CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Phép biến đổi đồng dạng và ứng dụng vào giải toán sơ cấp hay nhất. Tìm hiểu và nghiên cứu phép biến đổi đồng dạng, ứng dụng phép biến đổi đồng dạng vào giải toán sơ cấp. Giải toán sơ cấp bằng các phép biến đổi đồng dạng cực hay cho học sinh sinh viên. Một luận văn đáng xem về phép biến đổi đồng dạng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

HOÀNG THỊ HẢI PHƯƠNG

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG

VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Đạo Dõng

Đà Nẵng - Năm 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

Hoàng Thị Hải Phương

MỤC LỤC

MỤC LỤC .1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 3

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 3

6 Cấu trúc luận văn 3

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 4

1.1 PHÉP BIẾN HÌNH 4

1.1.1 Định nghĩa 4

1.1.2 Điểm kép của phép biến hình 5

1.1.3 Phép biến hình đảo ngược 5

1.1.4 Tích của các phép biến hình 5

1.2 CÁC PHÉP DỜI HÌNH 7

1.2.1 Định nghĩa phép dời hình 7

1.2.2 Tính chất 7

1.2.3 Các phép dời hình 9

1.2.4 Phân loại các phép dời hình 15

1.3 PHÉP VỊ TỰ 16

1.3.1 Định nghĩa 16

1.3.2 Tính chất 17

1.3.3 Tâm vị tự của hai đường tròn 18

1.3.4 Tích của hai phép vị tự 20

1.4 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG 24

1.4.1 Định nghĩa 24

1.4.2 Tính chất 24

1.4.3 Sự xác định phép đồng dạng 26

1.4.4 Hai hình đồng dạng 27

1.4.5 Điểm kép của phép đồng dạng 27

1.4.6 Liên hệ giữa phép đồng dạng, phép vị tự và phép dời hình 27

1.4.7 Phân loại các phép biến đổi đồng dạng 28

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP 30

2.1 ỨNG DỤNG PHÉP VỊ TỰ 30

2.1.1 Bài toán chứng minh các tính chất hình học 30

2.1.2 Bài toán tính các đại lượng hình học 49

2.1.3 Bài toán quỹ tích 53

2.1.4 Bài toán dựng hình 61

2.2 ỨNG DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG 73

2.2.1 Bài toán chứng minh các tính chất hình học 73

2.2.2 Bài toán tính các đại lượng hình học 85

2.2.3 Bài toán quỹ tích 88

2.2.4 Bài toán dựng hình 93

KẾT LUẬN 100 TÀI LIỆU THAM KHẢO

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO)

1

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình Hình học ở bậc Trung học Phổ thông (THPT)

chúng ta đã biết đến các phép biến hình Tuy nhiên, việc hiểu và áp dụng các

phép biến hình này, đặc biệt là phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng của không

gian Euclid thông thường hai, ba chiều thường khiến cho học sinh gặp khó khăn

Nội dung các phép biến hình đưa vào chương trình Toán ở bậc THPT

không chỉ nhằm cung cấp cho học sinh những công cụ mới để giải toán mà

còn giúp cho học sinh làm quen với phương pháp tư duy và suy luận mới

Chẳng hạn như trước đây, khi cần chứng minh hai tam giác nào đó đồng

dạng, học sinh thường phải chứng minh các cạnh hay các góc của hai tam giác

đó thỏa mãn các điều kiện đã được nêu ra trong các định lí nói về hai tam giác

đồng dạng Tuy nhiên, dựa vào các phép biến đổi đồng dạng trong mặt phẳng

người ta có thể định nghĩa sự đồng dạng của hai tam giác và tổng quát hơn đối

với hai hình bất kì như sau: “Hai hình H và H’ gọi là đồng dạng với nhau nếu

có một phép đồng dạng f biến hình này thành hình kia” Như vậy khái niệm

“đồng dạng” của hai hình được xây dựng dựa trên khái niệm phép biến đổi

đồng dạng, một phép biến hình đặc biệt

Ngoài ra, việc lựa chọn các công cụ thích hợp cho mỗi loại toán hình

học khác nhau là một việc làm cần thiết, giúp chúng ta tiết kiệm được thời

gian và công sức để giải các bài toán một cách có hiệu quả nhất

Tôi đã chọn đề tài “Một số phép biến hình trong mặt phẳng và ứng

dụng giải các bài toán hình học ở THPT” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của

mình vào tháng 6/2010 tại Trường Đại học Sư Phạm – Đại học Đà Nẵng Đề

tài này bước đầu nghiên cứu về một số phép biến hình trong mặt phẳng như:

