Phép nghịch đảo với bài toán dựng hình học trong mặt phẳng

Trường đại học sư phạm hà nội Khoa toán ==== ==== Vũ thị thuý phép nghịch đảo với tốn dựng hình mặt phẳng Khố luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học GVC Đinh Văn Thuỷ HÀ NỘI - 2007 Khóa luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Trong q trình hồn thành khóa luận này, em nhận động viên, hướng dẫn, bảo tận tình thầy Đinh Văn Thủy, ý kiến đóng góp quý báu thầy tổ Hình học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy Đinh Văn Thủy - người trực tiếp hướng dẫn bảo em suốt trình làm khóa luận Đồng thời em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy tổ Hình học giúp đỡ em hồn thành khóa luận Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2007 Sinh viên Vũ Thị Thúy SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Tốn Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Tốn Mục lục Trang Lời nói đầu Chương 1: Bài toán dựng hình 1.1 Một số định nghĩa 1.1.1 Hình gì? 1.1.2 Nghiệm toán dựng hình gì? 1.1.3 Giải tốn dựng hình gì? 1.2 Các bước giải tốn dựng hình 1.3 Các phương pháp dựng hình Chương 2: phép nghịch đảo 10 2.1 Định nghĩa tính chất phép nghịch đảo 10 2.1.1 Định nghĩa 10 2.1.2 Một số tính chất phép nghịch đảo 10 2.2 Các định lí 11 2.3 ảnh đường thẳng đường tròn qua phép nghịch đảo 12 Chương 3:ứng dụng phép nghịch đảo giải tốn dựng hình 13 3.1 Bài toán 13 3.2 Bài toán 15 3.3 Bài toán 15 3.4 Bài toán 15 3.5 Bài toán 17 3.6 Bài toán 19 3.7 Bài toán 21 3.8 Bài toán 23 3.9 Bài toán 26 3.10 Bài toán 10 27 3.11 Bài toán 11 29 3.12 Bài toán 12 29 3.13 Bài toán 13 29 3.14 Bài toán 14 31 3.15 Bài toán 15 (Bài toán Apoloniuyt) 33 3.16 Bài toán 16 38 Chương 4: Một số Bài tập áp dụng .40 4.1 Đề 40 4.2 Hướng dẫn giải 41 Phần kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 Lời nói đầu Lí chọn đề tài Hình học mơn học hấp dẫn, thu hút nhiều học sinh yêu toán Việc giải tập, tìm nhiều cách giải, có cách hay, độc đáo phát huy tính sáng tạo, niềm say mê mơn hình học Với tập có nhiều phương pháp giải: phương pháp tổng hợp, phương pháp véctơ, phương pháp biến hình, Trong chương trình hình học phổ thơng, tốn dựng hình ln tốn khó học sinh, em thường ngại khơng thích giải tốn dựng hình Vì lí sư phạm mà sách giáo khoa phổ thông không sâu nghiên cứu lí thuyết tốn dựng hình, phương pháp giải tốn dựng hình Để giúp em học sinh phổ thông, đặc biêt em học sinh khá, giỏi hứng thú với toán dựng hình, khóa luận này, tơi xin cung cấp số lí thuyết tổng qt tốn dựng hình đồng thời đưa phương pháp giải hay tốn dựng hình dựa vào phép nghịch đảo Phép nghịch đảo phép biến hình khơng dạy chương trình phổ thơng, mà dạy cho học sinh lớp chuyên Do phép nghịch đảo có khả biến đường tròn thành đường thẳng ngược lại nên có ứng dụng to lớn lớp tốn dựng đường tròn Việc qui tốn từ dựng đường tròn sang dựng đường thẳng thỏa mãn số yêu cầu đó, làm cho toán trở nên đơn giản nhiều Chính lí mà tơi chọn đề tài: "Phép nghịch đảo với tốn dựng hình mặt phẳng" Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lớp tốn dựng hình (chủ yếu dựng đường tròn) dựa vào phép nghịch đảo Từ thấy