TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG

Tích nửa trực tiếp và ứng dụng Đề tài nghiên cứu tích nửa trực tiếp và ứng dụng 2017. Tích trực tiếp và gián tiếp. Hướng dẫn tích trực tiếp và gián tiếp Tích nửa trực tiếp và ứng dụng Đề tài nghiên cứu tích nửa trực tiếp và ứng dụng 2017. Tích trực tiếp và gián tiếp. Hướng dẫn tích trực tiếp và gián tiếp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG HUỲNH ANH HIẾU TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ~ Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYÊN NGỌC CHÂU Đà Nẵng - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố công trình khác Người cam đoan Huỳnh Anh Hiếu MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn CHƯƠNG NHÓM VÀ p – NHÓM 1.1 NHÓM 1.1.1 Định nghĩa số nhóm đặc biệt 1.1.2 Một số kết p – nhóm hữu hạn 10 1.1.3 Tích trực tiếp 11 1.2 TỰ ĐẲNG CẤU NHÓM 14 1.2.1 Nhóm tự đẳng cấu 14 1.2.2 Nhóm tự đẳng cấu số nhóm hữu hạn 14 CHƯƠNG TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG 17 2.1 TÍCH NỬA TRỰC TIẾP 17 2.2 ỨNG DỤNG TÍCH NỬA TRỰC TIẾP ĐỂ XÂY DỰNG VÀ PHÂN LOẠI MỘT SỐ LỚP NHÓM 23 2.2.1 Xây dựng phân loại nhóm không giao hoán cấp 12 23 2.2.2 Xây dựng phân loại nhóm cấp 2p, với p số nguyên tố lẻ 26 2.2.3 Xây dựng phân loại nhóm không giao hoán cấp p3, với p số nguyên tố lẻ 29 DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán phân loại nhóm hữu hạn xác định tất nhóm không đẳng cấu có cấp n cho trước, A Cayley đặt vào năm 1878, chưa có lời giải đầy đủ Với hai nhóm H K cho trước, có nhiều cách xây dựng từ chúng nhóm thứ ba, chẳng hạn cách lấy tích trực tiếp, tích nửa trực tiếp, tích tâm, tích bện … hai nhóm Mỗi cách có ứng dụng hữu ích lý thuyết nhóm, đặc biệt toán phân loại xác định nhóm hữu hạn Nhằm tìm hiểu tích nửa trực tiếp hai nhóm toán phân loại đẳng cấu nhóm hữu hạn, chọn cho đề tài luận văn thạc sĩ là: “ TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG ” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cấu trúc nhóm, p – nhóm - Tìm hiểu quan hệ đẳng cấu nhóm toán phân loại đẳng cấu nhóm hữu hạn - Nghiên cứu tích trực tiếp, tích nửa trực tiếp hai nhóm - Phân loại đẳng cấu số lớp nhóm hữu hạn Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Các nhóm p – nhóm hữu hạn, đặc biệt nhóm có cấp 2p p , với p số nguyên tố - Quan hệ đẳng cấu nhóm hữu hạn - Tích trực tiếp, tích nửa trực tiếp hai nhóm - Bài toán phân loại đẳng cấu nhóm hữu hạn Phương pháp nghiên cứu - Tập hợp hệ thống tài liệu lý thuyết nhóm có liên quan đến nội dung đề tài Đặc biệt tài liệu tích nửa trực tiếp hai nhóm - Khảo sát nhóm tự đẳng cấu nhóm hữu hạn - Sử dụng tích nửa trực tiếp để xây dựng phân loại đẳng cấu số lớp nhóm hữu hạn - Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn Cấu trúc luận văn MỞ ĐẦU Chương 1: NHÓM VÀ p – NHÓM Chương trình bày sơ lược số khái niệm kết cấu trúc nhóm p – nhóm, để làm sở cho chương sau Các chi tiết liên quan tìm thấy tài liệu lý thuyết nhóm Chương 2: TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG Chương nội dung luận văn, trình bày tích nửa trực tiếp hai nhóm áp dụng chúng để xây dựng phân loại số lớp nhóm KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO CHƯƠNG NHÓM VÀ p – NHÓM Chương trình bày sơ lược số khái niệm kết cấu trúc nhóm p – nhóm hữu hạn, để làm sở cho chương sau Các chi tiết liên quan tìm xem tài liệu lý thuyết nhóm 1.1 NHÓM 1.1.1 Định nghĩa số nhóm đặc biệt Định nghĩa Cho tập hợp G với phép toán hai G GG G ( a, b) a b Cặp  G,  gọi nhóm thỏa mãn i)  a, b, c  G,  a*b *c = a* b*c  , ii) Tồn phần tử, ký hiệu e  G , gọi phần tử đơn vị, cho a  e = e  a = a , với a  G iii) Với a  G có phần tử nghịch đảo G, nghĩa có phần tử a 1  G cho a  a 1  a 1  a  e Nếu với a, b  G, a * b  b* a  G,  gọi nhóm Aben (hay nhóm giao hoán) Nếu không sợ nhầm lẫn phép toán, ta nói G nhóm thay cho nhóm  G,  Nếu phép toán  ký hiệu + , G gọi nhóm cộng, phép toán  ký hiệu  , G gọi nhóm nhân Nhóm G gọi nhóm hữu hạn G tập hữu hạn Lúc số phần tử tập hợp G gọi cấp nhóm G kí hiệu G Nếu nhóm G nhóm hữu hạn ta nói G nhóm (có cấp) vô hạn Định nghĩa Cho nhóm G Tập   S  G gọi nhóm G, kí hiệu S  G , thỏa mãn điều kiện sau: i) a, b  S, ab  S ii) a  S , a 1  S Mệnh đề [6] Giả sử S phận khác rỗng nhóm G Các điều kiện sau tương đương: i) S nhóm G 1 ii) Với x, y  S, xy  S Mệnh đề [4] Giao họ nhóm nhóm G nhóm nhóm G Định nghĩa Cho G nhóm X tập khác rỗng G Nhóm G sinh tập hợp X giao tất nhóm G có chứa X, kí hiệu  X  X = x x2 xn n / xi  X ,  i   1, n số nguyên dương } 1  Nhận xét  X  nhóm nhỏ G có chứa X Nếu  X  = G ta nói G nhóm sinh X X tập sinh G Định nghĩa Một nhóm X gọi cyclic X sinh phần tử a  X , kí hiệu  a  Phần tử a gọi phần tử sinh X Nhóm cyclic cấp n ký hiệu Cn Ta có Cn   a    a / a n  e  = e, a1 , a , , a n-1 Mệnh đề [9] Giả sử G nhóm cyclic hữu hạn m ước nguyên dương G Khi tồn nhóm H G cho H  m Định nghĩa Giả sử G nhóm với phần tử đơn vị e a  G Nếu a m  e, m  a có cấp vô hạn Nếu m số nguyên dương nhỏ cho a m  e m gọi cấp a Cấp phần tử a kí hiệu ord  a  Từ định nghĩa ta có ord  a    a  , ord  a  =  a = Định nghĩa Giả sử N nhóm nhóm G Với a  G , tập hợp aN  an / n  N  Na  na / n  N  gọi tương