Lý thuyết tổ hợp số và ứng dụng thực tế Tìm hiểu lý thuyết tổ hợp số và ứng dụng hay nhất

Lý thuyết tổ hợp số và ứng dụng thực tế Tìm hiểu lý thuyết tổ hợp số và ứng dụng hay nhất Lý thuyết tổ hợp số và ứng dụng thực tế Tìm hiểu lý thuyết tổ hợp số và ứng dụng hay nhất Lý thuyết tổ hợp số và ứng dụng thực tế Tìm hiểu lý thuyết tổ hợp số và ứng dụng hay nhất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ KIỀU LÝ THUYẾT TỔ HỢP SỐ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH TRẦN QUỐC CHIẾN Đà Nẵng - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố công trình khác Người cam đoan Nguyễn Thị Kiều MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP 1.1.1 Khái niệm tập hợp 1.1.3 Lực lượng tập hợp 1.2 BÀI TOÁN TỔ HỢP 1.2.1 Cấu hình tổ hợp 1.2.2 Các dạng toán tổ hợp 1.3 NGUYÊN LÝ CỘNG VÀ NGUYÊN LÝ NHÂN 1.2.1 Nguyên lý nhân 1.2.2 Nguyên lý cộng 1.4 CÁC CẤU HÌNH TỔ HỢP CƠ BẢN 10 1.4.1 Chỉnh hợp lặp 10 1.4.2 Chỉnh hợp không lặp 11 1.4.3 Hoán vị 13 1.4.4 Tổ hợp 15 1.5 CÁC CẤU HÌNH TỔ HỢP NÂNG CAO 17 1.5.1 Hoán vị lặp 17 1.5.2 Tổ hợp lặp 19 1.5.3 Phân hoạch thứ tự tổ hợp 21 1.5.4 Phân hoạch không thứ tự 23 1.6 NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ 24 1.6.1 Công thức bao hàm loại trừ 24 1.6.2 Công thức Sieve 25 CHƯƠNG LÝ THUYẾT TỔ HỢP SỐ 28 2.1 SỐ SQUARE-FREE 28 2.2 HÀM TÍNH NHÂN 28 2.3 HÀM EULER (n) 32 2.4 HÀM MÖBIUS (n) 35 2.5 HÀM RIEMANN ZETA  (s) 41 CHƯƠNG ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TỔ HỢP SỐ 44 3.1 BÀI TOÁN TÌM CÁC SỐ NGUYÊN DƯƠNG KHÔNG CHIA HẾT CHO TẬP SỐ NGUYÊN DƯƠNG 44 3.2 BÀI TOÁN TÌM CÁC SỐ NGUYÊN TỐ NHỎ HƠN MỘT SỐ NGUYÊN DƯƠNG NÀO ĐÓ 47 3.3 BÀI TOÁN TÌM CÁC SỐ NGUYÊN SQUARE-FREE KHÔNG VƯỢT QUÁ SỐ NGUYÊN DƯƠNG N CHO TRƯỚC 53 3.4 BÀI TOÁN ĐẾM CÁC ƯỚC VÀ TÍNH TỔNG CÁC ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN DƯƠNG CHO TRƯỚC 54 3.4.1 Đếm ước nguyên dương số nguyên dương 54 3.4.2 Tính tổng ước nguyên dương số nguyên dương 56 3.5 BÀI TOÁN ĐẾM SỐ TỪ TRÒN CÓ ĐỘ DÀI N ĐƯỢC LẤY TỪ M KÍ TỰ CHO TRƯỚC 61 3.6 TÌM SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA MỘT LŨY THỪA CHO MỘT SỐ65 3.7 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ BẬC NHẤT MỘT ẨN ax  b (mod m) 69 KẾT LUẬN 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết số ngành toán học lý thuyết nghiên cứu tính chất số nói chung số nguyên nói riêng, lớp rộng toán mà phát triển từ nghiên cứu Toán học tổ hợp hình thành vào đầu kỷ XVII phát triển mạnh với bùng nổ công nghệ thông tin, đặc biệt công trình nghiên cứu nhà toán học tiếng Pascal, Fermat, Leibnitz, Euler,… Các vấn đề liên quan đến lý thuyết tổ hợp phận quan trọng, hấp dẫn lí thú Toán học nói chung toán rời rạc nói riêng Nó có nội dung phong phú ứng dụng nhiều đời sống, đặc biệt từ tin học đời Lý thuyết tổ hợp số nội dung hay lý thuyết tổ hợp, giải toán lý thuyết số mà có tư tưởng tổ hợp công thức cách chứng minh Tổ hợp đưa vào giảng dạy chương trình học phổ thông, đại học, sau đại học môn tương đối khó học sinh, sinh viên khái niệm trừu tượng nhiều dạng toán khó thời lượng dành cho môn hạn chế bậc trung học phổ thông Trong