Bài gi i
gi i bài toán này, tr c tiên chúng ta hãy gi i 2 bài toán ph sau: Bài toán ph th nh t: D ng m t vòng tròn ti p xúc v i hai đ ng th ng song song a và b và ti p xúc v i m t vòng tròn cho tr c.
Có th gi i bài toán ph th nh t b ng ph ng pháp qu tích nh sau: D ng đ ng th ng c song song và cách đ u 2 đ ng th ng a, b T tâm O c a đ ng tròn , d ng đ ng tròn tâm O, bán kính b ng r+ AC hay bán kính b ng r AC , r là bán kính đ ng tròn , AC là kho ng cách d(a, c). D ng giao đi m I c a v i c. D ng đ ng tròn tâm I, bán kính AC.
Bài toán có th có 4 nghi m hình. . O . I a c b Hình 12
Bài toán ph th 2: D ng m t vòng tròn ti p xúc v i 3 vòng tròn cho tr c (O1), (O2), (O3) trong đó (O1) và (O2) ti p xúc v i nhau t i T. Bài gi i Gi s đã d ng đ c (O) ti p xúc v i (O1), (O2), (O3) . Trong đó (O1) và (O2) ti p xúc v i nhau t i T. Xét phép ngh ch đ o f = f(T, k) v i k là s th c và k 0. Khi đó: f: (O1) d1 (O2) d2 (O3) (O3) (O) (O) Trong đó d1, d2 l n l t là 2 đ ng th ng vuông góc v i O1O2. T c d1// d2. Do (O) ti p xúc v i (O1), (O2), (O3) nên (O) ti p xúc v i d1, d2 và đ ng tròn (O3) .
T đó ta đ a ra bài toán ban đ u v bài toán d ng đ ng tròn ti p xúc v i 2 đ ng th ng song song và ti p xúc v i m t đ ng tròn. T c là ta đã đ a bài toán ph th 2 v bài toán ph th nh t.
Xét bài toán t ng quát:
Gi s 3 vòng tròn đã cho k t ng đôi m t ngoài nhau. Các tr ng h p khác ta c ng gi i t ng t . 3 O. . O3 . O1 . O2 T d1 d2 Hình 13
Gi s (O1) = (O1, r1); (O2, r2); (O3, r3) là ba vòng tròn đã cho. ng th ng O1O2 c t (O1) A1, A1, c t (O2) A2, A2 sao cho A1A2 là đo n ng n nh t trong 4 đo n.
G i T là trung đi m c a A1A2. V các vòng tròn (O1) = (O1, r1+ A1T), (O2) =(O2, r2 + A1T), (O3) = (O3, r3 + A1T).
Khi đó ta có (O1), (O2) ti p xúc ngoài nhau.
N u g i (O) là đ ng tròn ti p xúc v i 3 đ ng tròn đã cho và (O) = (O, r) thì đ ng tròn (O') =(O, r - A1T) c ng ti p xúc v i 3 vòng tròn (O1), (O2), (O3) đã cho. Mà đ ng tròn (O')
hoàn toàn d ng đ c theo bài toán ph th 2.
S nghi m hình c a bài toán Apoloniuyt ph thu c vào v trí t ng
đ i c a ba đ ng tròn đã cho. Ta s bi n lu n bài toán theo v trí t ng đ i c a 3 đ ng tròn. D i đây ta ch ra m t vài tr ng h p.
Tr ng h p 1: 3 đ ng tròn
ch a nhau và vòng tròn còn l i n m ngoài vòng tròn l n thì bài toán vô nghi m. (Hình 15) . . . Hình 14 Hình 15 . O3 1 A 2 A .O .O1 A1 A2 . O2 T
Tr ng h p 2: 3 đ ng tròn đ ng tâm ho c hai trong ba đ ng tròn
đ ng tâm còn đ ng tròn th ba không c t hai đ ng tròn đó thì bài toán vô nghi m. (Hình 16).
