Tích nửa trực tiếp và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– LÊ THỊ THU THỦY TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Đà Nẵng - Năm 2017 Cơng trình hồn thành tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ————————— Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Ngọc Châu Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Toán học họp trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng vào ngày .tháng năm 2017 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thộng tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài tốn phân loại nhóm hữu hạn xác định tất nhóm khơng đẳng cấu có cấp cho trước A Cayley đặt vào năm 1878 chưa có lời giải đầy đủ Với hai nhóm H K cho trước, có nhiều cách xây từ chúng nhóm thứ ba, chẳng hạn cách lấy tích trực tiếp, tích nửa trực tiếp, tích tâm, tích bện hai nhóm đó, Mỗi cách có ứng dụng hữu ích lý thuyết nhóm, đặc biêt tốn phân loại nhóm hữu hạn Nhằm tìm hiểu tích nửa trực tiếp hai nhóm tốn phân loại đẳng cấu nhóm hữu hạn, tơi chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ " TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG" Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cấu trúc nhóm p - nhóm - Tìm hiểu tích trực tiếp, tích nửa trực tiếp hai nhóm - Tìm hiểu quan hệ đẳng cấu nhóm tốn phân loại đẳng cấu nhóm hữu hạn - Phân loại đẳng cấu số lớp nhóm cấp thấp Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Các nhóm p - nhóm cấp thấp, đặc biệt nhóm có cấp 2p p3 , với p số nguyên tố, nhóm hữu hạn quen biết - Quan hệ đẳng cấu nhóm tốn phân loại đẳng cấu nhóm hữu hạn - Tích trực tiếp, tích nửa trực tiếp hai nhóm Phương pháp nghiên cứu - Thu thập hệ thống tài liệu lý thuyết nhóm có liên quan đến nội dung luận văn Đặc biệt tài liệu tích nửa trực tiếp hai nhóm - Khảo sát nhóm tự đẳng cấu số nhóm cấp thấp - Dựa vào tài liệu thu thập để thực luận văn - Trao đổi thảo luận với người hướng dẫn Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày sơ lược môt số khái niệm kết cấu trúc nhóm p - nhóm để làm sở cho chương sau Chương 2: Tích nửa trực tiếp ứng dụng Chương nội dung luận văn, trình bày tích nửa trực tiếp hai nhóm áp dụng chúng để xây dựng phân loại số lớp nhóm bậc thấp CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày sơ lược số khái niệm kết cấu trúc nhóm p - nhóm hữu hạn để làm sở cho chương sau 1.1 Nhóm p - nhóm hữu hạn 1.1.1 Các định nghĩa số nhóm đặc biệt Định nghĩa 1.1.1.1 Cho tập hợp G với phép tốn hai ngơi G G×G→G (a, b) → a ∗ b Cặp (G, ∗) gọi nhóm i) ∀a, b, c ∈ G, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), ii) Có phần tử e ∈ G, gọi phần tử trung lập, có tính chất a ∗ e = e ∗ a = a, ∀a ∈ G iii) Với a ∈ G, có phần tử a−1 ∈ G, gọi nghịch đảo a, cho a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e Nếu ∀a, b ∈ G, a ∗ b = b ∗ a (G, ∗) gọi nhóm giao hốn Định nghĩa 1.1.1.2 Một tập H nhóm G gọi ổn định tích hai phần tử x, y H lại thuộc H Nếu H tập ổn định nhóm G, H cảm sinh phép tốn từ phép tốn nhóm G Định nghĩa 1.1.1.3 Một tập ổn định H nhóm G gọi nhóm G, H với phép toán cảm sinh lập thành nhóm Kí hiệu H G Định nghĩa 1.1.1.7 Cho G nhóm X tập khác rỗng G Nhóm G sinh tập X giao tất nhóm G có chứa X, kí hiệu X X = xε11 xε22 xεnn /xi ∈ X, εi = ±1 , với n số nguyên dương Định nghĩa 1.1.1.9 Nhóm G gọi nhóm cyclic G chứa phần tử a cho phần tử G lũy thừa nguyên a Phần tử a có tính chất gọi phần tử sinh nhóm cyclic G, kí hiệu G = a Nhóm cyclic cấp n kí hiệu Cn Ta có: Cn = a = a/an = = 1, a1 , a2 , , an−1 Giả sử G nhóm với phần tử đơn vị a ∈ G Nếu am = với m > 0, ta nói a có cấp vơ hạn Nếu m số nguyên dương nhỏ cho am = m gọi cấp a Cấp phần tử a kí hiệu ord(a) Từ định nghĩa ta có ord(a) = a ord(a) = ⇔ a = Định nghĩa 1.1.1.13 Giả sử N nhóm nhóm G Với a ∈ G, tập hợp aN = an/n ∈ N , N a = na/n ∈ N gọi tương ứng lớp kề trái lớp kề phải N a Định nghĩa 1.1.1.15 Cho G nhóm với phép tốn nhân, nhóm H G gọi nhóm chuẩn tắc G ∀x ∈ G, với a ∈ H, xax−1 ∈ H, kí hiệu H G Định nghĩa 1.1.1.17 Cho G nhóm H ≤ G Ta gọi tập gồm tất lớp kề trái H G tập thương G H kí hiệu G/H G/H = xH/x ∈ G Lực lượng tập G/H gọi số nhóm H nhóm G kí hiệu [G : H] Mệnh đề 1.1.1.18 Cho H nhóm chuẩn tắc nhóm G Khi i) Quy tắc cho tương ứng cặp (xH, yH) với lớp kề xyH ánh xạ G/H × G/H → G/H ii) Tập thương G/H với phép tốn hai ngơi: (xH, yH) → xyH nhóm, gọi nhóm thương G nhóm chuẩn tắc H Mệnh đề 1.1.1.19 Cho G nhóm Tập hợp Z(G) = g ∈ G/gs = sg, ∀s ∈ G nhóm giao hốn chuẩn tắc G Định nghĩa 1.1.1.20 Cho nhóm G, nhóm Z(G) gọi nhóm tâm nhóm G Mệnh đề 1.1.1.21 Cho G nhóm H nhóm tâm Z(G) Khi G/H nhóm cyclic G nhóm giao hốn Định nghĩa 1.1.1.22 Cho x, y hai phần tử nhóm G Kí hiệu [x, y] = x−1 y −1 xy ∈ G gọi giao hoán tử x với y Định nghĩa 1.1.1.23 Cho G nhóm Nhóm sinh giao hốn tử [x, y], ∀x, y ∈ G, kí hiệu [G, G], gọi nhóm giao hốn tử nhóm G Mệnh đề 1.1.1.25 Cho H nhóm G thỏa mãn điều kiện [G : H] = Khi H G Mệnh đề 1.1.1.26.(Định lý Lagrange) Giả sử G nhóm hữu hạn H nhóm G Khi |G| bội |H| Hệ 1.1.1.27 Cấp phần tử tùy ý nhóm hữu hạn G ước cấp G Hệ 1.1.1.28 Mọi nhóm hữu hạn có cấp nguyên tố cyclic sinh phần tử bất kỳ, khác phần tử trung lập nhóm Mệnh đề 1.1.1.30 Cho X tập khác rỗng, kí hiệu S(X) tập gồm tất song ánh từ X đến X Tập S(X) với phép hợp thành ánh xạ nhóm Định nghĩa 1.1.1.31 Nhóm S(X) gọi nhóm đối xứng tập X hay nhóm phép X Đặc biệt tập X = {1, 2, , n} nhóm đối xứng S(X) kí hiệu Sn gọi nhóm đối xứng n phần tử Mệnh đề 1.1.1.32 Nhóm Sn có n! phần tử Mệnh đề 1.1.1.33 Một nghịch phép α ∈ Sn , n 2, cặp phần tử {i, j} ⊂ {1, 2, , n} cho (i − j) α(i) − α(j) < Định nghĩa 1.1.1.34 Ta gọi phép α