2

Phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay… Cùng với

sự định hướng của PGS.TS Trần Đạo Dõng và để tiếp tục nghiên cứu, phát triển đề tài ấy, tôi đã chọn đề tài “CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG

VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP” làm đề tài luận văn thạc sĩ

của mình

Trong luận văn này, trước hết chúng tôi giới thiệu về phép biến hình,

hệ thống kiến thức về các phép dời hình và phép vị tự, các phép biến đổi đồng dạng của không gian Euclid thông thường hai, ba chiều (cụ thể trong chương trình toán bậc THPT) Tiếp đó, tìm hiểu ứng dụng của phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng trong mặt phẳng và không gian để giải một số dạng toán cơ bản trong hình học có liên quan, cũng như tìm phương pháp giải cho từng dạng cụ thể

2 Mục đích nghiên cứu

- Khai thác phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng trong mặt phẳng và không gian để khảo sát một số chủ đề trong hình học, nhằm góp phần nâng cao hiệu quả và chất lượng dạy học bộ môn Toán trong chương trình THPT

- Bổ sung một số kiến thức về phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng cho học sinh nhằm giúp các em phát triển tư duy hình học nói riêng và tư duy Toán học nói chung, rèn luyện kĩ năng vận dụng linh hoạt các phép biến hình này vào việc giải quyết các bài toán hình học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Khai thác phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng trong mặt phẳng và không gian để giải các dạng bài toán cơ bản trong hình học như: bài toán chứng minh, bài toán tính các đại lượng hình học, bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình

3

4 Phương pháp nghiên cứu

- Tham khảo tài liệu về phép vị tự và phép biến đổi đồng dạng trong mặt phẳng, trong không gian và hệ thống các kiến thức liên quan

- Trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

- Góp phần làm tài liệu tham khảo cho sinh viên khoa Toán, giáo viên dạy Toán cũng như học sinh đang học ở bậc THPT

- Góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học một số chủ đề cơ bản trong hình học thuộc chương trình Toán bậc THPT

- Phát huy tính tự học và sáng tạo của học sinh

- Giúp sinh viên có một cách nhìn khái quát về hình học và các phép biến hình đã được học ở bậc THPT

6 Cấu trúc luận văn

Nội dung của luận văn ngoài phần mở đầu và phần kết luận gồm có 2 chương:

Chương 1 Các kiến thức cơ sở

Chương này trình bày lý thuyết về phép biến hình, các phép dời hình và nghiên cứu về phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng trong mặt phẳng, trong không gian và các kiến thức liên quan trực tiếp đến việc nghiên cứu của chương tiếp theo

Chương 2 Ứng dụng các phép biến đổi đồng dạng vào giải toán sơ cấp Chương này trình bày ứng dụng của phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng vào giải toán sơ cấp như bài toán chứng minh, bài toán tính các đại lượng hình học, bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình

4

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chương này trình bày tổng quan về phép biến hình, các phép dời hình, phép vị tự

và các phép biến đổi đồng dạng trong mặt phẳng, trong không gian và các kiến thức liên quan trực tiếp đến việc nghiên cứu của chương tiếp theo Kiến thức phần này được tham khảo ở các tài liệu [3], [4], [5], [7]

1.1 PHÉP BIẾN HÌNH

1.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1 Phép biến hình của mặt phẳng (hay không gian) là một

song ánh từ tập hợp các điểm của mặt phẳng (hay không gian) lên chính nó Nói cách khác, cho một phép biến hình f tức là cho một quy tắc tương ứng với mỗi điểm M của mặt phẳng (hay không gian) một điểm duy nhất M’ thuộc mặt phẳng (hay không gian) đó, sao cho:

- Với mỗi điểm M’ thuộc mặt phẳng (hay không gian), tồn tại một điểm

- Với hai điểm phân biệt tùy ý M, N của mặt phẳng (hay không gian),

thì M' = f(M) và N' = f(N) là hai điểm phân biệt

Khi đó M' = f(M) được gọi là ảnh của điểm M và điểm M được gọi là

tạo ảnh của điểm M’ qua phép biến hình f

Nếu H là một hình nào đó của mặt phẳng (hay không gian), tập hợp

f (H) gồm tất cả các phần tử ảnh của mọi điểm M thuộc hình H được gọi là

ảnh của hình H qua phép biến hình f. Khi đó, H được gọi là tạo ảnh của hình f (H) qua phép biến hình f

