gọi 𝐴′ là ảnh của 𝐴 qua 𝐼(𝑂, 𝑟 2 ).
Cho phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑟 2 ) và mặt cầu tâm 𝐾 đi qua điểm 𝑂 Gọi 𝐻′ = (𝐾) ∩ 𝑂𝐾 và 𝐻 = 𝐼(𝑂, 𝑟 2 )(𝐻′) Khi đó, 𝑂𝐴′𝐻′ ̂ = 90 𝑜 và bốn điểm 𝐴, 𝐴′, 𝐻, 𝐻′ cùng thuộc một mặt cầu Suy ra, 𝐴𝐻𝐻′ ̂ = 90 𝑜, điều này có nghĩa là điểm 𝐴 thuộc mặt phẳng (𝑃) đi qua điểm 𝐻 và vuông góc với 𝐻𝐻′.
Mặt khác, mặt phẳng (𝑃) không đi qua điểm 𝑂
Thông qua phép nghịch đảo, hình ảnh của mặt phẳng không đi qua cực trở thành mặt cầu đi qua cực, và ngược lại, hình ảnh của mặt cầu qua cực lại là mặt phẳng không đi qua cực Định lý 2.13 cho thấy rằng, qua phép nghịch đảo, hình ảnh của mặt cầu không đi qua cực vẫn là mặt cầu không đi qua cực.
Cho phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑟 2 ) và mặt cầu 𝑆 1 (𝑂 1 , 𝑟 1 ) Gọi giao điểm của đường thẳng 𝑂𝑂 1 với mặt cầu (𝑆 1 ) là 𝐴 và 𝐵 Gọi 𝐴′ = 𝐼 (𝑂,𝑟 2 ) (𝐴) và 𝐵′ = 𝐼 (𝑂,𝑟 2 ) (𝐵)
Trên 𝑆 1 lấy điểm 𝐼 bất kỳ và gọi 𝐼′ = 𝐼 (𝑂,𝑟 2 ) (𝐼) Khi đó, ta có: 𝑂𝐴′𝐼′ ̂ = 𝑂𝐼𝐴 ̂ , 𝑂𝐵′𝐼′ ̂ = 𝑂𝐼𝐵 ̂
Do đó: 𝐴𝐼′𝐵′ ̂ = 𝑂𝐵′𝐼′ ̂ − 𝑂𝐴′𝐼′ ̂ = 𝑂𝐼𝐵 ̂ − 𝑂𝐼𝐴 ̂ = 𝐴𝐼𝐵 ̂ = 90 𝑜 Suy ra, điểm 𝐼′ nằm trên mặt cầu (𝑆 2 ) đường kính 𝐴′𝐵′
Ngược lại, gọi điểm 𝐽′ bất kỳ nằm trên mặt cầu (𝑆 2 ), 𝐽 = 𝐼 (𝑂,𝑟 2 ) (𝐽′)
Trong bài viết này, ta có 𝐴′𝐽′𝐵′ ̂ = 90 𝑜 và chứng minh tương tự cho 𝐴𝐽𝐵 ̂ = 90 𝑜, từ đó suy ra điểm 𝐽 thuộc mặt cầu (𝑆 1 ) Theo định lý 2.14, hai mặt cầu tương ứng nghịch đảo có thể coi là vị tự của nhau.
Cho phép nghịch đảo đảo 𝑓(𝑂, 𝑟 2 ) và hai mặt cầu 𝑆 1 (𝑂 1 , 𝑟 1 ), 𝑆 2 (𝑂 2 , 𝑟 2 ) thỏa mãn 𝑓(𝑂, 𝑟 2 ): (𝑆 1 ) ↦ (𝑆 2 )
Trên (𝑆 1 ) lấy điểm 𝐼 bất kỳ, gọi 𝐼′ = 𝑓(𝐼) Gọi 𝐽 là giao điểm thứ hai của đường thẳng 𝑂𝐼′ và mặt cầu (𝑆 2 )
Ta có: 𝐵′𝐼′𝑂 ̂ = 𝑂𝐵𝐼 ̂ = 180 𝑜 − 𝐴𝐵𝐼 ̂ (1) Mặt khác, vì 𝐴′𝐵′𝐼′𝐽 là tứ giác nội tiếp nên ta có: 𝐵′𝐼′𝑂 ̂ = 180 𝑜 − 𝐵′𝐴′𝐽 ̂ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 𝐴𝐵𝐼 ̂ = 𝐵′𝐴′𝐽 ̂ Từ đó ta suy ra: 𝐵𝑂 ̂ = 𝐴′𝑂 1 𝐼 ̂ 2 𝐽 Vậy,
Do đó (𝑆 2 ) là ảnh của (𝑆 1 ) qua phép vị tự 𝑉 𝑂 𝜆
Hai mặt cầu tương ứng nghịch đảo được coi là vị tự của nhau, với tâm vị tự trùng với tâm của phép nghịch đảo Tỉ số vị tự giữa chúng bằng tỉ số của hai bán kính của các mặt cầu đã cho.
Sự bảo tồn góc qua phép nghịch đảo
Bổ đề cho phép nghịch đảo I(O,k) biến đường cong (𝐶 1) thành đường cong (𝐶 2) Nếu hai điểm 𝐴 1 và 𝐴 2 tương ứng trên hai đường cong này có các tiếp tuyến, thì các tiếp tuyến sẽ đối xứng qua đường trung trục của đoạn thẳng 𝐴 1𝐴 2.
Thật vậy, trên (𝐶 1 ), (𝐶 2 ) lần lượt lấy hai điểm 𝐵 1 , 𝐵 2 khác hai điểm 𝐴 1 , 𝐴 2
Do đó, bốn điểm 𝐴 1 , 𝐴 2 , 𝐵 1 , 𝐵 2 cùng nằm trên một đường tròn, gọi đường tròn đó là (C) và ta có:
Khi đó 𝐴 1 𝐵 1 , 𝐴 2 𝐵 2 của hai đường cong (𝐶 1 ), (𝐶 2 ) lần lượt biến thành các tiếp tuyến
𝐴 1 𝑡 và 𝐴 2 𝑡′ tại 𝐴 1 , 𝐴 2 Đường tròn (C) sẽ biến thành đường tròn (𝐶 ′ ) tiếp xúc với hai đường cong (𝐶 1 ), (𝐶 2 ) lần lượt tại 𝐴 1 , 𝐴 2
Vì thế 𝐴 1 𝑡 và 𝐴 2 𝑡′ sẽ là tiếp tuyến tại 𝐴 1 , 𝐴 2 của (𝐶 ′ ) tương ứng
Suy ra 𝐴 1 𝑡 và 𝐴 2 𝑡 ′ đối xứng với nhau qua đường trung trực đ của 𝐴 1 𝐴 2 Định lý: Phép nghịch đảo bảo toàn độ lớn của góc giữa hai đường cong
Cho hai đường cong (𝐶 1 ) và (𝐶 2 ) cắt nhau tại điểm A
Qua phép nghịch đảo I(O, k), hai đường cong (𝐶 1 ) và (𝐶 2 ) biến thành các đường cong (𝐶 1 ′ ) và (𝐶 2 ′ ), chúng cắt nhau tại điểm 𝐴’ = 𝐼(𝑂, 𝑘)(𝐴)
Theo bổ đề trên, các tiếp tuyến 𝐴𝑡, 𝐴 ′ 𝑡 ′ tại 𝐴 và 𝐴 ′ của (𝐶 1 ) và (𝐶 2 ) đối xứng với nhau qua đường trung trực 𝑑 của 𝐴𝐴 ′
Tương tự thì các tiếp tuyến 𝐴𝑣, 𝐴 ′ 𝑣 ′ tại 𝐴 và 𝐴 ′ của hai đường cong (𝐶 1 ) và (𝐶 1 ′ ) đối xứng nhau qua đường thẳng 𝑑
Do đó, hai góc (𝐴𝑡, 𝐴𝑣) và (𝐴 ′ 𝑡 ′ , 𝐴 ′ 𝑣 ′ ) đối xứng với nhau qua đường thẳng d, nên chúng sẽ có độ lớn hình học bằng nhau nhưng ngược hướng
Qua phép nghịch đảo, độ lớn của góc định hướng giữa hai đường tròn, góc giữa hai đường thẳng, và góc giữa đường thẳng và đường tròn vẫn giữ nguyên, nhưng hướng của chúng lại có sự thay đổi.
