(LUẬN văn THẠC sĩ) các phương pháp tạo lưới tự động và ứng dụng trong tính toán cơ học

Phương pháp chia lưới Delaunay Triangulation

Giới thiệu

Phương pháp Delaunay Triangulation là một kỹ thuật chia lưới không cấu trúc, được phát triển từ sớm và dựa trên tiêu chuẩn Delaunay, hay còn gọi là tiêu chuẩn vòng tròn ngoại tiếp trống Tiêu chuẩn này xác định rằng trong không gian n - chiều, mỗi đơn hình được xác định bởi n + 1 điểm mà không chứa điểm nút nào khác Trong không gian ba chiều, bốn đỉnh của tứ diện tạo thành một mặt cầu không chứa các điểm nút khác, trong khi ở không gian hai chiều, hệ tam giác được tạo ra theo tiêu chuẩn Delaunay được gọi là hệ tam giác Delaunay Hệ tam giác này rất phổ biến trong thực hành nhờ vào các đặc điểm tối ưu mà nó mang lại.

• Các tam giác Delaunay là các tam giác xấp xỉ đều;

• Góc lớn nhất của tam giác được cực tiểu hóa;

• Góc nhỏ nhất của tam giác được cực đại hóa.

Hệ tam giác Delaunay có ưu điểm không bị biến dạng hoặc méo mó quá mức, nhưng tiêu chuẩn này không cung cấp hướng dẫn cụ thể về cách định nghĩa và liên kết các điểm lưới Một hạn chế khác là khả năng áp dụng tiêu chuẩn Delaunay trên toàn bộ miền tính toán với các tam giác biên xác định trước có thể gặp khó khăn Để giải quyết vấn đề này, có hai cách tiếp cận chia lưới tam giác: cách thứ nhất là bỏ qua tiêu chuẩn Delaunay gần biên để giữ nguyên biên của lưới, trong khi cách thứ hai áp dụng tiêu chuẩn Delaunay trên toàn miền và sau đó khôi phục biên ban đầu bằng cách loại bỏ các đơn hình ngoài miền tính toán.

Có nhiều thuật toán tạo lưới không cấu trúc dựa trên tiêu chuẩn Delaunay, trong đó một số thuật toán sử dụng phương pháp chia lưới có cấu trúc để phân bố các điểm nút lưới, sau đó kết nối chúng thành các tam giác thỏa mãn tiêu chuẩn hình học Thuật toán phổ biến nhất là Bowyer-Watson, có thể áp dụng cho không gian n - chiều Thuật toán này bắt đầu từ một hệ tam giác của một vài điểm và thêm các điểm mới vào hệ tam giác hiện tại, đồng thời tái thiết lập hệ tam giác một cách địa phương Quá trình này giúp cải thiện chất lượng lưới theo tiêu chuẩn Delaunay, với điểm khác biệt là vị trí các điểm và các liên kết được tính toán đồng thời.

Cơ sở hình học

Một ô lồi n- chiều S là một bao lồi củan+kđiểm P 1 , ,P n + k (k>1) mà các điểm này không cùng nằm trong một mặt phẳng(n−1)- chiều Như vậy

S bao gồm các điểmx ∈ R n thỏa mãn x n + k

Gọi tất cả các điểm P l của tập P i ,i = 1, ,n+k nằm trên biên của S là các đỉnh của ô lồi S.

Một mặt m - chiều của ô lồi n - chiều S (n > m ) được gọi là bao lồi của m+1 đỉnh P l , và bao lồi này không chứa bất kỳ một đỉnh nào khác của S.

Ta nói ô S là lồi mạnh nếu nó không có hai mặt bất kỳ cùng nằm trong mặt phẳngm - chiều với mọim < n

Nếu Plà một điểm nằm trong ô lồi mạnhSvới các đỉnhP 1 , ,P n + k thì

Hình 1.1: Ô lồi (bên trái) và ô tứ diện lồi mạnh (bên phải)

• Đơn hình và các ô đơn hình

Một phần tử đơn giản nhất trong n-chiều dùng để rời rạc hóa miền tính toán được gọi là ôn-chiều Ô này bao gồm n+1 điểm x₁, , xₙ₊₁ mà không nằm trong cùng một mặt phẳng (n−1)-chiều nào Các ô như vậy được gọi là đơn hình, và một đơn hình được tạo ra từ các điểm x ∈ Rⁿ thỏa mãn xₙ₊₁.

Đơn hình là một ô lồi mạnh với các đỉnh là x₁, , xₙ₊₁, trong đó tổng các hệ số αᵢ bằng 1 và αᵢ ≥ 0 Ví dụ, trong không gian ba chiều, đơn hình là một tứ diện với bốn đỉnh, trong khi ở hai chiều là một tam giác và một chiều là một đoạn thẳng Mỗi mặt m- chiều của đơn hình được xác định bởi m+1 đỉnh Điểm mx được coi là nằm trong đơn hình nếu mọi αᵢ > 0 với i = 1, , n+1 Trong thực tiễn, để rời rạc hóa miền tính toán, thường sử dụng các ô lồi với các mặt biên là các đơn hình, được gọi là các ô đơn hình Số mặt đơn hình i- chiều của S được ký hiệu là Nᵢ, với N₀ là số đỉnh của đơn hình.

• Tính nhất quán của lưới

Bằng một phép rời rạc phù hợp chúng ta thu được một tập hợp các điểm

V ∈ R n và một tập các ô lồi mạnhT thỏa mãn các điều kiện sau:

1.Tập hợp các đỉnh của các ô củaT trùng vớiV;

2.Nếu hai ô khác nhauS 1 và S 2 giao nhau, thì miền giao nhau đó là mặt chung của cả hai ô.

Hình 1.2: Các ô giao nhau chấp nhận được (a) và không chấp nhận được (b, c, d)

Tập hợp các ô của một phép rời rạc phù hợp tạo thành một miền kết nối đơn giảnn - chiều.

Gọi N i ,i > 0là số lượng các mặt biêni - chiều của miền rời rạc, N 0 là số đỉnh của biên, theo định lý Euler ta có: n − 1

(−1) i N i =1+ (−1) n − 1 biểu thức trên được sử dụng để xác định tính nhất quán của lưới.

Xét một tập hợp gồm các điểm P_i, với i = 1, 2, , N trong một không gian n chiều xác định Đối với mỗi điểm P_i, ta xác định một miền V(P_i) trong R^n, bao gồm các điểm có khoảng cách đến P_i nhỏ hơn khoảng cách đến các điểm P_j khác.

Trong không gian đa chiều, các miền Voronoi V_i được xác định bởi khoảng cách giữa các điểm P_i và P_j, với i và j từ 1 đến N Các khối đa diện Voronoi là giao của các bán không gian, tạo thành các đa diện lồi, nhưng không nhất thiết phải bị chặn Mặt biên chung giữa hai khối Voronoi V(P_i) và V(P_j) là một đa giác (n-1)-chiều Cặp điểm P_i và P_j được gọi là cặp cấu hình khi các khối Voronoi của chúng chia sẻ một mặt chung Khi kết nối các điểm kề nhau, ta tạo ra một lưới, trong đó n+1 điểm kề với một điểm khác sẽ hình thành một đơn hình n-chiều Tâm của mỗi đơn hình là một đỉnh của sơ đồ Voronoi, với yêu cầu rằng siêu cầu của mỗi đơn hình phải rỗng, tức là không có điểm nào nằm bên trong siêu cầu, đảm bảo rằng mọi điểm bên trong sẽ gần tâm hơn các điểm khác.

