(TIỂU LUẬN) TIỂU LUẬN PHÉP NGHỊCH đảo và ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN HÌNH học PHẲNG

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM Khoa Toán – Tin học TIỂU LUẬN PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG Mơn học: Hình học sơ cấp Giảng viên: TS Trần Nam Dũng Danh sách nhóm Đinh Tấn Tài – 19110023 Nguyễn Hồng Minh – 19110113 Nguyễn Như Tân – 19110177 Năm học: 2021 - 2022 Lời mở đầu Bài tiểu luận sản phẩm nhóm chúng em mơn Hình học sơ cấp, khoa Toán – Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM Nhóm nhận thấy chương trình THPT, số phép biến hình đưa vào giảng dạy phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, đối xứng trục, phép vị tự, phép đồng dạng, nhiên phép nghịch đảo không đề cập đến Tuy nhiên nhiều tốn, khơng sử dụng phép nghịch đảo việc tìm lời giải trở nên khó khăn, ngồi sử dụng phép nghịch đảo giúp lời giải trở nên ngắn gọn, xúc tích Phép nghịch đảo phép biến hình thuộc loại khác, bảo tồn lớp đường thẳng đường trịn biến đường thẳng thành đường trịn ngược lại Chính đặc trưng phép nghịch đảo nên trở thành cơng cụ tư hữu ích để phát triển tốn cho ta cách nhìn tốn Điều giúp cho người học tốn khơng phát triển kiến thức hình học mà cịn cung cấp cho họ nhìn sâu tốn Vì vậy, nhóm chúng em định chọn đề tài “Phép nghịch đảo ứng dụng” để tìm hiểu nghiên cứu Bố cục tiểu luận ngồi phần mở đầu kết luận, tiểu luận gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị: trình bày sơ lược kiến thức có liên quan đến phép biến nghịch đảo Chương Cơ sở lý thuyết: nhằm cung cấp kiến thức phép nghịch đảo, tính chất mà chúng em áp dụng vào số toán chương Chương Ứng dụng vào giải tốn hình học phẳng: vận dụng định nghĩa tính chất phép nghịch đảo vào số tốn chứng minh, quỹ tích, dựng hình hình học phẳng Chương Mở rộng (Hình Arbelos cặp đường trịn Archimedes): Hình Arbelos dựa hình tạo nửa đường trịn ( , , ), cịn gọi “hình dao thợ đóng giày” Chúng em cố gắng q trình thực kiến thức cịn hạn chế nên chắn tiểu luận nhiều thiếu sót Nhóm chúng em mong nhận góp ý thầy bạn để tiểu luận hồn thiện Xin trân trọng cảm ơn NHĨM THỰC HIỆN Mục lục Đôi nét lịch sử phép nghịch đảo CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ I Giới thiệu phép biến hình Khái niệm hình 2 Khái niệm phép biến hình .2 Tích hai phép biến hình Phép biến hình đảo ngược .3 Phép biến hình có tính chất đối hợp II Các phần tử bất biến phép biến hình III Định hướng Định hướng mặt phẳng Định hướng không gian IV Một số định nghĩa góc hai đối tượng V Một số vấn đề liên quan đến đường tròn, mặt cầu Phương tích điểm đường tròn Trục đẳng phương hai đường tròn Hai đường tròn trực giao Phương tích điểm mặt cầu 10 Chùm đường tròn 10 CHƯƠNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO .14 I Định nghĩa tính chất phép nghịch đảo 14 Định nghĩa 14 Các tính chất 15 II Ảnh đường thẳng đường tròn qua phép nghịch đảo 