1.4 Các phương pháp chồng tạo lưới tứ giác và lục giác
1.4.2 Các phương pháp chồng
Các phương pháp chồng là từ viết tắt dùng để chỉ một lớp các thuật toán chia lưới sử dụng cùng một chiến lược cơ bản. Các phương pháp này bắt đầu với một lưới được tạo ra một cách dễ dàng, phủ kín một miền đủ lớn bao quanh vật thể, sau đó lưới này sẽ được sửa lại cho phù hợp với biên của vật thể. Cách tiếp cận này rất quen thuộc, nhưng kết quả của thuật toán rất quen thuộc và hứa hẹn có một vài biến thể.
Hình trên là một biến thể hai chiều: Một miền đủ lớn bao quanh vật thể được phủ bởi một lưới có cấu trúc. kích thước h của ơ lưới có thể được chọn tùy ý, nhưng nên nhỏ hơn đặc trưng nhỏ nhất của vật thể vì nó cịn liên quan đến phần khó nhất của thuật toán là chỉnh sửa lại lưới cho phù hợp với biên của vật thể.
Theo [Scheneiders 1996], mọi phần tử ở bên ngoài vật thể hoặc quá gần biên của vật thể bị loại bỏ khỏi lưới. Các ơ lưới cịn lại được định nghĩa là lưới ban đầu (hình 1.22a, chú ý rằng khoảng cách từ lưới ban đầu tới biên xấp xỉ bằng h). Miền giữa biên của vật thể và lưới ban đầu sẽ được khớp vào bởi kỹ
thuật đẳng cấu. biên của lưới ban đầu là một đa giác và với mỗi nút của đa giác, một nút ở trên biên của vật thể được xác định (hình 1.22b). Chú ý rằng việc chỉ ra các điểm đặc trưng của biên vật thể được được kết hợp trong bước này. Bằng cách kết nối các điểm nút của đa giác với các điểm tương ứng của chúng ở trên biên của vật thể, ta sẽ thu được các phần tử lưới tứ giác ở miền biên. Như vậy việc điều chỉnh lại lưới ban đầu phù hợp với biên của vật thể trở nên không quá khó thực hiện trong trường hợp hai chiều (hình 1.22c).
"Trục chính" của lưới phụ thuộc vào cấu trúc của lưới ban đầu, và các lớp phần tử lưới song song với một trục tọa độ. Do đó lưới (hình 1.22c) có cấu trúc đều ở miền bên trong vật thể và gần các biên song song với một trục tọa độ; các nút khơng ổn định có thể được tìm thấy trong các miền gần các phần khác của biên. Đây là điển hình của các lưới dựa trên thuật tốn, nhưng chúng ta có thể tránh điều này bằng cách chọn loại lưới ban đầu khác đi.
Tham số đầu vào duy nhất của lưới dựa trên thuật tốn là kích thước h
của ơ lưới. Trong trường hợp thất bại ta có thể bắt đầu lại thuật tốn với một giá trị khác củah. Đây là một ưu điểm của thuật tốn.
Hình 1.23: Biên được chỉnh sửa phù hợp bởi phương pháp hình chiếu
vật thể là phương pháp hình chiếu được [Taghavi 1994] và [Ives 1995] đưa ra. Phương pháp này cũng bắt đầu bằng việc xây dựng một lưới có cấu trúc bao phủ tồn bộ vật thể (hình 1.23a), nhưng mà ngược lại với lưới dựa trên thuật tốn, tất cả các ơ lưới đều được giữ lại. Các nút lưới được di chuyển lên trên các điểm đặc trưng của vật thể và sau đó di chuyển lên trên các cạnh của vật thể, vì vậy biên của vật thể được phủ kín bởi các cạnh lưới (hình 1.23b). Các phần tử suy biến có thể được tạo thành trong bước này, tuy nhiên các phần tử này sẽ biến mất sau khi các lớp đệm được chèn vào tại biên của vật thể (hình 1.23c).
