TIỂU LUẬN PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM Khoa Toán – Tin học TIỂU LUẬN PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG Mơn học: Hình học sơ cấp Giảng viên: TS Trần Nam Dũng Danh sách nhóm Đinh Tấn Tài – 19110023 Nguyễn Hồng Minh – 19110113 Nguyễn Như Tân – 19110177 Năm học: 2021 - 2022 Lời mở đầu Bài tiểu luận sản phẩm nhóm chúng em mơn Hình học sơ cấp, khoa Toán – Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM Nhóm nhận thấy chương trình THPT, số phép biến hình đưa vào giảng dạy phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, đối xứng trục, phép vị tự, phép đồng dạng, nhiên phép nghịch đảo không đề cập đến Tuy nhiên nhiều tốn, khơng sử dụng phép nghịch đảo việc tìm lời giải trở nên khó khăn, ngồi sử dụng phép nghịch đảo giúp lời giải trở nên ngắn gọn, xúc tích Phép nghịch đảo phép biến hình thuộc loại khác, bảo tồn lớp đường thẳng đường trịn biến đường thẳng thành đường trịn ngược lại Chính đặc trưng phép nghịch đảo nên trở thành cơng cụ tư hữu ích để phát triển tốn cho ta cách nhìn tốn Điều giúp cho người học tốn khơng phát triển kiến thức hình học mà cịn cung cấp cho họ nhìn sâu tốn Vì vậy, nhóm chúng em định chọn đề tài “Phép nghịch đảo ứng dụng” để tìm hiểu nghiên cứu Bố cục tiểu luận ngồi phần mở đầu kết luận, tiểu luận gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị: trình bày sơ lược kiến thức có liên quan đến phép biến nghịch đảo Chương Cơ sở lý thuyết: nhằm cung cấp kiến thức phép nghịch đảo, tính chất mà chúng em áp dụng vào số toán chương Chương Ứng dụng vào giải tốn hình học phẳng: vận dụng định nghĩa tính chất phép nghịch đảo vào số tốn chứng minh, quỹ tích, dựng hình hình học phẳng Chương Mở rộng (Hình Arbelos cặp đường trịn Archimedes): Hình Arbelos dựa hình tạo nửa đường trịn (𝛼, 𝛽, 𝛾 ), cịn gọi “hình dao thợ đóng giày” Chúng em cố gắng q trình thực kiến thức cịn hạn chế nên chắn tiểu luận nhiều thiếu sót Nhóm chúng em mong nhận góp ý thầy bạn để tiểu luận hồn thiện Xin trân trọng cảm ơn NHĨM THỰC HIỆN Mục lục Đôi nét lịch sử phép nghịch đảo CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ I Giới thiệu phép biến hình Khái niệm hình 2 Khái niệm phép biến hình Tích hai phép biến hình Phép biến hình đảo ngược Phép biến hình có tính chất đối hợp II Các phần tử bất biến phép biến hình III Định hướng Định hướng mặt phẳng Định hướng không gian IV Một số định nghĩa góc hai đối tượng V Một số vấn đề liên quan đến đường tròn, mặt cầu Phương tích điểm đường tròn Trục đẳng phương hai đường tròn Hai đường tròn trực giao Phương tích điểm mặt cầu 10 Chùm đường tròn 10 CHƯƠNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO 14 I Định nghĩa tính chất phép nghịch đảo 14 Định nghĩa 14 Các tính chất 15 II Ảnh đường thẳng đường tròn qua phép nghịch đảo 22 III Ảnh mặt phẳng mặt cầu qua phép nghịch đảo 26 IV Sự bảo tồn góc qua phép nghịch đảo 29 V Biểu thức tọa độ phép nghịch đảo 30 Ảnh đường thẳng qua phép nghịch đảo 32 Ảnh đường tròn qua phép nghịch đảo 32 VI Cách dựng ảnh qua phép nghịch đảo 33 Phương pháp Compa 33 Phương pháp tiếp tuyến 33 Phương pháp đường kính vng góc 