Dãy farey và ứng dụng trong bài toán xấp xỉ tốt số vô tỷ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TR ƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ HẠNH DÃY FAREY VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN XẤP XỈ TỐT SỐ VÔ TỶ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TR ƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ HẠNH DÃY FAREY VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN XẤP XỈ TỐT SỐ VÔ TỶ CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. NGUYỄN THÀNH QUANG NGHỆ AN - 2014 MỤC LỤC TRANG MỞ ĐẦU 1 CHƯƠNG 1 SỐ VÔ TỶ 4 1.1 Một vài ý nghĩa hình học của số vô tỷ 4 1.2 Số π 9 1.3 Số e 13 1.4 Số vô tỷ đại số và số vô tỷ siêu việt 20 CHƯƠNG 2 DÃY FAREY VÀ ỨNG DỤNG TRONG XẤP XỈ TỐT SỐ VÔ TỶ 28 2.1 Dãy Farey 28 2.2 Định lý Pick 39 2.3 Ứng dụng của dãy Farey trong xấp xỉ tốt số vô tỉ 41 2.4 Mô tả hình học của phép xấp xỉ vô tỷ dựa vào liên phân số và dãy Farey 55 KẾT LUẬN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 1 MỞ ĐẦU Trong toán học, số vô tỉ là số thực không phải là số hữu tỷ, nghĩa là nó không thể biểu diễn được dưới dạng phân số a b với ,a b là các số nguyên, 0b ≠ . Tập hợp số vô tỉ kí hiệu bởi , , , 0 . a I x x a b b b   = ∈ ≠ ∈ ≠     ¡ ¢ Người ta đã chứng minh được rằng, tập hợp các số vô tỉ có lực lượng lớn hơn tập hợp các số hữu tỉ. Nói khác đi, tập hợp các số vô tỷ có lực lượng quá đếm được. Chúng ta thường quan tâm tới các số ( ) 2 , , , 2 e e e e π π . và cho rằng những số này là số vô tỷ. Tuy nhiên những điều này cần phải được chứng minh. Lý thuyết số liên quan tới những vấn đề như vậy. Trừ ra một ít trường hợp đơn giản, các vấn đề nói trên thường cực khó và chúng thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học nổi tiếng (Euler, Liouville, Cantor, Catalan, Napier… ). Vì vậy, việc tìm hiểu những ý nghĩa và kết quả liên quan đến số vô tỷ và tìm tòi các xấp xỉ của số vô tỉ trong Toán học là điều cần thiết và có ý nghĩa trong giảng dạy và nghiên cứu toán học. Một trong những công cụ để tìm các xấp xỉ tốt của số vô tỷ là dãy Farey và liên phân số. Tập các phân số dương tối giản, nhỏ hơn 1, có mẫu số không vượt quá n, sắp xếp theo thứ tự tăng dần được gọi là dãy Farey thứ n. Dãy Farey là một đối tượng nghiên cứu của Số học có nhiều ứng dụng sâu sắc trong các nghiên cứu về xấp xỉ của số vô tỷ. Nếu như trước đây, Số học được xem là một trong những ngành lý thuyết xa rời thực tiễn nhất, thì ngày nay, nhiều thành tựu mới nhất của số học có ứng dụng trực tiếp vào các vấn đề của đời sống, như thông tin, mật mã, kỹ thuật máy tính. 2 Trong số học có những con số đặc biệt mà người ta thường gọi là những con số vàng của toán học. Ngoài những tính chất đẹp đẽ diệu kỳ của nó, những con số này còn có những ứng dụng bất ngờ và sâu sắc trong toán học và các lĩnh vực khác. Việc tìm hiểu những con số vàng của toán học (chẳng hạn số e và số π ) hết sức cần thiết và có ý nghĩa. Chúng ta thử hình dung rằng, nếu trong toán học thiếu vắng các số e và π thì tình hình toán học sẽ phát triển như thế nào? Với lý do trên, trên cơ sở tham khảo các tài liệu số học có liên quan đã công bố trong thời gian gần đây, luận văn “Dãy Farey và ứng dụng trong bài toán xấp xỉ tốt số vô tỷ” nhằm tìm hiểu sâu hơn các ý nghĩa và kết quả sâu sắc của số vô tỷ cũng như các ứng dụng của dãy Farey trong xấp xỉ số vô