phép chẵn hay lẻ tùy theo số nghịch α số chẵn hay số lẻ Mệnh đề 1.1.1.35 Tập gồm tất phép chẵn tập {1, 2, , n} nhóm chuẩn tắc nhóm Sn , ký hiệu An Định nghĩa 1.1.1.36 Nhóm An gọi nhóm thay phiên n phần tử, với n Định nghĩa 1.1.1.37 (a) Giả sử x1 , , xk phần tử đôi khác {1, 2, , n} Ta kí hiệu (x1 , x2 , , xk ) phép giữ nguyên phần tử khác x1 , x2 , xk , tác động x1 , , xk sau: x1 → x2 , x2 → x3 , , xk−1 → xk , xk → x1 Nó gọi xích với độ dài k tập {x1 , x2 , xk } (b) (x1 , , xk ) gọi xích phép α ∈ Sn α tác động giống (x1 , x2 , , xk ) phần tử x1 , x2 , xk (α tác động khơng tầm thường phần tử khác x1 , , xk ) Định lý 1.1.1.38 Mọi phép α ∈ Sn tích tất xích khác Các tập xích tập rời tập {1, 2, , n} 6 Ví dụ 1.1.1.39 Phép α = ∈ S6 viết thành tích xích α = (5) (3, 6) (1, 4, 2) Định nghĩa 1.1.1.40 Giả sử G G nhóm với phép tốn nhân Một ánh xạ ϕ : G → G gọi đồng cấu nhóm ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), với x,y ∈ G Định nghĩa 1.1.1.43 Cho đồng cấu nhóm ϕ : G → G Ký hiệu Kerϕ = ϕ−1 (1G ) = x ∈ G/ϕ(x) = 1G Im ϕ = ϕ(G) = ϕ(x)/x ∈ G Ta gọi Kerϕ Im ϕ hạt nhân ảnh đồng cấu ϕ 1.1.2 Một số kết p - nhóm hữu hạn Định nghĩa 1.1.2.1 Giả sử p số nguyên tố i) Nhóm H gọi p - nhóm cấp lũy thừa p ii) Nhóm H gọi p - nhóm G H vừa nhóm G vừa p - nhóm iii) Nhóm H gọi p - nhóm Sylow G H p - nhóm G |H| = pn lũy thừa cao p chia hết |G| Định nghĩa 1.1.2.2 Cho G nhóm, A B hai nhóm G x, y ∈ G i) Phần tử y gọi liên hợp với x tồn z ∈ G cho y = zxz −1 Tập hợp gồm tất phần tử liên hợp với x gọi lớp liên hợp x kí hiệu cl(x) ii) Nhóm B gọi liên hợp với nhóm A tồn z ∈ G cho B = zAz −1 , zAz −1 = zAz −1 /a ∈ A Định lý 1.1.2.3 (Định lý Sylow thứ nhất) Giả sử G nhóm hữu hạn p số nguyên tố chia hết |G| Khi tồn p - nhóm Sylow G Định lý 1.1.2.4 (Định lý Sylow thứ hai) Giả sử G nhóm hữu hạn Khi đó, p - nhóm G chứa p - nhóm Sylow G Định lý 1.1.2.5 (Định lý Sylow thứ ba) i) Mọi p - nhóm Sylow nhóm hữu hạn G liên hợp với ii) Gọi sp số p - nhóm Sylow phân biệt nhóm hữu hạn G Khi sp ≡ 1mod(p) hay sp = + kp, k ∈ N iii) sp chia hết cấp G Hệ 1.1.2.6 Giả sử H p - nhóm Sylow nhóm G, H ✂ G ⇔ sp = Định lý 1.1.2.7 Nếu G = {1} G p - nhóm, nhóm tâm Z(G) khơng tầm thường Định lý 1.1.2.8 Với p số nguyên tố nhóm có cấp p2 nhóm giao hốn 1.1.3 Tích trực tiếp Mệnh đề 1.1.3.1 Cho hai nhóm H K Tập hợp tích Descater G thỏa mãn điều kiện H ∩ K = {1} , hk = kh, ∀h ∈ H, k ∈ K Khi HK nhóm G đẳng cấu với H × K Định lý 1.1.3.11 Giả sử ϕ : G → H đồng cấu nhóm, K nhóm chuẩn tắc G πK : G → G/K phép chiếu tắc Điều kiện cần đủ để có đồng cấu nhóm ϕ : G/K → H cho ϕ = ϕ ◦ πK K ⊂ Kerϕ Khi đó, ϕ xác định 1.2 TỰ ĐẲNG CẤU NHÓM 1.2.1 Nhóm tự đẳng cấu Mệnh đề 1.2.1.1 Giả sử G nhóm Gọi Aut(G) tập hợp tất đẳng cấu nhóm từ G vào Khi đó, Aut(G) nhóm phép hợp thành ánh xạ Định nghĩa 1.2.1.2 Nhóm Aut(G) mệnh