TIỂU LUẬN PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM Khoa Toán – Tin học TIỂU LUẬN PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG TRONG Mơn học: Hình học sơ cấp GIẢI HỌC GiảngTỐN viên: TS.HÌNH Trần Nam Dũng Danh sách nhóm Đinh Tấn Tài – 19110023 Nguyễn Hoàng Minh – 19110113 Nguyễn Như Tân – 19110177 Năm học: 2021 - 2022 PHẲNG Lời mở đầu Bài tiểu luận sản phẩm nhóm chúng em mơn Hình học sơ cấp, khoa Toán – Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM Nhóm nhận thấy chương trình THPT, số phép biến hình đưa vào giảng dạy phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, đối xứng trục, phép vị tự, phép đồng dạng, nhiên phép nghịch đảo không đề cập đến Tuy nhiên nhiều tốn, khơng sử dụng phép nghịch đảo việc tìm lời giải trở nên khó khăn, sử dụng phép nghịch đảo giúp lời giải trở nên ngắn gọn, xúc tích Phép nghịch đảo phép biến hình thuộc loại khác, bảo tồn lớp đường thẳng đường trịn biến đường thẳng thành đường trịn ngược lại Chính đặc trưng phép nghịch đảo nên trở thành cơng cụ tư hữu ích để phát triển tốn cho ta cách nhìn tốn Điều giúp cho người học tốn khơng phát triển kiến thức hình học mà cịn cung cấp cho họ nhìn sâu tốn Vì vậy, nhóm chúng em định chọn đề tài “Phép nghịch đảo ứng dụng” để tìm hiểu nghiên cứu Bố cục tiểu luận phần mở đầu kết luận, tiểu luận gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị: trình bày sơ lược kiến thức có liên quan đến phép biến nghịch đảo Chương Cơ sở lý thuyết: nhằm cung cấp kiến thức phép nghịch đảo, tính chất mà chúng em áp dụng vào số toán chương Chương Ứng dụng vào giải tốn hình học phẳng: vận dụng định nghĩa tính chất phép nghịch đảo vào số tốn chứng minh, quỹ tích, dựng hình hình học phẳng Chương Mở rộng (Hình Arbelos cặp đường trịn Archimedes): Hình Arbelos dựa hình tạo nửa đường tròn , gọi “hình dao thợ đóng giày” Chúng em giới thiệu số kết dựng cặp đường tròn Archimedes đường tròn nội tiếp Arbelos Chúng em cố gắng trình thực kiến thức cịn hạn chế nên chắn tiểu luận cịn nhiều thiếu sót Nhóm chúng em mong nhận góp ý thầy bạn để tiểu luận hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn NHÓM THỰC HIỆN Mục lục Đôi nét lịch sử phép nghịch đảo Apollonius xứ Perga (250 – 175 trước Công nguyên) tiếng với cơng trình nghiên cứu thiên văn học, trước tiếng tác phẩm liên quan tới đường conic Thật khơng may, cơng trình gốc Apollonius thiên văn học hầu hết cơng trình tốn học ơng (ngoại trừ Conic) bị biết từ bình luận Pappus Alexandria (290–350 sau Công nguyên) Theo Pappus, Apollonius điều tra họ cụ thể đường tròn đường thẳng Appollonius xác định đường cong: tập hợp điểm cho với hai điểm nằm mặt phẳng, số dương tùy ý Đường cong trở thành đường thẳng , ngược lại, trở thành đường trịn – cịn gọi đường trịn Apollonius Ơng chứng minh với đường trịn (tâm bán kính ) thuộc họ đường cong với hai điểm nằm tia qua Tầm quan trọng to lớn phép nghịch đảo hình học sơ cấp rõ ràng nghĩ biến số tập có liên quan đến đường trịn tốn có cấu trúc tương tự, thành phức tạp nhiều đường tròn thay đường thẳng Có chứng gián tiếp Apollonius sử dụng phép nghịch đảo