22 III Ảnh mặt phẳng mặt cầu qua phép nghịch đảo 26 IV Sự bảo tồn góc qua phép nghịch đảo 29 V Biểu thức tọa độ phép nghịch đảo .30 Ảnh đường thẳng qua phép nghịch đảo 32 Ảnh đường tròn qua phép nghịch đảo 32 VI Cách dựng ảnh qua phép nghịch đảo 33 Phương pháp Compa 33 Phương pháp tiếp tuyến 33 Phương pháp đường kính vng góc 34 VII Thước vẽ hình nghịch đảo hình cho trước 35 VIII Ảnh chùm đường tròn qua phép nghịch đảo .38 CHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG SỬ DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO 41 Dạng 1: Ứng dụng phép nghịch đảo toán chứng minh đẳng thức tính tốn 41 Dạng 2: Ứng dụng phép nghịch đảo toán chứng minh thẳng hàng đồng quy 45 Dạng 3: Ứng dụng phép nghịch đảo tốn liên quan đến quỹ tích 51 CHƯƠNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO .57 TRONG HÌNH ARBELOS .57 Giới thiệu Arbelos .57 Chuỗi Pappus đường tròn nội tiếp Arbelos .57 Đôi nét lịch sử phép nghịch đảo Apollonius xứ Perga (250 – 175 trước Công nguyên) tiếng với cơng trình nghiên cứu thiên văn học, trước tiếng tác phẩm liên quan tới đường conic Thật khơng may, cơng trình gốc Apollonius thiên văn học hầu hết cơng trình tốn học ơng (ngoại trừ Conic) bị biết từ bình luận Pappus Alexandria (290–350 sau Công nguyên) Theo Pappus, Apollonius điều tra họ cụ thể đường tròn đường thẳng Appollonius xác định đường cong: ( , ) tập hợp điểm cho = × , với hai điểm nằm mặt phẳng, số dương tùy ý Đường cong trở thành đường thẳng = 1, ngược lại, trở thành đường trịn – cịn gọi đường trịn Apollonius Ơng chứng minh với đường tròn (tâm , bán kính ) thuộc họ đường cong { ( , )} × = với , hai điểm nằm tia qua Tầm quan trọng to lớn phép nghịch đảo hình học sơ cấp rõ ràng nghĩ biến số tập có liên quan đến đường trịn tốn có cấu trúc tương tự, thành phức tạp nhiều đường tròn thay đường thẳng Có chứng gián tiếp Apollonius sử dụng phép nghịch đảo để giải vấn đề thiên văn liên quan đến quỹ đạo thiên thể Vì lý tương tự, phép nghịch đảo sớm nhà Vật lý áp dụng, ví dụ Thomson lý thuyết điện trường Các yếu tố vòng tròn Apollonius phần chuỗi lịch sử khác Trong chương khám phá vấn đề Apollonius sử dụng phép nghịch đảo cho giải pháp CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ I Giới thiệu phép biến hình Khái niệm hình Ta gọi tập hợp điểm khác rỗng hình Muốn điểm thuộc hình , người ta dùng ký hiệu ∈ ∋ Giao hai hình ∩ ∪ Hợp hai hình Nếu điểm hình , điểm hình người ta nói tập hợp hay phận viết ⊂ hay ⊃ Khái niệm phép biến hình Ta ký hiệu tập hợp tất điểm mặt phẳng Khi hình mặt phẳng tập ký hiệu ⊂ Định nghĩa 1.1 Cho tập hợp khác rỗng Một song ánh từ vào gọi phép biến hình tập Như cho phép biến hình : ⟶ cho quy tắc để điểm thuộc , ta tìm điểm ′ = ( ) hoàn toàn xác định thỏa mãn hai điều kiện sau đây:  Nếu , hai điểm phân biệt ( ), ( ) hai điểm phân biệt  Với điểm ′ thuộc có điểm ()= ′ thuộc cho Điểm ′ gọi ảnh điểm qua phép biến