Biểu thức tọa độ của phép nghịch đảo
Cho phép nghịch đảo 𝐼 (𝑂,𝑘) Ta chọn một hệ tọa độ có gốc tọa độ trùng với cực 𝑂 của phép nghịch đảo Giả sử điểm 𝑀 = (𝑥, 𝑦) có ảnh là 𝑀 ′ = (𝑥 ′ , 𝑦 ′ )
𝑂, 𝑀, 𝑀 ′ thẳng hàng nên 𝑥 ′ = 𝜆𝑥, 𝑦 ′ = 𝜆 𝑦 Mặt khác 𝑂𝑀 ̅̅̅̅̅ 𝑂𝑀 ̅̅̅̅̅̅ = 𝑘 hay 𝑥𝑥 ′ ′ + 𝑦𝑦 ′ = 𝑘 nên ta suy ra:
Trong biểu thức trên ta có điều kiện 𝑥 2 + 𝑦 2 ≠ 0 tức là 𝑀 ≠ 𝑂 Nếu 𝑀 ≡ 𝑂 tức 𝑥 2 +
𝑦 2 = 0, ta xem 𝑥 ′ → ∞, 𝑦 ′ → ∞ và (∞, ∞) là tọa độ của điểm vô tận mà ta đã bổ sung vào mặt phẳng Euclide
Cho phép nghịch đảo 𝐼 (𝑂,𝑘) Ta chọn một hệ tọa độ có gốc tọa độ trùng với cực 𝑂 của phép nghịch đảo Giả sử điểm 𝑀 = (𝑥, 𝑦) có ảnh là 𝑀 ′ = (𝑥 ′ , 𝑦 ′ )
𝑂, 𝑀, 𝑀 ′ thẳng hàng nên 𝑥 ′ = 𝜆𝑥, 𝑦 ′ = 𝜆 𝑦 Mặt khác 𝑂𝑀 ̅̅̅̅̅ 𝑂𝑀 ̅̅̅̅̅̅ = 𝑘 hay 𝑥𝑥 ′ ′ + 𝑦𝑦 ′ = 𝑘 nên ta suy ra:
Trong biểu thức trên ta có điều kiện 𝑥 2 + 𝑦 2 ≠ 0 tức là 𝑀 ≠ 𝑂 Nếu 𝑀 ≡ 𝑂 tức 𝑥 2 +
𝑦 2 = 0, ta xem 𝑥 ′ → ∞, 𝑦 ′ → ∞ và (∞, ∞) là tọa độ của điểm vô tận mà ta đã bổ sung vào mặt phẳng Euclide
1 Ảnh của đường thẳng qua phép nghịch đảo
Cho phép nghịch đảo có biểu thức tọa độ (∗) Ta xét một đường thẳng 𝑎 có phương trình 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, 𝐴 2 + 𝐵 2 ≠ 0 (1)
Chú ý rằng phép nghịch đảo có tính chất đối hợp nên từ (∗) ta suy ra
Ta thay giá trị 𝑥, 𝑦 vào phương trình ảnh của đường thẳng 𝑎:
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐶 = 0 ⇒ 𝐴𝑘𝑥 ′ + 𝐵𝑘𝑦 ′ + 𝐶(𝑥 2 + 𝑦 2 ) = 0 (1 ′ ) Như vậy nếu 𝐶 ≠ 0, phương trình trên trở thành
𝐶 𝑦 ′ = 0, là một đường tròn đi qua gốc tọa độ, tâm 𝐼 ( −𝐴𝑘
2𝐶 | √𝐴 2 + 𝐵 2 Điểm vô tận của đường thẳng (1) biến thành điểm 𝑂 ′ của đường tròn (1 ′ )
Nếu 𝐶 = 0 thì phương trình (1 ′ ) cho ta đường thẳng trùng với đường thẳng 𝑎 ban đầu
2 Ảnh của đường tròn qua phép nghịch đảo
Giả sử ta có đường tròn (C): x 2 + 𝑦 2 + 2𝐴𝑥 + 2𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, 𝐴 2 + 𝐵 2 > 𝐶 (2) Qua phép nghịch đảo có biểu thức (∗) hoặc (∗∗) ta có phương trình ảnh của (𝐶) là:
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐶 = 0 hay 𝑘 2 + 2𝐴𝑘𝑥 ′ + 2𝐵𝑘𝑦 ′ + 𝐶(𝑥 2 + 𝑦 2 ) = 0 (2 ′ ) Khi 𝐶 = 0, phương trình (2 ′ ) cho ta một đường thẳng
Khi 𝐶 ≠ 0, phương trình (2 ′ ) cho ta một đường tròn Thật vậy, do 𝐶 ≠ 0 nên (2 ′ ) viết được là:
VI Cách dựng ảnh qua phép nghịch đảo
Giả sử ta có 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và đường tròn (𝑂, 𝑟) Phương pháp Compa giúp ta xác định được ảnh
𝑃 ′ của 𝑃 qua phép nghịch đảo với 𝑃 nằm ngoài đường tròn (𝑂, 𝑟) Cụ thể như sau:
Vẽ đường tròn tâm 𝑃 bán kính 𝑂𝑃, gọi 𝑄 là một giao điểm của (𝑃, 𝑂𝑃) và (𝑂, 𝑟)
Vẽ đường tròn tâm 𝑄 bán kính 𝑂𝑄, gọi 𝑃 ′ là giao điểm của (𝑄, 𝑂𝑄) và 𝑂𝑃
Khi đó 𝑃′ là ảnh của 𝑃 qua phép nghịch đảo
Với cách dựng hình như trên, ta có Δ𝑄𝑂𝑃 ′ cân tại 𝑄 và Δ𝑃𝑂𝑄 cân tại 𝑃, khi đó 𝑄𝑂𝑃 ̂ = ′
𝑄𝑃 ̂ ′ 𝑂 và 𝑃𝑂𝑄 ̂ = 𝑃𝑄𝑂 ̂ suy ra 𝑃𝑄𝑂 ̂ = 𝑄𝑃 ̂ ′ 𝑂 Như vậy Δ𝑂𝑄𝑃 ᔕ Δ𝑂𝑃 ′ 𝑄 theo trường hợp góc – góc, suy ra
Giả sử ta có đường tròn (𝑂, 𝑟) và điểm 𝑃 nằm ngoài đường tròn đó
Một phương pháp khác giúp xác định ảnh qua phép nghịch đảo bằng cách kết hợp sử dụng Compa và thước thẳng Cụ thể như sau:
Từ 𝑃, dựng hai tiếp tuyến 𝑃𝑆, 𝑃𝑇 tới đường tròn (𝑂, 𝑟)
Gọi 𝑃′ là giao điểm của 𝑆𝑇 và 𝑂𝑃
Khi đó 𝑃′ là ảnh của 𝑃 qua phép nghịch đảo
Do 𝑃𝑆 và 𝑃𝑇 là hai tiếp tuyến kẻ từ 𝑃 đến (𝑂, 𝑟) nên 𝑃𝑆 = 𝑃𝑇 ⇒ 𝑂𝑃 là trung trực của đoạn
𝑆𝑇 ⇒ 𝑂𝑃 ⊥ 𝑆𝑇 tại 𝑃 ′ Khi đó Δ𝑂𝑆𝑃 ′ ᔕ Δ𝑂𝑃𝑆 theo trường hợp góc – góc, suy ra
Để tìm điểm 𝑃 ′ từ điểm 𝑃 nằm trong đường tròn, ta có thể vẽ đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng 𝑂𝑃 tại 𝑃, cắt đường tròn (𝑂, 𝑟) tại hai điểm 𝑆 và 𝑇 Tiếp theo, vẽ hai tiếp tuyến từ các điểm 𝑆 và 𝑇 của đường tròn, và điểm giao nhau của hai tiếp tuyến này sẽ là 𝑃 ′ Như vậy, 𝑃 ′ chính là ảnh của 𝑃 qua phép nghịch đảo.
