Bài toán dựng hình và ứng dụng lý thuyết galois vào dựng hình (2018)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN PHAN THỊ THOA BÀI TỐN DỰNG HÌNH VÀ ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT GALOIS VÀO DỰNG HÌNH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN PHAN THỊ THOA BÀI TỐN DỰNG HÌNH VÀ ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT GALOIS VÀO DỰNG HÌNH Chun ngành: Tốn Dựng Hình KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học ThS Nguyễn Thị Trà Hà Nội - 2018 Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Lời nói đầu Bài tốn dựng hình 1.1 Các tiên đề tốn dựng hình 1.1.1 Định nghĩa tốn dựng hình 1.1.2 Các tiên đề chung hình học dựng hình 1.1.3 Các tiên đề dụng cụ dựng hình 1.1.4 Các phép dựng hình 1.2 Các tốn dựng hình 1.3 Giải tốn dựng hình 1.3.1 Một số khái niệm 1.3.2 Các bước giải tốn dựng hình 1.4 Một số phương pháp giải tốn dựng hình 1.4.1 Dựng hình phương pháp phép biến hình 1.4.2 Dựng hình phương pháp quỹ tích tương giao 1.4.3 Dựng hình phương pháp đại số 1.5 Dựng hình dụng cụ hạn chế 1.5.1 Dựng hình compa 1.5.2 Dựng hình thước 1.6 Một số tập 1.6.1 Bài tập có lời giải 1.6.2 Bài tập tự giải 7 7 9 10 10 10 14 14 19 23 28 28 29 31 31 34 ỨNG DỤNG LÍ THUYẾT GALOIS VÀO DỰNG HÌNH 35 2.1 Kiến thức liên quan 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2 Phan Thị Thoa 2.1.1 Mở rộng chuẩn tắc mở rộng tách 36 2.1.2 Mở rộng Galois 36 Ứng dụng lí thuyết Galoa vào giải số tốn dựng hình 38 Lời cảm ơn Trước em trình bày nội dung khóa luận này, em xin đặc biệt gửi lời cảm ơn sâu sắc đến ThS Nguyễn Thị Trà, người trực tiếp hướng dẫn bảo em tận tình suốt trình học tập làm khóa luận để em hồn thành tốt khóa luận Em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy khoa Tốn, thầy tổ mơn hình học trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập mái trường thân yêu Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè quan tâm động viên tạo điều kiện tốt để em hồn thành tốt khóa luận Một lần em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu đó! Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Phan Thị Thoa Lời cam đoan Khóa luận hồn thành kết trình tìm hiểu, học tập nỗ lực thân, hướng dẫn bảo ThS Nguyễn Thị Trà Trong khóa luận em có tham khảo thêm số tài liệu Em xin cam đoan kết khóa luận khơng chép từ khóa luận Em xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Phan Thị Thoa Lời nói đầu 1, Lý chọn đề tài Tốn học mơn học có vai trò quan trọng đời sống xã hội ứng dụng rộng rãi nhiều ngành nghề Hình học phân nhánh tốn học, có nhiều dạng toán hay giúp rèn luyện kĩ tư logic, tưởng tượng cho người học Các dạng tốn hình học thường phức tạp, đòi hỏi người học có khả phân tích, quan sát tư tốt Điều thể rõ số dạng toán hình học tốn dựng hình Các tốn dựng hình giới thiệu cho học sinh, từ ngày đầu làm quen với hình học Việc giải tốn dựng hình quan trọng, có tính ứng dụng cao thực tiễn kiến trúc, xây dựng, cầu đường, trắc địa Tuy nhiên có nhiều tốn dựng hình để tìm lời giải khơng đơn giản Để giải tốn dựng hình có nhiều phương pháp dựng hình