hình biến hình biến điểm thành điểm ′ ta có ( ) = ′ Ngược lại điểm gọi tạo ảnh điểm ′ qua phép biến hình nói Người ta cịn nói phép Tích hai phép biến hình Định nghĩa 1.2 Trong hình học ta thường tiếp Nếu ta dùng phép biến hình phải thực nhiều phép biến hình liên : ⟶ để biến điểm thành điểm ′ lại dùng tiếp phép biến hình thứ hai : ⟶ để biến ′ thành ′′ Ta có: ′ = ( ); ′′= ( ′) ′′ Khi phép biến hình ℎ biến thành gọi tích hai phép biến hình ký hiệu ℎ = Ta có: ′′ = ( ′)= [ ( )] ℎ( )=( )( )= Nói chung tích hai phép biến hình khác tích Phép biến hình đảo ngược Định nghĩa 1.3 Trong mặt phẳng cho phép biến hình biến điểm thành điểm ′ Khi phép biến hình biến điểm ′ thành điểm gọi phép biến hình đảo ngược phép biến hình cho Ký hiệu −1 phép biến hình đảo ngược (với phép biến hình đồng nhất) −1 ( ′) = Mỗi phép biến hình có phép biến hình đảo ngược ta có: −1 = −1 = Phép biến hình có tính chất đối hợp Định nghĩa 1.4 Cho phép biến hình biến điểm thành điểm ′, sau thực tiếp phép biến hình biến điểm với ta nói phép biến hình có tính 2chất đối hợp ′ ′′ Ta có: ( ) = ( ) = II −1 ≡hay = ′ thành điểm ′′ Nếu ′′ trùng Các phần tử bất biến phép biến hình Định nghĩa 1.5 Điểm gọi điểm kép (điểm bất động) phép biến hình ảnh hưởng qua phép biến hình Định nghĩa 1.6 Hình gọi hình kép phép biến hình ảnh điểm nằm Chẳng hạn, phép đối xứng ( ) tâm đối xứng điểm bất động đường thẳng qua bất biến Trong phép đối xứng (Δ) trục đối xứng Δ hình cố định cịn đường thẳng vng góc với Δ bất biến ⃗ Trong phép tịnh tiến ( ) ⃗ theo vectơ ⃗ ≠ ⃗0 khơng có điểm bất động nào, đường thẳng có phương ⃗ (tức song song với ⃗) bất biến III Định hướng Ở lớp ta thường nói góc có số đo khơng vượt q 360° góc nhọn, góc vng, góc bẹt, … Tuy nhiên thực tế nhiều phải quan niệm góc với nghĩa rộng Ví dụ bánh xe quay vịng rưỡi ta nói quay ° góc 540 , việc quay thực theo hai chiều quay khác Cùng với việc định hướng cho đoạn thẳng, đường thẳng, việc định hướng cho góc mặt phẳng, không gian mang lại cho nhiều điều thuận lợi việc nghiên cứu hình học nhiều lĩnh vực khác Định hướng mặt phẳng Trong mặt phẳng ℝ cho điểm cố định Khi xung quanh có hai chiều quay Ta chọn chiều quay ngược chiều kim đồng hồ chiều dương, chiều kim đồng hồ chiều âm a Góc định hướng hai tia Định nghĩa 1.7 Cho hai tia , chọn tia đầu Ký hiệu ((( , (() , tia cuối Khi góc định hướng hai tia hình thu quay tia quanh điểm tới trùng tia Nhận xét:   Góc định hướng có nhiều giá trị Góc định hướng dương góc quay theo chiều dương mặt phẳng ngược lại  Nếu chọn góc định hướng quay tia tới trùng tia , ta quay thêm số vịng để tia trùng với tia (( nói gọi giá trị góc định hướng suy rộng ( ((( b , () = Tất giá trị góc (( , ) Như vậy, góc định hướng suy rộng có vơ số giá trị nên ký hiệu là: + ( ∈ ℤ) Góc định hướng hai đường thẳng Định nghĩa 1.8 Trong mặt phẳng , cho hai đường thẳng cắt điểm Góc định hướng hai đường thẳng quanh điểm đến trùng