3 Phương pháp đường kính vuông góc Giả sử ta có đường tròn (𝑂, 𝑟) và điểm 𝑃 nằm ngoài đường tròn đó
Thêm một phương pháp khác giúp dựng ảnh của 𝑃 qua phép nghịch đảo kể cả khi 𝑃 nằm trong hoặc ngoài đường tròn Cụ thể như sau:
Vẽ đường kính 𝑆𝑇 vuông góc với 𝑂𝑃
Gọi 𝑄 là giao điểm của 𝑆𝑃 và đường tròn (𝑂, 𝑟)
Gọi 𝑃′ là giao điểm của 𝑇𝑄 và 𝑂𝑃
Với cách dựng hình như trên, ta có Δ𝑂𝑇𝑃 ′ vuông tại 𝑂 và Δ𝑄𝑃𝑃 ′ vuôn tại 𝑄 Từ đó ta chứng minh được Δ𝑂𝑇𝑃 ′ ᔕ Δ𝑂𝑃𝑆 theo trường hợp góc – góc, vậy
Thước vẽ hình nghịch đảo của một hình cho trước
Khi vẽ hình tròn bằng compa, chúng ta không cần một mô hình sẵn có, mà dựa vào thuộc tính cơ bản của đường tròn: tất cả các điểm trên đường tròn đều cách đều tâm một khoảng nhất định Điều này phản ánh định nghĩa của Euclid về đường tròn.
Có thể sử dụng một cây thước thẳng để vẽ một đường thẳng, nhưng để đảm bảo đường thẳng đó thực sự "thẳng", chúng ta cần áp dụng định nghĩa của Euclid Việc sử dụng compa không giúp ích nhiều trong việc xác định tính thẳng của đường.
Trong gần một thế kỷ, các nhà toán học và kỹ sư đã tìm kiếm giải pháp cho vấn đề xây dựng “đường thẳng – liên kết” nhưng không thành công cho đến năm 1864, khi sĩ quan quân đội Pháp Charles Nicolas Peaucellier phát minh ra một dụng cụ để dựng ảnh của một đường trong phép nghịch đảo Đáng chú ý, ông không công bố phát hiện của mình cho đến năm 1873, khi sinh viên Lipmann I Lipkin từ Đại học St.Petersburg trình diễn mô hình tương tự tại Triển lãm Thế giới ở Vienna Peaucellier đã công nhận những phát hiện độc lập của Lipkin và sau đó công bố chi tiết về khám phá của mình cùng bằng chứng toán học vào năm 1864.
Thước có 6 thanh, trong đó 4 thanh bằng nhau tạo thành hình thoi 𝐴𝐵𝐴′𝐶 với cạnh dài 𝑎 Tại điểm 𝐵 và 𝐶, có hai thanh 𝑂𝐵 và 𝑂𝐶 có độ dài bằng 𝑑, với điều kiện 𝑑 > 𝑎 Ba điểm 𝑂, 𝐴, 𝐴′ luôn thẳng hàng vì chúng nằm trên đường trung trực của đoạn 𝐵𝐶.
Gọi (𝐵) là đường tròn tâm 𝐵 đi qua 𝐴
Ta có phương tích của điểm 𝑂 đối với đường tròn tâm 𝐵 là:
𝒫 𝑂/(𝐵) = 𝑂𝐴 ̅̅̅̅ 𝑂𝐴 ̅̅̅̅̅ = 𝑂𝐵 ′ ̅̅̅̅ 2 − 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ 2 = 𝑘 với 𝑘 là một hằng số vì 𝑘 = 𝑑 2 − 𝑎 2
Biến chuyển động tròn thành chuyển động thẳng bằng cách cho điểm A di chuyển trên đường tròn (I) qua cực nghịch đảo O cố định Gắn một thanh IA với đầu I cố định nằm trên đường trung trực của đoạn OA, khi đó điểm A' sẽ vạch nên một đường thẳng.
Gọi 𝑁 là giao điểm của 𝑂𝐼 và đường tròn (𝐼) Gọi 𝐻 là chân đường vuông góc hạ từ 𝐴 ′ xuống 𝑂𝑁
Khi đó dễ thấy Δ𝑂𝐴𝑁 ᔕ 𝛥𝑂𝐻𝐴 ′ suy ra
2𝑟 Vậy 𝑂𝐻 không phụ thuộc vào vị trí điểm 𝐴 và 𝐴 ′ , nghĩa là 𝐴′ nằm trên 1 đường thẳng
Cách 2: Mặc dù phương pháp chứng minh trước đó đã đầy đủ, nhưng nó khá dài Chúng ta có thể áp dụng phép nghịch đảo để đạt được kết quả nhanh chóng hơn.
Các điểm 𝑂, 𝐴 và 𝐴′ thẳng hàng, với tích 𝑂𝐴.𝑂𝐴′ không thay đổi Dựa vào phép nghịch đảo, 𝐴 và 𝐴′ là cặp điểm nghịch đảo, trong đó 𝑂 là điểm cực nghịch đảo Khi 𝐴 di chuyển trên một đường tròn chứa 𝑂, 𝐴′ sẽ di chuyển trên một đường thẳng và ngược lại.