5

1.1.2 Điểm kép của phép biến hình

Định nghĩa 1.2 Ta kí hiệu tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng (hay

không gian) là T Một điểm M thuộc T được gọi là điểm kép (hoặc là điểm bất

động) đối với phép biến hình f nếu f (M) = M Nói cách khác, điểm M là

điểm kép đối với phép biến hình f nếu điểm M đó biến thành chính nó qua

f

Đặc biệt, phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc mặt phẳng (hay không gian) thành chính điểm M được gọi là phép đồng nhất của mặt phẳng (hay không gian), ký hiệu là Id

1.1.3 Phép biến hình đảo ngược

Cho phép biến hình f của T biến điểm M thành M’, ta có các định

nghĩa sau:

- Phép biến hình biến điểm M’ thành điểm M gọi là phép biến hình đảo

ngược của phép biến hình f đã cho

Ta kí hiệu phép biến hình đảo ngược của f là f 1 Từ định nghĩa suy

ra f (M')= M Hơn nữa, mỗi phép biến hình  1 f có duy nhất một phép biến hình đảo ngược f  1 thỏa mãn tính chất f  1  f = f  f  1 = Id

- Một phép biến hình f của T được gọi là phép biến hình đối hợp nếu sao cho ' ( )

6

T thành một điểm M’, sau đó thực hiện phép biến hình thứ hai f : 2 TT để

biến M’ thành M’’, nghĩa là: M’ = f (M) và M’’ = 1 f (M’) 2

Khi đó phép biến hình f biến M thành M’’ gọi là tích (phép hợp

thành) của hai phép biến hình f và 1 f , kí hiệu là 2 f = f2 f Ta có: 1

f (M) = f2 f (M) = M’’ =1 f (M’) = 2 f [2 f (M)] 1

Chú ý: Kí hiệu tích f2 f là kết quả của việc thực hiện liên tiếp hai 1

phép biến hình: phép thứ nhất là f và phép thứ hai là 1 f Nói chung tích 2

2

f  f và tích 1 f1 f là hai phép biến hình khác nhau 2

Ta cũng xác định được tích f3 f2 f = 1 f3(f2  f là tích của phép 1)

biến hình (f2  f và phép biến hình 1) f theo thứ tự đó Tương tự ta cũng thực 3

hiện được nhiều phép biến hình liên tiếp nhau

Tích các phép biến hình có những tính chất sau đây:

7

1.2 CÁC PHÉP DỜI HÌNH

Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ nghiên cứu về phép vị tự và phép đồng dạng Khi

đó, mỗi phép đồng dạng đều có thể xem là tích giao hoán của một phép vị tự và một phép dời hình Chính vì vậy, để hệ thống kiến thức, trong phần này sẽ giới thiệu sơ lược về các phép dời hình trong mặt phẳng và không gian để người đọc dễ theo dõi trong phần nghiên

cứu tiếp theo về phép vị tự và phép đồng dạng

1.2.1 Định nghĩa phép dời hình

Định nghĩa 1.3 Phép dời hình trong mặt phẳng (hay không gian) là

phép biến hình trong mặt phẳng (hay không gian) biến đoạn thẳng MN thành đoạn thẳng M’N’ sao cho M’N’ = M N

Qua phép dời hình f biến điểm A thành A’, điểm B thành B’, điểm C thành C’ thì ta có A’B’ = AB, B’C’ = BC, C’A’ = CA

Vì B nằm giữa A và C nên AB + BC = AC

Từ đó suy ra: A’B’ + B’C’ = A’C’

Như vậy ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng và B’ nằm giữa A’ và C’

8

Từ Định lý 1.1 ta có các hệ quả sau:

Hệ quả 1.1 Phép dời hình biến một đường thẳng thành một đường

thẳng, biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó

Hệ quả 1.2 Phép dời hình biến một tam giác thành một tam giác bằng

nó, biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó với tâm đường tròn này thành tâm đường tròn kia

Hệ quả 1.3 Qua phép dời hình, mặt phẳng biến thành mặt phẳng, nửa

mặt phẳng biến thành nửa mặt phẳng

Hệ quả 1.4 Phép dời hình bảo toàn góc giữa hai tia, góc giữa hai

đường thẳng, góc nhị diện, góc giữa hai mặt phẳng

Hệ quả 1.5 Phép dời hình bảo toàn tích vô hướng của hai vectơ

Hệ quả 1.6 Phép dời hình bảo toàn sự song song của hai đường thẳng,

hai mặt phẳng; đường thẳng và mặt phẳng; bảo toàn tỉ số của hai đoạn thẳng cùng phương

Định lí 1.2 Tích của hai hay nhiều phép dời hình là một phép dời hình

Vì f và g đều là phép dời hình nên ta có:

AB = A’B’ và A’B’ = A”B”