đường thẳng Ký hiệu ( , ) , góc quay đường thẳng xung Khác với góc định hướng hai tia, ta nhận thấy quay đường thẳng xung quanh điểm để đến trùng với quay nửa vịng đường thẳng lại đến trùng với đường thẳng lần Như vậy, góc định hướng hai đường thẳng , xác định sai khác góc nên ký hiệu là: ( , )= + Định hướng không gian ( ∈ℤ) Định nghĩa 1.9 Trong không gian cho đường thẳng Δ định hướng Xung quanh Δ có hai chiều quay Nếu ta chọn chiều dương, chiều âm ta nói ta định hướng không gian IV Một số định nghĩa góc hai đối tượng Trước tìm hiểu tính bảo tồn phép nghịch đảo, ta qua số định nghĩa Định nghĩa 1.10 (Góc đường thẳng) Cho đường thẳng 2) góc đường thẳng   và Đặt ∠( 1, Ta định nghĩa góc đường thẳng sau: Nếu ∕∕ ≡ ∠( 1, 2) = Nếu cắt ∠( 1, 2) góc nhỏ góc tạo thành Định nghĩa 1.11 (Góc đường thẳng đường trịn) Cho đường tròn (O) đường thẳng d cắt (O) M Góc đường thằng d đường trịn (O) góc tiếp tuyến M (O) đường thẳng d Định nghĩa 1.12 (Góc đường trịn) giao điểm thứ A Góc đường tròn tiếp tuyến A ( 1) ( 2) Cho đường tròn ( 1) ( 2) cắt ( 1) ( 2) định nghĩa góc 2 Bài tập (Hong Kong 2017) Cho tam giác có ≠ Đường tròn nội tiếp tam giác tâm ̂ điểm thứ hai Đường thẳng cắt ( ) điểm thứ hai Tính Bài tập (Trung Quốc 2012) Cho tam giác ngoại tiếp tam giác điểm , tiếp xúc với Đường thẳng cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác góc lớn Trên đường trịn , có góc lấy ̂ điểm cung Chứng minh phân giác góc ,,   đường tròn qua , tiếp xúc với ; Gọi là đường tròn qua , tiếp xúc với Gọi giao Dạng 2: Ứng dụng phép nghịch đảo toán chứng minh thẳng hàng đồng quy , tiếp xúc với cạnh Bài tốn 2.1 Cho đường trịn ( ; ) nội tiếp tam giác , , 1, 1, 2, 2, qua Gọi 2, 2, giao điểm thứ hai 1, 1, với ( ), , , trung điểm Lời giải 45 1, 1, 1 Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác Để chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác 2, 2, phương tích biến đường trịn thành đường thẳng Xét phép nghịch đảo Dễ thấy , , thắng hàng, ∆ ( ) điểm kép ⇒ ⇒ 2 12 qua O Ta có phép nghịch đảo cực , vng 1, có đường cao : → Mặc khác ( ; ) đường tròn nghịch đảo nên ( (( (( = ( 1)2= nên điểm : 1→ 1, 2→ Vậy đường tròn ( Tương tự đường tròn ( 2) có ảnh qua , 1, Đây đường thẳng nên ( ), ( 1) Bài tốn 2.2 Cho đường trịn ( ) đường kính Một điểm nằm ngồi đường trịn Gọi 0, vẽ từ đến ( ) Chứng minh , , thẳng hàng qua giao điểm Lời giải 46 2) phải qua cực , với ( ) trực tâm ∆ Gọi , tiếp điểm tiếp tuyến Để chứng minh điểm , , thắng hàng ta chứng minh ảnh ba điểm nằm đường tròn qua cực phép nghịch đảo Xét phép nghịch đảo cực , phương tích Ta có 2: → , → nên 2: ( ) → Gọi Để chứng minh , , Mà (( ⇒ ⇒ (( = (( (( = nên tứ giác 0∈ 00 = = ảnh H phép nghịch đảo thẳng hàng ta cần chứng minh nội tiếp ⇒ ( ) ( 0) = ∈ hay , , thẳng hàng ̂ = ̂ = 90 , điểm 0∈ ( ) nhìn đoạn góc vng Bài tốn 2.3 Cho , , , bốn điểm phân biệt nằm đường thẳng xếp theo thứ tự Các đường trịn