Mô hình Peaucelliar-Lipkin có ứng dụng quan trọng trong động cơ hơi nước, đặc biệt là trong động cơ dầm (beam engine) Đây là loại động cơ sử dụng dầm trên không với trục quay để truyền lực từ piston thẳng đứng đến thanh nối thẳng đứng, tạo ra hiệu suất hoạt động hiệu quả.
Mô hình 3D của “Động cơ hơi nước”
Mô hình thực tế của “Động cơ hơi nước”
Ảnh của một chùm đường tròn qua phép nghịch đảo
1 Chùm Eliptic Ta biết rằng tập hợp các đường tròn đi qua hai điểm 𝐴, 𝐵 phân biệt
Giả sử phép nghịch đảo cực 𝐴 phương tích 𝑘 biến điểm 𝐵 thành 𝐵 ′ nằm trên đường thẳng 𝐴𝐵, vì đường thẳng 𝐴𝐵 đi qua cực nghịch đảo 𝐴 và biến thành chính nó Do đó, chùm đường tròn đi qua hai điểm 𝐴 và 𝐵 qua phép nghịch đảo cực 𝐴 sẽ biến thành chùm đường thẳng đi qua điểm 𝐵 ′ = 𝐼 (𝐴,𝑘) (𝐵).
2 Chùm Parabolic Chùm parabolic là tập hợp các đường tròn cùng tiếp xúc với một đường thẳng 𝑑 cố định tại một điểm 𝐴 cố định
Nếu chọn tiếp điểm chung của các đường tròn làm cực nghịch đảo và với phương tích
𝑘 thì chùm parabolic sẽ biến thành tập hợp các đường thẳng song song Phép nghịch đảo cực
𝐴 biến những đường tròn đi qua cực và tiếp xúc với 𝑑 thành những đường thẳng vuông góc với 𝑑 Ta có nghĩa là 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ 𝐴𝐵′ ̅̅̅̅̅ = 𝑘
3 Chùm Hyperbolic Gọi 𝑃, 𝑄 là hai điểm giới hạn của chùm hyperbolic
Khi chọn một trong hai điểm giới hạn của chùm hyperbolic làm cực nghịch đảo, chùm hyperbolic sẽ chuyển thành một tập hợp các đường tròn đồng tâm Tất cả các đường tròn này có tâm chung là hình ảnh của điểm giới hạn còn lại.
Khi chọn 𝑄 làm cực nghịch đảo với phương tích 𝑘, ta có 𝑄𝑃 ̅̅̅̅ 𝑄𝑃 ̅̅̅̅̅ = 𝑘 Chùm hyperbolic qua phép nghịch đảo cực 𝑄 sẽ trở thành tập hợp các đường tròn trực giao với chùm đường thẳng đồng quy tại điểm 𝑃 ′ = 𝐼 (𝑄,𝑘) (𝑃).
MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG SỬ DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO
SỬ DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO
Phép nghịch đảo với những đặc tính nổi bật đã được ứng dụng hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán chứng minh, tìm quỹ tích và dựng hình trong hình học phẳng, từ đó thể hiện rõ sự ưu việt của nó trong việc giải toán.
Trong các bài toán hình học, việc chọn cực nghịch đảo là giao điểm của nhiều đường tròn là rất phổ biến Các tính chất liên quan đến phép nghịch đảo, như độ lớn của góc, tính trực giao của các đường, và sự tiếp xúc giữa các đường, đều là những bất biến quan trọng cần được chú ý.
Ta bắt đầu với một số bài toán quen thuộc, đã xuất hiện nhiều ở các kỳ thi trong nước.
Ứng dụng phép nghịch đảo trong bài toán chứng minh đẳng thức và tính toán
Theo định lý Ptolemy, một tứ giác lồi có thể nội tiếp được nếu và chỉ nếu tích của hai đường chéo bằng tích của các cạnh đối diện.
Cho tứ giác lồi 𝐴𝐵𝐶𝐷 nội tiếp đường tròn (𝑂) Ta cần chứng minh:
𝐴𝐶 𝐵𝐷 = 𝐴𝐵 𝐶𝐷 + 𝐵𝐶 𝐴𝐷 Xét 𝑓 là một phép nghịch đảo cực 𝐷 phương tích 𝑘 biến 𝐴, 𝐵, 𝐶, và (𝑂) lần lượt thành 𝐴 ′ , 𝐵 ′ , 𝐶 ′ và đường thẳng 𝑑
Vì tứ giác 𝐴𝐵𝐶𝐷 nội tiếp đường tròn (𝑂) nên ba điểm 𝐴 ′ , 𝐵 ′ , 𝐶 ′ thẳng hàng và 𝐵 ′ nằm giữa 𝐴 ′ và 𝐶 ′ Từ đó, suy ra
𝐷𝐵 𝐷𝐶 Nhân cả hai vế với 𝐷𝐴 𝐷𝐵 𝐷𝐶, ta được:
Giả sử tứ giác 𝐴𝐵𝐶𝐷 có 𝐴𝐶 𝐵𝐷 = 𝐴𝐵 𝐶𝐷 + 𝐵𝐶 𝐴𝐷 Ta cần chứng minh 𝐴𝐵𝐶𝐷 là tứ giác nội tiếp Xét 𝑓 là một phép nghịch đảo cực 𝐷 phương tích 𝑘 biến 𝐴, 𝐵, 𝐶 lần lượt thành
Theo giả thiết, ta có:
Chia cả hai vế với 𝐷𝐴.𝐷𝐵.𝐷𝐶
Do đó, \( A' C' = A' B' + B' C' \) cho thấy \( A', B', C' \) thẳng hàng với \( B' \) nằm giữa \( A' \) và \( C' \) Điều này chứng tỏ rằng \( A, B, C \) cùng nằm trên một đường tròn đi qua cực \( D \) Định lý này là một bài toán quen thuộc, và khi áp dụng phép nghịch đảo, định lý trở nên dễ hiểu hơn Bằng phương pháp này, chúng ta cũng có thể chứng minh định lý mở rộng của định lý Ptolemy.
Mở rộng Điều kiện cần và đủ để một đa giác lồi trên mặt phẳng 𝐴 1 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 , 𝑛 ≥ 4 nội tiếp được trong một đường tròn là
Bài toán 1.2 (Hệ thức Euler) Cho 4 điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 tùy ý nằm trên đường thẳng 𝑚 Gọi ảnh của 𝐴, 𝐵, 𝐶 trong phép nghịch đảo cực 𝐷, phương tích 𝑘 là 𝐴′, 𝐵′, 𝐶′ Chứng minh rằng ta luôn có: 𝐵′𝐶′ + 𝐶′𝐴′ + 𝐴′𝐵′ = 0
Bài toán 1.3 yêu cầu chứng minh rằng trong tam giác 𝛥𝐴𝐵𝐶 với đường tròn ngoại tiếp (𝑂, 𝑅) và đường tròn nội tiếp (𝐼, 𝑟), trọng tâm 𝐺 của tam giác được tạo bởi các điểm tiếp xúc của (𝐼) với các cạnh của 𝛥𝐴𝐵𝐶 thỏa mãn điều kiện 𝐼 ∈ 𝑂𝐺 và tỉ lệ 𝑂𝐼 𝐼𝐺 = 3𝑅 𝑟.