đề gọi nhóm tự đẳng cấu nhóm G 1.2.2 Nhóm tự đẳng cấu số nhóm hữu hạn Định lý 1.2.2.1 Cho Cn nhóm cyclic cấp n sinh phần tử a Khi nhóm tự đẳng cấu Cn nhóm giao hốn xác định sau Aut(Cn ) = ϕ/ϕ : Cn → Cn đồng cấu ϕ(a) = ak , k ∈ N, (k, n) = Mệnh đề 1.2.2.2 Nhóm tự đẳng cấu nhóm cyclic cấp p, với p số nguyên tố, nhóm cyclic cấp p − Hệ 1.2.2.3 Nhóm tự đẳng cấu nhóm cyclic cấp nhóm cyclic cấp Nếu C3 = a Aut(C3 ) =< ϕ/ϕ2 = id >, với ϕ tự đẳng cấu C3 xác định ϕ(a) = a2 , ∀a ∈ C3 Hệ 1.2.2.4 Nhóm tự đẳng cấu nhóm cyclic cấp nhóm cyclic cấp Nếu C4 = a Aut(C4 ) có hai phần tử xác định bảng sau: 10 Aut(C4 ) id = α1 α2 α(a) a a3 ord(α) Hệ 1.2.2.5 Nhóm tự đẳng cấu nhóm cyclic cấp p, p số nguyên tố lẻ, có phần tử cấp Định lý 1.2.2.6 Nếu p số ngun tố Aut(Cp × Cp ) ∼ = GL(2, Zp ), GL(2, Zp ) nhóm ma trận vuông cấp hai không suy biến trường Zp Định lý 1.2.2.7 Nếu p số ngun tố cấp nhóm GL(2, Zp ) là: GL(2, Zp ) = (p2 − 1)(p2 − p) Mệnh đề 1.2.2.8 Nhóm tự đẳng cấu Aut(C2 × C2 ) nhóm dihedral D3 Nếu C2 × C2 = {1, b, c, bc} Aut(C2 × C2 ) có phần tử xác định bảng sau Aut(C2 × C2 ) id = ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4 ϕ5 ϕ6 ϕ(b) b b c c bc bc ϕ(c) c bc b bc b c Định lý 1.2.2.10 Giả sử A nhóm giao hốn hữu hạn với cấp A |A| = pt11 pt22 ptkk p1 , p2 , , pk số nguyên tố đôi khác ti ∈ N Khi đó: A∼ = A(p1 ) × A(p2 ) × × A(pk ), với A(pi ) = ptii , i = 1, 2, , k Định lý 1.2.2.11 Mỗi p - nhóm giao hốn đẳng cấu với tích p - nhóm cyclic Hai phân tích khác thứ tự nhân tử 11 CHƯƠNG TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG Chương nội dung luận văn, trình bày số khái niệm, tính chất tích nửa trực tiếp hai nhóm áp dụng để xây dựng phân loại số lớp nhóm 2.1 TÍCH NỬA TRỰC TIẾP 2.1.1 Tích nửa trực tiếp ngồi Mệnh đề 2.1.1.1 Cho hai nhóm H, K θ : K → Aut(H) đồng cấu nhóm Khi tập hợp (h, k)/h ∈ H, k ∈ K với phép toán xác định (h, k) (h , k ) = hθ(k)(h ), kk nhóm, ký hiệu H θ K Định nghĩa 2.1.1.2 Cho H K hai nhóm θ : K → Aut(H) đồng cấu nhóm Nhóm H θ K gọi tích nửa trực tiếp ngồi hai nhóm H K Xét G := H bởi: θ K Lúc tồn đơn cấu tắc xác định H→G K→G h → (h, 1K ), h ∈ H k → (1H , k), k ∈ K Đồng h ≡ (h, 1K ) k ≡ (1H , k) H K xem hai nhóm G Định lý 2.1.1.3 Cho G := H θ K, đó: i) H nhóm chuẩn tắc G ii) HK = G 12 iii) H ∩ K = {1G } Nhận xét 2.1.1.4 i) Nếu θ đồng cấu tầm thường tích nửa trực tiếp H θ K tích trực tiếp H × K ii) Nếu H, K nhóm giao hốn θ đồng cấu tầm thường H θ K nhóm giao hốn iii) Nếu H, K hai nhóm hữu hạn |H θ K| = |H| × |K| Ví dụ 2.1.1.5 Xét K ∼ = C2 = b/b2 = = {1, b} H∼ = C4 = a/a4 = = 1, a, a2 , a3 Ta có: Aut (C4 ) = 1C3 , α với α xác định α(a) = a−1 Suy có hai đồng cấu từ nhóm K lên nhóm tự đẳng cấu Aut(H) θ : K → Aut(H) → 1C3 b→α đồng cấu tầm thường e Xét nhóm H θ K, ta có: (a, 1K )2 = (a, 1K )(a, 1K ) = (aθ(1K )(a), 1K ) = (a.1C3 (a), 1K ) = (a2 , 1K ) (a, 1K )4 = (a, 1K )2 (a, 1K )2 = (a2 , 1K )(a2 , 1K ) = (a2 θ(1K )a2 , 1K ) = (a2 1C3 (a2 ), 1K ) = (a4 , 1K ) = (1H , 1K ) (1H , b)2 = (1H , b)(1H , b) = (1H θ(b)1H , b2 ) = (α(1H ), 1K ) = (1H , 1K ) (1H , b).