Luận văn sư phạm Phép nghịch đảo với bài toán dựng hình học trong mặt phẳng

Tr ng đ i h c s ph m hà n i Khoa toán ====  ==== V th thuý phép ngh ch đ o v i toán d ng hình m t ph ng Khố lu n t t nghi p đ i h c Chuyên ngành: Hình h c Ng ih ng d n khoa h c GVC inh V n Thu HÀ N I - 2007 Khóa lu n t t nghi p L ic m n Trong q trình hồn thành khóa lu n này, em nh n đ viên, h c s đ ng ng d n, ch b o t n tình c a th y inh V n Th y, nh ng ý ki n đóng góp quý báu c a th y t Hình h c, Tr ng ih cS ph m Hà N i Qua đây, em xin g i l i c m n chân thành sâu s c nh t t i th y inh V n Th y - ng su t q trình làm khóa lu n i tr c ti p h ng d n ch b o em ng th i em c ng xin bày t lòng bi t n chân thành t i th y t Hình h c giúp đ em hồn thành khóa lu n Hà N i, ngày 04 tháng 05 n m 2007 Sinh viên V Th Thúy SVTH: V Th Thúy K29E - Tốn Khóa lu n t t nghi p M cl c Trang L i nói đ u Ch ng 1: Bài toán d ng hình 1.1 M t s đ nh ngh a 1.1.1 Hình gì? 1.1.2 Nghi m c a m t toán d ng hình gì? 1.1.3 Gi i m t tốn d ng hình gì? 1.2 Các b c gi i m t toán d ng hình 1.3 Các ph ng pháp d ng hình Ch ng 2: phép ngh ch đ o 10 2.1 nh ngh a tính ch t c a phép ngh ch đ o 10 2.1.1 nh ngh a 10 2.1.2 M t s tính ch t c a phép ngh ch đ o 10 2.2 Các đ nh lí 11 2.3 nh c a đ ng th ng đ ng tròn qua phép ngh ch đ o 12 Ch ng 3: ng d ng phép ngh ch đ o gi i tốn d ng hình 13 3.1 Bài toán 13 3.2 Bài toán 15 3.3 Bài toán 15 3.4 Bài toán 15 3.5 Bài toán 17 3.6 Bài toán 19 3.7 Bài toán 21 3.8 Bài toán 23 3.9 Bài toán 26 3.10 Bài toán 10 27 3.11 Bài toán 11 29 3.12 Bài toán 12 29 3.13 Bài toán 13 29 3.14 Bài toán 14 31 3.15 Bài toán 15 (Bài toán Apoloniuyt) 33 3.16 Bài toán 16 38 Ch ng 4: M t s Bài t p áp d ng 40 4.1 40 4.2 H ng d n gi i 41 SVTH: V Th Thúy K29E - Tốn Khóa lu n t t nghi p Ph n k t lu n 49 Tài li u tham kh o 50 SVTH: V Th Thúy K29E - Tốn Khóa lu n t t nghi p L i nói đ u Lí ch n đ tài Hình h c môn h c h p d n, thu hút nhi u h c sinh yêu toán Vi c gi i t p, tìm nhi u cách gi i, có nh ng cách hay, đ c đáo s phát huy tính sáng t o, ni m say mê đ i v i mơn hình h c V i m i t p có th có nhi u ph véct , ph ng pháp gi i: ph ng pháp t ng h p, ph ng pháp ng pháp bi n hình, Trong ch ng trình hình h c ph thơng, tốn d ng hình ln tốn khó đ i v i h c sinh, em th ng ng i ho c khơng thích gi i tốn d ng hình Vì lí s ph m mà sách giáo khoa ph thơng khơng sâu nghiên c u lí thuy t c a tốn d ng hình, c ng nh nh ng ph gi i toán d ng hình ng pháp giúp em h c sinh ph thông, đ c biêt em h c sinh khá, gi i h ng thú h n v i tốn d ng hình, khóa lu n này, tơi xin cung c p m t s lí thuy t t ng quát nh t v toán d ng hình đ ng th i đ a m t ph ng pháp gi i r t hay tốn d ng hình d a vào phép ngh ch đ o Phép ngh ch đ o m t phép bi n hình khơng đ trình ph thơng, mà ch đ ng