Gọi 𝑀, 𝑁, 𝑃 lần lượt là điểm tiếp xúc của (𝐼) với các cạnh 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 Giả sử 𝐷, 𝐸, 𝐹 lần lượt là trung điểm của các cạnh 𝑁𝑃, 𝑃𝑀, 𝑀𝑁
Xét phép nghịch đảo 𝑓(𝐼, 𝑘) với 𝑘 = 𝑟 2 , ta có:
Ta thấy (𝐷𝐸𝐹) là đường tròn 9 điểm (Euler) của 𝛥𝑀𝑁𝑃 Do vậy, gọi 𝑂′ là tâm của (𝐷𝐸𝐹), ta suy ra được 𝑂′, 𝐼, 𝑂 thẳng hàng
Mặt khác, 𝑂′ nằm trên đường thẳng Euler 𝐼𝐺 của 𝛥𝑀𝑁𝑃
Suy ra, ba điểm 𝑂, 𝐼, 𝐺 thẳng hàng
Vì (𝐷𝐸𝐹) là ảnh của (𝐴𝐵𝐶) qua phép nghịch đảo 𝑓(𝐼, 𝑘), nên (𝐷𝐸𝐹) cũng là ảnh của
(𝐴𝐵𝐶) qua phép vị tự tâm 𝐼, tỉ số 𝜆 1 = 𝑟 2
2𝑅 Hơn nữa, ta có 𝛥𝑀𝑁𝑃 là ảnh của 𝛥𝐷𝐸𝐹 qua phép vị tự tâm 𝐺, tỉ số 𝜆 2 = −2
Bài toán này thể hiện mối liên hệ giữa phép nghịch đảo và phép vị tự, mở ra nhiều phương pháp giải khác nhau Việc áp dụng mối liên hệ này giúp chúng ta có cái nhìn tự nhiên hơn khi tiếp cận vấn đề.
Bài toán 1.4 Cho phép nghịch đảo 𝐼(𝑂, 𝑘) và tam giác 𝐴𝑀𝐵 có các đỉnh không trùng với 𝑂
Trong mặt phẳng, cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 nội tiếp đường tròn (𝑂) Giả sử 𝑀 là một điểm nằm trong đường tròn (𝑂) Các đường thẳng 𝑀𝐴, 𝑀𝐵, 𝑀𝐶 lần lượt cắt đường tròn (𝑂) tại các điểm tương ứng.
Xét phép nghịch đảo cực 𝑀, phương tích 𝑘 = 𝒫 𝑀/(𝑂)
Mặt khác, theo công thức tính diện tích tam giác ta có
Trong bài tập 2 (Hong Kong 2017), cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 với điều kiện 𝐴𝐵 ≠ 𝐴𝐶 Đường tròn nội tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶 có tâm 𝐼 và tiếp xúc với cạnh 𝐵𝐶 tại điểm 𝐷 Đường thẳng 𝐴𝐼 cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶 tại điểm thứ hai 𝑀 Đường thẳng 𝑀𝐷 tiếp tục cắt (𝐴𝐵𝐶) tại điểm thứ hai 𝑃 Nhiệm vụ là tính góc 𝐴𝑃𝐼 ̂.
Bài tập 3 (Trung Quốc 2012) đề cập đến tam giác 𝐴𝐵𝐶 với góc 𝐴 là góc lớn nhất Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác, điểm 𝐷 và 𝐸 lần lượt là trung điểm của cung 𝐴𝐵𝐶 và 𝐴𝐶𝐵 Đường tròn 𝑐₁ đi qua 𝐴, 𝐵 và tiếp xúc với cạnh 𝐴𝐶 tại điểm 𝐴, trong khi đường tròn 𝑐₂ đi qua 𝐴, 𝐸 và tiếp xúc với 𝐴𝐷 tại điểm 𝐴 Gọi 𝐴 và 𝑃 là giao điểm của 𝑐₁ và 𝑐₂, cần chứng minh rằng đoạn thẳng 𝐴𝑃 là phân giác của góc 𝐵𝐴𝐶.
Ứng dụng phép nghịch đảo trong bài toán chứng minh thẳng hàng và đồng quy
Bài toán 2.1 Cho đường tròn (𝑂; 𝑅) nội tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶, tiếp xúc với các cạnh
𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 lần lượt tại 𝐴 1 , 𝐵 1 , 𝐶 1 Gọi 𝐴 2 , 𝐵 2 , 𝐶 2 là các giao điểm thứ hai của 𝐴𝐴 1 , 𝐵𝐵 1 , 𝐶𝐶 1 với (𝑂), 𝑀, 𝑁, 𝑃 lần lượt là trung điểm của 𝐵 1 𝐶 1 , 𝐶 1 𝐴 1 , 𝐴 1 𝐵 1 Chứng minh đường tròn ngoại tiếp các tam giác 𝑀𝐴 1 𝐴 2 , 𝑁𝐵 1 𝐵 2 , 𝑃𝐶 1 𝐶 2 đi qua 𝑂
Lời giải Để chứng minh đường tròn ngoại tiếp các tam giác 𝑀𝐴 1 𝐴 2 , 𝑁𝐵 1 𝐵 2 , 𝑃𝐶 1 𝐶 2 đi qua O
Ta chỉ ra có phép nghịch đảo cực 𝑂, phương tích 𝑘 nào đó biến các đường tròn này thành đường thẳng
Dễ thấy 𝐴, 𝑀, 𝑂 thắng hàng, ∆𝐴𝐵 1 𝑂 vuông tại 𝐵 1 , có đường cao 𝐵 1 𝑀 nên 𝑂𝑀 ̅̅̅̅̅ 𝑂𝐴 ̅̅̅̅ = (𝑂𝐵 1 ) 2 = 𝑅 2
⇒ 𝐼 𝑂 𝑅 2 : 𝑀 → 𝐴 Mặc khác (𝑂; 𝑅) là đường tròn nghịch đảo của 𝐼 𝑂 𝑅 2 nên mọi điểm của (𝑂) đều là điểm kép
Vậy đường tròn (𝑀𝐴 1 𝐴 2 ) có ảnh đi qua 𝐴, 𝐴 1 , 𝐴 2 Đây là một đường thẳng nên (𝑀𝐴 1 𝐴 2 ) phải đi qua cực 𝑂
Tương tự các đường tròn (𝑁𝐵𝐵 1 ), (𝑃𝐶𝐶 1 ) cũng đi qua 𝑂
Bài toán 2.2 Cho đường tròn (𝑂) đường kính 𝐵𝐶 Một điểm 𝐴 nằm ngoài đường tròn Gọi
𝐵 0 , 𝐶 0 là các giao điểm của 𝐴𝐶, 𝐴𝐵 với (𝑂) 𝐻 là trực tâm của ∆𝐴𝐵𝐶 Gọi 𝑀, 𝑁 lần lượt là các tiếp điểm của tiếp tuyến vẽ từ 𝐴 đến (𝑂) Chứng minh 𝐻, 𝑀, 𝑁 thẳng hàng
Để chứng minh rằng các điểm 𝐻, 𝑀, 𝑁 thắng hàng, ta cần chỉ ra rằng chúng là hình ảnh của ba điểm nằm trên một đường tròn đi qua cực trong một phép nghịch đảo nhất định.