34 VII Thước vẽ hình nghịch đảo hình cho trước 35 VIII Ảnh chùm đường tròn qua phép nghịch đảo 38 CHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG SỬ DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO 41 Dạng 1: Ứng dụng phép nghịch đảo tốn chứng minh đẳng thức tính toán 41 Dạng 2: Ứng dụng phép nghịch đảo toán chứng minh thẳng hàng đồng quy 45 Dạng 3: Ứng dụng phép nghịch đảo tốn liên quan đến quỹ tích 51 CHƯƠNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO 57 TRONG HÌNH ARBELOS 57 Giới thiệu Arbelos 57 Chuỗi Pappus đường tròn nội tiếp Arbelos 57 Đôi nét lịch sử phép nghịch đảo Apollonius xứ Perga (250 – 175 trước Cơng ngun) tiếng với cơng trình nghiên cứu thiên văn học, trước tiếng tác phẩm liên quan tới đường conic Thật không may, cơng trình gốc Apollonius thiên văn học hầu hết cơng trình tốn học ơng (ngoại trừ Conic) bị biết từ bình luận Pappus Alexandria (290–350 sau Công nguyên) Theo Pappus, Apollonius điều tra họ cụ thể đường tròn đường thẳng Appollonius xác định đường cong: 𝑐𝑘 (𝐴, 𝐵) tập hợp điểm 𝑃 cho 𝑃𝐴 = 𝑘 × 𝑃𝐵, với 𝐴 𝐵 hai điểm nằm mặt phẳng, 𝑘 số dương tùy ý Đường cong trở thành đường thẳng 𝑘 = 1, ngược lại, trở thành đường trịn – cịn gọi đường trịn Apollonius Ơng chứng minh với đường tròn 𝑐 (tâm 𝐶, bán kính 𝑟) thuộc họ đường cong {𝑐𝑘 (𝐴, 𝐵)} 𝐵𝐶 × 𝐴𝐶 = 𝑟 với 𝐴, 𝐵 hai điểm nằm tia qua 𝐶 Tầm quan trọng to lớn phép nghịch đảo hình học sơ cấp rõ ràng nghĩ biến số tập có liên quan đến đường trịn tốn có cấu trúc tương tự, thành phức tạp nhiều đường trịn thay đường thẳng Có chứng gián tiếp Apollonius sử dụng phép nghịch đảo để giải vấn đề thiên văn liên quan đến quỹ đạo thiên thể Vì lý tương tự, phép nghịch đảo sớm nhà Vật lý áp dụng, ví dụ Thomson lý thuyết điện trường Các yếu tố vòng tròn Apollonius phần chuỗi lịch sử khác Trong chương khám phá vấn đề Apollonius sử dụng phép nghịch đảo cho giải pháp CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ I Giới thiệu phép biến hình Khái niệm hình Ta gọi tập hợp điểm khác rỗng hình Muốn điểm 𝐴 thuộc hình 𝐹, người ta dùng ký hiệu 𝐴 ∈ 𝐹 𝐹 ∋ 𝐴 Giao hai hình 𝐴 𝐵 𝐴 ∩ 𝐵 Hợp hai hình 𝐴 𝐵 𝐴 ∪ 𝐵 Nếu điểm hình 𝐴, điểm hình 𝐵 người ta nói 𝐴 tập hợp hay phận 𝐵 viết 𝐴 ⊂ 𝐵 hay 𝐵 ⊃ 𝐴 Khái niệm phép biến hình Ta ký hiệu tập hợp tất điểm mặt phẳng 𝑃 Khi hình 𝐻 mặt phẳng tập 𝑃 ký hiệu 𝐻 ⊂ 𝑃 Định nghĩa 1.1 Cho tập hợp 𝑃 khác rỗng Một song ánh từ 𝑃 vào gọi phép biến hình tập 𝑃 Như cho phép biến hình 𝑓: 𝑃 ⟶ 𝑃 cho quy tắc để điểm 𝑀 thuộc 𝑃, ta tìm điểm 𝑀′ = 𝑓 (𝑀) hoàn toàn xác định thỏa mãn hai điều kiện sau đây:  Nếu 𝑀, 𝑁 hai điểm phân biệt 𝑃 𝑓 (𝑀 ), 𝑓(𝑁) hai điểm phân biệt 𝑃  Với điểm 𝑀′ thuộc 𝑃 có điểm 𝑀 thuộc 𝑃 cho 𝑓 (𝑀 ) = 𝑀 ′ Điểm 𝑀′ gọi ảnh điểm 𝑀 qua phép biến hình 𝑓 Ngược lại điểm 𝑀 gọi tạo ảnh điểm 𝑀′ qua phép biến hình 𝑓 nói Người ta cịn nói phép biến hình 𝑓 biến điểm 𝑀 thành điểm 𝑀′ ta có 𝑓 (𝑀) = 𝑀′ Tích hai phép biến hình Định nghĩa 1.2 Trong hình học ta thường phải thực nhiều phép biến hình liên tiếp Nếu ta dùng phép biến hình 𝑓: 𝑃 ⟶ 𝑃 để biến điểm 𝑀 𝑃 thành điểm 𝑀′ lại dùng tiếp phép biến hình thứ hai 𝑔: 𝑃 ⟶ 𝑃 để biến 𝑀′ thành 𝑀′′ Ta có: 𝑀′ = 𝑓(𝑀); 𝑀′′ = 𝑔(𝑀′ ) Khi