ứng lớp kề trái lớp kề phải N a Mệnh đề [4] Hai lớp kề trái N trùng phần tử chung Các lớp kề phải Như thế, nhóm G phân hoạch thành hợp rời lớp kề trái (tương ứng lớp kề phải) Định nghĩa Cho G nhóm với phép toán nhân, nhóm N G gọi nhóm chuẩn tắc G nếu: x  G, a  N, xax 1  N , kí hiệu N G Mệnh đề [17] Giả sử N nhóm nhóm G Các điều kiện sau tương đương: i) N nhóm chuẩn tắc G ii) xN = Nx , với x  G Khi N nhóm chuẩn tắc G, lớp kề trái, lớp kề phải N gọi lớp kề N G Mệnh đề [4] Cho G nhóm Ký hiệu Z  G   g  G / gs = sg, s  G Khi Z  G  nhóm chuẩn tắc G, gọi nhóm tâm nhóm G Định nghĩa -1 -1 Cho x y hai phần tử nhóm G Ký hiệu  x, y  = x y xy  G, gọi giao hoán tử x với y Định nghĩa Cho G nhóm Nhóm sinh giao hoán tử  x, y  , x, y  G , ký hiệu G, G  , gọi nhóm giao hoán tử nhóm G Mệnh đề [16] Cho G nhóm, G, G  G Mệnh đề [9] Cho H nhóm nhóm G thỏa mãn điều kiện G: H  = Khi H G Mệnh đề [3] Cho G nhóm H nhóm chuẩn tắc G cho H  Z  G  Khi G / H nhóm cyclic G nhóm aben Định nghĩa 10 [4] Cho G nhóm N  G Ta gọi tập gồm tất lớp kề trái N G tập thương G N kí hiệu G / N G / N  xN / x  G Lực lượng tập G / N gọi số nhóm N nhóm G, kí hiệu G : N  Mệnh đề 10 [3] Cho N nhóm chuẩn tắc nhóm G Khi i) Quy tắc cho tương ứng cặp  xN , yN  với lớp kề xyN ánh xạ từ G / N  G / N đến G / N ii) Tập thương G / N với phép toán hai ngôi:  xN , yN  xyN nhóm, gọi nhóm thương G nhóm chuẩn tắc N Định lý (Định lý Lagrange) [6] Giả sử G nhóm hữu hạn N nhóm G Khi G bội N Hệ Cấp phần tử tùy ý nhóm hữu hạn G ước cấp G Hệ Mọi nhóm hữu hạn có cấp nguyên tố cyclic sinh phần tử bất kì, khác phần tử trung lập nhóm Định nghĩa 11 [3] 25 + Khi Q  C3 sinh a N  C2  C2 sinh b c, có ba đồng cấu không tầm thường từ N lên Aut  Q  là:    b   id 3  c    1  b    ,     c  id  b    b           1  Dễ dàng kiểm tra 2  13 3  12 với 2 , 3  Aut C C  Mệnh đề 24 (chương 1) Do nhóm C3   C2  C2  với  1 ,  , 3  đẳng cấu với đẳng cấu với nhóm G  C3   C2  C2  với   b   2   c   id Nhóm có biểu diễn là:  a, b, c / a3  b2  c  1, bc  cb, cac 1  a, bab1  a  (2.3) Lấy a, b G nhóm G xác định  a, b / a3  b2  1, bab1  a 1  nhóm đẳng cấu với D3 Vì bc  cb ca  ac nên gọi C2   c  xy  yx, x  C3 , y  D3 C2  D3  1  , D3C2  G nên G  D3  C2 D3  C2  D6 1 1 Nhóm C3  C4   a, b / a  b  1, bab  a  không đẳng cấu với nhóm A4 D6 C3  C4 có phần tử cấp A4 D6 phần tử cấp dễ dàng kiểm chứng A4 D6 không đẳng cấu Từ Mệnh đề Mệnh đề cho ta định lý sau: Định lý Có nhóm không giao hoán cấp 12 không đẳng cấu là: A4 , D6 C3  C4 , với  : C4  Aut  C3  đồng cấu không tầm thường 26 2.2.2 Xây dựng phân loại nhóm cấp 2p, với p số