9

Như vậy phép biến hình g  f đã biến điểm A thành điểm A”, biến

điểm B thành điểm B” thỏa mãn điểu kiện AB = A”B”

Do đó tích của hai phép dời hình g f là một phép dời hình vì nó là

một phép biến hình có tính chất bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì A,

B của mặt phẳng (hay không gian)

Các trường hợp còn lại được lý luận tương tự

1.2.3 Các phép dời hình

Trong phần này chỉ giới thiệu sơ lược về các phép dời hình trong mặt phẳng và không gian Đối với mỗi phép dời hình chỉ nêu định nghĩa để nhận biết từng loại và nêu tính chất của mỗi phép dời hình

a) Phép tịnh tiến

Định nghĩa 1.4 Phép biến hình của mặt phẳng (hay không gian) biến

mỗi điểm M thành M’, sao cho MM' = v được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ 

10

- Nếu phép tịnh tiến theo vectơ v  0

biến điểm M thành điểm M' thì ta cũng có phép tịnh tiến biến điểm M’ thành điểm M với vectơ tịnh tiến là -v Như vậy ta có: - 1

- Tích của hai phép tịnh tiến T v và T v' là một phép tịnh tiến với vectơ tịnh tiến bằng v v' 

b) Phép đối xứng trục

Định nghĩa 1.5 Phép biến hình của mặt phẳng (hay không gian) biến

mỗi điểm M thành điểm M’, sao cho đoạn thẳng MM’ nhận đường thẳng d cho trước làm đường trung trực được gọi là phép đối xứng trục d Đường thẳng d gọi là trục đối xứng

11

- Nếu M' là ảnh của M qua phép đối xứng trục d thì M lại là ảnh của M'

qua phép đối xứng đó Tích của một phép đối xứng trục với chính nó là một phép đồng nhất

- Mọi điểm của trục đối xứng d đều là điểm kép

- Mỗi đường thẳng a vuông góc với trục đối xứng d đều biến thành chính nó (Ngoài giao điểm của a với d các điểm khác của a đều không phải

là điểm kép)

c) Phép đối xứng tâm

Định nghĩa 1.6 Trong mặt phẳng (hay không gian), cho một điểm O

cố định, phép biến hình biến mỗi điểm M thành một điểm M' sao cho

- Qua phép đối xứng tâm O thì tâm O là điểm kép duy nhất

- Nếu M' là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O thì M lại là ảnh của M'

qua phép đối xứng đó Ta suy ra tích của một phép đối xứng tâm với chính nó

là phép đồng nhất

M'

12

- Phép đối xứng tâm biến đường thẳng qua tâm thành chính nó, biến một đường thẳng không đi qua tâm thành đường thẳng song song với đường thẳng đó, biến một vectơ thành vectơ đối của nó

d) Phép quay xung quanh một điểm trong mặt phẳng

Định nghĩa 1.7 Trong mặt phẳng P đã được định hướng, cho một điểm

góc quay  là một phép biến hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm M thành điểm M', sao cho OM = OM’ và ( OM ,OM' )= α 

Hình 1.4

Trong định nghĩa trên ta kí hiệu( OM ,OM' )  là góc định hướng với tia

ban đầu là OM và tia cuối là OM’

Kí hiệu: Q( ; )O  hoặc QO 

Ta thường chọn  sao cho -    

Chú ý: - Nếu  = 0 thì phép quay là phép đồng nhất

- Nếu  =  thì phép quay là phép đối xứng tâm O

Ta thường chọn chiều (+) là chiều ngược chiều kim đồng hồ, chiều (–) là chiều cùng chiều kim đồng hồ

13

Tính chất 1.4

- Phép quay là một phép dời hình, nên có đầy đủ các tính chất của phép dời hình

- Trong phép quay tâm O với góc quay   0 , chỉ có tâm O là điểm

kép duy nhất của phép quay đó và trong trường hợp này nếu đường thẳng a đi

qua tâm O thì đường thẳng ảnh là a' cũng đi qua điểm O

- Nếu phép quay tâm O với góc quay  biến điểm M thành điểm M' thì phép quay tâm O với góc quay  biến điểm M' thành điểm M nghĩa là nếu

( ; )O

f Q  thì f 1 = Q( ;O)

- Qua phép quay tâm O góc quay  nếu điểm A biến thành điểm A', điểm B biến thành điểm B' thì ( AB,A'B' )= α  , nghĩa là góc giữa hai vectơ tương ứng bằng góc quay  Do đó hai đường thẳng AB và A'B' cắt nhau tạo

nên một góc bằng  và một góc bằng -  

e) Phép quay xung quanh một trục

Định nghĩa 1.8 Cho đường thẳng định hướng Δ, β là góc định hướng

cho trước Phép biến hình trong không gian biến mỗi điểm M thành M’, sao cho M, M’ thuộc mặt phẳng vuông góc với Δ tại O, OM = OM’ và

Kí hiệu: Q(Δ, β) hoặc Q (Δ, β).