phép biến hình ℎ biến 𝑀 thành 𝑀 ′′ gọi tích hai phép biến hình 𝑓 𝑔 ký hiệu ℎ = 𝑔 𝑓 Ta có: ℎ(𝑀) = (𝑔 𝑓)(𝑀) = 𝑀′′ = 𝑔(𝑀′ ) = 𝑔[𝑓 (𝑀)] Nói chung tích 𝑔 𝑓 tích 𝑓 𝑔 hai phép biến hình khác Phép biến hình đảo ngược Định nghĩa 1.3 Trong mặt phẳng cho phép biến hình 𝑓 biến điểm 𝑀 thành điểm 𝑀′ Khi phép biến hình biến điểm 𝑀′ thành điểm 𝑀 gọi phép biến hình đảo ngược phép biến hình 𝑓 cho Ký hiệu 𝑓 −1 phép biến hình đảo ngược 𝑓 𝑓 −1 (𝑀′ ) = 𝑀 Mỗi phép biến hình 𝑓 có phép biến hình đảo ngược 𝑓 −1 ta có: 𝑓 𝑓 −1 = 𝑓 −1 𝑓 = 𝐼𝑑 (với 𝐼𝑑 phép biến hình đồng nhất) Phép biến hình có tính chất đối hợp Định nghĩa 1.4 Cho phép biến hình 𝑓 biến điểm 𝑀 thành điểm 𝑀′ , sau thực tiếp phép biến hình 𝑓 biến điểm 𝑀′ thành điểm 𝑀′′ Nếu 𝑀′′ trùng với 𝑀 ta nói phép biến hình 𝑓 có tính chất đối hợp Ta có: 𝑓 𝑓 (𝑀) = 𝑓 (𝑀′ ) = 𝑀′′ ≡ 𝑀 hay 𝑓 = 𝐼𝑑 II Các phần tử bất biến phép biến hình Định nghĩa 1.5 Điểm gọi điểm kép (điểm bất động) phép biến hình ảnh hưởng qua phép biến hình Định nghĩa 1.6 Hình 𝐻 gọi hình kép phép biến hình ảnh điểm 𝐻 nằm 𝐻 Chẳng hạn, phép đối xứng 𝒟(𝑂) tâm đối xứng 𝑂 điểm bất động đường thẳng qua 𝑂 bất biến Trong phép đối xứng 𝒟(Δ) trục đối xứng Δ hình cố định cịn đường thẳng vng góc với Δ bất biến ⃗⃗ khơng có điểm bất động nào, Trong phép tịnh tiến 𝒯 (𝑣⃗ ) theo vectơ 𝑣⃗ ≠ đường thẳng có phương 𝑣⃗ (tức song song với 𝑣⃗) bất biến III Định hướng Ở lớp ta thường nói góc có số đo khơng vượt q 360° góc nhọn, góc vng, góc bẹt, … Tuy nhiên thực tế nhiều phải quan niệm góc với nghĩa rộng Ví dụ bánh xe quay vịng rưỡi ta nói quay góc 540° , việc quay thực theo hai chiều quay khác Cùng với việc định hướng cho đoạn thẳng, đường thẳng, việc định hướng cho góc mặt phẳng, khơng gian mang lại cho nhiều điều thuận lợi việc nghiên cứu hình học nhiều lĩnh vực khác Định hướng mặt phẳng Trong mặt phẳng ℝ2 cho điểm 𝑂 cố định Khi xung quanh 𝑂 có hai chiều quay Ta chọn chiều quay ngược chiều kim đồng hồ chiều dương, chiều kim đồng hồ chiều âm a Góc định hướng hai tia Định nghĩa 1.7 Cho hai tia 𝑂𝑥 𝑂𝑦, chọn tia đầu 𝑂𝑥, tia cuối 𝑂𝑦 Khi góc định hướng hai tia hình thu quay tia 𝑂𝑥 quanh điểm 𝑂 tới trùng tia 𝑂𝑦 Ký hiệu (̅̅̅̅ 𝑂𝑥 , ̅̅̅̅ 𝑂𝑦) Nhận xét:  Góc định hướng có nhiều giá trị  Góc định hướng dương góc quay theo chiều dương mặt phẳng ngược lại  Nếu chọn 𝛼 góc định hướng quay tia 𝑂𝑥 tới trùng tia 𝑂𝑦, ta quay thêm số vịng để tia 𝑂𝑥 trùng với tia 𝑂𝑦 Tất giá trị góc ̅̅̅̅ , 𝑂𝑦 ̅̅̅̅) Như vậy, nói gọi giá trị góc định hướng suy rộng (𝑂𝑥 góc định hướng suy rộng có vơ số giá trị nên ký hiệu là: (̅̅̅̅ 𝑂𝑥 , ̅̅̅̅ 𝑂𝑦) = 𝛼 + 𝑘2𝜋 (𝑘 ∈ ℤ) b Góc định hướng hai đường thẳng Định nghĩa 1.8 Trong mặt phẳng 𝑃, cho hai đường thẳng 𝑎 𝑏 cắt điểm 𝑂 Góc định hướng hai đường thẳng 𝑎, 𝑏 góc quay đường thẳng 𝑎 xung quanh điểm 𝑂 đến trùng đường thẳng 𝑏 Ký hiệu (𝑎, 𝑏) Khác với góc định hướng hai tia, ta nhận thấy quay đường thẳng 𝑎 xung quanh điểm 𝑂 để đến trùng với 𝑏 quay nửa vòng đường thẳng 𝑎 lại đến trùng với đường thẳng 𝑏 lần Như vậy, góc định hướng hai đường thẳng 𝑎, 𝑏 xác định sai khác góc 𝑘𝜋 nên ký hiệu là: (𝑎, 𝑏) = 𝛽 + 𝑘𝜋 (𝑘 ∈ ℤ) Định hướng không gian Định nghĩa 1.9 Trong không gian cho đường thẳng Δ định hướng Xung quanh Δ có hai chiều quay Nếu ta chọn chiều dương, chiều âm ta nói ta định hướng không gian IV Một số định nghĩa góc hai đối tượng Trước tìm hiểu tính bảo tồn phép nghịch đảo, ta qua số định nghĩa Định nghĩa 1.10 (Góc đường thẳng) Cho đường thẳng 𝑑1 𝑑2 Đặt ∠(𝑑1 , 𝑑2 ) góc đường thẳng 𝑑1 𝑑2 Ta định nghĩa góc đường thẳng sau:  Nếu 𝑑1 ∕∕ 𝑑2 𝑑1 ≡ 𝑑2 ∠(𝑑1 , 𝑑2 ) = 0𝑜  Nếu 𝑑1 cắt 𝑑2 ∠(𝑑1 , 𝑑2 ) góc nhỏ góc tạo thành Định nghĩa 1.11 (Góc đường thẳng đường tròn) Cho đường tròn (O) đường thẳng d cắt (O) M Góc đường thằng d đường trịn (O) góc tiếp tuyến M (O) đường thẳng d 𝑃𝐵2 𝐴𝐵 𝐵𝐶 = 𝑃𝐷 𝐴𝐷 𝐷𝐶 Bài tập (Hong Kong 2017) Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 có 𝐴𝐵 ≠ 𝐴𝐶 Đường tròn nội tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶 tâm 𝐼, tiếp xúc với 𝐵𝐶 𝐷 Đường thẳng 𝐴𝐼 cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶 ̂ điểm thứ hai 𝑀 Đường thẳng 𝑀𝐷 cắt (𝐴𝐵𝐶 ) điểm thứ hai 𝑃 Tính 𝐴𝑃𝐼 Bài tập (Trung Quốc 2012) Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶, có góc 𝐴 góc lớn Trên đường trịn ⏜ , 𝐴𝐶𝐵 ⏜ Gọi 𝑐1 ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶 lấy 𝐷, 𝐸 điểm cung 𝐴𝐵𝐶 đường tròn qua 𝐴, 𝐵 tiếp xúc với 𝐴𝐶 𝐴; 𝑐2 đường tròn qua 𝐴, 𝐸 tiếp xúc với 𝐴𝐷 ̂ 𝐴 Gọi 𝐴 𝑃 giao điểm 𝑐1 𝑐2 Chứng minh 𝐴𝑃 phân giác góc 𝐵𝐴𝐶 Dạng 2: Ứng dụng phép nghịch đảo toán chứng minh thẳng hàng đồng quy Bài toán 2.1 Cho đường tròn (𝑂; 𝑅) nội tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶, tiếp xúc với cạnh 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 𝐴1 , 𝐵1 , 𝐶1 Gọi 𝐴2 , 𝐵2 , 𝐶2 giao điểm thứ hai 𝐴𝐴1 , 𝐵𝐵1 , 𝐶𝐶1 với (𝑂), 𝑀, 𝑁, 𝑃 trung điểm 𝐵1 𝐶1 , 𝐶1 𝐴1 , 𝐴1 𝐵1 Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝑀𝐴1 𝐴2 , 𝑁𝐵1 𝐵2 , 𝑃𝐶1 𝐶2 qua 𝑂 Lời giải 45 Để chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝑀𝐴1 𝐴2 , 𝑁𝐵1 𝐵2 , 𝑃𝐶1 𝐶2 qua O Ta có phép nghịch đảo cực 𝑂, phương tích 𝑘 biến đường trịn thành đường thẳng Xét phép nghịch đảo 𝐼𝑂𝑅 ̅̅̅̅̅ 𝑂𝐴 ̅̅̅̅ = Dễ thấy 𝐴, 𝑀, 𝑂 thắng hàng, ∆𝐴𝐵1 𝑂 vuông 𝐵1 , có đường cao 𝐵1 𝑀 nên 𝑂𝑀 (𝑂𝐵1 )2 = 𝑅2 2 ⇒ 𝐼𝑂𝑅 : 𝑀 → 𝐴 Mặc khác (𝑂; 𝑅) đường tròn nghịch đảo 𝐼𝑂𝑅 nên điểm (𝑂) điểm kép ⇒ 𝐼𝑂𝑅 : 𝐴1 → 𝐴1 , 𝐴2 → 𝐴2 Vậy đường tròn (𝑀𝐴1 𝐴2 ) có ảnh qua 𝐴, 𝐴1 , 𝐴2 Đây đường thẳng nên (𝑀𝐴1 𝐴2 ) phải qua cực 𝑂 Tương tự đường tròn (𝑁𝐵𝐵1 ), (𝑃𝐶𝐶1 ) qua 𝑂 Bài toán 2.2 Cho đường trịn (𝑂) đường kính 𝐵𝐶 Một điểm 𝐴 nằm ngồi đường trịn Gọi 𝐵0 , 𝐶0 giao điểm 𝐴𝐶, 𝐴𝐵 với (𝑂) 𝐻 trực tâm ∆𝐴𝐵𝐶 Gọi 𝑀, 𝑁 tiếp điểm tiếp tuyến vẽ từ 𝐴 đến (𝑂) Chứng minh 𝐻, 𝑀, 𝑁 thẳng hàng Lời giải 46 Để chứng minh điểm 𝐻, 𝑀, 𝑁 thắng hàng ta chứng minh ảnh ba điểm nằm đường tròn qua cực phép nghịch đảo Xét phép nghịch đảo cực 𝐴, phương tích 𝑘 = 𝐴𝑀2 = 𝐴𝑁 2 Ta có 𝐼𝐴𝐴𝑀 : 𝑀 → 𝑀, 𝑁 → 𝑁 nên 𝐼𝐴𝐴𝑀 : (𝐴𝑀𝑁 ) → 𝑀𝑁 Gọi 𝐴0 ảnh H phép nghịch đảo Để chứng minh 𝐻, 𝑀, 𝑁 thẳng hàng ta cần chứng minh 𝐴0 ∈ (𝐴𝑀𝑁) ̅̅̅̅̅0 ̅̅̅̅ ̂ ̂ Mà ̅̅̅̅ 𝐴𝐻 ̅̅̅̅̅ 𝐴𝐴0 = 𝐴𝑁 = 𝐴𝐵 𝐴𝐶 nên tứ giác 𝐴0 𝐶𝐵0 𝐻 nội tiếp ⇒ 𝐻𝐴 𝐶 = 𝐶𝐵0 𝐻 = 90𝑜 , điểm 𝐴0 nhìn đoạn 𝑂𝐴 góc vng ⇒ 𝐴0 ∈ (𝐴𝑀𝑁) ⇒ 𝐼𝐴𝐴𝑀 (𝐴0 ) = 𝐻 ∈ 𝑀𝑁 hay 𝐻, 𝑀, 𝑁 thẳng hàng Bài toán 2.3 Cho 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 bốn điểm phân biệt nằm đường thẳng xếp theo thứ tự Các