nguyên tố lẻ Trước hết ta xét trường hợp riêng, phân loại đẳng cấu nhóm cấp (6 = 3) Mệnh đề Có hai nhóm cấp (không đẳng cấu nhau) C6 D3 Chứng minh Gọi G nhóm có cấp Ta có G   2.3 Theo định lý Sylow G có – nhóm Sylow Q cấp – nhóm Sylow N cấp Vì G : N   nên theo mệnh đề (chương 1) N G Đồng thời Q  G, Q  , NQ  G Q  N  {1} , theo định lý nhận xét (chương 2), G  N  Q , với  đồng cấu từ nhóm Q lên nhóm tự đẳng cấu Aut( N ) Ta có: Q  C2   b / b2    N  C3   a / a3     1, b   1, a, a  Theo mệnh đề 23 (chương 1) ta có Aut( C3 )  1 C3 ,  với  xác định  ( x )  x , x  C3 Suy có đồng cấu từ nhóm Q lên nhóm tự đẳng cấu Aut(N)  : Q  Aut  N  ; 1C3 ; b  , 1 đồng cấu tầm thường Xét nhóm N  Q , ta có   a, 1Q    a, 1Q  a, 1Q   a 1Q  a, 1Q    a.1 C3  a  , 1Q    a , 1Q  27      a, 1Q  a, 1Q    a, 1Q   a , 1Q   a 1Q  a , 1Q  a.1C3  a  , 1Q  a,  Q   a3 , 1Q   1N , 1Q  1N , b   = 1N , b 1N , b  = 1N θ  b  1N , b2  =  α 1N  , 1Q  = 1N , 1Q  1N , b   a, 1Q  1N , b  = 1N b  a  , b  1N , b  =   a  , b  1N , b  =  a , b  1N , b  =  a 2  b  1N  , b2    a  1N  , b    a , b  =  a , 1Q  =  a, 1Q  1 Dễ dàng kiểm chứng ánh xạ sau hai đơn cấu Q  N  Q b  1N , b N  N  Q a  a,  Q Đồng a   a, 1Q  b  1N , b  nhóm N  Q có biểu diễn 1 1 N  Q = < a, b / a = b = 1, bab = a > Nhóm nhóm không giao hoán cấp đẳng cấu với nhóm D3 Với 1 :Q  Aut N  đồng cấu tầm thường theo nhận xét (chương 2) N 1 Q N  Q  C3  C2  C6 Vì C6 nhóm cyclic D3 nhóm không giao hoán nên hai nhóm không đẳng cấu với Vậy có nhóm có cấp không đẳng cấu C6 D3 Tổng quát mệnh đề trên, ta có Định lý Cho p số nguyên tố lẻ Khi nhóm có cấp 2p đẳng cấu với nhóm cyclic cấp 2p đẳng cấu với nhóm dehidral Dp Chứng minh: Giả sử G nhóm có cấp p, theo theo định lý Sylow G có p – nhóm Sylow N cấp p – nhóm 28 Sylow Q cấp Vì G : N   nên N G Đồng thời Q  G , Q  , NQ  G N  Q  1G  G  N  Q , với  đồng cấu từ nhóm Q lên nhóm tự đồng cấu Aut (N ) Ta có: Q  C2   b / b =1   N  Cp   a / a p     1, b   1, a, a , , a  p -1 Do N nhóm cyclic cấp p nên Aut(N) nhóm cyclic cấp p – (chương 1, hệ 4) Vì p số nguyên tố lẻ nên p – số chẵn, theo (chương 1, hệ 5) nhóm Aut(N) có phần tử cấp Dễ dàng kiểm tra ánh xạ  : N  N , với   a   a p1 tự đẳng cấu Hơn   a      a      a p1   a  p1  a p p2   a Suy ord    Vậy  phần tử cấp Aut(N) Vì Q   b  nhóm cyclic cấp nên có hai đồng cấu từ Q đến Aut(N) đồng cấu tầm thường đồng cấu  : Q  Aut  N  , với   b    Xét nhóm N  Q , ta có  a,  Q  a,  Q     a.1  a  ,    a ,   a,   a ,    a 1  a ,    a.1  a  ,    a, 1Q  a, 1Q   a 1Q  a, 1Q   a, 1Q  a, 1Q   2 Cp Q Q Q Q Q Q Cp Q   a3 , 1Q  Bằng quy nạp theo n ta