Các đơn hình được tạo ra từ lưới tổ ong Dirichlet hình thành một lưới tổ ong mới đáp ứng tiêu chuẩn Delaunay Biên của hệ tam giác Delaunay, được xây dựng dựa trên sơ đồ Voronoi, là các bao lồi của tập hợp các điểm P i.

Phép đặt tam giác Delaunay và lưới tổ ong Dirichlet được xem là các đối ngẫu hình học, với mỗi đơn hình S i tương ứng với một đỉnh P i của lưới tổ ong và ngược lại, mỗi miền Voronoi V(P j ) có một đỉnh P j trong hệ tam giác Hơn nữa, mỗi cạnh của hệ tam giác sẽ có (n−1) phân đoạn tương ứng trong lưới tổ ong.

Thiết lập hệ tam giác ban đầu

Lưới ban đầu thường thô với số lượng nút ít và các tam giác lớn, được tạo ra bằng cách chia một hình vuông trong miền tính toán thành hai tam giác Để cải thiện lưới, các điểm bên trong và biên được thêm vào liên tục cho đến khi đạt yêu cầu xấp xỉ miền Một yêu cầu quan trọng là hệ tam giác ban đầu phải bảo toàn biên, nghĩa là tất cả các cạnh biên phải nằm trong hệ tam giác này Để đảm bảo điều này, có thể sử dụng thuật toán Bowyer - Watson để quy định các điểm nút trên biên, tuy nhiên, không đảm bảo rằng hệ tam giác Delaunay sẽ bảo toàn biên Để khắc phục, ta có thể lặp lại việc chèn điểm mới tại trung điểm của các cạnh biên thiếu hoặc loại bỏ các điểm có thể làm phá vỡ liên kết biên.

Thuật toán Bowyer - Watson

Trong lĩnh vực phân chia tam giác Delaunay, có nhiều thuật toán, nhưng thuật toán Bowyer-Watson là phổ biến nhất Thuật toán này hoạt động bằng cách thêm các điểm vào hệ tam giác Delaunay hiện có, thường bắt đầu từ một tam giác lớn bao quanh tất cả các điểm cần thiết Gọi T i là tập hợp các tam giác và B i là tập hợp các đường tròn ngoại tiếp các tam giác đó Khi thêm điểm mới x i + 1 vào hệ thống, có bốn trường hợp có thể xảy ra: điểm mới nằm trong T i, không nằm trong T i nhưng nằm trong B i, và không nằm trong B i Chúng ta sẽ xem xét từng trường hợp này một cách chi tiết.

Tập S bao gồm các tam giác thuộc tập T i, có đường tròn ngoại tiếp chứa điểm x i + 1 Hệ tam giác mới được tạo ra bằng cách loại bỏ các cạnh bên trong của các tam giác trong S và nối điểm x i + 1 với tất cả các đỉnh của S.

Trong bài viết này, chúng ta có năm điểm x1, x2, x3, x4, x5 Điểm mới x6 được chèn vào nằm trong một tam giác và cũng nằm trong hai đường tròn ngoại tiếp Ở đây, S là tứ diện x2, x3, x4, x5 Để hoàn thiện, chúng ta sẽ xóa cạnh x2 x4 của S và nối x6 với bốn đỉnh của S.

Tập hợp S bao gồm các tam giác có đường tròn ngoại tiếp chứa điểm x i + 1 Trong trường hợp này, chúng ta chỉ xóa các cạnh của S gần nhất với điểm x i + 1 và có thể nhìn thấy từ điểm này Hệ tam giác mới được tạo ra bằng cách nối điểm x i + 1 với tất cả các đỉnh của các tam giác thuộc S và với bất kỳ đỉnh nào của T i mà có thể nhìn thấy từ x i + 1.

Trong hình vẽ, điểm mới x6 nằm trong đường tròn ngoại tiếp tam giác x1, x2, x3 Cạnh x1, x2 có thể nhìn thấy từ x6, do đó cạnh này bị xóa Hệ tam giác mới được tạo ra bằng cách nối x6 với các đỉnh cũ x1, x2, x3.

Chúng ta không cần loại bỏ bất kỳ cạnh nào của T i, mà chỉ cần xác định các cạnh ngoài của T i có thể quan sát từ x i + 1 Hệ tam giác mới được hình thành bằng cách nối điểm x i + 1 với mỗi đỉnh của các cạnh ngoài này.

Điểm x6 mới chèn vào không nằm trong đường tròn ngoại tiếp của bất kỳ tam giác nào Các cạnh x1x2 và x2x3 có thể nhìn thấy từ x6, do đó, hệ tam giác mới được tạo ra bằng cách nối x6 với các đỉnh x1, x2 và x3 Đường tròn ngoại tiếp của các tam giác x1x2x6 và x2x3x6 không chứa ba điểm nút còn lại, từ đó xác nhận tính chất của đường tròn ngoại tiếp được thỏa mãn.

Khi thêm một điểm mới vào hệ tam giác Delaunay, hệ tam giác mới sẽ được đánh giá theo một vài tiêu chuẩn hình học và vật lý.

• Tiêu chuẩn hình học: Các tam giác phải trơn, nhẵn và có kích thước, hình dạng tương tự nhau.

• Tiêu chuẩn vật lý: Mật độ điểm lưới trong miền tính toán phải ít hơn mật độ điểm lưới là nghiệm của phương trình vi phân từng phần.

Các phương pháp chèn điểm mới

Hệ tam giác Delaunay được xây dựng bằng cách lựa chọn các điểm biên và sử dụng thuật toán Bowyer - Watson để chèn các điểm mới vào miền tính toán Bài viết sẽ giới thiệu hai phương pháp khác nhau để thực hiện việc chèn điểm vào trong miền tính toán này.

• Thêm điểm mới vào tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Các điểm mới sẽ được thêm vào tại tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác, với điều kiện không quá gần các điểm nút hiện có Điểm mới cần cách đều ba đỉnh của tam giác Để thực hiện việc này, trước tiên cần sắp xếp các tam giác theo chất lượng, bắt đầu từ những tam giác có chất lượng kém nhất Tam giác được coi là có chất lượng kém nếu nó gầy, mỏng hoặc có góc tù, và điều này được xác định qua tỉ lệ khía cạnh.

Tỉ lệ khía cạnh A.R của tam giác ABC được xác định bằng công thức R/2r, trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp và r là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác Diện tích của tam giác ABC có thể được tính theo công thức cụ thể.

Nếu tam giác là tam giác đều, thì tỷ lệ A.R = 1 Khi ba đỉnh của tam giác gần như nằm trên một đường thẳng, tỷ lệ khía cạnh sẽ tăng lên, cho thấy tam giác đó càng gầy Do đó, tỷ lệ khía cạnh có thể được sử dụng để đo độ gầy của tam giác, từ đó giúp lập danh sách các tam giác có chất lượng kém.

Thêm vào danh sách các tam giác có diện tích lớn hơn 1.5 lần diện tích của tam giác đều có cạnh lớn nhất Bước này giúp loại bỏ tất cả các tam giác có diện tích lớn, đảm bảo danh sách chỉ chứa những tam giác phù hợp với tiêu chí đã đề ra.