c d y cho h c sinh l p chuyên Do phép ngh ch đ o có kh n ng bi n đ ng trịn thành đ ng th ng ng có ng d ng to l n đ i v i l p toán d ng đ toán t d ng đ c d y ch ng tròn sang d ng đ c l i nên ng tròn Vi c qui ng th ng th a mãn m t s u c u đó, làm cho tốn tr nên đ n gi n h n r t nhi u Chính nh ng lí mà ch n đ tài: "Phép ngh ch đ o v i tốn d ng hình m t ph ng" Nhi m v nghiên c u SVTH: V Th Thúy K29E - Tốn Khóa lu n t t nghi p Nghiên c u l p tốn d ng hình (ch y u d ng đ d a vào phép ngh ch đ o T th y đ ng trịn) c tính u vi t c a phép bi n hình, c th phép bi n hình ngh ch đ o, đ i v i tốn d ng hình m t ph ng Ph ng pháp nghiên c u Nghiên c u sách giáo khoa, sách tham kh o, t p chí tốn h c tài li u có liên quan đ n n i dung đ tài N i dung khóa lu n Khóa lu n trình bày nh ng ng d ng c a phép ngh ch đ o gi i tốn d ng hình m t ph ng Ngồi vi c làm rõ tính u vi t c a phép ngh ch đ o vi c gi i tốn d ng hình, lu n v n cịn đ a tốn bi n đ i t toán ban đ u mà v n s d ng phép ngh ch đ o đ gi i N i dung khóa lu n g m ch ng: Ch ng 1: Bài toán d ng hình Ch ng cung c p nh ng ki n th c t ng quát nh t c a tốn d ng hình Ch ng 2: Phép ngh ch đ o Ch ng trình bày đ nh ngh a, tính ch t, đ nh lí c a phép ngh ch đ o Ch Ch ng 3: ng d ng phép ngh ch đ o gi i tốn d ng hình ng g m tốn d ng hình có s d ng phép ngh ch đ o đ gi i Cu i m i tốn đ u có nh n xét nh ng toán suy t toán ban đ u Ch Ch ng 4: M t s t p áp d ng ng g m t p, t ng ng v i m i đ u có h SVTH: V Th Thúy ng d n gi i K29E - Toán Khóa lu n t t nghi p Do l n đ u tiên làm quen v i vi c nghiên c u khoa h c nên không tránh kh i nh ng thi u sót, r t mong đ c s đóng góp ý ki n c a th y cô b n sinh viên Ch ng Bài tốn d ng hình Ch ng cung c p nh ng lí thuy t t ng quát nh t v tốn d ng hình m t ph ng 1.1 M t s đ nh ngh a 1.1.1 Hình gì? Hình m t t p h p khác r ng nh ng m 1.1.2 Nghi m c a m t toán d ng hình gì?  Nghi m c a tốn d ng hình hình tho mãn u ki n c a tốn  Tìm nghi m c a tốn d ng hình ch th t c a m t dãy h u h n phép d ng c b n c n ph i th c hi n đ có nghi m c a toán 1.1.3 Gi i m t tốn d ng hình gì? Gi i m t tốn d ng hình tìm t t c nghi m c a Xét xem tr ng h p tốn có nghi m, n u có có nghi m V s nghi m c a toán d ng hình, ta quy c nh sau:  N u đ khơng quy đ nh v trí c a hình ph i tìm đ i v i hình cho nh ng hình b ng (ch khác v v trí) tho mãn bìa tốn s đ c xem m t nghi m SVTH: V Th Thúy K29E - Tốn Khóa lu n t t nghi p  N u đ quy đ nh rõ v trí c a hình ph i tìm đ i v i hình cho nh ng hình b ng nh ng khác v v trí v n đ c coi nh ng nghi m khác 1.2 Các b c gi i m t tốn d ng hình Nói chung, tr nh ng toán d , mu n gi i m t tốn d ng hình, ng i ta th B ng th c hi n b n b c: c 1: Phân tích c quan tr ng nh t, chìa khố đ gi i tốn M c đích c a B phân tích thi t l p đ c m i quan