(a, 1K ).(1H , b) = (1H θ(b)(a), b)(1H , b) = (α(a), b).(1H , b) 13 = (a3 , b).(1H , b) = (a3 θ(b)(1H ), b2 ) = (a3 α(1H ), b2 ) = (a3 , b2 ) = (a3 , 1K ) = (a, 1K )−1 Dễ dàng kiểm chứng ánh xạ sau đơn cấu K→H θ K H→H b → (1H , b) θ K a → (a, 1K ) Đồng a ≡ (a, 1K ) b ≡ (1H , b) nhóm H H θ θ K có biểu diễn K = a, b/a4 = b2 = 1, bab−1 = a−1 Nhóm nhóm khơng giao hốn cấp đẳng cấu với nhóm D4 Với đồng cấu tầm thường e H e K tích trực tiếp H ×K ∼ = C4 × C2 Định lý 2.1.1.6 Nếu tồn α ∈ Aut(H) cho θ = θ ◦ α H θ K∼ =H θ K Định lý 2.1.1.7 Nếu θ θ liên hợp, nghĩa tồn α ∈ Aut(H) cho θ (k) = α ◦ θ(k) ◦ α−1 , với k ∈ K H θ K∼ =H θ K Định lý 2.1.1.8 Nếu K nhóm cyclic nhóm θ(K) Aut(H) liên hợp với θ (K) H θ K∼ =H θ K 2.1.2 Tích nửa trực tiếp Định nghĩa 2.1.2.1 Cho G nhóm H,K nhóm G Nhóm G gọi tích nửa trực tiếp H K nếu: i) H nhóm chuẩn tắc G ii) HK = G iii) H ∩ K = {1G } 14 Bổ đề 2.1.2.2 Cho G nhóm với hai nhóm H K Giả sử G = HK H ∩ K = {1G } Khi với g ∈ G biểu diễn dạng g = hk, h ∈ H k ∈ K Định lý 2.1.2.3 Giả sử G tích nửa trực tiếp hai nhóm H K Khi đó, G ∼ =H θ K, với θ : K → Aut(H) xác định θ(k)(h) = khk −1 , h ∈ H, k ∈ K Nhận xét 2.1.2.4 i) Ta thấy G nhóm có hai nhóm H K, H G, HK = G H ∩ K = {1G } tồn đồng cấu θ : K → Aut(H) cho G ∼ =H θ K Như ta xác định nhóm G biết nhóm K nhóm chuẩn tắc H G thỏa mãn H ∩ K = {1G } HK = G ii) Cho hai nhóm H K Gọi G = H θ K tích nửa trực tiếp ngồi H K Khi H nhóm chuẩn tắc G, H ∩ K = {1G } HK = G Do G ∼ = H θ K với θ (k)(h) = khk −1 , k ∈ K, h ∈ H Tuy nhiên θ, θ iii) Nếu G nhóm cyclic cấp p2 (p số ngun tố) G khơng phải tích nửa trực tiếp G có nhóm cấp p Định lý 2.1.2.5 Cho G nhóm có hai nhóm chuẩn tắc H K cho H ∩ K = {1G } , HK = G Khi đồng cấu θ : K → Aut(H) cho θ(k)(h) = khk −1 , h ∈ H, k ∈ K đồng cấu tầm thường 2.2 ỨNG DỤNG 2.2.1 Biểu diễn nhóm dihedral, nhóm quaternion tổng quát nhóm đối xứng qua tích nửa trực tiếp 2.2.1.1 Nhóm dihedral (a) Xét đa giác n cạnh Pn với n > Gọi a phép quay mặt phẳng 15 xung quanh tâm Pn góc (có hướng) 2π/n, b phép đối xứng qua đường thẳng qua tâm Pn đỉnh Khi đó, tất phép đối xứng Pn (tức biến đổi đẳng cự mặt phẳng biến Pn thành nó) liệt kê sau: 1, a, a2 , , an−1 , b, ab, , an−1 b Chúng lập thành nhóm khơng giao hốn cấp 2n, kí hiệu Dn , gọi nhóm Dihedral Nhóm Dn biểu thị sau Dn = a, b/an = 1, b2 = 1, (ab)2 = (b) Nhóm D3 phép đối xứng tam giác P3 đồng với nhóm đối xứng S3 đỉnh P3 Nói rõ hơn, ta có đẳng cấu nhóm D3 ∼ = S3 , đẳng cấu đặt tương ứng a → (1, 2, 3), b → (1, 2) Ở phép (1, 2, , k) ∈ Sn với k n định nghĩa ánh xạ → 2, → 3, , (k − 