PHÉP BIẾN ĐỔI CO DÃN VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC SƠ CẤP

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN HẠ THI GIANG PHÉP BIẾN ĐỔI CO DÃN VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN HẠ THI GIANG PHÉP BIẾN ĐỔI CO DÃN VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC SƠ CẤP Chun ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 60 46 0113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Đạo Dõng Đà Nẵng - Năm 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Học viên Nguyễn Hạ Thi Giang MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết đề tài Mục tiêu nghiên cứu đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục đề tài Ý nghĩa khoa học thực tiễn CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 1.2 1.3 SƠ LƯỢC VỀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI 1.1.1 Các định nghĩa ban đầu phép biến đổi 1.1.2 Một số phép biến đổi thường gặp mặt phẳng 1.1.3 Một số phép biến đổi thường gặp không gian 1.1.4 Một số kiến thức liên quan ellipse, ellipsoid 1.1.5 Một số định lý hình học cổ điển 10 PHÉP CO DÃN TRONG MẶT PHẲNG 10 1.2.1 Phép co dãn với hệ số dương 11 1.2.2 Tính chất 11 1.2.3 Phép co dãn với hệ số khác không 16 PHÉP CO DÃN TRONG KHÔNG GIAN 18 1.3.1 Phép co dãn với hệ số dương 18 1.3.2 Tính chất 18 1.3.3 Phép co dãn với hệ số khác không 23 1.4 PHÉP CO DÃN THEO PHƯƠNG CHO TRƯỚC 24 1.4.1 Phép co dãn theo phương cho trước 24 1.4.2 Tính chất 25 CHƯƠNG ỨNG DỤNG PHÉP CO DÃN 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC SƠ CẤP 32 BÀI TỐN KHẢO SÁT TÍNH CHẤT PHÉP CO DÃN 32 2.1.1 Các toán mặt phẳng 32 2.1.2 Các tốn khơng gian 37 2.1.3 Các toán tương tự 42 BÀI TỐN CHỨNG MINH CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC 44 2.2.1 Các toán mặt phẳng 44 2.2.2 Các tốn khơng gian 48 2.2.3 Các toán tương tự 50 BÀI TỐN VỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC 52 2.3.1 Các toán mặt phẳng 52 2.3.2 Các tốn khơng gian 57 2.3.3 Các toán tương tự 61 BÀI TỐN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM (QŨY TÍCH) 62 2.4.1 Các toán mặt phẳng 62 2.4.2 Các tốn khơng gian 66 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES 69 2.5.1 Các toán mặt phẳng 69 2.5.2 Các tốn khơng gian 72 2.5.3 Các toán tương tự 73 2.6 CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP 73 KẾT LUẬN 82 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 83 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO) MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Như biết, hình học xuất từ thời cổ đại nhu cầu đo đạc đất đai hay để xây kim tự tháp khổng lồ Từ đó, cảm nhận vật lý nhu cầu xây dựng mơn hình học mình, nhà tốn học Euclide đưa hệ tiên đề (thế kỷ III tr.CN) tác phẩm "Cơ bản" tiếng suốt 2300 năm qua Từ hệ tiên đề này, hình học khỏi tính tốn túy để khốc lên suy luận logic, chặt chẽ xác Qua 2000 năm phát triển với nhiều loại hình học đời, Đại Hội "Erlangen 1872", nhà toán học người Đức Felix Klein (18491925) đưa quan điểm hình học qua việc nghiên cứu nhóm phép biến đổi cho số đối tượng hình học trở nên bất biến Khi đó, mối liên hệ điểm, đường thẳng, góc xây dựng thơng qua phép biến đổi hình học mà ta gọi tắt Phép biến đổi Hiện nay, phép biến đổi nội dung quan trọng chương trình Tốn bậc phổ thơng trung học (PTTH), đặc biệt sử dụng bồi dưỡng học sinh giỏi, lớp chuyên, lớp chọn, kì thi VMO, IMO Trong nhiều phép biến đổi xây dựng phép biến đổi co dãn có nhiều ứng dụng quan trọng để giải tốn hình học sơ cấp Được định hướng PGS.TS Trần Đạo Dõng thân mong muốn tìm hiểu thêm phép biến đổi hình học này, tơi chọn đề tài : "PHÉP BIẾN ĐỔI CO DÃN VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC SƠ CẤP" làm đề tài luận văn thạc sĩ Mục tiêu nghiên cứu đề tài Mục tiêu nghiên cứu đề tài khai thác tính chất, đặc trưng phép biến đổi co dãn mặt phẳng không gian để khảo sát số chủ đề hình học chương trình PTTH Đối tượng phạm vi nghiên cứu Khai thác phép biến đổi co dãn mặt phẳng không gian để giải dạng tốn hình học : tốn chứng minh tính chất hình học, tốn cực trị hình học, tốn quỹ tích toán liên quan hệ tọa độ Descartes Phương pháp nghiên cứu • Tham khảo tài liệu phép biến đổi co dãn mặt phẳng không gian, hệ thống kiến thức liên quan • Trao đổi, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn đồng nghiệp Bố cục đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn phân làm hai chương: • Ở chương 1, giới thiệu sở phép biến đổi, phép biến hình, phép biến đổi co dãn mặt phẳng khơng gian • Đến chương 2, chúng tơi ứng dụng phép biến đổi co dãn để giải số dạng tốn chương trình bậc PTTH Ý nghĩa khoa học thực tiễn • Góp phần nâng cao hiệu dạy học số chủ đề hình học thuộc chương trình tốn bậc PTTH • Hệ thống phương pháp giải ứng dụng phép biến đổi co dãn • Phát huy tư duy, tính tự học sáng tạo học sinh CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN Ở chương 1, giới thiệu kiến thức sở sử dụng luận văn 1.1 SƠ LƯỢC VỀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI Ở mục ta nhắc lại số định nghĩa phép biến đổi hình học (gọi tắt phép biến đổi) mặt phẳng không gian 1.1.1 Các định nghĩa ban đầu phép biến đổi Giả sử P mặt phẳng (hoặc không gian) Định nghĩa 1.1.1 (Phép biến đổi) Phép biến đổi P quy tắc cho điểm M thuộc P xác định điểm M thuộc P Kí hiệu: f : P −→ P M −→ M = f (M ) Khi đó: • M gọi ảnh M qua phép biến đổi f • M gọi tạo ảnh M qua phép biến đổi f Định nghĩa 1.1.2 (Ảnh hình) Cho hình (H) phép biến đổi f P Khi (H ) = {M : M = f (M ), M ∈ (H)} gọi ảnh (H) qua phép biến đổi f Kí hiệu: (H ) = f (H) Mục trích dẫn chủ yếu từ tài liệu tham khảo [5], [9], [10] Định nghĩa 1.1.3 (Phép biến đổi 1-1) Cho phép biến đổi f P Nếu ứng với ảnh M có tạo ảnh M f phép biến đổi − hay gọi phép biến hình Định nghĩa 1.1.4 (Đại lượng bất biến) Cho phép biến đổi f P Giả sử (A ) đại lượng hình học (điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, mặt phẳng, ) cho f (A ) = (A ) (A ) gọi đại lượng bất