Dãy farey và ứng dụng trong bài toán xấp xỉ tốt số vô tỷ

MỞ ĐẦUTrong toán học, số vô tỉ là số thực không phải là số hữu tỷ, nghĩa là nókhông thể biểu diễn được dưới dạng phân số với là các số nguyên, .Tập hợp số vô tỉ kí hiệu bởi Người ta đã c

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ HẠNH

DÃY FAREY VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN XẤP XỈ TỐT SỐ VÔ TỶ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN – 2014

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG

NGHỆ AN - 2014

2.3 Ứng dụng của dãy Farey trong xấp xỉ tốt số vô tỉ 41

2.4 Mô tả hình học của phép xấp xỉ vô tỷ dựa vào liên phân số

và dãy Farey

55

TÀI LIỆU THAM KHẢO 58

MỞ ĐẦU

Trong toán học, số vô tỉ là số thực không phải là số hữu tỷ, nghĩa là nókhông thể biểu diễn được dưới dạng phân số với là các số nguyên, Tập hợp số vô tỉ kí hiệu bởi 

Người ta đã chứng minh được rằng, tập hợp các số vô tỉ có lực lượng lớnhơn tập hợp các số hữu tỉ Nói khác đi, tập hợp các số vô tỷ có lực lượng quá đếmđược Chúng ta thường quan tâm tới các số và cho rằng những

số này là số vô tỷ Tuy nhiên những điều này cần phải được chứng minh Lý thuyết

số liên quan tới những vấn đề như vậy Trừ ra một ít trường hợp đơn giản, các vấn

đề nói trên thường cực khó và chúng thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán họcnổi tiếng (Euler, Liouville, Cantor, Catalan, Napier… )

Vì vậy, việc tìm hiểu những ý nghĩa và kết quả liên quan đến số vô tỷ và tìmtòi các xấp xỉ của số vô tỉ trong Toán học là điều cần thiết và có ý nghĩa tronggiảng dạy và nghiên cứu toán học Một trong những công cụ để tìm các xấp xỉ tốtcủa số vô tỷ là dãy Farey và liên phân số Tập các phân số dương tối giản, nhỏ hơn

1, có mẫu số không vượt quá n, sắp xếp theo thứ tự tăng dần được gọi là dãy Farey thứ n Dãy Farey là một đối tượng nghiên cứu của Số học có nhiều ứng dụng sâu

sắc trong các nghiên cứu về xấp xỉ của số vô tỷ

Nếu như trước đây, Số học được xem là một trong những ngành lý thuyết xarời thực tiễn nhất, thì ngày nay, nhiều thành tựu mới nhất của số học có ứng dụngtrực tiếp vào các vấn đề của đời sống, như thông tin, mật mã, kỹ thuật máy tính.Trong số học có những con số đặc biệt mà người ta thường gọi là những con số

vàng của toán học Ngoài những tính chất đẹp đẽ diệu kỳ của nó, những con số nàycòn có những ứng dụng bất ngờ và sâu sắc trong toán học và các lĩnh vực khác

Việc tìm hiểu những con số vàng của toán học (chẳng hạn số e và số ) hết

sức cần thiết và có ý nghĩa Chúng ta thử hình dung rằng, nếu trong toán học thiếu

vắng các số e và thì tình hình toán học sẽ phát triển như thế nào?

Với lý do trên, trên cơ sở tham khảo các tài liệu số học có liên quan đã công

bố trong thời gian gần đây, luận văn “Dãy Farey và ứng dụng trong bài toán xấp

xỉ tốt số vô tỷ” nhằm tìm hiểu sâu hơn các ý nghĩa và kết quả sâu sắc của số vô tỷ

cũng như các ứng dụng của dãy Farey trong xấp xỉ số vô tỷ Bố cục luận văn gồm

2 chương, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo Nội dung chính củaluận văn:

1 Giới thiệu khái niệm và trình bày chứng minh chi tiết về

a) Một vài tính chất hình học của số vô tỷ

b) Dãy Farey; Định lý Pick

c) Xấp xỉ số vô tỷ

2 Giải một số bài tập về số vô tỷ và dãy Farey

Phương pháp nghiên cứu của luận văn:

- Sử dụng lý thuyết chia hết trên vành số nguyên và tính chất của số hữu tỉ

- Sử dụng công cụ giới hạn của dãy số và hàm số thực

- Sử dụng các tính chất của đa thức và dãy Farey trong xấp xỉ tốt số vô tỉ

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS NguyễnThành Quang Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắcđến Thầy về sự hướng dẫn tận tình và dạy bảo ân cần, chu đáo.