Hình 1.5

14

Tính chất 1.5

- Phép quay xung quanh một trục là phép dời hình

- Qua phép quay trục Δ, mọi điểm thuộc Δ đều là điểm kép

- Nếu mặt phẳng P thì Q(Δ, β) : PP Nếu β thì mọi điểm 0

thuộc mặt phẳng P trừ giao điểm của nó với Δ không phải là điểm kép

f) Phép đối xứng qua mặt phẳng

Định nghĩa 1.9 Trong không gian cho mặt phẳng P Phép biến hình

trong không gian biến điểm M thành M’, sao cho đoạn thẳng MM’ nhận P làm mặt phẳng trung trực được gọi là phép đối xứng qua mặt phẳng P

Kí hiệu: Đ( )P .

Hình 1.6

Tính chất 1.6

- Phép đối xứng qua mặt phẳng là phép dời hình

- Trong phép đối xứng qua mặt phẳng mọi điểm thuộc mặt phẳng đối

xứng P đều là điểm kép

- Các điểm thuộc đường thẳng, mặt phẳng tương ứng vuông góc với P

đều là điểm kép

15

1.2.4 Phân loại các phép dời hình

a) Định nghĩa chiều của tam giác và chiều của tứ diện

Định nghĩa 1.10 Chiều của tam giác ABC là chiều quay từ A đến B,

tiếp đó đến C

Hình 1.7

Để mô tả chiều quay này người ta dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC Nếu chiều quay của tam giác ABC ngược chiều kim đồng hồ thì tam

giác ABC có chiều thuận (hay chiều dương) Nếu chiều quay của tam giác

ABC cùng chiều kim đồng hồ thì tam giác ABC có chiều nghịch (hay chiều

âm)

Chú ý: Định nghĩa chiều của tam giác trong không gian phụ thuộc vào nửa không gian với biên là mặt phẳng chứa tam giác Nghĩa là xét trong một nửa không gian, tam giác ABC, chẳng hạn có chiều thuận thì trong nửa không gian kia tam giác đó lại có chiều nghịch

Định nghĩa 1.11 Tứ diện ABCD được gọi là có chiều dương nếu trong

nửa không gian với biên là mặt phẳng (BCD) chứa đỉnh A, tam giác BCD có chiều âm Nếu tam giác BCD xét trong nửa không gian trên có chiều dương thì tứ diện ABCD có chiều âm

16

Bằng trực quan có thể mô tả như sau: Nếu từ đỉnh A nhìn thấy tam giác

BCD có chiều âm thì tứ diện ABCD có chiều dương, ngược lại thì tứ diện ABCD có chiều âm

b) Phân loại

Định nghĩa 1.12 Phép dời hình thuận trong mặt phẳng (hay không

gian) là một phép biến hình biến một tam giác (hay tứ diện) thành một tam giác (hay tứ diện) cùng chiều

Định nghĩa 1.13 Phép dời hình nghịch trong mặt phẳng (hay không

gian) là một phép biến hình biến một tam giác (hay tứ diện) thành một tam giác (hay tứ diện) ngược chiều

Nhận xét 1.1 Theo định nghĩa trên ta có:

- Phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm trong mặt phẳng, phép quay xung quanh một điểm trong mặt phẳng, phép quay xung quanh một trục là các phép dời hình thuận

- Phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm trong không gian, phép đối xứng qua mặt phẳng là các phép dời nghịch

Định nghĩa 1.14 Trong mặt phẳng (hay không gian) cho một điểm O

cố định và một số k0 Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’, sao

cho OM' = kOM được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k  

Kí hiệu:V (O,k) hoặc k

O

V

' '

Giả sử qua phép vị tự V (O,k) biến ba điểm A, B, C thẳng hàng lần lượt

thành ba điểm A’, B’, C’ Theo định nghĩa ta có: A B' 'k AB

và A C' 'k AC

Vì ba điểm A, B, C thẳng hàng nên ta có ACmAB

18

Do đó A'C'k ACkmABmk ABmA'B'.

Điều này chứng tỏ ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng

Hệ quả 1.8 Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song

hoặc trùng với nó

Hệ quả 1.9 Phép vị tự biến tia thành tia cùng phương với nó

Hệ quả 1.10 Phép vị tự biến mặt cầu thành mặt cầu

Định lí 1.4 Phép vị tự biến bốn điểm đồng phẳng thành bốn điểm đồng

phẳng

Chứng minh

Gọi A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng và A’, B’, C’, D’ là ảnh của

chúng qua phép vị tự V (O,k) Ta cần chứng minh rằng A’, B’, C’, D’ đồng

Hệ quả 1.11 Phép vị tự V (O,k) biến mặt phẳng (P) thành mặt phẳng (P’)

song song hoặc trùng với nó, biến nửa mặt phẳng thành nửa mặt phẳng, một góc nhị diện thành góc nhị diện có số đo bằng nhau, một tứ diện thành một tứ diện

1.3.3 Tâm vị tự của hai đường tròn

Trong mặt phẳng, cho hai đường tròn tâm I và I’ lần lượt có bán kính R

và R’ Xét phép vị tự biến đường tròn (I;R) thành đường tròn (I’;R’)

k AB x k AC  y k AD A B x A Cy A D

1 Nếu I I’ và R = R’ thì có một điểm O duy nhất khi k1 Do đó:

đều biến đường tròn (I;R) thành đường tròn (I’;R’) Hai

đường tròn này có chung tâm I Ta có: 1' 

20

Chú ý:

- Nếu có phép vị tự tâm O biến đường tròn này thành đường tròn kia thì

O được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn đó

- Nếu phép vị tự đó có tỉ số dương thì điểm O gọi là tâm vị tự ngoài, nếu phép vị tự đó có tỉ số âm thì điểm O gọi là tâm vị tự trong

- Nếu hai đường tròn (I;R) và (I’;R’) tiếp xúc ngoài tại T thì T là tâm vị

tự nghịch của hai đường tròn đó Tâm vị tự thuận O 1 là giao điểm của một

tiếp tuyến chung với đường thẳng nối tâm I I’ (TO ) 1

- Nếu hai đường tròn (I;R) và (I’;R’) tiếp xúc trong tại T’ thì T’ là tâm

vị tự thuận của hai đường tròn đó

Định lí 1.6 Tích của hai phép vị tự khác tâm là một phép vị tự có tâm

thẳng hàng với hai tâm của hai phép vị tự đã cho, hoặc đặc biệt là một phép tịnh tiến hay phép đồng nhất

Giả sử V (O) = O’ ta có O O' = k O O (1)

22

Khi đó: V (O’) = O (vì O trùng với O’’ = 2 V (O’)) 2

Nên O O = k O O'2 12

(2) Mặt khác O O' = O O + O O'2 2 1 1

23

- Nếu k k = 1 2 1 thì A B'' "AB

Do đó tích V V là một phép tịnh tiến 2 1nếu O1 và O2 phân biệt, hoặc tích V V là một phép đồng nhất nếu 2 1 O1 và O2

Xét phép biến đổi f1T V v  ( ,k)O Trước hết ta chứng minh f1 có điểm

bất động Gọi M là điểm bất động của f1, khi đó:

Đây là điều phải chứng minh

Phép biến đổi f1 được chứng minh tương tự

24

1.4 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG

Trong phần này chúng tôi khảo sát về định nghĩa và các tính chất của phép biến đổi đồng dạng Các kiến thức trong phần này sẽ được trình bày chung trong mặt phẳng và trong không gian

1.4.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.15 Một phép biến hình trong mặt phẳng (hay trong

không gian) biến cặp điểm A, B thành cặp điểm A’, B’ tương ứng sao cho

A’B’ = kAB (trong đó k là một số thực dương xác định) được gọi là phép đồng

25

Khi đó: OB 'OA'k OB OA(  )A B' 'k AB

' '

Giả sử qua phép đồng dạng tỉ số k, ba điểm A, B, C thẳng hàng lần lượt

biến thành ba điểm A’, B’, C’ Khi đó: AB + BC = AC và A’B’ = kAB, B’C’ =

kBC, A’C’ = kAC

Do đó: A’C’ = k(AB + BC) = A’B’ + B’C’

Điều này chứng tỏ rằng A’, B’, C’ thẳng hàng và B’ nằm giữa A’, C’

Hệ quả 1.12 Phép đồng dạng tỉ số k biến một đường thẳng thành một

đường thẳng; biến một tia thành một tia; biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài gấp k lần đoạn thẳng ban đầu