Tr ng h p 3: N u 2 vòng tròn ti p xúc v i nhau và vòng tròn th 3 đi qua ti p đi m và c t đ ng th i c 2 đ ng tròn thì bài toán có hai nghi m (Hình 17 và hình 18).
Tr ng h p 4: N u 3 vòng tròn đã cho, k t ng đôi m t đ u ngoài nhau, đ ng th i ti p tuy n chung c a đôi này không có đi m chung v i vòng tròn th 3 ho c 3 đ ng tròn c t nhau t ng đôi m t thì bài toán có 8 nghi m:
ng tròn tho mãn: Ti p xúc trong v i c hai đ ng tròn và ti p xúc ngoài v i đ ng tròn còn l i - có 3 đ ng tròn nh v y. ng tròn tho mãn: Ti p xúc ngoài v i 2 đ ng tròn và ti p
xúc trong v i đ ng tròn còn l i - có ba đ ng tròn nh v y. Hình 16
ng tròn tho mãn: Ti p xúc ngoài v i c 3 đ ng tròn đã cho thì có 1 đ ng tròn nh v y.
ng tròn tho mãn: Ti p xúc trong v i c 3 đ ng tròn đã cho thì có 1 đ ng tròn nh v y.
Tr ng h p 5: N u 3 đ ng tròn ti p xúc v i nhau t ng đôi m t thì bài toán có 2 nghi m (Hình 19).
Tr ng h p 6: N u 3 vòng tròn cùng ti p xúc v i nhau t i m t đi m thì bài toán có vô s nghi m hình.
Còn nhi u tr ng h p khác n a v v trí c a 3 đ ng tròn d n đ n s nghi m c a bài toán. Trên đây ch là m t s tr ng h p đi n hình. B n đ c có th b xung các tr ng h p khác t ng ng v i s nghi m c a bài toán.
Bây gi ta s xét m t s tr ng h p đ c bi t c a bài toán Apoloniuyt. Vi c d ng các đ ng tròn này h c sinh đã d ng đ c trong các bài toán tr c:
N u coi m i vòng tròn là vòng tròn đi m thì có bài toán: D ng đ ng tròn đi qua 3 đi m cho tr c.
N u coi đ ng tròn là đ ng th ng có tâm xa vô t n thì ta có bài toán: D ng đ ng tròn ti p xúc v i 3 đ ng th ng cho tr c.
N u coi 1 vòng tròn là vòng tròn đi m và 2 đ ng th ng là vòng tròn có tâm xa vô t n thì có bài toán: D ng vòng tròn đi qua 1 đi m cho tr c và ti p xúc v i 2 đ ng th ng cho tr c (2 đ ng th ng có th song song ho c c t nhau).
D ng m t vòng tròn đi qua 2 đi m cho tr c và ti p xúc v i m t vòng tròn cho tr c. D ng m t vòng tròn ti p xúc v i 2 đ ng th ng và m t đ ng tròn cho tr c. D ng vòng tròn ti p xúc v i 2 vòng tròn cho tr c, đ ng th i ti p xúc v i m t đ ng th ng cho tr c. D ng m t vòng tròn đi qua 1 đi m cho tr c và ti p xúc v i 2 vòng tròn cho tr c.
Các bài t p đã gi i trên đ u có chung m t yêu c u là d ng đ ng tròn tho mãn m t yêu c u nào đó. Vi c s d ng phép ngh ch đ o giúp ta d ng
đ c đ ng tròn tho mãn yêu c u bài toán thông qua nh ng phép d ng c b n hay bài toán d ng hình c b n. N u ch xét nh ng bài toán nh v y h c sinh s t ng r ng phép ngh ch đ o ch có tác d ng trong bài toán d ng
đ ng tròn, còn đ i v i các bài toán d ng hình khác thì không d ng đ c. Bài toán d i đây giúp ta th y đ c vai trò c a phép ngh ch đ o đ i v i các bài toán d ng hình không ph i là đ ng tròn.