Hình 1.3: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác ABC

Thêm vào danh sách các tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp lớn và tỉ lệ khía cạnh cao, nhằm giữ lại những tam giác nhỏ nhưng có tỉ lệ khía cạnh cao gần biên.

Tiêu chuẩn đánh giá tỉ lệ khía cạnh cao thường dựa vào kinh nghiệm, với tỉ lệ khía cạnh tiêu chuẩn là 1.5 Tỉ lệ này tương ứng với tam giác cân có góc ở đỉnh nằm trong khoảng từ 24 đến 104 độ.

Sử dụng ý tưởng trên thuật toán thêm điểm mới vào tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác được tiến hành theo các bước sau đây:

(i) Thiết lập hệ tam giác ban đầu sử dụng các điểm biên dữ liệu và thuật toán Bowyer - Watson.

Xếp hạng các tam giác dựa trên chất lượng của chúng và lập danh sách các tam giác kém chất lượng, bắt đầu từ tam giác có chất lượng thấp nhất Tiếp theo, chọn tam giác đầu tiên trong danh sách và thêm một điểm mới vào vị trí trung tâm của đường tròn ngoại tiếp.

(iv) Chia lại sử dụng thuật toán Bowyer - Watson.

(v) Thêm các tam giác mới vào danh sách chất lượng xấu nếu chúng không đủ tốt.

Khi áp dụng thuật toán chèn điểm mới vào tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đã chọn, cần lưu ý hai trường hợp cần loại bỏ.

• Tâm của tam giác được lựa chọn không nằm bên trong miền tính toán.

• Tâm của tam giác được lựa chọn qua gần biên của miền tính toán.

Một hạn chế của phương pháp này là mật độ lưới của hệ tam giác mới bị ảnh hưởng bởi mật độ lưới dọc biên, dẫn đến kích thước tam giác ở xa biên có thể làm cho nghiệm số của các phương trình vi phân không chính xác Để giải quyết vấn đề này, ta sử dụng hàm chỉ vị trí f(x), cung cấp giá trị bán kính đường tròn ngoại tiếp tại vị trí x trong miền Hàm f(x) được nội suy từ các giá trị nút trên lưới nền thích hợp Định nghĩa tham số α = R/f(X) cho tam giác có tâm X và bán kính R, ta thêm điểm mới vào tam giác có giá trị α lớn nhất Sau nhiều vòng lặp, tất cả tam giác trong hệ đều có giá trị α ≤ 1, đảm bảo kích thước tam giác đạt yêu cầu.

• Thêm điểm mới vào đoạn thẳng Voronoi.

Thay vì thêm điểm mới vào tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác, chúng ta sẽ chèn điểm mới dọc theo một cạnh của đa giác Voronoi Vị trí của điểm mới sẽ được xác định trước, và kích thước của ô lưới yêu cầu sẽ đạt được sau vài vòng lặp Kỹ thuật này có thể tạo ra một hoặc nhiều tam giác mới với kích thước phù hợp, giúp thu được các tam giác xấp xỉ đều trên toàn miền tính toán sau khi thực hiện việc chèn điểm mới.

Công thức của thuật toán:

Hệ tam giác Delaunay được phân chia thành tam giác ngoài và tam giác trong, trong đó tam giác ngoài có ít nhất một cạnh biên, còn tam giác trong không có Tam giác trong được chia thành hai loại: đã được chấp nhận và chưa được chấp nhận Các tam giác đã được chấp nhận có bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ hơn 1.5 f (X), với X là tâm đường tròn ngoại tiếp Thuật toán bắt đầu bằng việc xem xét các tam giác chưa được chấp nhận, có một cạnh chung với tam giác đã được chấp nhận, và chọn tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp lớn nhất.

Trong hình vẽ, tam giác ABD là tam giác chưa được chấp nhận với bán kính đường tròn ngoại tiếp R ABD, trong khi tam giác ABC đã được chấp nhận Cạnh chung AB được gọi là cạnh hoạt động Đoạn thẳng Voronoi của hai tam giác này là EF, với E và F lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABD và ABC Đoạn EF vuông góc với AB và giao điểm của EF với AB là điểm M.

Bây giờ ta thêm điểm X vào vị trí nào đó trên đoạn EF sao cho tam giác

ABD sẽ được thay thế bằng tam giác được chấp nhận ABX.

Kí hiệu f M là giá trị của f(X) tại M Đặt AM = p, MF = q.

Nếu X ≡ F, bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABX được tính bằng (p² + q²) / 2q Bán kính nhỏ nhất của bất kỳ đường tròn nào đi qua hai điểm A và B là p, với tâm M.

(p 2 +q 2 )/2q ≥ p +) Nếu f M ≤ p, chọn X sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp R ABX của tam giác ABX bằng p Điều này xảy ra khi MX = pvàAXB[ = 90 o

Hình 1.4: Các tam giác chấp nhận được và không chấp nhận được

+) Nếu f M > p chọn vị trí củaX sao cho

R ABX = min(f M ,(p 2 +q 2 )/2q) Điều này xảy ra khi X nằm giữaF và vị trí củaX ở trường hợp trên khi đó

MX = R ABX + q (R ABX ) 2 − p 2 (2.1.1) Trong cả hai trường hợp ta đều có:

+) Nếu f M < p < 1.5 f M và q > p thì điểm X sẽ được chọn sao cho AXB[ = 90 o , khi đó tam giác AXB là tam giác được chấp nhận Các cạnh

XA,XBsẽ là các cạnh hoạt động tiếp theo.

Để tìm vị trí điểm Y trên đường thẳng trực giao của AX sao cho tam giác AXY là tam giác chấp nhận được, chúng ta có thể thực hiện một số bước Đầu tiên, giả sử tam giác DAX là tam giác chưa được chấp nhận, chúng ta sẽ đặt lại nhãn p là p0 và gọi N là trung điểm của AX Tiếp theo, đặt AN = p1 = p0/√2, từ đó chúng ta có thể xác định vị trí điểm Y để tạo thành tam giác AXY chấp nhận được.

+) Nếu p 1 > f N thì bước trước được lặp lại và Y sẽ được chọn sao cho [AYX = 90 o

+) Nếu p 1 < f N , giả sử q > p 0 và R AYX = f N Theo phương trình(2.1.1) và (2.1.2) ta có:

Chú ý rằng giá trị hàm f tại M và N về cơ bản là giống nhau ( và cùng bằng f N ), vì vậy p 1 < f N < √

Hình 1.5: Chèn điểm vào đoạn thẳng Voronoi

Nếu AY được chọn là cạnh hoạt động tiếp theo, chúng ta có:

(AY) 2 = (2p 2 ) 2 = (p 1 ) 2 + (d 1 ) 2 và sử dụng phương trình (2.1.3) ta thu được

Do chúng ta giả thiết p 1 < f N < √

Nếu quá trình này được lặp lại với giả thiết f gần như bằng hằng số thì ta có các bước tổng quát như sau:

(2.1.4) và d n = f n + q (f N ) 2 −(p n ) 2 (2.1.5) Giá trị của p n hội tụ đến giá trị p Theo(2.1.4)ta có p f N

 Nghiệm của phương trình trên là p √3

2 f N tương tự giá trị củad n cũng hội tụ đến giá trị d, từ(2.1.5)

Hạn chế hình dạng của hệ tam giác Delaunay

Để đảm bảo các tam giác biên được giữ nguyên trong quá trình tái kết nối hệ tam giác khi thêm điểm mới, có thể sử dụng phiên bản hạn chế hình dạng của hệ tam giác Delaunay mà không làm ảnh hưởng đến các liên kết gần biên.