biến f Trường hợp (A ) điểm điểm gọi điểm bất động f Định nghĩa 1.1.5 (Phép biến đổi đồng nhất) Cho phép biến đổi f P Nếu điểm M P điểm bất động f gọi phép biến đổi đồng Kí hiệu: f = Id Định nghĩa 1.1.6 (Phép biến đổi trùng nhau) Cho hai phép biến đổi f, g P Với điểm M thuộc P , ta có f (M ) = M = g(M ) f, g gọi hai phép biến đổi trùng Kí hiệu: f = g Định nghĩa 1.1.7 Cho hai phép biến đổi f, g P Giả sử X tập hợp điểm P Nếu f = g, ∀M ∈ X f, g gọi trùng cục Từ định nghĩa 1.1.7, ta có nhận xét sau: Nhận xét 1.1.1 Nếu f = g f, g trùng cục Điều ngược lại nói chung khơng Định nghĩa 1.1.8 (Tích phép biến đổi) Cho hai phép biến đổi f : M −→ M , g : M −→ M P Khi đó, Định nghĩa 1.1.3 kết hợp từ hai tài liệu tham khảo [5] [9] 70 Chứng minh Gọi M (x; y) M (x ; y ) = Γ(d,k) (M ) Giả sử H(xH ; yH ) hình chiếu M, M lên d Khi  x = kx + (1 − k)xH −−−→ −−→ HM = k HM ⇔ y = ky + (1 − k)y H (2.21) Giả thiết  x = x0 + at (d) : y = y + bt (t ∈ R) (2.22) Do H ∈ d nên từ 2.22, ta có tọa độ điểm H(x0 + at; y0 + bt) Khi đó, −−→ HM = (x − x0 − at; y − y0 − bt) Vì H hình chiếu M lên d nên −−→ → HM ⊥ − ud ⇔ (x − x0 − at)a + (y − y0 − bt)b = ⇔ t= a(x − x0 ) + b(y − y0 ) a2 + b2 Thay vào (2.22), ta có   a2 x + b2 x0 + ab(y − y0 )  xH = a2 + b2 2 b y + a y0 + ab(x − x0 )   yH = a2 + b (2.23) Từ (2.21 (2.23), ta có biểu thức tọa độ phép biến đổi Γ(d,k) Bài toán 2.5.2 Cho ellipse (E) : x2 y + = 1(a > b > 0) đường thẳng a2 b (d) : Ax + By + C = (C = 0) Chứng minh điều kiện cần đủ để (d) tiếp xúc (E) a2 A2 + b2 B = C Phân tích: Để chứng minh tốn này, ta cần ý đến phương trình tiếp tuyến đường tròn (C) : x2 + y = R2 M (x0 ; y0 ) có dạng xx0 + yy0 = R2 71 Chứng minh ⇒) Giả sử đường thẳng (d) : Ax + By + C = 0(C = 0) tiếp xúc với (E) M (x0 ; y0 ) Xét phép co dãn Γ(Ox, ab ) biến (E) thành đường tròn (C) : x2 + y = a2 , ay0 M biến thành M x0 ; , tiếp tuyến d (E) M biến thành tiếp b tuyến d (C) M Khi (d ) : x0 x + ay0 y = a2 b Thực phép co dãn ngược Γ(Ox, b ) biến lại d thành d a (d) : x0 y0 x0 y0 x + y = ⇔ x + y − = a2 b2 a2 b2 Theo giả thiết, (d) : Ax + By + C = nên ta có đẳng thức sau y0 x0 = = − a2 A b B C (C = 0) a2 A b2 B Vậy x0 = − , y0 = − Mà M ∈ (E) nên C C a4 A2 b4 B + = ⇔ a2 A2 + b2 B = C 2 Ca Cb ⇐) Giả sử ta có a2 A2 + b2 B = C , ta cần chứng minh d tiếp xúc với (E) Thật vậy, chọn M (x0 ; y0 ) ∈ (E) Xét phép biến đổi Γ(Ox, ab ) biến (E) thành ay0 đường tròn (C) : x2 +y = a2 , M thành M x0 ; ∈ (C), đường thẳng b bB y + C = d thành (d ) : Ax + a a2 A b2 B Cx0 Cy0 Chọn x0 = − ; y0 = − A = − , B = − Thay vào C C a b phương trình đường thẳng d , ta có − Cx0 x bCy0 y a − + C = ⇔ x x + y0 y = a2 2 a ab b Vậy d tiếp xúc với (C) M0 Thực phép biến đổi ngược Γ(Ox, b ) , ta a có d tiếp xúc (E) M0 72 2.5.2 Các tốn khơng gian Bài toán 2.5.3 Thiết lập biểu thức tọa độ phép biến đổi co dãn C(P,k) hệ tọa độ Oxyz Chứng minh Gọi M (x; y; z) M = C(P,k) (M ), H hình chiếu M lên (P ) Khi đó, tương tự tốn 2.5.1, ta có  a2 x + (b2 + c2 )x0 + ab(y − y0 ) + ac(z − z0 )   xH =   a2 + b2 + c2   2 b y + (a + c )y0 + ab(x − x0 ) + bc(z − z0 ) yH =  a2 + b2 + c2   2   zH = c z + (a + b )z0 + ac(x − x0 ) + bc(y − y0 ) a2 + b2 + c2 (2.24) Đồng thời, ta có :    x = kx + (1 − k)xH    y = ky + (1 − k)yH     z = kz + (1 − k)zH (2.25) Từ (2.24) (2.25), ta có biểu thức tọa độ phép biến đổi C(P,k) Bài toán 2.5.4 Cho ellipsoid x2 y z (E) : + + = 1, (a > b > c > 0) a b c Chứng minh điều kiện cần đủ để mặt phẳng (Q) : Ax + By + Cz + D = 0, (D = 0) tiếp xúc với (E) a2 A2 + b2 B + c2 C = D2 Phân tích: Đây mở rộng tốn 2.5.2 nên ta cần ý phương trình tiếp diện mặt cầu x2 + y + z = R2 M (x0 ; y0 ) xx0 + yy0 + zz0 = R2 73 Chứng minh Thực phép co dãn C(Oxy, b ) C(Oyz, b ) ta c a (S) : x2 + y + z = b2 Chứng minh tương tự tốn 2.5.3 • Viết phương trình (Q ) qua phép co dãn, phương trình tiếp diện (Q ) • Đồng hệ số hai phương trình thay tọa độ M vào ellipse • Chứng minh chiều nghịch, ta chọn tọa độ M rút A, B, C thay vào (Q ) suy (Q ) tiếp xúc với (S) Thực phép biến đổi ngược, ta có (Q) tiếp xúc với (E) 2.5.3 Các toán tương tự Bài toán 2.5.5 Cho phép biến đổi Γ(d,2) với (d) : x − y = Viết phương trình i) ∆ ảnh ∆ : 2x − y + = qua phép biến đổi Γ(d,2) ii) (E) ảnh (C) : (x − 1)2 + (y − 1)2 = qua phép biến đổi Γ(d,2) Hướng dẫn: Sử dụng công thức toán 2.5.1 x2 y Bài toán 2.5.6 Cho ellipse (E) : + = Viết phương trình tiếp tuyến (E) : i) M (3; 0) ii) có hệ số góc k = iii) qua A(1; 1) Hướng dẫn: Biến (E) thành đường tròn Viết phương trình tiếp tuyến biến đổi ngược lại 2.6 CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP Trong mục này, sử dụng phép co dãn kết hợp phép biến đổi khác để chứng minh số định lý hình học cổ điển mở rộng số tốn ellipse từ đường tròn 74 Bài tốn 2.6.1 Cho ellipse (E) có độ dài trục 2a, 2b (a > b) Tính diện tích ellipse Phân tích: Muốn tính diện tích ellipse, ta tính cơng cụ tích phân cách dễ dàng Tuy nhiên, chúng tơi đưa phép tính tương tự thuật toán xấp xỉ số π Chứng minh Xét phép co dãn Γ(Ox, ab ) biến (E) thành đường tròn (C) tâm O, bán kính a Giả sử ta có n−giác A1 A2 An (n ≥ 3), nội tiếp (C), có diện tích S 2π S = n.SOA1 A2 = n OA1 OA2 sin  n 2π sin 2π  n  = na sin = π.a  2π  n n Hình 2.24 Thực phép co dãn ngược Γ(Ox, b ) biến đa giác A1 A2 An trở thành a đa giác A1 A2 An nội tiếp (E) có diện tích S Theo hệ 1.2.2,   2π sin b  n  S = S = π.ab  2π  a n Đặt Si := SOAi Ai+1 (i = 1, n), Sn = SOAn A1 S = n i=1 Si Khi số đỉnh đa giác lớn (n −→ ∞) diện tích ellipse :   2π ∞ n sin  n  S(E) = Si = lim Si = lim S = lim π.ab  = πab 2π  i=1 n→∞ i=1 n→∞ n→∞ n 75 Bài toán 2.6.2 Cho hai tam giác tồn phép biến hình biến ABC ABC thành A B C Chứng minh ABC Chứng minh Sử dụng hai phép co dãn theo phương cho trước C(B C ,k1 ,A C ) C(B C ,k2 ,B A1 ) biến A B C thành A2 B C có góc A2 B C = ABC; A2 C B = ACB Hình 2.25 Khi đó, thành biến A2 B C ABC Sử dụng phép đồng dạng f biến ABC A2 B C Vậy phép biến đổi F = f ◦ C(B C ,k1 ,A C ) ◦ C(B C ,k2 ,B A1 ) ABC thành