phương pháp đại số, phương pháp quỹ tích tương giao, có tốn khơng dựng cách xác, ví dụ "ba tốn khó thời cổ đại" mà đời chúng có ảnh hưởng lớn tới phát triển tốn học Ba toán xuất vào khoảng kỉ IV đến kỉ VI trước công nguyên, trải qua thời gian hàng nghìn năm với nỗ lực khơng ngừng, nhà tốn học giới chưa tìm lời giải cho tốn Cho tới kỉ XIX, nhờ có nhà tốn học Évariste Galois (1811-1832) với lý thuyết mang tên ơng đưa xét tính giải tốn dựng hình thước kẻ compa, chứng minh ba tốn khó thời cổ đại khơng dựng thước compa Với giúp đỡ cô hướng dẫn ThS Nguyễn Thị Trà từ niềm say mê, hứng thú thân với hình học, em chọn đề tài " Bài tốn dựng hình ứng dụng lý thuyết Galois vào dựng hình" làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Qua em có hội tìm hiểu sâu hình học nói chung tốn dựng hình nói riêng Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phan Thị Thoa Nội dung khóa luận gồm chương: Chương 1: Bài tốn dựng hình: Trong chương em xin giới thiệu tổng quan lý thuyết liên quan đến toán dựng hình phương pháp dựng hình Chương 2: Ứng dụng lý thuyết Galois vào dựng hình: Trong chương này, em trình bày sơ lược lý thuyết Galois ứng dụng vào tốn: chia ba góc, cầu phương hình tròn, gấp đơi thể tích hình lập phương tốn chia đường tròn thành n phần 2, Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu cách tổng quan tốn dựng hình số ứng dụng lý thuyết Galois dựng hình thước kẻ compa 3, Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Bài tốn dựng hình ứng dụng lý thuyết Galois vào dựng hình - Phạm vi nghiên cứu: Trong mặt phẳng với dụng cụ dựng hình thước compa 4, Nhiệm vụ nghiên cứu - Hệ thống tiên đề dựng hình, khái niệm kiến thức có liên quan đến dựng hình - Các phương pháp giải tốn dựng hình - Hệ thống số ứng dụng lý thuyết Galois dựng hình thước kẻ compa 5, Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp - Nghiên cứu sách tham khảo, tài liệu có liên quan Chương Bài tốn dựng hình 1.1 1.1.1 Các tiên đề tốn dựng hình Định nghĩa tốn dựng hình Phần hình học người ta nghiên cứu phép dựng hình gọi hình học dựng hình Bài tốn dựng hình tốn người ta yêu cầu xây dựng hình, cho thỏa mãn điều kiện cho trước cách sử dụng dụng cụ dựng hình quy định trước 1.1.2 Các tiên đề chung hình học dựng hình Trước hết, vào tìm hiểu tiên đề giúp giải tốn dựng hình Tiên đề Mọi hình cho coi dựng Tiên đề Nếu dựng hai (hay nhiều) hình hợp hình dựng dựng Tiên đề Với hai hình dựng ta xác định hiệu chúng có tập rỗng hay khơng Ví dụ, cho đường thẳng điểm C ,D,E F điểm thẳng hàng theo thứ tự nằm đường thẳng Giả sử đoạn thẳng CE DF dựng Khi nửa khoảng CD hiệu nửa khoảng CE DF Tiên đề Nếu hiệu hai hình dựng tập khơng rỗng Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phan Thị Thoa hiệu dựng Tiên đề Với hai hình dựng ta xác lập giao chúng có tập rỗng hay khơng Ví dụ, Cho trước đường tròn điểm dựng điểm có thuộc đường tròn hay khơng phải xác định Với hai đường tròn cho trước ta nói chúng có điểm chung hay khơng Tiên đề Nếu giao hai hình dựng tâp khác rỗng giao dựng Tiên đề Ta dựng điểm, cho biết thuộc vào hình dựng Tiên đề Ta