h gi a y u t ph i tìm y u t cho đ t suy cách d ng (n u c n thi t có th v thêm nh ng hình ph ) B c 2: Cách d ng Ch th t phép d ng c b n c n th c hi n đ có hình c n ph i tìm tránh r m rà, ng i ta khơng ch qui tốn d ng hình v phép d ng c b n mà có th qui v tốn d ng hình c b n B c 3: Ch ng minh Xác nh n hình d ng th c s tho mãn đ y đ yêu c u c a đ Trong b B c ta xem nh phép d ng ph n đ u th c hi n đ c c 4: Bi n lu n Xét xem nh ng y u t cho ph i tho mãn nh ng u ki n đ có th d ng đ c hình ph i tìm n u d ng đ Nói cách khác thi t l p u ki n gi i đ c có hình nh th c xác đ nh s nghi m c a toán 1.3 Các ph ng pháp d ng hình Nói chung có ph  Ph ng pháp hay s d ng: ng pháp qu tích SVTH: V Th Thúy K29E - Tốn Khóa lu n t t nghi p  Ph ng pháp đ i s  Ph ng pháp bi n hình Ngồi ba ph pháp khác nh : Ph ng pháp trên, cịn có th d ng hình theo nh ng ph ng pháp ng c, ph ng ng pháp hình h c gi i tích Bài tốn d ng hình có th gi i b ng ph ng pháp khác nh ng l i gi i s đ n gi n h n n u s d ng phép bi n hình ho c có nh ng tốn khơng th gi i b ng ph ng pháp khác ngồi ph phép bi n hình mà ta th ng pháp bi n hình Các ng s d ng nh : Phép v t , phép đ i x ng tr c, phép đ i x ng tâm, phép t nh ti n, phép quay Ngoài phép bi n hình k mà h c sinh đ c làm quen tr ng ph thơng cịn m t phép bi n hình quan tr ng, r t ti n l i đ i v i l p toán yêu c u d ng đ ng trịn ó phép ngh ch đ o SVTH: V Th Thúy K29E - Tốn Khóa lu n t t nghi p Ch ng phép ngh ch đ o 2.1 nh ngh a tính ch t c a phép ngh ch đ o 2.1.1 nh ngh a Trong m t ph ng (P), cho m t m O c đ nh s th c k  M t song ánh f: (P)  (P) M  M' O,M,M  th¼ng hµng Sao cho  OM.OM   k Thì phép bi n hình f g i phép ngh ch đ o c c O, ph Ta th ng tích k ng kí hi u phép ngh ch đ o f(O, k) Phép ngh ch đ o hoàn toàn đ c xác đ nh n u bi t c c O ph ng tích k c a 2.1.2 M t s tính ch t c a phép ngh ch đ o Phép ngh ch đ o có tính ch t đ i h p N u k > hai m M M' = f(M) n m v m t phía đ i v i m O, Khi t p h p nh ng m kép c a phép ngh ch đ o f(O, k) đ ng trịn tâm O có bán kính b ng Ta g i đ ng tròn đ k ng tròn ngh ch đ o c a phép ngh ch đ o f(O, k) N u k < hai m M M' = f(M) n m v phía đ i v i m O Khi ta khơng có m kép,do khơng có đ ng trịn ngh ch đ o k < SVTH: V Th Thúy K29E - Toán 10 Khóa lu n t t nghi p ng h p 2: đ  Tr đ ng tâm đ ng tròn đ ng tâm ho c hai ba đ ng trịn th ba khơng c t hai đ ng trịn ng trịn tốn vơ nghi m (Hình 16) Hình 16 ng h p 3: N u vòng tròn ti p xúc v i vòng tròn th  Tr qua ti p m c t đ ng th i c đ ng trịn tốn có hai nghi m (Hình 17 hình 18) Hình 18 Hình 17 ng h p 4: N u vòng tròn cho, k t ng đôi m t đ u  Tr nhau, đ ng th i ti p n chung c a đơi khơng có m chung v i vòng tròn th ho c đ ng trịn c t t ng đơi m t tốn có nghi m:  ng tròn tho mãn: Ti p xúc v i c hai đ ti p xúc v i đ  ng