ABC Bài toán 2.6.3 Cho ellipse (E) điểm M nằm trục đối xứng (E) Chứng minh tồn phép biến hình biến (E) thành đường tròn (C) M biến thành tâm (C) Chứng minh Gọi (P ) mặt phẳng chứa (E), AB trục lớn (E) chứa M Dựng (Q) ⊥ (P ) (Q) chứa AB Thực phép dãn C(Q,k) biến (E) thành đường tròn (C1 ) AB đường kính (C1 ) Hình 2.26 76 MA MA = Trong (Q), dựng MB MB đường tròn (L) đường kính M M Lấy J ∈ (L) JM phân giác Gọi M thuộc đường thẳng AB cho AJB Lấy I ∈ JM , dựng mặt phẳng (R) ⊥ JM I , (R) cắt JA, JB A , B I trung điểm A B Dựng đường tròn (C) tâm I , đường kính A B Rõ ràng, ta có phép chiếu P(Q) biến (C1 ) thành (C), M thành I Vậy phép biến đổi f = P(Q) ◦C(Q,k) biến (E) thành (C), M thành I Nhận xét 2.6.1 Bài toán 2.6.5 2.6.6 ứng dụng phép co dãn để xây dựng phép biến hình khác.Trong đó, 2.6.5 minh họa cho "Phép biến đổi tuyến tính", 2.6.6 minh họa cho "Phép biến đổi xạ ảnh", phép biến đổi bảo tồn tính chất đồng quy, thẳng hàng, tỉ lệ đoạn thẳng song song phép biến đổi co dãn Ta sử dụng chúng để hỗ trợ cho việc chứng minh số mở rộng định lý hình học cổ điển trình bày sau Bài toán 2.6.4 (Định lý chùm đường thẳng đồng quy) CD) điểm M ∈ AB , N ∈ CD Chứng BM CN minh AD, M N, BC đồng quy = MA ND BM CN Phân tích: Theo giả thiết ta có tỉ lệ = nên ta thiết MA ND lập phép co dãn biến D thành N , biến A thành M Rồi sử dụng tính Cho hình thang ABCD(AB chất 1.4.3 để kết luận đồng quy Chứng minh Tham khảo phép biến đổi tuyến tính, phép xạ ảnh tài liệu [5], [10] 77 ⇐) Đặt BM CN = = k MA CD BM DN k = = BA DC k+1 Xét phép co dãn theo phương CD, k , ta trục co dãn BC , tỉ số k+1 B, C hình chiếu M, N Hình 2.27 lên BC theo phương CD −−→ k −→ −−→ k −−→ BM = BA, CN = CD k+1 k+1 Vậy M = Γ(BC, k ,CD) (A), N = Γ(BC, k ,CD) (D) Gọi {I} = AD ∩ BC k+1 I = Γ(BC, k k+1 ,CD) k+1 (I) Khi B, C, I thẳng hàng nên theo tính chất 1.4.3 ta có M, N, I thẳng hàng ⇒) Giả sử AD, BC, M N đồng quy I sử dụng định lý Thalès, ta BM CN chứng minh = MA ND Nhận xét 2.6.2 Từ tốn 2.6.7, ta có hệ "định lý chùm đường thẳng đồng quy" : Điều kiện cần đủ để chùm đường thẳng đồng quy chúng định hai đường thẳng song song đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Bài toán 2.6.5 (Bài toán bướm mở rộng) Cho ellipse (E), lấy hai điểm A, B Gọi I trung điểm AB M N, P Q dây cung (E) qua I(M, P nằm phía với AB ) Các dây cung N P, M Q cắt AB K, H Chứng minh IH = IK Chứng minh Tương tự toán 2.2.5 2.2.6, ta sử dụng phép biến đổi Γ(d,k) biến ellipse thành đường tròn (C) hình 2.29 Để chứng minh I H = I K , theo tập 2.6.3, ta sử dụng phép xạ ảnh biến đường tròn (C) thành đường tròn (C ), điểm I thành I1 với 78 I1 tâm đường tròn (C ) Khi đó, dây cung M1 N1 , P1 Q1 đường kính (C1 ) nên M1 P1 N1 Q1 hình chữ nhật Hình 2.28 Đồng thời, H1 , K1 trung điểm M1 Q1 , P1 N1 Suy I1 H1 = I1 K1 Phép xạ ảnh bảo toàn tỉ lệ đoạn thẳng phương nên I H = I K Do tính chất 1.2.4 phép co dãn Γ(d,k) nên IH = IK Bài toán 2.6.6 (Định lý Monge-D’Alembert mở rộng) Cho ba ellipse (E1 ), (E2 ), (E3 ) nằm rời nhau, có trục đối xứng song song với nhau, tỉ lệ độ dài trục i) Tiếp tuyến chung ba ellipse cắt M, N, P Chứng minh M, N, P thẳng hàng ii) Tiếp tuyến chung (E1 ) (E2 ), (E2 ) (E3 ) giao M, N Tiếp tuyến chung (E1 ), (E3 ) cắt P Chứng minh M, N, P thẳng hàng Chứng minh Đặt trục Ox qua tâm O1 , O2 , gốc O ≡ O1 , O2 (x2 ; 0), O3 (x3 ; y3 ) Khi đó, ellipse có phương trình: 79 x2 y (E1 ) : + = 1, a1 b1 (x − x2 )2 y (E2 ) : + = 1, a22 b2 (x − x3 )2 (y − y3 )2 + = (E3 ) : a23 b23 a1 a2 a3 = = = k b1 b2 b3 i) Xét phép co dãn Γ(Ox,k) biến Theo giả thiết, (E1 ), (E2 ), (E3 ) thành đường tròn (O, a1 ), (O2 , a2 ), (O3 , a3 ) Hình 2.29 Giả sử a1 < a2 < a3 V(P, aa1 ) (O3 ) = O1 , V(N, aa3 ) (O2 ) = O3 , V(M, aa2 ) (O1 ) = O2 P O1 N O3 M O2 = Theo định lý Menelaus M , N , P thẳng P O3 N O2 M O1 hàng Thực phép co dãn ngược, ta có M, N, P thẳng hàng Vậy ii) Chứng minh tương tự Bài toán 2.6.7 (Bổ đề Haruki mở rộng) Cho AB, CD hai dây cung không cắt ellipse (E) Gọi P điểm cung AB không chứa CD Gọi E, F giao AE.BF điểm P C, P D với AB Chứng minh không đổi EF Chứng minh Thực phép co dãn Γ(d,k) biến (E) thành (C) Khi điểm giả thiết trở thành hình 2.30 Ta cần chứng minh AE.BF AE [a] = [a] ⇔ = , EF EF BF với [a] đoạn thẳng có độ dài khơng đổi phương với BF 80 Hình 2.30 Qua phép co dãn Γ(d,k) , ta cần tìm [a ] = Γ(d,k) ([a]) có độ dài khơng đổi AE [a ] phương với B F , thỏa mãn biểu thức = Thật vậy, EF BF dựng đường tròn ngoại tiếp P E D cắt A B G Khi đó, A G D = C P D = C OD = const Vì vậy, G cố định Suy B G không đổi Theo tính chất phương tích đường tròn : F A F B = P F F D = F E F G ⇔ (A E + E F ).F B = F E F G ⇔ A E F B + E F F B = F E F G ⇔ A E F B = E F (F G − F B ) ⇔ A E B F =BG EF Vậy đoạn thẳng [a] cần tìm BG = Γ(d, k1 ) (B G ) Thực phép co dãn AE.BF ngược ta có = BG khơng đổi EF 81 Các toán tương tự Bài toán 2.6.8 Cho ellipsoid (E) có độ dài ba trục 2a, 2b, 2c, (a > b > c) Tính thể tích ellipsoid Hướng dẫn: Sử dụng phép co dãn C(Oxy, b ) C(Oyz, b ) Chứng minh c a tương tự tốn 2.6.1, ta có V(E) = π.abc Bài toán 2.6.9 Cho ABC Trên BC , lấy điểm A1 , A2 cho BA1 = A1 A2 = A2 C Tương tự, ta có điểm B1 , B2 thuộc AC C1 , C2 thuộc AB Khi đó, đường AA1 , AA2 , BB1 , BB2 , CC1 , CC2 cắt tạo thành sáu đỉnh lục giác Chứng minh đường chéo nối đỉnh đối diện lục giác đồng quy Hướng dẫn: Sử dụng toán 2.1.2 biến thành tam giác Bài toán 2.6.10 (Định lý Brianchon mở rộng) Cho lục giác ABCDEF ngoại tiếp ellipse (E) Chứng minh AD, BE, CF đồng quy Hướng dẫn: Thực phép co dãn biến (E) thành đường tròn (C), lục giác ABCDEF thành lục giác A B C D E F ngoại tiếp (C) Gọi {M } = A D ∩ B E Dùng phép xạ ảnh biến (C) thành đường tròn (C ), M thành tâm M (C ), lục giác A B C D E F thành lục giác A B C D E F ngoại tiếp (C ) Khi đó, A D , B E , C F đồng quy M Một số định lý cổ điển tham khảo tài liệu [3] 82 KẾT LUẬN Hiện nay, giảng phép biến đổi co dãn hạn chế, tài liệu tham khảo thực chưa phong phú để lột tả toàn đặc