Trong hệ tam giác T không thỏa mãn tiêu chuẩn Delaunay, khi chèn điểm mới P, tập hợp các tam giác có đường tròn ngoại tiếp chứa P được gọi là hố Delaunay, ký hiệu là Γ(P) Điểm P là điểm duy nhất nằm trong Γ(P) Nếu A là một đỉnh của ít nhất một tam giác trong Γ(P) và có một tam giác S không thuộc Γ(P) mà A là đỉnh của nó, điều này sẽ ảnh hưởng đến cấu trúc của hố Delaunay.

A không phải là điểm trong của Γ(P) Vì vậy chúng ta cần chỉ ra rằng tồn tại một tam giác như thế.

Gọi {S i} là tập hợp các tam giác có đỉnh A và C i là đường tròn ngoại tiếp tương ứng với tam giác S i Một tam giác S i thuộc Γ(P) nếu điểm mới chèn vào nằm bên trong C i Do đó, A được coi là điểm trong của Γ(P) nếu các điểm P nằm bên trong giao của các đường tròn C Ngược lại, nếu A là điểm trong của Γ(P), thì miền bên trong sẽ được xác định bởi các tam giác này.

Hình 1.6 cho thấy rằng thành phần chính trong ∩ C i là rỗng, dẫn đến việc điểm A chỉ có thể nằm trên tất cả các đường tròn của { S i } Do đó, ít nhất một tam giác trong { S i } không nằm bên trong Γ(P), và A không phải là điểm trong của Γ(P).

Trong trường hợp tổng quát, hố Delaunay trở nên phức tạp hơn với các kết nối không còn đơn giản Để tái kết nối các tam giác, chúng ta xác định miền kết nối đơn giản lớn nhất của hố Delaunay chứa điểm P, gọi là thành phần chủ yếu và được ký hiệu là Γ P.

Rõ ràng là tất cả các cạnh biên của Γ P đều có thể nhìn thấy được từ P.

Vì Γ P không rỗng, nên tồn tại ít nhất một tam giác chứa điểm P thuộc Γ P Giả sử tam giác đó là ABC, và tam giác BCD nằm bên trong Γ P, điểm P sẽ nằm trong đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Khi đó, các điểm P, B, C, D tạo thành bốn đỉnh của một tứ diện lồi, với tất cả các cạnh của tứ diện này đều có thể nhìn thấy từ P Tiếp tục quá trình này cho tất cả các tam giác của Γ P, ta thấy rằng tất cả các cạnh của Γ P đều có thể nhìn thấy từ P.

• Xây dựng hệ tam giác bị hạn chế

Giả sử rằng một số tam giác trong hệ tam giác Delaunay là cố định, đặc biệt là các tam giác liền kề biên, được ký hiệu là T Các tam giác trong T không tham gia vào việc tạo ra các hố Delaunay, do đó, khi một điểm mới xuất hiện và có chứa một hoặc nhiều tam giác cố định, chúng ta chỉ tái kết nối trong phần của hố không chứa bất kỳ tam giác cố định nào Phần này được ký hiệu là Υ(P) và được tính bằng Υ(P) = Γ(P)− T Miền kết nối đơn giản lớn nhất của Υ(P) chứa điểm P được ký hiệu là ¯ Υ P Thành phần chủ yếu của Υ(P) được gọi là Υ P, và Υ P chỉ tồn tại nếu điểm P không nằm trong bất kỳ tam giác nào của T.

Tất cả các cạnh biên của Υ P đều có thể nhìn thấy từ P, và các đỉnh của Υ P được kết nối với P, điều này cho phép xây dựng một hệ tam giác hạn chế trong khi vẫn giữ nguyên các tam giác cố định của T¯.

• Bảo toàn biên của hệ tam giác

Một yêu cầu quan trọng trong quá trình tạo lưới là phải bảo toàn biên của miền tính toán Việc thiết lập hệ tam giác hạn chế giúp duy trì một tập hợp con các tam giác biên được hình thành từ các cạnh biên Các tam giác biên này có thể được tạo ra từ bất kỳ quá trình phù hợp nào, đảm bảo rằng hệ tam giác thu được không chỉ bảo toàn biên mà còn thỏa mãn tiêu chuẩn Delaunay cho các tam giác bên trong.

Weatherill và Hassan đã phát triển một phương pháp mới bằng cách áp dụng tiêu chuẩn Delaunay để tạo ra lưới biên phù hợp Phương pháp này bao gồm việc khôi phục các cạnh biên trong quá trình phân chia lưới Delaunay triangulation và sau đó loại bỏ tất cả các tam giác nằm ngoài miền tính toán.

Phép chia lưới Delaunay triangulation trong không gian

Trong không gian ba chiều, lưới không cấu trúc Delaunay được hình thành bằng cách kết nối các đỉnh của khối đa diện Voronoi có mặt chung Mỗi đỉnh của khối đa diện Voronoi đóng vai trò là tâm của khối cầu, đi qua bốn đỉnh tạo thành tứ diện, đảm bảo không có điểm nào khác nằm bên trong khối cầu đó.

Thuật toán chia lưới Delaunay trong không gian ba chiều thường sử dụng quy trình tuần tự Bowyer - Watson Mỗi điểm mới được thêm vào một hệ tam giác Delaunay hiện có, làm phá vỡ các liên kết và tái kết nối để tạo ra một hệ tam giác Delaunay mới Quá trình này tương tự như trong không gian hai chiều, bắt đầu với một hệ tam giác Delaunay được hình thành từ một siêu tứ diện hoặc siêu lập phương, sau đó phân chia thành năm tứ diện chứa tất cả các điểm khác Các điểm còn lại sẽ được thêm vào lần lượt, và sau mỗi lần thêm, thuật toán Bowyer - Watson sẽ được áp dụng để tạo ra các hố Delaunay, từ đó tái kết nối để hình thành hệ tam giác Delaunay mới.

Thuật toán hiện tại không bảo toàn bề mặt biên của miền tính toán, do đó cần thiết phải áp dụng các hạn chế cho hệ tam giác Delaunay Những hạn chế này trong không gian ba chiều tương tự như trong không gian hai chiều.

Trong cách tiếp cận đầu tiên, các tứ diện có mặt biên được giữ nguyên khi tái kết nối Những tứ diện này được thiết lập từ hệ phép tam giác Delaunay ban đầu Tiếp theo, điểm mới được chèn vào, xác định hố hình sao chứa điểm đó và tái kết nối các cạnh của hố Lưới thu được bảo toàn biên và các tam giác bên trong đáp ứng tiêu chuẩn Delaunay.