tính ưu việt phép biến hình, cụ thể phép biến hình nghịch đảo, tốn dựng hình mặt phẳng Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí tốn học tài liệu có liên quan đến nội dung đề tài Nội dung khóa luận Khóa luận trình bày ứng dụng phép nghịch đảo giải tốn dựng hình mặt phẳng Ngồi việc làm rõ tính ưu việt phép nghịch đảo việc giải tốn dựng hình, luận văn đưa tốn biến đổi từ toán ban đầu mà sử dụng phép nghịch đảo để giải Nội dung khóa luận gồm chương: Chương 1: Bài tốn dựng hình Chương cung cấp kiến thức tổng quát toán dựng hình Chương 2: Phép nghịch đảo Chương trình bày định nghĩa, tính chất, định lí phép nghịch đảo Chương 3: ứng dụng phép nghịch đảo giải tốn dựng hình Chương gồm tốn dựng hình có sử dụng phép nghịch đảo để giải Cuối tốn có nhận xét toán suy từ toán ban đầu Chương 4: Một số tập áp dụng Chương gồm tập, tương ứng với có hướng dẫn giải f = f(A, P A / (O1)) Dựng tiếp tuyến chung Z đường tròn (O1) ( O2 ) Dựng ảnh Z qua phép nghịch đảo f Hình 22 ảnh Z đường tròn (O) cần dựng  Chứng minh: Dễ dàng suy từ cách dựng Thật vậy: Do Z không qua A nên (O) qua A Do Z tiếp xúc với (O1) ( O2 ) nên (O) tiếp xúc với (O1) (O2)  Biện luận: Nếu (O1) (O2) chứa A nằm ngồi đường tròn tốn vơ nghiệm Nếu đường tròn chứa A nằm đường tròn bé tốn vơ nghiệm Nếu đường tròn chứa A nằm đường tròn lớn nằm ngồi đường tròn bé tốn có nghiệm Nếu đường tròn tiếp xúc ngồi A khơng trùng với tiếp điểm tốn ln có nghiệm hình Nếu đường tròn tiếp xúc A tốn có vơ số nghiệm Nếu đường tròn tiếp xúc tốn có nghiệm Nếu hai đường tròn cắt A nằm ngồi đường tròn tốn có nghiệm, lại tốn có nghiệm Nếu A nằm đường tròn A, O1, O2 thẳng hàng tốn có nghiệm, A, O1, O2 khơng thẳng hàng tốn vơ nghiệm Bài tốn Z2 Hướng dẫn: d S1 Giả sử dựng hai đường tròn (S1) (S2) hình vẽ, tức là: S2 Z1 A SVTH: Vũ Thị Thúy O1 O3 B O2 C K29E - Tốn 44 (S1) tiếp xúc với đường tròn (O1), (O3) đường thẳng d (S2) tiếp xúc với đường tròn (O2), (O3) đường thẳng d Xét phép nghịch đảo: f1   = f1 A,AB.AC Hình 23 f1: B  C (O1)  Z1 (O3)  d (S1)  ( S1 )  Xét tiếp phép nghịch đảo: f2 = f2 C,CB.CA f2: A  (O2)   B Z2 (O3)  d (S2)  ( S ) Do (O1), (O3) tiếp xúc nên d // Z1 Do (S1) tiếp xúc với (O1), (O3), d nên ( S1 ) tiếp xúc với (O3) tiếp xúc với đường thẳng song song với Z1 SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán 45 Do (O2), (O3) tiếp xúc nên Z2 // d Do (S1) tiếp xúc với (O2), (O3) d nên ( S2 ) tiếp xúc với Z2, (O3) d Như ta chuyển toán cho toán đơn giản mà học sinh biết cách giải Đó là: Dựng đường tròn tiếp xúc với đường thẳng song song đồng thời tiếp xúc với đường tròn Bài tốn Cách 1:  Phân tích: SVTH: Vũ Thị Thúy K29E - Toán 46 Giả sử dựng A thoả mãn u cầu tốn Gọi bán kính BC đường tròn (I) r , gọi trung điểm cạnh A1B1, B1C1, C1A1 IA IA IB IB IC IC A B 1 C0, A0, B0 Khi ta có: r C 0 Xét phép nghịch đảo f = f(I, r ) f: A0  A B0  B C0  C Từ ta có cách dựng  Cách dựng: Dựng A0, B0, C0 trung điểm A cạnh B1C1, C1A1, A1B1 A BC 1 C Dựng A = f(A0), B = f(B0), C = f(C0) với A0 B1 I C0 B0 f = f(I, r ) Khi ABC tam giác cần dựng  Chứng minh: B A1 Hình 23a AC IA IA r2 IC I 1 Theo cách dựng ta có: vng C1 C C hình