đường trịn đường kính 𝐴𝐶, 𝐵𝐷 cắt điểm 𝑋, 𝑌 Đường thẳng 𝑋𝑌 cắt 𝐵𝐶 𝑍 Cho 𝑃 điểm tia 𝑋𝑌 nằm đoạn thẳng 𝑋𝑌 Đường thẳng 𝐶𝑃 cắt đường trịn đường kính 𝐴𝐶 điểm thứ hai 𝑀, đường thằng 𝐵𝑃 cắt đường tròn đường kính 𝐵𝐷 𝑁 Chứng minh 𝐴𝑀, 𝐷𝑁, 𝑋𝑌 đồng quy Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy thường ta có hai hướng sau: - Chứng minh ảnh ba đường tròn phép nghịch đảo cực 𝑂, phương tích 𝑘 mà ba đường trịn có điểm chung 𝑀 khác 𝑂, ba đường thẳng đồng quy 𝑀′ = 𝐼𝑂𝑘 (𝑀) - Chứng minh hai đường thẳng ảnh hai đường tròn cắt phép nghịch đảo cực 𝑂, phương tích 𝑘 đường cịn lại qua cực 𝑂, đồng thời trục đẳng phương hai đường trịn đó, ba đường thắng đồng quy điểm 𝐼' ( 𝐼′ ảnh giao điểm (khác cực) hai đường tròn) Lời giải 47 Gọi (𝐶1 ), (𝐶2 ) đường trịn đường kính 𝐴𝐶 đường trịn đường kính 𝐵𝐷 𝐴′ = 𝑃𝐴 ∩ (𝐶1 ), 𝐷′ = 𝑃𝐷 ∩ (𝐶2 ) Do 𝑃 nằm 𝑋𝑌 ( trục đẳng phương (𝐶1 ) (𝐶2 )) ̅̅̅̅ 𝑃𝑀 ̅̅̅̅ 𝑃𝑁 ̅̅̅̅ = 𝑃𝐶 ̅̅̅̅̅ = 𝑘 ⇒ 𝑃𝑃/(𝐶1 ) = 𝑃𝑃/(𝐶2 ) ⇒ 𝑃𝐵 Xét phép nghịch đảo cực 𝑃, phương tích 𝑘 Ta có 𝐼𝑃𝑘 : 𝐴′ ↦ 𝐴, 𝐶 ↦ 𝑀 ⇒ (𝑃𝐴′ 𝐶) ↦ 𝐴𝑀 Tương tự 𝐼𝑃𝑘 : 𝐵 ↦ 𝑁, 𝐷 ′ ↦ 𝐷 ⇒ (𝑃𝐵𝐷′) ↦ 𝑁𝐷 Vì 𝐼𝑃𝑘 : 𝑋𝑌 ↦ 𝑋𝑌 nên để chứng minh 𝐴𝑀, 𝐷𝑁, 𝑋𝑌 đồng quy ta chứng minh XY trục đẳng phương hai đường tròn (𝑃𝐴′ 𝐶) (𝑃𝐵𝐷 ′ ) Do ′ 𝐶 = 90° ⇒ 𝑍 ∈ (𝑃𝐴′𝐶) ̂ ̂ 𝑃𝑍𝐶 = 𝑃𝐴 Tương tự 𝑍 ∈ (𝑃𝐵𝐷 ′ ) suy 𝑃𝑍 trục đẳng phương hai đường tròn (𝑃𝐴′𝐶) (𝑃𝐵𝐷′) Vậy 𝐴𝑀, 𝐷𝑁, 𝑋𝑌 đồng quy 48 Bài tập 2.4 Cho ∆𝐴𝐵𝐶 tam giác nhọn với 𝐴𝐷 𝐵𝐸 hai đường cao cắt H Gọi M trung điểm đoạn AB Giả sử đường tròn ngoại tiếp ∆𝐷𝐸𝑀 đường tròn ngoại tiếp ∆𝐴𝐵𝐻 cắt 𝑃, 𝑄 𝑃 phía với 𝐴 so với 𝐶𝐻 Chứng minh đường thẳng 𝐸𝐷, 𝑃𝐻 𝑀𝑄 cắt điểm đường tròn ngoại tiếp ∆𝐴𝐵𝐶 Lời giải Đường tròn (𝑀𝐷𝐸) đường tròn 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟 ∆𝐴𝐵𝐶 Xét phép nghịch đảo tâm H, phương tích k = ̅̅̅̅ HA ̅̅̅̅ HD ⇒D ảnh 𝐴 qua phép nghịch đảo 𝐼𝐻𝑘 (1) ̂ = 𝐴𝐷𝐵 ̂ = 90𝑜 Xét từ giác AEDB ta có: 𝐴𝐸𝐵 ⇒AEDB tứ giác nội tiếp đường trịn tâm M đường kính AB ̅̅̅̅ = 𝐻𝐵 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ⇒ ̅̅̅̅ 𝐻𝐴 𝐻𝐷 𝐻𝐸 ⇒ 𝐸 ảnh 𝐵 qua phép nghịch đảo 𝐼𝐻𝑘 (2) Chứng minh tương tự ảnh 𝐶 chân đường cao đỉnh 𝐶 (3) Từ (1), (2), (3) ⇒ Ảnh đường tròn (𝑀𝐷𝐸) qua phép nghịch đảo 𝐼𝐻𝑘 (𝐴𝐵𝐶) Từ (1), (2) ⇒ Ảnh đường tròn (𝐻𝐴𝐵) qua phép nghịch đảo 𝐼𝐻𝑘 đường thẳng 𝐷𝐸 Ta có 𝑃 giao điểm (𝑀𝐷𝐸) (𝐴𝐻𝐵) nên ảnh 𝑃 qua phép nghịch đảo 𝐼𝐻𝑘 𝐿 giao điểm đường thẳng 𝐷𝐸 (𝐴𝐵𝐶) ⇒ 𝑃, 𝐻, 𝐿 thẳng hàng hay 𝑃𝐻 cắt 𝐷𝐸 điểm 𝐿 49 Ta có ảnh đường trịn (𝑀𝐷𝐸) qua phép nghịch đảo 𝐼𝐻𝑘 (𝐴𝐵𝐶) ⇒ Ảnh M qua phép nghịch đảo 𝐼𝐻𝑘 𝑉 với 𝑉 giao điểm (𝐴𝐵𝐶) 𝑀𝐻 với 𝑉 nằm trái phía với 𝑀 qua 𝐻 ̅̅̅̅ 𝐻𝐷 ̅̅̅̅̅ 𝐻𝑉 ̅̅̅̅ = 𝐻𝐴 ̅̅̅̅ = 𝐻𝐵 ̅̅̅̅ 𝐻𝐸 ̅̅̅̅ ⇒ 𝐻𝑀 ̅̅̅̅ 𝐻𝑉 ̅̅̅̅ 𝐻𝐸 𝐻𝐵 𝐻𝑀 ⇒ ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅ Xét ∆𝑉𝐸𝐻 ∆𝐵𝑀𝐻, ta có: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝐻𝐵 𝐻𝑀 ̂ = 𝑀𝐻𝐵 ̂ 𝐻𝑉 = 𝐻𝐸 𝐸𝐻𝑉 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ⇒ ∆𝑉𝐸𝐻 = ∆𝐵𝑀𝐻 ̅̅̅̅ 𝑉𝐸 ̅̅̅̅ 𝐻𝐸 𝐵𝑀 𝐻𝑀 ⇒ ̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ = 𝑀𝐸 ̅̅̅̅̅ Mà 𝐵𝑀 ̅̅̅̅ 𝑉𝐸 ̅̅̅̅ 𝐻𝐸 ̅̅̅̅ 𝑉𝐸 ̅̅̅̅̅ 𝑀𝐸 𝑀𝐸 𝐻𝑀 𝐻𝐸 𝐻𝑀 ⇒ ̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅ ⇒ ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅ Xét ∆𝑀𝐸𝐻 ∆𝑀𝑉𝐸, ta có: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ 𝐻𝐸 𝐻𝑀 ̂ 𝑐ℎ𝑢𝑛𝑔 𝑉𝐸 = 𝑀𝐸 𝑉𝑀𝐸 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ⇒ ∆𝑀𝐸𝐻 = ∆𝑀𝑉𝐸 ⇒ ̅̅̅̅̅ 𝑀𝐻 ̅̅̅̅̅ 𝑀𝐸 ̅̅̅̅̅ 𝑀𝐸 = ̅̅̅̅̅ 𝑀𝑉 ̅̅̅̅̅ = 𝑀𝐸 = 𝑀𝐴2 ⇒ ̅̅̅̅̅ 𝑀𝐻 𝑀𝑉 Xét phép nghịch đảo tâm 𝑀, phương tích k′ = 𝑀𝐴2 ′ 𝑘 ⇒ Đường trịn tâm 𝑀 bán kính 𝑀𝐴 đường tròn nghịch đảo phép nghịch đảo 𝐼𝑀 Mà AEDB tứ giác nội tiếp đường trịn tâm M đường kính AB ⇒ Qua phép biến hình điểm 𝐴, 𝐵, 𝐸, 𝐷 giữ nguyên (4) 𝑘′ ̅̅̅̅̅ = 𝑀𝐸 = 𝑀𝐴2 ⇒ 𝑉 ảnh 𝐻 qua phép nghịch đảo 𝐼𝑀 Ta có ̅̅̅̅̅ 𝑀𝐻 𝑀𝑉 (5) ′ 𝑘 Từ (4) ⇒ Ảnh đường tròn (𝑀𝐷𝐸) qua phép nghịch đảo 𝐼𝑀 đường thẳng 𝐷𝐸 ′ 𝑘 Từ (4), (5) ⇒ Ảnh đường tròn (𝐴𝐻𝐵) qua phép nghịch đảo 𝐼𝑀 đường tròn (𝐴𝐵𝐶) ′ 𝑘 Ta có 𝑄 giao điểm (𝑀𝐷𝐸) (𝐴𝐻𝐵) nên ảnh 𝑄 qua phép nghịch đảo 𝐼𝑀 𝐿 giao điểm đường thẳng 𝐷𝐸 (𝐴𝐵𝐶) ⇒ 𝑄, 𝑀, 𝐿 thẳng hàng hay 𝑀𝑄 cắt 𝐷𝐸 điểm 𝐿 Mà 𝑃𝐻 cắt 𝐷𝐸 điểm 𝐿 50 ⇒ 𝑃𝐻, 𝐷𝐸, 𝑀𝑄 đồng quy 𝐿 Bài tập đề nghị Bài tập Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶, 𝑋 tâm đường trịn bàng tiếp góc 𝐴 𝐼 tâm đường tròn nội tiếp Gọi 𝑀 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝐵𝐶𝐼 𝐺 hình chiếu 𝑋 𝐵𝐶 Đường trịn đường kính 𝐴𝑋 cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶 điểm thứ hai 𝑃 Chứng minh 𝑀, 𝐺, 𝑃 thẳng hàng Bài tập Cho đường tròn (𝑂) đường kính 𝐴𝐵 𝑃 điểm tiếp tuyến (𝑂) 𝐵; (𝑃 khác 𝐵) Đường thẳng 𝐴𝑃 cắt (𝑂) lần thứ hai 𝐶 𝐷 điểm đối xứng với 𝐶 qua 𝑂 Đường thẳng 𝐷𝑃 cắt (𝑂) lần thứ hai 𝐸 Chứng minh 𝐴𝐸, 𝐵𝐶, 𝑃𝑂 đồng quy 𝑀 Bài tập Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 nội tiếp đường tròn (𝑇) ngoại tiếp đường trịn (𝐼) Một đường thẳng qua 𝐼 vng góc với 𝐶𝐼 cắt đoạn 𝐵𝐶 cung(khơng chứa 𝐴) (𝑇) 𝑈, 𝑉 Đường thẳng qua 𝑈 song song với 𝐴𝐼 cắt 𝐴𝑉 𝑋, đường thẳng qua 𝑉 song song với 𝐴𝐼 cắt 𝐴𝐵 𝑌 Gọi 𝑊, 𝑍 trung điểm 𝐴𝑋, 𝐵𝐶 Chứng minh 𝐼, 𝑋, 𝑌 thẳng hàng 𝐼, 𝑊 𝑍 thẳng hàng Dạng 3: Ứng dụng phép nghịch đảo tốn liên quan đến quỹ tích Bài tốn 3.1 Cho đường tròn cố định tâm O dây cung cố định AB đường trịn Một điểm I di động đường tròn O Gọi J giao điểm thứ hai đường tròn qua I , tiếp xúc với đường thẳng AB A B Hãy tìm tập hợp điểm J Lời giải 51 Gọi ( C ) ( C ') hai đường tròn qua M tiếp xúc với AB A B Đường thẳng IJ trục đẳng phương ( C ) ( C ') phải qua trung điểm M đoạn thẳng AB Ta có: MI MJ = MA2 = MB Điểm J ảnh I phép nghịch đảo cực M phương tích k = MA2 = MB2 Điểm I vạch nên đường tròn (O) nên điểm J vạch nên đường tròn (O ') ảnh (O) qua phép nghịch đảo Đường tròn (O) qua hai điểm A B hai điểm bất biến phép nghịch đảo Vậy (O ') đường tròn qua ba điểm A, B, J Giả sử EF đường kính (O) EF qua M , ta có: ME.MF = MA.MB = −MA = −k Lấy E ' đối xứng với E qua AB ta có: ME ' = −ME Suy ra, ME '.MF = −ME.MF = MA = k Vậy E ' = f ( M , k ) ( F ) quỹ tích điểm J đường tròn (O ') đối xứng với đường tròn (O) qua trục AB Bài tốn 3.2 Cho đường trịn tâm O bán kính R điểm S nằm ngồi hình trịn Gọi AB đường kính thay đổi đường tròn (O) a) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác SAB ln ln qua điểm cố định I b) Các đường thẳng SA, SB cắt đường tròn (O) M N Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định đường tròn ngoại tiếp tam giác SMN qua điểm cố định Lời giải 52 a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB cắt SO I cố định vì: OI OS = OA OB = − R Do đó, OI = −R2 OS b) Xét phép nghịch đảo bảo tồn đường trịn (O) ta có: SA SM = SB SN = p Ảnh A, B qua phép nghịch đảo M , N Do ảnh đường trịn (SAB) qua phép nghịch đảo đường thẳng MN Vì I cố định nên ta suy ảnh qua phép nghịch đảo điểm E cố định Ta có SI SE = p Cũng qua phép nghịch đảo đó, đường thẳng AB biến thành đường trịn (SMN ) Vì AB qua O nên đường tròn (SMN ) qua J cố định, với J ảnh O cố định qua phép nghịch đảo Vậy J cố định Bài toán 3.3 Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng d đường trung trực đoạn thẳng AB Một đường tròn (O) thay đổi qua A, B cắt d D E Các đường thẳng CD CE cắt đường tròn (O) D ' E ' Tìm tập hợp điểm D ' E ' Lời giải Ta có: CD CD ' = CE CE ' = CA CB = k không đổi Vậy D ', E ' ảnh D , E phép nghịch đảo cực C , phương tích k 53 Do đó, ta suy tập hợp điểm D ', E ' nằm đường tròn ảnh đường thẳng d qua phép nghịch đảo Đường tròn qua điểm C , D ', E ' cắt AB I cho ( ABIC ) = −1 Bài tốn 3.4 Cho đường trịn tâm C bán kính R điểm A nằm ngồi đường trịn Một đường trịn thay đổi tâm S qua điểm A trực giao với đường tròn (C ) a) Tìm tập hợp điểm S b) Chứng minh dây cung PQ chung cho hai đường trịn (C ) ( S ) ln ln qua điểm cố định c) Hai đường thẳng AP AQ cắt đường tròn (C ) điểm thứ hai P ' Q ' Chứng minh đường thẳng P ' Q ' qua điểm cố định d) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AP ' Q ' qua điểm cố định Lời giải a) Gọi B giao điểm thứ hai CA với đường tròn (S ) Vì hai đường trịn (S ) (C ) trực giao với nên CP tiếp xúc với đường trịn (S ) P Do đó: CP = CA CB = R 54 Điều chứng tỏ B điểm cố định Khi đường tròn (S ) qua hai điểm cố định A, B ta có tập hợp điểm S đường trung trực đoạn AB b) PQ đường đối cực điểm S đường tròn (C ) Khi S di động đường trung trực AB , đường đối cực PQ qua điểm cố định D , với D cực điểm đường trung trực AB đường tròn (C ) Điểm D nằm AC vng góc với đường trung trực AB c) Gọi p phương tích điểm A đường trịn (C ) Ta có: AP AP ' = AQ ' AQ = p Qua phép nghịch đảo f cực A , phương tích p , đường trịn (C ) biến thành nó, hai điểm P, Q có ảnh P ', Q ' Do đó, qua phép nghịch đảo f , đường tròn ( APQ) biến thành đường thẳng P ' Q ' Vì đường trịn (S ) trực giao với đường tròn (C ) nên ta suy P ' Q ' trực giao với (C ) Do đó, P ' Q ' qua tâm C cố định đường tròn (C ) vậy, B, C hai điểm nghịch đảo d) Đường tròn ( AP ' Q ') ảnh đường thẳng PQ qua phép nghịch đảo f nói Vì PQ qua điểm D cố định nên đường tròn ( AP ' Q ') qua D ' cố định, với D ' = f ( D) Ta có: CP = CA CB = R Xét phương tích C đường trịn ( AP ' Q ') , ta có: CA CD ' = CP '.CQ ' = −CP Ta suy CA CB = −CA CD '; CB = −CD ' Điều chứng tỏ điểm D ' đối xứng với điểm B qua điểm C hay C trung điểm đoạn BD ' Bài tập đề nghị Bài tập Cho ba điểm A, B, C nằm đường thẳng Qua A, B điểm E biến thiên đường trung trực  AB , ta dựng đường tròn ( ABE ) Đường thẳng CE cắt đường trịn M Tìm quỹ tích điểm M E di động  55 Bài tập Cho dường tròn ( O, R ) hai đường thẳng Ox, Oy vuông góc với Lấy điểm M đường trịn (O) , tiếp tuyến đường tròn (O) điểm M cắt Ox, Oy A, B Trục đẳng phương