Thuật toán bắt đầu bằng việc xác định các điểm nút trên biên và kết nối chúng để tạo ra bề mặt hệ tam giác biên Sau đó, hệ tam giác Delaunay mới được xây dựng bằng cách chèn các điểm bên trong và áp dụng thuật toán Bowyer-Watson Các tứ diện cắt bề mặt biên sẽ được biến đổi để khôi phục lại biên Nếu một mặt biên không có trong tam giác Delaunay mới, điều này xảy ra do các cạnh và mặt của tứ diện cắt bề mặt đó Để khôi phục lại một mặt, cần khôi phục ba cạnh trước Quá trình này bao gồm việc tìm các tứ diện giao với các cạnh của mặt, thiết lập tiêu chuẩn giao nhau và thực hiện các phép biến đổi để khôi phục lại cạnh biên Cuối cùng, các tứ diện được biến đổi thành các tứ diện mới có mặt các cạnh yêu cầu, và quy trình tương tự được áp dụng để khôi phục các mặt biên.

Phương pháp tịnh tiến biên (Advancing Front)

Giới thiệu

Trong một số bài toán, phương pháp Delaunay Triangulation có thể không tạo ra lưới thỏa mãn, đặc biệt là trong bài toán xác định dòng chảy nhớt, nơi yêu cầu tạo ra các phần tử tam giác với bán kính tỉ lệ cao ở vùng biên Khi chỉ sử dụng Delaunay Triangulation, lưới thu được có thể không đạt yêu cầu Thêm vào đó, một vấn đề khác là các nút biên trở thành đỉnh của hệ tam giác cuối cùng, dẫn đến việc các cạnh biên giữa các nút không nhất thiết trùng với biên của miền tính toán, làm giảm tính nguyên vẹn của biên và cần thực hiện thêm các bước để khắc phục.

Phương pháp tịnh tiến biên (AFT) được George đưa ra lần đầu tiên năm

Phương pháp tạo lưới không cấu trúc năm 1971 bảo toàn tính nguyên vẹn của biên và cho phép tạo ra các tam giác có bán kính tỉ lệ cao trong các vùng lớp biên Khi áp dụng phương pháp này, các đường biên được phân tách thành các đoạn thẳng bằng cách lựa chọn phân bố các nút trên biên của miền tính toán Tập hợp các cạnh biên này tạo thành một 'front' ban đầu, sẽ di chuyển vào trong miền khi các điểm nút và các cạnh mới được hình thành Các phần tử tam giác được tạo ra bằng cách loại bỏ các cạnh cũ, với các đỉnh của phần tử mới bao gồm hai nút từ một đoạn thẳng của front và một nút khác Quá trình này tiếp tục cho đến khi không còn cạnh nào trong front, dẫn đến việc thu được các phần tử tam giác trong miền tính toán Việc lựa chọn các điểm nút trên đường cong biên cần phải phù hợp với yêu cầu kích thước của các ô lưới, vì các cạnh của front ban đầu sẽ trở thành các cạnh của hệ tam giác cuối cùng.

Điều khiển lưới

Khi áp dụng phương pháp chia lưới, việc chú ý đến kích thước và hình dạng của ô lưới là rất quan trọng Đối với phương pháp tịnh tiến biên trong không gian hai chiều, để tạo ra các ô lưới đáp ứng các yêu cầu cụ thể, chúng ta cần thực hiện hai bước tuần tự.

• Định nghĩa các đặc điểm yêu cầu của ô lưới;

Để tạo ra một lưới nền ban đầu đáp ứng các yêu cầu, cần xác định rõ sự phân bố không gian của các tham số lưới phù hợp trên lưới nền.

Kích thước, hình dạng và hướng của ô lưới tam giác được mô tả bởi một tập hợp gồm 3 tham số độc lập:

Hình 1.7: Các tham số mô tả của phần tử tam giác

Tham số định hướng Φ được liên hệ với hai véctơ trực giao s và n Để định nghĩa một ô lưới, cần nhập bốn tham số đầu vào (δ, s, n_x, n_y), trong đó n_x và n_y là hình chiếu vuông góc của n trên các trục ox và oy Các giá trị của bốn tham số này phải được xác định tại mỗi nút của lưới nền, thường do người sử dụng tạo ra và có thể không mịn, đặc biệt với các miền tính toán phức tạp Lưới nền có thể chỉ gồm một hoặc hai phần tử tam giác nhưng phải thỏa mãn yêu cầu biến đổi tuyến tính trong miền tính toán Nếu không có lưới nền được cung cấp, một lưới mặc định sẽ được tạo ra dựa trên các quy tắc thực nghiệm, với kích thước δ bằng 5% chiều dài đường chéo của lưới nền Để cải thiện phương pháp cho các miền có biên phức tạp, cần chỉ rõ các tham số lưới ở một số khu vực biên thông qua sự phân bố của các nguồn Khi miền tính toán là một chiếc máy bay, các tham số lưới cần được xác định ở đầu và đuôi máy bay Sự phân bố kích thước ô lưới sẽ được xác định dựa trên khoảng cách từ một điểm cho trước đến nguồn, với hàm nguồn đẳng hướng tại điểm nguồn S được xác định như δ(x).

Để điều khiển sự biến đổi kích thước tam giác δ tại S, các tham số δ₁, D và xₐ được đưa vào trong công thức D−x c ln 2 x≥ x c Hình 1.8 minh họa sự phụ thuộc của δ(x) vào các tham số này.

Hình 1.8: Sự phụ thuộc của δ ( x ) vào các tham số δ 1 , D, và x c

Để nội suy các tham số lưới từ lưới nền trong không gian hai chiều, cần xác định tam giác của lưới nền có chứa một điểm cho trước bằng cách tính toán diện tích tọa độ của điểm đó Giả sử có tam giác với các đỉnh được đánh số 1, 2, 3, ký hiệu ∆123 đại diện cho diện tích của tam giác này Diện tích sẽ dương nếu thứ tự 1, 2, 3 theo chiều ngược kim đồng hồ và âm nếu ngược lại.

Hình 1.9: Các điểm 1, 2, 3 theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ

Hình 1.10: Các điểm 1, 2, P theo thứ tự cùng chiều kim đồng hồ

Diện tích tọa độ của điểm P được xác định bởi các tỉ lệ của các diện tích sau: l 1 = ∆ 23P

Trong hình (1.9), nếu điểm P nằm bên trong tam giác có diện tích dương, thì tất cả các diện tích đều dương Ngược lại, trong hình (1.10), mặc dù l1 > 0 và l2 > 0, nhưng l3 lại có giá trị âm Điều này cho thấy, nếu điểm P nằm bên ngoài tam giác 123, thì sẽ có ít nhất một diện tích tọa độ âm.

Vì vậy, nếu cho trước một điểm P(x P ,y P ), chúng ta sẽ lấy một tam giác

Khi tam giác cuối cùng trong lưới nền được tạo ra, chúng ta sẽ tính toán các diện tích tọa độ của điểm P tương ứng Nếu phát hiện có diện tích tọa độ âm, chúng ta sẽ chuyển sang kiểm tra tam giác tiếp theo Chẳng hạn, trong hình (1.10), do l3 < 0, chúng ta sẽ xem xét tam giác đối diện với đỉnh 3, có cạnh chung 12 Quá trình này sẽ tiếp tục cho đến khi tìm ra tam giác có tất cả các diện tích tọa độ dương.