Tác giả xin cảm ơn các thầy cô giáo trong chuyên ngành Đại số và Lýthuyết số, Khoa Sư phạm Toán học, Phòng Đào tạo Sau đại học của Trường Đạihọc Vinh đã giảng dạy và tổ chức hướng dẫn cho chúng tôi trong học tập vànghiên cứu

Xin gửi lời cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Cửa Lò 2 – Sở Giáo dục

và Đào tạo Nghệ An, gia đình, anh chị em đồng nghiệp của tôi đã quan tâm tạođiều kiện giúp đỡ trong suốt thời gian học tập vừa qua

Tuy đã cố gắng trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn, songchắc chắn vẫn còn có nhiều thiếu sót, tác giả rất mong được sự góp ý, chỉ bảo củacác thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp

TÁC GIẢ

CHƯƠNG 1

SỐ VÔ TỶ 1.1 Một vài ý nghĩa hình học của số vô tỷ

1.1.1 Số vô tỷ Trong toán học, số vô tỉ là số thực không phải là số hữu tỷ, nghĩa là

không thể biểu diễn được dưới dạng phân số Nói cách khác, số

vô tỉ là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn

Tập hợp tất cả các số vô tỉ được kí hiệu bởi

vô tỉ Sự kiện này được đánh giá như là một trong những phát minh vĩ đại nhất củanhân loại, tương đương với tầm cỡ như phát minh ra Hình học phi Euclid Nhờphát minh này mà phát hiện được rằng độ dài đường chéo bằng của một hìnhvuông có cạnh đơn vị, là không thể đo được bằng phân số, hay là một số vô tỷ(xem [10])

1.1.2 Định lý Pithagoras là số vô tỉ.

Chứng minh Giả sử với a, b là các số nguyên nào đó, sao cho

(1)

Từ đó suy ra (2)

Từ (2) suy ra chẵn Vì vậy, a chẵn, bởi nếu a lẻ thì lẻ Khi đó cho phép

chúng ta đặt với là số nguyên nào đó Từ đó, chúng ta thu được từ (2):

hay

Như vậy cả hai a và b đều là số chẵn Điều này mâu thuẫn với giả thiết (1),

suy ra không biểu thị được dưới dạng Định lý được chứng minh.■

1.1.3 Định lý Nếu số nguyên m không phải là luỹ thừa bậc n của một số nguyên

nào đó, thì là số vô tỉ.

Chứng minh Giả sử phát biểu trên là sai, khi đó có các số nguyên a và b sao cho

(3)

Do đó (4)

Nếu thì nào đó, mâu thuẫn với giả thiết của định lý, cho nên

Do đó, tồn tại một nguyên tố p nào đó là ước của b Do đó, từ (4) suy ra p là ước của hay p là ước của a Như vậy p là ước chung của a và b, nhưng điều này là không thể được vì a và b nguyên tố cùng nhau Bởi vậy, định lý trên được chứng

minh ■

1.1.4 Định lý Giả sử là đa thức đơn hệ với hệ số nguyên Khi đó, mỗi nghiệm của phương trình hoặc là số nguyên hoặc là

số vô tỉ.

Chứng minh Giả sử phát biểu trên không đúng Khi đó, tồn tại một phân số hữu tỉ

tối giản là nghiệm của phương trình Ta có:

hay .

Do đó

Như vậy, b là ước của Vậy có một số nguyên tố p (ước nguyên tố của b)

là ước của Do đó, p là một ước nguyên tố chung của a và b Điều này trái với

giả thiết là phân số tối giản Bởi vậy, định lý trên được chứng minh ■

1.1.5 Hệ quả Cho là những số nguyên dương Nếu không phải là số nguyên thì nó là số vô tỉ

Chứng minh Số là nghiệm của phương trình Như vậy, theo định

lý trên sẽ hoặc là số nguyên hoặc là số vô tỉ Nhưng chúng ta đã giả thiết rằng

nó không phải là số nguyên Vậy từ đó ta có là số vô tỉ ■

Ví dụ là những số vô tỷ

1.1.6 Dựng đoạn thẳng có độ dài vô tỉ Cho trước một đoạn thẳng có độ dài 1

đơn vị Hãy dùng thước và compa dựng các đoạn thẳng với độ dài theo dãy sau:

.Đầu tiên chúng ta dựng 1 tam giác vuông cân, cạnh góc vuông có độ dài 1đơn vị, từ đó dựng được cạnh huyền có độ dài bằng Từ đoạn đã có, tatiếp tục dựng đoạn vuông góc với đoạn tại một trong 2 đầu mút, suy ra độ dàicạnh huyền của tam giác vuông nhận 2 cạnh đó làm 2 cạnh góc vuông bằng

Cứ thế tiếp tục ta dựng được đoạn thẳng có độ dài căn n (thực ra sau khi dựng

được một vài đoạn nhỏ, ta có thể tổ hợp các đoạn nhỏ đó, để dựng một đoạn bất kỳlớn hơn, mà không cần phải tuần tự) Hình vẽ minh họa ở dưới đây:

1.1.7 Tỷ lệ vàng Cùng với phát minh Định lý Pithagoras, Tỷ lệ vàng là một trong

hai phát minh vĩ đại nhất của loài người trong Hình học

Hai đại lượng được gọi là có tỷ lệ vàng nếu tỷ số giữa tổng hai đại lượng đó

với đại lượng lớn hơn bằng tỷ số giữa đại lượng lớn hơn và đại lượng nhỏ hơn

Tỷ lệ vàng được nhà toán học người Mỹ là Mark Barr ký hiệu là để tưởngnhớ đến Phidias – nhà điều khắc đền Parthenon (Hy Lạp) – Một trong những côngtrình cổ đại chịu ảnh hưởng của tỷ lệ vàng

Định nghĩa tỷ lệ vàng được minh họa như sau:

.Phương trình này có nghiệm đại số xác định là một số vô tỷ

Đến thời phục hưng, các nghệ sĩ và kiến trúc sư bắt đầu tính toán và xâydựng tác phẩm của họ sao cho các tỷ số trong thiết kế xấp xỉ tỷ số vàng, đặc biệt làhình chữ nhật vàng – tỷ số cạnh dài và cạnh ngắn bằng Cờ Tổ quốc của cácquốc gia trên thế giới (trong đó có Việt Nam) đều được may theo hình chữ nhật với

tỷ lệ này

1.1.8 Điểm vàng Nhà toán học Euclid cũng đã từng nói đến tỷ lệ vàng trong các

tác phẩm bất hủ của ông mang tên “Những nguyên tắc cơ bản” Theo ông, điểm I

nằm trên đoạn thẳng AB được gọi là điểm vàng nếu nó chia đoạn AB theo tỷ lệ

1.2 Số

1.2.1 Giới thiệu Số (đọc là pi) là một hằng số toán học có giá trị bằng tỷ số

giữa chu vi của một đường tròn với độ dài đường kính của đường tròn đó Hằng sốnày có giá trị xấp xỉ bằng 3,14159 Nó được biểu diễn bằng chữ cái Hy Lạp từ

giữa thế kỉ 18 Số là một số vô tỉ Hơn nữa, còn là một số siêu việt - tức là nókhông phải là nghiệm của bất kì đa thức hệ số hữu tỉ khác không nào Tính siêuviệt của kéo theo sự vô nghiệm của bài toán cầu phương Các con số trong biểudiễn thập phân của dường như xuất hiện theo một thứ tự ngẫu nhiên, mặc dùngười ta chưa tìm được bằng chứng nào cho tính ngẫu nhiên này

Trong hàng ngàn năm, các nhà toán học đã nỗ lực mở rộng hiểu biết của conngười về số , bằng việc tính ra giá trị của nó với độ chính xác ngày càng cao.Trước thế kỉ XV, các nhà toán học như Archimedes và Lưu Huy đã sử dụng các kĩthuật hình học, dựa trên đa giác, để ước lượng giá trị của Bắt đầu từ thế kỉ XV,những thuật toán mới dựa trên chuỗi vô hạn đã cách mạng hóa việc tính toán số ,

và được những nhà toán học như Madhava, Newton, Euler, Gauss và Ramanujan

Do định nghĩa của liên hệ với đường tròn, ta có thể tìm thấy nó trongnhiều công thức lượng giác và hình học, đặc biệt là những công thức liên quan tớiđường tròn, đường elip, hoặc hình cầu Nó cũng xuất hiện trong các công thức của