trịn cịn l i - có đ ng trịn tho mãn: Ti p xúc ngồi v i đ xúc v i đ ng tròn l i - có ba đ SVTH: V Th Thúy ng tròn ng tròn nh v y ng tròn ti p ng tròn nh v y K29E - Tốn 36 Khóa lu n t t nghi p ng trịn tho mãn: Ti p xúc ngồi v i c đ  có đ ng trịn nh v y ng tròn tho mãn: Ti p xúc v i c đ  có đ  Tr ng tròn cho ng tròn cho ng tròn nh v y ng h p 5: N u đ ng tròn ti p xúc v i t ng đơi m t tốn có nghi m (Hình 19) ng h p 6: N u vòng tròn ti p xúc v i t i m t m Hình 19 tốn có vơ s nghi m hình  Tr ng h p khác n a v v trí c a đ Còn nhi u tr nghi m c a toán Trên ch m t s tr th b xung tr ng h p khác t tr ng h p n hình B n đ c có ng ng v i s nghi m c a toán ng h p đ c bi t c a toán Apoloniuyt Bây gi ta s xét m t s tr Vi c d ng đ ng tròn d n đ n s ng tròn h c sinh d ng đ c toán c:  N u coi m i vịng trịn vịng trịn m có tốn: D ng đ trịn qua m cho tr  N u coi đ ng tròn đ tốn: D ng đ c ng th ng có tâm ng tròn ti p xúc v i đ xa vơ t n ta có ng th ng cho tr  N u coi vòng tròn vịng trịn m đ có tâm tr ng c ng th ng vòng tròn xa vơ t n có tốn: D ng vịng tròn qua m cho c ti p xúc v i đ ng th ng cho tr c (2 đ ng th ng có th song song ho c c t nhau) SVTH: V Th Thúy K29E - Tốn 37 Khóa lu n t t nghi p  D ng m t vòng tròn qua m cho tr tròn cho tr c  D ng m t vòng tròn ti p xúc v i đ tr c ti p xúc v i m t vòng ng th ng m t đ ng tròn cho c  D ng vòng tròn ti p xúc v i vòng tròn cho tr v im tđ ng th ng cho tr c  D ng m t vòng tròn qua m cho tr tròn cho tr c, đ ng th i ti p xúc c ti p xúc v i vòng c Các t p gi i đ u có chung m t yêu c u d ng đ ng tròn tho mãn m t yêu c u Vi c s d ng phép ngh ch đ o giúp ta d ng đ cđ ng tròn tho mãn yêu c u tốn thơng qua nh ng phép d ng c b n hay tốn d ng hình c b n N u ch xét nh ng toán nh v y h c sinh s t đ ng r ng phép ngh ch đ o ch có tác d ng tốn d ng ng trịn, cịn đ i v i tốn d ng hình khác khơng d ng đ Bài tốn d i giúp ta th y đ tốn d ng hình khơng ph i đ c c vai trò c a phép ngh ch đ o đ i v i ng trịn 3.16 Bài tốn 16 Cho đ n i ti p đ ng tròn (O) m M, N, P n m (O) D ng ABC ng tròn (O) cho đ ng th ng AB, BC, CA l n l t qua m M, N, P cho Bài gi i  Phân tích: Gi s d ng đ c ABC n i ti p (O) M AB, N BC, P CA Khi xét phép ngh ch đ o f = f(M, f(A, P M / (O)), ta có: f: (O)  (O) A  B SVTH: V Th Thúy K29E - Tốn 38 Khóa lu n t t nghi p C  C1 N  N1 P  P1 Do C  (O) (O) b t đ ng qua phép ngh ch đ o f nên C1  (O).Theo tính ch t c a phép ngh ch đ o nên t giác CNN1C1, CPP1C1, NPP1N1 t giác n i ti p Suy C1, C n m đ C1 (O)  C, C1 giao c a đ đ ng trịn NPP1N1 Ta l i có C, ng trịn (O) B C1 ng tròn ngo i ti p t giác NPP1N1 T N1 O ta có cách d ng  Cách d ng: O1 C  D ng N1 = f(N), P1 = f(P) v i P A N f = f(M, P  D ng đ M / (O)) M ng tròn (O1) qua b n m P1 Hình 20 N, P, N1, P1  D ng C, C1 giao c a đ ng tròn (O) (O1)  D ng B = CN  (O)  D ng A = CP  (O) ABC tam giác c n d ng  Ch ng minh: D dàng suy t cách d ng  Bi n lu n:  N u (O1) khơng c t (O) tốn vơ nghi m  N u (O1)  (O) t i m t m tốn có nghi m  N u (O1)  (O2) t i hai m tốn có nghi m SVTH: V Th Thúy K29E - Tốn 39 Khóa lu n t t nghi p Ch ng M t s Bài t p áp d ng 4.1 Bài tốn D ng đ ng trịn qua m cho tr c t o v i đ ng trịn m t góc b ng      900  Bài toán Qua m t m A cho tr đ ng tròn cho tr c, d ng m t đ ng tròn ti p xúc v i c Bài toán SVTH: V Th Thúy K29E - Tốn 40 Khóa lu n t t nghi p Cho m th ng hàng theo th t A, B, C D ng n a đ đ ng kính AB, BC, CA đ ng trịn ng th ng Z qua B vng góc v i đ ng th ng ABC Hãy d ng đ đ ng tròn đ ng tròn (S1) (S2) l n l t ti p xúc v i n a ng th ng d Bài toán Cho A 1B1C1 n i ti p đ A1, B1, C1 l n l ng tròn (I) Hãy d ng ABC tho mãn t hình chi u c a I xu ng c nh BC, CA, AB c a tam giác Bài toán Cho m O c đ nh cách đ ng th ng d c đ nh m t kho ng OH =1 A B Khi đ Cho góc xOy =600 quay quanh O c t d ti p xúc v i m t đ ng tròn c đ nh (  ) Hãy d ng đ ng tròn (OAB) ng trịn (  ) Bài tốn D ng đ ng tròn ti p xúc v i đ xúc v i đ 4.2 H ng tròn n i ti p đ ng th i ti p ng tròn bàng ti p c a tam giác ABC ng d n gi i 1.Bài toán  Phân tích: Gi s d ng đ cđ ng trịn ( ) qua hai m A, B t o v i ( ) m t góc b ng      900  Xét phép ngh ch đ o f = f(A, f: P A / ( ) ), ( )  ( ) SVTH: V Th Thúy K29E - Toán 41 Khóa lu n t t nghi p B  B' ( )  Z v i Z đ ng th ng Do ( ) qua A, B t o v i ( ) m t góc b ng  nên Z qua c ng t o v i ( ) m t góc Z  b ng  d  Do Z t o v i ( ) m t góc b ng  nên O d(O, Z) = Rcos  Suy Z ti p n c a đ ng tròn ( ) tâm O, bán kính b ng Rcos  T suy cách d ng Hình 21a  Cách d ng:  D ng B' nh c a B qua f = f(A,  D ng đ P A / ( ) ) ng tròn ( ) = (O, Rcos  )  D ng Z ti p n v i ( ) , qua B'  D ng C' giao c a ( ) v i Z  D ng C nh c a C' qua f  D ng ( ) qua ba m A, B, C Khi ( ) đ ng tròn c n Z d ng  Ch ng minh: D dàng suy t B' C' (1) ( ) O B C cách d ng (  ) A  Bi n lu n: Hình 21b SVTH: V Th Thúy K29E - Tốn 42 Khóa lu n t t nghi p  N u B' thu c mi n c a ( ) tốn vô nghi m  N u B' n m ( ) AB' ti p n c a ( ) tốn vơ nghi m  N u B' n m ( ) nh ng AB' không ti p n c a ( ) tốn có nghi m N u B' n m ( ) tốn có nghi m hình Bài tốn  Phân tích: Gi s d ng đ cđ ng tròn (O) qua A ti p xúc v i đ ng tròn (O1) (O2) cho: Xét phép ngh ch đ o : f = f(A, P f: A / (O1)) Khi đó: (O1)  (O1) (O2)  ( O2 ) (O)  Z, v i Z đ Do (O) ti p xúc v i (O1) (O2) nên đ đ ng th ng ng th ng Z ti p xúc v i ng tròn (O1) ( O2 ), t c Z ti p n chung c a đ ng tròn (O1) ( O2 ) T Z ta có cách d ng .O  Cách d ng:  D ng nh ( O2 ) c a đ f = f(A, P chung Z c a đ O2 ng tròn (O1) O qua phép ngh ch đ o A / (O1)) D ng ti p n A O2 ng tròn (O1) ( O2 )  D ng nh c a Z qua phép ngh ch đ o f Hình 22 