nhiều kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán quốc tế, thi Olympic sinh viên trường đại học, cao đẳng toán liên quan đến tổ hợp hay đề cập thường thuộc loại khó nên học sinh đa số lúng túng giải toán loại Chính lý nêu trên, định chọn đề tài “Lý thuyết tổ hợp số ứng dụng” để tìm hiểu, nghiên cứu nhằm phục vụ cho công tác giảng dạy nói chung luyện thi học sinh giỏi nói riêng sau Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết tổ hợp số ứng dụng lý thuyết tổ hợp số để giải toán số tổ hợp Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu lý thuyết tổ hợp số - Phạm vi nghiên cứu số tổ hợp ứng dụng Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu lý thuyết tổ hợp, đặc biệt lý thuyết tổ hợp số - Tìm hiểu xây dựng ứng dụng lý thuyết tổ hợp số Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết thông qua việc siêu tầm loại tài liệu sách, báo, tạp chí, mạng internet, thầy cô, bạn bè Trình bày cách có hệ thống nội dung lý thuyết nghiên cứu tìm hiểu Mỗi nội dung ta phải chứng minh cụ thể, rõ ràng lấy ví dụ minh họa xác thực, dễ hiểu - Phân loại hệ thống dạng toán Tìm phương pháp đặc trưng để giải dạng toán cụ thể Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài - Đề tài góp phần nghiên cứu ứng dụng lý thuyết tổ hợp số vào giải toán tổ hợp phù hợp với chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp - Sau cho phép bảo vệ, góp ý thầy cô hội đồng, luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, giáo viên, học sinh phổ thông quan tâm đến lĩnh vực - Thời gian nghiên cứu không nhiều nên số nội dung hay mà luận văn chưa đề cập đến Tôi tiếp tục nghiên cứu bổ sung thường xuyên để nội dung luận văn phong phú, dùng làm tài liệu ôn thi học sinh giỏi bậc trung học phổ thông Cấu trúc luận văn Luận văn trình bày chương  Mở đầu  Chương – Cơ sở lý thuyết  Chương – Lý thuyết tổ hợp số  Chương – Ứng dụng lý thuyết tổ hợp số  Kết luận CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP 1.1.1 Khái niệm tập hợp Định nghĩa 1.1 Tập hợp coi xác định ta tất phần tử Tập hợp thường kí hiệu chữ in hoa A, B, C,… Các phần tử tập hợp thường kí hiệu chữ thường a, b, c,… Để x phần tử tập X ta viết x  X ( đọc: x thuộc X) Để x phần tử tập X ta viết x  X ( đọc: x không thuộc X) Tập phần tử gọi tập rỗng kí hiệu  Mỗi phần tử tập B thuộc tập A tập B gọi tập tập A kí hiệu B  A B  A Các phần tử tập hợp hai cách sau  Liệt kê chúng  Chỉ tính chất đặc trưng chúng 1.1.2 Các phép toán tập hợp a Phép hiệu: Hiệu A B, ký hiệu A \ B tập A \ B  x | x  A & x  B b Phần bù: Cho tập X A  X Phần bù A X tập AX  X \ A c Phép hợp: Hợp A B, kí hiệu A  B tập A  B  x | x  A hoÆc x  B d Phép giao: Giao A B, ký hiệu A  B tập A  B  x | x  A & x  B 1.1.3 Lực lượng tập hợp Số phần tử tập A, ký hiệu A card(A), gọi lực lượng tập A Nếu A   , ta nói A tập hữu hạn Nếu A   , ta nói A tập vô hạn 1.2 BÀI TOÁN TỔ HỢP Lý thuyết tổ hợp nghiên cứu việc phân bố, xếp phần tử nhiều tập hợp, thỏa mãn số điều kiện Mỗi cách phân bố, xếp gọi cấu hình tổ hợp 1.2.1 Cấu hình tổ hợp Cho tập hợp A1,…, An Giả sử S sơ đồ xếp phần tử A1,…, An mô tả qui tắc xếp R1,…, Rm