1) → k, k → giữ nguyên j > k Nếu n = Dn = Sn , chúng có số phần tử khác 2.2.1.2 Mệnh đề Với n ∈ N, n Ta có Dn ∼ = Cn C2 = s , Cn = r θ : C2 → Aut(Cn ), với θ(s)(ri ) = r−i Chứng minh Với Dn = bj /j = 0, i = 0, n − 1} Xét ánh xạ ϕ : Dn → Cn θ C2 bj → ϕ(ai bj ) = (ri , sj ) Lúc ϕ đồng cấu nhóm Thật vậy, ∀x, y ∈ Dn , x = bj , y = ah bk , ta có: ϕ(x)ϕ(y) = ϕ(ai bj )ϕ(ah bk ) = ϕ(ai )ϕ(bj )ϕ(ah )ϕ(bk ) 16 θ C2 , = (ri , 1C2 )(1Cn , sj )(rh , 1C2 )(1Cn , sk ) ϕ(xy) = ϕ(ai bj ah bk ) = ϕ(ai )ϕ(bj )ϕ(ah )ϕ(bk ) = (ri , 1C2 )(1Cn , sj )(rh , 1C2 )(1Cn , sk ) Suy ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) Do ϕ đồng cấu Dễ kiểm tra ánh xạ ϕ−1 : Cn θ C2 → Dn (ri , sj ) → bj ánh xạ ngược ϕ Vậy ϕ đẳng cấu nhóm ta có: Dn ∼ = Cn θ C2 2.2.1.3 Nhóm quaternion tổng quát Cho n ∈ N, n > Nhóm quaternion tổng qt, kí hiệu Qn , nhóm sinh hai phần tử a, b quan hệ sau: Qn = a, b/a2 n−1 n−2 = 1, a2 = b2 , bab−1 = a−1 nhóm Qn khơng giao hốn có 2n phần tử, có nhóm cấp Z(Qn ) Khi n = 3, ta có nhóm quaternion Q8 quen biết Q8 = a, b/a4 = 1, a2 = b2 , bab−1 = a−1 2.2.1.5 Mệnh đề Cho nhóm G = C2n−1 θ C4 , n ∈ N, n > 2, C2n−1 = c nhóm cyclic cấp 2n−1 , C4 = d nhóm cyclic cấp 4, đồng i cấu θ : C4 → Aut(C2n−1 ) xác định θ(di ) (cj ) = c(−1) j Khi n−2 i) ord((c2 ii) Q2n ∼ =G n−2 , d2 )) = (c2 n−2 c2 , d2 , d2 ) ∈ Z(G) 2.2.1.6 Mệnh đề Cho nhóm đối xứng Sn , n > 2, An nhóm thay phiên Sn , phép (1, 2) ∈ Sn Khi 17 Sn = An θ (1, 2) , θ : (1, 2) → Aut(An ) với θ (1, 2) (σ) = (1, 2) ◦ σ ◦ (1, 2) 2.2.2 Xây dựng phân loại nhóm cấp 2p, với p số nguyên tố lẻ Định lý 2.2.2.2 Cho p số nguyên tố lẻ Khi nhóm có cấp 2p đẳng cấu với nhóm cyclic cấp 2p đẳng cấu với nhóm dehidral Dp Chứng minh Giả sử G nhóm có cấp 2p, theo Định lý Sylow thứ ??, G có p – nhóm Sylow H cấp p – nhóm Sylow K cấp Vì [G : H] = nên H HK = G H ∩ K = {1G } Do G ∼ =H θ K, G Đồng thời, với θ đồng cấu từ nhóm K lên nhóm tự đồng cấu Aut(H) K∼ = C2 = b/b2 = = {1, b} Ta có: H∼ = Cp = a/ap = = 1, a, a2 , , ap−1 Theo Mệnh đề ??, H nhóm cyclic cấp p nên Aut(H) nhóm cyclic cấp p − Vì p số nguyên tố lẻ nên p − số chẵn, theo Hệ ?? nhóm Aut(H) có phần tử cấp Dễ dàng kiểm tra ánh xạ α : H → H, với α(a) = ap−1 tự đẳng cấu Hơn α2 (a) = α(α(a)) = α(ap−1 ) = a(p−1) = ap(p−2)+1 = a Suy ord(α) = Vậy α phần tử cấp Aut(H) Vì K = b nhóm cyclic cấp nên có hai đồng cấu từ K đến Aut(H) đồng cấu tầm thường đồng cấu θ : K → Aut(H), với θ(b) = a Xét nhóm H θ K, ta có: 18 (a, 1K )2 = (a, 1K )(a, 1K ) = (aθ(1K )a, 1K ) = (a.1Cp (a), 1K ) = (a2 , 1K ) (a, 1K )3 = (a, 1K )(a, 1K )2 = (a, 1K )(a2 , 1K ) = (aθ(1K )a2 , 1K ) = (a.1Cp (a2 ), 1K ) = (a3 , 1K ) Bằng quy nạp theo n ta có (a, 1K )n = (a, 1K )(a, 1K )n−1 = (a, 1K )(an−1 , 1K ) = (aθ(1K )an−1 , 1K ) = (a.1Cp (an−1 ), 1K ) = (an , 1K ) Vậy n = p (a, 1K )p = (1H , 1K ) (1H , b)2 = (1H , b)(1H , b) = (1H θ(b)1H , b2 ) = (α(1H ), 1K ) = (1H , 1K ) (1H , b)(a, 1K )(1H , b) = (1H θ(b)a, b)(1H , b) = (α(a), b).