Lý thuyết tổ hợp số và ứng dụng thực tế Tìm hiểu lý thuyết tổ hợp số và ứng dụng hay nhất

Lý thuyết tổ hợp số và ứng dụng thực tế Tìm hiểu lý thuyết tổ hợp số và ứng dụng hay nhất Lý thuyết tổ hợp số và ứng dụng thực tế Tìm hiểu lý thuyết tổ hợp số và ứng dụng hay nhất Lý thuyết tổ hợp số và ứng dụng thực tế Tìm hiểu lý thuyết tổ hợp số và ứng dụng hay nhất

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH TRẦN QUỐC CHIẾN

Đà Nẵng - Năm 2013

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Người cam đoan

Nguyễn Thị Kiều

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 2

7 Cấu trúc luận văn 3

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 4

1.1 TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP 4

1.1.1 Khái niệm tập hợp 4

1.1.3 Lực lượng tập hợp 5

1.2 BÀI TOÁN TỔ HỢP 5

1.2.1 Cấu hình tổ hợp 5

1.2.2 Các dạng bài toán tổ hợp 6

1.3 NGUYÊN LÝ CỘNG VÀ NGUYÊN LÝ NHÂN 6

1.2.1 Nguyên lý nhân 6

1.2.2 Nguyên lý cộng 8

1.4 CÁC CẤU HÌNH TỔ HỢP CƠ BẢN 10

1.4.1 Chỉnh hợp lặp 10

1.4.2 Chỉnh hợp không lặp 11

1.4.3 Hoán vị 13

1.4.4 Tổ hợp 15

1.5.2 Tổ hợp lặp 19

1.5.3 Phân hoạch thứ tự tổ hợp 21

1.5.4 Phân hoạch không thứ tự 23

1.6 NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ 24

1.6.1 Công thức bao hàm và loại trừ 24

1.6.2 Công thức Sieve 25

CHƯƠNG 2 LÝ THUYẾT TỔ HỢP SỐ 28

2.1 SỐ SQUARE-FREE 28

2.2 HÀM TÍNH NHÂN 28

2.3 HÀM EULER (n) 32

2.4 HÀM MÖBIUS (n) 35

2.5 HÀM RIEMANN ZETA (s) 41

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TỔ HỢP SỐ 44

3.1 BÀI TOÁN TÌM CÁC SỐ NGUYÊN DƯƠNG KHÔNG CHIA HẾT CHO TẬP SỐ NGUYÊN DƯƠNG 44

3.2 BÀI TOÁN TÌM CÁC SỐ NGUYÊN TỐ NHỎ HƠN MỘT SỐ NGUYÊN DƯƠNG NÀO ĐÓ 47

3.3 BÀI TOÁN TÌM CÁC SỐ NGUYÊN SQUARE-FREE KHÔNG VƯỢT QUÁ SỐ NGUYÊN DƯƠNG N CHO TRƯỚC 53

3.4 BÀI TOÁN ĐẾM CÁC ƯỚC VÀ TÍNH TỔNG CÁC ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN DƯƠNG CHO TRƯỚC 54

3.4.1 Đếm các ước nguyên dương của một số nguyên dương 54

3.4.2 Tính tổng các ước nguyên dương của một số nguyên dương 56

3.6 TÌM SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA MỘT LŨY THỪA CHO MỘT SỐ65 3.7 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ BẬC NHẤT MỘT ẨN

axb (mod m) 69

KẾT LUẬN 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết số là một ngành của toán học lý thuyết nghiên cứu về tính chất của số nói chung và số nguyên nói riêng, cũng như những lớp rộng hơn các bài toán mà phát triển từ những nghiên cứu của nó

Toán học tổ hợp được hình thành vào đầu thế kỷ XVII và phát triển mạnh cùng với sự bùng nổ của công nghệ thông tin, đặc biệt là các công trình nghiên cứu của các nhà toán học nổi tiếng như Pascal, Fermat, Leibnitz, Euler,…