đường kính , cắt điểm , Đường thẳng cắt Cho điểm tia nằm đoạn thẳng Đường thẳng cắt đường trịn đường kính điểm thứ hai , đường thằng cắt đường trịn đường kính Chứng minh , , đồng quy Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy thường ta có hai hướng sau: - Chứng minh ảnh ba đường trịn phép nghịch đảo cực , phương tích mà ba đường trịn có điểm chung khác , ba đường thẳng đồng quy ′ = ( ) - Chứng minh hai đường thẳng ảnh hai đường tròn cắt phép nghịch đảo cực , phương tích đường cịn lại qua cực , đồng thời trục đẳng phương hai đường trịn đó, ba đường thắng đồng quy điểm ' ( ′ ảnh giao điểm (khác cực) hai đường tròn) Lời giải 47 Gọi ( 1), ( Do 2) đường trịn đường kính đường trịn đường kính ′ = ∩ ( nằm ⇒ /( 1) = Ta có /( 2) ⇒ : ′↦ , ( ( trục đẳng phương ( ( ⇒( ↦ Tương tự : ↦ , Vì : ↦ nên để chứng minh ̅̂ = ̂′ ( = = 90° ⇒ ∈ ( ′ ( , , ′=∩( 2) ( ′ )↦ ⇒( ′) ↦ , đồng quy ta chứng minh XY trục đẳng phương hai đường tròn ( ′ ) Tương tự ∈ ( ′) suy trục đẳng phương hai đường tròn ( Vậy 1), 2)) = Xét phép nghịch đảo cực , phương tích ↦ , 1) ′ ) ( đồng quy 48 ′) ′ ) ( ′ ) Do Bài tập 2.4 Cho ∆ tam giác nhọn với Gọi M trung điểm đoạn AB Giả sử đường tròn ngoại tiếp ∆ ngoại tiếp ∆ cắt , đường thẳng , và đường trịn hai đường cao cắt H phía với cắt điểm đường tròn ngoại tiếp ∆ so với Lời giải Đường tròn ( ) đường tròn ∆ ảnh qua phép nghịch đảo (1) (( (( Xét phép nghịch đảo tâm H, phương tích k = (HA (HD ⇒D Xét từ giác AEDB ta có: ̂ = ̂ = 90 ⇒AEDB tứ giác nội tiếp đường tròn tâm M đường kính AB ⇒ ̅(( ( ( ( = ⇒ ảnh qua phép nghịch đảo (2) Chứng minh tương tự ảnh chân đường cao đỉnh (3) Từ (1), (2), (3) ⇒ Ảnh đường tròn ( Từ (1), (2) ⇒ Ảnh đường tròn ( ) qua phép nghịch đảo Ta có giao điểm ( ⇒ ) qua phép nghịch đảolà ( ) ( ) đường thẳng , , thẳng hàng hay ) nên ảnh qua phép nghịch đảo là giao điểm đường thẳng ( cắt điểm 49 ) Chứng minh Ta có ảnh đường trịn ( ⇒ ) qua phép nghịch đảo Ảnh M qua phép nghịch đảo với giao điểm ( ⇒ Xét ∆ ∆ ̅̂ ⇒ Mà ⇒ ( (( Xét ∆ = ⇒ (= ̅(( ⇒ ( = (( ̅(( ( ( ) ) với nằm trái phía với qua ( = ( ( , ta có: ∆ = ( = ( ( ̅̂ =( ( ∆ ( = (.( ( ̅(( ( (( ∆ ̅(( ( = (( ⇒ (( = (( , ta có: ̅̂ ℎ ⇒ ∆ ̅(( ( ̅(( ⇒ ⇒ =∆ = (( ( = = Xét phép nghịch đảo tâm ⇒ Ta có ( ) ′ Đường trịn tâm bán kính đường trịn nghịch đảo phép nghịch đảo Mà AEDB tứ giác nội tiếp đường tròn tâm M đường kính AB ⇒ (( ( (( (= Qua phép biến hình điểm , , , giữ nguyên (4) 2 = ⇒ ảnh qua phép nghịch đảo Từ (4) ⇒ Ảnh đường trịn ( đường trịn Ta có giao điểm ( ⇒ , phương tích k′ = ) ( ′ (5) ′ ) qua phép nghịch đảo đường thẳng Từ (4), (5) ⇒ Ảnh đường tròn ( ) nên ảnh qua phép nghịch đảo ′ là giao điểm đường thẳng ( , , thẳng hàng hay cắt điểm Mà cắt điểm 50 ) ) qua phép nghịch đảo ′ ⇒ , , đồng quy Bài tập đề nghị Bài tập Cho tam giác , tâm đường trịn bàng tiếp góc tâm đường tròn nội tiếp Gọi tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác hình chiếu Đường