dựng điểm, cho biết khơng thuộc vào hình dựng Những tiên đề đóng vai trò quan trọng lý thuyết dựng hình đồng thời chúng thừa nhận khơng chứng minh dùng làm sở logic hình học dựng hình 1.1.3 Các tiên đề dụng cụ dựng hình Khi nói đến tốn dựng hình điều ta quan tâm đến dụng cụ để dựng hình Bộ dụng cụ dựng hình thường dùng thước thẳng compa a, Tiên đề thước biên Với thước, cho phép thực phép dựng hình sau: Tiên đề T1 - Dựng đoạn thẳng nối hai điểm dựng Tiên đề T2 - Dựng đường thẳng qua hai điểm dựng Tiên đề T3 - Dựng tia xuất phát từ điểm dựng qua điểm khác dựng b, Tiên đề compa Với compa, cho phép thực phép dựng hình sau: Tiên đề C1 - Dựng đường tròn biết tâm đường tròn đoạn thẳng bán kính đường tròn (hay điểm mút đoạn thẳng đó) dựng Tiên đề C2 - Dựng cung hai cung bù đường tròn tâm đường tròn điểm mút cung dựng Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phan Thị Thoa Dựng điểm B = N H ∩ C(O, p) Dựng điểm C cho C = N H ∩ (N, N B) Dựng đoạn thẳng AB , BC CA Khi ta có ∆ABC cần dựng - Chứng minh Theo cách dựng ta có AH⊥BC , độ dài AH = h nên AH đường cao ứng với đỉnh A ∆ABC cần dựng Lại có C = N H ∩ (N, N B) suy N C = N B N ∈ BC Do đó, N trung điểm BC Ta có AO = AN O ∈ AN - đường trung tuyến ∆ABC Suy ra, O trọng tâm ∆ABC Gọi P = BO ∩ AC nên BO = BP (do O trọng tâm ∆ABC ) 3 Hay BP = BO = p = p 2 Do đó, BP đường trung tuyến cần dựng ∆ABC Vậy ∆ABC dựng thỏa mãn yêu cầu toán - Biện luận Xét phép dựng: + Phép dựng nếu: n < h: không dựng ∆AHN n = h : dựng ∆AHN (∆AHN suy biến thành đoạn thẳng AH ) n > h: dựng ∆AHN + Phép dựng 2: dựng điểm O + Phép dựng 3: kẻ P K⊥BC K AH Suy BP ≥ P K hay BP ≥ hay 2p ≥ h Do nếu: 2p < h : không dựng điểm B 2p = h : dựng điểm B 2p > h : dựng điểm B + Các phép dựng thực Kết luận: + Nếu n < h; p n ≥ h; 2p < h tốn khơng có nghiệm hình + Nếu n = h; 2p > h n > h; 2p = h tốn có nghiệm 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phan Thị Thoa hình + Nếu n > h 2p > h tốn có nghiệm hình Bài tốn 2: Trong mặt phẳng cho bốn đường thẳng a, m, n ∆ thỏa mãn m n đường thẳng a, ∆ cắt đường thẳng m,n Hãy dựng tam giác AM N có điểm A, M, N thuộc đường thẳng a, m n cho đường thẳng M N ∆ Lời giải - Phân tích Giả sử dựng ∆AM N thỏa mãn yêu cầu đề Gọi điểm M N giao đường thẳng ∆ với đường thẳng m n Ta có M M N N (do m n) M N M N (do M N ∆) Hay M N N M hình bình hành −−−→ −−→ → − Suy M M = N N (= b ) − :∆AM N → ∆A M N tam giác Xét phép tịnh tiến T(−→ b) Khi A xác định điểm M , N cố định ∆A M N tam giác Điểm A xác định A giao của đường thẳng a đường thẳng qua A song song với đường thẳng a Điểm M N xác định chúng ảnh điểm M , N qua phép tịnh tiến T−−→ AA Vậy ∆AM N dựng 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phan Thị Thoa - Dựng hình Dựng M , N giao đường thẳng ∆ với đường thẳng m, n Dựng tam giác A M N Dựng đường thẳng ∆ qua A song song với đường thẳng m Dựng điểm A giao đường thẳng ∆ đường thẳng a −−→ → − − Đặt A A = b , dựng M , N ảnh M , N qua phép tịnh tiến T→ b Dựng đoạn thẳng AM , AN M N Ta ∆AM N cần dựng - Chứng minh Từ cách dựng ta có điểm A ∈ a Mặt khác hai đường thẳng m n song