các ngành khoa học khác, như vũ trụ học, lý thuyết số, thống kê, phân dạng, nhiệtđộng lực học, cơ học và điện từ học Sự có mặt rộng khắp của số khiến nó trởthành một trong những hằng số toán học được biết đến nhiều nhất, cả bên trong lẫnbên ngoài giới khoa học: một số sách viết riêng về số đã được xuất bản; có cảNgày số pi; và báo chí thường đặt những tin về kỉ lục tính toán chữ số mới của trên trang nhất Một số người còn cố gắng ghi nhớ giá trị của với độ chính xácngày càng tăng.

Sau đây chúng tôi giới thiệu phép chứng minh tính vô tỷ của các số:

1.2.2 Định lý Nếu là số dương thì khi

Chứng minh: Nếu m là số nguyên dương lớn hơn thì

Ở đây Do đó khi

Vì vậy, chúng ta suy ra khi ■

1.2.3 Định lý Số là một số vô tỷ.

Chứng minh Ngược lại, chúng ta giả sử rằng là số hữu tỉ, suy ra với a, b

là số nguyên dương Xét tích phân xác định

với Lấy tích phân từng phần chúng ta thu được

Mọi số hạng trong biểu diễn này chứa là bằng 0 bởi vì Mỗi sốhạng chứa là một số nguyên có dạng:

Do đó, I là số nguyên với mọi n

Mặt khác, nếu 0 < x < 1 thì Do đó:

(vì 0 < <1)

vì .

Mà khi Do đó I < 1 với mọi giá trị đủ lớn của n và điều này là mâu thuẫn với I là số nguyên với mọi n như đã khẳng định ở trên.

Vì vậy, ta suy ra là số vô tỉ ■

1.2.4 Hệ quả là số vô tỉ siêu việt.

Chứng minh Nếu là số hữu tỉ, khi đó hiển nhiên cũng là số hữu tỉ Điều đó

mâu thuẫn với Định lý 1.2.3 ở trên Do đó, là số vô tỉ ■

1.2.5 Bài toán cầu phương hình tròn Dùng thước kẻ và compa dựng một hình

vuông có diện tích bằng diện tích một hình tròn đã cho

Giả sử độ dài cạnh hình vuông là x và lấy bán kính R của hình tròn làm đơn

vị dài thì bài toán đưa đến giải phương trình: Vì là số vô tỷ siêu việttrên nên cũng vô tỷ siêu việt trên Do đó, trường nghiệm củaphương trình không có bậc hữu hạn trên , hay phương trình

không giải được bằng căn thức bậc hai trên Vì vậy, bài toán cầu phương hình

tròn không thể thực hiện được.■

1.3 Số e

1.3.1 Giới thiệu về số e

Hằng số toán học e là cơ số của lôgarit tự nhiên Thỉnh thoảng nó được gọi

là số Euler, đặt theo tên nhà toán học Thụy Sĩ Leonhard Euler, hoặc hằng số

Napier để ghi công nhà toán học Scotland John Napier người đã phát minh ra

lôgarit Số e là một trong những số quan trọng nhất trong toán học Nó có một số

định nghĩa tương đương, một số trong chúng sẽ được đưa ra dưới đây

Chỉ dẫn tham khảo đầu tiên tới hằng số này được xuất bản vào 1618 trongbảng phụ lục của một công trình về lôgarit của John Napier Thế nhưng, công trình

này không chứa hằng số e, mà đơn giản chỉ là một danh sách các lôgarit tự nhiên được tính toán từ hằng số e Bảng này được soạn bởi William Oughtred Chỉ dẫn đầu tiên cho biết về hằng số e được phát hiện bởi Jacob Bernoulli, trong khi tìm giá

trị của biểu thức:

Việc sử dụng đầu tiên ta từng biết của hằng số, biểu diễn bởi chữ cái b, là

trong liên lạc thư từ giữa Gottfried Leibniz và Christiaan Huygens giữa 1690 và

1691 Leonhard Euler bắt đầu sử dụng chữ cái e cho hằng số vào 1727, và việc sử dụng e lần đầu tiên trong một ấn bản là cuốn Mechanica của Euler (1736)