Thuật toán AFT

Thuật toán AFT nổi bật với việc sinh ra đồng thời các nút lưới và ô lưới tam giác Mỗi tam giác mới được tạo ra sẽ ngay lập tức trải qua quá trình kiểm tra địa phương Dưới đây là các bước thực hiện của thuật toán AFT.

1 Thiết lập một ’front’ lưới ban đầu và một tập hợp các đoạn thẳng định hướng liên kết các điểm đã được chọn trên biên Nội suy các tham số lưới cho tất cả các nút trên front Tất cả các nút trên front hiện tại được gọi là các nút hoạt động.

2 Lựa chọn mặt ngắn nhất của front với chiều dàil Giá trị củaδlà trung bình các giá trị nội suy củaδtương ứng với hai nút.

3 Xác định vị trí của điểm lý tưởngK ideal trên đoạn thẳng trực giao của mặt này sao cho một tam giác đều được tạo thành vớiK ideal là một đỉnh.

4.Dựng đường tròn tâmK ideal , bán kínhrđược lấy theo kinh nghiệmr 0.8∗ δ ′ , trong đó δ ′ 

Công thức 0.55∗l δ < 0.55∗l ≤ l ≤ 2.0∗l và 2.0∗l δ > 2.0∗l giúp xác định giá trị địa phương và ngăn ngừa việc tạo ra các tam giác bị méo mó, từ đó đảm bảo tính tương thích hình học trong thiết kế.

5 Tìm các nút hoạt động nằm bên trong đường tròn này và tính khoảng cách của các nút tớiK ideal Điểm nào gầnK ideal nhất được chọn là đỉnh thứ ba của tam giác tiếp theo.

6 Nếu không có các nút hoạt động thì tam giác đều có một đỉnh là K ideal cần phải được kiểm tra theo các yêu cầu sau:

• ĐiểmK ideal không nằm bên trong một phần tử tam giác khác.

• Các mặt của tam giác mới không giao với bất kì một mặt đã tồn tại của front hoạt động.

Nếu tam giác không thỏa mãn các điều kiện trên, ta tìm một nút hoạt động cho một tam giác có hình dạng tốt nhất.

7 Nếu bước 6 thất bại, xắp xếp lại trật tự của front, lấy mặt hoạt động ngắn thứ hai và quay trở lại bước3.

8 Nếu bước 5 và 6 thành công, một tam giác mới được sinh ra và làm mới lại front (mặt ngắn nhất được chọn đã bị xóa bỏ) Trong trường hợp bước

K ideal đạt được 6 thành công và trở thành một đỉnh, đồng thời đóng vai trò là nút hoạt động cho front mới Việc nội suy tham số lưới tổng quát cho điểm mới này là cần thiết để tối ưu hóa hiệu suất.

9 Sau khi làm mới front, quay trở lại bước3và lặp lại quá trình, tiếp tục cho đến khi không có cạnh nào còn lại trong front Khi đó tất cả các cạnh đều trở thành không hoạt động và miền tính toán đã tạo thành hệ tam giác đầy đủ.

Chúng ta xét một ví dụ đơn giản trong không gian hai chiều, miền tính toán là hình vuông ABCD bị khuyết một nửa đường tròn như hình vẽ

Lưới nền được cấu thành từ hai tam giác ACD và ABD, với các tham số lưới xác định là δ = 1, s = 1, n x = 1, n y = 0 tại các nút A, B, C, D Bài viết này sẽ hướng dẫn từng bước một cách đơn giản về quy trình tạo lưới.

Chọn các nút từ 1 đến 8 và thiết lập front ban đầu theo hình vẽ Một trong hai mặt ngắn nhất (1-2) được chọn để dựng đường tròn tâm K id với bán kính δ ′ Đường tròn này không chứa điểm nút nào bên trong, và tam giác đều K id 12 được chấp nhận, do đó điểm K id được chọn là điểm mới, front được làm mới lại.

• Các nút không hoạt động: Không

• Các mặt không hoạt động: 1-2

• Tổng số phần tử được tạo ra: 1

• Tổng số điểm nút còn lại: 9

Sau khi chọn mặt 2-3, chúng ta tiếp tục thực hiện các bước tương tự như trước Điểm K ideal sẽ được chấp nhận và trở thành nút mới, trong khi đó, front sẽ được cập nhật như hình dưới đây.

• Các nút không hoạt động: Không

• Các mặt không hoạt động: 1-2, 2-3

• Tổng số phần tử được tạo ra: 2

Tổng số điểm nút còn lại là 10 Khi chọn mặt 10-3, điểm K id không nằm trong miền tính toán, dẫn đến việc tam giác đều không được chấp nhận Do đó, điểm K id không thỏa mãn yêu cầu.

Chúng ta sử dụng nút hoạt động đã tồn tại là nút 4 và chọn mặt 10-4 là mặt mới front được làm mới lại và có các đặc điểm sau:

• Các nút không hoạt động: 3

• Các mặt không hoạt động: 1-2, 2-3, 3-4

• Tổng số phần tử được tạo ra: 3

• Tổng số điểm nút còn lại: 9

Tiếp theo mặt 2-10 đã được chọn, nhưng đường tròn tâmK id có chứa nút

9, vì vậy nút 9 được chọn là đỉnh của phần tử tiếp theo.

Front được làm mới lại với các đặc điểm:

• Các nút không hoạt động: 2, 3

• Các mặt không hoạt động: 1-2, 2-3, 3-4

• Tổng số phần tử được tạo ra: 4

• Tổng số điểm nút còn lại: 8

Tiếp theo, mặt 1-9 được chọn Thực hiện tương tự như quá trình chọn mặt 10-3 Kết quả front được làm mới lại và có các đặc điểm sau:

• Các nút không hoạt động: 1, 2, 3

• Các mặt không hoạt động: 8-1, 1-2, 2-3, 3-4

• Tổng số phần tử được tạo ra: 5

• Tổng số điểm nút còn lại: 7

Tiếp theo, chúng ta chọn mặt 8-9 Điểm K id lần này nằm ngoài miền tính toán và bị loại bỏ do một cạnh của tam giác mới cắt biên Đường tròn có tâm K id chứa nút 7, do đó nút 7 được chọn và front được làm mới với các đặc điểm mới.

• Các nút không hoạt động: 8, 1, 2, 3

• Các mặt không hoạt động: 7-8, 8-1, 1-2, 2-3, 3-4

• Tổng số phần tử được tạo ra: 6

• Tổng số điểm nút còn lại: 6

Tiếp theo mặt 7-9 được chọn, tam giác đều mới được chấp nhận Vì vậy điểmK id trở thành điểm mới

Front được làm mới lại:

• Các nút không hoạt động: 8, 1, 2, 3

• Các mặt không hoạt động: 7-8, 8-1, 1-2, 2-3, 3-4

• Tổng số phần tử được tạo ra: 7

• Tổng số điểm nút còn lại: 7

Tiếp theo mặt 11-9 được chọn Tam giác đều vừa được xây dựng cắt mặt9-10 của front, vì vậy điểmK id không được thỏa mãn.

Thay vào đó, nút hoạt động gần nhất là nút 10 được chọn, và front được làm mới lại với các đặc điểm:

• Các nút không hoạt động: 8, 1, 2, 3

• Các mặt không hoạt động: 7-8, 8-1, 1-2, 2-3, 3-4

• Tổng số phần tử được tạo ra: 8

• Tổng số điểm nút còn lại: 6

Thực hiện thuật toán với 4 bước bổ sung, tại mỗi bước, chúng ta chọn mặt ngắn nhất để tạo ra hệ tam giác như hình dưới đây Kết quả cuối cùng có những đặc điểm đặc trưng.

• Các nút hoạt động: Không

• Các mặt hoạt động: Không

• Các nút không hoạt động: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

• Các mặt không hoạt động: 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-7, 7-8, 8-1

• Tổng số phần tử được tạo ra: 12

• Tổng số điểm nút còn lại: Không

Khi một điểm mới được phát hiện gần một nút hoạt động trên front, điểm đó sẽ được thay thế bằng nút này, giúp loại bỏ các tam giác có cạnh nhỏ.

Sự thích nghi và không gian tham số

Khi tham số kéo dãn tại một điểm cố định trong miền tính toán bằng 1, lưới xung quanh sẽ tạo thành các tam giác gần như đều Tuy nhiên, các ô lưới gần biên thường cần có bán kính tỷ lệ cao, yêu cầu tham số s phải lớn Để giải quyết vấn đề này, chúng ta có thể tạo ra các điểm mới (đỉnh của tam giác được kéo dãn) trên đường thẳng vuông góc với các đoạn biên ban đầu, cho phép các tam giác mở rộng vào bên trong miền tính toán Sau khi các lớp gần biên được phủ bằng các tam giác đã kéo dãn với bán kính tỷ lệ cao, phần còn lại của miền tính toán có thể được phủ bằng thuật toán AFT như đã mô tả trước đó.

Chúng ta có thể tạo ra các tam giác kéo dãn thông qua phép biến đổi toán học Đầu tiên, một lưới gồm các tam giác xấp xỉ đều được thiết lập trong không gian tham số Sau đó, bằng cách áp dụng phép biến đổi toán học, các tam giác này sẽ được chuyển đổi thành các tam giác kéo dãn trong không gian vật lý Quá trình biến đổi từ không gian vật lý sang không gian tham số liên quan đến tính luân phiên và khả năng kéo dãn của một phần tử, trong đó mỗi điểm tương ứng với véctơ vị trí x trong không gian vật lý được biến đổi thành điểm x trong không gian tham số.

~ x (1.2.1) các thành phần của~ s là (s x ,s y ) = (cosΦ,sinΦ), các thành phần của ~ n là (n x ,n y ) = (− cos Φ , sin Φ) Chúng ta cũng có

Phép biến đổi được thể hiện trong hình dưới đây cho phép thu được các tam giác kéo dãn trong không gian vật lý bằng cách áp dụng phép biến đổi ngược của (1.2.1).

Cải thiện chất lượng lưới

Sau khi lưới không cấu trúc được tạo ra, chúng ta có thể áp dụng hai quy trình để nâng cao chất lượng lưới mà không làm thay đổi số lượng tam giác và nút.

Quá trình trao đổi đường chéo không thay đổi vị trí của các nút mà chỉ điều chỉnh liên kết giữa chúng Chúng ta sẽ thực hiện trao đổi đường chéo cho tất cả các mặt tam giác ngoại trừ các mặt của các phần tử trên biên Cụ thể, khi xem xét cạnh chung AC của hai tam giác ABC và ACD, chúng ta cần quyết định xem có nên thay thế đường chéo AC bằng BD hay không Việc trao đổi này chỉ được thực hiện nếu hình dạng của hai tam giác ABD và BCD đạt tiêu chuẩn tốt hơn, trong đó một tiêu chí có thể là góc nhỏ nhất của hai tam giác sau khi trao đổi lớn hơn góc nhỏ nhất của hai tam giác ban đầu.

Không cần trao đổi đường chéo nếu các tam giác ban đầu hợp thành các tứ giác không lồi

Hình 1.11: Trao đổi đường chéo

Hình 1.12: không trao đổi đường chéo trong trường hợp này

Quá trình này thay đổi vị trí các nút bên trong mà không làm thay đổi các liên kết giữa chúng Ý tưởng là xem các mặt của tam giác như lò xo tuyến tính có độ cứng đồng nhất, với sức căng tỷ lệ với chiều dài lò xo Chúng ta xây dựng các vòng lặp để tìm vị trí cân bằng tổng thể của các nút, trong đó mỗi vòng lặp di chuyển các nút đến vị trí trọng tâm của ba nút liên kết Thông thường, lưới đạt độ nhẵn yêu cầu sau 3 đến 5 vòng lặp.

Phương pháp tạo lưới không cấu trúc sử dụng thuật toán chèn điểm tự động và tái kết nối địa phương

Giới thiệu

Các phương pháp tạo lưới không cấu trúc cho phần tử tam giác và tứ diện phổ biến bao gồm Delaunay Triangulation và tịnh tiến biên Delaunay Triangulation nổi bật với tính hiệu quả và cơ sở toán học vững chắc, trong khi tịnh tiến biên mang lại các phần tử chất lượng cao và bảo toàn tính nguyên vẹn của biên Nghiên cứu gần đây cho thấy sự kết hợp giữa hai phương pháp này có thể tạo ra lưới có chất lượng tương đương với tịnh tiến biên, đồng thời giữ lại những ưu điểm của Delaunay Triangulation.

Maram và Weatherill [1955] đã phát triển phương pháp AFLR (advancing-front/local-reconnection) kết hợp thuật toán chèn điểm của phương pháp tịnh tiến biên và sơ đồ tái kết nối địa phương Delaunay Triangulation, với mục tiêu tối thiểu hóa góc lớn nhất của phần tử Phương pháp này chia quá trình chèn điểm và kết nối thành hai quá trình độc lập, sử dụng thuật toán tái kết nối địa phương thay vì thuật toán trao đổi cạnh để tối ưu hóa kết nối Việc tái kết nối địa phương được thực hiện lặp lại nhằm đáp ứng các tiêu chuẩn mong muốn một cách địa phương AFLR cho thấy hiệu quả cao trong việc tạo ra các phần tử tam giác và tứ diện, đồng thời có thể mở rộng để sản xuất các phần tử lưới có bán kính tỉ lệ cao và góc vuông, mang lại chất lượng cao cho các phần tử trong các miền tính toán phức tạp.

Phương pháp chia lưới AFLR

AFLR là phương pháp kết hợp thuật toán chèn điểm từ phương pháp tịnh tiến biên và sơ đồ tái kết nối địa phương Trong quá trình chia lưới, các phần tử thỏa mãn được giữ nguyên, tạo thành cấu trúc dữ liệu hiệu quả cho phép thực hiện các phép toán tìm kiếm địa phương Hàm phân phối vị trí điểm được áp dụng trên toàn miền tính toán, bắt đầu từ các điểm xa biên nội suy tới các điểm trên biên Các điểm mới được tạo ra thông qua các phương pháp sắp xếp khác nhau tùy thuộc vào loại phần tử, bao gồm sắp xếp theo mặt tiến, theo điểm phía trước, hoặc theo cách tịnh tiến dọc pháp tuyến Liên kết các điểm mới được hình thành bằng cách chia nhỏ các phần tử chứa chúng, sau đó được tối ưu hóa qua quá trình tái kết nối địa phương với tiêu chuẩn min-max Quá trình này lặp đi lặp lại cho đến khi đạt được lưới hoàn chỉnh.