SVTH: V Th Thúy K29E - Tốn 43 Khóa lu n t t nghi p nh c a Z đ ng trịn (O) c n d ng  Ch ng minh: D dàng suy t cách d ng Th t v y: Do Z không qua A nên (O) qua A Do Z ti p xúc v i (O1) ( O2 ) nên (O) ti p xúc v i (O1) (O2)  Bi n lu n:  N u (O1) (O2) ch a A n m c đ ng trịn tốn vơ nghi m  N u2đ ng tròn ch a A n m đ ng trịn bé tốn c ng vơ nghi m N u2đ ngồi đ ng tròn ch a A n m đ ng tròn l n n m ng tròn bé tốn có nghi m  N u2đ ng trịn ti p xúc ngồi A khơng trùng v i ti p m tốn ln có nghi m hình  N u2đ ng trịn ti p xúc t i A tốn có vơ s nghi m  N u2đ ng trịn ti p xúc tốn có nghi m  N u hai đ ng tròn c t A n m c đ ng trịn tốn có nghi m, cịn l i tốn có nghi m  N u A n m m t đ ng trịn A, O1, O2 th ng hàng tốn có nghi m, n u c A, O1, O2 khơng th ng hàng tốn vơ nghi m Bài toán H Z2 ng d n: Gi s d ng đ c hai đ Z1 d S1 ng S2 tròn (S1) (S2) nh hình v , t c là: A SVTH: V Th Thúy 44 O1 O3 B O2 -CToán K29E Khóa lu n t t nghi p (S1) ti p xúc v i đ đ ng tròn (O1), (O3) đ ng tròn (O2), (O3) đ  ng th ng d (S2) ti p xúc v i ng th ng d Xét phép ngh ch đ o: f1  = f1 A,AB.AC Hình 23 f1 : B  C (O1)  Z1 (O3)  d (S1)  ( S1 )  Xét ti p phép ngh ch đ o: f2 = f2 C,CB.CA f2 : A   B (O2)  Z2 (O3)  d (S2)  ( S2 ) Do (O1), (O3) ti p xúc nên d // Z1 Do (S1) ti p xúc v i (O1), (O3), d nên ( S1 ) ti p xúc v i (O3) ti p xúc v i2đ ng th ng song song v i Z1 Do (O2), (O3) ti p xúc nên Z2 // d Do (S1) ti p xúc v i (O2), (O3) d nên ( S2 ) ti p xúc v i Z2, (O3) d Nh v y ta chuy n toán cho v toán đ n gi n h n mà h c sinh bi t cách gi i ó là: D ng m t đ th ng song song đ ng th i ti p xúc v i m t đ ng tròn ti p xúc v i đ ng ng trịn Bài tốn Cách 1:  Phân tích: SVTH: V Th Thúy K29E - Tốn 45 Khóa lu n t t nghi p Gi s d ng đ c ađ c ABC tho mãn yêu c u toán G i bán kính ng trịn (I) r2, g i trung m c a c nh A1B1, B1C1, C1A1 c a A 1B1C1 l n l t C0, A0, B0 Khi ta có: IA IA  IB0 IB  IC0 IC  r Xét phép ngh ch đ o f = f(I, r2) f: A0  A B0  B C0  C T ta có cách d ng  Cách d ng:  D ng A0, B0, C0 l n l t trung m A c a c nh B1C1, C1A1, A1B1 c a A 1B1C1 C1 B1 A0 I  D ng A = f(A0), B = f(B0), C = f(C0) v i C0 B0 f = f(I, r2) Khi ABC tam giác c n d ng B C A1 Hình 23a  Ch ng minh: Theo cách d ng ta có: IA IA  r  IC12  AC1I vuông t i C1  C1 hình chi u c a I xu ng c nh AB T t ng t nh v y, ta có A1, B1 hình chi u c a I xu ng c nh ng ng BC CA  Bi n lu n: Bài tốn ln có m t nghi m hình Cách 2:  Phân tích: SVTH: V Th Thúy K29E - Tốn 46 Khóa lu n t t nghi p Gi s ch ng minh đ c ABC tho mãn yêu c u tốn, t c có A1, B1, C1 hình chi u c a I xu ng c nh BC, CA, AB Ta th y AB, BC, CA l n l t ti p n c a đ ng tròn (I) t i m C1, A1, B1 T ta có cách d ng A  Cách d ng:  D ng ti p n t i A1, B1, C1 v i đ (I) l n l ng tròn B1 C1 t d1, d2, d3  D ng A = d2  d3, B = d1  d3, I B C d1 A1 C = d1  d2 d2 d3  D ng ABC Hình 23b  Ch ng minh: D dàng suy t cách d ng Bi n lu n: Bài tốn ln có m t nghi m hình Bài tốn H ng d n: ng tròn (  ) c đ nh ti p xúc v i đ ng tròn ฀ quay quanh O xOy ฀ =600 G i A', B' giao c a đ (ABC) xOy ng tròn Gi s d ng đ tâm I bán kính b ng cđ v i I trung m c a OH Xét phép ngh ch đ o: f = f(O,1) f: A  A' B  B' (I)  d (OAB)  A'B', v i A'B' đ ng th ng ( )  (  ) Do (OAB) ti p xúc v i (  ) nên A'B' ti p n c a đ ng tròn (   ) Khi ฀ quay quanh O A'B' thay đ i A ฀OB =600 xOy SVTH: V Th Thúy K29E - Tốn 47 Khóa lu n t t nghi p  A B  sin600   const 2 G i r kho ng cách t I t i A'B'  A B  r = IB       16   2 Suy (   ) đ ng trịn tâm I, bán kính b ng Suy (  ) nh c a (   ) qua phép ngh ch đ o f = f(O,1) T ta có phép d ng O Ir A' B' B A d H x y Hình 24 Bài tốn H ng d n: S d ng phép ngh ch đ o ch ng minh đ tốn đ ng trịn (  ) th a mãn yêu c u ng tròn qua m M, N, P l n l t trung m c nh AB, BC, CA c a tam giác ABC SVTH: V Th Thúy K29E - Tốn 48 Khóa lu n t t nghi p Ph n k t lu n Bài toán d ng hình ln m t tốn khó đ i v i h c sinh ph thông, đ gi i đ c tốn d ng hình h c sinh ph i huy đ ng c ki n th c c a toán ch ng minh tốn qu tích M t tốn d ng hình có th gi i đ b ng ph ng pháp khác nh ng gi i b ng ph ng pháp bi n hình v n có nhi u u m Do phép ngh ch đ o có kh n ng bi n đ đ ng th ng nên ng c ng tròn thành i ta hay s d ng đ đ a tốn v d ng đ ng th ng toán tr nên đ n gi n h n r t nhi u d ng đ ng tròn th a mãn u ki n đó, s d ng phép ngh ch đ o ta chuy n v toán d ng nh c a đ đ o Th ng tốn d ng đ ng trịn c n d ng qua phép ngh ch ng th ng hay đ gi n h n toán d ng ban đ u D ng nh c a đ qua phép ngh ch đ o xét ta đ nh c a đ đ cđ ng tròn ph i đ n ng th ng hay đ ng tròn ng tròn c n d ng Riêng v i d ng ng tròn qua phép ngh ch đ o ta xác đ nh tâm m t m thu c ng trịn ho c ho c xác đ nh ba m thu c đ SVTH: V Th Thúy ng trịn K29E - Tốn 49 Khóa lu n t t nghi p Tài li u tham kh o Bùi V n Bình, Nguy n V n V n - Giáo trình hình h c s c p (t p 2) HSP Hà N i 2, 1993 Bùi V n Bình - Bài t p hình h c s c p (t p 1) - HSP Hà N i 2, 1993 Nguy n Minh Ch ng, Lê ình Phi , Nguy n Công Quý - Hình h c s c p - NXB Giáo d c, 1968 Nguy n M ng Hy - Các phép bi n hình m t ph ng - NXB Giáo d c, 2000 V VPraxolov - Các toán v hình h c ph ng (t p 2) - NXB HQG Thành ph H Chí Minh SVTH: V Th Thúy K29E - Toán 50 ... 15 3.5 Bài toán 17 3.6 Bài toán 19 3.7 Bài toán 21 3.8 Bài toán 23 3.9 Bài toán 26 3.10 Bài toán 10 27 3.11 Bài toán 11... 3.12 Bài toán 12 29 3.13 Bài toán 13 29 3.14 Bài toán 14 31 3.15 Bài toán 15 (Bài toán Apoloniuyt) 33 3.16 Bài toán 16 38 Ch ng 4: M t s Bài. .. tròn qua phép ngh ch đ o 12 Ch ng 3: ng d ng phép ngh ch đ o gi i tốn d ng hình 13 3.1 Bài toán 13 3.2 Bài toán 15 3.3 Bài toán 15 3.4 Bài toán