điểm phép biến hình nói Do đó, luận văn mong muốn khảo sát bổ sung thêm số phương pháp giải để sử dụng cho chương trình bồi dưỡng chuyên đề "Phép biến hình" nhà trường phổ thông Luận văn tập trung chủ yếu khai thác chủ đề hình học sơ cấp giải phép biến đổi co dãn, phát triển số định lý hình học cổ điển để làm rõ vài tính chất ellipse ellipsoid, trình bày phương pháp giải tường minh qua số tập minh họa Cũng lý nên phần lý thuyết phép biến hình trình bày tóm tắt, ngắn gọn Do thời gian thực luận văn có hạn, trình độ người viết có nhiều hạn chế nên dù thân cố gắng sai sót điều khó tránh khỏi Vì thế, mong nhận góp ý q thầy cơ, bạn bè, đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện 83 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Vĩnh Cận (1998), Bài tập quỹ tích dựng hình, NXB Giáo Dục, Hà Nội [2] Văn Như Cương-Phạm Khắc Ban-Lê Huy Hùng-Tạ Mân (2008), Bài tập hình học nâng cao 12, NXB Giáo Dục [3] Nguyễn Đức Đồng - Nguyễn Văn Vĩnh (2000), 23 chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp bồi dưỡng học sinh giỏi luyện thi vào lớp 10 (Quyển Hạ), NXB Trẻ, TP.Hồ Chí Minh [4] Lê Đình Hậu (2010), Một số kiến thức hình Olympiad, nguồn : Viện Tốn Học Việt Nam [5] Nguyễn Mộng Hy (2003), Các phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo Dục, TP Hồ Chí Minh [6] Nguyễn Kiếm - Lê Thị Hương - Hồ Xuân Thắng (2007), Phân loại phương pháp giải dạng tập Toán 11, NXB Đại Học Quốc Gia, Hà Nội [7] Đoàn Quỳnh-Văn Như Cương-Phạm Vũ Khuê-Bùi Văn Nghị (2012), Hình học nâng cao 10, NXB Giáo Dục Việt Nam [8] Nguyễn Đăng Phất(2005), Các phép biến hình mặt phẳng ứng dụng giải tốn hình học, NXB Giáo Dục Đà Nẵng [9] Đỗ Thanh Sơn (2004), Phép biến hình mặt phẳng, Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT, NXB Giáo Dục, Huế 84 [10] Đỗ Thanh Sơn (2004), Phép biến hình khơng gian, Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi tốn THPT, NXB Giáo Dục, Huế [11] Nguyễn Đức Tấn (1998), Chuyên đề quỹ tích (Tập hợp điểm), NXB Trẻ, TP Hồ Chí Minh Tiếng Anh [12] V.Viktor Prasolov (2006), Problems in plane and solid geometry - v1 Plane Geometry Translated and edited by Dimitry Leites, nguồn : google.com.vn [13] V.Viktor Prasolov-I.F.Sakyra (1996), Problems in plane and solid geometry - v2 Solid Geometry, nguồn : google.com.vn ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN HẠ THI GIANG PHÉP BIẾN ĐỔI CO DÃN VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC SƠ CẤP Chun ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 60 46 0113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC... nhiều phép biến đổi xây dựng phép biến đổi co dãn có nhiều ứng dụng quan trọng để giải tốn hình học sơ cấp Được định hướng PGS.TS Trần Đạo Dõng thân mong muốn tìm hiểu thêm phép biến đổi hình học. .. biến đổi f, g P Nếu g ◦ f phép biến đổi đồng g gọi phép biến đổi ngược f Kí hiệu : f −1 Định nghĩa 1.1.11 (Phép biến hình đối hợp) Một phép biến hình f P có phép biến đổi ngược f gọi phép biến