Xét phép nghịch đảo cực 𝐴, phương tích 𝑘 = 𝐴𝑀 2 = 𝐴𝑁 2
Ta có 𝐼 𝐴 𝐴𝑀 2 : 𝑀 → 𝑀, 𝑁 → 𝑁 nên 𝐼 𝐴 𝐴𝑀 2 : (𝐴𝑀𝑁) → 𝑀𝑁 Gọi 𝐴 0 là ảnh của H trong phép nghịch đảo này Để chứng minh 𝐻, 𝑀, 𝑁 thẳng hàng ta cần chứng minh 𝐴 0 ∈ (𝐴𝑀𝑁)
Mà 𝐴𝐻 ̅̅̅̅ 𝐴𝐴 ̅̅̅̅̅ = 𝐴𝑁 0 2 = 𝐴𝐵 ̅̅̅̅̅ 𝐴𝐶 0 ̅̅̅̅ nên tứ giác 𝐴 0 𝐶𝐵 0 𝐻 nội tiếp ⇒ 𝐻𝐴 ̂ = 𝐶𝐵 0 𝐶 ̂ = 0 𝐻
90 𝑜 , do đó điểm 𝐴 0 nhìn đoạn 𝑂𝐴 dưới một góc vuông
Bài toán 2.3 yêu cầu chứng minh rằng ba đường thẳng 𝐴𝑀, 𝐷𝑁, 𝑋𝑌 đồng quy Cho bốn điểm phân biệt 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 trên một đường thẳng theo thứ tự, các đường tròn đường kính 𝐴𝐶 và 𝐵𝐷 cắt nhau tại hai điểm 𝑋, 𝑌 Đường thẳng 𝑋𝑌 cắt đoạn 𝐵𝐶 tại điểm 𝑍 Điểm 𝑃 nằm trên tia 𝑋𝑌 và bên ngoài đoạn thẳng 𝑋𝑌, trong khi đường thẳng 𝐶𝑃 cắt đường tròn đường kính 𝐴𝐶 tại điểm thứ hai 𝑀 và đường thẳng 𝐵𝑃 cắt đường tròn đường kính 𝐵𝐷 tại điểm 𝑁 Để chứng minh sự đồng quy của ba đường thẳng này, ta có thể áp dụng hai hướng chứng minh khác nhau.
- Chứng minh nó là ảnh của ba đường tròn trong phép nghịch đảo cực 𝑂, phương tích
𝑘 nào đó mà ba đường tròn đó có điểm chung 𝑀 khác 𝑂, khi đó ba đường thẳng này đồng quy tại 𝑀′ = 𝐼 𝑂 𝑘 (𝑀)
Chứng minh rằng hai đường thẳng là hình ảnh của hai đường tròn cắt nhau trong phép nghịch đảo tại cực O với phương tích k, trong khi đường còn lại đi qua cực O và là trục đẳng phương của hai đường tròn Khi đó, ba đường thẳng này sẽ đồng quy tại điểm I', là hình ảnh của giao điểm (khác cực) của hai đường tròn.
Gọi (𝐶 1 ), (𝐶 2 ) lần lượt là đường tròn đường kính 𝐴𝐶 và đường tròn đường kính 𝐵𝐷 và 𝐴′ = 𝑃𝐴 ∩ (𝐶 1 ), 𝐷′ = 𝑃𝐷 ∩ (𝐶 2 )
Do 𝑃 nằm trên 𝑋𝑌 ( trục đẳng phương của (𝐶 1 ) và (𝐶 2 ))
Xét phép nghịch đảo cực 𝑃, phương tích 𝑘 Ta có
Vì 𝐼 𝑃 𝑘 : 𝑋𝑌 ↦ 𝑋𝑌 nên để chứng minh 𝐴𝑀, 𝐷𝑁, 𝑋𝑌 đồng quy ta sẽ chứng minh XY là trục đẳng phương của hai đường tròn (𝑃𝐴 ′ 𝐶) và (𝑃𝐵𝐷 ′ ) Do
𝑃𝑍𝐶 ̂ = 𝑃𝐴 ̂ = 90° ⇒ 𝑍 ∈ (𝑃𝐴′𝐶) ′ 𝐶Tương tự 𝑍 ∈ (𝑃𝐵𝐷 ′ ) suy ra 𝑃𝑍 là trục đẳng phương của hai đường tròn (𝑃𝐴′𝐶) và
Bài tập 2.4 Cho ∆𝐴𝐵𝐶 là tam giác nhọn với 𝐴𝐷 và 𝐵𝐸 là hai đường cao cắt nhau tại H
Gọi M là trung điểm của đoạn AB Giả sử đường tròn ngoại tiếp ∆𝐷𝐸𝑀 và đường tròn ngoại tiếp ∆𝐴𝐵𝐻 cắt nhau tại 𝑃, 𝑄, trong đó 𝑃 cùng phía với 𝐴 so với 𝐶𝐻 Cần chứng minh rằng các đường thẳng 𝐸𝐷, 𝑃𝐻 và 𝑀𝑄 cắt nhau tại một điểm trên đường tròn ngoại tiếp ∆𝐴𝐵𝐶.