trịn đường kính cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác điểm thứ hai Chứng minh , , thẳng hàng Bài tập Cho đường trịn ( ) đường kính điểm tiếp tuyến ( ) ; ( khác ) Đường thẳng cắt ( ) lần thứ hai điểm đối xứng với qua Đường thẳng cắt ( ) lần thứ hai Chứng minh , , đồng quy Bài tập Cho tam giác nội tiếp đường tròn đường thẳng qua vng ( ) ngoại tiếp đường trịn ( ) Một cung(không chứa ) ( ) , đường thẳng qua song điểm , góc với cắt đoạn , Đường thẳng qua song song với cắt song với Chứng minh cắt Gọi , trung , , thẳng hàng , thẳng hàng Dạng 3: Ứng dụng phép nghịch đảo tốn liên quan đến quỹ tích Bài tốn 3.1 Cho đường tròn cố định tâm O dây cung cố định AB đường trịn Một điểm I di động đường tròn O Gọi J giao điểm thứ hai đường tròn qua I , tiếp xúc với đường thẳng AB A B Hãy tìm tập hợp điểm J Lời giải 51 Gọi (C ) (C ') hai đường tròn qua IJ trục đẳng phương (C ) (C ') M tiếp xúc với AB A B Đường thẳng phải qua trung điểm M đoạn thẳng AB Ta có: MI MJ = MA = MB2 Điểm J ảnh I phép nghịch đảo cực M phương tích k = MA2 = MB2 Điểm I vạch nên đường tròn (O) nên điểm J vạch nên đường tròn (O ') ảnh (O) qua phép nghịch đảo Đường tròn (O) qua hai điểm A B hai điểm bất biến phép nghịch đảo Vậy (O ') đường tròn qua ba điểm A, B , J Giả sử EF đường kính (O) EF qua M , ta có: ME.MF = MA.MB = − MA2 = −k Lấy E ' đối xứng với E qua AB ta có: ME ' = −ME Suy ra, ME '.MF = − ME.MF = MA2 = k Vậy E ' = f (M , k )( F ) quỹ tích điểm J đường tròn (O ') đối xứng với đường trịn (O) qua trục AB Bài tốn 3.2 Cho đường trịn tâm O bán kính R điểm S nằm ngồi hình trịn Gọi AB đường kính thay đổi đường trịn (O) a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB luôn qua điểm cố định I b) Các đường thẳng SA, SB cắt đường tròn (O) M N Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định đường trịn ngoại tiếp tam giác SMN ln qua điểm cố định Lời giải 52 a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB cắt SO I cố định vì: OI OS = OA OB = −R2 −R2 Do đó, OI = OS b) Xét phép nghịch đảo bảo tồn đường tròn (O) ta có: SA SM = SB SN = p Ảnh A, B qua phép nghịch đảo M , N Do ảnh đường tròn ( SAB) qua phép nghịch đảo đường thẳng MN Vì I cố định nên ta suy ảnh qua phép nghịch đảo điểm E cố định Ta có SI SE = p Cũng qua phép nghịch đảo đó, đường thẳng AB biến thành đường tròn ( SMN ) Vì AB qua O nên đường trịn ( SMN ) qua J cố định, với J ảnh O cố định qua phép nghịch đảo Vậy J cố định Bài toán 3.3 Cho ba điểm A, B , C thẳng hàng d đường trung trực đoạn thẳng AB Một đường tròn (O) thay đổi qua A, B cắt d D E Các đường thẳng CD CE cắt đường tròn (O) D ' E ' Tìm tập hợp điểm D ' E ' Lời giải Ta có: CD CD ' = CE CE ' = CA CB = k không đổi Vậy D ', E ' ảnh D , E phép nghịch đảo cực C , phương tích k 53 Do đó, ta suy tập hợp điểm D ', E ' nằm đường tròn ảnh đường thẳng d qua phép nghịch đảo Đường tròn qua điểm C , D ', E ' cắt AB I cho (ABIC) = −1 Bài toán 3.4 Cho đường trịn tâm C bán kính R điểm A nằm ngồi đường trịn Một đường trịn thay đổi tâm S qua điểm A trực giao với đường trịn (C) a) Tìm tập hợp điểm S b) Chứng minh dây cung PQ chung cho hai đường trịn (C) (S qua ) ln điểm cố định c) Hai đường thẳng AP AQ cắt đường tròn (C) điểm thứ hai P ' Q ' Chứng minh đường thẳng P ' Q ' qua điểm cố định d) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AP ' Q ' qua điểm cố định Lời giải a) Gọi B giao điểm thứ hai CA với đường tròn ( S) Vì hai đường trịn ( S) (C) trực giao với nên CP tiếp xúc với đường trịn ( S) P Do đó: CP = CA CB = R2 54 Điều chứng tỏ B điểm cố định Khi đường tròn ( S) qua hai điểm cố định A, B ta có tập hợp điểm S đường trung trực đoạn AB b) PQ đường đối cực điểm S đường tròn (C) Khi S di động đường trung trực AB , đường đối cực PQ qua điểm cố định D , với D cực điểm đường trung trực AB đường tròn (C) Điểm D nằm AC vng góc với đường trung trực AB c) Gọi p phương tích điểm A đường trịn (C) Ta có: AP AP ' = AQ ' AQ = p Qua phép nghịch đảo f cực A , phương tích p , đường trịn (C) biến thành nó, hai điểm P , Q có ảnh P ', Q ' Do đó, qua phép nghịch đảo f , đường tròn ( APQ) biến thành đường thẳng P ' Q ' Vì đường tròn ( S) trực giao với đường tròn (C) nên ta suy P ' Q ' trực giao với (C) Do đó, P ' Q ' qua tâm C cố định đường tròn (C) vậy, B , C hai điểm nghịch đảo d) Đường tròn (AP ' Q ') ảnh đường thẳng PQ qua phép nghịch đảo f nói Vì PQ qua điểm D cố định nên đường tròn (AP ' Q ') qua D ' cố định, với D ' = f ( D) Ta có: CP = CA CB = R2 Xét phương tích C đường trịn (AP ' Q '), ta có: CA.CD ' = CP '.CQ ' = −CP2 Ta suy CA CB = −CA CD '; CB = −CD ' Điều chứng tỏ điểm D ' đối xứng với điểm B qua điểm C hay C trung điểm đoạn BD' Bài tập đề nghị Bài tập Cho ba điểm A, B , C nằm đường thẳng Qua A, B điểm E biến thiên đường trung trực AB , ta dựng đường trịn ( ABE ) Đường thẳng đường trịn M Tìm quỹ tích điểm M E di động 55 CE cắt Bài tập Cho dường tròn (O, R) hai đường thẳng Ox , Oy vng góc với Lấy điểm M đường tròn (O) , tiếp tuyến đường tròn (O) điểm M cắt Ox , Oy A, B Trục đẳng phương đường tròn (O) đường tròn ( AOB) cắt Ox , Oy C , D Tìm quỹ tích trung điểm I CD điểm M chuyển động (O) Bài tập Cho đường tròn (O, R) điểm M (O) Một góc vng thay đổi đỉnh M , hai cạnh cắt (O) A, B Hai đường tròn (O1 ),(O2 ) qua M tiếp xúc với (O) theo thứ tự A, B Tìm quỹ tích I giao điểm thứ hai (O1 ),(O2 56 ) CHƯƠNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG HÌNH ARBELOS Giới thiệu Arbelos Hình Arbelos nghiên cứu nửa đường tròn tiếp xúc, chữ “Arbelos” ghép từ chữ , , , , , , Trên đoạn thẳng ta lấy điểm dựng nửa đường trịn đường kính , , , ta gọi nửa đường trịn 1( ), 2( ) ( + ) tương ứng Nếu ta cắt hai nửa hình trịn nhỏ khỏi nửa hình trịn lớn ta nhận hình “con dao thợ đóng giày” hay cịn gọi hình Arbelos Archimesdes z Nhà toán học thiên văn học Archimedes