để giải vấn đề thiên văn liên quan đến quỹ đạo thiên thể Vì lý tương tự, phép nghịch đảo sớm nhà Vật lý áp dụng, ví dụ Thomson lý thuyết điện trường Các yếu tố vòng tròn Apollonius phần chuỗi lịch sử khác Trong CHƯƠNG 4? khám phá vấn đề Apollonius sử dụng phép nghịch đảo cho giải pháp Chương Kiến thức chuẩn bị I Giới thiệu phép biến hình Khái niệm hình Ta gọi tập hợp điểm khác rỗng hình Muốn điểm thuộc hình người ta dùng ký hiệu Giao hai hình Hợp hai hình Nếu điểm hình điểm hình người ta nói tập hợp hay phận viết hay Khái niệm phép biến hình Ta ký hiệu tập hợp tất điểm mặt phẳng Khi hình mặt phẳng tập ký hiệu Định nghĩa 1.1 Cho tập hợp khác rỗng Một song ánh từ vào gọi phép biến hình tập Như cho phép biến hình cho quy tắc để điểm thuộc , ta tìm điểm hoàn toàn xác định thỏa mãn hai điều kiện sau đây:  Nếu hai điểm phân biệt hai điểm phân biệt  Với điểm thuộc có điểm thuộc cho Điểm gọi ảnh điểm qua phép biến hình Ngược lại điểm gọi tạo ảnh điểm qua phép biến hình nói Người ta cịn nói phép biến hình biến điểm thành điểm ta có Tích hai phép biến hình Định nghĩa 1.2 Trong hình học ta thường phải thực nhiều phép biến hình liên tiếp Nếu ta dùng phép biến hình để biến điểm thành điểm lại dùng tiếp phép biến hình thứ hai để biến thành Ta có: Khi phép biến hình biến thành gọi tích hai phép biến hình ký hiệu Ta có: Nói chung tích tích hai phép biến hình khác Phép biến hình đảo ngược Định nghĩa 1.3 Trong mặt phẳng cho phép biến hình biến điểm thành điểm Khi phép biến hình biến điểm thành điểm gọi phép biến hình đảo ngược phép biến hình cho Ký hiệu phép biến hình đảo ngược Mỗi phép biến hình có phép biến hình đảo ngược ta có: (với phép biến hình đồng nhất) Phép biến hình có tính chất đối hợp Định nghĩa 1.4 Cho phép biến hình biến điểm thành điểm , sau thực tiếp phép biến hình biến điểm thành điểm Nếu trùng với ta nói phép biến hình có II tính chất đối hợp Ta có: hay Các phần tử bất biến phép biến hình Định nghĩa 1.5 Điểm gọi điểm kép (điểm bất động) phép biến hình ảnh hưởng qua phép biến hình Định nghĩa 1.6 Hình gọi hình kép phép biến hình ảnh điểm nằm Chẳng hạn, phép đối xứng tâm đối xứng điểm bất động đường thẳng qua bất biến Trong phép đối xứng trục đối xứng hình cố định cịn đường thẳng vng góc với bất biến Trong phép tịnh tiến theo vectơ III khơng có điểm bất động nào, đường thẳng có phương (tức song song với ) bất biến Định hướng Ở lớp ta thường nói góc có số đo khơng vượt q góc nhọn, góc vng, góc bẹt, … Tuy nhiên thực tế nhiều phải quan niệm góc với nghĩa rộng Ví dụ bánh xe quay vịng rưỡi ta nói quay góc việc quay thực theo hai chiều quay khác Cùng với việc định hướng cho đoạn thẳng, đường thẳng, việc định hướng cho góc mặt phẳng, khơng gian mang lại cho nhiều điều thuận lợi việc nghiên cứu hình học nhiều lĩnh vực khác Định hướng mặt phẳng Trong mặt phẳng cho điểm cố định Khi xung quanh có hai chiều quay Ta chọn chiều quay ngược chiều kim đồng hồ chiều dương, chiều kim đồng hồ chiều âm a Góc định hướng hai tia Định nghĩa 1.7 Cho hai tia , chọn tia đầu tia cuối Khi góc định hướng hai tia hình thu quay tia quanh điểm