đường tròn (O) đường tròn ( AOB) cắt Ox, Oy C , D Tìm quỹ tích trung điểm I CD điểm M chuyển động (O) Bài tập Cho đường tròn ( O, R ) điểm M  ( O ) Một góc vng thay đổi đỉnh M , hai cạnh cắt (O) A, B Hai đường tròn ( O1 ) , ( O2 ) qua M tiếp xúc với (O) theo thứ tự A, B Tìm quỹ tích I giao điểm thứ hai ( O1 ) , ( O2 ) 56 CHƯƠNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG HÌNH ARBELOS Giới thiệu Arbelos Hình Arbelos nghiên cứu nửa đường tròn tiếp xúc, chữ “Arbelos” ghép từ chữ 𝛼, 𝜚, 𝛽, 𝜂, 𝜆, 𝜃, 𝜍 Trên đoạn thẳng 𝐴𝐵 ta lấy điểm 𝐶 dựng nửa đường trịn đường kính 𝐴𝐶, 𝐵𝐶, 𝐴𝐵, ta gọi nửa đường trịn 𝑂1 (𝑎), 𝑂2 (𝑏) 𝑂(𝑎 + 𝑏) tương ứng Nếu ta cắt hai nửa hình trịn nhỏ khỏi nửa hình trịn lớn ta nhận hình “con dao thợ đóng giày” hay cịn gọi hình Arbelos Archimesdes z Nhà toán học thiên văn học Archimedes khám phá nhiều định lý Arbelos công bố sách “Sách bổ đề” ơng Mặc dù tốn hình Arbelos có từ thời đến tận ngày người ta phất nhiều bí ẩn, nhiều kết công bố diễn đàn tốn học mà điển hình Forum Geometricorum (ISN 1534 – 1778) Đây tạp chí khoa học hình học Euclide khoa Tốn trường đại học Florida Atlantic (Mỹ) Tạp chí thành lập giáo sư Paul Yiu từ năm 2001 ông tổng biên tập tạp chí Chuỗi Pappus đường tròn nội tiếp Arbelos Định nghĩa Cho hình Arbelos [𝐴𝐵𝐶 ], dãy đường 𝐶1 , 𝐶2 , 𝐶3 , … gọi chuỗi Pappus đường tròn nội tiếp Arbelos [𝐴𝐵𝐶 ] đường tròn 𝐶1 tiếp xúc với ba nửa đường tròn (𝐴𝐵 ), (𝐴𝐶 ), (𝐵𝐶 ) 𝐶𝑛 tiếp xúc với hai nửa đường tròn 𝐶𝑛−1 với n Sau khám phá Archimedes hình Arbelos, Pappus đưa phép chứng minh định lý đáng nhớ Arbelos Chính Pappus khẳng định định lý 57 biết đến từ thời xuất hình Arbelos ngày gắn định lý cho ơng – định lý Pappus Bằng phép nghịch đảo, ta có chứng minh định lý Pappus Định lý Pappus Cho chuỗi Pappus đường tròn nội tiếp Arbelos 𝐶1 , 𝐶2 , … , 𝐶𝑛 , … Khi với 𝑛 khoảng cách từ tâm 𝐶𝑛 đến đáy 𝐵𝐶 Arbelos 𝑛 lần đường kính 𝐶𝑛 Nói cách khác, với ký hiệu ℎ𝑛 khoảng cách từ tâm 𝐶𝑛 đến 𝐵𝐶, 𝑟𝑛 bán kính 𝐶𝑛 với 𝑛, ta có cơng thức ℎ𝑛 = 2𝑛 𝑟𝑛 Trong khuôn khổ tiểu luận, chắn sâu vào tất vấn đề đề cập bên trên, chúng tơi giới thiệu đơi nét phép nghịch đảo hình Arbelos 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Như Cương (Chủ biên), Hồng Ngọc Hưng, Đỗ Mạnh Hùng, Hồng Trọng Thái Hình học sơ cấp thực hành giải toán, NXB Đại học Sư phạm [2] Nguyễn Sơn Hải, Một số vấn đề hình Arbelos, Luận văn Thạc sĩ Tốn học, Đại học Thái Nguyên [3] Lê Anh Dũng, Phép nghịch đảo, THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang [4] Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Kim Chi, Nguyễn Thái Hùng, Trần Lê Quang Ngọc, Phép nghịch đảo mặt phẳng, THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long [6] Khuất Phương Anh, Phép nghịch đảo Một số ứng dụng đẹp nó, Khóa luận Tốt nghiệp Đại học, Đại học Sư phạm Hà Nội [7] Tạp chí Tốn học dành cho Học sinh-Sinh viên Việt Nam, số 03/2009, THPT Chuyên Lê Hồng Phong [8] Kenji Kozai, Shlomo Libeskind, Circles Inversion and Applications to Euclidean Geometry [9] I E Leonard, J E Lewis, A C F Liu, G W Tokarsky, Classical Geometry (Euclidean, Transformatioal, Inversive & Projective), Wiley 59