khám phá nhiều định lý Arbelos công bố sách “Sách bổ đề” ơng Mặc dù tốn hình Arbelos có từ thời đến tận ngày người ta phất nhiều bí ẩn, nhiều kết cơng bố diễn đàn tốn học mà điển hình Forum Geometricorum (ISN 1534 – 1778) Đây tạp chí khoa học hình học Euclide khoa Toán trường đại học Florida Atlantic (Mỹ) Tạp chí thành lập giáo sư Paul Yiu từ năm 2001 ông tổng biên tập tạp chí Chuỗi Pappus đường tròn nội tiếp Arbelos đường tròn Định nghĩa Cho hình Arbelos [ ], dãy đường 1, 2, 3, … gọi chuỗi Pappus đường tròn nội tiếp Arbelos [ ] tiếp xúc với ba nửa đường tròn ( ), ( ), ( ) tiếp xúc với hai nửa đường tròn −1 với n Sau khám phá Archimedes hình Arbelos, Pappus đưa phép chứng minh định lý đáng nhớ Arbelos Chính Pappus khẳng định định lý 57 biết đến từ thời xuất hình Arbelos ngày gắn định lý cho ông – định lý Pappus Bằng phép nghịch đảo, ta có chứng minh định lý Pappus Định lý Pappus Cho chuỗi Pappus đường tròn nội tiếp Arbelos 1, 2, … , , … Khi với khoảng cách từ tâm đến đáy Arbelos lần đường kính Nói cách khác, với ký hiệu ℎ khoảng cách từ tâm đến , bán kính với , ta có cơng thức ℎ =2 Trong khuôn khổ tiểu luận, chắn sâu vào tất vấn đề đề cập bên trên, chúng tơi giới thiệu đơi nét phép nghịch đảo hình Arbelos 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]Văn Như Cương (Chủ biên), Hoàng Ngọc Hưng, Đỗ Mạnh Hùng, Hoàng Trọng Thái Hình học sơ cấp thực hành giải tốn, NXB Đại học Sư phạm [2]Nguyễn Sơn Hải, Một số vấn đề hình Arbelos, Luận văn Thạc sĩ Tốn học, Đại học Thái Nguyên [3]Lê Anh Dũng, Phép nghịch đảo, THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang [4]Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục [5]Nguyễn Kim Chi, Nguyễn Thái Hùng, Trần Lê Quang Ngọc, Phép nghịch đảo mặt phẳng, THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long [6]Khuất Phương Anh, Phép nghịch đảo Một số ứng dụng đẹp nó, Khóa luận Tốt nghiệp Đại học, Đại học Sư phạm Hà Nội [7]Tạp chí Tốn học dành cho Học sinh-Sinh viên Việt Nam, số 03/2009, THPT Chuyên Lê Hồng Phong [8]Kenji Kozai, Shlomo Libeskind, Circles Inversion and Applications to Euclidean Geometry [9]I E Leonard, J E Lewis, A C F Liu, G W Tokarsky, Classical Geometry (Euclidean, Transformatioal, Inversive & Projective), Wiley 59 ... vẽ hình nghịch đảo hình cho trước 35 VIII Ảnh chùm đường tròn qua phép nghịch đảo .38 CHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG SỬ DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO 41 Dạng 1: Ứng dụng phép nghịch. .. phép biến nghịch đảo Chương Cơ sở lý thuyết: nhằm cung cấp kiến thức phép nghịch đảo, tính chất mà chúng em áp dụng vào số toán chương Chương Ứng dụng vào giải tốn hình học phẳng: vận dụng định... nghịch đảo, lấy giao điểm ′ = Chứng minh Ta có: ′ ′ =− =− Chứng minh= 21 ′ đường trịn nghịch đảo Ta có: II Ảnh đường thẳng đường tròn qua phép nghịch đảo Để áp dụng phép nghịch đảo vào giải Toán,