Lí do chính xác cho việc sử dụng chữ cái e vẫn chưa được biết, nhưng có thể

đó là chữ cái đầu tiên của từ exponential (tiếng Anh: nghĩa thông thường là tăng

nhanh chóng, nghĩa trong toán học là hàm mũ) Một khả năng khác đó là Euler sử

dụng nó bởi vì nó là nguyên âm đầu tiên sau a (xem [10])

1.3.2 Một số định nghĩa khác tương đương của số e

1 Số e là số thực dương duy nhất mà đạo hàm của hàm số mũ cơ số e chính là hàm

số đó

2 Số e là số thực dương duy nhất sao cho

3 Số e là giới hạn

4 Số e là tổng của chuỗi vô hạn

trong đó n! là giai thừa của n.

5 Số e là số thực dương duy nhất thỏa mãn

(nghĩa là, số e là số mà diện tích dưới hyperbol f(t) = 1/t từ 1 tới e là bằng 1).

6 Biểu diễn số e dưới dạng phân số liên tục (hay liên phân số)

1.3.3 Số chữ số thập phân đã biết của số e

Số chữ số thập phân đã biết của số e

Thời gian Số chữ số thập phân Tính bởi

1949 2.010 John von Neumann (trên ENIAC)

1961 100.265 Daniel Shanks & John Wrench

1981 116.000 Stephen Gary Wozniak (trên Apple II)

1994 10.000.000 Robert Nemiroff & Jerry Bonnell5/1997 18.199.978 Patrick Demichel

2/8/2000 6.442.450.944 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon

16/8/2000 12.884.901.000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon

21/8/2003 25.100.000.000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon

18/9/2003 50.100.000.000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon

27/4/2007 100.000.000.000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo

6/5/2009 200.000.000.000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo

Dưới đây chúng tôi giới thiệu phép chứng minh tính vô tỷ của các số: ,

Ta có:

Vậy là tổng của một số nguyên dương với một số thực dương bé

hơn 1 Nhưng điều này không thể được, bởi a(b - 1)! là một số nguyên Mâu thuẫn

này kết thúc chứng minh định lý của chúng ta ■

ii) Chúng ta viết f(x) dưới dạng khai triển

.Bởi vậy

iii) Từ ii) ở trên, chúng ta đó thu được kết quả iii) ■

1.3.6 Định lý Nếu k là một số nguyên dương Khi đó, là số vô tỉ.

Chứng minh Giả sử mệnh đề trên sai Khi đó, với a, b là số nguyên

dương

Nhưng theo Định lý 1.2.2 ta có khi

Do đó I < 1 với giá trị đủ lớn của n và điều này trái với I là số nguyên như đã

khẳng định ở trên Vì vậy, ta suy ra là số vô tỉ ■

1.3.7 Định lý Cho hai số nguyên a, b sao cho một trong hai số đó có một thừa số

nguyên tố không phải là ước của số kia Khi đó, và là các số vô tỷ Chứng minh Giả sử ngược lại phát biểu trên không đúng Khi đó:

Với s và t là các số nguyên dương Từ đó suy ra:

hay

Nhưng điều này không thể xảy ra vì một trong các số a, b chứa một thừa số

không phải là ước của số kia Vì vậy, là số vô tỷ Chứng minh tương tự đối

với ■

1.4 Số vô tỷ đại số và số vô tỷ siêu việt

1.4.1 Định nghĩa Một số phức được gọi là số đại số nếu là nghiệm của một

đa thức khác không nào đó với hệ số hữu tỷ Nói cách khác, số đại số là một sốphức đại số trên trường các số hữu tỉ Một số phức không phải là số đại số

được gọi là số siêu việt.

Cho số đại số , ta gọi đa thức đơn hệ có bậc nhỏ nhất, với hệ số hữu

tỉ, nhận làm nghiệm là đa thức cực tiểu của Ta cũng gọi bậc của đa thức

là bậc của số đại số và ký hiệu là deg Như vậy, deg = deg

Ví dụ Đa thức x2 + 4 là đa thức cực tiểu của số đại số 2i, và deg 2i = 2

Các số đại số và được gọi là liên hợp với nhau nếu chúng có cùng đa

Vì số là một nghiệm của , cho nên là số đại số

b) Để kiểm tra tập hợp A khép kín đối với phép nhân, ta xét đa thức

và với cách lập luận như trên, ta thu được số là số đại số c) Giả sử là nghiệm của đa thức:

.Xét đa thức:

Các kết quả trên chứng tỏ rằng A là trường con của trường số phức ■

1.4.3 Hệ quả Tập hợp các số đại số thực lập thành một trường con

của trường các số thực Ta gọi là trường các số đại số thực.