1.Xác định vị trí các điểm ở trên bề mặt biên.

2.Tạo một lưới bề mặt biên.

3 Tạo ra một hệ tam giác ban đầu hợp lệ của các điểm trên bề mặt biên và khôi phục lại toàn bộ bề mặt biên Ta lấy ví dụ sau đây để minh họa

Hình 1.13: Hệ tam giác ban đầu

Gán một hàm phân bố điểm cho từng điểm biên dựa trên khoảng cách địa phương, đồng thời thiết lập tỉ lệ phát triển hình học của bề mặt biên một cách tùy ý.

Đối với các phần tử đẳng hướng, việc tạo ra các điểm có thể thực hiện thông qua phương pháp sắp xếp điểm theo cạnh (mặt) tiến lên phía trước Các điểm này được hình thành bằng cách tịnh tiến từ cạnh (mặt) và đảm bảo rằng hàm phân bố điểm của các phần tử cũng sẽ thỏa mãn hàm phân bố điểm trên một cạnh (một mặt).

Hình 1.14: Phương pháp sắp xếp điểm cho các phần tử đều, đẳng hướng

6 Đối với các phần tử có góc vuông, tạo ra các điểm sử dụng phương pháp sắp xếp điểm theo điểm phía trước Các điểm được tạo ra bằng cách tịnh tiến như trong bước5, ngoại trừ hai điểm được tạo ra bằng cách tịnh tiến theo cạnh (mặt) pháp tuyến từ hai (ba) điểm thuộc cạnh (mặt) đó.

Hình 1.15: Phương pháp sắp xếp điểm cho các phần tử đều, đẳng hướng

7 Đối với các phần tử có bán kính tỉ lệ cao, tạo ra các điểm sử dụng phương pháp sắp xếp điểm tịnh tiến theo pháp tuyến Các điểm được tạo ra một lớp tại một thời điểm từ các biên bằng cách tịnh tiến dọc các pháp tuyến dựa trên đặc điểm hình học của biên.

Hình 1.16: Phương pháp sắp xếp điểm tịnh tiến theo pháp tuyến cho các phần tử có góc vuông và bán kính tỉ lệ cao

Tại các điểm có bề mặt biên bị gián đoạn, việc sử dụng nhiều pháp tuyến là cần thiết Những pháp tuyến này có vai trò quan trọng trong quá trình tối ưu hóa chất lượng lưới.

Hình 1.17: Các phần tử có bán kính tỉ lệ cao sử dụng nhiều pháp tuyến

Nội suy hàm phân bố điểm cho các điểm mới từ các phần tử chứa chúng, dựa vào sự phát triển hình học đã được quy định Hàm phân bố này phụ thuộc vào khoảng cách gần đúng đến biên gần nhất và hình học đã được xác định với biên đó.

9.Loại bỏ các điểm mới quá gần với các điểm mới khác.

10.Chèn các điểm mới chấp nhận được bằng cách chia trực tiếp các phần tử có chứa chúng Ta thu được hệ tam giác sau:

Hình 1.18: Hệ tam giác sau khi chèn điểm trực tiếp ở vòng lặp thứ 3

Tối ưu hóa liên kết các điểm sử dụng tái kết nối địa phương là một quy trình quan trọng, trong đó mỗi cặp phần tử được so sánh với tất cả các liên kết khả thi để tìm ra liên kết tối ưu nhất Quá trình này được lặp lại cho đến khi không còn phần tử nào cần tái kết nối Trong quá trình này, hai tiêu chuẩn chính được áp dụng là tiêu chuẩn Delaunay và tiêu chuẩn min-max, giúp cải thiện chất lượng lưới trên toàn miền và giải quyết hầu hết các vấn đề liên quan đến tính tối ưu địa phương, từ đó nâng cao tính tối ưu tổng thể Hình vẽ dưới đây minh họa hệ tam giác thu được sau quá trình tái kết nối địa phương.

Hình 1.19: Hệ tam giác sau khi tái kết nối địa phương ở vòng lặp thứ 3

12.Lặp lại quá trình sinh điểm và tái kết nối từ bước 5 đến bước 11 cho đến khi không có điểm mới nào được sinh ra nữa.

Kết nối các phần tử một cách tối ưu bằng cách tịnh tiến từ các bề mặt biên, lựa chọn kết nối cần dựa trên các tiêu chuẩn và chất lượng lưới để đảm bảo hiệu quả và độ bền trong thiết kế.

14.Làm nhẵn các tọa độ của lưới.

15.Tối ưu hóa kết nối sử dụng quá trình tái kết nối địa phương (bước 11).

• Sự hình thành bề mặt lưới ba chiều.

Hệ thống hình học CAD được sử dụng để định nghĩa và đánh giá bề mặt hình học, với quy trình hình thành cạnh và bề mặt lưới dựa trên các quy tắc đánh giá hình học và cơ sở dữ liệu hình học Cấu trúc liên kết bề mặt được tách ra từ cơ sở dữ liệu CAD, tạo ra một cấu trúc dữ liệu riêng cho việc hình thành lưới Quá trình này được thiết kế độc lập với truy cập đánh giá hình học, tạo ra giao diện mượt mà giữa lưới và hệ thống hình học, đồng thời giúp việc sử dụng các hệ thống CAD khác nhau trở nên dễ dàng hơn Quy trình hình thành cạnh lưới và bề mặt lưới chỉ cần quy tắc liên quan đến các cạnh hiện tại, cho phép ánh xạ các tọa độ không gian vật lý x, y, z sang không gian tọa độ u, v thông qua quy tắc xyz−from−uv.

• Quá trình hình thành cạnh lưới.

Các cạnh lưới được hình thành từ phiên bản một chiều của quá trình tạo lưới chuẩn, đảm bảo sự phân bố điểm và tốc độ phát triển hình học phù hợp với chất lượng lưới tối ưu Khoảng cách giữa các điểm được xác định tại cả hai đầu của mỗi cạnh hoặc đoạn, từ đó xác định sự phân bố điểm như trong hình vẽ.

Các bước cơ bản của quá trình hình thành lưới:

1 Tạo ra một bảng nội suy cho các ánh xạ không gian tọa độ so với chiều dài tự nhiên sử dụng quy tắc đánh giá hình họcxyz− f rom − uv.

2 Đưa ra từ mỗi đầu của đoạn cạnh trong không gian chiều dài tự nhiên và tạo ra hai điểm mới Các khoảng cách điểm cho các điểm này được nội suy từ các điểm cuối tiếp xúc bên trong của mỗi cạnh.

3 Loại bỏ một điểm mới nếu nó quá gần điểm mới khác.

4 Lặp lại các bước2và3cho đến khi không còn điểm mới được tạo ra nữa.

5 Làm nhẵn các tọa độ chiều dài tự nhiên của các cạnh lưới.

6 Nội suy các ánh xạ không gian tọa độu,vtại các tọa độ chiều dài tự nhiên phát sinh.

7 Thu được các tọa độ không gian vật lý x,y,z tại các tọa độ không gian ánh xạ nội suyu,v sử dụng quy tắc đánh giá hình học xyz− f rom − uv.

• Quá trình hình thành bề mặt lưới.

Các phương pháp chồng tạo lưới tứ giác và lục giác