chiếu I xuống cạnh AB Tương tự vậy, ta có A1, B1 hình chiếu I xuống cạnh tương ứng BC CA  Biện luận: Bài tốn ln có nghiệm hình Cách 2:  Phân tích: Giả sử chứng minh A thoả mãn u cầu tốn, tức có A1, BC B1, C1 hình chiếu I xuống cạnh BC, CA, AB Ta thấy AB, BC, CA tiếp tuyến đường tròn (I) điểm C1, A1, B1 Từ ta có cách dựng  A Cách dựng: Dựng tiếp tuyến A1, B1, C1 với đường tròn B1 C1 (I) d1, d2, d3 Dựng A = d2 d3, B = d1  d , C = d1 I B C d1 A1 d2 d3 d2 Dựng AB C Hình 23b  Chứng minh: Dễ dàng suy từ cách dựng Biện luận: Bài tốn ln có nghiệm hình Bài toán Hướng dẫn: Giả sử dựng đường tròn ( ) cố định tiếp xúc với đường tròn (ABC)   x Oy quay quanh O x Oy =60 Gọi A', B' giao đường tròn tâm I bán kính với I trung điểm OH Xét phép nghịch đảo: f = f(O,1) f: A  A' B  B' (I) d (OAB) A'B', với A'B' đường thẳng ( ) ( ) Do (OAB) tiếp xúc với ( ) nên A'B' tiếp tuyến đường tròn ( ) Khi  x Oy quay quanh O A'B' thay đổi AOB =600 AB sin600  const Gọi r khoảng cách từ I tới A'B' A2B r = IB    1   416    Suy (  ) đường tròn tâm I, bán kính Suy ( ) ảnh ( ) qua phép nghịch đảo f = f(O,1) Từ ta có phép dựng O r A' B' B A d H x y Hình 24 Bài tốn Hướng dẫn: Sử dụng phép nghịch đảo chứng minh đường tròn ( ) thỏa mãn u cầu tốn đường tròn qua điểm M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, CA tam giác ABC Phần kết luận Bài tốn dựng hình ln tốn khó học sinh phổ thơng, để giải tốn dựng hình học sinh phải huy động kiến thức toán chứng minh tốn quĩ tích Một tốn dựng hình giải phương pháp khác giải phương pháp biến hình có nhiều ưu điểm Do phép nghịch đảo có khả biến đường tròn thành đường thẳng nên người ta hay sử dụng để đưa tốn dựng đường thẳng toán trở nên đơn giản nhiều Để dựng đường tròn thỏa mãn điều kiện đó, sử dụng phép nghịch đảo ta chuyển tốn dựng ảnh đường tròn cần dựng qua phép nghịch đảo Thường toán dựng đường thẳng hay đường tròn phải đơn giản tốn dựng ban đầu Dựng ảnh đường thẳng hay đường tròn qua phép nghịch đảo xét ta đường tròn cần dựng Riêng với dựng ảnh đường tròn qua phép nghịch đảo ta xác định tâm điểm thuộc đường tròn hoặc xác định ba điểm thuộc đường tròn Tài liệu tham khảo Bùi Văn Bình, Nguyễn Văn Vạn - Giáo trình hình học sơ cấp (tập 2) ĐHSP Hà Nội 2, 1993 Bùi Văn Bình - Bài tập hình học sơ cấp (tập 1) - ĐHSP Hà Nội 2, 1993 Nguyễn Minh Chương, Lê Đình Phi , Nguyễn Cơng Quý - Hình học sơ cấp - NXB Giáo dục, 1968 Nguyễn Mộng Hy - Các phép biến hình mặt phẳng - NXB Giáo dục, 2000 V VPraxolov - Các tốn hình học phẳng (tập 2) - NXB ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh ... "Phép nghịch đảo với toán dựng hình mặt phẳng" Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lớp tốn dựng hình (chủ yếu dựng đường tròn) dựa vào phép nghịch đảo Từ thấy tính ưu việt phép biến hình, cụ thể phép. .. dụng phép nghịch đảo giải tốn dựng hình mặt phẳng Ngồi việc làm rõ tính ưu việt phép nghịch đảo việc giải toán dựng hình, luận văn đưa tốn biến đổi từ toán ban đầu mà sử dụng phép nghịch đảo để... tròn qua phép nghịch đảo 12 Chương 3:ứng dụng phép nghịch đảo giải tốn dựng hình 13 3.1 Bài toán 13 3.2 Bài toán 15 3.3 Bài toán 15 3.4 Bài toán