tỷ. Bố cục luận văn gồm 2 chương, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo. Nội dung chính của luận văn: 1. Giới thiệu khái niệm và trình bày chứng minh chi tiết về a) Một vài tính chất hình học của số vô tỷ. b) Dãy Farey; Định lý Pick. c) Xấp xỉ số vô tỷ. 2. Giải một số bài tập về số vô tỷ và dãy Farey . Phương pháp nghiên cứu của luận văn: - Sử dụng lý thuyết chia hết trên vành số nguyên và tính chất của số hữu tỉ. - Sử dụng công cụ giới hạn của dãy số và hàm số thực. - Sử dụng các tính chất của đa thức và dãy Farey trong xấp xỉ tốt số vô tỉ. 3 Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Thành Quang. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy về sự hướng dẫn tận tình và dạy bảo ân cần, chu đáo. Tác giả xin cảm ơn các thầy cô giáo trong chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, Khoa Sư phạm Toán học, Phòng Đào tạo Sau đại học của Trường Đại học Vinh đã giảng dạy và tổ chức hướng dẫn cho chúng tôi trong học tập và nghiên cứu. Xin gửi lời cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Cửa Lò 2 – Sở Giáo dục và Đào tạo Nghệ An, gia đình, anh chị em đồng nghiệp của tôi đã quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ trong suốt thời gian học tập vừa qua. Tuy đã cố gắng trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn, song chắc chắn vẫn còn có nhiều thiếu sót, tác giả rất mong được sự góp ý, chỉ bảo của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp. TÁC GIẢ 4 CHƯƠNG 1 SỐ VÔ TỶ 1.1. Một vài ý nghĩa hình học của số vô tỷ 1.1.1. Số vô tỷ. Trong toán học, số vô tỉ là số thực không phải là số hữu tỷ, nghĩa là không thể biểu diễn được dưới dạng phân số , , , 0 a a b b b ∈ ≠ ¢ . Nói cách khác, số vô tỉ là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Tập hợp tất cả các số vô tỉ được kí hiệu bởi , , , 0 . a x x a b b b   = ∈ ≠ ∈ ≠     I ¡ ¢ Ví dụ về số vô tỷ: 1. Số thập phân vô hạn có chu kỳ thay đổi: 0,1010010001000010000010000001 2. Số 2 = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 7 3. Số π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 693… 4. Số lôgarit tự nhiên e = 2,71828 18284 59045 23536 Chúng ta xuất phát bằng một định lý rất đơn giản về số vô tỉ, mà gần như ai cũng biết, bởi định lý này có một nghĩa ý nghĩa lịch sử to lớn, gắn liền với tên tuổi của nhà toán học Hy-lạp nổi tiếng: Pithagoras, người đầu tiên phát hiện ra 2 là số vô tỉ. Sự kiện này được đánh giá như là một trong những phát minh vĩ đại nhất của nhân loại, tương đương với tầm cỡ như phát minh ra Hình học phi Euclid. Nhờ phát minh này mà phát hiện được rằng độ dài đường chéo bằng 2 của một hình vuông có cạnh đơn vị, là không thể đo được bằng phân số, hay là một số vô tỷ (xem [10]). 1.1.2. Định lý Pithagoras. 2 là số vô tỉ. 5 Chứng minh. Giả sử 2 a b = với a, b là các số nguyên nào đó, sao cho ( , ) 1a b = (1) Từ đó suy ra 2 2 2a b = . (2) Từ (2) suy ra 2 a chẵn. Vì vậy, a chẵn, bởi nếu a lẻ thì 2 a lẻ. Khi đó cho phép chúng ta đặt 1 2a a = với 1 a là số nguyên nào đó. Từ đó, chúng ta thu được từ (2): 2 2 1 4 2a b= hay 2 2 1 2b a = . Như vậy cả hai a và b đều là số chẵn. Điều này mâu thuẫn với giả thiết (1), suy ra 2 không biểu thị được dưới dạng a b . Định lý được chứng minh.