Phương pháp hình chiếu cho lưới có chất lượng tương tự như lưới thu được dựa trên kỹ thuật đẳng cấu, nhưng nếu giá trị đặc trưng của vật thể nhỏ hơn thì phương pháp này sẽ thu được các phần tử lưới có bán kính tỉ lệ cao, và ngược lại với kỹ thuật đẳng cấu, lưới được chỉnh sửa phù hợp với biên trước khi chèn lớp đệm vào.
Các phương pháp chồng cịn có thể được sử dụng trong khơng gian ba chiều. Ý tưởng của thuật tốn được minh họa bởi một hình đơn giản, một kim tự tháp (hình 1.24). Tồn bộ miền tính tốn được bao phủ bởi một lưới đồng nhất có cấu trúc với kích thước ơ lưới là h. Để chỉnh sửa lưới phù hợp với
biên, ta bỏ đi tất cả các ô ở bên ngoài vật thể mà giao với biên vật thể hoặc cách biên vật thể không quá o.5.h. Tập hợp các ơ lưới cịn lại được gọi là lưới
ban đầu.(hình 1.24a)
Hình 1.24: Lưới ban đầu (a) và lưới đẳng cấu (b) ở trên biên.
Trong không gian ba chiều, khi sử dụng kỹ thuật đẳng cấu để điều chỉnh lưới ban đầu phù hợp với biên của vật thể sẽ đưa ra nhiều vấn đề hơn trong khơng gian hai chiều. Chúng ta có thể quan sát thấy rằng biên của lưới ban đầu là một lưới không cấu trúc Mtrong không gian ba chiều mà các phần tử là các hình tứ giác. Một lưới đẳng cấu được tạo ra ở trên biên. Với mỗi nút
(v,w) ∈ M xác định một cạnh(v′,w′ ∈ M′). Như vậy với mỗi tứ giác f ∈ M
của bề mặt lưới ban đầu có chính xác một mặt f′ ∈ M′ ở trên biên của vật thể. Hình 1.24b là lưới đẳng cấu của lưới ban đầu trong hình 1.24a.
Hình 1.25: Phép xây dựng các phần tử lục giác ở lớp biên.
Hình 1.25 là một trường hợp cụ thể: mặt tứ giác (A,B,C,D) ∈ Mtương ứng với mặt(a,b,c,d) ∈ M′. Các nút A,B,C,D,a,b,c,d xác định một phần tử lục giác ở miền biên. Bước này có thể được thực hiện với tất cả các cặp bề mặt, và miền biên có thể được chia thành các phần tử lục giác theo cách này.
Bước quyết định của thuật toán này là tạo ra trên biên của vật thể lướiM′
có chất lượng tốt. Tất cả các cạnh của vật thể cần được kết nối bởi một chuỗi các cạnh lưới, và hình dạng của các mặt f′ ∈ M′ phải không suy biến. Nếu bề mặt lưới không thỏa mãn các yêu cầu này thì số lượng lưới thu được khơng tốt hoặc có các phần tử suy biến. Khơng dễ dàng thực hiện các yêu cầu này, sau đây chúng ta sẽ đưa ra các bước chính của q trình cho ví dụ trong hình 1.26a
Hình dạng của lưới ban đầu trơng khơng q phức tạp nhưng vẫn khó khăn để chia lưới. Bước đầu tiên của thuật toán là xác định tọa độ của các nút của lưới đẳng cấu. Các pháp tuyến của các nút trên bề mặt của lưới ban đầu được xác định bằng trung bình của các pháp tuyến Nf của n mặt f liền kề (hình 1.26b):
Nv = 1
n ∑
f.adj.v
Nf
Với mỗi điểmv∈ M, vị trí của điểm tương ứngv′ ∈ M′ được xác định là giao của pháp tuyến Nv với biên của vật thể. Điểmv′ sau đó được chiếu lên
• Một đỉnh đặc trưngP của vật thể, nếudist(v′,P) ≤ 0.1.h. • Một cạnh đặc trưngE của vật thể, nếudist(v′,E) ≤0.1.h.