song với phương với → − b nên M ∈−− m−→ N−∈ n −→ Ta dễ thấy M M = N N suy M N M N hay M N ∆ Vậy ∆AM N thỏa mãn yêu cầu đề - Biện luận Ta có hai vị trí A , nên có hai điểm A dựng Bài tốn cho có hai nghiệm hình 1.6.2 Bài tập tự giải Bài Dựng hình thang có độ dài cạnh đáy a, độ dài hai đường chéo m m1 độ dài đường cao h Bài Dựng ∆ABC biết độ dài hai đường cao AH h, BK k độ dài đường trung tuyến AM m Bài Cho góc xOy hai điểm phân biệt A, B Hãy dựng điểm C Ox để đường thẳng CA, CB cắt Oy D, E độ dài CD = CE Bài Dựng hình thang ABCD biết số đo góc ADC = 45o , độ dài cạnh đáy AB 3cm, độ dài cạnh đáy CD 6cm độ dài cạnh bên BC 4cm Bài Cho ba điểm M , N P điểm không thẳng hàng Hãy dựng điểm Q cho M N P Q hình bình hành compa 34 Chương ỨNG DỤNG LÍ THUYẾT GALOIS VÀO DỰNG HÌNH Lý thuyết Galois lý thuyết khó đại số Nó tập hợp nhiều kiến thức phương pháp lĩnh vực toán học nhằm giải vấn đề quan trọng khác đại số đại nói riêng hay tốn học nói chung Một ứng dụng quan trọng tìm nghiệm thức phương trình đa thức, đặc biệt phương trình bậc lớn bốn giải thức Trong lịch sử hình học dựng hình, vấn đề đặt tốn dựng hình trở nên tiếng Cho đến tận kỷ XIX toán dựng hình giải đầy đủ người ta chứng minh tính khơng thực vài phép dựng hình lý thuyết Galois Có thể kể đến ba toán cổ tiếng: sử dụng thước kẻ compa để chia ba góc, gấp đơi hình lập phương hay cầu phương hình tròn Ngồi ra, lý thuyết Galois giúp ta giải vấn đề dựng đa giác n cạnh thước compa Trong đề tài trọng đến ứng dụng kết lý thuyết Galoa vào giải tốn dựng hình nên việc chứng minh định lí, tính chất bổ đề tơi khơng đưa vào khóa luận Bạn đọc tham khảo cách chứng minh nội dung cách chi tiết tài liệu [3] Sau đây, tìm hiểu số kiến thức sở lý thuyết Galois tính ứng dụng vào tốn dựng hình thước kẻ compa 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.1 2.1.1 Phan Thị Thoa Kiến thức liên quan Mở rộng chuẩn tắc mở rộng tách Định nghĩa 2.1.1 Mở rộng đại số F trường K gọi chuẩn tắc K đa thức bất khả quy p(x) ∈ K [x] có nghiệm F có tất nghiệm F Định lí 2.1.1 Một mở rộng F có bậc hữu hạn trường K chuẩn tắc K trường nghiệm đa thức K √ Ví dụ 2.1.1 E = Q( 2) trường nghiệm x2 − nên E mở rộng chuẩn tắc Q Định nghĩa 2.1.2 Đa thức f (x) ∈ K [x] bậc n ≥ gọi tách trường K , có n nghiệm phân biệt trường nghiệm N ⊃ K Trong trường hợp trái lại f (x) gọi không tách Mở rộng K ⊂ H gọi tách K , phần tử H thỏa mãn đa thức tách Mệnh đề 2.1.1 Cho dãy mở rộng trường K ⊂ E ⊂ H Nếu H tách K E tách K H tách E Mệnh đề 2.1.2 Giả sử f (x) đa thức trường K Đa thức f (x) tách f (x) f (x) khơng có nghiệm chung Hệ 2.1.1 Đa thức bất khả quy f (x) ∈ K[x] không tách đa thức f (x) = Hệ 2.1.2 Mọi mở rộng có bậc hữu hạn chuẩn tắc tách trường nghiệm đa thức tách 2.1.2 Mở rộng Galois Định nghĩa 2.1.3 Mở rộng bậc hữu hạn F trường K gọi mở rộng Galois chuẩn tắc tách 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phan Thị Thoa Ví dụ 2.1.2 Trường chia đường tròn Rn (trường nghệm đa thức xn − trường nguyên tố) Q mở rộng Galois với nhóm Galois đẳng cấu với nhóm nhân Z∗n lớp khả nghịch Ví dụ 2.1.3 Trường hữu hạn Fq , q = pn mở rộng Galois trường nguyên tố Zp Nó có nhóm Galois G = G(F/Zp ) nhóm xyclic sinh tự đẳng cấu θ : a → ap với a ∈ Fq Các đặc trưng mở rộng Galoa Định lí 2.1.2 Cho F mở rộng bậc hữu hạn trường K với nhóm K -tự đẳng cấu G Khi đó, điều kiện sau tương đương: i, F mở rộng Galoa K ii, Tập hợp phần tử F bất biến tự đẳng cấu nhóm K -tự đẳng cấu G K iii, Cấp nhóm K -tự đẳng cấu G bậc mở rộng [F : K] Định lí 2.1.3 Trường F mở rộng Galoa trường K F trường nghiệm đa thức tách K Hệ 2.1.3 Nếu trường F mở rộng trường K cố đặc số điều sau tương đương: i, F mở rộng Galoa ii, F mở rộng bậc hữu hạn chuẩn tắc iii, F trường nghiệm đa thức K Định lí 2.1.4 Cho F mở rộng Galoa K Khi hai phần tử F liên hợp K tồn K - đẳng cấu biến phần tử thành phần tử khác Mở rộng mở rộng bậc hai a, Mở rộng Định nghĩa 2.1.4 Mở rộng F trường sở K gọi mở rộng tồn dãy mở rộng K ⊂ Ko ⊂ K1 ⊂ ⊂ Ks = F 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phan Thị Thoa cho Ki = Ki−1 (θi ), θini = ∈ Ki−1 - Lưu ý rằng, dãy trường Ki khơng mở rộng chuẩn tắc trường Ki−1 , trường F khơng chuẩn tắc K Bổ đề 2.1.1 Giả sử K trường tùy ý, E mở rộng chuẩn chuẩn tắc có bậc hữu hạn K F mở rộng chuẩn tắc có bậc hữu hạn E Khi đó, F mở rộng chuẩn tắc K F trường nghiệm E đa thức K Định lí 2.1.5 Mọi mở rộng F trường sở K chứa mở rộng F đồng thời mở rộng chuẩn tắc K , ta nói F mở rộng mở rộng chuẩn tắc K b, Mở rộng bậc hai Định nghĩa 2.1.5 Một mở rộng F trường K gọi mở rộng bậc hai (hay mở rộng Pitago) F = K(u1 , u2 , , un ), u2i ∈ K u2i ∈ K(u1 , u2 , , ui−1 ) (i = 2, , n) Mệnh đề 2.1.3 Bậc [F : K] mở rộng bậc hai lũy thừa bậc 2, tức 2n (n ∈ N∗ ) Mệnh đề 2.1.4 Gỉa sử F mở rộng chuẩn tắc K có bậc [F : K] = 2n , F mở rộng bậc hai K Mệnh đề 2.1.5 Mọi mở rộng bậc hai F K chứa mở rộng bậc hai chuẩn tắc Định lí 2.1.6 Nghiệm đa thức p(x) bất khả quy trường K dựng thước kẻ compa bậc trường nghiệm E đa thức p(x) K lũy thừa 2.2 Ứng dụng lí thuyết Galoa vào giải số tốn dựng hình Bài (Gấp đơi hình lập phương): Hãy dựng cạnh hình lập phương tích gấp đơi thể tích hình lập phương cho 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phan Thị Thoa Chứng minh Gọi x cạnh hình lập phương cần dựng tích gấp đơi thể tích hình lập phương cho Thế x nghiệm đa thức x3 = 2a3 Lấy a làm đơn vị x3 = Đa thức x3 − đa thức bất khả quy Q (theo tiêu chuẩn Eisenstein) √ √ √ 3 3 Ta có x − = (x − 2)(x + √ 2x + 4) Do đó, Đa thức x3 − có α = nghiệm đa thức Gọi F trường nghiệm đa thức Ta có dãy mở rộng trường: Q ⊂ Q(α) ⊂ F Ta có [F√: Q] = [F : Q(α)] [Q(α) : Q] Vì α = nghiệm đa thức x3 − đa thức bất khả quy Q nên bậc mở rộng [Q(α) : Q] = Vậy [F : Q] = 3.m = 2r (với m, r ∈ N m = [F : Q(α)]) Do đó, tốn khơng giải Bài (Chia ba góc) α Cho góc α Dùng thước compa dựng góc α Chứng minh Bài tốn tương đương với việc dựng góc ϕ cho ϕ = hay α = 3ϕ Suy cos α = cos 3ϕ = 4cos3 ϕ − cos ϕ Hay 4cos3 ϕ − cos ϕ = cos α x α Đặt a = cos α; = cos ϕ = cos Ta có x nghiệm phương trình x x − = a hay x3 − 3x − 2a = 2 Với α ∈ (0, π) tồn giá trị α để f (x) = x3 − 3x − 2a đa thức bất khả quy Q(a) π π Chẳng hạn với α = a = cos = đa thức