1.4.4 Định lí Nếu K là một trường con của trường các số đại số A và là một số

phức đại số trên K, thì là số đại số, hay A.

Chứng minh Vì rằng là số đại số trên K nên có một đa thức bậc n

thuộc vành các đa thức sao cho Giả sử

.Gọi và là các số liên hợp của , với Xét đathức

A[x].

Đa thức có một nhân tử là nên chia hết cho , do đó Bằng cách lập luận tương tự như trong chứng minh Định lí 1.4.2, ta được

là một đa thức thuộc vành , từ đó suy ra là một số đại số ■

1.4.5 Hệ quả Trường các số đại số A là một trường đóng đại số.

Chứng minh Giả sử f(x) là đa thức trên A với bậc khác 0, khi đó do trường số phức

là trường đóng đại số nên f(x) có ít nhất một nghiệm phức Vì là một số

phức đại số trên A nên theo Định lý 1.4.2, với K = A ta suy ra là số đại số hay

A Như vậy, f(x) có ít nhất một nghiệm thuộc A, hay A là trường đóng đại số ■

1.4.6 Số nguyên đại số Một số đại số được gọi là số nguyên đại số nếu các hệ số

của đa thức cực tiểu của nó đều là số nguyên hữu tỉ Chúng ta kí hiệu tập hợp các

số nguyên đại số bởi

Nhận xét a) Các số liên hợp của một số nguyên đại số là một số nguyên đại số.

b) Mỗi số nguyên hữu tỉ đều là một số nguyên đại số bậc nhất.

1.4.7 Định lí Nếu số đại số là nghiệm của một đa thức đơn hệ với hệ số

nguyên hữu tỉ thì là một số nguyên đại số.

chứng minh rằng đa thức cực tiểu của có các hệ số đều là số nguyên hữu tỉ Giả

sử và là một đa thức nguyên bản bấtkhả quy sao cho Vì nên chia hết cho trong vành Chia cho , giả sử ta được thương là với là một đa thứcnguyên bản Khi đó, ta thu được , hay

Vì tích và là những đa thức nguyên bản nên đẳngthức trên cho ta Từ đó ta được Hệ số cao nhất của là 1,nên ta cũng có và ta thu được là đa thức cựctiểu của , nghĩa là là một số nguyên đại số ■

1.4.8 Định lí Tập hợp các số nguyên đại số lập thành một vành con của

là một đa thức với hệ số nguyên hữu tỉ và có hệ số cao nhất bằng

1, mà , vậy là một số nguyên đại số.■

1.4.9 Phần tử khả nghịch Một số nguyên đại số được gọi là khả nghịch,

nếu cùng với nghịch đảo của nó đều là số nguyên đại số

Ta kí hiệu tập hợp tất cả các số nguyên khả nghịch của trường số đại số A

bởi 

1.4.10 Hệ quả 1) Tích của hai số nguyên khả nghịch là khả nghịch.

2) Nếu là khả nghịch, thì cũng khả nghịch

Như vậy, tập hợp  các số nguyên nghịch của vành các số nguyên đại số

, lập thành một nhóm nhân Nói riêng, ta có   = {1, -1}.

1.4.11 Mệnh đề Các số liên hợp của số nguyên khả nghịch cũng là khả nghịch.

Ta có là những số nguyên đại số vì chúng có chung đa thức cực tiểuvới Ta chứng minh rằng, các nghịch đảo cũng đều là những sốnguyên đại số Gọi đa thức cực tiểu của là

Do  nên ta có cũng là số nguyên đại số, do đó có đa thức

,sao cho

chia hết cho trong Vì vậy, với mọi Từ đó,

, nghĩa là với đều là nghiệm của đa thức Vậy , là những số nguyên đại số khả nghịch ■

1.4.12 Mệnh đề Một số nguyên đại số bậc n là khả nghịch khi và chỉ khi tích

Chứng minh Giả sử là khả nghịch, do đó tích cùng khả nghịch Nhưng

là các số nguyên liên hợp của , hay chúng là n nghiệm của đa thức

cực tiểu của , nên tích là một số nguyên hữu tỉ Vì tích vừa khảnghịch và vừa là số nguyên hữu tỉ, nên ta có  , hay

Ngược lại, giả sử là một số nguyên đại số và tích các liên hợp của nó

Khi đó, là một tích của những số nguyên đại số, vậy cũng là một số nguyên đại số, do đó là khả nghịch ■

Ví dụ 1) Mọi căn số phức bậc n (n là số tự nhiên lớn hơn 1) của 1 đều khả nghịch.