Lời giải Đường tròn (𝑀𝐷𝐸) là đường tròn 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟 của ∆𝐴𝐵𝐶
Xét phép nghịch đảo tâm H, phương tích k = HA ̅̅̅̅ HD ̅̅̅̅
⇒D là ảnh của 𝐴 qua phép nghịch đảo 𝐼 𝐻 𝑘 (1) Xét từ giác AEDB ta có: 𝐴𝐸𝐵 ̂ = 𝐴𝐷𝐵 ̂ = 90 𝑜
⇒AEDB là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm M đường kính AB
⇒ 𝐻𝐴 ̅̅̅̅ 𝐻𝐷 ̅̅̅̅ = 𝐻𝐵 ̅̅̅̅ 𝐻𝐸 ̅̅̅̅ ⇒ 𝐸 là ảnh của 𝐵 qua phép nghịch đảo 𝐼 𝐻 𝑘 (2) Chứng minh tương tự ảnh của 𝐶 là chân đường cao đỉnh 𝐶 (3)
Từ (1), (2), (3) ⇒ Ảnh của đường tròn (𝑀𝐷𝐸) qua phép nghịch đảo 𝐼 𝐻 𝑘 là (𝐴𝐵𝐶)
Từ (1), (2) ⇒ Ảnh của đường tròn (𝐻𝐴𝐵) qua phép nghịch đảo 𝐼 𝐻 𝑘 là đường thẳng 𝐷𝐸
Ta có 𝑃 là giao điểm của (𝑀𝐷𝐸) và (𝐴𝐻𝐵) nên ảnh của 𝑃 qua phép nghịch đảo 𝐼 𝐻 𝑘 là
𝐿 là giao điểm của đường thẳng 𝐷𝐸 và (𝐴𝐵𝐶)
⇒ 𝑃, 𝐻, 𝐿 thẳng hàng hay 𝑃𝐻 cắt 𝐷𝐸 tại điểm 𝐿
Ta có ảnh của đường tròn (𝑀𝐷𝐸) qua phép nghịch đảo 𝐼 𝐻 𝑘 là (𝐴𝐵𝐶)
⇒ Ảnh của M qua phép nghịch đảo 𝐼 𝐻 𝑘 là 𝑉 với 𝑉 là giao điểm (𝐴𝐵𝐶) và 𝑀𝐻 với 𝑉 nằm trái phía với 𝑀 qua 𝐻
⇒ 𝑀𝐻 ̅̅̅̅̅ 𝑀𝑉 ̅̅̅̅̅ = 𝑀𝐸 2 = 𝑀𝐴 2 Xét phép nghịch đảo tâm 𝑀, phương tích k′ = 𝑀𝐴 2
⇒ Đường tròn tâm 𝑀 bán kính 𝑀𝐴 là đường tròn nghịch đảo của phép nghịch đảo 𝐼 𝑀 𝑘 ′
Mà AEDB là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm M đường kính AB
⇒ Qua phép biến hình này các điểm 𝐴, 𝐵, 𝐸, 𝐷 giữ nguyên (4)
Ta có 𝑀𝐻 ̅̅̅̅̅ 𝑀𝑉 ̅̅̅̅̅ = 𝑀𝐸 2 = 𝑀𝐴 2 ⇒ 𝑉 là ảnh của 𝐻 qua phép nghịch đảo 𝐼 𝑀 𝑘 ′ (5)
Từ (4) ⇒ Ảnh của đường tròn (𝑀𝐷𝐸) qua phép nghịch đảo 𝐼 𝑀 𝑘 ′ là đường thẳng 𝐷𝐸
Từ (4), (5) ⇒ Ảnh của đường tròn (𝐴𝐻𝐵) qua phép nghịch đảo 𝐼 𝑀 𝑘 ′ là đường tròn (𝐴𝐵𝐶)
Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶, với 𝑋 là tâm đường tròn bàng tiếp góc 𝐴 và 𝐼 là tâm đường tròn nội tiếp Gọi 𝑀 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝐵𝐶𝐼, 𝐺 là hình chiếu của 𝑋 trên 𝐵𝐶 Đường tròn có đường kính 𝐴𝑋 cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶 tại điểm thứ hai 𝑃 Cần chứng minh rằng 𝑀, 𝐺, 𝑃 thẳng hàng.
Bài tập 2 Cho đường tròn (𝑂) đường kính 𝐴𝐵 𝑃 là một điểm trên tiếp tuyến của (𝑂) tại 𝐵;
(𝑃 khác 𝐵) Đường thẳng 𝐴𝑃 cắt (𝑂) lần thứ hai tại 𝐶 𝐷 là điểm đối xứng với 𝐶 qua 𝑂 Đường thẳng 𝐷𝑃 cắt (𝑂) lần thứ hai tại 𝐸 Chứng minh rằng 𝐴𝐸, 𝐵𝐶, 𝑃𝑂 đồng quy tại 𝑀
Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 nội tiếp đường tròn (𝑇) và ngoại tiếp đường tròn (𝐼) Một đường thẳng đi qua 𝐼 và vuông góc với 𝐶𝐼 cắt đoạn 𝐵𝐶 tại 𝑈 và cung (không chứa 𝐴) của (𝑇) tại 𝑉 Đường thẳng qua 𝑈 song song với 𝐴𝐼 cắt 𝐴𝑉 tại 𝑋, và đường thẳng qua 𝑉 song song với 𝐴𝐼 cắt 𝐴𝐵 tại 𝑌 Gọi 𝑊, 𝑍 lần lượt là trung điểm của 𝐴𝑋 và 𝐵𝐶 Chứng minh rằng nếu
𝐼, 𝑋, 𝑌 thẳng hàng thì 𝐼, 𝑊 và 𝑍 cũng thẳng hàng.
Ứng dụng phép nghịch đảo trong bài toán liên quan đến quỹ tích
Bài toán 3.1 đề cập đến một đường tròn cố định với tâm O và một dây cung cố định AB Khi điểm I di chuyển trên đường tròn O, điểm J được xác định là giao điểm thứ hai của các đường tròn đi qua I, tiếp xúc với đường thẳng AB tại hai điểm A và B Nhiệm vụ là xác định tập hợp các điểm J trong trường hợp này.
Gọi ( ) C và ( ) C ' là hai đường tròn đi qua M và tiếp xúc với AB tại A và B Đường thẳng
IJ là trục đẳng phương của ( ) C và ( ) C ' phải đi qua trung điểm M của đoạn thẳng AB
Trong bài viết này, chúng ta có mối quan hệ giữa các điểm I, J và các phép nghịch đảo cực M với phương tích k = MA² = MB² Điểm J là ảnh của điểm I qua phép nghịch đảo, và điểm I nằm trên đường tròn (O), do đó điểm J cũng nằm trên đường tròn (O') Đường tròn (O) đi qua hai điểm A và B, là những điểm bất biến trong phép nghịch đảo Do đó, đường tròn (O') sẽ đi qua ba điểm A, B và J.
Giả sử EF là đường kính của ( ) O và EF đi qua M , ta có:
ME MF = MA MB = − MA = − k Lấy E ' đối xứng với E qua AB thì ta có: ME ' = − ME Suy ra, ME MF ' = − ME MF = MA 2 = k
Vậy E ' = f M k ( , ) ( ) F và quỹ tích của điểm J là đường tròn ( ') O đối xứng với đường tròn ( ) O qua trục AB
Bài toán 3.2 Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm S nằm ngoài hình tròn Gọi
AB là đường kính thay đổi của đường tròn ( ) O a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB luôn luôn đi qua một điểm cố định
Các đường thẳng SA và SB cắt đường tròn O tại hai điểm M và N Cần chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định Đồng thời, đường tròn ngoại tiếp tam giác SMN cũng sẽ luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB cắt SO tại I cố định vì: OI OS = OA OB = − R 2
Trong phép nghịch đảo bảo tồn đường tròn O, ta có các đoạn thẳng SA và SM bằng nhau, cũng như SB và SN Ảnh của các điểm A và B qua phép nghịch đảo lần lượt là M và N Do đó, ảnh của đường tròn (SAB) qua phép nghịch đảo này trở thành một đường thẳng MN.
Vì I cố định nên ta suy ra ảnh của nó qua phép nghịch đảo là điểm E cố định
Ta có SI SE = p Qua phép nghịch đảo, đường thẳng AB trở thành đường tròn (SMN) Vì AB đi qua O, nên đường tròn (SMN) cũng đi qua điểm J cố định, với J là ảnh của O qua phép nghịch đảo Do đó, điểm J là một điểm cố định.
Bài toán 3.3 yêu cầu tìm tập hợp các điểm D' và E' khi cho ba điểm A, B, C thẳng hàng và d là đường trung trực của đoạn thẳng AB Một đường tròn O đi qua A và B cắt đường trung trực d tại các điểm D và E Các đường thẳng CD và CE tiếp tục cắt đường tròn O tại các điểm D' và E' Mục tiêu là xác định tập hợp các điểm D' và E' này.
Ta có: CD CD ' = CE CE ' = CA CB = k không đổi
Vậy D E ', ' lần lượt là ảnh của D E , trong phép nghịch đảo cực C , phương tích k
Từ đó, ta có thể kết luận rằng tập hợp các điểm D E ' nằm trên đường tròn ảnh của đường thẳng d qua phép nghịch đảo Đường tròn này đi qua các điểm C D E và cắt đường thẳng AB tại điểm I.