(1H , b) = (ap−1 , b).(1H , b) = (ap−1 θ(b)(1H ), b2 ) = (ap−1 α(1H ), b2 ) = (ap−1 , b2 ) = (ap−1 , 1H ) = (a, 1K )−1 Dễ dàng kiểm chứng hai ánh xạ sau hai đơn cấu K→H θK H → H b → (1H , b) θK a → (a, 1K ) Đồng a ≡ (a, 1K ) b ≡ (1H , b) nhóm H H θK θK có biểu diễn = a, b/ap = b2 = 1, bab−1 = ap−1 Nhóm nhóm khơng giao hốn cấp 2p đẳng cấu với nhóm Dp Với θ1 : K → Aut(H) đồng cấu tầm thường theo Nhận xét ?? 19 H θK H × K ∼ = Cp × C2 ∼ = C2p Vì C2p nhóm cyclic Dp nhóm khơng giao hốn nên hai nhóm khơng đẳng cấu với Vậy có hai nhóm có cấp 2p khơng đẳng cấu với C2p Dp 2.2.3 Xây dựng phân loại nhóm cấp p3 , với p số nguyên tố lẻ Mệnh đề 2.2.3.1 Một p - nhóm cấp pn , có nhóm chuẩn tắc cấp pm , ∀m n Mệnh đề 2.2.3.2 Cho G nhóm khơng giao hốn cấp p3 , với p số nguyên tố lẻ Khi đó, G chứa nhóm chuẩn tắc H cấp p2 nhóm K cấp p cho H ∩ K = {1} Hệ 2.2.3.3 Nếu G nhóm khơng giao hoán cấp p3 , với p số ngun tố lẻ, G tích nửa trực tiếp nhóm chuẩn tắc H cấp p2 với nhóm K cấp p Nhận xét 2.2.3.4 Xét H nhóm cấp nhóm quaternion Q8 Do Q8 có phần tử cấp 2, phần tử thuộc H, nên khơng tồn nhóm K cấp Q8 mà H ∩ K = {1} Do p = 2, Hệ ?? không đúng, nghĩa nhóm Q8 khơng phải tích nửa trực tiếp hai nhóm thực Định lý 2.2.3.5 Nếu p số nguyên tố lẻ, có hai nhóm khơng giao hốn cấp p3 (sai khác đẳng cấu) Ep3 Mp3 Chứng minh Giả sử G nhóm khơng giao hốn cấp p3 , với p số nguyên tố lẻ Theo Hệ ?? G tích nửa trực tiếp nhóm H cấp p2 với nhóm K cấp p Vì |H| = p2 nên H nhóm giao hốn, H ∼ = Cp2 H ∼ = C p × Cp 20 i) Nếu H ∼ = Cp Vì Aut(H) nhóm cyclic cấp = Cp2 = x , K = y ∼ p(p − 1), nên Aut(H) chứa nhóm cyclic cấp p sinh phần tử γ : H → H, với γ(x) = xp+1 Xét đồng cấu θ : K → Aut(H) y → θ(y) = γ Vì Aut(H) có nhóm cấp p, nên đồng cấu không tầm thường θ : K → Aut(H), có θ (K) = θ(K) Theo Định lý ?? có (sai khác đẳng cấu) nhóm khơng giao hốn cấp p3 trường hợp H θK (x, 1K )2 = (x, 1K ) (x, 1K ) = (xϕ(1K )x, 1K ) = (x2 , 1K ) Bằng quy nạp theo n ta có (x, 1K )n = (x, 1K )n−1 (x, 1K ) = xn−1 , 1K (x, 1K ) =(xn−1 θ(1K )x, 1K ) = (xn−1 x, 1K ) = (xn , 1K ) 2 Vậy n = p2 (x, 1K )p = (xp , 1K ) = (1H , 1K ) (1H , y)n = (1H , y)(1H , y)n−1 = (1H , y)(1H , y n−1 ) = (1H θ(y)1H , y n ) = (γ(1H , y n ) = (1H , y n ) Vậy n = p (1H , y)p = (1H , y p ) = (1H , 1K ) (1H , y)(x, 1K )(1H , y)−1 = (1H , y)(x, 1K )(1H , y)p−1 = (1H θ(y)x, y)(1H , y p−1 ) = (γ(x), y)(1H , y p−1 ) = (xp+1 , y) = (xp+1 , y)(1H , y p−1 ) = (xp+1 θ(y)1H , y p ) 21 = (xp+1 γ(1H ), 1K ) = (xp+1 , 1K ) = (x, 1K )p+1 Dễ dàng kiểm chứng hai ánh xạ sau đơn cấu H→H θK K → H x → (x, 1K ) θK y → (1H , y) Đồng x ≡ (x, 1K ) y ≡ (1H , y) Khi nhóm H θK có biểu diễn H θK = x, y/xp = 1, y p = 1, yxy −1 = xp+1 