Các vấn đề liên quan đến lý thuyết tổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của Toán học nói chung và toán rời rạc nói riêng Nó có nội dung phong phú và được ứng dụng nhiều trong đời sống, đặc biệt là từ khi tin học ra đời

Lý thuyết tổ hợp số là một nội dung hay của lý thuyết tổ hợp, nó giải quyết các bài toán về lý thuyết số mà có tư tưởng tổ hợp trong công thức hoặc cách chứng minh

Tổ hợp đã được đưa vào giảng dạy ở chương trình học phổ thông, đại học, sau đại học và nó là một bộ môn tương đối khó đối với học sinh, sinh viên vì khái niệm trừu tượng và nhiều dạng toán rất khó nhưng thời lượng dành cho môn này còn hạn chế nhất là bậc trung học phổ thông

Trong nhiều kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán quốc tế, thi Olympic sinh viên giữa các trường đại học, cao đẳng các bài toán liên quan đến tổ hợp hay được đề cập và thường thuộc loại rất khó nên học sinh đa số còn lúng túng khi giải quyết những bài toán loại này

Chính vì các lý do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài “Lý thuyết tổ

hợp số và ứng dụng” để tìm hiểu, nghiên cứu nhằm phục vụ cho công tác giảng dạy của tôi nói chung và luyện thi học sinh giỏi nói riêng sau này

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về lý thuyết tổ hợp số và ứng dụng của lý thuyết tổ hợp số

để giải các bài toán về số tổ hợp

3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu là lý thuyết tổ hợp số

- Phạm vi nghiên cứu là số tổ hợp và ứng dụng của nó

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu về lý thuyết tổ hợp, đặc biệt là lý thuyết tổ hợp số

- Tìm hiểu và xây dựng các ứng dụng của lý thuyết tổ hợp số

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý thuyết thông qua việc siêu tầm các loại tài liệu như sách, báo, tạp chí, mạng internet, thầy cô, bạn bè Trình bày một cách có hệ thống các nội dung lý thuyết đã nghiên cứu và tìm hiểu Mỗi nội dung ta phải chứng minh cụ thể, rõ ràng và lấy ví dụ minh họa xác thực, dễ hiểu

- Phân loại và hệ thống các dạng toán Tìm ra các phương pháp đặc trưng để giải mỗi dạng toán cụ thể

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

- Đề tài góp phần nghiên cứu ứng dụng của lý thuyết tổ hợp số vào giải toán tổ hợp phù hợp với chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp

- Sau khi cho phép bảo vệ, được sự góp ý của các thầy cô trong hội đồng, luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, giáo viên, học sinh phổ thông và những ai quan tâm đến lĩnh vực này

- Thời gian nghiên cứu không nhiều nên có thể còn một số nội dung hay mà luận văn chưa đề cập đến Tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu và bổ sung thường xuyên để nội dung luận văn được phong phú, có thể dùng làm tài liệu

ôn thi học sinh giỏi ở bậc trung học phổ thông

7 Cấu trúc luận văn

Luận văn được trình bày trong 3 chương

Tập hợp thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa A, B, C,…

Các phần tử của tập hợp thường được kí hiệu bằng các chữ cái thường

Tập không có phần tử nào gọi là tập rỗng và kí hiệu là 

Mỗi phần tử của tập B đều thuộc tập A thì tập B được gọi là tập con của tập A và được kí hiệu là BA hoặc BA

Các phần tử của một tập hợp được chỉ ra bằng một trong hai cách sau

Cho các tập hợp A1,…, An Giả sử S là sơ đồ sắp xếp các phần tử của

A1,…, An được mô tả bằng các qui tắc sắp xếp và R1,…, Rm là các điều kiện ràng buộc lên mỗi sắp xếp theo sơ đồ S Khi đó, mỗi sắp xếp các phần tử của

A1,…, An thỏa mãn điều kiện R1,…, Rm gọi là một cấu hình tổ hợp trên các tập A1,…, An

…, bước k có thể thực hiện nk cách

Khi đó số cấu hình tổ hợp là

n1.n2…nk

Ví dụ 1.1 Từ A đến B có 4 đường đi, từ B đến C có 6 đường đi

i Có bao nhiêu đường đi từ A đến C

ii Có bao nhiêu đường đi từ A đến C và trở lại A

iii Có bao nhiêu đường đi từ A đến C và trở lại A nhưng không đi đường nào đó quá một lần

4 6 24 cách chọn

ii Có bao nhiêu đường đi từ A đến C và trở lại A

Có 4 cách chọn đường đi từ A đến B

Có 6 cách chọn đường đi từ B đến C

Có 6 cách chọn đường đi từ C trở lại B

Có 4 cách chọn đường đi từ B trở lại A

Vậy theo nguyên lý nhân, số đường đi từ A đến C là

Có 5 cách chọn đường đi từ C trở lại B vì không đi lại đường cũ

Có 3 cách chọn đường đi từ B trở lại A vì không đi lại đường cũ

Vậy theo nguyên lý nhân, số đường đi từ A đến C là

4 6 5 3   360 cách chọn

Ví dụ 1.2 Có bao nhiêu cách chọn trang phục cho ca sĩ Đàm Vĩnh Hưng gồm

áo, quần, giày và nịt trong đêm trình diễn biết rằng có 30 kiểu áo, 21 kiểu quần, 15 kiểu giày và 8 kiểu nịt

Giải

Có 30 cách chọn áo

Có 21 cách chọn quần

1.4.2 Chỉnh hợp không lặp

một bộ có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử đã cho Các thành phần không được lặp lại

Định lí 1.2. Nếu gọi số các chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử là A(n,k) thì

Chứng minh

Một chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ có thứ tự gồm k thành phần không lặp a a a1 2 kđược xây dựng qua k bước kế tiếp như sau:

Chọn thành phần a1 : có n khả năng, còn lại n – 1 phần tử,

Chọn thành phần a2 : có n – 1 khả năng, còn lại n – 2 phần tử,

…

Chọn thành phần a2 : có n – k + 1 khả năng, còn lại n – k phần tử Theo nguyên lí nhân, số tất cả các chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử khác nhau là:

Mỗi cách chọn 3 nam trong 10 nam là một chỉnh hợp không lặp chập 3

của 10 phần tử Vậy có A(10,3) 10! 10 9 8 720

4 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 5

Giải

Gọi số có 4 chữ số là a a a a 1 2 3 4

Nếu a15 thì mỗi cách chọn 3 số còn lại là một chỉnh hợp không lặp

chập 3 của 6 phần tử Vậy có A(6,3) 6! 120

Vậy có A(6,3)A(5, 2) 120 20 100 số

Tương tự cho các trường hợp a3 5, a4 5

Vậy số các số thỏa mãn điều kiện bài toán là

Vậy số hoán vị của n phần tử khác nhau là:

P(n)n.(n 1) 2.1 n! 

Ví dụ 1.9 Mười học sinh cùng ngồi trên một hàng ghế, chơi trò đổi chỗ Cho

rằng mỗi lần đổi chỗ mất hết 1 phút Hỏi thời gian họ đổi chỗ hết cho nhau là bao nhiêu?