■ 1.1.3. Định lý. Nếu số nguyên m không phải là luỹ thừa bậc n của một số nguyên nào đó, thì n m là số vô tỉ. Chứng minh. Giả sử phát biểu trên là sai, khi đó có các số nguyên a và b sao cho , ( , ) 1. n a m a b b = = (3) Do đó n n a mb = (4) Nếu 1b = thì n a m = nào đó, mâu thuẫn với giả thiết của định lý, cho nên 2b ≥ . Do đó, tồn tại một nguyên tố p nào đó là ước của b. Do đó, từ (4) suy ra p là ước của n a hay p là ước của a. Như vậy p là ước chung của a và b, nhưng điều này là không thể được vì a và b nguyên tố cùng nhau. Bởi vậy, định lý trên được chứng minh. ■ 1.1.4. Định lý. Giả sử 1 1 ( ) n n n f x x a x a − = + + +L là đa thức đơn hệ với hệ số nguyên. Khi đó, mỗi nghiệm của phương trình ( ) 0f x = hoặc là số nguyên hoặc là số vô tỉ. 6 Chứng minh. Giả sử phát biểu trên không đúng. Khi đó, tồn tại một phân số hữu tỉ tối giản , 1 a b b > là nghiệm của phương trình ( ) 0f x = . Ta có: 1 1 0 n n n a a a a b b −     + + + =  ÷  ÷     L hay 1 1 0 n n n n a a a b a b − + + + = L . Do đó ( ) 1 1 n n n n a a a b a b − = − + +L . Như vậy, b là ước của n a . Vậy có một số nguyên tố p (ước nguyên tố của b) là ước của n a . Do đó, p là một ước nguyên tố chung của a và b. Điều này trái với giả thiết a b là phân số tối giản. Bởi vậy, định lý trên được chứng minh. ■ 1.1.5. Hệ quả. Cho ,m n là những số nguyên dương. Nếu n m không phải là số nguyên thì nó là số vô tỉ Chứng minh. Số n m là nghiệm của phương trình 0 n x m − = . Như vậy, theo định lý trên n m sẽ hoặc là số nguyên hoặc là số vô tỉ. Nhưng chúng ta đã giả thiết rằng nó không phải là số nguyên. Vậy từ đó ta có n m là số vô tỉ. ■ Ví dụ. 3 3 3 2, 3, 5, 2, 3, 5, là những số vô tỷ. 1.1.6. Dựng đoạn thẳng có độ dài vô tỉ. Cho trước một đoạn thẳng có độ dài 1 đơn vị. Hãy dùng thước và compa dựng các đoạn thẳng với độ dài theo dãy sau: 1, 2, 3, , n . Đầu tiên chúng ta dựng 1 tam giác vuông cân, cạnh góc vuông có độ dài 1 đơn vị, từ đó dựng được cạnh huyền có độ dài bằng 2 . Từ đoạn 2 đã có, ta tiếp tục dựng đoạn vuông góc với đoạn 2 tại một trong 2 đầu mút, suy ra độ dài cạnh huyền của tam giác vuông nhận 2 cạnh đó làm 2 cạnh góc vuông bằng 3 . [...]... vit Liouville m m =1 2 Vớ d, s = Nm 1874, Cantor ch ra rng "gn nh tt c" cỏc s thc l s siờu vit bng cỏch chng minh rng, tp hp cỏc s thc l khụng m c trong khi tp hp cỏc s thc i s m c 28 CHNG 2 DY FAREY V NG DNG TRONG BI TON XP X TT S Vễ T 2.1 Dóy Farey Trong chng ny cỏc kớ hiu a, b, c, d, s biu din cỏc s nguyờn dng Gi a c a+c v l 2 phõn s hu t Khi ú, c gi l giỏ tr trung b d b+d bỡnh ca a v c b d 22... toỏn hc Thy S Leonhard Euler, hoc hng s Napier ghi cụng nh toỏn hc Scotland John Napier ngi ó phỏt minh ra lụgarit S e l mt trong nhng s quan trng nht trong toỏn hc Nú cú mt s nh ngha tng ng, mt s trong chỳng s c a ra di õy Ch dn tham kho u tiờn ti hng s ny c xut bn vo 1618 trong bng ph lc ca mt cụng trỡnh v lụgarit ca John Napier Th nhng, cụng trỡnh ny khụng cha hng s e, m n gin ch l mt danh sỏch... do khụng kh nghch, nờn khụng l phn t bt kh quy ca vnh A Nh vy, trong vnh s nguyờn i s A khụng cú phn t bt kh quy v vỡ th trong A khụng cú mt lớ thuyt chia ht tng t nh ó cú trong vnh cỏc s nguyờn hu t  Song nu ta nhn xột rng  l mt vnh con ca A , ú l 26 vnh cỏc s nguyờn i s bc nht, thỡ ta cú th lm tng t l xõy dng lớ thuyt chia ht trong nhng vnh con xỏc nh ca A Ta hóy ly trng hp sau õy lm vớ d Xột... liờn h vi ng trũn, ta cú th tỡm thy nú trong nhiu cụng thc lng giỏc v hỡnh hc, c bit l nhng cụng thc