nhóm thường ký hiệu Ep3 ii) Nếu H ∼ = Cp × Cp = a, b , với ab = ba, (a ≡ (a, 1) , b ≡ (b, 1)) Ta có Aut(H) ∼ = GL(2, Zp ), nhóm có cấp p(p − 1) (p + 1) Nhóm Aut(H) chứa p – nhóm Sylow cấp p, sinh phần tử γ xác định sau: γ : H → H, với γ(a) = ab γ(b) = b Xét đồng cấu θ : K = c → Aut(H), với θ(c) = γ Tương tự trường hợp i) nhóm H×θ K , ta có: (a, 1K )p = 1, (b, 1K )p = 1, (1H , c)p = (a, 1K )(b, 1K ) = (b, 1K )(a, 1K ) (1H , c)(a, 1K )(1H , c)−1 = (a, 1K ) (1H , c)(b, 1K )(1H , c)−1 = (a, 1K )(b, 1K ) Đồng a ≡ (a, 1K ), b ≡ (b, 1K ) c = (1H , c) Khi đó, nhóm H θK có biểu diễn H θK = a, b, c/ap = bp = cp = 1, ab = ba, ac = ca, cbc−1 = ab nhóm thường ký hiệu Mp3 Từ hai nhóm Ep3 Mp3 ta thấy nhóm Ep3 có phần tử x cấp p2 , 22 phần tử khác đơn vị nhóm Mp3 có cấp p Vậy hai nhóm Mp3 Ep3 khơng đẳng cấu Hệ 2.2.3.6 Với p số nguyên tố lẻ, có năm nhóm cấp p3 (sai khác đẳng cấu) 2.2.4 Xây dựng phân loại nhóm cấp 12 Bổ đề 2.2.4.1 Mọi nhóm cấp 12 có nhóm chuẩn tắc cấp nhóm chuẩn tắc cấp Mệnh đề 2.2.4.2 Cho G nhóm cấp 12 Nếu s2 = s3 = 1, G nhóm giao hốn Mệnh đề 2.2.4.3 Mọi nhóm khơng giao hốn cấp 12 có nhóm chuẩn tắc cấp đẳng cấu với nhóm thay phiên A4 Mệnh đề 2.2.4.4 Mọi nhóm khơng giao hốn có cấp 12 chứa nhóm chuẩn tắc cấp đẳng cấu với nhóm diheral D6 nhóm C3 Hơn hai nhóm D6 C3 θ C4 θ C4 không đẳng cấu Hệ 2.2.4.5 Có năm nhóm cấp 12 sai khác đẳng cấu, có hai nhóm giao hốn C12 , C2 × C2 × C3 ba nhóm khơng giao hốn A4 , D6 , C3 θ C4 Nhận xét 2.2.4.6 Theo Hệ ?? Mệnh đề ?? khơng tồn nhóm khơng giao hốn cấp 12 có chứa đồng thời nhóm chuẩn tắc cấp nhóm chuẩn tắc cấp 23 KẾT LUẬN Luận văn " Tích nửa trực tiếp ứng dụng" thực mục tiêu đề ra, cụ thể thu thập đọc hiểu tài liệu tích nửa trực tiếp, từ trình bày lại vấn đề sau: 1) Trình bày khái niệm tích nửa trực tiếp hai nhóm, kết liên quan 2) Biểu diễn nhóm dihedral, nhóm quaternion tổng quát nhóm đối xứng qua tích nửa trực tiếp 3) Dùng tích nửa trực tiếp để xây dựng phân loại nhóm có cấp 2p, cấp p3 với p số nguyên tố lẻ, nhóm có cấp 12 Hy vọng nội dung luận văn tiếp tục hoàn thiện mở rộng nữa, nhằm chứng tỏ tầm quan trọng tính hiệu tích nửa trực tiếp tốn xác định phân loại nhóm hữu hạn 24 ... với tích p - nhóm cyclic Hai phân tích khác thứ tự nhân tử 11 CHƯƠNG TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG Chương nội dung luận văn, trình bày số khái niệm, tính chất tích nửa trực tiếp hai nhóm áp dụng. .. Luận văn " Tích nửa trực tiếp ứng dụng" thực mục tiêu đề ra, cụ thể thu thập đọc hiểu tài liệu tích nửa trực tiếp, từ trình bày lại vấn đề sau: 1) Trình bày khái niệm tích nửa trực tiếp hai nhóm,... cho luận văn thạc sĩ " TÍCH NỬA TRỰC TIẾP VÀ ỨNG DỤNG" Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cấu trúc nhóm p - nhóm - Tìm hiểu tích trực tiếp, tích nửa trực tiếp hai nhóm - Tìm hiểu quan hệ