có  a,  Q n   a, 1Q  a, 1Q  n1      a, 1Q   a n1 , 1Q   a 1Q  a n1 , 1Q  a.1C p  a n1  , 1Q   a n , 1Q  Vậy n = p  a, 1Q  = 1N , 1Q  p  29 1N , b  = 1N , b 1N , b  = 1N θ  b  1N , b  =  α 1N  , 1Q  = 1N , 1Q  1N , b   a, 1Q  1N , b  = 1N θ  b  a  , b  1N , b  =  α  a  , b  1N , b  =  a p-1 , b  1N , b  =  a p-1θ  b  1N  , b2  =  a p-1 α 1N  , b2  =  a p-1 , b2  =  a p-1 , 1Q  =  a, 1Q  -1 Dễ dàng kiểm chứng ánh xạ sau hai đơn cấu Q  N  Q b 1 N N  N  Q , b a  a,  Q Đồng a   a, 1Q  b  1N , b  nhóm N  Q có biểu diễn N  Q = < a, b / a p = b2 = 1, bab1 = a p1 > Nhóm nhóm không giao hoán cấp 2p đẳng cấu với nhóm D p Với 1 đồng cấu tầm thường, theo nhận xét (chương 2) suy N  Q N  Q  C p  C2  C2 p Vì C2 p nhóm cyclic D p nhóm không giao hoán nên hai nhóm không đẳng cấu với Vậy có nhóm cấp 2p không đẳng cấu C2 p Dp 2.2.3 Xây dựng phân loại nhóm không giao hoán cấp p3, với p số nguyên tố lẻ Bổ đề [16] Giả sử G nhóm không aben cấp p3 Khi G , G   Z G   C p Mệnh đề Giả sử G nhóm cấp p3, với p số nguyên tố lẻ Khi 30 i) Ánh xạ  : G  G , với   g   g p , g  G , đồng cấu,  G   Z G  ii) Hoặc Ker  có cấp p3, Ker  có cấp p2 G chứa phần tử cấp p2 Chứng minh: Nếu G nhóm aben mệnh đề hiển nhiên Nếu  xy  p G không = x p y p  x, y 1  p p 1 / p  x, y 1  = x, y  G , aben  x, y   Z G  Vì  x, y 1   G, G  G, G  có cấp p, nên  xy  p = x p y p , nghĩa ánh xạ  : G  G , với   x  = x p , x  G , tự đồng cấu G Hơn ta có x, y  G, =  x, y  =  x 1 y 1xy  =  x 1 y 1x  y p = x 1 y  p xy p p p p  y p giao hoán với x  G ,   G   Z  G  Mệnh đề chứng minh Mệnh đề Cho G nhóm không aben cấp p3, với p số nguyên tố lẻ Khi G chứa nhóm chuẩn tắc H cấp p2 nhóm K cấp p cho H  K  1  Chứng minh: Giả sử  x  G, ord  x  = p , gọi H   x  nhóm cyclic G, sinh x Đặt E = Ker   , với  tự đồng cấu nâng lên lũy thừa p 31 nhóm G, E có cấp p2 phần tử khác đơn vị E có cấp p Với y  E\ H đặt K = , K  p H  K = 1  Giả sử phần tử khác đơn vị G có cấp p Gọi H nhóm cấp p2 G y  G \ H , đặt K = , K = p ta có H  K = 1  Mệnh đề chứng minh xong Hệ Nếu G nhóm không aben cấp p3, với p số nguyên tố lẻ, G tích nửa trực tiếp nhóm chuẩn tắc H cấp p2 với nhóm K cấp p Định lý 10 Nếu p số nguyên tố lẻ, có hai nhóm không aben cấp p3 (sai khác đẳng cấu) Chứng minh: Giả sử G nhóm không aben cấp p3, với p số nguyên tố lẻ Theo hệ chương G tích nửa trực tiếp nhóm H cấp p2 với nhóm K cấp p Vì H  p nên H nhóm aben, H  C p2 H  Cp  Cp i) Nếu H  C p2   x  , K   y  Vì Aut  H  nhóm cyclic cấp p(p-1) (mệnh đề 20, chương 1), nên Aut  H  chứa nhóm cyclic cấp p sinh phần tử  : H  H , với   x   x p1 Xét đồng cấu  từ K đến Aut  H  sau  : K  Aut  H  32   y   y Vì Aut(H) có nhóm cấp p, nên đồng cấu không tầm thường  ' từ K đến Aut(H) có  '  K  =   K  Theo (Định lý 7) có (sai khác đẳng cấu) nhóm không aben cấp p3 trường hợp H  K  x, 1K    x, 1K  x, 1K  =  x 1K  x, 1K  =  x , 1K  Bằng quy nạp theo n ta có  x, 1K  n   x, 1K  n1  x, 1K  =  xn1 , 1K   x, 1K  =  xn1 1K  x, 1K  =  xn1x, 1K  =  xn , 1K    Vậy n = p2  x, 1K   x p , 1K = 1H , 1K  p2 1H , y  2 = 1H , y 1H , y  = 1H  y 1H , y  =  1H  , y  = 1H , y  Bằng quy nạp theo n ta có 1H , y  n = 1H , y 1H , y  n1 = 1H , y  1H , y n1  = 1H  y 1H , y n  =  1H  , y n  = 1H , y n    Vậy n = p 1H , y  = 1H , y p = 1H , 1K  p 1H , y  x, 1K 1H , y   1  1H , y  x, 1K 1H , y  p 1   1H  y  x, y  1H , y p 1       x  , y  1H , y p 1 =  x p 1 , y 1H , y p 1  =  x p 1  y  1H , y p  =  x p 1 1H  , 1K   x p 1 , 1K  =  x, 1K  p 1 Dễ dàng kiểm chứng hai ánh xạ sau hai đơn cấu H  H  K x K  H  K  x, 1K  Đồng x   x, 1K  y 1H , y  y  1H , y  Khi nhóm H  K có biểu diễn H  K =  x, y / x p = 1, y p = 1, yxy 1 = x p1  nhóm thường ký hiệu E p3 33 ii) Nếu H  C p  C p = , với ab = ba Theo (mệnh đề 21, chương 1), Aut  H   GL  2, Z p  , nhóm có cấp p  p-1  p+1 Nhóm Aut  H  chứa p – nhóm Sylow cấp p, sinh phần tử  xác định sau:  : H  H , với   a  = a   b  = ab Xét đồng cấu  : K =  Aut H  , với   y  =  Tương tự trường hợp i) nhóm H  K , ta có  a, 1K  p = ,  b, 1K  = 1, 1H , y  = 1, p p  a, 1K b, 1K  = b, 1K  a, 1K  1H , y  a, 1K 1H , y  1H , y b, 1K 1H , y  1 1 =  a, 1K  =  a, 1K b, 1K  Đồng a   a, 1K  , b   b, 1K  y = 1H , y  Khi nhóm H  K có biểu diễn H  K   a, b, y / a p  b p  y p  1, ab  ba, ay  ya, yby 1  ab  nhóm thường ký hiệu M p3 Từ hai nhóm E p3 M p3 ta thấy nhóm E p3 có phần tử x cấp p2, phần tử khác đơn vị nhóm M p3 , có cấp p (vì tự đồng cấu  M p3 với   x  = x p , có Ker = M p3 ) Vậy hai nhóm E p3 M p3 không đẳng cấu Định lý chứng minh xong Minh họa nhóm E p3 M p3 [13] 34   pm b   i) Ký hiệu E p3   / m, b  Z p2   1   1  p   1 Đặt x   , y   1      1+pm b  Khi  = yb xm ,  1   x, y   x p , x p = y p = Suy E p3 nhóm không giao hoán có cấp p3 biểu diễn E p3 =  x, y / x p = 1, y p = 1, yxy 1 = x p1  ii) Ký hiệu M p3   =    1 a b  c  / a, b, c  Z  p   0 1     Dễ dàng kiểm tra tập M p3 với phép nhân hai ma trận nhóm 1 0 Đặt x    0 1   1 0 y   1  0 1   1 a b b Khi  c   y c x a  x, y  , 0 0     1  x, y  = z =   0 1   x p = y p = z p = ,  x, z  =  y, z  = Suy M p3 nhóm không giao hoán, cấp p3 biểu diễn M p = < x, y, z / x p = y p = z p = 1, xz = zx, yz = zy, y -1 xy = xz > Nhận xét Với H nhóm cấp nhóm quarternion