cho dạng 3 f (x) = x3 − 3x − Đặt x = y + ta f (x) = f (y + 1) = g(y); g(y) = y + 3y − đa thức bất khả quy Q (theo tiêu chuẩn Eisenstein) Do f (x) = x3 − 3x − 2a đa thức bất khả quy Q với a = Như vậy, tồn giá trị a để f (x) bất khả quy Q(a) 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phan Thị Thoa Giả sử v nghiệm f (x) = x3 − 3x − 2a, f (x) bất khả quy Q(a) F trường nghiệm Ta có dãy mở rộng trường: Q(a) ⊂ Q(a, v) ⊂ F Nên [F : Q(a)] = [F : Q(a, v)] [Q(a, v) : Q(a)] Ta có v nghiệm f (x) = x3 − 3x − 2a f (x) bất khả quy Q(a) nên [Q(a, v) : Q(a)] = Do [F : Q(a)] = 3n = 2m (m, n ∈ Z) α α Do cos khơng dựng được, nghĩa khơng dựng Hay 3 tốn khơng giải với thước compa Cho nên trường hợp tổng qt, tốn chia ba góc khơng thể giải với thước compa Bài (Cầu phương hình tròn) Dựng hình vng có diện tích diện tích hình tròn cho trước Chứng minh Giả sử đường tròn cho có bán kính r Bài tốn quy dựng hình vng có độ dài x thỏa mãn x2 = πr2 Lấy r làm đơn vị x2 = π √ √ Tương đương với (x − π)(x + π) = √ Ta có α = π nghiệm đa thức f (x) = x2 − π Gọi F trường nghiệm đa thức Ta có dãy mở rộng trường: √ Q ⊂ Q( π) ⊂ F √ √ Nên [F : Q] = [F : Q( π)] [Q( π) : Q] √ Vì π số siêu việt Q nên π số siêu việt Q đó: √ Q( π) : Q = +∞ Vậy khơng thể dựng hình vng có diện tích diện tích hình tròn cho trước Bài (Bài tốn chia đường tròn thành n phần nhau) Để làm toán ta cần chuẩn bị số kiến thức sau: Trường nghiệm đa thức xn − trường nguyên tố có liên quan trực tiếp với tốn chia đường tròn thành n phần Ta vào xét bổ đề sau: 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phan Thị Thoa Bổ đề 2.2.1 Nếu n = p.q ; (p, q) = đường tròn chia thành n phần chia thành p, q phần Định lí 2.2.1 Đường tròn chia thành n phần thước compa n có dạng n = 2k q1 qs k số tự nhiên; r qi (i = 1, s) số nguyên tố lẻ dạng 22 + (số nguyên tố Fermat) Đặc biệt với n số nguyên tố điều kiện cần đủ để đa giác n r cạnh dựng thước compa n = 22 + Bài toán 4.1: Dựng đa giác ba cạnh Lời giải Bài tốn tương đương với chia đường tròn thành ba phần 2π Để làm toán này, ta cần dựng đoạn thẳng có độ dài thay cho 2π góc 2π 2π Gọi ζ = cos + i sin (i = −1) nguyên thủy bậc n = 3 đơn vị Do 2π ζ + ζ −1 cos = Ta cần tìm đa thức tối tiểu cos 2π Q Xét dãy mở rộng trường Q ⊂ Q(ζ + ζ −1 ) ⊂ Q(ζ) Đa thức xác định ζ Q F3 (x) = x2 + x + Nên [Q(ζ) : Q] = 2π Vì ta dựng cos thước compa Ta có ζ + ζ + = ⇔ ζ + ζ −1 + = Hay ζ + ζ −1 = −1 2π Suy cos =− Từ đó, ta đến cách dựng tam giác sau: 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phan Thị Thoa Dựng đường tròn đơn vị x2 + y = giao với trục tọa độ điểm A, A1 , B B1 (như hình vẽ) Dựng C trung điểm OA1 Kẻ đường thẳng vng góc với OA1 C cắt đường tròn đơn vị điểm D, E Dựng đoạn thẳng AD, AE DE Khi ta có ∆ADE tam giác cần dựng Từ tam giác nội tiếp đường tròn đơn vị, cách chia đôi cung hai đỉnh kề tam giác ta dựng lục giác nội tiếp đường tròn Tiếp tục ta dựng đa giác với số cạnh 12, 24, 48, , 3.2k (k ∈ N) nội tiếp đường tròn Bài toán 4.2: Dựng đa giác năm cạnh Lời giải Bài toán tương đương với việc chia đường tròn thành năm phần 2π Để làm tập ta cần