Bài toán 3.4 đề cập đến một đường tròn tâm C với bán kính R và một điểm A nằm ngoài đường tròn Ta cần xác định tập hợp các điểm S của một đường tròn thay đổi đi qua điểm A và trực giao với đường tròn C Ngoài ra, cần chứng minh rằng dây cung PQ chung cho hai đường tròn C và S luôn đi qua một điểm cố định Cuối cùng, hai đường thẳng AP và AQ cắt đường tròn C tại các điểm thứ hai là P' và Q'.
Chứng minh đường thẳng P Q ' ' luôn đi qua một điểm cố định d) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AP Q ' ' luôn đi qua một điểm cố định
Lời giải Điều này chứng tỏ B là một điểm cố định Khi đường tròn ( ) S đi qua hai điểm cố định ,
Đoạn AB có tập hợp các điểm S tạo thành đường trung trực Khi S di chuyển trên đường trung trực của AB, đường đối cực PQ của điểm S đối với đường tròn (C) sẽ đi qua điểm cố định D, mà D là cực điểm của đường trung trực AB đối với đường tròn (C) Điểm D nằm trên đường AC vuông góc với đường trung trực của AB Gọi p là phương tích của điểm A đối với đường tròn (C).
Qua phép nghịch đảo f tại điểm A, đường tròn C trở thành chính nó, với hai điểm P và Q có ảnh tương ứng là P' và Q' Do đó, phép nghịch đảo f biến đường tròn (APQ) thành đường thẳng P'Q'' Vì đường tròn S trực giao với đường tròn C, chúng ta có thể suy ra các mối quan hệ hình học liên quan.
P Q trực giao với ( ) C Do đó, P Q ' ' đi qua tâm C cố định của đường tròn ( ) C và như vậy, ,
B C là hai điểm nghịch đảo của nhau d) Đường tròn ( AP Q ' ' ) là ảnh của đường thẳng PQ qua phép nghịch đảo f nói trên
Vì PQ đi qua điểm D cố định nên đường tròn ( AP Q ' ' ) đi qua D ' cố định, với D ' = f D ( ).
Ta có: CP 2 = CA CB = R 2 Xét phương tích của C đối với đường tròn ( AP Q ' ' ) , ta có:
CA CD = CP CQ = − CP
Ta suy ra CA CB = − CA CD '; CB = − CD ' Điều này chứng tỏ điểm D ' đối xứng với điểm B qua điểm C hay C là trung điểm đoạn '
Cho ba điểm A, B, C nằm trên một đường thẳng Từ điểm A, B và một điểm E di động trên đường trung trực của AB, ta dựng đường tròn (ABE) Đường thẳng CE cắt đường tròn này tại điểm M Nhiệm vụ là tìm quỹ tích của điểm M khi E di chuyển trên đường trung trực.
Bài tập 2 Cho dường tròn ( O R , ) và hai đường thẳng Ox Oy , vuông góc với nhau Lấy điểm
M trên đường tròn ( ) O , tiếp tuyến của đường tròn ( ) O tại điểm M cắt Ox Oy , lần lượt tại ,
A B Trục đẳng phương của đường tròn ( ) O và đường tròn ( AOB ) cắt Ox Oy , tại C D , Tìm quỹ tích trung điểm I của CD khi điểm M chuyển động trên ( ) O
Bài tập 3 Cho đường tròn ( O R , ) và một điểm M ( ) O Một góc vuông thay đổi tại đỉnh ,
M hai cạnh cắt ( ) O tại A B , Hai đường tròn ( ) ( ) O 1 , O 2 cùng qua M và tiếp xúc với ( ) O theo thứ tự tại A B , Tìm quỹ tích I là giao điểm thứ hai của ( ) ( ) O 1 , O 2
PHÉP NGHỊCH ĐẢO
Giới thiệu về Arbelos
Hình Arbelos là một khái niệm hình học nghiên cứu nửa đường tròn tiếp xúc, với tên gọi được ghép từ bảy chữ cái 𝛼, 𝜚, 𝛽, 𝜂, 𝜆, 𝜃, 𝜍 Trên đoạn thẳng 𝐴𝐵, ta xác định điểm 𝐶 và dựng các nửa đường tròn với đường kính 𝐴𝐶, 𝐵𝐶, và 𝐴𝐵, được ký hiệu lần lượt là 𝑂 1 (𝑎), 𝑂 2 (𝑏) và 𝑂(𝑎 + 𝑏) Khi cắt hai nửa hình tròn nhỏ ra khỏi nửa hình tròn lớn, ta thu được hình “con dao của thợ đóng giày”, hay còn gọi là hình Arbelos theo Archimedes.
Nhà toán học và thiên văn học Archimedes đã khám phá nhiều định lý về Arbelos và công bố trong cuốn “Sách về các bổ đề” Mặc dù các bài toán trong hình Arbelos đã tồn tại từ thời đó, nhiều bí ẩn và kết quả mới vẫn được phát hiện cho đến ngày nay, đặc biệt trên các diễn đàn toán học như Forum Geometricorum (ISN 1534 – 1778) Đây là một tạp chí khoa học về hình học Euclide thuộc khoa Toán của trường đại học Florida Atlantic (Mỹ), được thành lập bởi giáo sư Paul Yiu vào năm 2001, người cũng giữ vai trò tổng biên tập cho đến nay.
Chuỗi Pappus các đường tròn nội tiếp Arbelos
Chuỗi Pappus các đường tròn nội tiếp Arbelos [𝐴𝐵𝐶] là một dãy các đường tròn 𝐶 1, 𝐶 2, 𝐶 3, … trong hình Arbelos, trong đó đường tròn 𝐶 1 tiếp xúc với ba nửa đường tròn (𝐴𝐵), (𝐴𝐶), (𝐵𝐶) Các đường tròn tiếp theo 𝐶 𝑛 tiếp xúc với hai nửa đường tròn, và 𝐶 𝑛−1 tiếp xúc với mọi n.
Sau những khám phá của Archimedes về hình Arbelos, Pappus đã chứng minh một định lý quan trọng liên quan đến nó, được gọi là định lý Pappus Ông khẳng định rằng định lý này đã được biết đến từ khi hình Arbelos lần đầu xuất hiện, nhưng ngày nay vẫn mang tên ông Định lý Pappus phát biểu rằng trong chuỗi các đường tròn nội tiếp Arbelos 𝐶₁, 𝐶₂, …, 𝐶ₙ, khoảng cách từ tâm của mỗi đường tròn 𝐶ₙ đến đáy 𝐵𝐶 của Arbelos bằng n lần đường kính của 𝐶ₙ Cụ thể, ký hiệu ℎₙ là khoảng cách từ tâm 𝐶ₙ đến 𝐵𝐶 và 𝑟ₙ là bán kính của 𝐶ₙ.
𝐶 𝑛 thì với mọi 𝑛, ta có công thức
Trong tiểu luận này, chúng tôi sẽ chỉ tập trung giới thiệu khái quát về phép nghịch đảo trong hình Arbelos, vì không thể đi sâu vào tất cả các vấn đề đã đề cập trước đó.