Q8 Do Q8 có phần tử cấp 2, phần tử thuộc H, nên không tồn 35 nhóm K cấp Q8 mà H  K =  Do p = 2, Mệnh đề không đúng, nghĩa nhóm Q8 tích nửa trực tiếp hai nhóm thực 36 KẾT LUẬN Luận văn “Tích nửa trực tiếp ứng dụng” thực mục đích đề ra, cụ thể vấn đề sau: 1) Tìm hiểu trình bày lại tích nửa trực tiếp hai nhóm ví dụ minh họa 2) Xây dựng phân loại đẳng cấu số lớp nhóm như: - Các nhóm không giao hoán cấp 12 - Các nhóm có cấp 2p, với p số nguyên tố lẻ - Các nhóm không giao hoán có cấp p3, với p số nguyên tố lẻ Hy vọng thời gian tới, nội dung luận văn tiếp tục bổ sung hoàn thiện hơn, nhằm khẳng định tầm quan trọng tính hiệu tích nửa trực tiếp toán xác định phân loại nhóm hữu hạn 37 DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Bảy (2009), Phân loại đẳng cấu nhóm có cấp n, n 20, Luận văn thạc sỹ khoa học, Đại học Đà Nẵng [2] Bùi Huy Hiền, Phan Doãn Thoại, Nguyễn Hữu Hoan (1985), Đại số Số học, tập I, II, NXB Giáo Dục [3] Bùi Huy Hiền (1997), Bài tập đại số đại cương, NXB Giáo Dục [4] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, NXB Giáo Dục [5] Ngô Thúc Lanh (1986), Đại số Số học, NXB Giáo Dục [6] Hoàng Xuân Sính (1977), Đại số cao cấp (tập II), NXB Giáo Dục [7] Lê Văn Thuyết, Nguyễn Xuân Tuyến (2005), Đại số trừu tượng, NXB Giáo Dục Tiếng Anh [8] Andrew Baker (2007), Representations of Finite Groups, Department of Mathematics, University of Glasgow, Glasgow G12 8QW, Scotland [9] Benjamin Baumslag, Bruce chandler (1968), Theory and problems of roup theory, Mcgraw – Hill book company [10] Daniel Gorenstein, Richard Lyons, Ronald Solomon (1994), The Classification of the Finite Simple Groups, American Mathematical Society Providence, Rhode Island [11] John A Beachy (1995), Abstract Alegbra: Supplementary lecture Notes, orthern Illinois University [12] Marcel Wil (2005), The groups of order sixteen made easy, Amer Math Monthly 112, MR MR2110109 38 [13] Michael Garlow, Jeffrey D Adler, And Ethel R Wheland (2006), Groups Of Order p4 Made Less Difficult, Department Of Theoretical And Applied Mathematics, The University Of Akron, Akron Trang Website: [14] David Jao (2002), Semidirect Product Of Groups, at http://planetmath.org/encyclopedia/SemidirectProductOfGroups.html [15] John A Beachy (1995), Abstract Alegbra: Supplementary lecture Notes, Northern Illinois University [16] Keith Conrad, groups of order p3, at http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/grouptheory/groupsp3 pdf [17] Milne J.S (2008), Group Theory (2008), at http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/GT.pdf