Ví dụ 1.10 Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn các nước: Việt Nam 6 người,

Lào 3 người, Campuchia 2 người, Thái Lan 3 người và Trung Quốc 4 người

Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho các phái đoàn sao cho người cùng quốc tịch thì ngồi cùng nhau

Giải

Có thể mời một phái đoàn nào đó ngồi vào chỗ trước, sau đó xếp bốn phái đoàn còn lại cùng ngồi vào bàn Vậy có, 4! 24 cách xếp các phái đoàn ngồi theo cùng quốc gia của mình

trong đó có

6! cách xếp chỗ ngồi cho người Việt Nam

3! cách xếp chỗ ngồi cho người Lào 2! cách xếp chỗ ngồi cho người Campuchia

3! cách xếp chỗ ngồi cho người Thái Lan 4! cách xếp chỗ ngồi cho người Trung Quốc Vậy có 24.6!3!2!3!4! 29.859.840

1.4.4 Tổ hợp

kể thứ tự gồm k thành phần khác nhau lấy từ n phần tử đã cho Hay một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một tập con có k phần tử lấy từ n phần

Mỗi cách nối bất kì hai đỉnh của đa giác là một tổ hợp chập 2 của n phần tử Vậy có

n! n (n 1)C(n, 2)

Ví dụ 1.12 Cho 10 câu hỏi trong đó có 4 câu lí thuyết và 6 câu bài tập Người

ta cấu tạo đề thi từ các câu hỏi đó Biết rằng mỗi đề thi gồm 3 câu, trong đó nhất thiết phải có 1 câu lý thuyết và 1 câu bài tập Hỏi có bao nhiêu khả năng cấu tạo đề thi?

Giải

Trường hợp 1: Đề thi gồm 2 câu lý thuyết và 1 câu bài tập

Mỗi cách chọn 2 câu lí thuyết là một tổ hợp chập 2 của 4 phần tử hay C(4, 2)

Mỗi cách chọn 1 câu bài tập là một tổ hợp chập 1 của 6 phần tử hay C(6,1)

Theo nguyên lý nhân, tổng số cách chọn là:

C(4, 2)C(6,1)36 đề

Trường hợp 2: Đề thi gồm 1 câu lí thuyết và 2 câu bài tập

Mỗi cách chọn 1 câu lí thuyết là một tổ hợp chập 1 của 4 phần tử hay C(4,1)

Mỗi cách chọn 2 câu bài tập là một tổ hợp chập 2 của 6 phần tử hay C(6, 2)

Theo nguyên lý nhân, tổng số cách chọn là:

một số lần lặp lại cho trước

Theo nguyên lý nhân, số tất cả các hoán vị lặp của k phần tử khác nhau

Ví dụ 1.13 Có 10 chiếc điện thoại giống nhau, trong đó có 4 chiếc điện thoại

màu đỏ, 3 chiếc điện thoại màu trắng và 3 chiếc điện thoại màu xanh được lắp vào 12 phòng Hãy đếm số phương án lắp các điện thoại

Giải

10 chiếc điện thoại lắp vào 12 phòng, vậy có hai phòng không có điện thoại Do đó, khi lắp 10 chiếc điện thoại vào 10 phòng thì bao gồm 4 loại: 4 chiếc điện thoại màu đỏ, 3 chiếc điện thoại màu trắng, 3 chiếc điện thoại màu xanh và 2 phòng không có điện thoại Như vậy, mỗi phương án lắp điện thoại

là một hoán vị lặp của bốn phần tử, trong đó

phần tử thứ nhất lặp lại 4 lần phần tử thứ hai lặp lại 3 lần phần tử thứ ba lặp lại 3 lần phần tử thứ bốn lặp lại 2 lần

Vậy các phương án lắp điện thoại là

12!

P(12;4,3,3, 2) 554.400

4!3!3!2!

  cách lắp

Ví dụ 1.14 Một lớp học có 20 sinh viên Nhà trường chia các sinh viên trên

vào 4 kí túc xá khác nhau, trong đó 3 sinh viên vào kí túc xá đầu tiên, 5 sinh

viên vào kí túc xá thứ hai, 4 sinh viên vào kí túc xá thứ ba và các sinh viên còn lại vào kí túc xá thứ tư Có bao nhiêu phương án phân chia như vậy