Định lý 1.10 Phép đồng dạng biến một góc thành một góc bằng nó

Chứng minh

Do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai tia có các cạnh lần lượt vuông góc với hai đường thẳng đó; góc nhị diện, góc giữa hai mặt phẳng được xác định bởi góc giữa hai tia vuông góc với các mặt của góc nhị diện hay hai mặt phẳng Từ đó, ta chỉ cần quy về trường hợp xét góc giữa

hai tia

Giả sử qua phép đồng dạng Z k, biến xOy thành x O y' ' '

Trên Ox ta lấy điểm A, trên Oy ta lấy điểm B, khi đó:

Nên AOB A O B' ' ' hay xOyx O y' ' '

Hệ quả 1.13 Phép đồng dạng biến một tam giác thành một tam giác

đồng dạng với nó; biến một đường tròn thành một đường tròn, trong đó tâm

biến thành tâm, còn bán kính được nhân lên với tỉ số đồng dạng k

1.4.3 Sự xác định phép đồng dạng

Định lí 1.11 Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC và A’B’C’ đồng

dạng với nhau theo tỉ số k, nghĩa là A’B’ = kAB, B’C’ = kBC, C’A’ = kCA thì khi đó có duy nhất một phép đồng dạng biến A thành A’, B thành B’, C thành

Định lí 1.12 Trong không gian, nếu A, B, C, D và A’, B’, C’, D’ là hai

bộ bốn điểm không đồng phẳng sao cho A’B’ = kAB, B’C’ = kBC, C’D’ =

kCD, D’A’ = kDA thì khi đó có duy nhất một phép đồng dạng biến A thành A’, B thành B’, C thành C’, D thành D’

1.4.4 Hai hình đồng dạng

Định nghĩa 1.16 Hai hình H và H’ gọi là đồng dạng với nhau nếu có

một phép đồng dạng Z biến hình này thành hình kia và ta viết: Z(H) = H’

1.4.5 Điểm kép của phép đồng dạng

Định nghĩa 1.17 Ta gọi M là điểm kép (hoặc là điểm bất động) của

một phép đồng dạng Z nếu Z(M) = M Lúc đó điểm kép M gọi là tâm của phép đồng dạng Z Nếu phép đồng dạng Z là tích của một phép vị tự tâm O, tỉ

số k với một phép quay cùng tâm O, góc quay  ta thường kí hiệu là

Z(O, k,  ) Khi đó, ta có O là điểm kép đồng thời cũng là tâm của phép đồng

dạng Z nói trên Ta có thể viết: Z  Q( , )O  V( ,k)O

1.4.6 Liên hệ giữa phép đồng dạng, phép vị tự và phép dời hình

Định lý 1.13 Mỗi phép đồng dạng đều có thể xem là tích giao hoán của

một phép vị tự và một phép dời hình

Z V (phép vị tự cũng là

phép đồng dạng) là phép đồng dạng với tỉ số k = 1 1

k Đây chính là phép dời

hình

Lý luận tương tự ta cũng chứng minh được Z k= f V( ,k)O

Vì ta có thể chọn điểm O tùy ý nên có vô số cách phân tích

1.4.7 Phân loại các phép biến đổi đồng dạng

Định nghĩa 1.18 Phép đồng dạng thuận trong mặt phẳng (hay không

gian) là một phép biến hình biến một tam giác (hay tứ diện) thành một tam giác (hay tứ diện) cùng chiều

Định nghĩa 1.19 Phép đồng dạng nghịch trong mặt phẳng (hay không

gian) là một phép biến hình biến một tam giác (hay tứ diện) thành một tam giác (hay tứ diện) ngược chiều

Nhận xét 1.3

- Trong mặt phẳng, mọi phép vị tự đều là phép đồng dạng thuận

- Trong không gian mọi phép vị tự thuận đều là phép đồng dạng thuận, mọi phép vị tự nghịch đều là phép đồng dạng nghịch

- Chúng ta đã biết, mỗi phép đồng dạng đều có thể phân tích thành tích giao hoán của một phép vị tự và một phép dời hình Do đó ta có:

29

Phép đồng dạng thuận có thể phân tích thành tích giao hoán của một phép vị tự thuận và một phép dời hình thuận, hoặc tích giao hoán của một phép vị tự nghịch và một phép dời hình nghịch

Phép đồng dạng nghịch có thể phân tích thành tích giao hoán của một phép vị tự thuận và một phép dời hình nghịch, hoặc tích giao hoán của một phép vị tự nghịch và một phép dời hình thuận

30

CHƯƠNG 2

ỨNG DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG

VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Chương này trình bày về ứng dụng của phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng trong mặt phẳng và không gian để giải các dạng bài toán cơ bản trong hình học như: bài toán chứng minh, bài toán tính các đại lượng hình học, bài toán quỹ tích và bài toán dựng hình Qua đó, tổng hợp được một số bài toán sử dụng nhiều phép biến hình để người đọc thấy được mối liên hệ giữa phép dời hình và phép biến đổi đồng dạng