Hình 1.27: Bề mặt lưới đẳng cấu.
Chất lượng của lưới tạo thành ở hình 1.27a chưa thỏa mãn, nhưng ít nhất một vài đỉnh và cạnh đặc trưng của vật thể đã được phủ bởi các nút và các cạnh lưới.
Để tạo các phần tử lưới lục giác ở miền biên, cấu trúc liên kết của bề mặt
M′ phải không được thay đổi, nhưng chúng ta có thể thay đổi vị trí của các nút trong khơng gian. Điều này cho phép tối ưu hóa các bề mặt lưới bằng cách di chuyển các nútv′ tới vị trí phù hợp (hình 1.27b cho thấy chất lượng của lưới đã được cải thiện đáng kể). Sau đó ta áp dụng phép làm mịn Laplacian cho các nút của bề mặt lưới. Vị trí mớixinewcủa nútv′ được xác định là trung bình của các tâm Skcủa N mặt liền kề.
xnewi = 1 N N ∑ k=1 Sk
• Sau bước chỉnh sửa, các nút lại được ánh xạ lên biên của vật thể.
• Các nút đã được cố định thành một đỉnh đặc trưng của vật thể khơng được xét đến.
• Các nút đã được cố định thành một cạnh đặc trưng lại được ánh xạ lên các cạnh.
• Các nút đã được cố định thành các cạnh đặc trưng nhưng các nút lân cận của nó chưa được cố định sẽ được tách ra khỏi cạnh đó.
Trong bước tiếp theo, các đỉnh và các cạnh của vật thể được phủ bởi các nút và các cạnh lưới:
• Mỗi đỉnh của vật thể được gán với nút lưới gần nhất
• Q trình giữ lại cạnh: Bắt đầu từ một đỉnh, các nút lưới được ánh xạ lên các cạnh của vật thể
Hình 1.28: Chỉnh sửa cạnh.
• Lặp lại q trình làm mịn
Hình 1.27b cho thấy bề mặt lưới biểu diễn một cách chính xác hình dạng của vật thể và chất lượng lưới trên toàn miền đã được cải thiện. Tuy nhiên các mặt suy biến có thể xuất hiện trong q trình giữ lại cạnh nếu như ba nút của một mặt được cố định thành cùng một cạnh đặc trưng. Điều này không thể tránh được nếu như các cạnh của vật thể khơng thẳng với trục chính của lưới. Có hai cách để giải quyết vấn đề này.
Cách thứ nhất, miền biên được lấp đầy bởi các phần tử lưới lục giác. Do quá trình chia lưới, có hai dãy các phần tử liền kề với một cạnh lồi (hình 1.28). Nếu góc tạo bởi vật thể cùng với các cạnh đủ nhỏ hơn180◦, chất lượng lưới có thể được cải thiện bằng cách chèn thêm một dãy các phần tử trong quá trình tái làm mịn địa phương. Tại các đỉnh của vật thể là giao của ba cạnh lồi, một phần tử sẽ được thêm vào.
Hình 1.29: Tách các phần tử suy biến.
Cách thứ hai, để loại bỏ các phần tử suy biến ta áp dụng quá trình phân tách sau đây: Ba đỉnh của của một mặt được cố định thành một cạnh đặc trưng, nút P là "trống". Mặt này được tách ra làm ba tứ diện bằng cách bỏ đi góc bẹt (hình 1.29b). Phần tử liền kề có thể được tách ra bằng cách tương tự thành bốn phần tử lục giác. Để duy trì sự phù hợp của lưới, các phần tử lân cận cũng cần được chia ra, tuy nhiên quan trọng là chỉ các phần tử liền kề với
Pmới cần được tách ra, phần cịn lại của lưới ban đầu khơng bị thay đổi. Dưới đây là lưới thu được sau bước tối ưu hóa (chú ý là rất nhiều phần tử suy biến đã bị loại bỏ). Các phần tử suy biến còn lại được loại bỏ bởi quá trình phân tách.
Hình 1.30: Loại bỏ các phần tử suy biến.