tới trùng tia Ký hiệu Nhận xét:  Góc định hướng có nhiều giá trị  Góc định hướng dương góc quay theo chiều dương mặt phẳng ngược lại  Nếu chọn góc định hướng quay tia tới trùng tia , ta quay thêm số vòng để tia trùng với tia Tất giá trị góc nói gọi giá trị góc định hướng suy rộng Như vậy, góc định hướng suy rộng có vô số giá trị nên ký hiệu là: b Góc định hướng hai đường thẳng Định nghĩa 1.8 Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng cắt điểm Góc định hướng hai đường thẳng góc quay đường thẳng xung quanh điểm đến trùng đường thẳng Ký hiệu Khác với góc định hướng hai tia, ta nhận thấy quay đường thẳng xung quanh điểm để đến trùng với quay nửa vòng đường thẳng lại đến trùng với đường thẳng lần Như vậy, góc định hướng hai đường thẳng xác định sai khác góc nên ký hiệu là: Định hướng không gian Định nghĩa 1.9 Trong không gian cho đường thẳng định hướng Xung quanh có hai chiều quay Nếu ta chọn chiều dương, chiều âm ta nói ta định hướng khơng gian IV Một số định nghĩa góc hai đối tượng Trước tìm hiểu tính bảo tồn phép nghịch đảo, ta qua số định nghĩa Định nghĩa 1.10 (Góc đường thẳng) Cho đường thẳng Đặt góc đường thẳng Ta định nghĩa góc đường thẳng sau:  Nếu  Nếu cắt góc nhỏ góc tạo thành Định nghĩa 1.11 (Góc đường thẳng đường tròn) Cho đường tròn (O) đường thẳng d cắt (O) M Góc đường thằng d đường trịn (O) góc tiếp tuyến M (O) đường thẳng d Định nghĩa 1.12 (Góc đường trịn) Cho đường trịn cắt giao điểm thứ A Góc đường trịn định nghĩa góc tiếp tuyến A Chú ý:  Nếu tiếp xúc nhau, góc đường trịn 0°  Nếu góc đường trịn 90°, ta nói đường tròn trực giao với Định nghĩa 1.13 (Góc đường cong) Cho đường cong cắt điểm A mà chúng có tiếp tuyến Ta gọi góc tiếp tuyến góc đường cong điểm A V Một số vấn đề liên quan đến đường tròn, mặt cầu Phương tích điểm đường tròn Định nghĩa 1.14 Cho đường tròn điểm cố định Đường thẳng thay đổi qua cắt hai điểm Khi Tích gọi phương tích điểm đường trịn ký hiệu: Ta có: Tóm lại: Trong biểu thức ta có điều kiện tức Nếu tức , ta xem tọa độ điểm vô tận mà ta bổ sung vào mặt phẳng Euclide Ảnh đường thẳng qua phép nghịch đảo Cho phép nghịch đảo có biểu thức tọa độ Ta xét đường thẳng có phương trình Chú ý phép nghịch đảo có tính chất đối hợp nên từ ta suy Ta thay giá trị vào phương trình ảnh đường thẳng Như , phương trình trở thành đường trịn qua gốc tọa độ, tâm bán kính Điểm vô tận đường thẳng biến thành điểm đường trịn Nếu phương trình cho ta đường thẳng trùng với đường thẳng ban đầu Ảnh đường trịn qua phép nghịch đảo Giả sử ta có đường trịn Qua phép nghịch đảo có biểu thức ta có phương trình ảnh là: hay Khi phương trình cho ta đường thẳng Khi phương trình cho ta đường tròn Thật vậy, nên viết là: nên ta có phương trình đường trịn tâm với bán kính VI Cách dựng ảnh qua phép nghịch đảo Phương pháp Compa Giả sử ta có đường tròn Phương pháp Compa giúp ta xác định ảnh qua phép nghịch đảo với nằm ngồi đường trịn Cụ thể sau:  Vẽ đường trịn tâm bán kính , gọi giao điểm  Vẽ đường trịn tâm bán kính , gọi giao điểm Khi ảnh qua phép nghịch đảo Chứng minh Với cách dựng trên, ta có cân cân , suy Như theo trường