điều kiện ràng buộc lên xếp theo sơ đồ S Khi đó, xếp phần tử A1,…, An thỏa mãn điều kiện R1,…, Rm gọi cấu hình tổ hợp tập A1,…, An 60 p   p  (lo¹i)  Với p  q  q   Hay q  Vậy n   22  12 Bài toán 3.9 Tìm số tự nhiên n biết i Dạng phân tích tiêu chuẩn n  23 (n)  403 ii Dạng phân tích tiêu chuẩn n  3p (n)  124 Giải i n  23 (n)  403 Ta có (n)  (23 )  21  31  1 1 Do (21  1)(31  1)  806 Ta lại có   1,   (21  1) | 806 nên (21  1)   1 (2  1)  13 (21  1)  31  Hay  21   1   14  21  32  Do   61 Khi 31   26 Hay 2 Vậy n  2432  144 ii n  3p (n)  124 32  p  Ta có (n)  (3p )  1 p 1 Do p  p   31 Hay p  Vậy n   52  75 Bài toán 3.10 Cho n  p  q  dạng phân tích tiêu chuẩn n  (n )  15 Hãy tính  (n )? Giải Ta có n  p  q  , nên n  p  q  Tương tự toán (3.8) ta tìm   1,   Vậy  (n )  (3  1)(3  1)  28 3.5 BÀI TOÁN ĐẾM SỐ TỪ TRÒN CÓ ĐỘ DÀI N ĐƯỢC LẤY TỪ M KÍ TỰ CHO TRƯỚC Cho A  a1 ,a , ,a m  tập hợp gồm m kí tự khác Định nghĩa 3.4 Từ tròn có độ dài n dãy gồm n kí tự lấy từ tập A, 62 kí tự lặp lại a in1 ain a i1 a i2 n n-1 Khi quay từ tròn n kí tự ngược chiều kim đồng hồ n lần lần thứ ta dãy : a i a i a i a i a i lần thứ hai ta dãy : a i a i a i a i a i 3 n 1 n n 1 … lần thứ n – ta dãy : a i a i a i a i a i lần thứ n dãy trùng với dãy ban đầu : a i a i a i a i a i n 1 n 3 n 2 n2 n 1 n 1 n Vậy quay từ tròn n kí tự n lần ngược chiều kim đồng hồ ta n dãy n kí tự Trong đó, dãy ban đầu dãy cuối trùng Vì n kí tự lấy từ m kí tự tập A lặp lại nên quay từ tròn n kí tự dãy thứ j ( j  n) trùng với dãy ban đầu Ví dụ 3.3 Cho tập A  a,b Chọn kí tự từ tập A babbab Ta có từ tròn sau a b b a b b 63 Sau số lần quay, ta b b b b b a b a Quay lần ta abbabb a b a b a b b a Quay lần ta bbabba b b Quay lần ta babbab Sau lần quay từ tròn trùng với từ tròn ban đầu Khi đó, gọi chu kì từ tròn kí tự Định nghĩa 3.5 Số lần quay nhỏ để từ tròn n kí tự trùng với từ tròn ban đầu gọi chu kì Định lí 3.7 Nếu t chu kì từ tròn n kí tự t ước nguyên dương n Chứng minh Giả sử t ước nguyên dương n Khi n  ta  b ( a; b  Z ;0  b  t ) Hay n  b mod t Suy b chu kì, mâu thuẫn Vậy t ước nguyên dương n Định lí 3.8 Cho tập A  a1 ,a , ,a m  Giả sử M(t) số từ tròn n kí tự lấy từ tập A có chu kì t Khi M(t)  t d  (d)m , với d ước nguyên  t d|t 64 dương t Chứng minh Mỗi dãy n kí tự lấy từ tập A chỉnh hợp lặp chập n m phần tử Vậy có m n dãy n kí tự Mặt khác, từ tròn n kí tự chu kì t tạo t dãy khác Hay tổng số dãy tạo  t.M(t) t|n Do ta có  t.M(t)  m n t|n Vì f (x)  x n hàm tính nhân nên áp dụng định lí 2.4, ta có t.M(t)   (d)m t d d|t Hay M(t)  t d  (d)m  t d|t Bài toán 3.11 Có từ tròn 12 kí tự khác lấy từ tập A gồm kí tự A  a,b,c,d,e Giải Chu kì từ tròn 12 kí tự ước nguyên dương 12 Vậy chu kì t1  1, t  2, t  3, t  4, t  6, t  12 Vậy từ tròn 12 kí tự khác lấy từ tập A gồm kí tự A  a,b,c,d,e  M(t ) i i 1 Ta có  (1)  ,  (2)  1 , (3)  1 , (4)  , (6)  1, (12)  65 Do 1  M(t1 )  M(1)  (1).51   1.5   1  2 1  1 M(t )  M(2)  (1).5  (2).5   1.52  1.51   10 2  3 1  M(t )  M(3)  (1).51  (3).53   (1).53  (1).51   40 3  4 1  M(t )  M(4)  (1).5  (2).5  (4).5  4   (1).54  (1).52  (0).51   150 6 6 1  M(t )  M(6)  (1).5   (2).5  (3).5  (6).5  6    (1).56  ( 1).53  (1).52  (1).51   2.580 12 12 12 12 12 12 1 12   (1).5   (2).5   (3).5   (4).5   (6).5   (12).5   12    (1).512  ( 1).56  ( 1).54  (0).53  (1).52  (0).51  12  20.343.700 M(t )  M(12)  Vậy tổng số từ tròn 12 kí tự  M(t )   10  40  150  2.580  20.343.700 i  20.346.485 i 1 3.6 TÌM SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA MỘT LŨY THỪA CHO MỘT SỐ Định lí 3.9 (Định lí Euler) Giả sử m số tự nhiên lớn 1, (m) 66 hàm Euler, a m hai số nguyên tố Khi ta có a  ( m )  1(mod m) Chứng minh Gọi tập hợp r1 ,r2 , ,r ( m)  hệ thặng dư thu gọn mod m không âm nhỏ ar ,ar , ,ar  hệ thặng dư thu gọn mod m Khi đó, tập hợp  ( m) không âm nhỏ Gọi s1 ,s2 , ,s ( m) thặng dư không âm nhỏ tương ứng lớp với ar1 ,ar2 , ,ar( m) ta có ar1  s1 (mod m) ar2  s2 (mod m) … ar ( m )  s  ( m ) (mod m) Ta s1 ,s , ,s  ( m)  hệ thặng dư thu gọn mod m không âm nhỏ Nhân vế theo vế (m) đồng dư ta ar1.ar2 ar ( m)  s1.s s  ( m) (mod m)      ( m) lÇn  ( m) lÇn hay a (m ) r1 r2 r ( m )  s1.s s  ( m ) (mod m) Vì r1 ,r2 , ,r ( m)  s1 ,s , ,s  ( m)  hệ thặng dư thu gọn mod m không âm nhỏ nên ta có 67 r1.r2 r ( m )  s1.s s  ( m) từ a (m) r1.r2 r(m)  r1.r2 r(m) (mod m) Ta lại có r1.r2 r( m) nguyên tố với m Do đó, chia hai vế đồng dư thức cho r1.r2 r( m) ta a  ( m )  (mod m) Bài toán 3.12 Tìm số dư phép chia 20022003 chia cho 19 Giải Ta có 2002  (mod 19) Nên 2002 2003  2003 (mod 19) Mà (7,19)  Áp dụng định lí Euler với số nguyên tố p  19 , ta có  (19 )  (mod 19) Ta lại có (19)  19   18 Do ta 718  (mod 19) Mặt khác 2003  18.111  111 Nên  718   (mod 19) 111 Hay  718  75  75 (mod 19) Do 2003  (mod 19) Ta có  343  (mod 19) , nên  49(mod 19) 68 Suy  11(mod 19) Do 2002 2003  11(mod 19) Vậy số dư phép chia 20022003 chia cho 19 11 n1 Bài toán 3.13 Chứng minh với n số tự nhiên ta có 23 hết cho 11 Chứng minh Ta có (2,11)  Nên áp dụng định lí Euler ta có 2 (11)  (mod 11) Vì (11)  10 nên 210  (mod 11) (1) Ta có 34  81  (mod 10) , nên 34 n  (mod 10) Hay 34 n  (mod 10) , nên 34 n 1  (mod 10) Vậy tồn số tự nhiên k cho 34n1  10k  Từ (1) ta có 10 k 2  k  (mod 11) , nên  210  23  23 (mod 11) Hay n 1 210 k   23 (mod 11) , Nên 23 Vậy n 1   23 +3 (mod 11)  23 (mod 11)  chia 69 n 1 23 n1   (mod 11) , nghĩa 23  chia hết cho 11 3.7 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ BẬC NHẤT MỘT ẨN ax  b (mod m) Theo định lí Euler ta có a  ( m )  (mod m) Nhân hai vế đồng dư thức với b ta ba  ( m )  b (mod m) Hay a  ba  ( m ) 1   b (mod m) Vậy x  ba  (m ) 1 (mod m) nghiệm phương trình ax  b (mod m) Bài toán 3.14 Giải phương trình 7x  (mod 13) Giải Ta có  (13)  (mod 13) Nhân hai vế đồng dư thức với 6, ta  (13)  (mod 13) Hay   (13) 16   (mod 13) Vậy nghiệm phương trình x   (13) 16 (mod 13) Mà (13)  12 nên x  7116 (mod 13) 70 Ta có  3(mod 13) hay 710  4(mod 13) Do 711  28(mod 13) hay 711  2(mod 13) Tức 711.6  12(mod 13) Vậy nghiệm phương trình x  12(mod 13) Bài toán 3.15 Giải phương trình 6x  27 (mod 33) Giải Phương trình cho tương đương với phương trình 2x  (mod 11) Ta có 2 (11)  (mod 11) Nhân hai vế đồng dư thức với 9, ta  (11).9  (mod 11) Hay   (11)1.9   (mod 11) Vậy nghiệm phương trình x   (11) 1.9 (mod 11) Mà (11)  10 nên x  29.9 (mod 11) Ta có 23  3(mod 11) hay 29  5(mod 11) Do 29.9  1(mod 11) Vậy nghiệm phương trình x   1(mod 11) 71 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu sâu hàm tính nhân, Euler, Möbius, Riemann zeta số Square free để ứng dụng giải toán Lý thuyết tổ hợp số cụ thể sau - Số Square free: Giải toán tìm số square free không vượt số nguyên dương cho trước - Hàm tính nhân: Giải toán đếm ước tính tổng ước số nguyên dương n cho trước - Hàm Möbius: Giải toán đếm số từ tròn độ dài n lấy từ m kí tự cho trước - Hàm Euler: Giải toán tìm số dư phép chia lũy thừa cho số giải phương trình đồng dư bậc ẩn đồng dư bậc ẩn Bản thân cố gắng đưa nhiều ứng dụng để giải toán dạng tổ hợp số, nhiên hạn chế thời gian nên số nội dung hay liên quan đến đề tài chưa đề cập đến Tôi hy vọng mong muốn thời gian đến tiếp tục phát triển để bổ sung kiến thức phục vụ công tác giảng dạy bồi dưỡng cho học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi đạt hiệu 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trần Hữu Anh (1999), Toán rời rạc, NXB Giáo dục Hà Nội, Hà Nội [2] Hà Văn Chương (2004), Tuyển chọn 351 toán giải tích tổ hợp, NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh [3] Trần Quốc Chiến (2010), Giáo trình Lý thuyết tổ hợp, Đại học Đà Nẵng, Đà Nẵng [4] Đỗ Đức Giáo (2004), Toán rời rạc, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội [5] Đỗ Đức Giáo (2006), Hướng dẫn giải tập toán rời rạc, NXB Giáo dục Hà Nội, Hà Nội [6] Vũ Đình Hòa (1999), Một số kiến thức sở hình học tổ hợp, NXB Khoa học giáo dục Hà Nội, Hà Nội [7] Hà Huy Khoái (2006), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT: Số Học, NXB Giáo Dục Hà Nội, Hà Nội [8] Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Đặng Huy Ruận, Vũ Đình Hòa, Đặng Hùng Thắng (2008), Chuyên đề chọn lọc tổ hợp toán rời rạc, NXB Giáo Dục Hà Nội, Hà Nội [9] Nguyễn Đức Nghĩa – Nguyễn Tô Thành (2004), Toán rời rạc, NXB Giáo dục Hà Nội, Hà Nội [10] Nguyễn Xuân Quỳnh (1995), Cơ sở toán rời rạc ứng dụng, NXB Giáo dục Hà Nội, Hà Nội [11] Ngô Đắc Tân (2003), Lý thuyết tổ hợp đồ thị, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội 73 [12] Hoàng Chí Thành (2001), Giáo trình tổ hợp, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội [13] Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp (2001), Phương trình sai phân số ứng dụng, NXB Giáo dục Hà Nội, Hà Nội [14] Nguyễn Ngọc Thu (2003), Hướng dẫn giải toán tổ hợp, NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh [15] Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho, 40 năm Olympic toán học quốc tế, NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh Tiếng Anh [16] V.K Balakishnan (1995), Theory and problems of combinatorics, McGraw-Hill Book company, New York Internet [17] http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_function [18] http://mathworld.wolfram.com/MultiplicativeFunction.html [19] http://planetmath.org/encyclopedia/MultiplicativeFunction.html [20] http://planetmath.org/encyclopedia/RiemannZetaFunction.html