Hệ quả 1.1 Giả sử tập S có n phần tử, trong đó có n1 phần tử kiểu 1, n2 phần

tử kiểu 2,…, nk phần tử kiểu k Khi đó số các hoán vị n phần tử của tập hợp S

* * | * | * … | *

Như vậy, có k(n 1) n  chỗ trống để xếp k ngôi sao và (n – k 11) dấu gạch đứng

Do đó, một tổ hợp lặp chập k từ n phần tử là một cách xếp k ngôi sao vào nk 1 chỗ trống hay một cách xếp (n – 1) dấu gạch đứng vào nk1

Ví dụ 1.15 Trong két tiền có các loại 1 nghìn, 2 nghìn, 5 nghìn, 10 nghìn, 20

nghìn, 50 nghìn và 100 nghìn đồng, mỗi loại có ít nhất 5 tờ Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 tờ giấy bạc

Giải

Mỗi tờ giấy bạc cùng loại là như nhau và thứ tự lấy các tờ giấy bạc là

không quan trọng nên mỗi cách chọn 5 tờ giấy bạc là một tổ hợp lặp chập 5 của 7 Vậy có tất cả

tử Một phân hoạch S ,S , ,S1 2 k có thứ tự của S gọi là một phân hoạch thứ tự

tổ hợp chập r của X Nếu r , thì gọi là phân hoạch thứ tự của X n

Chứng minh

Một cấu hình tổ hợp C(n; n , n , ,n )1 2 k được xây dựng qua các bước sau

Bước 1: Chọn n1 phần tử từ X cho tập S1, có C(n,n )1 khả năng

Bước 2: Chọn n2 phần tử từ X \ S1cho tập S2, có C(nn ,n )1 2 khả năng …

Ví dụ 1.17 Có 20 sinh viên chuyên ngành toán của trường Đại học Sư phạm

Đà Nẵng được cử đi thực tập sư phạm tại 6 trường theo số lượng tương ứng là

5, 3, 3, 4, 1, 2 còn 2 sinh viên phải đi thực tập ở một nơi khác Hãy xác định

số cách phân công các sinh viên đi thực tập

Giải

Mỗi cách cử sinh viên đi thực tập là một phân hoạch tứ tự tổ hợp chập

18 của 20 với số phần tử tương ứng trong các tập con là 5, 3, 3, 4, 1, 2

Vậy, số cách phân công là

20!

C(20;5,3,3, 4,1, 2) 5.866.372.512.000

5!3!3!4!1!2!2!

1.5.4 Phân hoạch không thứ tự

Mỗi phân hoạch không thứ tự của X gồm p1 tập con có n1 phần tử, p2

tập con có n2 phần tử,…, pk tập con có nk phần tử sẽ sinh ra p !.p ! p !1 2 k phân hoạch có thứ tự của X với p1 tập con có n1 phần tử, p2 tập con n2 phần tử,…,

pk tập con có nk phần tử Mặt khác C(n;n n ,n n , ,n n )1 1 2 2 k k chính là số phân hoạch có thứ tự của X với p1 tập con có n1 phần tử, p2 tập con có n2 phần tử,…, pk tập con có nk phần tử Vậy số phân hoạch không thứ tự của X là

Ví dụ 1.18 Có bao nhiêu cách chia 21 học sinh lớp 10A3 thành năm nhóm,

trong đó có 3 nhóm có 5 học sinh và 2 nhóm 3 học sinh

Giải

Mỗi cách chia 21 học sinh thành 3 nhóm có 5 học sinh và 2 nhóm có 3 học sinh là một phân hoạch không thứ tự của tập gồm 21 phần tử với 3 tập

con 5 phần tử và 2 tập con 3 phần tử Vậy có

C(21;5,5,5,3,3) 21!