Các số này có môđun bằng 1

2) Các số là khả nghịch Thật vậy, là nghiệm của đathức nên là những số nguyên đại số và là những số nghịchđảo của nhau

1.4.13 Định nghĩa Cho các số nguyên đại số với Ta nói chia hếtcho hay chia hết trong vành các số nguyên đại số, nếu thương làmột số nguyên đại số Khi chia hết cho ta kí hiệu là hay và cũngcòn nói là bội của hay là ước của Hai số nguyên đại số được gọi

là liên kết với nhau nếu thương của chúng là một số nguyên đại số khả nghịch

1.4.14 Mệnh đề Trong vành số nguyên đại số không có phần tử bất khả quy

Chứng minh Thật vậy giả sử là một số nguyên đại số và không khả nghịch.

Khi đó, số với cũng là một số nguyên đại số, vì chẳng hạn nếu lànghiệm của đa thức

thì số cũng là nghiệm của đa thức

.Hơn nữa, do không khả nghịch, nên không là phần tử bất khả quy củavành ■

Như vậy, trong vành số nguyên đại số không có phần tử bất khả quy và

vì thế trong không có một lí thuyết chia hết tương tự như đã có trong vành các

số nguyên hữu tỉ Song nếu ta nhận xét rằng là một vành con của , đó làvành các số nguyên đại số bậc nhất, thì ta có thể làm tương tự là xây dựng lí thuyếtchia hết trong những vành con xác định của

Ta hãy lấy trường hợp sau đây làm ví dụ Xét tập hợp:

.Đây là trường con của trường các số đại số, ta gọi là trường các số hữu

tỉ phức Xét tập hợp G các số nguyên đại số trong : G = 

Ta thấy G là một vành con của và chứng minh được rằng vành G gồmcác số phức có dạng Vành G được gọi là vành các số nguyên

Gauss và ký hiệu bởi Trong vành này có một lí thuyết chia hết hoàntoàn tương tự như trong vành số nguyên hữu tỉ

1.4.15 Số vô tỷ đại số

i) Số là số vô tỷ đại số bậc 2 vì nó là nghiệm của phương trình

ii) là số vô tỷ đại số bậc 3 vì nó là nghiệm của phương trình

iii) là số vô tỷ đại số bậc 6 vì nó là nghiệm của phương trình

Nhận xét 1) Tất cả các số hữu tỷ đều là số đại số bậc nhất.

2) Tập hợp tất cả các số thực đại số là tập hợp đếm được.

3) Tập hợp các số đại số lập thành trường, gọi là trường các số đại số

1.4.16 Định lý Liouville ([8]) Nếu là số thực sao cho với mọi số tự nhiên

và với mọi số thực dương c đều tồn tại một số hữu tỷ với a, b nguyên và

để cho thì là số siêu việt

1.4.17 Số vô tỷ siêu việt Liouville

Con người chỉ mới biết một số rất ít số siêu việt và việc chứng minh một số làsiêu việt là bài toán rất khó Năm 1844, L i ouville  đã chứng minh sự tồn tại của sốsiêu việt Nhưng mãi đến năm 1854 ông mới tìm ra số siêu việt đầu tiên là

Những số siêu việt thỏa mãn tiêu chuẩn 1.4.16 nói trên được gọi là số siêu

việt Liouville và như vậy vấn đề tồn tại số siêu việt đã được giải quyết Tuy nhiên,

theo tiêu chuẩn này không kiểm tra được các hằng số quen thuộc là số siêuviệt

Ví dụ, số là số siêu việt Liouville

Năm 1874, Cantor chỉ ra rằng "gần như tất cả" các số thực là số siêu việtbằng cách chứng minh rằng, tập hợp các số thực là không đếm được trong khi tậphợp các số thực đại số  đếm được