liờn quan ti ng trũn, ng elip, hoc hỡnh cu Nú cng xut hin trong cỏc cụng thc ca cỏc ngnh khoa hc khỏc, nh v tr hc, lý thuyt s, thng kờ, phõn dng, nhit 10 ng lc hc, c hc v in t hc S cú mt rng khp ca s khin nú tr thnh mt trong nhng hng s toỏn hc c bit n nhiu nht, c bờn trong ln bờn ngoi gii khoa hc: mt s... + d) khụng cú c s chung ln hn 1 Vy a+c l phõn s ti gin b+d Bõy gi chỳng ta nh ngha dóy Farey - dóy cỏc phõn s gn lin vi tờn tui nh a lý hc John Farey (1766 - 1826) khi ụng cụng b nhng tớnh cht thỳ v ca phõn s Farey trờn mt tp chớ trit hc di dng phng oỏn 2.1.6 nh ngha Gi s n l mt s nguyờn dng cho trc Khi ú, dóy Farey cp n c nh ngha nh sau: i) 0 1 l s hng u tiờn v l s hng cui cựng ca dóy 1 1 ii) Cỏc... dóy Farey f n vi n bt k Ta phi lp f k +1 bng cỏch chốn vo gia cỏc phn t ca f k tt c cỏc phõn s ti gin cú mu khụng vt quỏ k + 1 Ngha l, cn phi bt u t f1 , ri f 2 , f3 , Bõy gi chỳng ta s rỳt ra mt vi tớnh cht quan trng ca dóy Farey 2.1.7 nh lý Nu a c v l hai s hng liờn tip ca dóy Farey f n thỡ b + d > n b d Chng minh Theo nh lý 2.1.1 cú: a a+c < b b+d Gi s ngc li, b + d n thỡ phõn s thit phi xut hin trong. .. ca trng cỏc s i s, ta gi Ô (i ) l trng cỏc s hu t phc Xột tp hp G cỏc s nguyờn i s trong Ô (i ) : G = A Ô (i ) Ta thy G l mt vnh con ca A v chng minh c rng vnh G gm cỏc s phc cú dng a + bi, a, b  Vnh G c gi l vnh cỏc s nguyờn Gauss v ký hiu bi  [ i ] Trong vnh  [ i ] ny cú mt lớ thuyt chia ht hon ton tng t nh trong vnh s nguyờn hu t  1.4.15 S vụ t i s i) S 2 l s vụ t i s bc 2 vỡ nú l nghim... thi phc hng, cỏc ngh s v kin trỳc s bt u tớnh toỏn v xõy dng tỏc phm ca h sao cho cỏc t s trong thit k xp x t s vng, c bit l hỡnh ch nht vng t s cnh di v cnh ngn bng C T quc ca cỏc quc gia trờn th gii (trong ú cú Vit Nam) u c may theo hỡnh ch nht vi t l ny 1.1.8 im vng Nh toỏn hc Euclid cng ó tng núi n t l vng trong cỏc tỏc phm bt h ca ụng mang tờn Nhng nguyờn tc c bn Theo ụng, im I nm trờn on thng... Oughtred Ch dn u tiờn cho bit v hng s e c phỏt hin bi Jacob Bernoulli, trong khi tỡm giỏ tr ca biu thc: n 1 lim 1 + ữ n n Vic s dng u tiờn ta tng bit ca hng s, biu din bi ch cỏi b, l trong liờn lc th t gia Gottfried Leibniz v Christiaan Huygens gia 1690 v 1691 Leonhard Euler bt u s dng ch cỏi e cho hng s vo 1727, v vic s dng e ln u tiờn trong mt n bn l cun Mechanica ca Euler (1736) Lớ do chớnh xỏc cho... õy: 1.1.7 T l vng Cựng vi phỏt minh nh lý Pithagoras, T l vng l mt trong hai phỏt minh v i nht ca loi ngi trong Hỡnh hc Hai i lng c gi l cú t l vng nu t s gia tng hai i lng ú vi i lng ln hn bng t s gia i lng ln hn v i lng nh hn 8 T l vng c nh toỏn hc ngi M l Mark Barr ký hiu l tng nh n Phidias nh iu khc n Parthenon (Hy Lp) Mt trong nhng cụng trỡnh c i chu nh hng ca t l vng nh ngha t l vng c minh . 1 SỐ VÔ TỶ 4 1.1 Một vài ý nghĩa hình học của số vô tỷ 4 1.2 Số π 9 1.3 Số e 13 1.4 Số vô tỷ đại số và số vô tỷ siêu việt 20 CHƯƠNG 2 DÃY FAREY VÀ ỨNG DỤNG TRONG XẤP XỈ TỐT SỐ VÔ TỶ 28 2.1 Dãy. luận văn Dãy Farey và ứng dụng trong bài toán xấp xỉ tốt số vô tỷ nhằm tìm hiểu sâu hơn các ý nghĩa và kết quả sâu sắc của số vô tỷ cũng như các ứng dụng của dãy Farey trong xấp xỉ số vô tỷ. Bố. tìm tòi các xấp xỉ của số vô tỉ trong Toán học là điều cần thiết và có ý nghĩa trong giảng dạy và nghiên cứu toán học. Một trong những công cụ để tìm các xấp xỉ tốt của số vô tỷ là dãy Farey và liên