hợp góc – góc, suy Ta có đpcm Phương pháp tiếp tuyến Giả sử ta có đường trịn điểm nằm ngồi đường trịn Một phương pháp khác giúp xác định ảnh qua phép nghịch đảo cách kết hợp sử dụng Compa thước thẳng Cụ thể sau:  Vẽ đoạn thẳng  Từ , dựng hai tiếp tuyến tới đường tròn  Gọi giao điểm Khi ảnh qua phép nghịch đảo Chứng minh Do hai tiếp tuyến kẻ từ đến nên trung trực đoạn Khi theo trường hợp góc – góc, suy Ta có đpcm Lưu ý với nằm đường tròn ta sử dụng phương pháp để cách: vẽ đường thẳng vng góc với cắt đường trịn hai điểm Sau vẽ hai tiếp tuyến đường trịn cắt Khi ảnh qua phép nghịch đảo Phương pháp đường kính vng góc Giả sử ta có đường trịn điểm nằm ngồi đường trịn Thêm phương pháp khác giúp dựng ảnh qua phép nghịch đảo kể nằm đường trịn Cụ thể sau:  Vẽ đường kính vng góc với  Gọi giao điểm đường tròn  Gọi giao điểm Khi ảnh qua phép nghịch đảo Chứng minh Với cách dựng trên, ta có vng Từ ta chứng minh theo trường hợp góc – góc, Ta có đpcm VII Thước vẽ hình nghịch đảo hình cho trước Khi sử dụng compa để vẽ hình trịn, khơng bắt đầu với mơ hình hình trịn; thay vào đó, sử dụng thuộc tính đường trịn – điểm đường tròn cách tâm khoảng với độ dài Hoặc nói sử dụng định nghĩa Euclid đường trịn Liệu có cơng cụ compa vẽ đường thẳng? Trong trường hợp này, muốn sử dụng định nghĩa Euclid khơng giúp ích nhiều Chúng ta sử dụng thước thẳng để xây dựng đường thẳng! Nhưng, làm để ta biết đường thẳng “thẳng”? Các nhà toán học kỹ sư tìm kiếm gần kỷ để tìm lời giải cho cách xây dựng “đường thẳng – liên kết” tất thất bại năm 1864 sĩ quan quân đội Pháp Charles Nicolas Peaucellier tạo dụng cụ để dựng ảnh đường phép nghịch đảo Điều thú vị ông không công bố phát chứng năm 1873, Lipmann I Lipkin, sinh viên từ Đại học St.Petersburg, trình diễn mơ hình làm việc tương tự Triển lãm Thế giới Vienna Peaucellier thừa nhận phát độc lập Lipkin với việc công bố chi tiết khám phá ông vào năm 1864 chứng toán học Cấu tạo thước: Thước gồm có có tạo nên hình thoi có cạnh Ở có hai có độ dài với Ba điểm ln ln thẳng hàng chúng nằm đường trung trực đoạn Gọi đường tròn tâm qua Ta có phương tích điểm đường trịn tâm là: với số Nếu ta cố định điểm hai điểm nghịch đảo phép nghịch đảo cực phương tích Cơng dụng thước:  Biến chuyển động trịn thành chuyển động thẳng: cho điểm chạy đường tròn qua cực nghịch đảo cố định cách gắn có đầu cố định nằm đường trung trực đoạn Khi điểm vạch nên đường thẳng Chứng minh Cách 1: Gọi giao điểm đường trịn Gọi chân đường vng góc hạ từ xuống Khi dễ thấy suy Vậy khơng phụ thuộc vào vị trí điểm , nghĩa nằm đường thẳng Cách 2: Trên thực tế, cách chứng minh đầy đủ dài, sử dụng phép nghịch đảo để dẫn đến kết nhanh Ta điểm , thẳng hàng tích có giá trị khơng đổi, dựa vào phép nghịch đảo, điểm điểm cặp điểm nghịch đảo với điểm cực nghịch đảo Do đó, chuyển động đường trịn chứa chuyển động đường thẳng ngược lại  Ứng dụng động nước: Ngoài ra, mơ hình Peaucelliar -Lipkin có ứng dụng động dầm (beam engine) – loại động nước dầm khơng có trục quay sử dụng để tác dụng lực mừ piston thẳng đứng lên nối thẳng đứng Mơ hình 3D “Động nước” Mơ hình thực tế “Động nước” VIII Ảnh chùm đường tròn qua phép nghịch đảo Chùm Eliptic Ta biết tập hợp đường tròn qua hai điểm phân biệt (hai điểm chùm) tạo nên chùm eliptic Nếu chọn hai điểm chùm làm cực nghịch đảo với phương tích chùm eliptic biến thành tập hợp đường thẳng đồng quy ảnh điểm thứ hai, nghĩa Thật vậy, giả sử phép nghịch đảo cực phương tích biến điểm thành nằm đường thẳng đường thẳng qua cực nghịch đảo biến thành Như chùm đường trịn qua hai điểm qua phép nghịch đảo cực biến thành chùm đường thẳng qua điểm Chùm Parabolic Chùm parabolic tập hợp đường tròn tiếp xúc với đường thẳng cố định điểm cố định Nếu chọn tiếp điểm chung đường tròn làm cực nghịch đảo với phương tích chùm parabolic biến thành tập hợp đường thẳng song song Phép nghịch đảo cực biến đường tròn qua cực tiếp xúc với thành đường thẳng vng góc với Ta có nghĩa Chùm Hyperbolic Gọi hai điểm giới hạn chùm hyperbolic Nếu chọn hai điểm giới hạn chùm hyperbolic làm cực nghịch đảo chùm hyperbolic biến thành tập hợp đường tròn đồng tâm với tâm chung ảnh điểm giới hạn thứ hai Nếu chọn làm cực nghịch đảo với phương tích , nghĩa Chùm hyperbolic qua phép nghịch đảo cực biến thành tập hợp đường tròn trực giao với chùm đường thằng đồng quy Chương Một số tốn hình học phẳng sử dụng phép nghịch đảo Chương Phép nghịch đảo hình Arbelos Giới thiệu Arbelos Hình Arbelos nghiên cứu nửa đường trịn tiếp xúc, chữ “Arbelos” ghép từ chữ Trên đoạn thẳng ta lấy điểm dựng nửa đường trịn đường kính ta gọi nửa đường tròn tương ứng Nếu ta cắt hai nửa hình trịn nhỏ khỏi nửa hình trịn lớn ta nhận hình “con dao thợ đóng giày” hay cịn gọi hình Arbelos Archimesdes z Nhà toán học thiên văn học Archimedes khám phá nhiều định lý Arbelos công bố sách “Sách bổ đề” ông Mặc dù tốn hình Arbelos có từ thời đến tận ngày người ta phất nhiều bí ẩn, nhiều kết cơng bố diễn đàn tốn học mà điển hình Forum Geometricorum (ISN 1534 – 1778) Đây tạp chí khoa học hình học Euclide khoa Toán trường đại học Florida Atlantic (Mỹ) Tạp chí thành lập giáo sư Paul Yiu từ năm 2001 ông tổng biên tập tạp chí Chuỗi Pappus đường trịn nội tiếp Arbelos Định nghĩa Cho hình Arbelos , dãy đường , , … gọi chuỗi Pappus đường tròn nội tiếp Arbelos đường tròn tiếp xúc với ba nửa đường tròn tiếp xúc với hai nửa đường tròn với n Sau khám phá Archimedes hình Arbelos, Pappus đưa phép chứng minh định lý đáng nhớ Arbelos Chính Pappus khẳng định định lý biết đến từ thời xuất hình Arbelos ngày gắn định lý cho ơng – định lý Pappus Bằng phép nghịch đảo, ta có chứng minh định lý Pappus Định lý Pappus Cho chuỗi Pappus đường trịn nội tiếp Arbelos Khi với khoảng cách từ tâm đến đáy Arbelos lần đường kính Nói cách khác, với ký hiệu khoảng cách từ tâm đến bán kính với , ta có cơng thức Trong khn khổ tiểu luận, chắn sâu vào tất vấn đề đề cập bên trên, chúng tơi giới thiệu đơi nét phép nghịch đảo hình Arbelos TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Như Cương (Chủ biên), Hoàng Ngọc Hưng, Đỗ Mạnh Hùng, Hồng Trọng Thái Hình học sơ cấp thực hành giải toán NXB Đại học Sư phạm [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] Nguyễn Sơn Hải,