68.441.021.6403!2! (5!) 3!(3!) 2! cách chia

1.6 NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ

Một trong những kết quả nền tảng của lý thuyết tổ hợp là " Nguyên lí

bù trừ” Thực chất công thức tính số phần tử của hợp các tập hợp đã cho là công thức bao hàm và loại trừ, bởi vì trong công thức này đối với mỗi phần tử

đã tính được số lần nó được đếm và số lần nó không được đếm

1.6.1 Công thức bao hàm và loại trừ

Định lí 1.9. Cho X ,X , ,X1 2 n là các tập con hữu hạn của X Khi đó

Thật vậy, ta có phần tử x được đếm

C(r,1) lần trong tổng

1 1

Ví dụ 1.19 Lớp 10A3 làm bài kiểm tra một tiết môn toán, đề thi gồm 4 bài

Lớp học có 50 học sinh Khi chấm bài kiểm tra, giáo viên thống kê được: có

15 em giải đúng bài một; có 19 em giải đúng bài hai; có 14 em giải đúng bài ba; 5 em giải đúng bài bốn; 10 học sinh giải đúng bài một và bài hai; 6 học sinh giải đúng bài một và bài ba; 7 học sinh giải đúng bài một và bài bốn; 5 học sinh giải đúng bài hai và bài ba; 4 học sinh giải đúng bài hai và bài bốn; 2 học sinh giải đúng bài ba và bài bốn; 4 học sinh giải đúng bài một, bài ba và bài bốn; 11 học sinh giải đúng bài một, bài hai và bài ba; 3 học sinh giải đúng bài một, bài hai và bài bốn; 2 học sinh giải đúng bài hai, bài ba và bài bốn và

có đúng 1 học sinh giải đúng bốn bài Hỏi có bao nhiêu học sinh không giải đúng bất kì bài nào trong đề kiểm tra

Giải

Gọi A là tập tất cả học sinh của lớp

A1 là tập hợp các học sinh giải đúng bài một

A2 là tập hợp các học sinh giải đúng bài hai

A3 là tập hợp các học sinh giải đúng bài ba

A4 là tập hợp các học sinh giải đúng bài bốn

Khi đó, số học sinh không giải đúng bất kì nào chính là số phần tử của tập hợp A1A2A3A4

Theo công thức Sieve, ta có

CHƯƠNG 2

LÝ THUYẾT TỔ HỢP SỐ

2.1 SỐ SQUARE-FREE

Định nghĩa 2.1 Một số nguyên không chia hết cho bình phương một số

nguyên tố được gọi là số square free

Ví dụ 2.1

10 là số square free

12 không phải là số square free vì 12 chia hết cho 22

Quy ước : 1 là số square free

2.2 HÀM TÍNH NHÂN

f : N Rtừ tập các số tự nhiên khác không *

N đến tập các số thực R

f : N R được gọi là hàm tính nhân nếu

i f  , nghĩa là tồn tại số tự nhiên 0 *

Giả sử m, n là hai số nguyên dương

Gọi d ,d , ,d1 2 s là các ước riêng biệt của m

Gọi e ,e , ,e1 2 t là các ước riêng biệt của n

Khi đó

s i

 là dạng phân tích tiêu chuẩn của số nguyên

dương n và f là hàm tính nhân Khi đó

i s

p , 3 1

p , 3 2

p , 3 s

cùng nhau với n được gọi là hàm Euler và kí hiệu là (n)

Định lí 2.4 p là số nguyên tố khi và chỉ khi (p)  p 1

Chứng minh

 Điều kiện đủ

Nếu p là số nguyên tố thì mọi số nguyên dương nhỏ hơn p đều nguyên

tố cùng nhau với p Vậy có p 1 số nguyên tố cùng nhau với p

Hay (p)  p 1

 Điều kiện cần

Giả sử p không phải là số nguyên tố Gọi d là ước của p, 1 d  p

Vậy trong các số 1,2,3, ,p 1 phải có ít nhất một số không nguyên tố cùng nhau với p Do đó (p)  Mâu thuẫn giả thiết (p)p 2    Vậy p p 1

nhau với p là các số không vượt quá k

p p q q

p 1 p 1 q 1 q 1

p p q q (n) (m)