Phần ứng dụng của của phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng trong mặt phẳng tương ứng với một phần của Chương 1 trong Hình học lớp 11 Phần ứng dụng của phép vị

tự, phép biến đổi đồng dạng trong không gian tương ứng với một phần của chương 1 trong Hình học lớp 12 Kiến thức phần này có tham khảo ở các tài liệu [1], [2], [3], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11]

2.1 ỨNG DỤNG PHÉP VỊ TỰ

Trong thực tế khi giải toán, chỉ có một số bài toán có thể sử dụng được các tính chất đặc biệt của phép biến đổi đồng dạng để giải trực tiếp Hầu hết các bài toán có thể sử dụng được các phép biến đổi đồng dạng, khi giải chúng ta đều phải phân tích thành tích của ít nhất một phép vị tự và một phép dời hình Vì vậy, trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu về ứng dụng của phép vị tự trước, sau đó tiếp tục nghiên cứu về ứng dụng của các phép biến đổi đồng dạng

2.1.1 Bài toán chứng minh các tính chất hình học

a) Bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng

 Định hướng giải

Ta đã biết, theo định nghĩa phép vị tự V( ,k)O biến mỗi điểm M thành điểm M’ thì OM' = kOM 

Hệ thức này chứng tỏ ba điểm O, M, M’ thẳng hàng Do đó, nếu đề bài yêu cầu chứng minh ba điểm O, M, M’ thẳng hàng,

31

chúng ta cần tìm được một phép vị tự có tâm là một trong ba điểm đó, tỉ số vị

tự bằng tỉ số giữa hai đoạn thẳng nối tâm vị tự và hai điểm còn lại

Phép vị tự còn có tính chất biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, tích của hai phép vị tự khác tâm là một phép vị tự có tâm thẳng hàng với tâm của hai phép vị tự đã cho Do đó, tùy thuộc vào mỗi bài toán cụ thể chúng ta cũng có thể sử dụng các tính chất này để chứng minh ba điểm thẳng hàng

 Một số bài toán minh họa

Bài toán 2.1 Cho tam giác nhọn ABC Trên cạnh AC ta lấy điểm O bất kì, gọi

D là trung điểm của cạnh BC Gọi B’, C’, D’ lần lượt là điểm đối xứng của B,

32

Bài toán 2.2 (Bài toán đường thẳng Ơle) Cho tam giác ABC có trọng tâm

G, trực tâm H và O là tâm đường tròn ngoại tiếp Chứng minh G, H, O thẳng

Bài toán 2.3 Cho góc xOy, hai đường thẳng song song a và b lần lượt cắt Ox

tại A và B, cắt Oy tại A’ và B’ Dựng các tam giác đều AMB và A’B’M’ Trong

đó, M và O khác phía so với AB, M’ và O khác phía so với A’B’ Chứng minh

34

Bài toán 2.4 Một đường thẳng d song song với cạnh AB của hình bình hành

ABCD, cắt AD, BC lần lượt tại hai điểm P, Q Trên hai đường thẳng d và CD

lấy hai cặp điểm (E, F), (M, N) tương ứng sao cho tồn tại các giao điểm

AB (2)

Theo Định lý 1.6 ta có tích của hai phép vị tự khác tâm là một phép vị

tự có tâm thẳng hàng với tâm của hai phép vị tự đã cho (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: S, T, U thẳng hàng

Bài toán 2.5 Cho tứ diện ABCD có tính chất là tồn tại 4 hình cầu

(O ),(O ),(O ),(O ) bằng nhau nằm trong tứ diện cùng đi qua một điểm O

Mỗi hình cầu này tiếp xúc với 3 mặt tứ diện xuất phát từ cùng một điểm Gọi

I là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD Chứng minh rằng điểm O, I và tâm

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thẳng hàng

Giải:

Theo đề ta có: (O ),(O ),(O ),(O ) nằm trên tia xuất phát từ I và qua 1 2 3 4

các đỉnh của tứ diện

Mặt khác: O O song song với một cạnh của tứ diện 1 2

Đặt k là tỉ số giữa O O với cạnh tứ diện song song với nó 1 2

Do đó: qua 1

(I, ) k

V biến tứ diện O O O O thành tứ diện ABCD (1) 1 2 3 4

Vì các mặt cầu (O ),(O ),(O ),(O ) bằng nhau nằm trong tứ diện và 1 2 3 4

cùng đi qua điểm O nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O O O O (2) 1 2 3 4