dựng đoạn thẳng có độ dài cos thay 2π cho góc 2π 2π Gọi η = cos + i sin (i = −1 ) nguyên thủy bậc đơn 5 vị Ta có 2π cos = (η + η −1 ) 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phan Thị Thoa Ta cần tìm đa thức tối tiểu cos 2π Q, xét dãy mở rộng trường Q ⊂ Q(η + η −1 ) ⊂ Q(η) Do [Q(η) : Q] = Q(η) : Q(η + η −1 ) Q(η + η −1 ) : Q Ta có đa thức xác định η Q F5 (x) = x4 + x3 + x2 + x + Vì [Q(η) : Q] = Mặt khác, dễ thấy Q(η) : Q(η + η −1 ) = nên Q(η + η −1 ) : Q = Vì η thỏa mãn F5 (x) = η −1 = η nên 2 (η + η −1 ) = η + 2.η.η −1 + (η −1 ) = η + + η = (−1 − η − η ) + = − (η + η −1 ) Do η + η −1 nghiệm phương trình t2 + t − = √ √ −1 + 2π −1 + Suy t = hay cos = η + η −1 = Từ ta có cách dựng: Dựng đường tròn đơn vị Dựng N trung điểm đoạn thẳng OA (như hình vẽ) 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phan Thị Thoa √ Dựng đường tròn (N, N H) cắt trục Ox điểm L Dựng điểm M trung điểm đoạn thẳng OL, ta có độ dài đoạn 2π thẳng OM cos Dựng đường thẳng ∆ qua M , vng góc với trục Ox Dựng giao điểm B đường thẳng ∆ với đường tròn đơn vị Từ B dựng cung liên tiếp cung AB ta đa giác ABCDE đa giác cạnh cần dựng Dựng đoạn thẳng N H có độ dài 44 KẾT LUẬN Xuyên suốt khoá luận "Bài tốn dựng hình ứng dụng lý thuyết Galois vào dựng hình", em thấy dựng hình phần hay khó tốn học đặc biệt cấp trung học sở trung học phổ thơng Trong nội dung khóa luận em nêu số phương pháp dựng hình thường gặp, dựng hình dựng cụ hạn chế ứng dựng lý thuyết Galois vào giải số tốn Khóa luận đạt số kết sau: (1) Nêu vấn đề toán dựng hình (2) Nêu số phương pháp giải thường gặp tốn dựng hình (3) Trình bày phương pháp dựng hình hạn chế (4) Trình bày số toán nhờ ứng dụng lý thuyết Galois Do điều kiện thời gian lực thân hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý từ thầy bạn để khóa luận hoàn thành cách trọn vẹn Em xin chân thành cảm ơn! 45 Tài liệu tham khảo [1] Trần Việt Cường-Nguyễn Danh Nam, “ Giáo trình hình học sơ cấp”, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [2] Bùi Văn Bình-Nguyễn Văn Vạn, “Hình học sơ cấp tập 1", Nhà xuất giáo dục, 1993 [3] Nguyễn Tiến Quang, “Cơ sở lý thuyết trường lý thuyết Galoa", Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2004 [4] Văn Như Cương-Phạm Khắc Ban-Tạ Mân, “ Hình Học nâng cao 11”, Nhà xuất giáo dục Việt Nam, 2012 [5] Đàm Minh Tuấn, Luận văn thạc sĩ toán học “ Một số phương pháp dựng hình hình học phẳng”, Đại học Thái Nguyên, 2013 46 ... quan tốn dựng hình số ứng dụng lý thuyết Galois dựng hình thước kẻ compa 3, Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Bài toán dựng hình ứng dụng lý thuyết Galois vào dựng hình - Phạm... chương: Chương 1: Bài tốn dựng hình: Trong chương em xin giới thiệu tổng quan lý thuyết liên quan đến tốn dựng hình phương pháp dựng hình Chương 2: Ứng dụng lý thuyết Galois vào dựng hình: Trong chương...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN PHAN THỊ THOA BÀI TỐN DỰNG HÌNH VÀ ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT GALOIS VÀO DỰNG HÌNH Chun ngành: Tốn Dựng Hình KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP